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Rodolfo Andrade Cardoso

Crescimento Bacteriano no Quimiostato:

Uma Aplicação da Teoria de Equações

Diferenciais Ordinárias

Ouro Preto - MG, Brasil

Dezembro 2018

Rodolfo Andrade Cardoso

Crescimento Bacteriano no Quimiostato: Uma

Aplicação da Teoria de Equações Diferenciais

Ordinárias

Trabalho apresentado como requisito parcialpara a Conclusão do Curso de Bachareladoem Matemática da Universidade Federal deOuro Preto.

Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP)

Instituto de Ciências Exatas e Biológicas (ICEB)

Departamento de Matemática (DEMAT)

Bacharelado em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Eder Marinho Martins

Coorientador: Prof. Dr. Wenderson Marques Ferreira

Ouro Preto - MG, Brasil

Dezembro 2018

Catalogação: [email protected]

C178c Cardoso, Rodolfo Andrade. Crescimento bacteriano no quimiostato [manuscrito]: uma aplicação da teoriade equações diferenciais ordinárias / Rodolfo Andrade Cardoso. - 2018.

99f.: il.: color; tabs.

Orientador: Prof. Dr. Eder Marinho Martins. Coorientador: Prof. Dr. Wenderson Marques Ferreira.

Monografia (Graduação). Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto deCiências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática.

1. Equações diferenciais. 2. Teoremas de existência. 3. Biomatemática. I.Martins, Eder Marinho. II. Ferreira, Wenderson Marques. III. UniversidadeFederal de Ouro Preto. IV. Titulo.

CDU: 51:573.6

À Ágatha e Amanda, as mulheres da minha vida.

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais pelas oportunidades proporcionadas, carinho e educação.

Ao meu irmão pelo companheirismo. A Ágatha pela felicidade e Amanda pelo amor e

doçura na minha vida.

Aos professores Eder Marinho Martins e Wenderson Marques Ferreira, pela

paciência e orientação deste trabalho. Aos professores da banca pela sugestões e

correções, em especial ao professor Sebastião Martins Xavier por enriquecer o trabalho.

Aos amigos da República Tigrada pelo companheirismo, em especial os irmãos que

z neste lugar durante essa quase década. Aos amigos de Ouro Preto que participaram

nesta inesquecível fase da minha vida.

Resumo

No presente trabalho abordou-se uma aplicação da teoria de Sistemas de EDOs: um

modelo biomatemático que descreve a interação entre bactérias e nutrientes dentro de

um dispositivo chamado Quimiostato. O principal objetivo é descrever o comporta-

mento das bactérias e nutrientes para qualquer período de tempo dentro do aparelho.

Utiliza-se a teoria de sistemas EDOs para modelar matematicamente essa dinâmica

populacional, visando obter resultados geométricos sobre o modelo. Inicialmente, para

tal objetivo, foi estudado o Teorema do Ponto Fixo de Banach e alguns Teoremas de

Existência e Unicidade foram demonstrados. Estes resultados são fundamentais para se

entender a teoria dos sistemas de EDOs. A partir dos mesmos é possível descrever as

principais características do caso mais trivial, o Sistema Autônomo Linear Homogêneo

Bidimensional e através de um isomorsmo entre o conjunto das soluções deste sistema

com plano cartesiano, observa-se que o este é um espaço vetorial de dimensão dois.

Outras características como: comportamento espacial e assintótico, estabilidade e insta-

bilidade foram descritas. Posteriormente, a importância dos sistemas lineares descritos

é revelada, estes ajudam a compreender o comportamento assintótico dos autônomos

não-lineares necessitando somente que suas funções coordenadas tenham derivadas

contínuas, estes sistemas são conhecidos como quase lineares.

Palavras-chave: Sistemas de Equações Diferenciais. Modelagem Matemática. Teorema

da Existência e Unicidade. Quimiostato. Biomatemática. Sistemas Autônomos.

Abstract

In this work was studied the application of the ODEs theory in a biomathematical

model that describes the interaction between the species and the nutrients inside an

apparatus called Chemostat. Our goal is to the discribe the behavior of the bacteria

and nutrients on phase plane, making a geometric analysis of the solutions. In this way

Banach’s Fixed Point Theorem was proved and as a consequence of this, the Theorem of

Existence and Uniqueness (Picard-Lindelof) was proved too. These results are essential

to understand the teory. From then on, we investigated the most trivial types of Linear

Homogeneous Bidimensional Autonomous System and through an isomorphism between

the set of solutions of these system with Cartesian plane, it is observed that this

is a two-dimensional vector space. In each case, we describid the solution an their

characteristics, exploring: spatial behavior, stability, instability. It was also remarkable

to note that autonomous systems can be linearized in case their coordinate functions

have continuous derivatives, these systems are called almost linear.

Keywords: Ordinary Dierential Equations. Mathematical Modeling. Existence and

Uniqueness Theorem. Chemostat. Biomathematics. Autonomous system.

11

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE . . . . . . . . . . . 15

2 SISTEMAS AUTÔNOMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 O Espaço das Soluções do Sistema Linear Homogêneo Bidimensional 34

2.2 O Plano de Fase do Sistema Linear Homogêneo Bidimensional . . 40

2.2.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Estabilidade e Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Sistemas Quase Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 INTERAÇÃO ENTRE BACTÉRIAS E NUTRIENTES NO QUIMI-

OSTATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Adimensionalização do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Soluções de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Nuclínicas e Direções Importantes no Retrato de Fase . . . . . . . . 79

3.6 Interpretação do Retrato de Fase Aproximado . . . . . . . . . . . . . 86

Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A RESULTADOS AUXILIARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13

Introdução

A modelagem matemática é uma ferramenta frequentemente usada nas áreas das

ciências exatas, por exemplo na tentativa de equacionar fenômenos naturais, que, em

particular, é o intuito deste trabalho. Através de experimentos chega-se a um modelo

biomatemático, formado por um sistema de EDOs, que descreve como bactérias e

nutrientes interagem dentro de um aparelho chamado Quimiostato. A partir deste

modelo, utilizando a teoria dos Sistemas Autônomos, descrevemos o comportamento

aproximado das soluções do sistema encontrado, e, com isto, podemos tirar conclusões

sobre a interação bactéria-nutriente.

Inciou-se as pesquisas com a teoria dos pontos xos, para através do Teorema

do Ponto Fixo de Banach, provar o clássico Teorema de Existência e Unicidade de

Picard-Lindelöf, que é fundamental para tratar dos sistemas de EDOs. Este foi o objetivo

de todo Capítulo 1. Foram apresentados também outros Teoremas de Existência e

Unicidade que possuem hipóteses e teses um pouco diferentes e, equivalentes.

No Capítulo 2 deniu-se sistemas de EDOs com a intenção de particularizá-los

até os sistemas autônomos, principal objetivo do Capítulo. Começando pelo caso mais

simples, os sistemas autônomos lineares homogêneos bidimensionais, através de um

isomorsmo com o plano cartesiano, viu-se que o espaço de soluções deste sistema

é bidimensional, com isso foi possível caraterizar seu retrato de fase, exibindo todos

os casos possíveis que variaram de acordo com os coecientes da matriz associada

ao sistema. Finalmente abordou-se os conceitos de aproximação linear de sistemas

autônomos quase lineares; estabilidade, estabilidade assintótica e instabilidade das

soluções de equilíbrio de um sistema autônomo.

O objetivo do Capítulo 3 é mostrar os passos de como a interação entre bactérias

e nutrientes é modelada por um sistema autônomo quase linear e quais são os resultados

14 Sumário

geométricos e assintóticos de seu plano de fase. Munido das ferramentas do Capítulo 2,

adimensionaliza-se o sistema, caracteriza-se as soluções de equilíbrio de acordo com

seus sistemas lineares associados e esboça-se um retrato de fase associado.

No Apêndice A, apresenta-se alguns resultados sobre espaços métricos, como:

a equivalência de normas, as denições de sequência de Cauchy e completude de um

espaço métrico, utilizados durante todo texto.

15

Capítulo1

Teorema de Existência e Unicidade

Neste capítulo, partindo das denições de ponto xo, continuidade e funções

de Lipschitz (em particular contrações), o principal objetivo é abordar o Teorema de

Existência e Unicidade para EDOs, como consequência de um resultado sobre contrações,

o Teorema do Ponto Fixo de Banach. O Teorema de Existência e Unicidade de EDOs

será fundamental para o estudo dos sistemas autônomos e suas aplicações, estes que

também são objetivos do texto.

Denição 1.1. Seja A um conjunto e uma função f : A → A. Dizemos que x ∈ A é um

ponto xo de f , se

f(x) = x.

Para exercitar o conceito da denição acima, vejamos alguns exemplos de aplica-

ções que possuem pontos xos.

Exemplo 1.1. Todo x ∈ A é ponto xo de

id : A → A,

x → x.

Exemplo 1.2. A aplicação rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário, dada por

Tθ : R2 → R2(x

y

)→ Aθ

(x

y

),em que Aθ =

(cos θ senθ

−senθ cos θ

),

tem o ponto (0, 0) como seu único ponto xo (Veja Figura 1).

16 Capítulo 1. Teorema de Existência e Unicidade

Figura 1 – A origem é o único Ponto Fixo de Tθ.

Exemplo 1.3. Se uma função ímpar f , possui um ponto xo x0, então −x0 é também um

ponto xo de f . Vejamos: se f é ímpar. tem-se

f(−x0) = −f(x0),

e como f(x0) = x0, pois x0 é ponto xo de f , então

f(−x0) = −x0.

Por exemplo a função f(x) = x3 tem como pontos xos (1, 1) e (−1,−1). Como ilustrado

na Figura 2.

Figura 2 – A interseção entre y = x e y = x3 são os Pontos Fixos de f(x) = x3.

17

Encontrar um ponto xo de uma função f , na prática, é resolver a equação

f(x) = x. Importante notar que há inúmeras funções que não possuem pontos xos,

por exemplo f(x) = x2 + 1, como a equação

f(x) = x⇔ x2 − x+ 1 = 0,

não possui soluções reais, então f não possui pontos xos.

No entanto, resolver f(x) = x pode não ser simples. Abordaremos um resultado

que facilita encontrar tais pontos xos para um tipo especíco de funções, chamadas

contrações.

Denição 1.2. Sejam (M1, d1) e (M2, d2) Espaços Métricos. Uma função f : M1 →M2 é

de Lipschitz se existe k > 0 tal que

d2 (f(x), f(y)) ≤ kd1 (x, y) ,∀x, y ∈M1.

Em particular, se 0 < k < 1, f será uma contração.

Proposição 1.1. Se f for de Lipschitz, então f é uniformemente contínua.

Demonstração. Dado ε > 0, tome δ =ε

k, em que k é a constante de Lipschitiz de f . Daí,

se d1 (x, y) < δ, então

d2 (f(x), f(y)) ≤ kd1 (x, y) ≤ kδ = kε

k= ε.

Portanto f é uma função uniformemente contínua.

Teorema 1.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Seja (M,d) um espaço métrico não-

vazio. Suponha que (M,d) é completo (isto é, toda sequencia de Cauchy é convergente)

toda e seja T : (M,d) → (M,d) uma contração em (M,d). Então T possui um único

ponto xo.

Existência. Dado x0 ∈ M , denimos, recursivamente, uma sequência, dada por xn =

T (xn−1), para n ≥ 1. Ou seja,

xn = (x0, x1 = T (x0), x2 = T (x1) = T 2(x0), . . . , xn = T (xn−1) = T n(x0), . . . ).

Notemos que (xn) ⊂M , e, pela completude de (M,d), caso a sequência seja de

Cauchy ela será convergente. Dito isso, sendo T uma contração e λ sua constante de


Lipschitz, ocorre para todo k ≥ 0 o seguinte fato

d(xk+1, xk) = d(T (xk), T (xk−1)) ≤ λd(xk, xk−1)

= λd(T (xk−1), T (xk−2))

≤ λ2d(xk−1, xk−2)

= λ2d(T (xk−2), T (xk−3))

≤ λ3d(xk−2, xk−3)...

≤ λkd(x1, x0).

Partindo do resultado anterior, usando a desigualdade triangular e supondo

m > n, obtemos

d(xm, xn) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · ·+ d(xm−1, xm)

≤ λnd(x0, x1) + λn+1d(x0, x1) + · · ·+ λm−1d(x0, x1)

= λn(1 + λ+ λ2 + · · ·+ λm−n−1) · d(x0, x1).

(1.1)

Note que (1 + λ+ λ2 + · · ·+ λm−n−1) é a soma de uma progressão geométrica de razão

λ ∈ (0, 1), de modo que

(1 + λ+ λ2 + · · ·+ λm−n−1) =1− λm−n

1− λ.

Como 0 < λ < 1 e m > n, tem-se que

0 < λm−n < 1⇔ −1 < −1 + λm−n < 0⇔ 0 < 1− λm−n < 1.

Voltando à desigualdade (1.1) e utilizando as desigualdades anteriores, obtém-se

d(xm, xn) ≤ λn1− λm−n

1− λd(x0, x1) ≤

λn

1− λd(x0, x1).

Como d(x0, x1) e 1− λ são número reais positivos, podemos tomar n0 ∈ N tal que

n0 > logλ

(ε

(1− λ)

d(x0, x1)

),

de modo que, se m > n > n0, então

d(xm, xn) ≤ λn

1− λd(x0, x1) <

λn0

1− λd(x0, x1) < λ

logλ

(ε

(1−λ)d(x0,x1)

)d(x0, x1)

1− λ= ε.

Portanto, (xn) é uma sequencia de Cauchy e como (M,d) é um Espaço Métrico completo,

existe x ∈M tal que, xn → x, em que x ∈M .

19

Com o resultado da convergência de (xn) e o fato de T ser uma contínua (pois é

contração), podemos concluir que x é o ponto xo de T . De fato, denindo xn+1 = T (xn)

e tomando o limite, vem que

limn→+∞

xn+1 = limn→+∞

T (xn) = T

(lim

n→+∞xn

)⇔ x = T (x),

como queríamos demonstrar.

Unicidade. Suponhamos que existam x, y ∈ M , x 6= y, em que T (x) = x e T (y) = y.

Então,

d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ λd(x, y)⇔ (1− λ)d(x, y) ≤ 0,

logo, como (1− λ) > 0 e d(x, y) ≥ 0, temos

0 ≤ (1− λ)d(x, y) ≤ 0.

Como (1 − λ) 6= 0, então d(x, y) = 0, implicando em x = y. Portanto o ponto xo é

único.

Vejamos alguns exemplos de funções que não cumprem todas as hipóteses que o

Teorema do Ponto Fixo de Banach exige e, por isso, não o contradizem.

Exemplo 1.4. Seja f : [0, 1]→ [0, 1] dada por f(x) = x2. Pela Figura 3 podemos ver que

f possui dois pontos xos, e não um único. Isso não contradiz o Teorema do Ponto Fixo

de Banach pois f não é uma contração. De fato, suponhamos que f seja uma contração,

então existiria 0 < k < 1 tal que

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y| ⇔ |x2 − y2| ≤ k|x− y|⇔ |(x− y)(x+ y)| ≤ k|x− y|⇔ |x− y||x+ y| ≤ k|x− y|,∀x, y ∈ [0, 1].

Em particular, se x =9

10e y =

8

10, tem-se

∣∣∣∣ 1

10

∣∣∣∣ ∣∣∣∣17

10

∣∣∣∣ ≤ k

∣∣∣∣ 1

10

∣∣∣∣ .Implicando em k > 1. O que é um absurdo, pela suposição que zemos anteriormente

sobre k.


Figura 3 – f possui dois pontos xos, (0, 0) e (1, 1).

Exemplo 1.5. Seja g : (0, 1)→ (0, 1), em que g(x) =x

2. Neste caso, não há pontos xos,

apesar de g ser uma contração. De fato, pela métrica usual de R induzida em (0, 1),

tem-se que

|g(x)− g(y)| =∣∣∣x2− y

2

∣∣∣ =1

2|x− y|,∀x, y ∈ (0, 1).

Porém, o espaço métrico em que g está denida não é completos. Note que (xn)+∞n=1 =1

né

uma sequência de Cauchy em (0, 1), mas que não converge em (0, 1).

Figura 4 – g não possui pontos xos.

Exemplo 1.6. Neste exemplo vejamos um caso em que a função dada não é invariante

sobre o conjunto em que está denida e o que isto pode acarretar. Seja h : [−1, 1] →

21

[5

3,7

3

], dada por h(x) =

x

3+ 2. Repare que h é uma contração, pois

|h(x)− h(y)| =∣∣∣x3

+ 2− y

3− 2∣∣∣ =

1

3|x− y|,∀x, y ∈ (0, 1).

E que seu domínio e imagem são espaços métricos completos. Apesar das armações

acima estarem corretas e serem parte da hipótese do Teorema 1.1, h não possui pontos

xos. Este fato não contradiz o Teorema do Ponto Fixo de Banach, pois h não é invariante

sobre o espaço métrico completo em que está denida.

