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Rodolfo Saboia Lima de Souza

Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio.

Orientador: Marco Antônio Grivet Mattoso Maia

Rio de Janeiro

28 de abril de 2003

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9816565/CA

Rodolfo Saboia Lima de Souza

Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Marco Antônio Grivet Mattoso Maia Orientador

PUC-Rio

Marco Antônio Grivet Mattoso Maia PUC-Rio

Luiz Alencar Reis da Silva Mello PUC-Rio

Oscar Porto PUC-Rio

Ernesto Leite Pinto IME

Erasmus Couto Brazil de Miranda UCP

Ney Augusto Dumont Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 28 de abril de 2003

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Rodolfo Saboia Lima de Souza O autor é graduado e mestre em engenharia de telecomunicações pela PUC-RIO. Trabalha na mesma instituição como engenheiro de pesquisa, onde realiza trabalhos nas áreas de propagação radioelétrica e redes de comunicações.

Ficha Catalográfica

Souza, Rodolfo Saboia Lima de

Controle de potência em sistemas de

comunicações móveis celulares / Rodolfo Saboia Lima de

Souza; orientador: Marco Antônio Grivet Mattoso Maia. –

Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia

Elétrica, 2003.

104 f. : il. ; 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia

Elétrica.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Elétrica – Teses. 2. Controle de potência. 3. Alocações de recursos. 4. Comunicações móveis. 5. Sistemas celulares. I. Maia, Marco Antônio Grivet Mattoso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título.

CDD: 621.3

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A Inácio de Loyola, peregrino e pedagogo.

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Agradecimentos

A minha esposa e filhas, pela paciência e compreensão;

A meus amigos por rezarem por mim;

A meus colegas de trabalho pela ajuda;

Ao PUC-Rio por me permitir enquanto funcionário fazer doutorado;

A Axioma Optmization por emprestar o programa de otimização;

Ao prof. Marco Grivet meu orientador pela enorme participação no trabalho.

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Resumo

Souza, Rodolfo Saboia Lima. Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares. Rio de Janeiro, 2003. xxxp. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Este trabalho examina várias técnicas de alocação de canais, e alocação de

potência, baseados no parâmetro relação sinal ruído interferência. Os esquemas de

controle de potência que utilizam este parâmetro, são resolvidos a partir da

determinação do raio espectral de uma matriz obtida a partir da manipulação da

matriz de ganhos de enlace. Foi provado que é possível resolver esta matriz por

outro método baseado em determinantes, e também foi mostrado que este método

permite se obter rapidamente uma alocação de canais factível. Além disso, várias

técnicas de otimização da alocação de potência foram estudadas, ampliando a

abordagem para uma visão completa do problema de alocação de potência.

Palavras-chave

Controle de potência; alocações de recursos; comunicações móveis;

sistemas celulares

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Abstract

Souza, Rodolfo Saboia Lima. Power Control for Mobile Cellular Communications Systems. Rio de Janeiro, 2003. 104p. Doctorade Thesis – Electrical Engineer Department, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work presents and analyze many techniques for channel and power

allocation, using the parameter of signal to noise interference. The power control

techniques witch use these parameter are solved from the determination of

spectral radius of the matrix derived by the manipulation of the original link gain

matrix. It was proved that is possible to solve this matrix using a determinant

based method, and was showed that this is faster then the conventional

methodology to obtain a feasible channel allocation. Furthermore, many

optimization techniques were compared, to get a broaden vision of the power

allocation problem.

Keywords

Power control; resources allocation; channel allocation; mobile cellular

systems.

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Sumário

1 Introdução 11

2 Sistemas de Rádio 15

2.1. Comunicações de dados 15

2.2. Gerenciamento de recursos de rádio 18

2.2.1. Controle de Potência 19

2.2.2. Controle de taxa de transmissão 20

2.2.3. Controle de admissão 21

2.2.4. Controle de Congestionamento 21

2.2.5. Agendamento da Transmissão 22

2.2.6. Controle unificado 23

2.3. Acesso Múltiplo 24

2.4. Paradigmas de sistemas de comunicação 26

2.5. Trabalhos anteriores 30

3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 34

4 Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 41

4.1. O Problema da Viabilidade de Compartilhamento de Canais 42

4.1.1. Demonstração do Teorema 2 47

4.2. O Problema da Determinação dos Subconjuntos f-viáveis 50

4.3. O problema da limitação de potência 55

4.4. Problemas Baseados em Seleção de Subconjuntos Viáveis 57

4.4.1. O Problema do Número Mínimo de Canais 59

4.4.2 O Problema de Mínima Potência Máxima 59

4.5. Uma Heurística Para Determinação do Número Mínimo de Canais 62

4.6. O Problema de Mínima Interferência Revisitado 66

4.6.1 O Caso da 1-Adjacência 69

4.6.2 O Caso da 2-Adjacência 70

4.7. Metáforas Evolucionais para o Problema de Mínima Interferência 72

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5 Resultados numéricos 76

5.1. Cenário 77

5.2. Determinação dos conjuntos de enlaces viáveis 79

5.3. Minimização do número de canais, ou da máxima potência 84

5.4. Heurística para determinação do número de canais 87

6 Conclusão 91

6.1. Sumário 91

6.2. Discussão 92

6.3. Sugestões para trabalhos futuros 93

Glossário 94

Referências Bibliográficas 95

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Lista de figuras

Figura 2-1 – Gerência de recursos de transmissão 23

Figura 4-1 – Região de solução f-viável 43

Figura 4-2 – Comparação de esforços computacionais 55

Figura 4-3 – Min-max de dimensão 2 60

Figura 4-4 – Verificação de e-viabilidade em dimensão 2 64

Figura 5-1 – Posicionamento de transmissores e receptores no cenário 79

Figura 5-2 – Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis 83

Figura 5-3 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 86

Figura 5-4 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 2 87

Figura 5-5 – Comparação do algoritmo sub-ótimo com o resultado da otimização

90

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Lista de tabelas

Tabela 1 Classes de serviço em redes UMTS 16

Tabela 2 – Requisitos de QoS para as classes de serviço 17

Tabela 3 – Tabela de esforço computacional 54

Tabela 4- Parâmetros de configuração de cenário 78

Tabela 6 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com variação da semente

81

Tabela 7 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com a SINR 82

Tabela 8 - Variação do número de conjuntos e-viáveis com a potência de ruído 83

Tabela 9 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 86

Tabela 10 - Efeito do relaxamento da condição de número de canais caso 2 87

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1 Introdução

A idéia de transmitir energia, e informação, sem a utilização de fios remonta

ao final do século 19. Maxwell desenvolveu a teoria eletromagnética em 1850,

mas só em 1888 Heinrich Hertz conseguiu demonstrar que um transmissor de 600

MHz podia gerar uma centelha num receptor próximo, iniciando assim a era do

rádio. Na virada do século 20 Marconi finalmente conseguiu fazer um dispositivo

de rádio comercial. Nos anos seguintes houve um enorme desenvolvimento na

área de rádio comunicações, com o advento do telégrafo sem fio, a rádio-difusão,

televisão, troncos de microondas para telefonia a longa distância, comunicações

por satélite. Na última década o mercado de telecomunicações foi dominado pelo

surgimento da telefonia móvel celular, e nas comunicações fixas a Internet. É

esperado que num futuro próximo, ocorra o casamento dos dois sistemas surgindo

a Internet móvel. Para isso outros modelos de topologia de rede como o MANET

(mobile AD HOC networks) irão se tornar comuns. Existe ainda a previsão que

grande parte das comunicações ocorrerão entre máquinas, dispensando a atenção

de usuários humanos.[119]

Os problemas de engenharia envolvendo comunicações de rádio são

extremamente críticos: o meio de comunicação é limitado em capacidade; a perda

de propagação é usualmente grande, incluindo aí problemas de multipercurso,

sombreamento e desvanecimento; por fim o canal é suscetível a várias fontes de

interferência de origem tanto internas aos sistemas, como externas e

completamente fora de controle de qualquer agente.

Para os sistemas de rádio modernos o espectro de radiofrequência é um bem

extremamente escasso, portanto é desejável maximizar a capacidade de

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Introdução 12

informação transmitida. Assim, os canais de rádio ortogonais1 são utilizados de

maneira intensa, fazendo que esses sistemas sejam limitados pela interferência

cocanal2 de transmissores de rádio do próprio sistema, ou de sistemas

concorrentes na mesma faixa. Como exemplo do caso de interferência intra-

sistema, na telefonia móvel celular células razoavelmente próximas compartilham

os mesmos canais de rádio, e mesmo com o criterioso planejamento para

intercalar células utilizando canais distintos, alguma interferência ocorre. Na

interferência entre sistemas o caso que hoje está mais preocupando os engenheiros

é o compartilhamento da faixa livre de 2.4 GHz por vários sistemas como

IEEE802.11B, Bluetooth e outros.

O tremendo sucesso e crescimento das comunicações pessoais implicam

num cuidadoso gerenciamento dos recursos de rádio. Devido à escassez de

espectro disponível, alguma forma de compartilhamento de recursos tem que ser

desenvolvida. Como a demanda para serviços de voz está crescendo, e está

surgindo uma demanda nova para serviços de dados, deve haver um aumento

considerável na necessidade de banda de transmissão em um futuro próximo. Isto

vai requerer o desenvolvimento de técnicas de gerenciamento de recursos eficazes

com base nos novos paradigmas de comunicações. Na prática todos os métodos de

compartilhamento introduzem algum nível de interferência, prejudicando a

capacidade de comunicação. A técnica chave para combater e reduzir a

interferência desnecessária é a de controle de potência. Ajustando a potência

transmitida, um melhor balanço entre o sinal desejado e a interferência pode ser

obtido no receptor. Como conseqüência a capacidade do sistema pode crescer,

permitindo acomodar um maior tráfego de informação entre os usuários, enquanto

se reduz o consumo de energia no transmissor.

1 Canais ortogonais são aqueles entre os quais não ocorre interferência (ou pelo menos nos

quais a interferência é bastante minimizada). Podem ser obtidas com transmissões em faixas de

freqüência diferentes, ou em instantes de tempo disjuntos. 2 Interferência causada por outro transmissor de rádio utilizando o mesmo canal de

comunicação.

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Introdução 13

Como a comunicação de dados requer especificações diferentes e variadas

de qualidade de serviço (“QoS”), quando comparada à comunicação de voz

tradicional nos sistemas telefônicos celulares, que exige um fluxo constante de

bits (mesmo que a uma taxa baixa se comparada com as usadas atualmente em

comunicações de dados), torna-se possível uma maior liberdade na alocação de

recursos de comunicação. Em compensação o preço a pagar por esta maior

liberdade é o aumento do nível de complexidade dos sistemas propostos.

O grande problema das comunicações de rádio no futuro se resumirá a uma

palavra: ESPECTRO. A quantidade de bits por segundo que podem ser trafegados

em uma determinada banda de rádio não deve crescer muito, já que a tecnologia

atual permite um aproveitamento de espectro bem próximo aos limites teóricos da

teoria de comunicação digital de Shannon. Portanto, um uso mais parcimonioso

desse espectro se faz necessário para “superar” as limitações da comunicação

digital. Como o uso do espectro é dividido dentro de uma área (a região em que a

interferência mútua entre dispositivos rádio não é desprezível), aproveitar espectro

de uma área que tenha alguma “folga”, e realocá-lo onde ocorre saturação é o

último meio de ganhar alguma margem a mais nos já saturados canais de

comunicação por rádio.

Este trabalho versa sobre alocação de canais e nível de potência em sistemas

de comunicação por rádio. O método abordado visa a solução de problemas

através do controle da relação sinal ruído interferência (“SINR”), que está

associada diretamente a vários parâmetros de qualidade (“QoS”) que serão

requeridos pelos usuários dos sistemas vindouros. A “SINR” também é um

parâmetro fácil de se medir nas unidades móveis. Esta técnica de controle de

potência é clássica e já foi estudada em vários trabalhos como [119].

A contribuição deste trabalho são novas técnicas de solução do problema de

alocação de maneira mais rápida, e sua comparação com as soluções ótimas. Entre

estas técnicas destaca-se a utilização de determinantes ao invés de raio espectral

para verificar se uma partição de enlaces em canais ortogonais com determinadas

potências é viável.

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Introdução 14

No capítulo dois será apresentado uma introdução do modelo de ambiente

que será base do trabalho objetivando a padronização de algumas idéias que serão

discutidas nos outros capítulos. No capítulo três é apresentada a formulação

básica, e comum na literatura, para o tratamento do problema proposto. No

capítulo quatro estão concentradas todas às formulações e resultados teóricos

desenvolvidas nesta tese. No capítulo 5 estão os resultados numéricos de algumas

das proposições teóricas, ilustrando a aplicabilidade dos resultados do capítulo 4.

Por fim, no capítulo seis, estão expostas as conclusões do trabalho.

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2 Sistemas de Rádio

Para caracterizar o problema a ser estudado é necessária uma pequena

apresentação do ambiente de comunicações móveis. A maior motivação do

trabalho são os novos sistemas de comunicações móveis que estão surgindo. Estes

requerem novos paradigmas que transcendem os métodos usuais em telefonia

móvel celular, que não mais resolvem os problemas mais complexos oriundos da

evolução tecnológica.

Os novos desafios tecnológicos advêm de várias evoluções nas

comunicações móveis como os novos tipos de tráfego em redes de

telecomunicações, especificamente tráfego de pacotes multimídia de aplicações

distintas (voz, imagem, som, dados, e etc...) e com requisitos de “QoS” diferentes.

A outra variante determinante é uma série de topologias diferentes, além da

tradicional topologia de telefonia móvel celular, desenvolvidas para permitir que

dispositivos móveis estejam conectados entre si e também a rede global

ubiquamente. A modelagem apresentada mostra que existe uma topologia básica

onde podem ser estudados as gerências e controles, especificadas abaixo, e que

poderão a vir ser utilizada nos sistemas móveis de qualquer espécie.

2.1. Comunicações de dados

Buscando o aumento do consumo nos sistemas de comunicações móveis,

novas opções ou serviços melhores a um menor custo precisam ser oferecidos ao

mercado. Multimídia, que nada mais é que transmissão simultânea de vários tipos

de informações diferentes (voz, Internet, vídeo, áudio), é à base desses novos

serviços que estão sendo ou serão disponibilizados. Tipicamente um usuário

poderá estar interessado em se comunicar através de uma chamada interativa de

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Sistemas de Rádio 16

vídeo (videofone) ou voz (telefone) e isto requer que as entidades de informação

(normalmente denominadas pacotes devido à nomenclatura da rede IP) tenham

uma taxa de chegada aproximadamente constante. Já em sistemas que não

necessitam interação em tempo real, tipo e-mail ou transferência de arquivos, os

usuários poderão receber banda à medida que esta esteja disponível, que é o

conhecido critério de qualidade “best effort” predominante na Internet. Imagens e

músicas, que podem ser caracterizadas como um tipo de transferência de arquivos,

têm requisitos bem diferentes quando comparados a modos conversacionais,

permitindo maiores atrasos desde que mantenha uma certa uniformidade, e sendo

possível contar com retransmissões. Considerando que diferentes tipos de serviço

geram tráfegos com diferentes taxas de pacotes, e possuem diferentes requisitos

de qualidade, o controle da rede necessita considerar e tirar proveito das

propriedades de tráfego para maximizar a eficiência espectral.

Um recente exemplo é o padrão “universal mobile telecommunications

systems (UMTS)”, onde foi especificada uma arquitetura de camadas para o

“QoS”. A estrutura de suporte ao “QoS” é baseada em serviços contratados, que

compostos formam o serviço completo a um usuário. Para cada serviço

contratado, são definidos atributos de “QoS”, que descrevem requisitos de taxa de

bits, atrasos e prioridades dentre outros. Para a classificação dos serviços, o

tráfego é dividido em classes: tempo real conversacional, tempo real “streaming”,

“best effort” interativo e “best effort background”.[31]

Classe de

Serviço

Aplicações típicas Características do serviço

Conversação

tempo real

Voz, vídeo conferência Preserva relação temporal entre pacotes,

atraso de pacotes muito baixo.

