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Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

28 de fevereiro de 2012

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.

I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.

I Como determinar o sentido de uma fem induzida.

I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.

I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.

I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e

o magnetismo.

Introducao

Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:

I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.

I Energia quımica em uma usina termoeletrica.

I Energia nuclear em uma usina nuclear.

I Como ocorre essa conversao de energia?

I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?

Introducao

A resposta e um fenomeno chamado inducao eletromagnetica:

I Quando o fluxo magnetico varia atraves de um circuito, ocorre a inducao deuma fem e de uma corrente no circuito.

I Um campo magnetico que varia em funcao do tempo pode atuar como umafonte de campo eletrico [~B(t)→ ~E(t)].

I Um campo eletrico que varia em funcao do tempo pode atuar como uma fontede campo magnetico [~E(t)→ ~B(t)].

I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).

Introducao

Experiencias de Inducao

I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.

I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.

I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.

I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.

I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.

I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.

I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,

induz corrente no galvanometro.

I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.

I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.

I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de

corrente no galvanometro.

Lei de Faraday

I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.

I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:

I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ

I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

I A fem induzida em uma espira fechada e

dada pela taxa de variacao do fluxo

magnetico, com o sinal negativo, atraves da

area delimitada pela espira.

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

ε = −NdΦB

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

ε = −NdΦB

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

ε = −NdΦB

Lei de Faraday

∫~B · d~A =

∫BdA cosφ.

ε = −NdΦB

Lei de Lenz

O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.

I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.

I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.

I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.

I A corrente induzida se opoe a variacao do

fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao

proprio fluxo).

Lei de Lenz

proprio fluxo).

Lei de Lenz

proprio fluxo).

Lei de Lenz

proprio fluxo).

Lei de Lenz

proprio fluxo).

Lei de Lenz

Gerador 1: Um alternador Simples

I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.

I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.

I Calcule a fem induzida.

Lei de Lenz

ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)

Lei de Lenz

dt= −BAω sin(ωt)

Lei de Lenz

ε = −NdΦB

Lei de Lenz

ε = −NdΦB

dtε = NBAω sin(ωt)

Lei de Lenz

Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor

I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.

I Da figura, a fem induzida sera,

Lei de Lenz

|ε| = NBAω| sin(ωt)|

Lei de Lenz

I A fem induzida media e encontradasubstituindo | sin(ωt)| por seu valor medio.

Lei de Lenz

(| sin(ωt)|)med =1

∫ T/2

0sin(ωt)dt

Lei de Lenz

(| sin(ωt)|)med =1

∫ T/2

0sin(ωt)dt

(| sin(ωt)|)med =1

∫ π/ω

0sin(ωt)dt =

Lei de Lenz

(| sin(ωt)|)med =1

∫ T/2

0sin(ωt)dt

(| sin(ωt)|)med =1

∫ π/ω

0sin(ωt)dt =

εmed =2NBAω

πou ω =

πεmed

Lei de Lenz

Gerador 3: Um gerador com haste deslizante

I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.

I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

ε = −NdΦB

dt= −BLv

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

ε = −NdΦB

dt= −BLv

I =|ε|R

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

ε = −NdΦB

dt= −BLv

I =|ε|R

Potdiss = I2R =B2L2v2

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

ε = −NdΦB

dt= −BLv

I =|ε|R

R~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB

Lei de Lenz

dΦB = BdA = BLvdt

dt= BLv

ε = −NdΦB

dt= −BLv

I =|ε|R

R~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB

Potdiss = Fv = ILBv =BLv

RLBv =

B2L2v2

Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento

I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.

I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE

I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB

I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab

nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.

I Quando esta haste for colocada em contato

com o metal em forma de U teremos

Vab = ε = vLB = IR.

