robÓ mÓvel por bracejamento subatuado com 3 elosfetter/plir/ti_vinicius.pdf · se os modelos para...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

VINÍCIUS MENEZES DE OLIVEIRA

ROBÓ MÓVEL POR BRACEJAMENTOSUBATUADO COM 3 ELOS

Porto Alegre2006

VINÍCIUS MENEZES DE OLIVEIRA

ROBÓ MÓVEL POR BRACEJAMENTOSUBATUADO COM 3 ELOS

Trabalho IndividualTI-123

ORIENTADOR: Prof. Dr. Walter Fetter Lages

Porto Alegre2006

RESUMO

Ao longo das últimas décadas tem se difundido o uso de sistemas robóticos em di-versas atividades automatizadas, com perspectiva de se chegar a um milhão de robôsindustriais em operação ao fim dessa década. O setor produtivo que mais se beneficia douso de robôs é a indústria automobilística, onde a maior parte das tarefas de montagem esoldagem são realizadas por robôs manipuladores.

Várias são as situações em que se pode utilizar robôs de serviço, como em postosde abastecimento de veículos, agricultura, construção civil, operação em usinas nucle-ares, limpeza de ambientes e equipamentos (aeronaves, embarcações, edificações) alémpara recreação e entretenimento. É claro que muitas outras aplicações podem ser vislum-bradas em que se possa utilizar robôs de serviço, dentre as quais salienta-se a tarefa deinspeção, a qual tem sido objeto de estudo por parte de váriosgrupos de pesquisa. Siste-mas robóticos para inspeção são utilizados já há alguma tempo em depósitos de materialradioativo e para limpeza e inspeção de dutos.

Esses trabalho apresenta, inicialmente, uma ampla revisãosobre os diversos trabalhosexistentes com relação à aplicação de robôs móveis por bracejamento e, também, sobre oprojeto de leis de controle para sistemas mecânicos subatuados. Em seguida desenvolve-se os modelos para a cinemática e para a dinâmica de um robô móvel que utiliza comomeio de locomoção o movimento de braços, como se fosse um macaco. O objetivo é de-senvolver os modelos para um robô com 3 elos (2 braços e um corpo), a partir dos métodostradicionalmente empregados para robôs manipuladores convencionais, ou seja, utilizara convenção de Denavit-Hartenberg para desenvolver o modelo cinemático e os méto-dos de Euler-Lagrange e Newton-Euler para a obtenção do modelo dinâmico. Ao final,apresenta-se os resultados preliminares da aplicação da técnica de controle NMPC (Non-linear Model based Predictive Control) para o controle do robô em estudo, juntamentecom as considerações a respeito de tal estrutura de controle.

Palavras-chave: Robôs manipuladores, robôs móveis, modelo cinemático, modelodinâmico.

ABSTRACT

During the last decades the use of robotic system in various automated activities hasgrownth, and will achieve the number off one million industrial robots operating aroundthe world in the end of this decade. The productive sector that most takes advantage ofrobots is the automotiva industry, where most of the industrial robots carry out weldingtasks such as point welding.

There are many applications where service robots can be adopted, such as gas sta-tion, agriculture, forestry, construction, nuclear energy, cleaning (floor, facades, equip-ments), entertainment and, among many other appications that can be enhanced with ser-vice robots, inspection. This last one is getting much attention in terms of service robots.

This work introduces, at first, a wide overview about the sortof papers that deal withthe application of brachiation mobile robots and also with the design of control laws forunderactuated mechanical systems. Then, it presents the development of mathematicalmodels for kinematics and dynamics of a braquiation mobile robot, based on ther armsmotion (like a gibbon), with 3 links (2 arms and one body). Theaim of this work is toapply the same methods used to develop the kinematics and dynamics models of manipu-lator robots.The Denativ-Hartenberg procedure is used to obtain the kinematics model andthe methods of Euler-Lagrange and Newton-Euler are used to obtain the dynamics model.Finally, it presents the results obtained from the use of Nonlinear Model based PredictiveControl as the control estrategy for the robot and some considerations are introduced.