“Streaming”

tempo real

Áudio/Vídeo “streams” Preserva relação temporal entre pacotes

“Best Effort”

interativo

Navegação na Web Padrões de requisição e resposta. Baixa taxa

de erro

“Best Effort”

background

Transferência de arquivo,

correio eletrônico

O atraso não é crítico, baixa taxa de erro

Tabela 1 Classes de serviço em redes UMTS

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Classe de

tráfego

Conversacional Streaming Interativo Background

Taxa máxima

(kbps)

< 2000 < 2000 < 2000 < 2000

SDU máximo

(byte)

<1500 <1500 < 1500 < 1500

Taxa garantida <2000 <2000

Atraso de

transmissão

(ms)

80 - valor máximo

permitido

500 – valor

máximo

permitido

Prioridade 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3

Taxa de erro

residual

5*10-2, 10-2, 10-3,

10-6

5*10-2, 10-2, 10-

3, 10-4,10-5, 10-6

4*10-3, 10-5,

6*10-8,

4*10-3, 10-5,

6*10-8,

Tabela 2 – Requisitos de QoS para as classes de serviço

Devido ao crescimento da Internet, existe a demanda de aplicações de alta

taxa de dados e serviços multimídia. Com isso a rede precisa prover diferentes

taxas de transmissão e requisitos de “QoS”, compartilhando a capacidade da

melhor maneira possível. Diferentemente dos serviços tradicionais de voz, onde a

métrica da qualidade de serviço incluem a probabilidade de bloqueio e a taxa de

interrupção de chamadas, outras métricas são necessárias para os serviços

multimídia. Capacidade máxima total, atraso e probabilidade de indisponibilidade

são comumente usadas. Claramente elas refletem a “velocidade” dos bits e

conseqüentemente estão naturalmente relacionadas à qualidade sentida pelo

usuário, porém além destas, existem outras métricas que se relacionam de forma

indireta ao usuário final. Por exemplo, a potência transmitida afeta vários fatores

importantes, incluindo o tempo de vida da bateria dos dispositivos móveis que é

extremamente crítica. Os dispositivos disponíveis hoje no mercado permitem 1

hora de conversação a uma taxa de aproximadamente 10 Kbps. Sendo o consumo

de energia nos dispositivos de rádio proporcional a taxa transmitida, então com a

mesma tecnologia os dispositivos poderiam funcionar aproximadamente 20

segundos a uma taxa de 2 Mbps. Para os futuros usuários da Internet móvel, a

bateria será percebida como uma “caixa preta” contendo uma limitada quantidade

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de bits, ao invés de ser uma fonte de energia que possibilite uma certa duração.

Assim o controle da rede tem que considerar um criterioso controle dos recursos

de energia, ao mesmo tempo em que tenta satisfazer os outros requisitos de QoS

em um ambiente rádio variante no tempo. O objetivo desse controle será

disponibilizar uma certa quantidade de bits, com uma certa qualidade, com o

mínimo de energia possível. Assim técnicas avançadas de alocação de potência

permitirão no sentido mencionado acima, que se “coloque” mais bits na bateria.

Comunicação de rádio eficiente no aspecto energético é um tópico que

aparece cada vez mais na literatura técnica. Questões que estão sendo estudadas

para as camadas baixas (de acordo com o modelo de rede ISO/OSI) incluem

gerenciamento dinâmico de potência, modulação e esquemas de controle de erro;

já nas camadas altas o objetivo é desenvolver esquemas de agendamento das

transmissões.

2.2. Gerenciamento de recursos de rádio

Quando um sistema de comunicações permite estabelecer seções com

diferentes requisitos de “QoS”, o controle dos recursos rádio se torna uma tarefa

complicada, até pelo amplo leque de possibilidades que se abre. No entanto é

possível identificar os recursos básicos que serão gerenciados. Alguns desses já

são gerenciados com sucesso nas redes atuais de telefonia móvel, como o controle

de admissão. Agora eles terão que ser estendidos para as redes de dados de

múltipla taxa e que incluem requisitos de “QoS” distintos. Além disso, dada a

tolerância de atraso em alguns serviços, o agendamento (“scheduling”) da

transmissão pode se tornar um método a ser incorporado no elenco de possíveis

soluções para este problema.

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2.2.1. Controle de Potência

Um recurso de controle que está altamente relacionado à capacidade da rede

é a potência transmitida. Por exemplo, usuários sensíveis a atrasos de mensagens e

com requisitos de taxa de erro baixa, podem ser acomodados pelo aumento da

potência transmitida, com o conseqüente aumento da relação sinal-ruído mais

interferência (“SINR”). Porém isto causa um aumento da interferência percebida

pelos outros usuários, que por conseqüência passam a experimentar um aumento

em suas taxas de erro. Controle de potência é uma área ativa de pesquisa, e muito

trabalho já foi desenvolvido para sistemas de taxa fixa. Porém com os sistemas

futuros de dados com taxa e requisitos de “QoS” variáveis, a complexidade da

alocação de taxa foi adicionada ao controle de potência, o que implica na

necessidade de estender os estudos.

Em sistemas reais, a taxa de transmissão efetiva é diretamente relacionada

com a “SINR”, e o controle de potência se mostra um agente eficiente para o seu

controle. Assim se torna natural investigar esquemas conjuntos de controle de

potência e taxa. A formulação clássica do problema de controle de potência é

determinar de forma rápida uma alocação que acomode o maior número de

usuários e que minimize a potência usada em cada transmissor. Já o problema de

transmissão com taxa variável, em aplicações onde os serviços possuam requisitos

distintos de qualidade, apesar de terem uma base comum com a dos serviços

tradicionais, implicam novas variantes que poderão ser adicionadas, destacando-se

dentre estas a possibilidade de agendamento “scheduling” dos pacotes a serem

transmitidos. Neste trabalho se estuda requisito de qualidade relacionado a

“SINR” e por conseqüência o controle de potência também baseado neste

parâmetro. Será visto que neste caso o problema pode ser resolvido por meio de

programação linear (real e inteira), onde em um instante arbitrário e a partir de

valores como ganho de enlace, ruído, requisitos de “SINR” e outros, existe apenas

uma única solução ótima. No problema de interesse um vasto número de

algoritmos (alguns de natureza heurística, outros de natureza sub-ótima) foi

desenvolvido, que permitem solucionar este problema sem ter que resolver o

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problema pleno de otimização. Estas heurísticas são centralizadas ou distribuídas,

mas neste trabalho só será analisada a primeira. Assim resolver o problema de

alocação de potência de transmissão para sistemas de taxa variável, é basicamente

resolver o problema da definição da taxa de transmissão requerida a cada unidade

de tempo para o usuário. Após a determinação da taxa, o problema de potência

pode ser resolvido por técnicas de programação linear como comentado acima. O

escopo desta tese é apresentar novos meios de resolver de forma moderadamente

rápida a alocação de potências em uma janela de tempo curta, na qual se assume

que os parâmetros de propagação podem ser considerados constantes.

2.2.2. Controle de taxa de transmissão

Os sistemas de comunicação que utilizam taxa variável, em períodos

definidos de tempo (preferencialmente curtos), precisam definir a taxa na qual a

comunicação entre usuários ocorrerá. Como as condições de propagação variam

rapidamente, e as de tráfego um pouco mais lentamente, isto implica que

frequentemente a taxa de transmissão necessita ser redefinida, mesmo durante o

andamento de uma seção de comunicação.

Conhecendo-se os detalhes da modulação utilizada no sistema rádio e a taxa

de erro máxima que a aplicação que está associada a uma seção de comunicação

suporta, é possível relacionar a taxa de transmissão possível com o parâmetro de

“SINR” no receptor rádio do enlace de comunicação. Esta informação, mais a

informação de tráfego, é que são utilizadas nos mecanismos que calculam a taxa

de transmissão que uma seção de comunicação deverá utilizar. As informações de

tráfego ajudam a evitar que uma fila de serviço para uma seção de comunicação

fica saturada, causando perda de pacotes por falta de espaço em “buffer”.

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2.2.3. Controle de admissão

O objetivo do controle de admissão é preservar a qualidade das conexões em

curso, enquanto novos usuários são admitidos. A alocação de taxa de transmissão

pode ser vista como um caso mais geral de controle de admissão, onde cada

enlace agora tem várias opções de SINR para escolher. Um tipo muito comum de

problema para sistemas de múltiplas taxas é maximizar o total de bits

transmitidos. Uma solução para esse problema é admitir toda conexão ao sistema

enquanto for possível manter a qualidade e a potência.

2.2.4. Controle de Congestionamento

Quando um sistema de comunicação fica altamente congestionado, ocorre

uma situação na qual um subgrupo de usuários não pode ser mantido com uma

taxa determinada. A maioria dos algoritmos de controle de potência reage a esta

situação incrementando a potência transmitida. O resultado é um subseqüente

aumento da interferência e a degradação do desempenho global. Uma possível

solução alternativa seria remover conexões, ou nos casos de sistema a taxa

variável diminuir a taxa transmitida de alguns enlaces (as redes IP convencionais

já fazem isso, basta notar que de vez em quando a Internet fica “lenta”). O

tratamento dessa questão é de crucial importância nos sistemas de terceira geração

e posteriores.

Assim como o controle de admissão, o controle de congestionamento

permite aumentar a capacidade total do sistema. Um problema de difícil solução

que leva em conta o problema econômico, é o da escolha do usuário a ter a taxa de

transmissão reduzida. Isto porque usuários de perfis distintos podem estar

remunerando a operadora de diferentes maneiras, por exemplo nos sistemas

telefônicos celulares os usuários pré-pagos geram normalmente menos receita que

os usuários pós-pagos. Outra importante questão é a capacidade de detectar

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rapidamente as condições de congestionamento, para que seja possível tomar

atitude em tempo hábil.

2.2.5. Agendamento da Transmissão

O agendamento no tempo das transmissões (“scheduling”) pode ser usado

para se criar uma diferenciação entre as classes de serviço ou condições de

isonomia entre usuários. Em serviços que não requerem taxas instantâneas

contínuas, mas sim uma taxa média, uma utilização mais flexível do espectro pode

ser considerada. O agendamento da transmissão está intimamente ligado ao

controle da taxa transmitida, e na verdade é um caso especial dele, pois quando se

transmite alternando taxa zero (não transmissão) e alguma taxa, está sendo

implementado o agendamento.

Os algoritmos para controle de agendamento são atualmente objetos de

intensos estudos [26]. Vários sistemas em desenvolvimento, como o WCDMA

[30], têm nesses algoritmos o diferencial competitivo entre os equipamentos de

diferentes fabricantes ( o algoritmo de agendamento não costuma ser especificado

nos padrões de sistemas). Em grande parte, é o agendamento de transmissão que

permite implementar os mecanismos de qualidade de serviço.

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2.2.6. Controle unificado

Todos os controles expostos anteriormente vão integrar na prática um único

sistema de gerenciamento. Uma das grandes vantagens do sistema digital é a

integração dos distintos serviços de comunicação em uma única rede. Não mais se

lida com aplicações totalmente distintas como voz, televisão e dados trafegando

em redes separadas, e desenvolvidas especificamente para trafegar algum dos

serviços acima. O paradigma futuro é uma rede única convergida, onde todas as

aplicações compartilham esta mesma rede, apenas requerendo parâmetros de

“QoS” diferentes. Os nós da rede gerenciarão uma ou mais filas de serviço,

regidas por alguma disciplina de fila, e permanentemente terão que monitorar as

condições do canal rádio. Assim um agente gerenciador no transmissor tomará a

cada unidade de tempo a decisão de qual pacote em qual fila de serviço será

enviado numa certa taxa e potência. Esta decisão englobará todos os controles

vistos acima.[54]

Figura 2-1 – Gerência de recursos de transmissão

A gerência da rede poderá ser tanto centralizada quanto distribuída, mas

sempre será necessário contar com medidas executadas no receptor de cada

unidade móvel. Algum canal de controle poderá ser usado para que essas

medições cheguem ao controle central, ou às outras unidades móveis, no caso de

controle distribuído.

Controle deAdmissão

Requisições de Seção Fila de Serviço

Fila de Serviço

Fila de Serviço

"Scheduling"

Potência,Taxa

Estimador deRecursos

Medidas de interferência

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2.3. Acesso Múltiplo

Quando vários usuários tentam acessar um canal comum, alguma forma de

separação das formas de onda deve existir para distinguí-los no receptor. A base

de qualquer interface rádio é determinar como o meio comum será compartilhado

entre os usuários. Diferentes técnicas podem ser especificadas.

• Múltiplo acesso por divisão de freqüência (FDMA) – A separação é

feita dividindo o espectro de rádio em canais ortogonais. Para cada

usuário é designado um único canal de freqüência, que não é usado

por nenhum outro usuário, mesmo que ele esteja inativo. A

ortogonalidade é garantida pela separação total das freqüências

desses canais, incluindo até uma pequena faixa não utilizada entre

cada canal, que serve para minimizar a interferência oriunda de

filtragem imperfeita.

• Múltiplo acesso por divisão do tempo (TDMA) – A separação é feita

dividindo o espectro de rádio em intervalos de tempo. A cada

intervalo apenas um usuário pode transmitir.

• Múltiplo acesso por divisão ortogonal de freqüência (OFDMA) –

Esta técnica se diferencia do FDMA pela maior aproximação dos

sub canais de freqüência, garantindo uma maior eficiência espectral.

Neste caso canais adjacentes possuem intercessão de freqüência, mas

implementado de uma forma que permite que sejam separados na

recepção pelo método de transformada rápida de Fourier.

Pelo reuso de freqüências e intervalos de tempo em localizações geográficas

suficientemente separadas, mais usuários podem ser acomodados. Em múltiplo

acesso com espalhamento espectral, o sinal em uma banda mais estreita é

espalhado sobre uma banda mais larga. Este tipo de técnica é ineficiente para um

usuário, pois se está permitindo que este use uma banda maior do que a necessária

para a transmissão, mas com o compartilhamento entre vários usuários se torna

bastante eficiente.

DBD



• Acesso múltiplo por divisão de código (CDMA) – cada usuário

recebe um código, que tanto pode ser uma seqüência pseudo-

aleatória que espalhe o trem de bits (seqüência direta), ou uma regra

de utilização de sub faixas de freqüências (salto de freqüência).

Outra técnica consiste no aproveitamento da separação espacial dos

transmissores.

• Múltiplo acesso por divisão espacial (SDMA) – A separação é feita

por conjuntos de antenas, que permitem vários feixes direcionais,

que podem ser apontados para determinados transmissores.

Vários esquemas híbridos consistindo na mistura das tecnologias acima são

possíveis. Normalmente as técnicas de FDMA são combinadas junto com TDMA

ou CDMA, neste caso separa-se o espectro em fatias menores, e depois se aplica a

cada uma destas, uma das duas técnicas anteriores.

Na prática todos esses esquemas envolvem alguma forma de ortogonalidade,

tipo freqüência, tempo, ângulo de chegada, código. Outra possibilidade é

compartilhar recursos sem conexão. Estes esquemas são usados em comunicações

de dados por pacotes, oferecendo mais flexibilidade para a entrega de pacotes

curtos, pagando o preço do risco da comunicação não ser bem sucedida devido a

transmissões simultâneas (colisões), requerendo uma política de retransmissão.

Vários esquemas existem, sendo classificados em aleatórios, agendados ou

híbridos. Os métodos mais comuns são:

• ALOHA – Um usuário transmite um pacote com uma certa

probabilidade, desde que tenha pacotes esperando na fila.

• CSMA – O usuário monitora o canal para ver se tem alguém se

comunicando, caso o canal esteja livre o pacote é transmitido.

DBD



• Múltiplo acesso por reserva de pacote (PRMA) – é a combinação de

ALOHA e TDMA, que permite usuários reservar blocos para

transmissões sem perigo de colisão.

Para pequenas cargas de tráfego, essas técnicas de acesso funcionam bem

com pacotes de dados. Com o aumento de carga o sistema pode entrar em colapso.