Figura 5 – h não possui pontos xo.s

Com o resultado do Teorema do Ponto Fixo de Banach (também conhecido como

Teorema do Ponto Fixo das Contrações) demonstrado, partiremos para o principal

objetivo do capítulo: abordar alguns Teoremas de Existência e Unicidade, para tal é

necessário algumas preliminares.

Lema 1.1. Seja f : I → R derivável e I ⊂ R um intervalo. Se existe k ∈ R, tal que|f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I , então para todo x, y ∈ I tem-se que

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|.

Demonstração. Dados x, y ∈ I , podemos considerar o intervalo [x, y] ⊂ I , e f |[x,y] écontínua e derivável em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio existe z ∈ (x, y) tal que

f ′(c) =f(y)− f(x)

y − x⇒ |f ′(c)| = |f(y)− f(xx)|

|y − x|.


Como |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I , em particular para c, temos

|f(y)− f(x)| = |f ′(c)||x− y| ≤ k|x− y|,


Lema 1.2. Uma função contínua x(t) é solução do problema de valor inicial x′(t) = f(t, x),

x(t0) = x0,(1.2)

se, e somente se, for ponto xo do operador T , denido por

Tx(t) = x0 +

∫ t

t0

f(z, x(z))dz.

Demonstração. Se Tx(t) = x(t) para todo t ∈ I , então vale

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(z, x(z))dz.

Notemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, x(t0) = x0 e x′(t) = f(t, x(t)).

Reciprocamente, suponhamos que x(t) seja uma solução do PVI (1.2), então

x′(t) = f(t, x(t)) ⇒∫ t

t0

x′(t) =

∫ t

t0

f(t, x(t))dt

⇒ x(t) = x(t0) +

∫ t

t0

f(t, x(t))dt = T (x(t)).

O próximo Teorema é crucial para o entendimento da teoria de EDOs. Na sua

demonstração utilizaremos o Lema anterior para, através do Teorema do Ponto Fixo de

Banach, provar que o operar associado ao problema de valor inicial possui um único

ponto xo sob certas condições.

Teorema 1.2 (Picard-Lindelöf). Sejam f : A→ R contínua, em que

A = (t, x) : |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b,

e seja c tal que |f(t, x)| ≤ c,∀(t, x) ∈ R. Suponha que f seja de lipschitz em sua segunda

variável, isto é, xado t ∈ [t0 − a, t0 + a] existe k ≥ 0, tal que

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ k|x− y|,∀x, y ∈ [x0 − b, x0 + b],

23

Então, o problema de valor inicial x′(t) = f(t, x),

x(t0) = x0,(1.3)

possui uma única solução denida no intervalo [t0 − β, t0 + β], em que

β < min

a,b

c,

1

k

.

Figura 6 – Retângulo R em que a continuidade de f é garantida.

Demonstração. Seja J = [t0 − β, t0 + β], vamos denir o conjunto

C(J) = x : J → R | x é contínua ,

sabemos que (C(J), d) é um espaço métrico completo (veja Apêndice A), com a métrica

dada por

d(x, y) = ||x− y||∞ = maxt∈J|x(t)− y(t)|.

Considere o conjunto C1 = x ∈ C(J) : |x(t)− x0| ≤ cβ, ∀t ∈ J. Note que aqui, já existe

a necessidade de β < a e cβ < b, fazendo isso garantimos que os grácos das funções

de C1 estarão dentro do retângulo R. Importante é a observação de que C1 é completo,

pois é fechado e está contido no espaço métrico completo C(J).


Denamos, como no Lema 1.2, o operador T : C1 → C1, dado por

Tx(t) = x0 +

∫ t

t0

f(z, x(z))dz.

Como a ideia é usar o Teorema do Ponto Fixo de Banach em T , temos que mostrar

T (C1) ⊂ C1 para que C1 seja invariante por T . De fato, se x ∈ C1, então |x(t)− x0| ≤cβ, ∀t ∈ J . Por hipótese, tem-se

|Tx(t)− x0| =∣∣∣∣∫ t

t0

f(z, x(z))dz

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

t0

|f(z, x(z))|dz ≤ c

∫ t

t0

dz = c|t− t0| < cβ.

Então Tx ∈ C1, ou seja, T : C1 → C1.

Agora, provemos que T é uma contração. Para todo t ∈ J , tem-se

|Tx(t)− Ty(t)| =

∣∣∣∣∫ t

t0

(f(z, x(z))− f(z, y(z)))dz

∣∣∣∣≤

∫ t

t0

|f(z, x(z))− f(z, y(z))|dz

≤∫ t

t0

k|x(z)− y(z)|dz

≤ k||x− y||∞∫ t

t0

dz

= k||x− y||∞|t− t0|≤ kβd(x, y),

assim,

d(Tx, Ty) = maxt∈J|Tx(t)− Ty(t)| < kβd(x, y).

Como β < min

a,b

c,

1

k

, kβ < 1 e, portanto T é uma contração. Finalmente, pelo

Teorema do Ponto Fixo de Banach, T possui um único ponto xo, o que implica, de

acordo com o Lema 1.2, que o sistema (1.3) associado a T , tem uma solução única.

Observação 1.1. O Teorema de Existência e Unicidade continua válido se x ∈ Ω, em que

Ω ⊂ Rn é aberto e a função f assume valores em Rn, ou seja,

f : I × Ω → Rn,

(t, x) → f(t, x).

Esta versão do Teorema será fundamental para resultados durante o texto, logo, é a que

usaremos. Esse Teorema está enunciado dessa forma e demonstrado em [2].

Existem outros Teoremas de Existência e Unicidade que abordaremos neste texto,

para isso é necessário alguns resultados preliminares.


O próximo Teorema de Existência e Unicidade tem característica próprias, apesar

de ser parecido com o Teorema 1.2. Comparando-os, este último possui resultados mais

sólidos e utiliza menos hipóteses. Antes de enunciá-lo, considere o seguinte lema.

Lema 1.4. Seja uma contração Tm : M → M , em que (M,d) é um Espaço Métrico

completo, então T possui um único ponto xo.

Existência. A aplicação Tm satisfaz as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo de Banach,

por isso a equação

Tm(x) = x,

tem solução para um único x ∈M . Aplicando T em ambos os lados

T (Tm(x)) = T (x)⇔ Tm+1(x) = T (x)⇔ T · · · T︸︷︷︸m−vezes

(T (x)) = T (x)⇔ Tm(T (x)) = T (x).

Pela unicidade do ponto xo de Tm, temos T (x) = x, logo T possui ponto xo.

Unicidade. Suponha que exista y ponto xo de T , isto é,

T (y) = y,

fazendo m iteradas em ambos os lados, tem-se

Tm(y) = y.

Como x era o único ponto de Tm, então y = x, logo T possui um único ponto xo.

Teorema 1.3. Seja o conjunto aberto Ω ⊂ Rn+1 e f : Ω→ Rn contínua. Se [a, b]×Rn ⊂ Ω

e f de Lipschitz na sua segunda variável denida em [a, b]× Rn então, para quaisquer

t0 ∈ [a, b] e x0 ∈ Rn, existe uma única solução do problema de valor inicial

x′(t) = f(t, x),

x(t0) = t0,(1.6)

27

Figura 7 – Região R em que a continuidade de f é garantida

denida em [a, b].

Demonstração. Vamos usar o operador T , denido no Lema 1.2, dado por

Tx(t) = x0 +

∫ t

t0

f(z, x(z))dz.

Seja L = b− a e K a constante de lipschitz da função f . Note que para todo t ∈ [a, b],

tem-seKm

m!|t− t0|m ≤

Km

m!Lm,

e, pelo Lema 1.3, obtém-se

|Tmx(t)− Tmy(t)| ≤ (KL)m

m!d(x, y). (1.7)

Vejamos que a sequência (xn)+∞n=1, em que o n-ésimo termo é dado por

xn =(KL)m

m!

converge para zero. Pois, consideremos a série em que o termo geral é dado pela

sequência anterior, usando o teste da razão obtemos

limm→+∞

(KL)m+1

(m+ 1)!

(KL)m

m!

= limm→+∞

(KL)m ·KL(m+ 1)m!

m!

(KL)m= lim

m→+∞

KL

m+ 1= 0.

Logo a série em questão é convergente, isto é,

+∞∑m=1

(KL)m

m!< +∞.


O que implica em

limm→+∞

(KL)m

m!= 0.

Consideremos a inequação 1.7, aplicando o sup em ambos os lados, obtemos

supt∈I|Tmx(t)− Tmy(t)| ≤ sup

(KL)m

m!d(x, y),

como o termo à direita é uma constante, ele é seu próprio sup. Logo,

d (Tm(x), Tm(y)) = supt∈I|Tmx(t)− Tmy(t)| ≤ sup

(KL)m

m!d(x, y) =

(KL)m

m!d(x, y),

segue-se da convergência de (xn) que, dado 0 < ε < 1, existe m0 natural tal que para

todo m > m0, tem-se(KL)m

m!< ε.

Logo, tomando m = m0 + 1, teremos

d(Tmx, Tmy) < ε · d(x, y), em que 0 < ε < 1.

Portanto, Tm é uma contração e possui um único ponto xo. E, pelo Lema 1.4 T também

possui um ponto xo. Logo, pelo Lema 1.2, o PVI 1.6 possui solução única x = x(t).

Um consequência imediato deste Teorema, é que nos casos especícos em que

f(t, x) é linear, podemos obter a existência e unicidade das soluções do PVI (1.6),

descartando a hipótese de I = [a, b] ser compacto.

Corolario 1.1. Seja I ⊂ R intervalo (não necessariamente compacto) e sejam funções

A : I → Mm×n(R),

t → A(t),

eb : I → Rn,

t → b(t),

ambas contínuas. Então para todo t0 ∈ I e x0 ∈ Rn, o Problema de Valor Inicial x′(t) = A(t)x(t) + b(t), t ∈ I,

x(t0) = x0,(1.8)

tem uma única solução no intervalo I .

29

Demonstração. Se I for compacto, a função f(t, x) = A(t)x(t) + b(t) é de Lipschitz na

segunda variável, pois

|f(t, x)− f(t, y)| = |A(t)(x(t)− y(t)| ≤ ||A|| · |x(t)− y(t)|,

em que a constante de lipschitz é k = ||A||. Daí, pelo Teorema 1.3, podemos concluir

que o Sistema (1.8) tem única solução.

Caso I não seja compacto, podemos supor que existe [a1, b1] ⊂ I compacto, e

por f ser de Lipschitz, novamente pelo Teorema 1.3 existe única solução, x1(t) denida

em [a1, b1] para o Sistema (1.8).

Podemos tomar um intervalo [a2, b2] ⊃ [a1, b1] e, novamente o Teorema 1.3 nos dá

a unicidade das soluções x2(t) denida em [a2, b2], como é única, então x2(t)∣∣[a1,b1]

= x1(t).

Este processo de extensão do compacto [ak, bk] pode ser repetido innitamente,

é sempre possível tomar [ak+1, bk+1] ⊃ [ak, bk] em que

xk+1(t)∣∣∣[ak,bk]

= xk(t),

como ilustrado na Figura 8.

Figura 8 – Unicidade das Soluções para o Problema (1.8) independentemente do intervalo[ak, bk] considerado.

Com isso podemos denir uma sequência innita de intervalos encaixados

[a1, b1] ⊂ [a2.b2] ⊂ · · · ⊂ [ak, bk] ⊂ [ak+1, bk+1] ⊂ · · · ,

com [ak, bk] tendo sua respectiva solução xk(t) do Sistema PVI (1.8) em que para todo

i < k

xk(t)∣∣∣[ai,bi]

= xi(t).


Como é possível escrever

I = ∪+∞k=1[ak, bk],

podemos denir para todo t ∈ I a função

x(t) = xk(t), t ∈ [ak, bk],

sendo única solução do PVI, como queríamos mostrar.

31

Capítulo2

Sistemas Autônomos

O objetivo neste capítulo é estudar a teoria qualitativa de sistemas de equações

diferenciais autônomas não lineares bidimensionais. Para isto é necessário entender os

sistemas autônomos lineares bidimensionais, estabilidade de soluções e outros conceitos.

Para este estudo usamos os livros [1] e [4].

Vamos denir Sistema de Equações Diferenciais da forma mais geral possível,

partindo de uma função f contínua e

f : I × Ω→ Rn,

em que Ω é um aberto de Rn e I um intervalo da reta. A função f é dada por n funções

coordenadas fi : I × Ω→ R, isto é,

f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)),

em que x(t) ∈ Rn, t ∈ I e cada xi : I → R é uma função coordenada de x : I → R2, isto

é, x(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)). Daí, seja a i-ésima Equação Diferencial dada por

dxidt

= fi(t, x),

unindo todas as n equações, tem-se o Sistema de Equações Diferenciais n-dimensional,

dado por

x′1(t) = f1(t, x),

x′2(t) = f2(t, x),...

x′n(t) = fn(t, x).

(2.1)

32 Capítulo 2. Sistemas Autônomos

Um caso particular desse tipo de Sistema são os Lineares, isto é, quando f é

uma função linear.

Denição 2.1. Um Sistema Linear de Equações Diferenciais é dado, de forma geral, por

x’(t) = A(t)x(t) + b(t), (2.2)

em que A(t) = [aij(t)] é uma matriz quadrada n × n e x’(t), x(t) e b(t) são matrizes

coluna n× 1, ou seja, a Equação (2.2) é equivalente ax′1(t)

x′2(t)...

x′n(t)

=

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)

a21(t) a22(t) · · · a2n(t)...

... . . . ...

an1(t) an2(t) · · · ann(t)

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

+

b1(t)

b2(t)...

bn(t)

,

em que t ∈ I = (a, b).

Em particular, quando b(t) ≡ 0, dizemos que o Sistema Linear é Homogêneo, tal

sistema é descrito por

x’(t) = A(t)x(t). (2.3)

Observação 2.1. Uma Equação Linear de Ordem n, de forma geral dada por

f(t) = yn(t) + an−1(t)yn−1 + · · ·+ a1(t)y

′(t) + a0(t)y(t),

pode ser colocada em correspondência biunívoca com um Sistema Linear, pois, chamando

x1(t) = y(t), tem-se

x′1(t) = x2(t),

x′2(t) = x3(t),...

x′n−1(t) = xn(t),

x′n(t) = −a0x1(t)− a1x2(t)− · · · − an−1xn(t) + f(t).

Podemos escrever o sistema anterior equivalentemente em uma forma matricial,x′1(t)

x′2(t)...

x′n(t)

=

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

...... . . . ...

−a0(t) −a1(t) −a2(t) · · · −an−1(t)

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

+

0

0...

f(t)

.

33

Um caso importante de Sistemas, que nos interessa, são os Autônomos Bidi-

mensionais, quando a variável t não interfere nas funções coordenadas e há apenas duas

Equações.

Denição 2.2. Um Sistema Autônomo Bidimensional, de forma mais geral, é dado por x′ = F (x, y),

y′ = G(x, y),(2.4)

em que F,G : R2 → R, e x, y : I → R, são funções dependentes de t ∈ I . Podemos

reescrever o sistema na forma matricial(x′(t)

y′(t)

)=

(F (x, y)

G(x, y)

). (2.5)

Usando a notação F : R2 → R2, por F(x) = (F (x), G(x)) e x : I → R2 x = (x(t), y(t)),

com x’ = (x′(t), y′(t)), podemos reescrever (2.5) como

x′(t) = F(x). (2.6)

Exemplo 2.1. Seja o seguinte Problema de Valor Inicial, para algum instante de tempo t0 x’(t) =(xt, y),

x(t0) = (1, 2).

Notemos que esse sistema é não autônomo. Podemos encontrar sua solução resolvendo

suas EDOs como dois PVIs separados. Começando pela primeira equação

dx

dt=x

t⇔ ln(x) = ln(t) + k1 ⇔ x(t) = K1t,

e como x(t0) = 1, então 1 = K1t0, logo K1 =1

t0e x(t) =

t

t0. Para a segunda variável

dy

dt= y ⇔ ln(y) = t+ k2 ⇔ y(t) = K2e

t

e pela condição inicial, y(t0) = 2, temos 2 = K2et0 , implicando em K2 = 2e−t0 e y(t) =

2et−t0 . A solução procurada é

x(t) =

(t

t0, 2et−t0

). (2.7)

Exemplo 2.2. Dado o Problema de Valor Inicial, em um instante de tempo t0 x’(t) = (x, y) ,

x(t0) = (1, 2).


Procedendo como no Exemplo 2.1, tem-se

dx

dt= x⇔ ln |x| = t+ k1 ⇔ y(t) = K1e

t.