Keywords: manipulator robots, mobile robots, kinematics model, dynamics model.

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

LISTA DE ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE SíMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 MODELO CINEMÁTICO DIRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 MODELO DINÂMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1 Método Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Aplicação do Método de Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Método Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Aplicação do Método de Newton-Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Iterações Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Iterações indiretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 SIMULAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO NÃO-LINEAR . . 40

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1.1: Determinação dos sistemas de coordenadas. . . . .. . . . . . . . . . 13

Figura 2.1: Determinação dos sistemas de coordenadas. . . . .. . . . . . . . . . 21

Figura 3.1: Diagrama de forças e momentos em cada elo. . . . . . .. . . . . . . 34

Figura 4.1: Posição angular das juntas, em simulação sem atrito. . . . . . . . . . 37Figura 4.2: Posição angular das juntas, em simulação com atrito.. . . . . . . . . . 38Figura 4.3: Posição angular das juntas, em simulação sem atrito. . . . . . . . . . 38Figura 4.4: Posição angular das juntas, em simulação com atrito. . . . . . . . . . 39

Figura 5.1: Posição angular de cada junta. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43Figura 5.2: Velocidade angular de cada junta. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44Figura 5.3: Trajetória descrita pelo robô nos eixos X e Y. . . .. . . . . . . . . . 44Figura 5.4: Trajetória descrita no plano XY. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45Figura 5.5: Função objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45Figura 5.6: Torque aplicado na junta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 46

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Tabela com os parâmetros D-H. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

LISTA DE ABREVIATURAS

CMAC Cerebellar Model Arithmetics Computer

LISTA DE SÍMBOLOS

∑

Somatório

10

1 INTRODUÇÃO

Ao longo das últimas décadas tem se difundido o uso de sistemas robóticos em di-versas atividades automatizadas, com perspectiva de se chegar a um milhão de robôsindustriais em operação ao fim dessa década (UNECE, 2004). O setor produtivo que maisse beneficia do uso de robôs é a indústria automobilística, onde a maior parte das tarefasde montagem e soldagem são realizadas por robôs manipuladores.

Robôs são utilizados pela indústria para executarem tarefas repetitivas, árduas e emambientes nocivos. Entretanto, é grande o crescimento da aplicação de robôs no setor deserviços (SCHRAFT; SCHMIERER, 2000). Avanços tecnológicos nas áreas de senso-res, controle e acionamento permitem a implementação de sistemas robóticos inteligentespara aplicação em outras áreas além da produção industrial.

De acordo com a Federação Internacional de Robótica (http://www.irf.org), um robôde serviço é um robô que executa tarefas úteis ao bem-estar doHomem, operando de for-mar autônoma ou parcialmente autônoma. Podem ser robôs manipuladores, móveis ouuma combinação de ambos.

Existem diversas situações em que se pode utilizar robôs de serviço como, por exem-plo, em postos de abastecimento de veículos, agricultura, construção civil, operação emusinas nucleares, limpeza de ambientes e equipamentos (aeronaves, embarcações, edifi-cações) além para recreação e entretenimento (SCHRAFT; SCHMIERER, 2000). É claroque muitas outras aplicações podem ser vislumbradas em que se possa utilizar robôs deserviço, dentre as quais salienta-se a tarefa de inspeção, que vem recebendo destaque naaplicação de robôs (ABDERRAHIM et al., 1999; SCHIAVON; FINOTELLO; TERRI-BILE, 2000).

Atenção especial será dada à utilização de robôs na tarefa deinspeção de linhas detransmissão de energia elétrica. O procedimento para a inspeção e verificação de ca-bos utilizados em linhas de transmissão de energia está sujeito à experiência de um téc-nico (PARKER; DRAPER, 1998).