2.4. Paradigmas de sistemas de comunicação

Os sistemas atuais de comunicação “wireless” terrestres, assim como

aqueles previstos para um futuro próximo, podem ser classificados em três

paradigmas básicos. Essencialmente, eles são diferenciados pela mobilidade, e

pela existência ou não de infra-estrutura fixa.

Sistemas AD HOC ou MANET (Mobile Ad Hoc Networtks) se

caracterizam por não terem infra-estrutura fixa (rápida instalação), serem móveis,

e em alguns casos por permitirem comunicações de rádio em vários passos,

utilizando as unidades móveis (UM) intermediárias como retransmissores das

mensagens. Estes sistemas podem se conectar ou não a serviços fixos, e não

possuem uma “inteligência” central para o controle do fluxo de pacotes. Como

exemplo pode-se citar “wireless lan” (IEEE 802.11), Bluetooth, Hiperlan, e

outros. As aplicações mais prováveis são para cobertura de áreas pequenas, dentro

de construções como plantas industriais, residências, escritórios.

DBD



Figura 2-2Topologia de Rede AD HOC

Sistemas Móveis Celulares apresentam uma infra-estrutura fixa, onde uma

unidade móvel acessa uma estação rádio base, sempre por um enlace de rádio em

um único passo. Esta estação base faz a conexão das unidades móveis, com a rede

de comunicação fixa (tanto pode ser a “PSTN” no caso de voz, como a Internet no

caso de dados). Estes sistemas exigem a coordenação por um agente operador,

para o controle de potência, alocação de canais, controle de acesso. São exemplos

as redes de telefonia celular, os sistemas “wireless lan” que têm um modo de

comunicação com utilização de “Access Point”. As aplicações mais comuns

envolvem áreas grandes, subdivididas em várias células.

DBD



Figura 2-3 Topologia de Rede Celular

Sistemas Ponto-Multiponto são híbridos de sistemas celulares com AD

HOC. A principal característica é que os usuários são fixos, normalmente uma

antena de maior diretividade é colocada no topo de uma construção, servindo

comunicação de alta taxa. Estes sistemas se constituem por células, mas é possível

que para a comunicação entre uma estação central e terminal sejam usados vários

passos intermediários, com outros terminais servindo de roteadores. Como

exemplo tem-se o LMDS e a nova especificação da IEEE 802.16.

DBD



Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Comm. Tower

Figura 2-4 Topologia de rede LMDS

Em um alto nível de abstração, todos estes sistemas podem ser modelados

da mesma maneira, considerando a rede uma coleção de enlaces de rádio

interferentes utilizando o mesmo canal. Na prática, existe mais de um canal

ortogonal (não interferente), nos quais as demandas de comunicação podem ser

acomodadas. Dentro deste conceito abstrato, a rede telefônica celular, e todos os

outros modelos citados anteriormente, são casos especiais de uma rede ad hoc

genérica, apenas com parâmetros e limitações específicos.

A definição de rede Ad Hoc é bastante ampla, descrevendo qualquer rede

em que a instalação é sem coordenação. Ou seja um nó da rede pode ser criado, ou

extinto, a qualquer momento e em qualquer lugar, apenas colocando um

equipamento de rede e ligando. O termo Ad Hoc acaba sendo usado para vários

tipos distintos de rede.

DBD



2.5. Trabalhos anteriores

Um dos primeiros trabalhos em controle de potência para combater a

interferência cocanal foi realizado por Bock e Ebstein [24] em 1964, foi mostrado

que era possível formular o problema de alocação de potência como um problema

de programação linear. Aein [3] investigou o uso de controle de potência para

mitigar a interferência cocanal em sistemas de satélite com e sem ruído. Foi

provado que o problema de balancear a “SIR” em sistemas sem ruído, ou seja

obter a mesma qualidade em todos os enlaces, pode ser reduzido a um problema

de autovalores de matrizes não negativas. A existência e unicidade de uma

solução possível associada a matriz de ganhos foi obtida como conseqüência do

teorema de Perron-Frobenius. Nettleton e Alavi [5,78] estenderam o conceito de

balanceamento de SIR para sistemas de banda larga sem ruído de fundo.

Melhorias de capacidade foram observadas em simulações feitas por Nagatsu

[76]. Estes conceitos foram aprimorados quando Zander os aplicou para sistemas

de banda estreita [114]. Isto permitiu a derivação da alocação ótima de potência

que minimiza a probabilidade de indisponibilidade, em termos da máxima SIR

que os enlaces podem simultaneamente alcançar. Se for possível admitir a

reciprocidade nos ganhos de enlace, deduz-se que a SIR máxima alcançável é a

mesma nos enlaces de subida e descida [5,117]. Grandhi mostrou que para

sistemas sem ruído, existe apenas uma única SIR balanceada, e um único

autovetor de potência positiva, que leva a máxima SIR alcançável [38]. Wu

investigou o balanceamento para requisitos de SIR diferentes [105].

Diferentemente do caso ruidoso, estes requisitos não podem ser escolhidos

individualmente, mas são dependentes do mínimo valor requerido. Zander [116]

estendeu para o caso de existir ruído de fundo, e mostrou que pode ser alcançada a

mesma SIR se não houver limite de potência. Grandhi [40] introduziu o limite

máximo de potência de transmissão que no caso com ruído, existe sempre pelo

menos um usuário usando potência máxima.

O foco dos trabalhos também abordava o desenvolvimento de algoritmos

práticos para a resolução dos problemas mencionados acima, sem ter que recorrer

ao excessivo esforço de coletar as informações necessárias para um controle

DBD



centralizado. Com respeito a isso, alguns esquemas simples e distribuídos

chamaram a atenção. Meyerhoff [73] sugeriu um procedimento interativo para

achar o vetor de potência. Além do mais foi mostrado que equalizar SIR é

equivalente a maximizar o mínimo da SIR. Zander [115] desenvolveu um

algoritmo de balanceamento distribuído que apenas requer medidas locais de

interferência. Simulações realizadas por Grandhi 39] indicam uma rápida

convergência de algoritmos distribuídos de controle de potência.

O problema de controle de potência foi estendido para incluir requisitos de

SINR mínima por Foschini e Miljanic [33]. Foi mostrado que um algoritmo

distribuído de alocação de potências converge para valores pré-determinados.

Uma versão assíncrona do algoritmo citado acima, desenvolvida por Mitra [74],

onde os usuários atualizam suas potências de maneira não coordenada e com

medidas desatualizadas, converge para valores fixos que suportam os requisitos de

SINR em enlaces com ganhos estacionários.

Aplicando métodos interativos de álgebra linear, um algoritmo geral de

controle de potência foi sugerido por Janti e Kim [49]. A idéia de incluir mais

informações sobre o ganho de enlace permitiu a melhora da taxa de convergência.

Vários outros algoritmos foram deduzidos a partir deste trabalho. Kim também

considerou a alocação do canal de descida do CDMA em [58].

Os trabalhos acima consideram um domínio de potência contínuo, mas em

geral os sistemas reais trabalham com níveis discretos no controle de potência.

Andersin [10] investigou o algoritmo DCPC em domínio discreto e obteve uma

convergência que em alguns casos oscilava. Herdtner e Chong [45] analisaram o

caso de um algoritmo de subida ou descida em passos de uma unidade,

caracterizando sua convergência. Controle de potência com passos de tamanho

variáveis foi investigado por Lee [66].

Uma outra direção em controle de potência, particularmente em CDMA, são

esquemas que oferecem potência recebida constante na estação rádio base [103].

Pode ser mostrado não geram um impacto significante na interferência cocanal

[34,97].

DBD



Em sistemas congestionados, é possível tentar reduzir a probabilidade

ocorrer uma situação de controle de potência inviável reduzindo os objetivos de

SINR, como proposto por Almgren [6] e Yates [109]. Outra opção é retirar

usuários do canal saturado como proposto por Zander [114]. Quando novos

usuários tentam entrar no sistema, é necessário utilizar o controle de admissão

para evitar novos congestionamentos. Bambos [14] sugeriu o conceito de proteção

do enlace ativo.

A maioria dos trabalhos considera modelos invariantes no tempo, o que

pode ser interpretado como se as ações relativas ao controle de potência fossem

executadas muito mais rapidamente que as alterações das condições de

propagação e tráfego. Porém Andersin e Rosberg [7]verificaram que esse

procedimento subestimava a probabilidade de indisponibilidade, e

conseqüentemente seriam necessárias margens substancialmente maiores para

obter os requisitos de SINR. Rosberg [87]também estendeu o estudo para incluir

desvanecimento rápido de distribuição Rayleigh. Margens adaptativas de SIR

foram estudadas por Rosberg utilizando como parâmetro a duração de

indisponibilidade. Um método distribuído que levava em conta a taxa média de

cruzamentos de níveis foi sugerido. O trabalho de Mitra e Morrison [75] leva em

conta a variância e a média da interferência devido a aleatoriedade das

transmissões, mas pode também levar em conta as variações do ganho de enlace.

Um método de controle de potência baseado em medidas de taxa de erro foi

sugerido por Kumar [63]. A perfeita estimativa de SINR, potência recebida ou

taxa de erro pode ser de difícil obtenção, assim Ulukus [99] considerou a

utilização de medidas estocásticas, e estudou sua convergência.

O trabalho apresentado nesta tese segue uma abordagem diferente de outros

estudos. Em primeiro lugar está se considerando um controle central de alocação

de potência, com informações de todos os enlaces atualizadas constantemente. A

dificuldade de se obter estas informações (no mínimo acarretaria uma intensa

troca de informações entre as unidades), fez com que muitas técnicas

desenvolvidas fossem de controle distribuído. Porém a maior novidade neste

trabalho, é apresentar uma nova maneira de se verificar a viabilidade de enlaces

DBD



ocuparem o mesmo canal através da utilização de cálculo de determinantes para a

matriz de ganho. São apresentados alguns algoritmos heurísticos, como é muito

comum na literatura, mas a ênfase é na formulação de uma solução exata e mais

rápida do método corrente na literatura. As referências estudadas nunca se

preocuparam com o problema matemático de determinar a viabilidade das

soluções de potência, ficando satisfeitos em quando necessário calcular raios

espectrais de matrizes.

DBD


3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência

Neste trabalho assume-se que a rede de comunicações é composta por uma

coleção de enlaces constituídos por um par de unidades-rádio individualmente

denominadas de transmissor e receptor, que operam em uma dentre diversas

faixas de freqüências denominadas de canais. Na realidade é possível pensar que

o enlace utiliza um recurso de comunicação que não necessariamente é uma faixa

de freqüências. Pode ser uma janela de tempo, um comprimento de onda (no caso

de redes ópticas) ou uma outra grandeza qualquer. Assim o termo canal será aqui

indistintamente aplicado a qualquer uma destas situações. O termo canal ortogonal

descreve a situação em que não ocorre interferência entre canais distintos.

Enlaces que ocupam o mesmo canal apresentam o fenômeno indesejável

de interferência mútua (co-canal) e este é o único caso considerado neste trabalho.

No caso específico de freqüências, enlaces em canais adjacentes podem se

interferir devido à resposta dos filtros de entrada empregados. Entretanto este tipo

particular de interferência não será aqui abordado.

Enlaces bidirecionais podem ser desmembrados em dois enlaces

unidirecionais onde o transmissor de um é o receptor do outro e vice-versa. Do

mesmo modo a comunicação entre duas unidades rádio que seja transmitida em

vários passos pode ser desmembrada por seus múltiplos enlaces entre cada nó que

compõe a rota de comunicação. Assim o esquema de descrição de cenário como

definido acima é extremamente geral.

Assume-se que o sistema de comunicações é composto por uma coleção L

de enlaces indexados pelos inteiros de 1 a L como abaixo:

1,2,3,...., L=L (3.1)

DBD


Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 35

De forma semelhante o conjunto de canais passíveis de utilização por estes

enlaces formam uma coleção finita como descrita abaixo:

1,2,3,..., C= (3.2)

Considere o conjunto Lc de enlaces operando no canal c. A família de

conjuntos Lc , c ∈ constitui uma partição de L e especifica a distribuição dos

enlaces nos vários canais.

Estas alocações de canais são realizadas por algum tipo de algoritmo de

alocação de recursos (AAR), e fundamentalmente são limitadas pelo nível de

interferência que um enlace em um canal exerce em outro enlace que use o

mesmo canal. Assim o AAR deverá evitar que na admissão de um novo usuário (e

conseqüentemente a formação de um enlace) ao sistema, este enlace cause uma

interferência excessiva nos outros que ocupam o mesmo canal. Para isso os níveis

de interferência em todos os enlaces existentes serão determinados e assim se

pretende propor esquemas de partição dos enlaces de modo a atender critérios de

qualidade.

Define-se Pl como a potência transmitida no enlace l ∈ L e define-se como

Glk > 0 o ganho de potência entre o transmissor do enlace k e o receptor do enlace

l. Conseqüentemente o produto Glk.Pk reflete a potência de interferência no enlace

l induzida pelo enlace k (≠ l), enquanto a potência de sinal desejado no receptor do

enlace l é dada por Gll.Pl. Como anteriormente mencionado, assume-se que os

canais são perfeitamente ortogonais e por conseqüência a interferência de canal

adjacente é nula.

Cada ganho de potência Glk depende principalmente de fatores como a

topologia o posicionamento dos enlaces l e k entre si, e dos vários espalhadores

existentes no ambiente de comunicações. Este ganho de potência flutua

estocasticamente no tempo e é susceptível a efeitos típicos de propagação tais

DBD



como desvanecimento e sombreamento. A inclusão de um tratamento estocástico

introduz um elevado nível de complexidade, porém não é significante para a

abordagem aqui desenvolvida. Este problema é tratado por vários autores como

Kandukuri e Boyd [55] que estudaram as variações estatísticas em um canal

sujeito a desvanecimento Rayleigh. Assim utiliza-se neste trabalho um tratamento

determinístico onde esta grandeza estocástica é substituída pelo seu valor médio,

retirando assim as flutuações aleatórias ao longo da escala de tempo. Este nível

médio é o valor que será usado para definir a “SINR” que o móvel está

experimentando, que juntando com a informação de modulação (e das

características particulares de cada equipamento) e da taxa de transmissão

desejada, se obtêm uma probabilidade de erro. As flutuações estocásticas apenas

alterariam o valor da probabilidade de erro, e a grosso modo bastaria aumentar a

margem do enlace para corrigir os efeitos desta variação (uma abordagem mais

aprofundada permite resultados que não impliquem um excesso de margem

adicional).

O fenômeno de interferência entre enlaces pode ser caracterizado por meio

de uma matriz quadrada G cujo elemento de coordenadas l,k é o ganho Glk

previamente definido.

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .. . . . .. . . . .

. .

L

L

L L LL

G G GG G G

G

G G G

=

(3.3)

Tecnicamente não só os valores dos elementos da matriz são variantes no

tempo, mas a sua dimensão também é dinâmica na medida em que enlaces são

incorporados ou removidos ao sistema.

Será aqui entendido como parâmetro fundamental a que se pretende

controlar, a SINR experimentada pelo enlace. Como existe uma relação entre a

SINR, a taxa de transmissão de dados, e a probabilidade de erro, valores de

interesse para esta taxa de transmissão e erro mínimo podem ser impostos pela

DBD



exigência da SINR não ser inferior a um limiar γ. Alguns pares de taxa e

probabilidade de erro foram expostos na tabela 2. Formalmente a seguinte

inequação precisa ser atendida para cada um dos enlaces que compõem o sistema:

..ii i

i iij j i

j i

G PRG P

γη

≠

= ≥+∑

(3.4)

onde Ri é a SINR observada no enlace i, i ∈ 1,2,3,....,L. Pi é a potência

transmitida no enlace i, enquanto ηi > 0 é a potência média de ruído térmico no

receptor do enlace i. A SINR descrita na expressão (3.4) pode ser reescrita como:

ii

ij ij

j i ii ii

PR GP

G Gη

≠

=+∑

(3.5)

onde o denominador da equação (3.5) pode ser visto como a interferência

normalizada no receptor do enlace i.