Fem do movimento: Forma Generalizada

~F = q~v × ~B

~F = q~v × ~BdW = ~F · d~l

~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε

qdε = (q~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l

qdε = (q~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l

∮(~v × ~B) · d~l

qdε = (q~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l

∮(~v × ~B) · d~l

Considere um disco que gira com velocidadeangular ω contante. Calcule a fem.

qdε = (q~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l

∮(~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l = vBr · d~l = ωrBdr

qdε = (q~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l

∮(~v × ~B) · d~l

dε = (~v × ~B) · d~l = vBr · d~l = ωrBdr

0ωBrdr =

2ωBR2

Campos Eletricos Induzidos

O campo ~B gerado por um solenoide com nespiras por unidade de comprimentotransportando uma corrente I e dado por,

B = µ0nI

I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?

I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.

O campo ~B gerado por um solenoide com nespiras por unidade de comprimentotransportando uma corrente I e dado por,

B = µ0nI

O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,

ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA

Quando a corrente variar no tempo a feminduzida sera,

ε = −dΦB

dt= −µ0nA

ε = −dΦB

dt= −µ0nA

Dado a resistencia R, da bobina entao a correnteinduzida I

′, sera:

R= −

ε = −dΦB

dt= −µ0nA

′, sera:

R= −

ε = −dΦB

dt= −µ0nA

′, sera:

R= −

I Quando uma carga q completa uma volta oW = q

∮~E · d~l = qε.

I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.

I No entanto e igual a,

∮~E · d~l = qε.

∮~E · d~l

∮~E · d~l = qε.

∮~E · d~l

ε = −dΦB

∮~E · d~l = qε.

∮~E · d~l

ε = −dΦB

dt∮~E · d~l = −

Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.

∮~E · d~l

ε = −dΦB

dt∮~E · d~l = −

Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.• Do teorema de Stokes temos que,∮

~E · d~l =

(∇× ~E) · d~A

∮~E · d~l

ε = −dΦB

dt∮~E · d~l = −

~E · d~l =

(∇× ~E) · d~A

−dΦB

(−∂~B

∂t) · d~A

∮~E · d~l

ε = −dΦB

dt∮~E · d~l = −

~E · d~l =

(∇× ~E) · d~A

−dΦB

(−∂~B

∂t) · d~A

∇× ~E = −∂~B

Correntes de Foucault

I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.

I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.

I No entanto, permitem um caminho de

retorno para as cargas que se deslocaram

para b retornar para O.

Exemplo de aplicacao:

I Detectores de metais.

I Freios magneticos.

Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell

Generalizacao da Lei de Ampere

I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq

I Considere o processo de carga de umcapacitor.

I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.

I Da superfıcie plana vemos que:

I Da superfıcie projetada vemos que:

I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!

∮~B · d~l = µ0ic

∮~B · d~l = µ0ic∮~B · d~l = 0

I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!

I Algo esta errado, pois o caminho fechado e

o mesmo!∮~B · d~l = µ0ic∮~B · d~l = 0

I Na superfıcie projetada, a medida que o

capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que

atravessa essa superfıcie aumenta.

q(t) = Cv(t)

C =ε0A

q(t) = Cv(t)

C =ε0A

dv(t) = E(t)d

q(t) = Cv(t)

C =ε0A

dv(t) = E(t)d

q(t) =ε0A

ddE(t) = ε0AE(t)

q(t) = Cv(t)

C =ε0A

dv(t) = E(t)d

q(t) =ε0A

ddE(t) = ε0AE(t)

q(t) = ε0ΦE (t)

ic (t) =dq(t)

dt= ε0

dΦE (t)

q(t) = Cv(t)

C =ε0A

dv(t) = E(t)d

q(t) =ε0A

ddE(t) = ε0AE(t)

q(t) = ε0ΦE (t)

ic (t) =dq(t)

dt= ε0

dΦE (t)

I Definiremos que existe uma corrente naregiao entre as placas, chamada de correntede deslocamento iD , dada por:

iD (t) = ε0dΦE (t)

I Definiremos que existe uma corrente na

regiao entre as placas, chamada de corrente

de deslocamento iD , dada por:

I A lei de Ampere se tornara:∮~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮~B · d~l = µ0

(ic + ε0

I Definiremos que existe uma corrente na

regiao entre as placas, chamada de corrente

de deslocamento iD , dada por:

I A lei de Ampere se tornara:∮~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮~B · d~l = µ0

(ic + ε0

I Podemos definir uma densidade de correntede deslocamento ~JD por:

∫~JD · d~A =

∫ (ε0

)· d~A

~JD = ε0d~E

A realidade da corrente de deslocamento

I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮

~B · d~l = 2πrB = µ0jD A

I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.

2πrB = µ0ic

πR2πr2

2πrB = µ0ic

πR2πr2

B =µ0

R2ic , se r < R

2πrB = µ0ic

πR2πr2

B =µ0

R2ic , se r < R

B =µ0

R, se r ≥ R

2πrB = µ0ic

πR2πr2

B =µ0

R2ic , se r < R

B =µ0

R, se r ≥ R

Equacoes de Maxwell para o Eletromagnetismo

∮~f · d~A =

∫(∇ · ~f )dV ;

∮~f · d~l =

∫(∇× ~f ) · d~A

∫ρdV ; I =

∫~J · d~A ; Φf =

∫~f · d~A

∮~E · d~A =

∇ · ~E =ρ

∮~f · d~A =

∫(∇ · ~f )dV ;

∮~f · d~l =

∫(∇× ~f ) · d~A

∫ρdV ; I =

∫~J · d~A ; Φf =

∫~f · d~A

∮~E · d~A =

ε0∮~B · d~A = 0

∇ · ~E =ρ

∇ · ~B = 0

∮~f · d~A =

∫(∇ · ~f )dV ;

∮~f · d~l =

∫(∇× ~f ) · d~A

∫ρdV ; I =

∫~J · d~A ; Φf =

∫~f · d~A

∮~E · d~A =

ε0∮~B · d~A = 0∮~E · d~l = −

∇ · ~E =ρ

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∮~f · d~A =

∫(∇ · ~f )dV ;

∮~f · d~l =

∫(∇× ~f ) · d~A

∫ρdV ; I =

∫~J · d~A ; Φf =

∫~f · d~A

∮~E · d~A =

ε0∮~B · d~A = 0∮~E · d~l = −

dt∮~B · d~l = µ0

(Ic + ε0

∇ · ~E =ρ

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∇× ~B = µ0~Jc + µ0ε0∂~E

A luz como uma onda eletromagnetica

I No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e

~Jc = 0.∇ · ~E = 0

~Jc = 0.

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E

∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B

∇ · ~E = 0

∇ · ~B = 0

~Jc = 0.

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E

∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B

∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B

∂t) = −

∂(∇× ~B)

∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E

∂t) = µ0ε0

∂(∇× ~E)

∇ · ~E = 0

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

~Jc = 0.

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E

∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B

∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B

∂t) = −

∂(∇× ~B)

∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E

∂t) = µ0ε0

∂(∇× ~E)

∇× (∇× ~E) = −µ0ε0∂2~E

∇× (∇× ~B) = −µ0ε0∂2~B

∇ · ~E = 0

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∇× ~B = µ0ε0∂~E

A luz como uma onda eletromagneticaI No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e

~Jc = 0.

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E

∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B

∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B

∂t) = −

∂(∇× ~B)

∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E

∂t) = µ0ε0

∂(∇× ~E)

∇× (∇× ~E) = −µ0ε0∂2~E

∇× (∇× ~B) = −µ0ε0∂2~B

−∇2~E = −µ0ε0∂2~E

−∇2~B = −µ0ε0∂2~B

∇ · ~E = 0

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∇× ~B = µ0ε0∂~E

∂2y(x , t)

∂x2=

∂2y(x , t)

Equacao de Onda

rodrigo alves diasradias/fisica3/cap29-inducao...ienergia qu mica em uma usina termoel etrica....

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