Partindo da condição inicial, x(t0) = 1, temos 1 = K1et0 , implicando em K1 = e−t0 e

x(t) = et−t0 . O segundo PVI é o mesmo do Exemplo 2.1, e portanto a solução geral é

x(t) =(et−t0 , 2et−t0

). (2.8)

Observação 2.2. Importante notar que existe uma diferença entre as soluções dos

Exemplos 2.1 e 2.2: no caso em que o Sistema é não autônomo conseguimos explicitar

y(t) como uma função de x(t) e t0, isto é, como t = x · t0 e y(t) = 2et−t0 , então

y(t, t0) = 2et0(x−1).

No caso autônomo, a solução y pode ser coloca em função apenas da variável dependente

x(t), poisy(t)

x(t)=

2et−t0

et−t0= 2⇔ y(x(t)) = 2x(t).

2

2.1 O Espaço das Soluções do Sistema Linear Homogêneo Bidi-

mensional

Inicialmente estudaremos os sistema autônomo linear homogêneo bidimensional,

o caso mais simples é dado, de forma geral, por x′ = ax+ by,

y′ = cx+ dy,(2.9)

em que a, b, c, d ∈ R. Podemos escrever esse sistema na forma matricial(x′

y′

)=

(a b

c d

)(x

y

), (2.10)

e podemos identicá-lo como

x’ = Ax, (2.11)

em que x’ = (x′, y′), x = (x, y) e A é a matriz de coecientes constantes associada e

suporemos que detA 6= 0.

2.1. O Espaço das Soluções do Sistema Linear Homogêneo Bidimensional 35

As soluções desse sistema são funções contínuas x : I → R2, em que I é um

aberto de R. Juntas, tais soluções formam um conjunto

S2 =x ∈ C(I,R2) : x’ = Ax

.

Para que possamos aprofundar sobre a natureza de S2 devemos observar primeiramente

que este conjunto é um subespaço vetorial de C(I,R2), pois

(a) A solução nula 0, dada por

0 : I → R2,

t → 0(t) = (0, 0),

é um elemento de S2, anal

0’(t) = A0(t),∀t ∈ I.

(b) A soma de duas soluções x, y ∈ S2 são também solução, pois

(x(t) + y(t))’ = x’(t) + y’(t) = Ax(t) + Ay(t) = A(x(t) + y(t)),∀t ∈ I.

(c) A multiplicação por um escalar λ ∈ R e x ∈ S2 também é uma solução, já que

(λx’(t)) = λx’(t) = λAx(t) = A(λx(t)),∀t ∈ I.

Logo, S2 é um subespaço vetorial de C(I,R2).

Uma questão importante é: qual a dimensão de S2 e como seria uma base desse

subespaço vetorial? Para respondê-la, um caminho é tentar exibir um espaço com

dimensão conhecida que seja isomorfo a S2.

Denição 2.3. Dado x0 ∈ R2. Seja,

T : R2 → S2,

x0 → T (x0) = φ,(2.12)

em que φ satisfaz (2.11) para todo t ∈ I , e φ(t0) = x0.

A aplicação T está bem denida pois cada x0 está associada a uma única φ,

pelo Teorema da Existência e Unicidade. Basicamente, x0 é levada em uma solução de

x’ = Ax, tal que x0 é condição inicial.

Lema 2.1. A aplicação T dada em (2.12) é linear. Ou seja, ∀x0, y0 ∈ R2 e α ∈ R, tem-se


(a) T (x0 + y0) = T (x0) + T (y0);

(b) T (αx0) = αT (x0).

Demonstração. (a) Sejam x0,y0 ∈ R2 em que T (x0) = x, T (y0) = y. Como (x0+y0) ∈R2, pela denição de T , deve existir φ tal que

T (x0 + y0) = φ,

em que φ(t) satisfaz x’ = Ax,∀t ∈ I e φ(t0) = x0 + y0. Por outro lado, vejamos

que a soma

T (x0) + T (y0) = x + y,

também é uma solução de x’ = Ax,∀t ∈ I , pois

(x+y)’(t) = (x(t)+y(t))’ = x’(t)+y’(t) = Ax(t)+Ay(t) = A(x(t)+y(t)) = A(x+y)(t)

e em t = t0, temos

x(t0) + y(t0) = x0 + y0.

Dessa forma, obtivemos duas soluções que satisfazem x’ = Ax, e em t = t0 são

iguais. Portanto, pelo Teorema de Existência e Unicidade

φ(t) = x(t) + y(t),∀t ∈ I.

Daí,

T (x0 + y0) = φ = x + y = T (x0) + T (y0).

(b) Dados x0 ∈ R2 e α ∈ R, seja T (x0) = x. Como αx0 ∈ R2, pela denição de T ,

existe φ tal que

T (αx0) = φ,

em que φ(t) satisfaz x’ = Ax, ∀t ∈ I e φ(t0) = αx0. Por outro lado,

αT (x0) = αx,

satisfaz x’ = Ax,∀t ∈ I , pois

(αx)’(t) = (αx(t))’ = αx’(t) = αAx(t) = A (αx(t)) = A(αx)(t),

e quando t = t0, temos

αx(t0) = αx0.


Analogamente ao item (a), temos duas soluções que satisfazem x’ = Ax em todo

t ∈ I e são iguais em t = t0. Portanto pelo Teorema de Existência e Unicidade,

essas soluções as são mesmas, ou seja

φ(t) = αx(t),∀t ∈ I.

Logo,

T (α (x0)) = φ = αx = αT (x0) .

Com o resultado do Lema 2.1, concluímos que a aplicação T , da Denição 2.3, é

uma transformação linear. Com isso, podemos investigar sua injetividade partindo do

conjunto KerT .

Lema 2.2. A aplicação (2.12) é injetiva, equivalentemente KerT = (0, 0).

Demonstração. O Núcleo da transformação T é o conjunto

KerT =x0 ∈ R2 : T (x0) = 0

.

Dado x0 ∈ KerT , temos T (x0) = 0, em que

0(t) = (0, 0), ∀t (2.13)

Em particular para t = t0, tem-se

x0 = x(t0) = 0⇔ x0 = 0.

Portanto, se x0 ∈ KerT , então x0 = 0, ou seja, KerT = (0, 0).

Teorema 2.1. Existe um isomorsmo T : S2 → R2 em que S2 é o conjunto das soluções

de x’ = Ax, em que detA 6= 0. Em particular a dimensão de S2 é dois.

Demonstração. Pelos resultados dos Lemas 2.1 e 2.2, podemos concluir que R2 e ImT

são isomorfos. Então, a dim(ImT ) = 2, vamos usar este fato para obtermos a dimensão

S2.

Armação 2.1. Os conjuntos ImT e S2 são iguais.

O conjunto ImT está contido em S2 pela denição de T . Então falta mostrar que

S2 ⊂ ImT . Dado φ ∈ S2, pela denição do deste conjunto sabemos que φ é solução de


x’(t) = Ax(t) para todo t ∈ I . Em particular para algum t0 ∈ I , tem-se φ(t0) = x0 para

algum x0 ∈ R2. Deste modo

T (x0) = φ,

o que implica em S2 ⊂ ImT . Uma vez provada a Armação 2.1, podemos concluir que

dimS2 = 2.

Este resultado vale para Sistemas de Equações Lineares não necessariamente

autônomos de ordem nita. No teorema abaixo vamos mostrar que o conjunto das

soluções do Sistema (2.3), dado por

Sn = x ∈ C(I,Rn) : x’(t) = A(t)x(t),

é um espaço vetorial e é n-dimensional.

Teorema 2.2. O conjunto Sn das Soluções do Sistema x’(t) = A(t)x(t) é um subespaço

vetorial do espaço C(I,R) e tem dimensão n.

Demonstração. Como C(I,R) é um Espaço Vetorial e Sn ⊂ C(I,R), então Sn é um

subespaço vetorial. Pois

(a) A solução nula 0, dada por

0 : I → Rn,

t → 0(t) = (0, 0, · · · , 0)︸︷︷︸n−zeros

,

é um elemento de Sn, pois

0’(t) = A(t)0(t).

(b) A soma de duas Soluções x(t),y(t) ∈ Sn são também soluções, pois

(x(t) + y(t))’ = x’(t) + y’(t) = A(t)x(t) + A(t)y(t) = A(t)(x(t) + y(t)).

(c) A multiplicação por um escalar λ ∈ R e x(t) ∈ Sn também é uma solução

(λx(t))’ = λx’(t) = λA(t)x(t) = A(t)(λx(t)).

Por (a), (b) e (c) podemos concluir que Sn é um subespaço vetorial de C(I,R).

Agora, mostraremos que dim(Sn) = n. Seja

~e1, ~e2, · · · , ~en,

a base canônica de Rn, para cada t0 ∈ I , consideremos as soluções xi(t), em que xi ∈ Sne xi(t0) = ~ei. Vamos mostrar que o conjunto xini=1 é uma base para Sn.


(a) É necessário que xini=1 seja um conjunto linearmente independente. Tomando a

combinação linear de xini=1 com os escalares λini=1 ∈ R,

λ1x1 + λ2x2 + · · ·λnxn,

aplicando em t0 ∈ I e igualando a zero tem-se

λ1x1(t0) + λ2x2(t0) + · · ·λnxn(t0) = 0,

por construção xi(t0) = ~ei, então

λ1~e1 + λ2~e2 + · · ·λn~en = 0,

como ~eini=1 é uma base canônica de Rn, temos λi = 0, i = 1, 2, · · · , n. Portantoo conjunto xini=1 é linearmente independente.

(b) O conjunto xini=1 deve ser gerador do Espaço Sn. Para vericarmos isso tomemos

x ∈ Sn e o apliquemos a t0, obtendo o vetor x(t0) de Rn. Isso implica que existem

λi ∈ R tais que

x(t0) = λ1~e1 + λ2~e2 + · · ·λn~en = λ1x1(t0) + λ2x2(t0) + · · ·+ λnxn(t0).

Portanto, as soluções x(t) e

λ1x1(t) + λ2x2(t) + · · ·+ λnxn(t) (2.14)

coincidem em t = t0. Como Sn é um espaço vetorial, a combinação linear (2.14) é

um elemento de Sn, por hipótese, x ∈ Sn. Isso quer dizer que ambas são soluções

de x′(t) = A(t)x(t),

x(t0) = x0,

pelo Teorema de Existência e Unicidade as duas soluções são iguais para todo

t ∈ I e então

x = λ1x1 + λ2x2 + · · ·+ λnxn.

Portanto, por (a) e (b) o conjunto xini=1 é base de S, logo dimS = n.

Pelos resultados anteriores concluímos que S2 é um subespaço vetorial bidimen-

sional. A partir dessa informação podemos fazer uma abordagem geométrica e vetorial

do conjunto de suas soluções.


2.2 O Plano de Fase do Sistema Linear Homogêneo Bidimensional

Nesta seção averiguaremos como é o comportamento geométrico das solu-

ções de S2 =x ∈ C(I,R2) : x’ = Ax

, fazendo um esboço dos possíveis casos e os

caracterizando de acordo com suas particularidades.

Na seção anterior vimos que dimS2 = 2, isto quer dizer que o espaço vetorial

S2 possui uma base B = x1,x2. Partindo dessa informação, devemos investigar quais

são as possíveis soluções x1 e x2. Uma primeira tentativa, inspirada por problemas de

EDOs de primeira ordem, é buscar por soluções do tipo

x(t) = veλt, (2.15)

cuja a derivada é

x’(t) = λveλt. (2.16)

Podemos supor v 6= 0, pois caso v fosse nulo x também seria e não há sentido em

procurar uma base com elementos nulos. Daí, substituindo as equações (2.15) e (2.16) na

Equação Matricial (2.11), tem-se

x’ = Ax⇔ λveλt = A(veλt)⇔ A(veλt)− λveλt = 0⇔ (A− λI2)v = 0.

Como v 6= 0, então o operador (A− λI2) não é inversível, logo det[A− λI2] = 0. Daí,

det[A− λI2] = 0 ⇔ det

∣∣∣∣∣ a− λ b

c d− λ

∣∣∣∣∣ = 0

⇔ (a− λ)(d− λ)− bc = 0

⇔ λ2 − dλ− aλ+ ad− bc = 0

⇔ λ2 − (a+ d)λ+ ad− bc = 0

⇔ λ2 − trAλ+ detA = 0

Logo, existe um polinômio associado à matriz A, dado por

p(λ) = λ2 − trAλ+ detA. (2.17)

Chamamos este de polinômio característico, as raízes λ1, λ2 são autovalores, que

têm associados os autovetores v1, v2, ambos da matriz A.

Os autovalores e autovetores darão forma à base B, e por isso devemos investigá-

los um pouco mais. Estes elementos vão variar sua forma de acordo com o sinal do

descriminante do polinômio característico, dado por

∆ = (trA)2 − 4 detA.

Antes de continuar, é necessário denir alguns objetos geométricos que serão úteis para

caracterizar os tipos de base para o Espaço S2.

2.2. O Plano de Fase do Sistema Linear Homogêneo Bidimensional 41

Denição 2.4. Supondo que o conjunto x1, x2 é uma base de S2, denominamos o plano

formado por x1 e x2 de Plano de Fase, e o conjunto das soluções descritas sobre este

plano, que serão combinações lineares de x1 e x2, chamamos de Retrato de Fase.

A partir daqui, podemos descrever como as bases e os retratos de fase depen-

derão do sinal de ∆.

2.2.1 Caso 1

Se ∆ > 0 obtemos, λ1, λ2 ∈ R associados aos autovetores v1 e v2, respectivamente.

Então, obtemos duas soluções distintas, dadas por

x1(t) = v1eλ1t e x2(t) = v2e

λ2t, (2.18)

e temos os elementos candidatos a compor uma base para S2.

Armação 2.2. O conjunto B1 = x1, x2, em que x1 e x2 são dados por (2.18), é uma

base para S2.

Prova. Para que B1 seja uma base de S2, é suciente que x1 e x2 sejam linearmente

independentes, pois a dimS2 = 2. Dados α1, α2 ∈ R, tomando a combinação linear

α1x1 + α2x2, aplicada a t ∈ I e igualada a zero, obtemos

α1x1(t) + α2x2(t) = 0⇔ α1v1eλ1t + α2v2e

λ2t = 0,∀t ∈ I.

Em particular isso irá valer para t = 0, isto é,

α1v1 + α2v2 = 0.

Como v1, v2 são linearmente independentes, necessariamente α1 = α2 = 0. Portanto B1

é uma base para S2.

Pela Armação 2.2 podemos escrever os elementos de S2 em uma forma geral,

dada por

x(t) = c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t. (2.19)

Dessa forma, podemos fazer uma análise qualitativa do comportamento da solução

de acordo com os valores de t. Quando t→ +∞, a solução tem um comportamento

assintótico, que irá depender dos sinais destes autovalores.


Para descrever o retrato de fase das soluções do sistema linear na base B1,

quando os autovalores são negativos, inicialmente observa-se que as soluções tendem

a origem do plano de fases à medida em que t aumenta, pois

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

||c1v1eλ1t + c2v2eλ2t||

≤ limt→+∞

(|c1| · ||v1||eλ1t + |c2| · ||v2||eλ2t

)=

(|c1| · ||v1|| lim

t→+∞eλ1t + |c2| · ||v2|| lim

t→+∞eλ2t)

= 0 + 0 = 0.

Para compreensão geométrica da solução, supondo sem perda de generalidade que

0 > λ2 > λ1, vejamos o que ocorre quando t→ −∞, fazendo

limt→−∞

||x(t)|| = limt→−∞

||c2v2eλ2t + (c1)v1eλ1t||

≥ limt→−∞

(|c2| · ||v2||eλ2t − |c1| · ||v1||eλ1t

)= lim

t→−∞

[eλ2t

(|c2| · ||v2|| − |c1| · ||v1||e(λ1−λ2)t

)]= lim

t→−∞eλ2t

(|c2| · ||v2|| − |c1| · ||v1|| lim

t→−∞e(λ1−λ2)t

)= lim

t→−∞eλ2t (|c2| · ||v2||+ 0) = +∞,

isso quer dizer que as soluções se afastam de (0, 0) a medida que o tempo diminui.

Agora, vejamos como as soluções se comportam de acordo com os sinais de c1e c2, e que tipo de curvas são

(i) Se c1 = 0 ou c2 = 0, então (2.19) é da forma

x(t) = x1(t) = c2v2eλ2t

ou

x(t) = x2(t) = c1v1eλ1t,

ou seja, a solução está sobre a reta que tem v2 ou v1 como vetor diretor, respecti-

vamente (veja a Figura 9).

(ii) Caso c1 = c2 = 0 , então a solução é x(t) = (0, 0) para todo t ∈ I (veja a Figura 9).

Em outras palavras, se a solução é começada em (0, 0) continuará em (0, 0) para

todo t.


Figura 9 – Posição no plano de fase das retas em que v1 e v2 são vetores diretores. Emparticular, qualquer solução que está compreendida nessas retas, têm c1 ouc2 nulos.