A desigualdade (3.4), quando vista em conjunto para todos os enlaces, pode

ser reescrita numa forma vetorial:

( )− ≥I H P u (3.6)

onde P = (P1, P2, P3, ..., PL) é o vetor coluna das potências transmitidas onde cada

elemento é positivo,

3 31 1 2 2

11 22 33

( , , ,..., ,..., )i i L L

ii LLG G G G Gγ η γ ηγ η γ η γ η

=u (3.7)

é o vetor coluna não negativo que caracteriza as potências normalizadas de ruído,

e H é uma matriz quadrada de dimensão L e diagonal nula cujos elementos são

definidos por:

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1i ijij i j

ii

GH

Gγ

≠= (3.8)

A matriz H tem todos os seus elementos não negativos e assume-se que

ela não possui linha e coluna de mesmo índice com elementos nulos. Caso

contrário, o enlace em questão poderia ser removido uma vez que ele não interfere

em nenhum outro enlace e nem é interferido por nenhum outro.

Existem vários tipos de problemas de interesse que poderiam ser

formulados a partir da discussão acima. Vejamos alguns deles:

1. Sob que condições, em relação à matriz H, a inequação definida em (3.6)

admite soluções não negativas para o vetor P ? Observe que se não existir

solução positiva para este sistema, significa dizer que os enlaces

envolvidos não podem compartilhar de um mesmo canal. Isto não significa

dizer que caso haja solução positiva, exista uma que atenda a limitações de

potência como será analisado abaixo.

2. Ainda em relação a inequação (3.6), se o vetor P sofrer restrições de

valores (normalmente potência máxima e mínima), ou seja se ele tiver que

pertencer a uma região bem definida do RL, como descobrir se isso é

possível. Em outras palavras, como resolver o problema anterior agora

com a exigência do vetor P pertencer a subconjunto abaixo definido:

min max tais que p/todo Li i ix x x x iΩ = ∈ ≤ ≤ ∈L

3. Dado um conjunto de enlaces L, como particioná-lo de modo a que cada

elemento da partição seja viável no sentido do problema 1 acima definido.

Este problema será a base para outros que se seguirão. Um a solução para

este problema que seja computacionalmente eficiente poderá permitir que

outros problemas mais complexos possam ter solução factível sob o ponto

de vista prático.

DBD



4. É possível achar uma partição viável no sentido de 3. que tenha o menor

número de elementos ? A solução deste problema é conhecida como

alocação ótima de canais, pois revela o número mínimo necessário de

canais que atendam um conjunto de enlaces com requisitos de qualidade.

Embora a solução deste problema não seja de elevado valor prático, ela é

uma excelente referência quando se deseja avaliar estratégias sub-ótimas

ou heurísticas. A distância destas soluções à solução ótima é um bom

indicador da qualidade dos procedimentos sub-ótimos.

5. É possível achar uma partição viável no sentido de 3. que caracterize uma

situação de mínima potência ? A solução para este problema é conhecida

com a de mínima potência máxima, pois ela descreve a situação onde a

potência no enlace de maior consumo é minimizada. Isto significa dizer

que qualquer outra solução viável no sentido do problema 3, terá algum

enlace que consuma mais potência do que a obtida neste problema.

6. É possível achar algoritmos sub-ótimos, mas de esforço computacional

reduzido que resolvam os problemas acima? Os problemas anteriores

possuem uma característica comum de apresentar um grau elevado de

esforço computacional. Assim o relaxamento de algumas condições

associadas ao problema pode produzir uma grande redução neste esforço

computacional.

7. Levando em conta que problemas de otimização correm o risco de gerar

soluções ótimas locais, como usar novos paradigmas para tentar buscar

soluções ótimas globais? Métodos convencionais de otimização, assim

como métodos de natureza gulosa (buscam sempre o ganho máximo a cada

instante, o que pode não levar ao máximo ou mínimo global), são métodos

que produzem soluções ótimas ou sub-ótimas locais até porque grande

parte das funções objetivo destes problemas são multimodais. Surge então

espaço para que sejam investigadas algumas heurísticas baseadas em

técnicas evolucionais que tentam produzir soluções que escapem dos

poços de atração de mínimos locais.

Esta é a coleção de problemas que serão detalhados em capítulos

subseqüentes e que compõem os estudos realizados durante a execução da

DBD



presente tese. Pretende-se apresentar uma solução para cada um destes problemas

sendo que algumas destas, até onde a pesquisa do autor pôde ser feita, contém

elementos de inovação e são vantajosas sobre o aspecto de eficiência

computacional.

DBD


4 Métodos de Solução dos Problemas Apresentados

Os sete problemas delineados na seção anterior serão individualmente

discutidos de forma matematicamente rigorosa, sendo ressaltados os aspectos

consagrados na literatura e os aspectos inovadores frutos da pesquisa aqui

realizada.

Para fins de formalização, define-se o conceito de enlace.

Definição 1

Um enlace é uma conexão ponto a ponto entre duas unidades de rádio

caracterizado por um elemento transmissor (Tx) e um elemento receptor (Rx).

Seja L uma coleção de L enlaces. Se estes utilizam o mesmo recurso de

comunicação (canal, unidade de tempo, código, etc.) ocorre uma interferência

mútua entre as unidades de rádio.

Formalmente a qualidade de serviço básica ao longo de todos os problemas

aqui discutidos consiste em garantir que a SINR experimentada pelo enlace i deve

obedecer a:

1

.

.

ii ii iL

i ij jij i

G PSINRn G P

γ

=≠

= ≥+∑

(4.1)

onde:

• Gij é o “ganho de enlace” (número adimensional no intervalo [0,1])

entre o transmissor do enlace j e o receptor do enlace i.

• Pi é a potência do transmissor do enlace i.

DBD


Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 42

• ni é a potência média de ruído térmico percebido pelo receptor do

enlace i.

• γi é a SINR mínima a ser atendida pelo receptor do enlace i.

Conforme foi discutido na seção anterior, a desigualdade acima quando

estendida para todos os enlaces pode ser vista na forma matricial:

( ).P η− ≥I H (4.2)

Onde:

• I-H é uma matriz quadrada de diagonal nula e elementos não-

negativos e limitados em 1 fora da diagonal.

• η é um vetor não-negativo.

• P é o vetor de potências dos transmissores dos enlaces, que por

razões físicas, tem que ser positivo.

Para fins de simplicidade será assumido que a matriz (I-H) é não-singular, o

que não causa uma perda de generalidade. Se esta matriz for singular, é possível

perturbar H de maneira arbitrariamente pequena de forma a eliminar a condição

de singularidade. Isto se faz alterando minimamente qualquer um dos elementos

da matriz, o que já elimina a singularidade.

4.1. O Problema da Viabilidade de Compartilhamento de Canais

O problema a ser discutido nesta sub-seção consiste em determinar as

condições que a matriz H deve satisfazer de modo que o conjunto Ω definido

DBD



como o conjunto dos pontos P pertencentes a RL que satisfaz (4.2) tenha

interseção com R+L.

Antes de responder esta pergunta, se faz necessário apresentar algumas

propriedades do conjunto Ω acima definido.

• É um conjunto convexo ilimitado (cone) com um único ponto extremo

dado por:

* (1 )P η−= − 1H (4.3)

• Este ponto extremo P* tem todas as suas componentes não-negativas ou

não-positivas.

• Se este ponto extremo for não-positivo (não-negativo) então Ω é formado

apenas de pontos não-positivos (não-negativos). Além disso, nenhum ponto de Ω

tem em módulo coordenadas de menor potência do que este ponto extremo.

Estas propriedades podem ser visualizadas no exemplo abaixo, onde se

particulariza o caso de dimensão L igual a 2.

Figura 4-1 – Região de solução f-viável

Em uma abordagem formal, definem-se as soluções que interessam da

forma:

P1

P2

Ω

P*

DBD



Definição 2:

Um conjunto de enlaces é dito fundamentalmente viável (f-viável) quando o

ponto extremo associado à matriz H correspondente atende à seguinte relação:

* (1 ) 0P η−= − ≥1H (4.4)

Um resultado existente na literatura e bastante conhecido, diz respeito à

condição necessária e suficiente para um enlace seja f-viável. Este resultado é

descrito pelo seguinte teorema cuja demonstração pode ser encontrada em [71]:

Teorema 1:

Um conjunto de enlaces é f-viável quando o raio espectral (definido como o

maior autovalor de uma matriz) da matriz H for inferior a 1.

O cálculo do raio espectral de uma matriz pode ser feito por algoritmos de

complexidade da ordem de n3, onde n é a dimensão da matriz H. Esta

complexidade é elevada o suficiente de modo a tornar inviável o problema da

determinação de todos os subconjuntos f-viáveis. Estes formados por todas as sub-

matrizes (matriz em que uma ou mais colunas e linhas são retiradas) possíveis de

H.

O cálculo do raio espectral de uma matriz implica a obtenção de todos os

seus autovalores, mas existem algumas técnicas que podem determinar se seu raio

espectral é inferior a 1 ou não com esforço reduzido. Por exemplo, podemos obter

um limitante superior para seu valor que é simplesmente a norma da matriz:

( )A Aρ ≤ (4.5)

DBD



Este limitante é fácil de se calcular, mas é uma medida de pouca utilidade,

só interessando quando a norma for menor que 1. Caso contrário não acrescenta

informação nenhuma, pois nada garante que caso uma matriz tenha norma

próxima de 1, esta tenha mais probabilidade de ser f-viável do que uma matriz de

norma com valor elevado. Uma opção alternativa com resultados mais confiáveis

consiste na estimativa do raio espectral usando o conjunto de círculos de

Gerschgorin [71] como descrito abaixo:

Os autovalores de uma matriz A ∈ Cnxn estão contidos na união Gr dos n

círculos de Gerschgorin definidos por:

1

, 1, 2,...,n

ii i i ijjj i

z a r onde r a para i n=≠

− ≤ = =∑ (4.6)

Em outras palavras, os autovalores estão dentro de uma coleção de círculos

centrados em aii (que no caso presente são todos nulos, pois H tem diagonal nula)

com o raio dado pela soma dos valores absolutos em Ai* com aii retirado. De uma

maneira mais simples, o raio de cada círculo é a soma de todos os elementos de

uma coluna sem o elemento da diagonal principal (é possível provar que o mesmo

vale para a soma de todos os elementos das linhas), e o centro está localizado no

valor do elemento da diagonal principal. Além do mais, se a união U de k círculos

de Gerschgorin não se encontra com qualquer dos outros n-k círculos, então

existem exatamente k autovalores nos círculos em U. Esta propriedade, embora

interessante, não é útil na situação presente uma vez que todos os discos de

Gerschgorin têm o mesmo centro localizado na origem.

A aplicação destes resultados ao caso particular da matriz H aqui em estudo

revela que se a desigualdade abaixo for atendida, o seu raio espectral encontra-se

dentro do disco unitário. Entretanto nada se pode dizer quando esta condição não

é atendida. Note ainda que o esforço computacional associado a esta expressão é

tão baixo (máximo de n somas de n-1 parcelas), que mesmo no caso do resultado

DBD



não ser útil, o tempo consumido em seu cálculo é desprezível em relação aos

métodos exatos que se seguem, valendo a pena como uma tentativa.

1,2,..., 1max 1

n

iji n jH

= =

<∑ (4.7)

A combinação dos dois métodos acima permite a obtenção razoavelmente

rápida de uma estimativa do raio espectral de uma matriz. Entretanto nas situações

onde esta estimativa for inútil, ou seja os valores obtidos forem maiores que os

limitantes, tem-se que reportar ao cálculo efetivo do raio espectral.

O trabalho de pesquisa desenvolvido durante a elaboração desta tese

permitiu determinar uma condição equivalente de f-viabilidade ainda não

reportada na literatura que envolve apenas o cálculo de determinantes. Esta

condição pode ser resumida no teorema 2 cuja demonstração é apresentada na

sub-seção seguinte.

Teorema 2:

Um conjunto de enlaces é f-viável quando qualquer sub-matriz quadrada de

(I-H), cujos índices de linha e coluna são idênticos, tem determinante não-

negativo.

Se o interesse for em determinar unicamente a f-viabilidade de um particular

conjunto de L enlaces, certamente a verificação pelo Teorema 1 requer um esforço

computacional menor do que aquele produzido pelo Teorema 2. Embora o esforço

computacional do cálculo do determinante seja da ordem de n2, em relação a este

último teorema serão necessários o cálculo de 1LC determinantes de dimensão 1,

2LC determinantes de dimensão 2, e assim em diante até L

LC determinantes de

dimensão L, onde NLC é combinação de L elementos formando grupos de N

DBD



elementos ( análise combinatória). E este esforço se verificou superior ao do

cálculo do raio espectral.

Entretanto, será visto a seguir, que se o problema for determinar todos os

subconjuntos f-viáveis de um conjunto predefinido, o Teorema 2 será

extremamente conveniente.

4.1.1. Demonstração do Teorema 2

Para provar o teorema é preciso determinar quais condições são necessárias

para forçar um ponto extremo único a ser positivo. Esta prova será feita por

indução. Para começar será mostrado que é verdade para K=2.

1

* . .1. . .. .. .

a c u b u c vx b

d b v d u a va b c d

−− − +

= = = − +− 1A (4.8)

Conclui-se que 0x > só e somente se:

det( ) . . 0a b c d= − >A (4.9)

Agora será mostrado que se a propriedade mencionada anteriormente é

válida para todo k ≤ Μ <N, então é válido para k = M + 1. Para mostrar isso, seja

B um elemento genérico de ZM+1(A), então

1 .( )( 1) .

det( )jii j

ij

M− + = − B

BB

(4.10)

Quando a linha j e a coluna i de B são eliminadas, se i > j então a linha i – 1

e a coluna j não contêm elementos negativos. Do mesmo modo se i < j então a

linha i e a coluna j – 1 não contêm elementos negativos. Assim algumas trocas

DBD



apropriadas de linhas e colunas podem transformar esses menores em matrizes

com as propriedades desejadas. Define-se:

• Ti(B) a matriz idêntica a B com trocas cíclicas das suas primeiras i

linhas.

• Tj(B) a matriz idêntica a B com trocas cíclicas das suas primeiras j

colunas.

• Tij (B) = Ti [ Tj (B) ].

Então pode facilmente ser mostrado que:

1

1

det( ( ))1 . det( ( ) )

det( )det( ( ) )

ii

ji jiij

ji ji

M se i j

T M sei j

T M sei j

−−

−

= = − >

− <

1

B

B BB

B

(4.11)

Se i = j então Mii(B) pertence a ZM (A) cujo sinal é conhecido. Quando i ≠ j, a matriz que aparece no numerador é um elemento de 1

MF . Chamando esta matriz por C e expandindo seu determinante com respeito a sua primeira coluna, obtêm-se:

11

1 11

det( ) ( 1) . .det( ( ))M

ii i

ic M

−+

=

= −∑C C (4.12)

Novamente, levando em consideração que quando a linha i > 1 e coluna 1

são eliminados de C, a coluna (i-1) da matriz resultante não possui elementos

negativos. Assim (i-2) trocas convenientes de coluna transformam esta matriz em

uma de 1MF . Deste modo a expressão acima pode ser reescrita como:

1

111 11 1 1

2det( ) .det( ( )) .det( [ ( )]

Mi

i ii

c M c T M−

−

=

= −∑C C C (4.13)

DBD



Onde todos os coeficientes são não negativos. Se for definido Di = Ti-1

[Mi1(C)], e se for expandido os determinantes dessas matrizes em volta de sua

primeira coluna, e se for feita uma troca apropriada de colunas, chega-se a:

1

11 11 1 11 112

det( ) .det( ( )) .[[ ] .det[ ( )] ]M

i i ii

c M c D M D−

=

= − −Λ∑C C (4.14)

Onde:

1

11 1

3[ ] .det[ [ ( )]]

Mj

i j j ij

D T M D−

−

=

Λ = ∑ (4.15)

Se o procedimento acima for repetido até o ponto que se encontre matrizes

de dimensão 2, têm-se a expressão seguinte:

1

12 2

11 1

3 3

2 3

det( ) .det( )

det( )

det( ) ......

