probabilidade combinatória joão paulo silva do monte lima ([email protected]) 2004, joão paulo...
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Probabilidade Combinatória
João Paulo Silva do Monte Lima([email protected])
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
Roteiro
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
•Noções Fundamentais
•Alguns Métodos de Enumeração:
Progressão Aritmética
Combinação
Noções Fundamentais
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
Sejam A e B subconjuntos de um espaço amostral S, valem as seguintes propriedades:
)()()()( BAPBPAPBAP (baseado no Princípio da Inclusão-Exclusão)
A e B são independentes )()()( BPAPBAP
A e B são excludentes )( BAP
Alguns Métodos de Enumeração
Listamos a seguir algumas maneiras de enumerar os elementos de um evento ou um espaço amostral
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
1) Progressão Aritmética (P.A.)
Dada uma P.A. de n elementos, em que a1 é seu primeiro elemento, an é seu último elemento e r é sua razão, temos:
an = a1 + (n – 1)rDesenvolvendo a igualdade acima, temos:
11
r
aan n
Alguns Métodos de Enumeração
Problema 5.11) Escolha um inteiro uniformemente do conjunto {1, 2, 3, ..., 30}. Seja o evento A de que ele é divisível por 2; seja B o evento de que ele é divisível por 3; seja C o evento de que ele é divisível por 7.(a) Determine as probabilidades de A, B e C.
(b) Quais dos pares (A,B), (B,C) e (A,C) são independentes?
Resolução:(a) A quantidade de números do espaço amostral que são divisíveis por k será o número de elementos de uma P.A. de razão k, com primeiro elemento k.
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Alguns Métodos de Enumeração
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
(continuação)
1512
23011
A
AAn
r
aaA
2
1
30
15)(
S
AAP
1013
33011
B
BBn
r
aaB
3
1
30
10)(
S
BBP
417
72811
C
CCn
r
aaC
15
2
30
4)(
S
CCP
Alguns Métodos de Enumeração
(continuação)
(b)A e B são independentes?Ser divisível por 2 e 3 é o mesmo que ser divisível
pelo mmc(2,3) = 6
51
6
63011
BA
BABAn
r
aaBA
)()(3
1
2
1
6
1
30
5)( BPAP
S
BABAP
2004, João Paulo Silva do Monte Lima.
Logo, A e B são independentes
Alguns Métodos de Enumeração
(continuação)
A e C são independentes?Ser divisível por 2 e 7 é o mesmo que ser divisível
pelo mmc(2,7) = 14
21
14
142811
CA
CACAn
r
aaCA
)()(15
2
2
1
15
1
30
2)( CPAP
S
CACAP
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Logo, A e C são independentes
Alguns Métodos de Enumeração
(continuação)
B e C são independentes?Ser divisível por 3 e 7 é o mesmo que ser divisível
pelo mmc(3,7) = 21
11
21
212111
CB
CBCBn
r
aaCB
)()(15
2
3
1
30
1)( CPBP
S
CBCBP
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Logo, B e C não são independentes
Alguns Métodos de Enumeração
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2) Combinação
A contagem dos elementos de um evento ou espaço amostral pode ser feita por combinação. Muitas vezes é interessante lançar mão de algumas identidades combinatórias, como por exemplo:
A soma das combinações “pares” de n é igual à soma das combinações
“ímpares” de n
1...31...20 2
nnnnn
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Problema 5.13) Selecionamos um subconjunto X do conjunto S = {1, 2, ..., 100} aleatoriamente e uniformemente (de modo que todo subconjunto tem a mesma probabilidade de ser selecionado). Qual é a probabilidade de que:
(a) X tenha um número par de elementos.(b) Ambos 1 e 100 pertençam a X.(c) O maior elemento de X seja 50.(d) X tenha no máximo 2 elementos.
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Resolução:
(a) 1002S A = { subconjuntos “pares” }
991100...2
1000100 22
A2
1
2
2)(
100
99
S
AAP
(b)
1002S B = { subconjuntos com 1 e 100 }
98...1
98098 2 B
4
1
2
2)(
100
98
S
BBP
Basta escolher os demais elementos dos subconjuntos:
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(continuação)
(c) 1002S C = { subconjuntos cujo maior é 50 }
49...1
49049 2 C 51
100
49
22
2)(
S
CCP
(d)
1002S D = { subconjuntos com cardinalidade 2 }
21001100
0100
D
Basta escolher entre os elementos menores que 50:
S
DDP )(
Alguns Métodos de Enumeração
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Observando o Triângulo de Pascal e lançando mão da identidade...
knn
kn
... podemos concluir que a seguinte identidade é válida:
nn
nn
nn
nnnn
...22/12/12/...10
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Em outras palavras, a identidade anterior consiste em dizer que a soma das combinações da esquerda de uma linha do Triângulo de Pascal é igual à soma das combinações da direita.
Quando n é ímpar, a soma de cada lado da igualdade é: 12 n
Quando n é par, a soma de cada lado da igualdade é:
2
2 2/nnn
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Problema 5.14) Jogamos uma moeda n vezes (n 1). Para quais valores de n os seguintes pares de eventos são independentes?