(iii) Caso c1 6= 0 e c2 6= 0 a solução é da forma geral (2.19). Neste caso, como supomos

que 0 > λ2 > λ1, então

x(t) = eλ2t(e(λ1−λ2)tc1v1 + c2v2

),

tomando t→ +∞ o termo e(λ1−λ2)t se torna insignicante a medida que t cresce,

pois λ1 − λ2 < 0,

limt→+∞

x(t) = limt→+∞

eλ2t(

limt→+∞

c1v1e(λ1−λ2)t + c2v2

)= lim

t→+∞eλ2t (0 + c2v2) = 0.

Geometricamente isso signica que as soluções se aproximam da origem tan-

genciando a reta em que v2 é vetor diretor (reta em que c1 = 0). Para t → −∞,

colocando eλ1t em evidência,

x(t) = eλ1t(c1v1 + c2v2e

(λ2−λ1)t),

como λ2 − λ1 > 0, e(λ2−λ1)t se torna insignicante a medida em que t decresce

limt→−∞

x(t) = limt→−∞

eλ2t(c1v1 + lim

t→−∞c2v2e

(λ2−λ1)t)

= limt→−∞

eλ1t (c1v1 + 0) = +∞,

isto quer dizer que as soluções se afastam de (0, 0) se tornando quase paralelas à

reta de vetor diretor v1 (reta em que c2 = 0).


Na Figura 10, temos uma construção esquemática esboçando o comportamento

das soluções de acordo com os possíveis valores de c1 e c2. Os vetores v1, v2 e seus

opostos, dividem o espaço solução em quatro regiões e em cada um destas temos

valores especícos de c1 e c2, conforme descrito abaixo

(a) c1, c2 > 0, então x(t) ∈ I ;

(b) c1 < 0 e c2 > 0, então x(t) ∈ II ;

(c) c1, c2 < 0, então x(t) ∈ III ;

(d) c1 > 0 e c2 < 0, então x(t) ∈ IV .

Figura 10 – Divisão em regiões do Plano de Fase e representação especíca das soluções.

No caso em que os autovalores positivos, λ1, λ2 > 0, o retrato de fase tem as

mesmas características, com uma diferença: as soluções se afastam da origem. Observe

que se t→ +∞, então ||x(t)|| → +∞.

Em geral, os Retratos de Fase destes dois casos são parecidos, estão esboçados

na Figura 11. Nestes casos dizemos que o ponto (0, 0) é um nó atrator ou sorvedouro,

se λ1, λ2 < 0 e nó ou fonte, se λ1, λ2 > 0.


Figura 11 – Os Retratos de Fase do Caso ∆ > 0 em que (a) λ1, λ2 < 0 e (b) λ1, λ2 > 0

No caso em que temos autovalores de sinais distintos, o retrato de fases vai

ser diferente do caso anterior. Supondo, sem perda de generalidade, que λ1 < 0 < λ2,

podemos ver que o módulo da solução geral (2.19) tende para o innito a medida que t

cresce, pois

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞


≥ limt→+∞

[|c2| · ||v2||eλ2t − |c1| · ||v1||eλ1t

]≥ |c2| · ||v2|| lim

t→+∞eλ2t − |c1| · ||v1|| lim

t→+∞eλ1t = +∞

Para enriquecer a compreensão assintótica, quando t→ −∞, ocorre

limt→−∞

||x(t)|| = limt→−∞


≥ limt→−∞

[|c1| · ||v1||eλ1t − |c2| · ||v2||eλ2t

]≥ |c1| · ||v1|| lim

t→−∞eλ1t − |c2| · ||v2|| lim

t→−∞eλ2t = +∞

Analogamente aos casos de valores negativos ou positivos, analisaremos como a so-

lução geral se comportam de acordo com os sinais dos coecientes c1 e c2. Há três

possibilidades

(i) Se c1 = 0 ou c2 = 0, então

x(t) = x1(t) = c2v2eλ2t ou x(t) = x2(t) = c1v1e

λ1t,

respetivamente. Geometricamente, isso implica na existência de duas retas com

vetores diretores v2 e v1 compondo o retrato de fase, tais que

||x1(t)|| = ||v1c1eλ1t|| → 0, caso c2 = 0 e ||x2(t)|| = ||v2c2eλ2t|| → +∞, caso c1 = 0,

quando t→ +∞. (Veja Figura 12)


(ii) Se c1 = c2 = 0, então a solução é o ponto (0, 0) para todo t ∈ I . (Veja Figura 12)

Figura 12 – Posição das retas em que c1 = 0 e c2 = 0 no plano de fase.

(iii) Se c1 6= 0 e c2 6= 0, então na solução geral (2.19) o termo dominante é o que possui

λ2 > 0, pois t→ +∞ o termo c1v1eλ1t se torna desprezível. Em outras palavras, o

crescimento de t faz com que as soluções se aproximem da reta x2(t) = c2v2eλ2t.

De forma análoga, podemos ver que, quando t → −∞, o termo c2v2eλ2t ca

insignicante, ou seja, a medida em que t decresce as soluções se aproximam da

reta x1(t) = c1v1eλ1t.

Como anteriormente, dividimos o plano de fase em regiões, separando de acordo

com os sinais de c1 e c2 (ilustrado na Figura 13).

(a) c1, c2 > 0, então x(t) ∈ I ;

(b) c1 < 0 e c2 > 0, então x(t) ∈ II ;

(c) c1, c2 < 0, então x(t) ∈ III ;

(d) c1 > 0 e c2 < 0, então x(t) ∈ IV .


Figura 13 – Divisão do Plano de Fase em regiões de acordo com os sinais de c1 e c2.

De forma geral, temos na Figura 14 o esboço do retrato de fase quando os

autovalores são positivos e tem sinais opostos. Neste caso, chamamos (0, 0) de ponto

de sela.

Figura 14 – Retrato de Fase do Caso ∆ > 0 em que λ1 e λ2 tem sinais oposto.


2.2.2 Caso 2

Se ∆ = 0, então λ1 = λ2 ∈ R. Logo, temos um único autovalor λ, que pode estar

associado a dois autovetores linearmente independentes ou a apenas um autovetor.

Inicialmente vejamos o caso em que v1 e v2 são autovetores linearmente inde-

pendentes que estão associados a λ. Logo, as soluções

x1(t) = v1eλt e x2(t) = v2e

λt, (2.20)

são os candidatos a elementos para uma base de S2.

Armação 2.3. O conjunto B2,1 = x1, x2, em que x1 e x2 são dados por (2.20), é uma

base para S2.

Prova. Tomando uma combinação linear α1x1 + α2x2, em que αi ∈ R para i = 1, 2 eigualando a zero, temos

α1v1eλt + α2v2e

λt = 0, ∀t ∈ I.

Por hipótese v1 e v2 são linearmente independentes, e eλt > 0 para todo t. Então

α1 = α2 = 0.

Daí, podemos escrever os elementos de S2 como uma combinação linear dos

componentes de B2,1, isto é, de forma geral as soluções são do tipo

x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt. (2.21)

A equação anterior descreve retas de vetor diretor c1v2 + c2v2, logo todas as soluções

deste caso estarão sobre alguma retas. Podemos concluir que o retrato de fase tem a

conguração esboçado na Figura 15.

O comportamento assintótico da solução pode ser resumido, quando t→ +∞,

em dois casos. Primeiro, se λ > 0, então

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

eλt · ||(c1v1 + c2v2)|| = +∞.

Segundo, se λ < 0, tem-se

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

eλt · ||(c1v1 + c2v2)|| = 0.


Figura 15 – Retratos de Fase do Caso ∆ = 0 em que λ está associado a v1 e v2 linearmenteindependentes, (a) λ > 0 (b) λ < 0.

Como no Caso 2.2.1, quando c1 = c2 = 0 a solução é (0, 0) para todo t. Esse

ponto, como está descrito na Figura 15, é chamado de nó próprio ou ponto estrela.

A opção em que λ esta associado somente a um autovetor v inicialmente tem

um problema, pois a base para S2 deve ter dois elementos e somente um das soluções

é conhecida,

x1(t) = veλt. (2.22)

Inspirado pelos procedimentos usados para EDOs de segunda ordem, vamos testar a

solução

x2(t) = vteλt, (2.23)

derivando, tem-se

x’2(t) = veλt + vλteλt. (2.24)

Substituindo (2.23) e (2.24) em x’ = Ax,

veλt + vλteλt = Avteλt ⇔ v = −λvt+ Avt

⇔ v = (A− I2λ)vt.

Como v = (A− I2λ)vt para todo t ∈ R, então v = 0, isso quer dizer que essa solução

não é interessante, pois procuramos elementos que possam ser uma base para S2. Então,

testemos a seguinte combinação

x2(t) = vteλt + weλt. (2.25)

Derivando, obtemos

x’2(t) = veλt + λvteλt + λweλt. (2.26)


Substituindo (2.25) e (2.26) em x′ = Ax, tem-se

veλt + λvteλt + λweλt = A(vteλt + weλt)

⇔ v + λvt+ λw = Avt+ Aw

⇔ t[v(I2λ− A)] = (A− I2λ)w − v,

para todo t ∈ R, em particular para t = 0, o que implica em (A− I2λ)w − v = 0. Dessa

forma t[v(I2λ − A)] = 0, ∀t ∈ I , logo (A − I2λ)v = 0. Unindo as informações obtidas,

tem-se (A− I2λ)v = 0,

(A− I2λ)w = v,(2.27)

em que v é um vetor genuíno e w é um vetor generalizado associado a v. Concluímos

que a Equação (2.25) será segunda solução deste caso, quando v e w satiszerem (2.27).

Encontrado os dois candidatos para serem elementos de uma base para S2,

devemos vericar se são linearmente independentes.

Armação 2.4. O conjunto B2,2 = x1, x2, em que x1 é dado por (2.22) e x2 por (2.25),

é uma base para S2.

Prova. Tomando combinação linear dos elementos de B2,2, temos

α1x1(t) + α2x2(t),∀t ∈ I.

Igualando à zero, tem-se

α1x1(t) + α2x2(t) = 0⇔ α1veλt + α2vte

λt + α2weλt = 0, ∀t ∈ I.

Como eλt > 0 para todo t ∈ I , podemos dividir toda a equação por este termo

α1v + α2vt+ α2w = 0,∀t ∈ R.

Em particular para t = 0, obtêm-se

α1v + α2w = 0.

Para que ocorra α1 = α2 = 0 é necessário que v e w sejam linearmente independentes.

Suponhamos, por absurdo, que v e w sejam linearmente dependentes, então

w = kv, k ∈ R.

O que implicaria, pela segunda equação do Sistema (2.27), a seguinte igualdade

(A− I2λ)w = v ⇔ (A− I2λ)(kv) = v ⇔ k[(A− I2λ)v] = v.


Pela primeira equação do Sistema (2.27), temos (A− I2λ)v = 0. Daí, k[(A− I2λ)v] = v ⇔k · 0 = v, que é um absurdo, pois v é um autovetor da matriz A e é necessariamente

não-nulo.

Pela Armação 2.4, podemos concluir que os elementos de S2 na base B2,2 podem

ser escritos de forma geral por

x(t) = c1veλt + c2(vte

λt + weλt), (2.28)

em que dados c1, c2 ∈ R.

A construção do retrato de fase é análoga aos outros casos. Podemos ver o

resultado nal sobre plano de fase na Figura 16, nos casos em que tomamos o limite da

solução com t→ +∞, se λ > 0 temos

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

||c1veλt + c2(vteλt + weλt)|| ≥ lim

t→+∞

[eλt (t|c2| · ||v|| − ||c1v + c2w||)

]= lim

t→+∞

[teλt

(|c2| · ||v|| −

||c1v + c2w||t

)]= lim

t→+∞teλt

(|c2| · ||v|| − lim

t→+∞

||c1v + c2w||t

)= +∞.

Caso λ < 0, então

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

||c1veλt + c2(vteλt + weλt)|| ≤ lim

t→+∞

(teλt ·

∣∣∣∣∣∣∣∣c1v + c2w

t+ c2v

∣∣∣∣∣∣∣∣)= lim

t→+∞teλt ·

∣∣∣∣∣∣∣∣ limt→+∞

c1v + c2w

t+ c2v

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

pois limt→+∞

teλt = 0, já que a exponencial cresce mais rapidamente que t.

Figura 16 – Retratos de Fase do Caso ∆ = 0 em que λ está associado a um únicoautovetor e (a) λ < 0 (b) λ > 0.


Quando ocorre este caso, denominamos o ponto (0, 0) como nó impróprio ou

nó degenerado.

2.2.3 Caso 3

Se ∆ < 0, então λ1, λ2 ∈ C. Logo, podemos escrever λ1 = σ + iβ, autovalor

associado ao autovetor v1 = a+ ib, em que σ, β ∈ R e a, b ∈ R2. Como são associados à

matriz A, tem-se

(A− λ1I2)v1 = 0,

já que A e I2 são matrizes reais, se tomarmos o conjugado,

(A− λ1I2)v1 = (A− λ1I2)v1 = 0.

Logo, se λ1 é uma autovalor de A, então λ1 também é e associa-se ao autovetor v1. Como

a base que procuramos para S2 tem somente dois elementos, encontramos candidatos

x1 e x2 tais que

x1(t) = veλt e x2(t) = veλt.

No entanto, os autovalores e autovetores são complexos e nosso interesse é a obtenção

de autovalores reais. Podemos escrevê-los da seguinte forma

x1(t) = veλt = (a+ ib)e(σ+iβ)t

= (a+ ib)eσt(cos(βt) + isen(βt))

= eσt(a cos(βt)− bsen(βt)) + ieσt(asen(βt) + b cos(βt))

ex2(t) = veλt = (a− ib)e(σ−iβ)t

= (a− ib)eσt(cos(−βt) + isen(−βt))= (a− ib)eσt(cos(βt)− isen(βt))

= eσt(a cos(βt)− bsen(βt))− ieσt(asen(βt) + b cos(βt)).

Denominando,

u(t) = eσt(a cos(βt)− bsen(βt)) e w(t) = eσt(asen(βt) + b cos(βt)), (2.29)

obtemos, x1(t) = u(t) + iw(t) e x2(t) = u(t) − iw(t). Fazendo a seguinte combinação

linear

u(t) =x1(t) + x2(t)

2e w(t) =

x1(t)− x2(t)2i

, (2.30)

encontramos soluções reais para este caso, u(t) e w(t). Vejamos que estas soluções

também formam uma base para S2.

Armação 2.5. O conjunto B3 = u,w é linearmente independente.


Prova. Dados α1, α2 ∈ R, tomando uma combinação linear α1u + α2w, aplicando a t e

igualando a zero, temos

α1u(t) + α2w(t) = 0⇔⇔ α1e

σt(a cos(βt)− bsen(βt)) + α2eσt(asen(βt) + b cos(βt)) = 0

⇔ α1eσta cos(βt)− α1e

σtbsen(βt) + α2eσtasen(βt) + α2e

σtb cos(βt) = 0

⇔ eσt cos(βt)(α1a+ α2b) + eσtsen(βt)(α2a− α1b) = 0.

Dividindo a equação anterior por eσt > 0, tem-se

cos(βt)(α1a+ α2b) + sen(βt)(α2a− α1b) = 0, ∀t ∈ R.

Como vale para todo t, em particular é válido para t =2

βπ, substituindo na equação

anterior obtém-se

cos

(β

2

βπ

)(α1a+ α2b) + sen

(β

2

βπ

)(α2a− α1b) = 0⇔ (α1a+ α2b) = 0.

Analogamente, deve ser válido para t =π

2β, isto é,

cos

(βπ

2β

)(α1a+ α2b) + sen

(βπ

2β

)(α2a− α1b) = 0⇔ (α1a+ α2b) = 0.

Unindo as duas informações obtidas, tem-se α2a− α1b = 0,

α1a+ α2b = 0.

Como v 6= 0, então a 6= 0 ou b 6= 0. Supondo, sem perda de generalidade, que a 6= 0 e

tomando o produto interno de a na primeira igualdade do sistema anterior, tem-se

〈α2a, a〉 = 〈α1b, a〉 ⇔ α2||a||2 = α1〈b, a〉 ⇔ α2 =α1

||a||2〈b, a〉,

fazendo o mesmo na segunda igualdade do mesmo sistema, obtemos

〈α1a, a〉 = 〈−α2b, a〉 ⇔ α1||a||2 = −α2〈b, a〉 ⇔ α1 = − α2

||a||2〈b, a〉.

Daí, α1 = − α2

||a||2〈b, a〉,

α2 =α1

||a||2〈b, a〉,

e substituindo α1 na segunda equação, tem-se

α2 = − α2

||a||2〈b, a〉〈b, a〉

||a||2⇔ α2 = −α2

〈b, a〉2

||a||4,

o que implica em α2 = 0. Se α2 = 0, então α1 = 0.