M

i ii

M M

ij iji j

λ

λ

λ

−

=

− −

= =

= +

− +

+ −

∑

∑∑

1C W

W

W

(4.16)

Onde Wi.. ∈ ZM-i(A) e conseqüentemente eles apresentam sinais alternados.

Conseqüentemente –det(C) possui o mesmo sinal de qualquer elemento de ZM(A).

Assim todos os elementos de B-1 têm o sinal governado pelo det(B) e para gerar

um ponto extremo positivo, det(B) precisa ter sinal oposto a qualquer elemento de

ZM(A), provando assim o teorema.

DBD



4.2. O Problema da Determinação dos Subconjuntos f-viáveis

Primeiro vão ser determinados todos os subconjuntos f-viáveis de um

conjunto L de L enlaces. Este procedimento consome um razoável tempo de

processamento (é bom lembrar que está se procurando um método mais rápido

que o cálculo do raio espectral), mas a determinação destes subconjuntos será de

extrema importância nos problemas que se seguirão, e nos algoritmos que serão

apresentados.

Duas observações que se podem concluir sobre a estrutura de subconjuntos

f-viáveis são:

− Se A é um subconjunto f-viável, qualquer subconjunto de A também é f-

viável.

− Se A não é um subconjunto f-viável, qualquer subconjunto que contenha A

também não é f-viável.

Assim um procedimento intuitivo mas eficiente, baseado nas observações

acima, para a determinação de subconjuntos f-viáveis consiste em inicialmente

descobrir quais os pares de enlaces f-viáveis. De posse desta lista, determina-se as

trincas de enlaces f-viáveis, não verificando todas as trincas possíveis, mas

tentando acrescentar um enlace somente às duplas f-viáveis. Intuitivamente este

procedimento é o mais eficiente possível, pois só as duplas que possuem real

chance de se tornarem trincas f-viáveis são investigadas. Após a geração de todas

as trincas f-viáveis, este procedimento pode ser repetido para a geração das

quádruplas f-viáveis e assim por diante.

Este procedimento pode ser formalizado por meio do seguinte algoritmo

Algoritmo de f-viabilidade

Seja kN

kkk k

wwwL ,....,, 21= o conjunto de todos os subconjuntos f-viáveis de

dimensão k de NL ,...,2,1= e denotemos por kiw como o vetor k

ikki

ki www ,....,, 21

onde kik

ki

ki www <<< ....21 .

DBD



- Seja φ=+1kL

- para i = 1 a Nk

o para j = kikw +1 a N

faça compt = TRUE

para n = 1 a k

• se jww kin

ki +− ∉ kL então

o compt = FALSE

o break

• end

end

o end

o if comp = TRUE e FEASIBLE( jwki + ) = TRUE

então INSERT ( jwki + ) em 1+kL

- end

Repare que no algoritmo acima o procedimento FEASIBLE pode ser

implementado tanto por cálculo de raio espectral como por meio de

determinantes, sendo que agora o último tem vantagens sobre o primeiro em

termos de esforço computacional.

Além desta vantagem existe uma outra que reduz mais ainda o esforço

computacional e que será a seguir discutida.

Considere que um certo subconjunto de enlaces Sn de dimensão n seja

considerado f-viável. Em algum momento na determinação dos subconjuntos f-

viáveis de dimensão n+1, terá que se acrescentar a Sn um dos (L-n) enlaces

pertencentes ao complemento de Sn, gerando um subconjunto Sn+1 e verificar a sua

f-viabilidade. A solução imediata para este problema consiste em obter o

determinante da matriz Hn+1 associada ao subconjunto Sn+1 e verificar o seu sinal.

DBD



Será mostrado aqui um algoritmo iterativo que a partir de determinantes de

ordem inferior, pode-se calcular os de ordem superior com uma notável economia

de esforço computacional. Na medida em que Sn e Sn+1 diferem apenas em um

único elemento, a matriz Hn+1 é formada pela matriz Hn onde se acrescenta uma

linha e uma coluna como abaixo:

1nn

n Tn n

H aH

b c+

=

(4.17)

Denominando de n∆ o determinante de Hn , sabe-se que pela identidade do

determinante de Jacobi, a seguinte equação é verdadeira:

( )11 . . .T

n nn n n nc b H a−+∆ = ∆ − (4.18)

Assim como Sn é f-viável (o que implica em 0n∆ > ) , para que Sn+1 seja f-

viável é necessário e suficiente que 1. .Tn nn nc b H a−> , este cálculo têm esforço

computacional baixo se a matriz inversa de Hn for conhecida.

Um subproduto importante deste resultado é que a verificação de todos os

casos de subconjuntos Sn+1 a partir do mesmo subconjunto Sn requer apenas uma

única inversão de matriz, o que reduz o esforço computacional de todo o processo.

Resta ainda o problema do cálculo da matriz inversa de Hn. A idéia aqui é

mostrar que este cálculo pode ser feito de forma iterativa com baixo esforço

computacional. Para tal vamos assumir que Ln e Un são as matrizes da

decomposição LU (decomposição em duas matrizes, uma só com elementos

abaixo da diagonal principal, e a outro só com elementos acima desta) da matriz

Hn e que esta decomposição é conhecida. Logo o cálculo da matriz inversa de Hn

pode ser trivialmente feito lembrando que:

1 1 1. .n n n n n nH L U H U L− − −= ⇔ = (4.19)

DBD



Aparentemente não há vantagens aqui porque se assumiu que a

decomposição LU é conhecida e que também são conhecidas às inversas das

matrizes que constituem esta decomposição.

Entretanto as vantagens surgem quando se tenta repetir este processo para os

subconjuntos de dimensão n+2. Neste caso precisa-se conhecer a decomposição

LU de Hn+1 assim com as inversas das matrizes que constituem esta

decomposição.

Um resultado publicado permite afirmar que:

1

1 1 11 1

0 .. .

. 1 0 . .nn n nn n

n n nT T T Tn nn n n nn n

H a L U L aH L U

b c b U c b H a

−

+ + +− −

= = =

− (4.20)

Revelando que esta decomposição LU pode ser facilmente calculada a partir das

matrizes Ln e Un e suas inversas. Note que neste estágio, todas estas matrizes são

supostas conhecidas. Entretanto resta ainda a necessidade de determinar as

inversas de Ln+1 e Un+1, caso contrário a iteratividade mencionada não é alcançada.

Através de procedimentos algébricos bastante simples pode-se mostrar que estas

inversas são expressas por:

1 1 1

11 1 1 1 1

0 0 0. 1 . . 1 . 1

n n nn T T T

n n n nn n n

L L LL

b U b U L b H

− − −−+ − − − −

= = =

− − (4.21)

11 1 1 1

11 1 1

. . /( . . ).

0 . . 0 1/( . . )

Tn n nn n n n n n n

n T T T Tn n n nn n n n

U L a U H a c b H aU

c b H a c b H a

−− − − −−+ − −

− −= =

− − (4.22)

onde todos os termos existentes são conhecidos.

Expressaremos o esforço computacional pela 4-upla [q+,q-,q*,q/] que

define respectivamente o número de adições, subtrações, multiplicações e divisões

DBD



envolvidas na operação em questão. Estamos assumindo que conhecemos as

matrizes Un , Ln e suas inversas e queremos determinar Un+1 , Ln+1 e suas inversas.

A tabela abaixo apresenta os valores destas grandezas para os cálculos indicados

na primeira coluna.

Cálculo de e+ e- e* e/

1.Tn nb U − e 1. nnL a− )1( −nn 0 2n 0

1. .Tn nn nc b H a−− n 1 n-1 0

∆n+1 0 0 1 0 11

−+nU e 1

1−+nL 2/)1( −nn 0 2/2n 0

TOTAL n.[1+4.(n-1)] 1 n.(4n+1) 0

DETERMINANTE 3

)2).(1.( ++ nnn0 )2(

3)2).(1.(

++++ nnnn

n

Tabela 3 – Tabela de esforço computacional

O cálculo do esforço computacional do determinante é determinado por

meio de uma seqüência de operações elementares sobre linhas da matriz para

torná-la triangular. O determinante é então calculado pelo produto dos termos da

diagonal.

Se admitirmos como equivalentes os pares (soma, subtração) e

(multiplicação, divisão) e que os segundos demandam um esforço computacional

para seu cálculo α vezes maior que os primeiros, então a razão entre os esforços

computacionais para o cálculo dos determinantes de 1n+∆ e n∆ é dada por:

( )( ) ( )2

. 1 . .( 2) 61.3 3. 1 . 1 2. .

n nnn nα

ρα α α+ + ++

=+ + − +

(4.23)

A figura abaixo ilustra o gráfico desta função:

DBD



Figura 4-2 – Comparação de esforços computacionais

Fica claro que, independente do peso entre as operações equivalentes, a

partir da dimensão n=5, este método é vantajoso quando comparado com o

cálculo direto do determinante.

4.3. O problema da limitação de potência

Mesmo nos casos em que um subconjunto de enlaces é f-viável, isso não

quer dizer que ele é satisfatório sob o ponto de vista físico. A potência do

transmissor de cada enlace tem que se situar numa faixa factível, que aqui será

denominado de [Pmin, Pmax]. Agora está se procurando valores para as potências

que pertençam ao conjunto Γ∩Ω=Ω* onde

i todopara que tais maxmin PxPx iN ≤≤ℜ∈=Γ . A seguinte definição descreve

o tipo de subconjunto de enlaces que serão agora analisados.

DBD



Definição 3:

Um conjunto de enlaces f-viável é dito estruturalmente viável (e-viável)

quando atende também as restrições de potência acima mencionadas.

Para saber se esta interseção Γ∩Ω=Ω* é vazia ou não, pode-se formular

um problema semelhante à Fase 1 do algoritmo Simplex. As desigualdades:

( ).

m

M

I H P

P PP P

η− ≥

≥≤

(4.24)

Transformam-se por inclusão de variáveis de folga não negativas u, v, e w :

( ).

m

M

I H P u

P v PP w P

η− − =

− =+ =

(4.25)

Infelizmente não é possível de forma fácil obter uma solução básica factível

para este conjunto. Entretanto se forem introduzidas as variáveis artificiais não

negativas r e s, tem-se:

( ).

m

M

I H P u r

P v s PP w P

η− − + =

− + =+ =

(4.26)

e uma solução factível básica que pode ser imediatamente identificada é

expressa por:

0

m

M

P u vr

s Pw P

η= = ==

==

(4.27)

DBD



Se agora for definido um problema de otimização onde a função objetivo a

ser minimizada é expressa por:

1

N

i ii

z r s=

= +∑ (4.28)

Tem-se que *Ω é não vazio se e somente se o valor ótimo de z for zero.

Conclui-se então que se a solução do problema de otimização descrito for

zero, então o subconjunto f-viável de enlaces também é e-viável.

Embora existam pacotes de software (“solvers”) comerciais e de domínio

público que resolvem este problema (o MATLAB é a opção mais simples),

convém salientar que a confecção de um programa que resolva o problema aqui

discutido é de complexidade moderada.

O mesmo algoritmo discutido em seção anterior para determinação de todos

os subconjuntos f-viáveis pode ser modificado para a geração de todos os

subconjuntos e-viáveis. É suficiente que o procedimento FEASIBLE também já

discutido inclua o problema de programação linear discutido nesta seção.

4.4. Problemas Baseados em Seleção de Subconjuntos Viáveis

De posse de métodos para a determinação de todos os subconjuntos e-

viáveis de um conjunto de enlaces, é possível partir para se resolver problemas

ligados à partição do conjunto de enlaces de modo a obter uma partição ótima

segundo algum critério.

DBD



O contexto descrito nas seções anteriores permite pelo menos definir dois

problemas de otimização, cuja solução é de interesse para os projetistas de

sistemas de redes móveis sem fio. São eles, a saber:

• Conseguir uma alocação com número mínimo de canais

• Conseguir uma alocação com mínima potência máxima

Antes de discutir em detalhes cada um destes problemas, seria conveniente

definir a base comum em que ambos se baseiam, na medida em que se busca

partições de um particular conjunto e por definição, os elementos que a

constituem dever ser disjuntos e quando unidos constituir o todo.

Considere, como em situações anteriores, um conjunto de enlaces

1,2,3,...., L=L e que por métodos descritos em seções anteriores foi possível

determinar a lista de cardinalidade M de todos os subconjuntos e-viáveis de L da

forma 1 2, ,...., MΠ = Π Π Π

Uma partição de L formada por elementos de Π, se existir pode ser

representada por um vetor binário Mxxxx ,...,, 21= onde xi assume o valor 1 se e

somente se Πi pertence à partição escolhida, sendo 0 caso contrário.

Para caracterizar o envolvimento dos enlaces nos elementos da partição,

constrói-se uma matriz binária A de dimensão LxM de modo que o elemento aij

assume o valor 1 se e somente se o enlace i faz parte do subconjunto viável Πj.

Para que x descreva de fato uma partição é condição necessária e suficiente

que a seguinte relação linear seja satisfeita:

. 1A x = (4.29)

onde 1 é um vetor de dimensão M onde todas as suas componentes são

unitárias.

DBD



4.4.1. O Problema do Número Mínimo de Canais

Usando a vetor x descrito na sub-seção anterior, o problema denominado de

número mínimo de canais consiste em minimizar a função objetivo abaixo:

1

M

ii

z x=

= ∑ (4.30)

sujeito à restrição imposta por (4.29). Trata-se de um problema de programação

linear-(0,1) para o qual existem vários programas de computador (“solvers”)

capazes de resolvê-lo. Entretanto situações reais podem revelar casos onde o valor

de M atinge algumas centenas o que torna a obtenção de sua solução bastante

custosa em termos de esforço computacional. Esta limitação naturalmente sugere

a busca de procedimentos heurísticos que reduzam este esforço sem comprometer

em demasia o valor da solução encontrada. Algumas seções posteriores se

dedicarão a fornecer estas soluções heurísticas e uma análise de sua eficiência

também será apresentada.

4.4.2 O Problema de Mínima Potência Máxima

Dada a natureza binária da variável de decisão do problema anterior, é

bastante razoável que a solução do problema de número mínimo de canais não

seja única. Se L* é a cardinalidade da partição ótima deste problema, faz sentido e

é desejável conhecer qual destas soluções apresenta a menor potência máxima, ou

seja, a potência usada no enlace com maior potência na partição é mínima. Este

problema se resolvido, não só gera a alocação com o menor número de “canais”

como também fornece a solução mais econômica em termos de potência.

DBD



Entretanto, antes que possamos formular este problema precisamos resolver

um outro que consiste em determinar para cada subconjunto e-viável de enlaces

da lista Π, os menores valores de potência que satisfazem a condição de e-

viabilidade. Considere que o elemento Πq de Π seja da forma 1 2, ,..., Kì i i

representando enlaces que operarão com potências 1 2, ,..., KP P P . Se H e η

representarem respectivamente a matriz de ganhos e o vetor de ruídos

normalizados associados aos enlaces de Πq, então estas condições em conjunto

com a e-viabilidade permitem formular o problema de interesse como:

1 2min max , ,...,sujeito a :( ).

K

m

M

z P P P

I H P

P PP P

η

=

− ≥

≥≤

(4.31)

Este problema é classificado na literatura de otimização como do tipo min-

max com restrições lineares. Um programa bastante adequado para resolvê-lo

encontra-se no pacote de computador MATLAB.

Para fins de entendimento, apresentamos a seguir uma ilustração gráfica

para este problema no caso específico de dimensão dois:

Figura 4-3 – Min-max de dimensão 2

P1

P2

Ω

Γ

solução min-max

P1*>P2*

P2*

DBD



Neste exemplo, a solução mini-max (minimização do valor máximo de uma

função) não é única (todos os pontos da linha grossa vermelha) mas o valor da

função objeto é o mesmo para todos eles. Quando a solução não é única, pode-se

definir uma seqüência de problemas min-max nas variáveis restantes de modo a

achar a solução mais adequada.