(a) A primeira jogada foi Cara;O número de Caras foi par.
(b)A primeira jogada foi Cara;O número de Caras foi mais que o número de
Coroas.
(c) O número de Caras foi par;O número de Caras foi mais que o número de
Coroas.
Resolução:
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(a)
Ca1 = { primeira jogada Cara }
CaP = { número de Caras par }
nS 2 ...Ca/Co Ca/Co Ca/Co
2
1
2
2)(
11
1
n
n
S
CaCaP
11 2 nCa ...
Ca/Co Ca/Co
Ca
2
1
2
2)(
1
n
nP
P S
CaCaP 1
...20 2 nnn
PCa
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(continuação)Ca1 CaP= {1ª jogada Cara e n.º Caras par}
= {1ª jogada Cara e n.º Caras ímpar nas outras}
)()(2
1
2
1
4
1
2
2)(
1
21
1
P
n
nP
P
CaPCaP
S
CaCaCaCaP
2...3
111
1 2
nnnPCaCa
Logo, Ca1 e CaP são independentes para
qualquer valor válido de n
(continuação)
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(b) Vamos testar duas situações:
B = { n.° Caras > n.° Coroas }
nS 2 ...Ca/Co Ca/Co Ca/Co
• n ímpar:
1...12/ 2
nnn
nnB
2
1
2
2)(
1
n
n
S
BBP
Ca1 B= {1ª jog. Cara e n.º Caras > n.º Coroas }
= {1ª jog. Cara e n.º Caras n.º Coroas nas outras}
2
1)( 1 CaP
(continuação)
Alguns Métodos de Enumeração
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)()(2
1
2
1
24
1
2)(
1
1
2/)1(1
2
2/)1(12
11
1
BPCaP
S
BCaBCaP
n
nn
n
nnn
2
2/)1(12
2
2/)1(12
2/)1(1
11
...12/)1(1
2/)1(1
1
11
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
BCa
Logo, Ca1 e B não são independentes para n
ímpar
(continuação)
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• n par:
2
2 2/
...22/12/
nnn
nn
nn
nnB
1
2/
2/
22
1
22
2
)(
n
nn
n
nnn
S
BBP
211
...22/)1(1
12/)1(1
1 2
n
nn
nn
nnBCa
)()(
22
1
2
1
4
1
2
2)( 11
2/2
11 BPCaP
S
BCaBCaP
n
nn
n
n
Logo, Ca1 e B não são independentes para n par, e portanto não são independentes, qualquer que
seja n
nS 22
1)( 1 CaP
(continuação)
Alguns Métodos de Enumeração
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(c) Vamos testar duas situações: • n par: nS 2
CaP B= { n.º Caras par e n.º Caras > n.º Coroas }
2
1)( PCaP
1
2/
22
1)(
n
nn
BP
6656
46
36
26
16
06
44
34
24
14
04
22
12
02
Observando as linhas “pares” do Triângulo de Pascal, notamos que, quando a combinação central é “ímpar”, a quantidade de combinações “pares” à esquerda é a metade das combinações pares da linha
(continuação)
Alguns Métodos de Enumeração
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Se o n que estivermos considerando tiver combinação central “ímpar”, então temos: 22 n
P BCa
)()(
22
1
2
1
4
1
2
2)(
1
2/2
BPCaPS
BCaBCaP Pn
nn
n
nP
P
Se o n que estivermos considerando tiver combinação central “par”, então temos:
2
2 2/1
nnn
P BCa
)()(
22
1
2
1
24
1
22
2
)(
1
2/
1
2/
2/1
BPCaP
S
BCaBCaP
Pn
nn
n
nn
n
nnn
PP
(continuação)
Alguns Métodos de Enumeração
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Logo, CaP e B não são independentes para n par• n ímpar: nS 2
2
1)( PCaP
2
1)( BP
776
757
47
37
27
17
07
55
45
35
25
15
05
33
23
13
03
11
01 Observando as linhas
“ímpares” do Triângulo de Pascal, notamos que, quando n = 4x + 3, x natural (em outras palavras, linha não, linha sim), a quantidade de combinações “pares” à esquerda é a metade das combinações pares da linha
(continuação)
Alguns Métodos de Enumeração
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(continuação)Se o n que estivermos considerando não for igual a 4x + 3, x natural, então temos:
)()(2
1
2
1
4
1
2
2)(
2
BPCaPS
BCaBCaP Pn
nP
P
Se o n que estivermos considerando for igual a 4x + 3, x natural, então temos:
22 nP BCa
)()(2
1
2
1
4
1
2
2)(
2
BPCaPS
BCaBCaP Pn
nP
P
22 nP BCa
Logo, CaP e B são independentes para todo n = 4x + 3, x natural
* Todas as questões contidas neste material foram retiradas do livro:
“Discrete Mathematics: Elementary and Beyond”, L. Lovász, J. Pelikán & K. Vesztergombi. Springer, January 2003, ISBN 0387955852. Tradução parcial datada de 20/09/2003 por Ruy J. Guerra B. de Queiroz disponível em:http://www.cin.ufpe.br/~if670
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