Pelo resultado da 2.5, B3 = u,w é uma base para S2. Consequentemente todas

as soluções nesta base são uma combinação linear de u e w, isto é,

x(t) = eσt[(c1a+ c2b) cos βt+ (c2a− c1b)senβt]. (2.31)

A Equação (2.31) representa uma espiral, então no plano de fase, o retrato de

fase deste caso cará como esboçado na Figura 17.

O comportamento assintótico da solução dependerá do sinal de σ. Se σ < 0,

então ||x(t)|| → 0, pois

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

[eσt · ||(c1a+ c2b) cos βt+ (c2a− c1b)senβt||

]≤ lim

t→+∞

[eσt (||c1a+ c2b|| · | cos βt|+ ||c2a− c1b|| · |senβt|)

]≤ lim

t→+∞eσt (||c1a+ c2b||+ ||c2a− c1b||) = 0.

No caso em que σ > 0, precisaremos vericar antes que

||(c1a+ c2b) cos βt− (c1b− c2a)senβt||

é a equação paramétrica de uma elipse rotacionada centrada na origem. Seja k o

semieixo menor dessa elipse, vale que

||(c1a+ c2b) cos βt− (c1b− c2a)senβt|| ≤ k.

Daí, usando a inequação anterior é possível mostrar que ||x(t)|| → +∞, pois

limt→+∞

||x(t)|| = limt→+∞

[eσt · ||(c1a+ c2b) cos βt− (c1b− c2a)senβt||

]≥ lim

t→+∞(eσtk).

O que também está ilustrado na Figura 17. Neste caso, denomina-se o ponto (0, 0) de

ponto espiral, fonte espiral ou sorvedouro espiral.

Figura 17 – Retrato de fase do caso em que ∆ < 0 e σ 6= 0: (a) σ < 0 e (b) σ > 0.

2.3. Estabilidade e Instabilidade 55

Em particular, pode ocorrer que os autovalores sejam complexos imaginários

puros, ou seja, λ1 = iβ e λ2 = −iβ. Este fato não altera o resultado da Armação 2.5,

B3 = u,w ainda será uma base para S2 e as soluções serão escritas de forma geral

como

x(t) = (c1a+ c2b) cos βt+ (c2a− c1b)senβt. (2.32)

Diferente dos demais casos, se t→ ±∞, não implica na convergência ou divergência

de ||x(t)||, geometricamente pode-se ver que o retrato de fase é composto por elipses

(ver Figura 18). Neste caso, o ponto (0, 0) é chamado de centro.

Figura 18 – Retrato de fase do caso ∆ = 0 em que σ = 0.

Com isso, encerramos a busca pelas possíveis bases de S2, variando de acordo

com os possíveis autovetores e autovalores da matriz A. A descrição dos retratos de

fase é importante para compreender o comportamento assintótico das soluções de cada

base encontrada.

2.3 Estabilidade e Instabilidade

As denições de estabilidade e instabilidade dos sistema autônomos são impor-

tantes para classicação e análise dos seus comportamentos assintóticos. Nesta seção

usamos principalmente [1] como fonte de referência.

Para simplicar a notação usaremos que o qualquer sistema autônomo pode ser

escrito na forma

x’ = F(x), (2.33)

em que (x(t), y(t)) = x(t) ∈ R2 e F(x) = (F (x, y), G(x, y)).


Denição 2.5. Uma solução x0 de um sistema autônomo da forma (2.33) é dita de

equilíbrio, quando

F(x0) = 0,

Como F(x0) = 0, então x′0 = 0, implicando em x0 = (a, b), tal que (a, b) ∈ R2. Isto

é, as soluções de equilíbrio são constantes, x0 = (a, b).

Exemplo 2.3. Nos casos das subseções 2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3, em que

x′(t) = ax+ by,

y′(t) = cx+ dy,

a solução de equilíbrio é única, e pela Denição 2.5 ocorre quando ax + by = 0 e

cx+ by = 0. Como supusemos que detA 6= 0 na denição dos sistemas lineares para a

Equação 2.11, então x = y = 0, isso quer dizer que a solução de equilíbrio é a origem.

(Ver Figuras 11, 14, 15, 16, 17 e 18).

Denição 2.6. Uma solução de equilíbrio x0, de um sistema autônomo, é chamada de

estável quando para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que para toda solução x que satisfaz

||x(0)− x0|| < δ, tem-se ||x(t)− x0|| < ε,∀t ≥ 0.

Denição 2.7. Uma solução de equilíbrio x0 de um sistema autônomo, é chamada de

assintoticamente estável se for estável e existir η > 0 tal que para toda solução x em

que

||x(0)− x0|| < η ⇒ limt→+∞

x(t) = x0.

Essas denições dizem, em outras palavras, que as soluções começadas próximas

de x0 permanecem próximas, caso x0 for uma solução de equilíbrio estável. Em particular,

se x0 for assintoticamente estável, as soluções também tendem para x0 à medida em

que t aumenta.


Figura 19 – (a) Estabilidade assintótica; (b) Estabilidade

Utilizando as Denições 2.7 e 2.6, caracterizaremos a estabilidade das soluções

de equilíbrio (0, 0) do caso em que o sistema é autônomo linear e homogêneo, dado por ax+ by = 0,

cx+ dy = 0,

vistos na Seção 2.2, em que as soluções gerais variam de acordo com os coecientes

a, b, c, d.

Exemplo 2.4. Começando pelo Caso 2.2.1 quando os autovalores são reais negativos, a

solução é assintoticamente estável pois, dado ε > 0 tome δ =ε

k, em que k é uma constante

de equivalência das normas em R2 (veja Apêndice A). Daí, como ||x(0)|| = ||c1v1 + c2v2|| e0 > λ1, λ2, tem-se

||x(t)− 0|| = ||c1v1eλ1t + c2v2eλ2t|| ≤ ||c1v1eλ1t||+ ||c2v2eλ2t|| ≤

≤ |c1|||v1||+ |c2|||v2|| ≤ k||c1v1 + c2v2|| ≤ kδ = ε.

Além disso, já sabemos que x(t)→ 0, quando t→ +∞ (veja o Caso 2.2.1 e Figura 11 (b)).

Exemplo 2.5. No Caso 2.2.3 em que os autovalores são λ = σ + iβ e λ = σ − iβ comσ < 0 obtivemos uma solução assintoticamente estável. Dado ε > 0, tome δ =

ε

Mk, em

que k é uma constante de equivalência das normas em R2 (veja Apêndice A) e

M = max

|c1|+ |c2||c1|

,|c1|+ |c2||c2|

.


Como a solução geral em t = 0 é ||x(0)|| = ||ac1 + bc2||, temos

||x(t)− 0|| = ||eσtc1(a cos βt− bsenβt) + eσtc2(bsenβt+ a cos βt)||= eσt||c1(a cos βt− bsenβt) + c2(bsenβt+ a cos βt)||≤ ||c1(a cos βt− bsenβt) + c2(bsenβt+ a cos βt)||= || cos(βt)(c1a+ c2b) + sen(βt)(c2a− c1b)||≤ || cos(βt)(c1a+ c2b)||+ ||sen(βt)(c2a− c1b)||≤ ||(c1a+ c2b)||+ ||(c2a− c1b)||≤ |c1|||a||+ |c2|||b||+ |c2|||a||+ |c1|||b||= (|c1|+ |c2|)||a||+ (|c1|+ |c2|)||b||

=|c1|+ |c2||c1|

||c1a||+|c1|+ |c2||c2|

||c2b||

≤ M ||c1a||+M ||c2b|| ≤M(k||c1a+ c2b||) < Mkδ = ε.

Usando a forma geral das soluções descrita na Equação (2.31), vejamos que

||x(t)|| = ||eσt[(c1a+ c2b) cos βt+ (c2a− c1b)senβt]||= ||eσt(c1a+ c2b) cos βt+ eσt(c2a− c1b)senβt||≤ ||eσt(c1a+ c2b) cos βt||+ ||eσt(c2a− c1b)senβt||≤ |eσt| · ||(c1a+ c2b)||+ |eσt| · ||(c2a− c1b)||= |eσt| (||(c1a+ c2b)||+ ||(c2a− c1b)||) ,

Tomando o limite, em que σ < 0, tem-se

limt→+∞

|eσt| (||(c1a+ c2b)||+ ||(c2a− c1b)||) = (||(c1a+ c2b)||+ ||(c2a− c1b)||) | limt→+∞

eσt| = 0.

Então, x(t)→ 0, quando t→ +∞.

Exemplo 2.6. No Caso 2.2.2 em que o único autovalor λ é negativo e está associado

aos autovetores v1 e v2 linearmente independentes. Dado ε > 0, tome δ = ε. Em t = 0,

||x(0)− 0|| = ||c1v1 + c2v2||, temos

||x(t)− 0|| = ||(c1v1 + c2v2)eλt|| ≤ ||c1v1 + c2v2|| ≤ δ = ε.

Quando foi feita a análise assintótica, viu-se que t→ +∞ implica x(t)→ 0.

Exemplo 2.7. Como descrito no Caso 2.2.2 em que λ < 0 é o único autovalor do sistema

e está associado a um único autovetor v, as soluções em geral são

x(t) = c1veλt + c2(vte

λt + weλt),

em que w é autovetor generalizado associado ao autovetor v. Quando t = 0, ||x(0)−0|| =||c1v + c2w||. Dado ε > 0, tome δ = ε, então

||x(t)− 0|| = eλt · ||c1v + c2(vt+ w)|| ≤ ||c1v + c2w||+ t|c2| · ||v|| ≤ ||c1v + c2w|| < δ = ε.

Também já foi visto que x(t)→ 0, quando t→ +∞.


Dessa forma, podemos concluir que (0, 0) é uma solução de equilíbrio assintoti-

camente estável, nos Exemplos 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7.

Há também a possibilidade de que a solução de equilíbrio x0 seja somente estável.

Isto quer dizer que as soluções cam próximas de x0, mas não tendem a x0.

Exemplo 2.8. No Caso 2.2.3 em que λ1 = iβ e λ2 = −iβ, a solução de equilíbrio (0, 0)

é estável, mas não assintoticamente. Dado ε > 0 tomemos δ =ε

Mk, em que k é uma

constate de normas equivalentes em R2 e

M = max

|c1|+ |c2||c1|

,|c1|+ |c2||c2|

.

Sabendo que ||x(0)|| = ||c1a+ c2b||, temos

||x(t)− (0)|| = ||c1(a cos(βt)− bsen(βt)) + c2(asen(βt) + b cos(βt))||= || cos(βt)(c1a+ c2b) + sen(βt)(c2a− c1b)||≤ || cos(βt)(c1a+ c2b)||+ ||sen(βt)(c2a− c1b)||≤ ||(c1a+ c2b)||+ ||(c2a− c1b)||≤ |c1|||a||+ |c2|||b||+ |c2|||a||+ |c1|||b||= (|c1|+ |c2|)||a||+ (|c1|+ |c2|)||b||

=|c1|+ |c2|

c1||c1a||+

|c1|+ |c2|c2

||c2b||

≤ M(||c1a||+ ||c2b||)≤ M(k||c1a+ c2b||) < M(kδ) = ε.

Portanto a solução de equilíbrio (0, 0) é estável, mas não assintoticamente estável, pois a

solução (2.32) pode ser escrita da forma

x(t) = (c1a+ c2b) cos(βt) + (c2a− c1b)sen(βt),

e como

@ limt→+∞

sen(βt) e @ limt→+∞

cos(βt)

então, @ limt→+∞

x(t) (veja Figura 18).

Há na Seção 2.2, soluções para o Sistemas (2.11), em que (0, 0) não é estável.

Para estes casos dizemos que (0, 0) é uma solução de equilíbrio instável. Nos exemplos

seguintes, vericaremos quais são esses casos usando a denição instabilidade.

Denição 2.8. Uma solução de equilíbrio x0 é dita instável se não for estável, isto é,

existe um ε0 > 0, tal que dado δ > 0, existe uma solução x(t) em que

||x(0)− x0|| < δ e ||x(t0)− x0|| ≥ ε0

para algum t0 ≥ 0.


Observação 2.3. A ocorrência do Limite da Denição 2.7 não é suciente para garantir

a estabilidade assintótica ou somente a estabilidade. Um exemplo de sistema que possui

soluções deste tipo, é dada pordx

dt= x(1−

√x2 + y2) + y(x− 1),

dy

dt= y(1−

√x2 + y2)− x(x− 1).

(2.34)

Neste caso, não há no texto ferramentas sucientes para descrever o plano de fase

associado ao sistema anterior. Porém, podemos fazer uma abordagem menos rigorosa e

suciente para os objetivos do trabalho.

Inicialmente vejamos que as únicas soluções de equilíbrio deste sistema são (0, 0)

e (0, 1), pois estas soluções são características por anularem as funções coordenadas do

sistema simultaneamente, isto é

x(1−√x2 + y2) + y(x− 1) = 0 e y(1−

√x2 + y2) + x(x− 1) = 0. (2.35)

Com a ajuda da Figura 20 podemos ter essa conrmação geometricamente, vejamos que

as curvas dadas pelas equações acima se interceptam apenas nos ponto (0, 1) e (0, 0).

Portanto estes dois pontos são as únicas soluções de equilíbrio do Sistema 2.34.

Figura 20 – Interseção das curvas dadas pelas equações 2.35.

Existe uma solução (x(t), y(t)), especial para os objetivos do exemplo que é dada

implicitamente por x2 + y2 = 1, em que x 6= 1. Caso x2 + y2 = 1, o Sistema 2.34 pode ser

reescrito como dx

dt= y(x− 1),

dy

dt= −x(x− 1).


Isso implica quedy

dx=−x(x− 1)

y(x− 1)=−xy, (x 6= 1).

Usando o método de separação de variáveis obtemos a solução implícita da EDO, dada

por x2 + y2 = C em que C ∈ R, por hipótese C = 1. Logo, a equação

x2 + y2 = 1, em que x 6= 1, (2.36)

é uma solução para o Sistema 2.34 e é útil para concluir o exemplo. Pois dado ε0 peque o

suciente, como ilustrado na Figura 21, podemos concluir a instabilidade da solução de

equilíbrio (1, 0). Apesar de que, independentemente da orientação sobre solução 2.36, ela

tende para a (1, 0). Ou seja, temos uma solução de equilíbrio em que existem soluções

tendendo para ela, mas que é não estável.

Figura 21 – A solução de equilíbrio (1, 0) é instável apesar de que existem soluções quetendem para ela.

Exemplo 2.9. Neste exemplo, abordando o Caso 2.2.1, os cálculos valem tanto para

0 < λ1, λ2 ∈ R ou λ2 < 0 < λ1. A solução de equilíbrio (0, 0) é instável, pois xado

ε0 =||eλ1c1v1 + eλ2c2v2||

2,

para todo δ > 0 em que

||x(0)− x0|| = ||c1v1 + c2v2|| < δ,


tome

t0 = 1.

Daí,

||x(1)− 0|| = ||eλ1c1v1 + eλ2c2v2|| ≥ ε0.

Exemplo 2.10. No Caso 2.2.2, em que o único autovalor λ > 0 está associado a dois

autovetores v1 e v2. Fixado ε0, para todo δ > 0 em que

||x(0)− x0|| = ||c1v1 + c2v2|| < δ,

tome ε0 = 2||c1v1 + c2v2||. Daí, para um dado t0

t >1

λln 2⇔ t >

1

λln

ε0||c1v1 + c2v2||

⇔ eλt >ε0

||c1v1 + c2v2||⇔ ||eλt0(c1v1 + c2v2)|| > ε0.

Portanto, (0, 0) é uma solução de equilíbrio instável.

Exemplo 2.11. Para o Caso 2.2.2 em que o autovalor λ > 0 é único e está associado a

um único autovetor v, e existe um autovetor generalizado w associado a v. A solução de

equilíbrio (0, 0) é instável.

Tome t0 = max

ln 2

λ,||c1v + c2w||+ 2

|c2| · ||v||

e ε0 = 4. Daí, para todo δ > 0 existe t0,

tal que

||x(0)− x0|| = ||c1v + c2w|| < δ,

e

||x(t0)− x0|| = eλt0||c1v + c2vt0 + c2w|| ≥ eλt0(t0|c2| · ||v|| − ||c1v + wc2||)

≥ eλln 2

λ

(||c1v + c2w||+ 2

|c2| · ||v|||c2| · ||v|| − ||c1v + wc2||

)= 2 · 2 = 4.

Exemplo 2.12. Finalmente, o Caso 2.2.3 em que os autovalores são λ1 = σ + iβ e

λ2 = σ − iβ com σ > 0, a solução de equilíbrio (0, 0) será instável.

Tome t0 =2π

βe

ε0 =e

2πσ

β ||c1a+ c2b||2

.

Daí, para todo δ > 0 existe t0, tal que

||x(0)− x0|| = ||c1a+ c2b|| < δ,

e

||x(t0)−x0|| = eσ2π

β ·∣∣∣∣∣∣∣∣(c1a+ c2b) cos β

2π

β+ (c2a− c1b)senβ

2π

β

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≥ e

2πσ

β ||c1a+c2b|| > ε0.