Uma vez conhecido, para cada subconjunto e-viável Πi, o seu valor de

potência P min-max, aqui denotado por iP~ , podemos descobrir qual a partição

com menor cardinalidade que minimiza o maior valor iP~ utilizado. Novamente

recaímos num problema min-max com restrições lineares binárias com a seguinte

formulação:

1 1 2 2

1

min max . , . ,..., .

sujeito a :. 1

*

0,1

M M

M

ii

M

z P x P x P x

A x

x L

x=

=

=

=

∈

∑

(4.32)

Onde x tem o mesmo significado anteriormente descrito e L* é o valor da

função objetivo na solução ótima do número mínimo de canais.

Convém lembrar que, nos casos em que o número de canais não for um

recurso exageradamente escasso, a última restrição linear deste problema pode ser

“relaxada” através da substituição de L* por um valor L maior do que L*. Este

relaxamento certamente permitirá que valores menores de mínima potência

máxima possam ser obtidos. Lembremo-nos de que este valor condiciona o tempo

de vida da bateria de um telefone celular, que é considerado um dos principais

recursos a serem preservados.

Lamentavelmente este problema não é linear e a condição de binariedade

introduz uma dificuldade extra na obtenção de sua solução. Entretanto, esta

DBD



mesma natureza binária da variável de decisão, torna possível transformar este

problema em um outro linear (e conseqüentemente passível de ser resolvido por

programas como o XPRESS) pagando-se o preço de um aumento substancial no

número de variáveis de decisão. Recai-se assim no domínio do mesmo programa

utilizado para a solução do problema de alocação mínima de canais.

No momento o interesse aqui é o de mostrar que este problema pode ser

linearizado por partes, onde se tira partido fundamentalmente da condição binária

do problema.

Para fim de clareza na apresentação dos resultados, considere o seguinte

problema não linear binário:

1 1 2 2

1

min max . , . ,..., .sujeito a :

. 1

0,1

N N

K

ii

N

z x x x

A x

x L

x

α α α

=

=

=

=

∈

∑

(4.33)

4.5. Uma Heurística Para Determinação do Número Mínimo de Canais

Embora a seção 4.4.1 tenha abordado de modo formal o problema da

determinação do número mínimo de canais para uma coleção de enlaces que

devam atender uma SINR mínima, percebe-se que esta solução é de elevado

esforço computacional, além de requerer possivelmente programas de computador

comerciais para a sua solução.

Estes argumentos podem ser considerados suficientes para que se busque

soluções sub-ótimas, mas de reduzido grau de demanda computacional. Essas

DBD



heurísticas ou procedimentos “ad hoc” podem ser gerados às centenas, bastando

para isso criatividade e bom senso. Se elas serão viáveis sob um ponto de vista

mais pragmático, se elas gerarão soluções razoavelmente próximas da solução

ótima, se seu esforço computacional é pequeno o suficiente para permitir

aplicações em tempo real, todas essas são questões de grande interesse e que

precisam ser respondidas.

Dentre esta coleção de heurísticas destacam-se os métodos denominados de

gulosos ou gananciosos (“greedy”) que tentam resolver o problema por

procedimentos que tentem chegar da forma mais rápida e imediata naquilo que

parece ser a solução ótima para o problema. Esta estratégia pode não ser a melhor

opção, e ainda ocorrem casos onde ela não é sequer indicada. A título de exemplo

é sabido que, principalmente em problemas de otimização no contínuo, algumas

funções objetivo são tão mal comportadas, a melhor direção a se caminhar para

maximizar essa função não coincide com a direção do gradiente (a mais gulosa no

sentido de crescimento) da função objetivo.

O modelo formal que se assume nesta seção é o mesmo que foi discutido

em seções anteriores.

Dispõe-se de um conjunto de L enlaces para os quais se conhece o conjunto

Π2 de todos os seus subconjuntos de dimensão 2 que são e-viáveis.

DBD



No caso específico de dimensão 2, a verificação da e-viabilidade é de complexidade bastante reduzida, como ilustrado abaixo:

Figura 4-4 – Verificação de e-viabilidade em dimensão 2

Para que a região de potências factíveis (retângulo) tenha intersessão com

a que caracteriza a f-viabilidade, é necessário e suficiente que :

• O ponto P1 esteja “acima” da reta A • O ponto P2 esteja “abaixo” da reta B

Estas duas condições implicam que:

[ ]1 12 2 21max . , .g gβ η α η α≥ + + (4.34)

Diz-se que o enlace i é 2-compatível com o enlace j quando o par (i,j)

pertencer a Π2. Caso contrário diz-se que enlace i é incompatível com o enlace j

x2-

x2

x1

x1- x1=x2

α

2

1

A

B

DBD



Para evitar possíveis polarizações devido à ordem de escolha dos enlaces,

pode-se promover uma permutação aleatória dos enlaces, e assim a sua lista fica

na da forma i1,i2,....,iL. Denota-se por B(k) o conjunto de todos os enlaces que

utilizam canal k

− faça, C=1, (1) iB i= e (2) (3) ......B B φ= = =

− para j = 2 a L

o para k = 1 a C

se enlace ij é compatível com todos os enlaces em B(k)

então coloca-se ij em B(k) e break

o end

o se enlace ij não foi alocado

faça C = C+1

coloca-se ij em B(C)

o end

− end

Ao término deste algoritmo, C fornecerá uma estimativa para o número

mínimo de canais.

É fácil perceber que a ação deste algoritmo é o de colocar enlaces em

grupos já existentes desde que haja compatibilidade do enlace corrente com todos

os elementos deste conjunto. No caso em que isto não ocorra, um novo conjunto é

criado para contê-lo.

Observe que é possível que ao final, enlaces de um mesmo conjunto não

sejam globalmente compatíveis porque o único teste efetuado foi o de 2-

compatibilidade. Por exemplo, é possível que i1, i2 e i3 sejam compatíveis dois a

dois sem que o sejam em grupo de três.

Entretanto o que se tem observado quando este algoritmo é testado em

diversos exemplos é que na vastíssima maioria dos casos, os subconjuntos finais

são de enlaces compatíveis. Assim a não verificação da compatibilidade dos

DBD



grupos de enlaces de cardinalidade três ou superior, representa uma considerável

economia de esforço computacional.

Concebe-se então uma Fase 2 para este algoritmo, onde os subconjuntos

gerados na fase discutida (doravante chamada de Fase 1) são globalmente

verificados e se apresentarem incompatibilidade, esses subconjuntos de tamanho

reduzido devem ser fracionados de modo a atender a desejada compatibilidade.

Não será aqui considerada nenhuma técnica especial de fracionamento deste

conjunto porque sendo em geral pequeno (tamanho tipicamente inferior a 5), este

conjunto pode ser por exemplo, fracionado por métodos de força bruta.

4.6. O Problema de Mínima Interferência Revisitado

Nos problemas anteriores, todas as partições de interesse feitas no

conjunto de enlaces tinham que ser e-viáveis. Obter tais partições é uma tarefa

extremamente demandante sob o ponto de vista de complexidade computacional.

Assim são necessárias tentativas de abrandar o problema e obter soluções que não

impliquem a necessidade de utilização de “solvers” sofisticados. Uma delas é a

seguir discutida.

Considere o problema de N enlaces onde estão disponíveis F recursos

denominados, por pura concisão, de “canais”. Toda vez que dois enlaces

compartilham um mesmo canal ocorre interferência ente eles. Para descrever este

compartilhamento de canais, considere uma variável X descrita na forma de uma

matriz binária NxF, onde Xij vale 1 se e somente se canal j é utilizado pelo link i.

Note que uma vez que cada enlace utiliza um único canal, tem-se que cada linha

DBD



de X contém apenas um único valor diferente de zero. A relação sinal-

interferência-ruído expressa em (3.4) pode ser reescrita como:

1 1

.

. . .

i ii N F

i ij j ik jki kj i

PSINRn G P X X

= =≠

Γ=

+∑ ∑ (4.35)

Onde algumas modificações foram feitas em termos de notação. Por exemplo, o

ganho de enlace entre o transmissor e o receptor do enlace i chama-se agora Γi,

fazendo com que Gii não faça mais sentido. Podemos reutilizar essa variável

definindo o ruído ni como o produto Gii.Pi e assim reescrever a expressão acima

como:

1 1

1.

. ..

i N Fij j

ik jki ki i

SINR G PX X

P= =

=

Γ∑ ∑ (4.36)

Se admitirmos que as potências são conhecidas, podemos redefinir a fração

que aparece acima como Qij e assim:

1 1

1 1( ). .

i N Fi

ij ik jki k

SINRD XQ X X

= =

= =

∑ ∑ (4.37)

Um problema importante é determinar a matriz X de modo que o valor

mínimo da SINR (ao longo dos enlaces i) observada nos enlaces seja maximizado.

Uma vez que o numerador da SINR não depende da variável de decisão X, este

problema é equivalente a:

i

min max ( )iXz D X= (4.38)

Onde :

DBD



1 1

( ) . .L F

i ij if jfj f

D X Q x x= =

= ∑ ∑ (4.39)

Sujeito às restrições:

11

0,1

F

iff

if

x

x=

=

∈

∑ (4.40)

Este problema tem natureza combinatorial, o que o coloca em princípio

numa categoria de problemas cujas soluções são computacionalmente pesadas.

Existem FN diferentes valores para X, mas devemos levar em consideração que

não existe diferença em soluções que se distinguem por “renomeação” dos canais.

Assim o número de soluções distintas é muito menor do que FN, mas dependendo

dos valores de F e N sua busca exaustiva pode ainda ser inviável.

Uma forma equivalente, porém mais compacta de descrever a solução X é

por meio de um vetor Y pertencente a 1,2,...,FL da forma Y=(Y1,Y2,...,YL) onde Yi

descreve o canal usado pelo enlace i. Numa tentativa de reduzir as chances de

visitar soluções idênticas em termos de renomeação de canais, será fixado Y1 =1

para todas as soluções de interesse.

A lógica do algoritmo a ser proposto é do tipo guloso: inicia-se com uma

solução arbitrária e busca-se melhorá-la progressivamente. A grande maioria dos

algoritmos gulosos procede desta forma. Será mostrado, entretanto que o esforço

computacional associado é muito pequeno e pode ser feito a partir de um tableau,

a semelhança dos algoritmos simples de Programação Linear.

Para o melhor entendimento do algoritmo vejamos uma definição

importante.

Definição 3

Duas soluções Y(1) e Y(2) são ditas k-adjacentes quando elas diferem em

exatamente k posições.

DBD



O objetivo é descobrir relações explícitas de melhoria de solução em função

da k-adjacência e procurar um caminho Y(1),Y(2), Y(3),.... de soluções adjacentes que

são progressivamente melhores.

4.6.1 O Caso da 1-Adjacência

Sejam Y(1) e Y(2) duas soluções 1-adjacentes onde se espera que a

segunda seja melhor do que a primeira. Estas soluções são idênticas em todas as

posições exceto em uma posição denominada u onde:

(1)

(2)

u

u

Y r

Y s

=

= (4.41)

Sejam L(1) e L(2) os subconjuntos de enlaces que utilizam, pela solução 1, os

canais r e s, respectivamente.

Note que, na passagem da solução 1 para 2, todos os v enlaces pertencentes

a L(1)-u terão seus níveis de interferência reduzidos de Qvu enquanto que todos

os enlaces v pertencentes a L(2) terão seus níveis de interferência aumentados de

Qvu. Finalmente o enlace u, que agora passa a pertencer a L(2), tem seu nível de

interferência modificado para:

( 2)

u ujj L

D Q∈

= ∑ (4.42)

Será designado como enlace crítico da solução corrente Y aquele onde

ocorre o maior valor de D, por exemplo, q. Claramente, para que este valor Dmax

possa ser reduzido, é necessário que se altere o canal de algum enlace que use o

mesmo canal de q. Os candidatos u a esta alteração são apenas aqueles em que

Yu=Yq, o que reduz consideravelmente o escopo da busca. Precisa-se agora

determinar uma forma de escolher o novo canal de u. A idéia é percorrer todos os

DBD



valores possíveis, que não ultrapassem o valor Dmax. A seguir apresenta-se um

algoritmo onde as idéias aqui expostas são implementadas:

ALGORITMO PARA 1-A

• Seja Y a solução corrente, q o link crítico e r o seu canal (r =Yq).

• Construa o conjunto rYLiL i =∈= que tais,...,2,1)1(

• para todo u ∈ L(1) faça:

para todo s∈1,2,...,F-r, faça:

o Determine sYLiL i =∈= que tais,...,2,1)2(

o flag = TRUE

o para todo v∈ L(2), faça:

se Dv+Qvu ≥ Dq então flag = FALSE and break

o end

o se flag = TRUE e qv

uv DQ ≥∑∈ (2)L

então flag = FALSE

o se flag = TRUE então uma solução foi achada. Faça

sYi = e FIM

end

• end

Entenda que este algoritmo poderia ser mais “guloso” ainda, isto é,

determinar todas as possibilidades e escolher a que provoca a maior redução do

valor de Dw. Isto implicaria em percorrer todas os casos possíveis, armazená-los e

fazer a decisão no final.

4.6.2 O Caso da 2-Adjacência

Assume-se que algoritmo anterior foi aplicado e que se chegou a uma

solução Y* que não pode ser melhorada pela busca de uma outra que lhe seja 1-

DBD



adjacente. Para que o nível máximo de interferência possa ser reduzido, é

necessário que se altere o canal de algum enlace u que use o mesmo canal do

enlace crítico w. Entretanto, qualquer que seja o novo valor deste canal (i.e. Yu),

não haverá redução do nível máximo de interferência porque não há, pela hipótese

assumida no início deste parágrafo, solução 1-adjacente que reduza este nível.

Conseqüentemente qualquer que seja a escolha deste canal, algum enlace que o

compartilha, terá que ter seu canal alterado. Esta imbricação resulta em uma

redução considerável nos vizinhos 2-adjacentes, que devem ser procurados para

melhorar a solução. Apresenta-se a seguir a descrição de um algoritmo que

explora esta idéia:

ALGORITMO PARA 2-A

• Seja Y a solução corrente, w o enlace crítico e r o seu canal (r =Yw) • construa o conjunto rYLiL i =∈= que tais,...,2,1)1( • para todo u ∈ L(1) faça:

o para todo s∈1,2,...,F-r, faça: Determine sYLiL i =∈= que tais,...,2,1)2( para todo v ∈ L(2), faça:

• flag = TRUE • para todo a∈ L(2)-v faça:

se Da+Qau-Qav>Dq então flag=FALSE break • end • se flag = TRUE e q

vaua DQ ≥∑

−∈ L(2)

então flag = FALSE

• se flag = FALSE então break • para todo t∈1,2,...,F-s

Calcule tYLiL i =∈= que tais,...,2,1)3( para todo w∈ L(3), faça:

se Dw+Qwv≥Dq então flag=FALSE break end se flag=TRUE e q

ava DQ ≥∑

∈ (3)L

entãoflag=FALSE

se flag = FALSE então break • end • se flag = TRUE então faça tYsY vu == e FIM

end o end

• end

DBD



A grande vantagem desta estratégia é que ela pode ser repetida dando

origem a algoritmos para busca de soluções melhores por 3-adjacência, 4-

adjacência e assim por diante. Entretanto a busca por k-adjacência só pode ser

feita quando as buscas por adjacências de ordem inferior a k falham.

Assim um algoritmo geral que explore esses conceitos pode ser concebido

como descrito abaixo:

ALGORITMO GERAL

1. faça k = 1

2. procure uma solução k-adjacente “melhor”

3. se achou, faça k = 1 e vá para 2.

4. caso contrário, faça k = k+1 e vá para 2

Observe que neste algoritmo não está determinado o critério de parada.

Este pode ter várias formas como por exemplo a) pelo número de iterações b)

pelo valor máximo de k.