2.4. Sistemas Quase Lineares 63

Com esses exemplos caracterizamos a estabilidade e instabilidade de todas as

possibilidades para a solução de equilíbrio (0, 0) do Sistema Autônomo Linear Homogêneo

Bidimensional, vamos unir essa informações em um teorema.

Teorema 2.3. Sejam λ1 e λ2 os autovalores da matriz A do sistema linear bidimensional

2.10. Dizemos que 0 ∈ R2 é uma solução de equilíbrio

(a) assintoticamente estável, se

(i) λ1, λ2 ∈ R e λ1, λ2 < 0;

(ii) λ1, λ2 ∈ C e λ1,2 = σ ± iβ, em que σ < 0.

(b) estável, mas não assintoticamente, quando λ1, λ2 ∈ C e λ1,2 = ±iβ.

(c) instável, se

(i) λ1, λ2 ∈ R e λ1 > 0 ou λ2 > 0;

(ii) λ1, λ2 ∈ C e λ1,2 = σ ± iβ, em que σ > 0.

Demonstração. Os Exemplos 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 e 2.12 provam o

Teorema.

2.4 Sistemas Quase Lineares

Nesta seção vamos entender como os Sistemas Autônomos não-Lineares em uma

vizinhança das suas soluções de equilíbrio estão em correspondência com um Sistema

Linear.

Denição 2.9. Um Sistema Autônomo não-Linear é dito quase linear, se for da forma

x’ = Ax+ b(x), em que

lim||x||→0

b(x)

||x||= 0.

O comportamento das soluções equilíbrio de um sistema quase linear é seme-

lhantes a dos sistemas lineares encontrados nas proximidades das soluções de equilíbrio.

Proposição 2.1. Os Sistemas Autônomos (2.4) são quase lineares quado F e G são de

classe C1.


Demonstração. Seja o sistema autônomo não linear x’ = F(x), em que x0 é uma solução

de equilíbrio deste sistema. Suponhamos que F, dada por F(x) = (F (x, y), G(x, y), seja

de classe C1, então para pequenos valores de h tem-se

F(x + h) = F(x) + F’ · (x)(h) + r(h),

em quer(h)

||h||→ 0, quando h→ 0 (veja [7] pág. 243). Em particular F é derivável em x0

e como F(x0) = 0, obtemos

(x0 + h)’ = F(x0 + h) = F’(x0)(h) + r(h).

Como x0 é uma solução constante x’0 = 0 então camos com o novo sistema linear e

homogêneo

h’ = F’(x0)(h) + r(h), (2.37)

em que x0 = (x0, y0) e

F’(x0) =

[Fx(x0, y0) Fy(x0, y0)

Gx(x0, y0) Gy(x0, y0)

]

é a matriz F’(x), chamada jacobiana de F . Como por deniçãor(h)

||h||→ 0 quando g → 0,

temos que x’ = F(x) é quase linear em suas soluções de equilíbrio.

Um importante resultado sobre a estabilidade e o tipo das soluções de equilíbrio,

é que alguns sistema quase lineares, de certa forma, herdam as características de

estabilidade das soluções de equilíbrio dos sistemas lineares associados, dependendo

da natureza dessas soluções.

Teorema 2.4. Dado um sistema quase linear

x’ = Ax+ b(x), (2.38)

em que λ1 e λ2 são autovalores de um sistema linear

x’ = Ax, (2.39)

associado a solução de equilíbrio x0 do Sistema (2.38). Então, o tipo e a estabilidade da

solução de equilíbrio (0, 0) do sistema (2.39) e de x0 são tais que

2.4. Sistemas Quase Lineares 65

x’ = Ax x’ = Ax + b(x)Soluções de Equilíbrio

(0, 0) x0

Autovalores Tipo Estabilidade Tipo Estabilidadeλ1, λ2 > 0 Fonte Instável Fonte Instávelλ1, λ2 < 0 Sorvedouro Assint. Est. Sorvedouro Assint. Estávelλ1 < 0 < λ2 Ponto de Sela Instável Ponto de Sela Instávelλ1 = λ2 > 0 Nó Próp. ou Imp. Instável Nó ou P. Espiral Instávelλ1 = λ2 > 0 Nó Próp. ou Imp. Assint. Est. Nó ou P. Espiral Assint. Estável

λ1, λ2 = σ ± iβσ > 0 Ponto Espiral Instável Ponto Espiral Instávelσ < 0 Ponto Espiral Assint. Est. Ponto Espiral Assint. Estávelσ = 0 Centro Estável Centro ou P. Esp. Indeterminado

Tabela 1 – Herança do Tipo e Estabilidade das Soluções de Equilíbrio.

A demonstração desse teorema foge dos assunto que o texto aborda, por isso

vamos apenas assumir seu resultado como verdadeiro.

Esta denição será muito útil para descrever os retratos de fase de sistemas

autônomos não lineares bidimensionais. Vejamos um exemplo deste tipo.

Exemplo 2.13. A modelagem do Pêndulo Oscilatório, que pode ser encontrado em [1], é

um sistema autônomo não linear. Para simplicar o resultado suponhamos a, b > 0 e

b < 2a. Daí temos o seguinte sistema autônomo x′(t) = y,

y′(t) = −a2 senx− by.

Podemos ver que F (x, y) e G(x, y) são funções de classe C∞, então este sistema é quase

linear em cada solução de equilíbrio.

Primeiramente, encontremos quais são as soluções de equilíbrio. Pela denição

F (x, y) = 0 e G(x, y) = 0, isto é, y = 0,

senx = − b

a2y,

⇔

y = 0,

x = kπ, k ∈ Z.

Então as soluções de equilíbrios são do tipo (kπ, 0), k ∈ Z.

Calculando F’(x), em que x = (x, y), como neste caso F : R2 → R2 com F(x, y) =

(F (x, y), G(x, y)) e F (x, y) = y, G(x, y) = −a2senx− by, temos

F’(x) =

(Fx(x, y) Fy(x, y)

Gx(x, y) Gy(x, y)

)=

(0 1

−a2 cosx −b

).


Aplicando nas soluções xk0 = (kπ, 0), temos

F’(xk0) =

(0 1

a2(−1)k+1 −b

).

Então os sistemas linearizados nas k-ésimas soluções de equilíbrio são(x′(t)

y′(t)

)=

(0 1

a2(−1)k+1 −b

)(x(t)

y(t)

).

Daí, pelo polinômio característico da matriz F’(x0), podemos caraterizar o comportamento

das soluções próximas as soluções de equilíbrio, dado por

p(λ) = det

(−λ 1

(−1)k+1a2 −(b+ λ)

)= λ2 + bλ+ (−1)ka2,

e os autovalores são dados por

λ1, λ2 =−b±

√b2 − 4(−1)ka2

2. (2.40)

Como a, b > 0 podemos dividir em dois casos,

(a) se k é par, tem-se λ1 e λ2 são autovalores complexos com a parte real negativa,

pois por hipótese

b < 2a⇔ b2 < 4a2 ⇔ b2 − 4a2 < 0.

Ou seja, as soluções de equilíbrio do tipo (2qπ, 0) em que q ∈ Z, são como as Caso2.2.3, já que pelo Teorema 2.4 as soluções de equilíbrio que são deste tipo herdam

suas características principais do sistema linear associado;

(b) se k for ímpar, tem-se

λ1 =−b+

√b2 + 4a2

2e λ2 =

−b−√b2 + 4a2

2.

O autovalor λ2 é negativo, pois a, b > 0 e consequentemente√b2 + 4a2 > 0. Como

b2 < b2 + 4a2 ⇔ b <√b2 + 4a2 ⇔ 0 < −b+

√b2 + 4a2,

podemos armar que λ1 > 0, isto classica as soluções de equilíbrio da forma

(2(q + 1)π, 0), q ∈ Z como sendo pontos de sela pelo Teorema 2.4, descritos no

Caso 2.2.1.

67

Capítulo3

Interação Entre Bactérias e

Nutrientes no Quimiostato

Neste capítulo, veremos a aplicação da Teoria dos Sistemas Autônomos ao modelo

biomatemático baseado na interação que acontece entre bactérias e nutrientes dentro

de um aparelho chamado Quimiostato. Foi usado principalmente o Livro [3] como fonte

de pesquisa.

Figura 22 – Forma esquemática do Quimiostato

O Quimiostato é um aparelho que armazena micro-organismos para cultivá-los

em condições especícas, alimentando-os continuamente para manter uma cultura

sempre ativa, isto pode ser útil ao se estudar um determinado micro-organismo, pois

68 Capítulo 3. Interação Entre Bactérias e Nutrientes no Quimiostato

possibilita coletar-se amostras a qualquer momento. Pode-se usá-lo, em particular,

como meio contínuo para produção de bactérias.

O funcionamento do dispositivo acontece da seguinte forma: existe um reser-

vatório de volume V , que contém uma solução de nutrientes C0. Por um tubo, a um

Fluxo F , esses nutrientes são levados a uma câmara habitada pelas bactérias, e com

uma taxa F a solução que contém indivíduos, substrato e nutrientes saem da câmara.

Chamamos de N e C a densidade de indivíduos e concentração de nutrientes contidos

na câmara, respectivamente. A Figura 22 ilustra de forma esquemática o funcionamento

do Quimiostato.

Observação 3.1. Para que o Quimiostato funcione, o Fluxo F (estrada e saída) deve agir

de forma equilibrada, considerando duas coisas: (a) não ser muito grande a ponto de

eliminar os micro-organismos da câmara; (b) ser rápido o suciente para que a reposição

de nutrientes consiga sustentar o crescimento da cultura.

3.1 Modelo Matemático

Nosso objetivo é encontrar um Modelo Matemático para a interação que ocorre

entre as bactérias e nutrientes, tal que possamos utilizar toda a teoria estudada no

Capítulo 2.

Dito isso, temos um caminho para a primeira tentativa de modelar matema-

ticamente o fenômeno que acontece dentro do Quimiostato. Partindo das seguintes

hipóteses

(H1) a solução na câmara de cultura é mantida misturada e não há variações espaciais

nas concentrações dos nutrientes ou bactérias, isto quer dizer que dada qualquer

amostra da solução, tem-se a mesma concentração de N e C , independentemente

da câmara em que se realiza a coleta ou quantidade coletada;

(H2) Foca-se a atenção em um único nutriente C , cujo a concentração irá determinar a

taxa de crescimento da cultura;

(H3) A taxa de reprodução das bactérias K , depende da quantidade de nutrientes

disponíveis, isto é, K = K(C);

(H4) A diminuição de nutrientes ocorre continuamente como resultado da reprodução

a uma taxa α.

3.1. Modelo Matemático 69

Usaremos a notação [·] para representar a unidade de alguma variável en-

volvida. Por simplicidade consideremos as unidades de [Massa] = m, [Volume] = v,

[número de indivíduos] = n e [tempo] = t, então a seguinte tabela lista todos os

parâmetros envolvidos

Quantidade Símbolo Unidade

Concentração dos nutrientes no reservatório C0m

vConcentração dos nutrientes na câmara decrescimento

Cm

vDensidade da população dos micro-organismoscultivados

Nn

v

Constante de Produção1

α

n

mVolume da câmara de crescimento V v

Fluxo (entrada/saída)F

v

t

Tabela 2 – Valores no Quimiostato

Considerando apenas (H1), é possível dizer que a taxa de variação da população

não depende da posição das bactérias, apenas de t, logo

dN

dt= KN − FN, (3.1)

em que KN é a densidade de indivíduos que nascem a uma taxa de crescimento K e

FN é o uxo de saída que a câmara de crescimento despeja a solução (euente) (veja

Figura 22). Em outras palavras,

dN

dt→ taxa de variação de N de acordo com t;

KN → taxa de reprodução da população;

FN → taxa de descarte da solução que está na câmra de crescimento.

Investigando a Equação (3.1), fazendo uma análise das suas unidades, podemos encontrar

a unidade de K , pois pela Tabela 2

(a)[dN

dt

]=

n

v × t; (b) [KN ] = [K] · n

v; (c) [FN ] =

v

t

n

v=n

t.

Comparando as unidades de (a) e (b), temos

n

v × t= [K] · n

v,


logo é necessário que [K] = t−1. Para o termo do lado direito da Equação (3.1), compa-

rando (a) e (c), temos uma inconsistência nas unidades, poisn

v × t=n

t.

Desta forma, para que a equação que coerente, deve-se dividir o termo FN por V .

Daí, reescrevendo a nova equação

dN

dt= KN − FN

V. (3.2)

Usando as Hipóteses (H2) e (H3), podemos considerar que K = K(C). Logo,

reescrevemos (3.2) comodN

dt= K(C)N − FN

V. (3.3)

Considerando todas as Hipóteses, podemos escrever uma equação para a con-

centração de nutrientes da câmara C. Por (H1), a taxa de variação de C , depende

somente de t. Como a taxa de crescimento das bactérias, por (H2) e (H3) dependem

exclusivamente de um único C , então a medida que as bactérias se reproduzem C

diminui a uma taxa α por (H4), logo

dC

dt= −αK(C)N,

em que −α é a taxa de decrescimento dos nutrientes e K(C)N é a taxa de reprodução.

Há também os nutrientes que saem do quimiostato a um uxo F e em compensação

existe os nutrientes que entram na câmara no mesmo uxo F , adicionando essas duas

variáveis, obtém-sedC

dt= −αK(C)N − FC

V+FC0

V. (3.4)

Como na Equação (3.1), temos problemas com as dimensões dos termos FC e FC0,

analogamente ao feito anteriormente, os dividimos por V . Falta encontrar as unidade

de α, vejamos que

(a)[dC

dt

]=

m

v × t; (b) [αK(C)N ] = [α] · n

v × t.

Então, igualando essas unidades, obtemosm

v × t= [α]

n

v × t⇔ [α] =

m

n. (3.5)

Com as Equações (3.3) e (3.4), obtemos um sistema autônomo que descreve uma

modelagem da interação entre bactérias e nutrientes que ocorre no QuimiostatodN

dt= K(C)N − FN

V;

dC

dt= −αK(C)N − FC

V+FC0

V.

(3.6)

3.1. Modelo Matemático 71

Vamos investigar novamente o termo K(C). Já supusemos que a taxa de cresci-

mento bacteriano depende da quantidade de nutrientes disponíveis, isto é, K é uma

função que depende da variável C . No entanto, como poderia ser a lei dessa relação?

Suponhamos que inicialmente tem-se poucos nutrientes na câmara de cresci-

mento, é razoável imaginar que em posse de uma quantidade escassa de nutrientes as

bactérias tenham diculdades para se reproduzir e à medida que se adiciona nutrientes

a reprodução na colônia aumente. Ou seja, quanto maior a oferta de nutrientes mais as

bactérias irão se reproduzir. No entanto, o crescimento da taxa de reprodução não é

indenido, deve haver um limite máximo que as bactérias não conseguem ultrapassar

mesmo havendo excedente de nutrientes. Considerando essas armações, adicionamos

uma quinta hipótese para nosso problema.

(H5) a taxa de reprodução das bactérias aumenta de acordo com a disponibilidade de

nutrientes até atingir ou se aproximar de um valor limitante.

Podemos usar o resultado de outro modelo biomatemático, chamado Cinética de

Michaelis-Menten (veja [3] Cáp. 7), pois este modelo é coerente com as hipóteses que

assumimos. Podemos utilizar que

K(C) =KmáxC

Cn + C,

em que Cn é uma constante tal que, K(Cn) =1

2Kmáx e Kmáx é a constante limitante. O

esboço dessa nova função K(C) está ilustrado na Figura 23.

Figura 23 – Esboço do Gráco de K(C) assumindo o resultado da Cinética de Michaelis-Menten.


Podemos concluir que as unidades de Kmáx e Cn são as mesmas de K(C) e C ,

pois são casos particulares destes. Então

[Cn] =m

v(3.7)

e

[Kmáx] =1

t. (3.8)

Dessa forma, o modelo atualizado será dado pordN

dt=

(KmáxC

Cn + C

)N − FN

V,

dC

dt= −α

(KmáxC

Cn + C

)N − FC

V+FC0

V.

(3.9)

3.2 Adimensionalização do Sistema

Nesta etapa já temos um Sistema Autônomo não-linear homogêneo, para que

possamos cumprir nossos objetivos e aplicar a teoria dos sistemas autônomos, temos

que adimensionalizar nossa equações. Na prática os parâmetros C e N seriam medidas

de um experimento, são dadas por um escalar real e uma unidade de medida, por

exemplo

1m3 = 1000L,

em que 1 e 1000 são escalares, m3 são metros cúbico e L litros, são unidades.