4.7. Metáforas Evolucionais para o Problema de Mínima Interferência

Todos os métodos de solução discutidos nesta tese são ou métodos formais

locais ou heurísticas gulosas também locais. Por local quer-se dizer que são

métodos interativos cuja seqüência de soluções produzida é monotonicamente

melhor (no sentido de reduzir/aumentar a função objetivo do problema de

minimização/maximização), fazendo com que esta solução seja capturada por

ótimos locais da função objetivo.

Em problemas de otimização em geral deseja-se determinar as soluções

ótimas globais, mas as técnicas para sua determinação são frequentemente

sofisticadas e computacionalmente caras. Uma possível linha de algoritmos

DBD



criados para permitir a busca de soluções globais é aquela genericamente

denominada de métodos evolucionais. Estes métodos operam por meio de uma

metáfora, na qual ha uma correspondência entre elementos abstratos do mundo

evolucional e elementos concretos do mundo do modelo em questão. Uma destas

metáforas de grande freqüência de aplicação nestes problemas é aquela que dá

origem aos chamados algoritmos genéticos.

Nesta classe de algoritmos criam-se populações de indivíduos (em que cada

elemento contém um cromossomo) que metaforicamente representam as soluções

admissíveis para o problema de otimização. Cada indivíduo, por meio de seu

cromossomo, possui um indicador de qualidade (valor da função objetivo). A

idéia do algoritmo é o de promover cruzamentos de membros desta população

produzindo uma nova geração (cujos cromossomos foram gerados pelos processos

de crossover e mutação) da qual são selecionados os indivíduos “mais capazes”

(novamente no sentido da função objetivo) como se os princípios evolucionistas

darwinianos comandassem esse processo. Esta produção de novas gerações se

repete perpetuamente, até que os membros da geração sobrevivente atinjam níveis

de qualidade satisfatórios.

O problema de interesse a ser resolvido por um algoritmo genético é o

discutido na seção anterior e caracterizados pelas expressões (4.38) a (4.40).

Em grande parte, o sucesso ou fracasso da aplicação de algoritmos genéticos

está relacionado com a representação cromossomial da solução admissível do

problema de otimização. Embora a formulação acima induza uma definição

natural para cromossomo, achou-se que esta não levaria em conta nenhuma

informação sobre a instância do problema. Assim indivíduos serão caracterizados

por um cromossomo descrito por um vetor de comprimento L (no. de enlaces) e

que contém os inteiros de 1 a L numa ordem aleatória. Esta ordem será a seguida

no processo de atribuição de canais aos enlaces.

Associado a cada cromossomo I existe um vetor de atribuição S, de mesma

dimensão de I, onde S(k) é o canal atribuído ao enlace k. Esta atribuição se fará na

ordem dos enlaces expressa no cromossomo I, e o canal S(k) corresponderá ao

caso que minimiza a máxima interferência até o presente momento. Este

DBD



procedimento é executado por meio de um decodificador, cuja descrição

algorítmica é a seguir apresentada:

Depois de construído vetor de atribuição S para cada cromossomo I, este

vetor S é avaliado e armazenado em conjunto com cada cromossomo.

Esta avaliação não é nada mais do que o valor máximo de interferência

produzido e seu cálculo segue o procedimento abaixo descrito.

A população de indivíduos foi inicializada gerando-se permutações

aleatórias do conjunto de enlaces e o processo de geração de populações

HEURÍSTICA DO DECODIFICADOR

Para todo elemento(gene) k = 1,..., |L| do cromossomo

MinMax_Interf = +inf

Para todo canal f=1,…,|F|

X[cromossomo[k]] = f

Max_Interf = -inf

Para todo Link i=1,…,|L|

ìnterf = 0

Para todo Link j=1,…,|L|

Se (X[i] ≠ ø) e (X[i] = X[j]) então: Interf = interf + Q[i][j]

Fim do Loop em j

Se (interf > Max_Interf) então:

Max_interf = interf

Cel_Max_interf = i

Fim de condição Se

Fim do Loop em i

Se (MinMax_interf > Max_Interf) então:

MinMax_Interf = Max_interf

f_MinMax = f


Fim do Loop em f

DBD



sucessoras foi realizado por meio de operadores de embaralhamento, crossover de

ordem e mutação de ordem e posição.

AVALIAÇÃO DO INDIVÍDO (K)

Max_Interf = -inf

Para todo Link i=1,…,|L|

ìnterf = 0

Para todo Link j=1,…,|L|

Se (X[i] ≠ ø) e (X[i] = X[j]) então: Interf = interf + Q[i][j]

Fim do Loop em j

Se (interf > Max_Interf) então:

Max_interf = interf

Cel_Max_interf = i


Fim do Loop em i

Avaliação[K] = Max_interf

Cel_Max_Interf_Individuo[K] = Cel_Max_interf

DBD


5 Resultados numéricos

O resultados apresentados nesta seção devem ser considerados como

ilustrativos das idéias, conceitos, resultados e teoremas apresentados nas seções

anteriores. Sua finalidade é provar que os conceitos funcionam, pelo menos para

simulações básicas. Comparações quantitativas precisas e formais, que provem ser

os métodos apresentados neste trabalho melhores ou não do que alguns outros

existentes na literatura correntes, não foram realizadas. Isto porque, em primeiro

lugar a modelagem matemática foi feita sobre um sistema de características

completamente gerais, sem nenhuma das particularidades que os sistemas reais em

geral apresentam; em segundo lugar porque não foram sugeridas aplicações

específicas para as formulações deste trabalho. Por exemplo, o teorema 2 tanto

poderia ser efetivamente utilizado em algum algoritmo de alocação de canais,

como também poderia ser aplicado como critério de qualidade na comparação

entre métodos aqui apresentados e outras heurísticas. Em terceiro, deve-se levar

em conta que os programas efetuados no curso desta tese concentraram-se na

implementação dos métodos aqui discutidos sem que houvesse exagerada

preocupação com a velocidade de execução. Em sua maioria foram

implementados no ambiente MATLAB, que na maioria dos casos é ineficiente sob

o ponto de vista de velocidade de execução de códigos.

Assim as metodologias propostas serão ilustradas e alguns resultados

relativos aos seus desempenhos computacionais serão apresentados.

DBD


Resultados numéricos 77

5.1. Cenário

O cenário relativo ao ambiente onde os enlaces se localizam, foi escolhido

com o objetivo de ilustrar os métodos, algoritmos e teoremas discutidos em seções

anteriores é composto por uma região plana e quadrada de dimensão pré-

especificada onde não se considera as presenças de obstáculos ou espalhadores,

assim como também se considera que não há interferência proveniente de fora

desta região. Este cenário é totalmente atípico, mas a única utilidade dele é gerar

uma matriz de G de ganhos. Poderia ter sido usado um gerador de números

aleatórios para atribuir valores aos seus elementos, mas o método utilizado ao

menos garante que haverá um comportamento de atenuação de sinal com a

distância

Nela, Nu unidades transmissoras e Ne unidades receptoras são previamente

estabelecidas e aleatoriamente posicionadas, sendo este processo caracterizado

pela escolha de uma semente para o gerador de números aleatórios, de modo a

permitir a reprodutibilidade do cenário entre os vários programas que serão

utilizados. Cada unidade transmissora estabelece um enlace unidirecional com a

unidade receptora geograficamente mais próxima, sendo este modelo semelhante

ao do enlace de subida dos sistemas de telefonia celular. Apesar disso este modelo

é facilmente generalizável podendo também simular o comportamento de redes

MANET. Em qualquer uma das situações discutidas, o nível de interferência é

investigado apenas nas unidades receptoras.

Assume-se que cada unidade transmissora gera um campo eletromagnético

de potência isotrópico, que será considerado como sinal para a unidade receptora a

que se destina, e será considerada como interferência para as outras unidades

receptoras. Assume-se que a intensidade do campo eletromagnético decaia

segundo uma lei exponencial com a distância, embora outros modelos de

propagação possam ser testados. Esta escolha não influirá no que se deseja

mostrar. Para manter a coerência com a realidade se espera um comportamento de

atenuação do sinal com a distância, mas este varia de acordo com as

DBD



características do local, por exemplo uma região bastante construída têm um

comportamento, já uma área rural apresenta outro comportamento e assim por

diante. Como, conforme foi dito antes, o único interesse é gerar uma matriz G que

seja semelhante à obtida em um caso real, os detalhes de modelo de propagação e

tipo de terreno não são importantes.

Os valores máximos e mínimos de potência transmitida, a potência média de

ruído, e o valor mínimo da SINR permitido também são configurados no cenário.

Esse conjunto de parâmetros caracteriza o cenário para todos os programas de

computador implementados. A tabela abaixo exemplifica um cenário específico:

Parâmetro Valor Significado

LL 10 dimensão da região de interesse (km)

Nu 20 número de usuários

Ne 8 número de erbs

Pn 1.00E-05 potência media de ruído (watt)

SIRdb 25 SNIR mínima (dB)

Pmin 0.1 potencia mínima (watt)

Pmax 1 potencia máxima (watt)

Semente 144 semente para o cenário

Tabela 4- Parâmetros de configuração de cenário

A partir da definição de um cenário específico (como o da tabela acima),

elaborou-se um programa em Matlab, que posiciona os transmissores e receptores,

e calcula a matriz G de ganhos dos enlaces desejados e interferentes. Um exemplo

do cenário formado pelos parâmetros apresentados na tabela acima é ilustrado na

figura abaixo.

DBD



Figura 5-1 Posicionamento de transmissores e receptores no cenário

5.2. Determinação dos conjuntos de enlaces viáveis

Com base na matriz G de ganho dos enlaces, um outro programa também

implementado em Matlab, determina todos os subconjuntos de enlaces e-viáveis

do cenário em consideração. Este programa utiliza os procedimentos descritos no

algoritmo apresentado na seção 4.2. Primeiro os subconjuntos f-viáveis são

calculadas por meio do procedimento de determinantes definidos pelo Teorema 2.

A seguir, a e-viabilidade destes subconjuntos é testada por meio de um par de

problemas de otimização, um linear e outro de natureza minimax, conforme

descrito nas seções 4.3 e 4.4.2. Estes dois problemas foram respectivamente

resolvidos pelos procedimentos linprog e fminimax existentes no pacote de

otimização (Optimization Toolbox) do MATLAB. Estes programas funcionaram

de forma eficiente em termos de convergência. O quadro abaixo ilustra uma saída

DBD



típica deste programa para o cenário já mencionado e apresentado em tabela

anterior

Tabela 5- Resultado do programa de verificação de e-viabilidade

Neste exemplo foram determinados 354 subconjuntos f-viáveis (a soma dos

primeiros números entre parênteses), sendo destes, 190 pares, 122 triplos, e 42

quádruplos. Dentre desses casos, 134 (36,8% do total de f-viáveis) foram

considerados e-viáveis, implicando que além de terem solução possível com

potências positivas, todos possuem potências dentro dos limites pré-estabelecidos.

Em 219 dos casos, (a soma dos segundos números entre parênteses), o ponto

extremo da região de f-viabilidade não se localizava na região de potências

permitidas, requerendo a execução dos procedimentos de otimização discutidos

em parágrafo anterior. Podemos concluir que foram executadas 219 vezes o par de

subrotinas linprog e fminimax de otimização, há um tempo máximo de 25.57

mseg por par. Este tempo é alto para fins de aplicações em tempo real, mas é

possível que com melhorias no código, e processadores mais rápidos, esta

limitação seja superada. Este tempo é satisfatório para aplicações que não

demandem tempo real, como simulações de sistemas.

-------VIABILIDADE DA MATRIZ G --------------------

No. de usuarios = 20

No. de erbs = 8

Pot. de Ruido = 1.000e-002 mW

SIR Minima = 25.0 dB

Potencia = [1.000e-001,1.000e+000] W

--> 2-uplas achadas = 55 (190/89)

--> 3-uplas achadas = 67 (122/93)

--> 4-uplas achadas = 12 (42/37)

--> 5-uplas achadas = 0 (0/0)

--> TOTAL = 134

Duraçao = 5.6 seg

DBD



Para ilustrar a variação da quantidade de subconjuntos e-viáveis existentes

em relação a mudanças dos parâmetros do cenário, usou-se o cenário apresentado

na tabela anterior como referência e escolheram-se alguns parâmetros para

alterações. Em relação ao cenário-referência, alterou-se:

• caso 1 : a variação da semente

• caso 2 : a SNIR variando de 30db a 20dB em passo de 1 dB

• caso 3 : a potência média de ruído variando entre 10-4W a 10-8W

• caso 4: a potência máxima do transmissor de 0.3W para 10000W

No caso 1 ocorre uma grande variação no número de subconjuntos f-viáveis

com a mudança da semente. A tabela 6 apresenta alguns valores de semente.

SEMENTE NÚMERO DE

CONJUNTOS

E-VIÁVEIS

144 134

12 282

18 170

45 202

94 86

95 83

112 26

Tabela 6 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com variação da semente

O que se vê é uma enorme variação, da ordem de dez vezes. Isto ocorre

porque a mudança da semente implica uma nova disposição aleatória das estações

transmissoras e receptoras, alterando fortemente as possibilidades de

interferências.

O caso 2, com a variação do requisito de SINR, varia-se também

intensamente o número possível de conjuntos e-viáveis. Ao se relaxar a exigência

DBD



da relação sinal ruído um maior número de usuários podem ocupar o mesmo

canal. A tabela 7 mostra essa variação para o caso exemplo.

SINR NÚMERO DE

CONJUNTOS

E-VIÁVEIS

30 3

29 27

28 55

27 72

26 72

25 134

24 164

23 313

22 385

21 460

20 575

Tabela 7 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com a SINR

Também no caso 3 ocorre uma grande variação do número de conjuntos e-

viáveis. Na tabela 8 observa-se uma saturação a partir de 0.05 mW indicando um

ruído de fundo muito alto, que na prática não permite que nenhum enlace satisfaça

os requisitos de SINR. Já em potências muito baixas de ruído, a saturação é

devida a este ficar desprezível comparada à interferência dos outros usuários.

POTÊNCIA

MÉDIA DE

RUÍDO (MW)

NÚMERO DE

CONJUNTOS E-

VIÁVEIS

0.1 1

0.05 1

0.03 16

0.02 61

DBD



0.01 134

0.008 152

0.006 271

0.004 332

0.001 596

0.0001 625

0.00001 638

Tabela 8 - Variação do número de conjuntos e-viáveis com a potência de ruído

Por fim o quarto caso analisado serve para mostrar o espalhamento dos

conjuntos f-viáveis ao longo dos níveis de potência. Isto porque o que difere o

conjunto f-viável do e-viável, é o segundo estar dentro dos limites estabelecidos

(máximo e mínimo) de potência. Nota-se uma concentração dos conjuntos em

níveis inferiores 5 Watts, mas também ocorre um considerável número de enlaces

e-viáveis espalhados em faixas de potência de até 10 MW, o que é totalmente

inviável para casos reais. A figura 5-2 mostra esse espalhamento.

Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis

0

50

100

150

200

250

300

[0.1, 0.3] [0.3, 0.5] [0.5, 2] [2, 3] [3, 5] [5,10] [10, 20] [20, 100] [100,1000] [1000,10000]

Faixas de potência (W)

Núm

ero

de c

onju

ntos

e-v

iáve

is

Figura 5-2 – Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis

DBD



Estes exemplos de nenhuma forma exaurem o estudo do impacto destes

parâmetros na quantidade de subconjuntos e-viáveis, mas permite ilustrar que

variações em valores de alguns parâmetros podem produzir aumento substancial

na quantidade de subconjuntos e-viáveis. Isto gera um impacto na dimensão dos

problemas de otimização que se seguirão.

Convém salientar que este programa também gera em sua saída, matrizes de

restrições e vetores de coeficientes para os problemas denominados de “mínimo

número de canais” e “mínima potência máxima” que foram conceitualmente

abordados em capítulos anteriores e que serão numericamente ilustrados nas

seções seguintes.