Dito isso, vamos começar separando as unidades dos escalares das varáveis

envolvidas, fazendo

N = N∗ × N ,C = C∗ × C,C0 = C∗0 × C,t = t∗ × t,

em que N∗, C∗, C∗0 e t∗ são números reais e N , C e t são unidades. Em seguida, vamos

substituir esses valores em (3.9), obtendod(N∗ × N)

d(t∗ × t)=

(KmáxC

∗ × CCn + C∗ × C

)N∗ × N − FN∗ × N

V,

d(C∗ × C)

d(t∗ × t)= −α

(KmáxC

∗ × CCn + C∗ × C

)N∗ × N − FC∗ × C

V+FC∗0 × C

V.

(3.10)

3.2. Adimensionalização do Sistema 73

Multiplicando a primeira equação port

N

d(N∗ × N)

d(t∗ × t)

(t

N

)=

(KmáxC

∗ × CCn + C∗ × C

)N∗ × N t

N− FN∗ × N

V

t

N

=

(KmáxC

∗ × CCn + C∗ × C

)N∗ × t− FN∗

Vt

= tKmáx

C∗

Cn

C+ C∗

N∗ − F

VN∗t.

e na segunda equação multiplicamos port

C

d(C∗ × C)

d(t∗ × t)

(t

C

)= −α

(KmáxC

∗ × CCn + C∗ × C

)N∗ × N t

C− FC∗ × C

V

t

C+FC∗0 × C

V

t

C

= −αKmáx

C∗

Cn

C+ C∗

N∗ × N t

C− FC

Vt+

FC∗0 × CV × C

t

= −αtKmáxN

C

C∗

Cn

C+ C∗

N∗ − FC∗

Vt+

FC∗0V

t.

Daí,

dN∗

dt∗= tKmáx

C∗

Cn

C+ C∗

N∗ − F

VN∗t;

dC∗

dt∗= −αtKmáxN

C

C∗

Cn

C+ C∗

N∗ − FC∗

Vt+

FC∗0V

t.

(3.11)

Escolhendo apropriadamente as unidades como

(a) t =V

F; (b) C = Cn; (c) N =

C

αtKmáx.

Temos o sistema adimensionalisadodN∗

dt∗= tKmáx

(C∗

1 + C∗

)N∗ −N∗;

dC∗

dt∗= −

(C∗

1 + C∗

)N∗ − C∗ + C∗0 .

(3.12)


Dessa forma, o sistema está dependente apenas de dois parâmetros adimensionais

α1 = tKmáx e α2 = C∗0 =C∗0 × C0

Cn=

C0

Cn. O parâmetro α2, já está adimensionado.

Vejamos se α1 também está, pela Tabela 2 e Equação (3.8)

[α1] = t× [Kmáx] = t× 1

t= 1.

Portanto α1 e α2 são adimensionais. Então, temos o sistema adimensionaldN∗

dt∗= α1

(C∗

1 + C∗

)N∗ −N∗;

dC∗

dt∗= −

(C∗

1 + C∗

)N∗ − C∗ + α2.

(3.13)

dependendo somente das constantes α1 e α2, ao invés dos seis termos iniciais (F , V ,

Cn, Kmáx, C0 e α). Isto nos possibilita utilizar toda a teoria do Capítulo 2 e descrever o

retrato de fase associado a este sistema.

3.3 Soluções de Equilíbrio

Antes de começar, consideremos C∗ = C e N∗ = N em (3.13), para simplicar a

notação, isto é, dN

dt= α1

(C

1 + C

)N −N ;

dC

dt= −

(C

1 + C

)N − C + α2.

(3.14)

Vejamos que as funções coordenadas são

F (N,C) = α1

(C

1 + C

)N −N

e

G(N,C) = −(

C

1 + C

)N − C + α2.

O primeiro passo para construir o retrato de fase do Sistema (3.14) é encontrar suas

soluções de equilíbrio. Usando a Denição 2.5, sabemos que (N0, C0) é uma solução de

equilíbrio se

F (N0, C0) = 0,

G(N0, C0) = 0,⇔

α1

(C0

1 + C0

)N0 −N0 = 0,

−(

C0

1 + C0

)N0 − C0 + α2 = 0.

3.4. Aproximação Linear 75

Partindo da primeira equação, obtemos, N0 = 0 ou C0 =1

α1 − 1. Daí, substituindo

N0 = 0 na segunda equação, tem-se

−(

C0

1 + C0

)N0 − C0 + α2 = 0⇔ 0− C0 + α2 = 0⇔ C0 = α2,

logo (0, α2) é uma solução de equilíbrio. Além disso, substituindo C0 =1

α1 − 1na parte

esquerda da segunda equação, obtemos

G(N0, C0) = −

1

α1 − 1

1 +1

α1 − 1

N0 −1

α1 − 1+ α2 = − 1

α1

N0 −1

α1 − 1+ α2,

para que G(N0, C0) = 0, deve-se ter N0 tal que

− 1

α1

N0 −1

α1 − 1+ α2 = 0⇔ N0 = α1

(α2 −

1

α1 − 1

).

Com isso, obtemos a segunda solução de equilíbrio do Sistema (3.14). Logo,

(N1, C1) = (0, α2),

(N2, C2) =

(α1

(α2 −

1

α1 − 1

),

1

α1 − 1

).

(3.15)

Observação 3.2. Não há sentido biológico em valores negativos para N ou C . Portanto

as soluções de equilíbrio devem ter coordenadas não negativas, (N1, C1) sempre será

positiva e, para (N2, C2), deve ocorrer α1 > 1 e

α2 >1

α1 − 1.

3.4 Aproximação Linear

Nestas seção estudamos a natureza das soluções de equilíbrio do sistema associ-

ado ao modelo do quimiostato, considerando que F (N,C) e G(N,C) são funções de

classe C1, podemos usar a Proposição 2.1 e encontrar os sistemas lineares associados

as soluções de equilíbrio. Calculando as derivadas parciais, temos

(i) FN(N,C) = α1

(C

1 + C

)− 1;

(ii) FC(N,C) = α1N

(1 + C)2;

(iii) GN(N,C) = − C

1 + C;

(vi) GC(N,C) = − N

(1 + C)2− 1.


Obtemos a matriz jacobiana de (F (N,C), G(N,C)) dada por

J =

α1

(C

1 + C

)− 1 α1

N

(1 + C)2

− C

1 + C− N

(1 + C)2− 1

e os sistemas lineares associados a (N1, C1) e (N2, C2) são x’ = A1x e x’ = A2x em

que

A1 =

(α1K1 − 1 0

−K1 −1

)e A2 =

0 α1K2

− 1

α1

−K2 − 1

, (3.16)

em que

K1 =

(α2

1 + α2

)e K2 =

N2

(1 + C2)2.

Na Seção 2.2 vimos que o tipo das soluções de equilíbrio será obtido de acordo

com o determinante do polinômio característico associado as matrizes A1 e A2. Como

∆ = (trA)2 − 4 detA, calculando

traA1 = α1K1 − 2 e detA1 = (α1K1 − 1) (−1)

então,∆1 = (α1K1 − 2)2 + 4 (α1K1 − 1)

= (α1K1)2 − 4α1K1 + 4 + 4α1K1 − 4 = (α1K1)

2 .

Daí, nossas raízes são reais, dadas por

λ =α1K1 − 2±

√∆1

2

logo, λ1 = α1K1 − 1 e λ2 = −1 são os autovalores associados a matriz A1. Como pela

Observação 3.2 α2 >1

α1 − 1e α1 > 1, usando o fato de que f(x) =

x

1 + xé crescente,

tem-se

K1 =α2

1 + α2

>

1

α1 − 1

1 +1

α1 − 1

=

1

α1 − 1α1

α1 − 1

=1

α1

⇔ K1 >1

α1

⇔ K1α1 > 1

⇔ K1α1 − 1 > 0

então,

λ1 = α1K1 − 1 > 0.

Portanto, (N1, C1) é um ponto de sela, já que λ2 < 0 < λ1 (veja Caso 2.2.1).

Passe para a classicação do outro ponto, considerando A2 tem-se

trA2 = −K2 − 1 e detA2 = K2

3.4. Aproximação Linear 77

então,

∆2 = (−K2 − 1)2 − 4K2 = (K2 − 1)2

e

λ′ =−K2 − 1±

√(K2 − 1)2

2=−K2 − 1± |K2 − 1|

2.

Logo, as raízes associadas à matriz A2 são λ′1 = −K2 e λ′2 = −1. Portanto, 0 > λ′1, λ′2 ∈ R

e está solução de equilíbrio é do tipo que está descrito no Caso 2.2.1. Dessa forma,

o ponto (N2, C2) é um sorvedouro, pois pelo Teorema 2.4 este tipo de solução de

equilíbrio herda as características do caso linear.

Encontremos os autovetores associados a A1 e A2. Inicialmente para A1, através

da equação (A1 − I2r1)v1 = 0⇔(α1K1 − 1− r1 0

−K1 −1− r1

)(c1

d1

)=

(0

0

)⇔

(0 0

−K1 −α1K1

)(c1

d1

)=

(0

0

)

⇔

(0 0

−1 −α1

)(c1

d1

)=

(0

0

)⇒ c1 = −α1d1.

Daí, o Aut(r1) = (c1, d1) : c1 = −α1d1 e podemos escolher v1 = (−α1, 1) como sendo

o autovetor que será uma base para este autoespaço. Usando (A1 − I2r2)v2 = 0(α1K1 − 1− r2 0

−K1 −1− r2

)(c2

d2

)=

(0

0

)⇔

(α1K1 0

−K1 0

)(c2

d2

)=

(0

0

)

⇔

(1 0

0 0

)(c2

d2

)=

(0

0

)⇒ c2 = 0.

Logo, o auto-espaço dos autovetores associados a r2 é gerado por (0, d2), em que d2 ∈ Re podemos escolher v2 = (0, 1), como um sendo a base deste autoespaço. Encontremos

os autovetores associados a A2, começando por v′1, usando (A2 − I2r′1)v′1 = 0

−r′1 α1K2

− 1

α1

−K2 − 1− r′1

( c′1

d′1

)=

(0

0

)⇔

(1 α1

−1 −α1

)(c′1

d′1

)=

(0

0

)

⇔

(1 α1

0 0

)(c′1

d′1

)=

(0

0

)⇒ c′1 = −α1d

′1.


Daí, analogamente aos outros casos, podemos escolher v′1 = (−α1, 1). E, por último v′2,

(A2 − I2r′2)v′2 = 0

−r′2 α1K2

− 1

α1

−K2 − 1− r′2

( c′2

d′2

)=

(0

0

)⇔

(1 α1K2

−1 −α1K2

)(c′2

d′2

)=

(0

0

)

⇔

(1 α1K2

0 0

)(c′2

d′2

)=

(0

0

)⇒ c′2 = −α1K2d

′2.

Então, podemos escolher v′2 = (−α1K2, 1). Portanto, temos para os sistemas linear

x’ = A2x associado a solução de equilíbrio (N1, C1), a solução geral dada por

x(t) = c1

(−α1

1

)e(α1K1−1)t + c2

(0

1

)e−t

e para o sistema linear x’ = A2x associado à (N2, C2) as solução descrita em sua forma

geral como

x(t) = c′1

(−α1

1

)e−K2t + c′2

(−α1K2

1

)e−t.

Com os resultados anteriores podemos concluir que o sistema linear associado a (N1, C1)

é instável (ponto de sela) e (N2, C2) é estável (sorvedouro), como está descrito no Caso

2.2.1. Pelo Teorema 2.4, o sistema quase linear associado herda, nas vizinhanças das

soluções de equilíbrio, as características de estabilidade e comportamento assintóticos

dos sistemas lineares associados.

Sabendo disto podemos esboçar um protótipo do verdadeiro plano de fases

(Figura 24), analisando apenas as características das soluções de equilíbrio.

3.5. Nuclínicas e Direções Importantes no Retrato de Fase 79

Figura 24 – (N1, C1) é um ponto de sela e (N2, C2) é um sorvedouro. Mesmo nãohavendo sentido físico, está esboçada a parte negativa do ponto de sela,apenas para compreensão geométrica.

Colocando esses resultados em uma tabela

x’ = A1x x’ = A2xAutovalores r1 = α1K1 − 1 r′1 = −K2 r2 = −1 r′2 = −1Autovetores v1 = (−α1, 1) v′1 = (−α1, 1) v2 = (0, 1) v′2 = (−α1K2, 1)

Tipo Ponto de Sela SorvedouroEstabilidade Instável Estável

Tabela 3 – Autovalores e Autovetores associados a x’ = A1x e x’ = A2x.

3.5 Nuclínicas e Direções Importantes no Retrato de Fase

Um conceito que é útil para o entendimento do comportamento das soluções de

Sistemas Autônomos Bidimensionais são as nuclínicas, curvas no espaço das soluções

que dão pistas sobre o comportamento geral.

Denição 3.1. Dado um Sistema Autônomo da forma (2.4), denominamos x-nuclínicas

às curvas dadas por

F (x, y) = 0


e y-nuclínicas às curvas dadas por

G(x, y) = 0

No campo de direções das soluções de um sistema da forma (2.4), em um

determinado ponto (a, b), a direção da curva é dada por (F (a, b), G(a, b)) que é o vetor

tangente à curva no ponto (a, b), como na Figura 25 está ilustrado.

Figura 25 – Vetor diretor do campo de direções em um ponto (a, b).

Como na x-nuclínica temos F (x, y) = 0 as direções cam paralelas ao eixo-y,

pois em um determinado ponto (x0, y0) contido na x-nuclínica, o vetor direção neste

ponto será dado por (0, G(x0, y0)). O mesmo ocorre para y-nuclínica: seus vetores

diretores são paralelos ao eixo-x (veja Figura 26).

Figura 26 – (a) x-nuclínica e (b) y-nuclínica.

Os comprimentos dos vetores não são importantes para descrever o retrato de

fases, e por isso é interessante apenas utilizar suas direções e representá-los no plano

de fase com o mesmo comprimento.


Vamos usar o Sistema (3.14) como exemplo, pela Denição 3.1, temos que

(i) as N-nuclínica são curvas tais que F (N,C) = 0⇔ α1

(C

1 + C

)N −N = 0. Logo

são retas N = 0 e (C

1 + C

)=

1

α1

⇔ C =1

1− α1

. (3.17)

(ii) As C-nuclínicas ocorrem quando G(N,C) = 0 ⇔ −(

C

1 + C

)N − C + α2 = 0,

colocando N em função de C , obtemos

N = (α2 − C)1 + C

C. (3.18)

Para descrever o esboço dessas curvas, vejamos que as x-nuclínicas são retas

em que os vetores diretores são paralelos ao eixo-C e a curva (3.18), é tal que

(a) passa pelo ponto (N1, C1) = (0, α2);

(b) quando C → 0+ a curva assintota o eixo-N , pois

limC→0+

N(C) = limC→0+

(α2 − C)

(1

C+ 1

)= lim

C→0+

[α2

C+ α2 − 1− C

]= +∞

(c) Os vetores diretores ao longo dessa curva são paralelos ao eixo-N .

Partindo das armações anteriores, podemos traçar as direções dos vetores

sobre as nuclínicas. Em (3.17) e N = 0, eles serão paralelos ao eixo-C ; na curva (3.18) ao

eixo-N , como está ilustrado na Figura 27.


Figura 27 – As direções dos vetores do campo sobre as nuclínicas do Sistema (3.14).

Observação 3.3. É importante não confundir o ponto(

0,1

α1 − 1

)com uma solução

de equilíbrio na Figura 27, este ponto não é interseção das nuclínicas como (N1, C1) e

(N2, C2). Este ponto é a intersecção de duas N-nuclínica.

Falta vericar os sentidos dos vetores sobre as nuclínicas. Para isso, podemos

utilizar o sinal das derivadas em cada ponto, sabemos que nos pontos em que as

derivadas são negativas os vetores terão sentido contrário aos eixos; quando as derivadas

são positivas têm o mesmo sentido dos eixos. Outra curva importante para ser feita

esta análise é C = 0.

Daí, reescrevendo as equações do Sistema (3.14) para que seja mais fácil tomar

as conclusões, como dN

dt=

(α1 − 1)C − 1

1 + CN,

dC

dt=

(α2 − C)(1 + C)− CN1 + C

.(3.19)

(a) Começando pela nuclínica N = 0, temos

dN

dt= 0 e

dC

dt= α2 − C,

isto implica que


(i) SedC

dt> 0, então C < α2; (ii)

dC

dt< 0, quando C > α2;

isto quer dizer que em N = 0, o vetores posicionados entre 0 e α2 apontam para

cima, e apontarão para baixo ao ultrapassar C1 = α2 (veja a Equação 3.15).

(b) Em C =

(1

α1 − 1

), temos

dN

dt= 0 e, usando F (N,C) da forma que está escrita

em (3.14), obtemos

dC

dt= −

(

1

α1 − 1

)1 +

(1

α1 − 1

)N −

(1

α1 − 1

)+ α2 ⇔

dC

dt= − 1

α1

N − 1

α1 − 1+ α2.