5.3. Minimização do número de canais, ou da máxima potência

Os problemas de otimização que determinam respectivamente o número

mínimo de canais (seção 4.3) e a mínima potência máxima (4.4.2) são de natureza

binária e o MATLAB não dispõe de ferramentas para resolvê-los. Foram

utilizadas duas ferramentas de programação para tratar tais problemas. A primeira

foi o “solver” denominado de Visual Xpress3 específico para programação linear,

que tem capacidade de resolver problemas contínuos, discretos e binários. O

segundo foi uma ferramenta de domínio público GLPK desenvolvida dentro do

projeto GNU (ferramentas de software livre, com fonte aberto, e sujeito a

licenciamento GPL, o Linux faz parte deste projeto).

3 Visual Xpress é um produto da empresa Dash Associates.

DBD



Ambas ferramentas resolvem os problemas propostos de maneira eficiente,

mas o Visual Xpress apresentou uma limitação de leitura dos arquivos de

restrições gerados pelo programa feasible visto na seção anterior. Com isto não se

podem tratar problemas com grande número de casos e-viáveis. Outra

desvantagem deste pacote é que é um produto comercial, necessitando a aquisição

de uma licença de uso. Assim sendo as simulações executadas para ilustrar esta

tese foram feitas usando o pacote GLPK.

Desenvolver usando o GLPK é razoavelmente simples. A programação é

feita na linguagem C, e pode ser compilada em qualquer compilador. Foram

escritos dois programas, um para resolver o problema do número mínimo de

canais, cuja formulação se encontra em 4.4.1, e outro que determina a

configuração de subconjuntos e-viáveis que produzem a mínima potência

máxima, e que foi formulado em 4.4.2. Convém salientar que com relação a este

último problema de otimização foi artificialmente introduzida uma restrição

adicional que define o número de canais utilizados. O objetivo desta restrição é

avaliar o valor desta mínima potência máxima em função da quantidade de canais

disponíveis.

O tempo de execução do primeiro programa é mínimo, só como exemplo,

num caso com 7832 conjuntos e-viáveis o programa feasible demorou 967

segundos numa cpu Pentium 2.4 GHz, já o programa de minimização de canais

executou quase instantaneamente. Assim o limitante para o estudo casos com

grande quantidade de conjuntos e-viáveis é a rotina feasible.

Ainda utilizando o exemplo ilustrado na tabela no início deste capítulo onde

o número de usuários é 20, a solução ótima encontrada para o número mínimo de

canais foi 12, onde 7 canais apresentaram um único usuário, 3 canais

apresentaram dois usuários, e 2 canais apresentaram três usuários, gerando um

aproveitamento médio de 1.666 usuários por canal. Executando vários casos onde

se aumenta o número de transmissores e de receptores, são encontrados valores

entre 1.5 e 2.5. Quando se relaxa o parâmetro de SINR para 20 dB o

aproveitamento médio no exemplo padrão sobe para 2.5, o mesmo acontece

quando se diminui a intensidade do ruído de fundo para 0.005 mW.

DBD



Quanto ao programa de solução de mínima potência máxima, os tempos de

execução são muito altos, da ordem de vários minutos para casos com muitos

conjuntos e-viáveis. Um resultado interessante que pode ser obtido é como o valor

de mínima potência máxima se altera quando se relaxa a condição de mínimos de

canais. O exemplo abaixo demonstra isso para o caso exemplo escolhido.

No. De Canais Min. Pot. Max.

(W)

Redução

Percentual

12 0.856 0.00

13 0.804 6.07

14 0.541 36.80

15 0.467 45.44

16 0.391 54.32

17 0.321 62.5

18 0.221 74.18

19 0.1 88.32

Tabela 9 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais

Figura 5-3 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais

Note-se houve uma redução acentuada quando passou de 13 para 14 canais,

e depois continuou caindo monotônicamente até a situação onde não há

interferência, que corresponde a 1 usuário por canal. Ilustra-se assim o fato de que

pequenos relaxamentos na condição de número de canais podem gerar diminuição

significativa na potência máxima requerida

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10 12 14 16 18 20 22

Número de canais

Potê

ncia

em

mW

att

DBD



Se parâmetros são alterados de modo que o número de subconjuntos e-

viáveis cresce, tem-se então maior flexibilidade para redução da quantidade de

canais ou para redução da mínima potência máxima. A figura abaixo ilustra uma

situação idêntica ao caso anterior onde se reduziu a SINR requerida de 25dB para

20dB, com o conseqüente aumento da quantidade de subconjuntos e-viáveis de

134 para 237. A mínima potência máxima nas situações de 11 e 12 canais caiu de

0.829 para 0.216, representando uma queda percentual de 74%.

No. De Canais Min. Pot. Max.

(W)

Redução

Percentual

11 0.829 0.00

12 0.216 73.94

13 0.105 87.33

14 0.1 87.93

Tabela 10 - Efeito do relaxamento da condição de número de canais caso 2

Figura 5-4 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 2

5.4. Heurística para determinação do número de canais

Os procedimentos utilizados na seção anterior são extremamente caros sob o

ponto de vista computacional, principalmente a rotina feasible, e a de mínimo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 5 10 15 20 25

Número de Canais

Potê

ncia

mW

att

DBD



máximo. Portanto a busca de estratégias sub-ótimas, e de reduzido esforço

computacional muitas vezes são necessárias.

A heurística proposta e descrita na seção 4.5 deste trabalho descreve um

procedimento onde apenas é necessário a investigação da e-viabilidade de ordem

2. A geração de subconjuntos de ordem superior a 2 é feita somente levando em

conta a compatibilidade 2 a 2. Assim, subconjuntos gerados podem não ser e-

viáveis, de modo a requerer uma repartição dos mesmos para obter subconjuntos

e-viáveis.

Abaixo apresentamos duas saídas típicas em que a primeira investigação par

a par foi suficiente para gerar uma solução e-viável, enquanto que no segundo

caso vários subconjuntos não e-viáveis foram gerados. Entretanto tais conjuntos

podem ser fracionados de forma rápida e fácil, por exemplo retirando um usuário

e o colocando num canal livre.

Raio espectral de H = 1017.5914 ========= PROGRAMA DE VIABILIDADE DE CANAIS ========= No. de ERBs : 8 No. de USUARIOS : 20 Usuario 1 incompativel com 2 9 13 14 16 18 20 Usuario 2 incompativel com 1 8 9 13 14 16 18 20 Usuario 3 incompativel com 8 9 10 12 13 14 17 20 Usuario 4 incompativel com 5 6 7 9 11 13 14 15 20 Usuario 5 incompativel com 4 6 7 8 9 10 11 13 14 15 17 19 20 Usuario 6 incompativel com 4 5 7 8 9 11 13 14 15 19 20 Usuario 7 incompativel com 4 5 6 8 9 11 13 14 15 17 19 20 Usuario 8 incompativel com 2 3 5 6 7 9 11 12 13 14 15 17 19 20 Usuario 9 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Usuario 10 incompativel com 3 5 9 12 13 14 15 17 20 Usuario 11 incompativel com 4 5 6 7 8 9 13 14 15 19 20 Usuario 12 incompativel com 3 8 9 10 13 14 15 17 20 Usuario 13 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 Usuario 14 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20 Usuario 15 incompativel com 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 19 20 Usuario 16 incompativel com 1 2 9 13 14 18 20 Usuario 17 incompativel com 3 5 7 8 9 10 12 13 14 15 20 Usuario 18 incompativel com 1 2 9 13 14 16 20 Usuario 19 incompativel com 5 6 7 8 9 11 13 14 15 20 Usuario 20 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ALGORIMO DE ALOCACAO DE CANAIS

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Canal 1 -> Usuarios = 4 19 OK Canal 2 -> Usuarios = 6 10 OK Canal 3 -> Usuarios = 9 OK Canal 4 -> Usuarios = 13 OK Canal 5 -> Usuarios = 14 OK Canal 6 -> Usuarios = 8 16 OK Canal 7 -> Usuarios = 5 12 18 OK Canal 8 -> Usuarios = 20 OK Canal 9 -> Usuarios = 1 11 17 OK Canal 10 -> Usuarios = 2 7 OK Canal 11 -> Usuarios = 3 15 OK Duraçao = 1.6 seg

Raio espectral de H = 1642.9404 ========= PROGRAMA DE VIABILIDADE DE CANAIS ========= No. de ERBs : 8 No. de USUARIOS : 20 No. de incompatibidades = 63 Usuario 1 incompativel com 2 3 6 12 17 18 20 Usuario 2 incompativel com 1 3 6 12 17 18 20 Usuario 3 incompativel com 1 2 6 10 12 16 17 Usuario 4 incompativel com 8 9 13 17 Usuario 5 incompativel com 11 14 15 17 19 Usuario 6 incompativel com 1 2 3 10 12 16 17 Usuario 7 incompativel com 8 9 10 13 16 17 Usuario 8 incompativel com 4 7 9 13 17 Usuario 9 incompativel com 4 7 8 13 17 Usuario 10 incompativel com 3 6 7 12 16 17 Usuario 11 incompativel com 5 14 15 17 18 19 Usuario 12 incompativel com 1 2 3 6 10 16 17 Usuario 13 incompativel com 4 7 8 9 17 Usuario 14 incompativel com 5 11 15 17 19 Usuario 15 incompativel com 5 11 14 17 19 Usuario 16 incompativel com 3 6 7 10 12 17 Usuario 17 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 Usuario 18 incompativel com 1 2 11 17 20 Usuario 19 incompativel com 5 11 14 15 17 Usuario 20 incompativel com 1 2 17 18 ALGORIMO DE ALOCACAO DE CANAIS Canal 1 -> Usuarios = 4 5 7 NAO E-VIAVEL Canal 2 -> Usuarios = 2 10 11 NAO E-VIAVEL Canal 3 -> Usuarios = 3 14 18 NAO E-VIAVEL Canal 4 -> Usuarios = 6 13 15 20 OK Canal 5 -> Usuarios = 8 12 19 OK Canal 6 -> Usuarios = 17 OK Canal 7 -> Usuarios = 1 9 16 NAO E-VIAVEL Duraçao = 0.1 seg

Foi desenvolvido um script em MATLAB que implementa o algoritmo sub-

ótimo descrito em 4.5. Ao mesmo tempo o pacote GLPK foi utilizado para obter o

número mínimo de canais. Realizaram-se 26 simulações diferentes, onde se variou

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a semente, o número de usuários, e o número de receptores. O objetivo foi avaliar

a qualidade da solução produzida pela heurística definida em 4.5, e estes

resultados podem ser visualizados no gráfico abaixo. Nos casos simulados a maior

diferença entre os dois métodos foi de dois canais. Este parece ser um pequeno

preço a ser pago quando se considera a redução maciça do tempo computacional.

Conforme indicado nas figuras acima, o tempo total de geração de alocação sub-

ótima de canais é da ordem de 2 seg, um tempo em média bem inferior a execução

do feasible, necessário para a obtenção de soluções ótimas.

Figura 5-5 – Comparação do algoritmo sub-ótimo com o resultado da otimização

A vantagem desse tipo de abordagem é clara, pois a um custo

computacional bem menor, consegue-se resultados qualitativamente tão bons

quanto o da otimização anteriormente feita.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

powerX

min

imiz

ação

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6 Conclusão

Nesta tese foi estudado o problema de alocação de potências e de canais em

redes de comunicações em geral. Este trabalho pretende dar continuidade a uma

série de pesquisas publicadas por vários grupos ao longo dos últimos anos. Estas

publicações caracterizam este assunto como de enorme relevância científica e

tecnológica, de um grau elevado de dificuldade e conseqüentemente ainda

bastante aberto a novos desenvolvimentos. O grande elemento motivador para esta

linha de pesquisa está no surgimento de novas tecnologias, serviços, e topologias

que se por um lado trarão mais comodidade aos usuários, por outro lado requerem

novas soluções técnicas ainda inexistentes e que requerem esforço para sua

viabilização. Este trabalho foi realizado dentro desta perspectiva.

6.1. Sumário

Inicialmente convém ressaltar que em relação aos sistemas telefônicos

celulares atuais, a alocação fixa de canais resolve, mesmo que de forma sofrível, o

problema de banda de transmissão. Entretanto os sistemas futuros de terceira e

quarta geração possuem exigências que irão requerer um gerenciamento muito

mais criterioso do restrito espectro disponível. Surge então a necessidade de um

novo conceito de gerência e alocação de recursos, onde é necessário tomar

decisões antes do envio de cada pacote, sendo então imperiosa a monitoração das

condições instantâneas do canal de rádio.

O presente trabalho teve origem de uma formulação considerada clássica e

amplamente utilizada na maioria dos trabalhos sobre o assunto. Esta formulação,

vista no capítulo 3, requer o conhecimento da matriz de ganhos do enlace, dos

critérios de “SINR” que estão relacionados aos critérios de “QoS”. A partir destes

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Conclusão 92

elementos, conseguiu-se chegar a um resultado que permite a verificação da

viabilidade de agrupamentos de enlaces em canais comuns de uma forma

computacionalmente mais eficiente.

Foi apresentada ao longo desta tese uma série de metodologias para o

tratamento de problemas correlatos onde, em algumas delas, pode-se verificar a

introdução de elementos de inovação. Dentre estas se destacam:

• A formalização de um teorema que expressa uma condição

para o critério de f-viabilidade, que em alguns problemas tem

custo computacional inferior ao já consagrado método de

determinação do raio espectral.

• Um método de cálculo de determinantes de dimensão n a

partir de sua forma particionada (n-1,1) e com esforço

computacional inferior ao associado ao cálculo direto.

• A transformação do problema não linear de mínima

potencia máxima em um equivalente linear.

• A utilização dos círculos de Gerschgorin para determinação

de um limitante para o raio espectral de uma matriz, estes nunca

foram usados para esse fim.

• Três algoritmos sub-ótimos para geração de alocações de

potência baseado em heurísticas diferentes.

6.2. Discussão

As investigações contidas neste trabalho visam principalmente o aumento de

desempenho em problemas relacionados à determinação de alocação de canais e

potências. Embora as técnicas existentes e conhecidas na literatura permitam este

cálculo, as propostas discutidas neste trabalho buscam uma maior eficiência.. Esta

tese pretendeu mostrar que as metodologias aqui apresentadas servem aos

propósitos de seus problemas motivadores e são relativamente rápidas e eficientes.

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Conclusão 93

6.3. Sugestões para trabalhos futuros

Lista-se a seguir algumas sugestões relevantes que poderão ser temas de

novas pesquisas no assunto:

• A primeira diz respeito à variação estocástica da matriz de ganhos de enlace.

O presente trabalho foi desenvolvido utilizando valores constantes de G,

porém já existem alguns estudos consideram que esta matriz deva ser

dinamicamente estimada. Um caminho possível é a suposição de que esta

matriz evolui segundo um modelo linear variante no tempo e assim tem-se um

problema de previsão de seus valores.

• Outro problema de interesse diz respeito a esquemas parcialmente ou

totalmente distribuídos ou descentralizados de alocação de canais e potência.

Existem muitos algoritmos mencionados na literatura para este tipo de

problema. Seria razoável admitir que uma combinação das técnicas aqui

expostas e estes algoritmos possam gerar novas técnicas mais eficientes.

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Glossário

BER Bit Error Rate BUFFER Termo que descreve um espaço de armazenamento CDMA Code Division Multiple Access CDMA/HDR High Data Rates CDMA CSMA Carrier Sense Multiple Access DCPC Distributed Constrained Power Control DPC Distributed Power Control DS-CDMA Direct Sequence CDMA FDMA Frequency Division Multiple Access IS-95 Interim Standard-95 MANET Mobile Ad Hoc Neworks OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access PCMA Power Controlled Multiple Access PCS Personal Communication System POTS Plain Old Telephone System PSTN Public Switch Telephone Network QoS Quality of Service RAKE Rake RF Radio Frequency SCDMA Scheduled CDMA SDMA Spatial Division Multiple Access SINR Signal-to-Interference Noise Ratio SIR Signal-to-Interference Ratio SNR Signal-to-Noise Ratio TDMA Time Division Multiple Access TPC Transmitter Power Control UMTS Universal Mobile Telecommunications System WCDMA Wideband CDMA WLAN Wireless Local Area Network

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