Daí, analisando os sinais das derivadas, obtém-se

(i) SedC

dt> 0, então N < N2. Está armação é verdadeira, pois

− 1

α1

N − 1

α1 − 1+ α2 > 0⇔ N < α1

(α2 −

1

α1 − 1

)= N2,

em que, N2 é uma coordenada da segunda solução de equilíbrio descrita em

3.15.

(ii) Analogamente, podemos concluir quedC

dt< 0, se N > N2.

(c) Na nuclínica N = (α2 − C)1 + C

C, temos

dC

dt= 0 e, como estamos considerando

N,C > 0, emdN

dt=

(α1 − 1)C − 1

1 + CN,

o sinal vai depender do termo (α1 − 1)C − 1.

(i) SedN

dt> 0, então (α1 − 1)C − 1 > 0⇔ C >

1

α1 − 1.

(ii) AnalogamentedN

dt> 0, se C <

1

α1 − 1.

(d) Finalmente, se C = 0, temosdN

dt= −N e

dC

dt= α2, isto quer dizer que, sobre

a reta C = 0 para N > 0, os sentidos dos vetores do campo de direções será

positivo verticalmente e negativo horizontalmente.

Colocando as informações coletadas nos itens (a), (b), (c) e (d) em uma tabela,

tem-se


N CdN

dt

dC

dt0 entre 0 e α2 0 positivo0 maior que α2 0 negativo

entre 0 e N21

α1 − 10 positivo

maior que N21

α1 − 10 negativo

entre 0 e N2 maior que1

α1 − 1positivo 0

maior que N2 menor que1

α1 − 1negativo 0

N > 0 0 negativo α2 > 0

Tabela 4 – Análise dos sinais das derivadas sobre as nuclínicas.

Portanto, pelos valores da Tabela 4, podemos descrever as direções dos vetores

como está na Figura 28.

Figura 28 – Vetores diretores nas respectivas nuclínicas.

Há mais um resultado importante para a construção do retrato de fase do Sistema

(3.14), que está relacionado com a reta dada por

N − α1α2 = −α1C,


que possui características particulares, ela cruza os eixos N e C , nos pontos (α1α2, 0) e

(0, α2), o ponto (N2, C2) também pertence a ela. Logo, as duas soluções de equilíbrio

estão contidas na reta.

Partindo do Sistema (3.14), multiplicando a segunda equação por α1, tem-se

d

dt(α1C) = −α1

(C

1 + C

)N − α1C + α1α2. (3.20)

Daí, somando com a primeira equação

d

dt(N + α1C) = α1α2 − (N + α1C). (3.21)

Fazendo a seguinte mudança de variável

x = N + α1C.

Substituindo em (3.21), tem-sedx

dt= α1α2 − x.

Integrando essa equação

dx

dt= α1α2 − x⇔

dx

dtx− α1α2

= −1⇔∫ dx

dtx− α1α2

dt = −1 ·∫dt.

Daí, resolvendo as integrais, temos

ln(x− α1α2) = −t+ k1 ⇔ x− α1α2 = e−t+k1 ⇔ x(t) = k2e−t + α1α2,

em que, k1, k2 ∈ R.

Notamos que x(t) = x(N(t), C(t)) = N(t) + α1C(t). Então, quando t → +∞,

temos x(t)→ α1α2, isto é,

limt→+∞

x(t) = limt→+∞

(N(t) + α1C(t)) = limt→+∞

k2e−t + α1α2 = α1α2,

isto quer dizer que os pontos (N(t), C(t)) tendem para reta (3.20) à medida em que

t→ +∞.

Da Tabela 1, sabemos que (N2, C2) é um nó atrator, com as novas informações

nesta seção, podemos armar que as soluções tendem a solução de equilíbrio (N2, C2),

quando N > 0, tendendo à reta (3.20).


3.6 Interpretação do Retrato de Fase Aproximado

Com os resultados das seções anteriores, sobre núclinicas e aproximação linear

do Sistema (3.14), então podemos completar o esboço do Espaço das Soluções, como

descrito na Figura 29.

Figura 29 – Retrato de Fase Aproximado do Sistema (3.14).

Ao fazer uma análise do comportamento assintótico das soluções, usando as

informações da Figura 29, temos por exemplo

1. Supondo que inicialmente C = N = 0, isto é, a câmara está completamente vazia. À

medida em que é injetado nutrientes, C aumenta até que o euente seja suciente

para manter a quantidade estável, tendendo para (N1, C1) = (0, α2). A quantidade

de bactérias não se altera, continuará nula.

2. Considere uma pequena população de bactérias, N = ε, já inserida na câmara

e começando com C = 0. A medida em que C aumenta, as bactérias diminuem

um pouco, até que haja nutrientes suciente para que a reprodução das bactérias

supere a quantidade que eui da câmara. Neste momento, N cresce rapidamente

até que a quantidade de C começa a diminuir e as soluções tendam a (N2, C2).

3. Começando com grandes quantidades de nutrientes e bactérias, tal que C > C2 e

N > N2, a densidade de bactérias aumenta até que a quantidade de nutrientes

3.6. Interpretação do Retrato de Fase Aproximado 87

se iguale C2, daí, ambas diminuem por um instante e, tendendo a (N2, C2), N

decresce e C volta a crescer.

Ao retornarmos as unidades originais, isto é, α1 =V

FKmáx e α2 =

C0

Cn= C∗0 , como

está descrito na Seção 3.2, podemos supor o que acontece no Quimiostato caso as

condições impostas na Observação 3.2, não se cumpram. Relembremos que α1 e α2

devem ser tais que

α1 > 1 e α2 >1

α1 − 1, (3.22)

que nas unidades originais signica

V

FKmáx > 1 e C∗0 >

1V

FKmáx − 1

. (3.23)

E são condições para que (N2, C2) tenha um sentido biológico (ver Observação 3.2).

A não ocorrência de (3.22), implicam que somente a solução de equilíbrio (N1, C1)

terá sentido biológico, pois α2 > 0. E a solução de equilíbrio (N2, C2) sempre terá

alguma coordenadas negativa, consequentemente, não terá um sentido biológico.

Na prática, caso seja escolhido quantidades de F, V,Kmáx, Cn e C0 que cumpram

as condições das Inequações (3.23), então (N2, C2) é um ponto estável, como vimos

durante este texto. Podemos concluir também que, se em t = 0 tivermos N > 0 e

C0 > 0, então as soluções vão convergir para (N2, C2) em algum instante t.

Com isso, a não ocorrência de (3.23), acarreta no que podemos dividir em dois

casos, isto é

Caso (1) Se acontece,

α1 ≤ 1⇔ Kmáx ≤F

V. (3.24)

Quando α1 = 1, não existe (N2, C2), pois

(N2, C2) =

(α1

(α2 −

1

α1 − 1

),

1

α1 − 1

)de certa forma, não há um sentido físico em

Kmáx =F

V,

pois os dados de um experimento são sempre números aproximados, que tem uma

certa margem de erro. Quando α1 < 1, então C2 < 0 e N2 > 0, então a solução de

equilíbrio (N2, C2) estará quadrante IV como ilustrado na Figura 30. Isto quer

dizer que não haverá sentido biológico para ela.


Caso (2) Se ocorrer,

α2 ≤1

α1 − 1⇔ C∗0 ≤

1V

FKmáx − 1

(3.25)

então, (N2, C2) estará no Quadrante II (veja Figura 30). Logo, não haverá sentido

biológico.

Em ambos os casos, nossa única solução de equilíbrio em condições biológicas reais,

será apenas (0, C∗0). Estas situações são chamadas de washout, querem dizer que as

condições consideradas na Observação 3.1 não foram corretamente adaptadas. A colônia

de bactérias foi lavada pelo Fluxo intenso, ou não prosperou por causa de um uxo

lento de nutrientes chegando à câmara de crescimento.

Figura 30 – Posição de (N2, C2) variando de acordo com o valor de α1 e α2.

89

Considerações Finais

Os Teoremas de Existência e Unicidade são resultados que sustentam toda a

teoria dos sistemas de EDOs, em particular a teoria dos sistemas autônomos, neste

trabalho utilizou-se-o direta e indiretamente em várias etapas. E, na sua demonstração,

a transferência da um problema de valor inicial para um operador contração mostrou a

ecácia dos estudos sobre pontos xos, em particular do Teorema do Ponto Fixo de

Banach.

No Capítulo 2 notou-se como os sistemas autônomos tem potencial para modelos

matemáticos especícos, em particular, os sistemas autônomos bidimensionais, que com

apenas uma análise geométrica do retrato de fase das suas soluções pode nos informar

muito à respeito do problema modelado, procurando não informações quantitativas,

mas resultados qualitativos e geométricos. A análise de caso dos sistemas autônomos

lineares homogêneos é fundamental para compreender a teoria, todas as soluções de

equilíbrio, para qualquer sistema autônomo herda as principais características destes

casos.

O fato de que todo sistema autônomo em que suas funções coordenadas têm

derivadas contínuas pode ser aproximado por um sistema linear em suas soluções de

equilíbrio e que o tipo e a estabilidade dessas soluções são herdadas em alguns casos, é

crucial no estudo dos sistemas autônomos, pois a maioria dos modelos não são lineares,

podendo estudar seu retrato de fase e analisar assintoticamente suas soluções.

De fato, no Capítulo 3, ca claro que modelar matematicamente qualquer fenô-

meno é um assunto complexo, os modelos são estabelecidos lentamente, e vão se

tornando mais robustos à medida em que se adicionam elementos à eles. A utilização

da teoria do Capítulo 2, envolvendo o modelo que descreve a interação das bactérias e

nutrientes dentro de um Quimiostato, nos retorna resultados interessantes sobre como


os nutrientes e bactérias se comportam ao longo do tempo, e, como pode ser tênue, o

equilíbrio do Quimiostato caso seus ajustes no uxo, volume, quantidade de nutrientes

reservados não forem equilibrados, podendo levar à extinção da colônia.

91

ApêndiceA

Resultados Auxiliares

Neste capítulo dene-se alguns resultados envolvendo Espaços Métricos que

foram utilizados no texto, principalmente no Capítulo 1. Foram consultados como fontes

de informação os Livros [5] e [6].

Os espaços métricos são conjuntos nos quais, através de uma função, conseguimos

inserir uma noção de distância entre seus elementos.

Denição A.1. Chama-se de métrica em um conjunto M , a aplicação

d : M ×M → R,(x, y) → d(x, y),

que satisfaz as seguintes condições para dados x, y, z ∈M :

(d1) d(x, x) = 0;

(d2) d(x, y) > 0, se x 6= y;

(d3) d(x, y) = d(y, x);

(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Denição A.2. Denominamos espaço métrico o par (M,d), em que M é um conjunto

munido da métrica d.

Um exemplo importante de espaços métricos são os chamados espaços vetoriais

normados.

Denição A.3. Dado E um espaço vetorial, dizemos que uma função

|| · || : E → R,x → ||x||,

92 Apêndice A. Resultados Auxiliares

é uma norma quando, dados λ ∈ R e x, y ∈ E, || · || cumpre os seguintes requisitos:

(N1) Se x 6= 0, então ||x|| 6= 0;

(N2) ||λx|| = |λ| · ||x||;

(N3) ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||.

Denição A.4. Um espaço vetorial normado é o par (E, || · ||), em que E é um espaço

vetorial e || · || é uma norma.

Todo espaço vetorial normado (E, || · ||) é um espaço métrico. Podemos denir

uma métrica através de sua norma. Isto é, dados x, y ∈ E, tem-se

d||·||(x, y) = ||x− y||.

Toda norma || · || induz uma métrica d||·||.

Exemplo A.1. O espaço vetorial (C[a, b]), munido de

dmax : C[a, b]× C[a, b] → R,(f, g) → d(f, g) = max

t∈[a,b]||f(t)− g(t)||,

é um espaço métrico. Em particular, é um espaço vetorial normado.

Denição A.5. Duas normas || · ||1, || · ||2 em um espaço vetorial E, são chamadas de

normas equivalentes quando para todo x ∈ E, existem a, b > 0 tais que

a||x||1 ≤ ||x||2 ≤ b||x||1.

Exemplo A.2. Dado x ∈ Rn, as seguintes normas são equivalentes:

(a) ||x||s = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|;

(b) ||x|| =√x21 + x22 + · · ·+ x2n;

(c) ||x||∞ = max|x1|, |x2|, . . . , |xn|.

De fato, ||x||∞ ≤ ||x|| ≤ ||x||s ≤ n · ||x||∞ para todo x ∈ Rn. Vejamos que a

primeira igualdade é dado por:

max|x1|, |x2|, . . . , |xn| ≤√x21 + x22 + · · ·+ x2n ⇔ (max |x1|, |x2|, . . . , |xn|)2 ≤ x21+x

22+· · ·+x2n;

93

a segunda, vejamos que ||x||2 ≤ ||x||2s , isto é,

x21 + x22 + · · ·+ x2n ≤ (|x1|+ · · ·+ |xn|)2 ;

a terceira,

|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| ≤ n · (max|x1|, |x2|, . . . , |xn|).

Uma sequência em (M,d), é uma função x : N→M , que leva o n-ésimo número

natural no n-ésimo termo da sequência xn. Denotamos tal sequência por (xn). Um

tipo de sequência peculiar, em um determinado (M,d), são as chamadas sequências de

Cauchy, seus termos se aproximam à medida que a sequência cresce.

Denição A.6. Seja um espaço métrico (M,d). Uma sequência (xn) ⊂ M , é chamada

sequência de Cauchy, quando para todo ε > 0, exite n0, tal que

d(xn, xm) < ε, se n,m > n0.

Através das sequências de Cauchy denem-se espaços métricos completos.

Denição A.7. Um espaço métrico (M,d) é completo se toda sequência de Cauchy

(xn)∞n=1 ⊂M for convergente.

Exemplo A.3. O espaço métrico (C[a, b], dmax), em que

dmax : C[a, b]× C[a, b] → R,(f, g) → d(f, g) = max

t∈[a,b]||f(t)− g(t)||,

é completo.

De fato, dada uma sequência de Cauchy (fn) ⊂ C[a, b]. Tem-se que para todo

ε > 0, existe n0, tal que se n,m > n0, então

d(fn, fm) < ε⇔ maxt∈[a,b]

||fn(t)− fm(t)|| < ε

2⇒ ||fn(t)− fm(t)|| < ε

2,∀t ∈ [a, b]. (A.1)

Logo,

||fn(t)− fm(t)|| < ε

2, (A.2)

para todo m,n ≥ n0 e t ∈ [a, b], com fn(t), fm(t) ∈ R. Ou seja, xando t0 ∈ [a, b], temos

(fn(t0)) é uma sequência de Cauchy em R. Podemos armar que existe f(t0) ∈ R tal que

fn(t0)→ f(t0), quando n→∞.

94 Apêndice A. Resultados Auxiliares

Como vale para cada t0 ∈ [a, b] obtém-se uma correspondência: para cada t0 ∈ [a, b],

temos f(t0) ∈ R, que é uma função dada por

f : [a, b] → R,t0 → f(t0).

Logo, para cada t0 em [a, b] temos f(t0) = limn→∞

fn(t0), então

f : [a, b] → R,t → f(t) = lim

n→∞fn(t).

Sabemos que para todo m,n ≥ n0 e t ∈ [a, b] temos (A.2). Desenvolvendo o módulo,

tem-se

fn(t)− ε

2< fm(t) < fn(t) +

ε

2,

para cada t xo em [a, b]. Se tomarmos n→∞, obtemos

f(t)− ε

2< fm(t) < f(t) +

ε

2⇔ |fm(t)− f(t)| < ε

2,

equivalentemente,

d(fm, f) = maxt∈[a,b]

|fm(t)− f(t)| < ε

2.

Portanto, fm → f e a sequência (fn) é convergente em (C[a, b], dmax).

95

Referências

[1] William E Boyce and Richard C DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Proble-

mas de Valores de Contorno (9a edição). LTC, 2010. Citado 3 vezes nas páginas 31,

55 e 65.

[2] Claus Ivo Doering and Artur O Lopes. Equações Diferenciais Ordinárias; Coleção

Matemática Universitária. IMPA, 2008. Citado na página 24.

[3] Leah Edelstein-Keshet. Mathematical Models in Biology. SIAM, 2005. Citado 2 vezes

nas páginas 67 e 71.

[4] Djairo G Figueiredo and Aloisio F Neves. Equações Diferenciais Aplicadas (3a Edição);

Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2015. Citado na página 31.

[5] Erwin Kreyszig. Introductory Functional Analysis With Applications. Wiley New York,

1989. Citado na página 91.

[6] Elon Lages Lima. Espaços Métricos (5a edição); Projeto Euclídes. IMPA, 2015. Citado

na página 91.

[7] Elon Lages Lima. Curso de Análise, (14a Ediçao); Projeto Euclídes, volume 1 e 2. IMPA,

2017. Citado na página 64.

96 Referências

rodolfo andrade cardoso - monografias.ufop.br · de˙nição 1.1. seja aum conjunto e uma função...

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