Inicialmente, a linha era inspecionada por um técnico em gôndolas suspensas na pró-pria linha. Mais recentemente, utiliza-se um helicóptero para sobrevoar as linhas de trans-missão e o técnico as observa por meio de um binóculo, verificando possíveis defeitos aolongo das linhas. Na existência da possibilidade de defeito, uma equipe de técnicos éenviada ao local para uma análise mais detalhada, para determinar se a imperfeição ca-racteriza uma situação que requeira manutenção. Caso seja necessária, a manutenção é

11

realizada com a linha desenergizada (SAWADA et al., 1991).

Em primeiro lugar, o procedimento de inspeção apresenta grande risco de vida paraos técnicos envolvidos, o que por si só justifica o desenvolvimento de sistemas para aautomação dessa tarefa. Em segundo lugar, os custos para a realização do procedimentosão altos e exigem um longo intervalo de tempo para serem executados.

Assim, vários trabalhos para a automação da tarefa de inspeção de linhas de transmis-são utilizam robôs de serviço. (RUAUX, 1995) apresenta uma solução para a instalaçãoe remoção das esferas plásticas de balizamento para sinalização presentes em linhas detransmissão de energia, onde se utiliza um sistema robóticoem substituição ao operadorhumano. O robô seria colocado na linha de transmissão a partir de um helicóptero e, umavez instalado, o robô executaria autonomamente todas as etapas necessárias para a insta-lação e/ou remoção das esferas.

Em meados da década de 80 a empresa Kyushu Electric Power (http://www.kyuden.co.jp)iniciou um projeto para a utilização de sistemas robóticos para o trabalho em linhas detransmissão energizadas. Na primeira etapa implementou-se dois braços mecânicos à ca-bine, os quais eram controlados manualmente pelo operador na cabine (MARUYAMA;MAKI; MORI, 1993). Na continuidade, o robô passou a ser comandado remotamente, fi-cando os técnicos acomodados dentro do caminhão e o robô atuando diretamente na linhade transmissão (NAKASHIMA et al., 1995; TANAKA et al., 1998).

Também em (FAUCHER et al., 1996) apresenta-se o desenvolvimento de um sistemaoperado remotamente para a manutenção de linha de transmissão de energia, pesquisaconduzida pela empresa canadense Hydro-Québec (http://hydroquebec.com). Esse pro-jeto construiu umtrolley para a remoção da camada de gelo acumulado durante o períodode nevasca ao longo das linhas de transmissão de energia (CÔTÉ; MONTAMBAULT;ST.-LOIUS, 2000). Trabalho similar foi conduzido pela companhia espanhola de energiaIBERDROLA (http://www.iberdrola.es), em parceria com o Ministério da Indústria daEspanha (SANTAMARÍA et al., 1997; SÁNCHEZ; SANTONJA; ZÚÑIGA, 1998; ARA-CIL et al., 2002).

Em (PEUNGSUNGWAL et al., 2001) apresenta-se um robô autônomo par a inspeçãode linhas de transmissão. Esse robô é capaz de se locomover autonomamente pela linhade transmissão, sendo a sua alimentação obtida a partir da energia da própria linha detransmissão.

No Brasil, mais recentemente encontra-se a utilização de umrobô móvel para a insta-lação e/ou remoção de esferas de balizamento (CAMPOS et al.,2002, 2003). Esse robô,uma vez colocado na linha de transmissão, realiza todas as etapas de forma autônoma.Em (SOUZA et al., 2004) apresenta-se um robô móvel para inspeção de linhas de trans-missão capaz de transpor obstáculos que possam existir ao longo da trajetória, como porexemplo, junções de cabos e torres.

Vários trabalhos apresentam como solução a utilização de robôs na forma detrolley.Entretanto, em (ROCHA; SIQUEIRA, 2004a,b) tem-se o projetode um robô manipuladorque se movimenta ao longo da linha de transmissão de uma maneira diferente. O modo

12

como o robô se movimenta na ausência de obstáculos assemelha-se ao movimento dosanelídeos; já quando há algum obstáculo, o robô se movimentapor bracejamento, isto é,um braço serve de apoio ao robô enquanto o outro braço ultrapassa o obstáculo, alcan-çando o cabo novamente.

Originalmente em (FUKUDA; HOSOKAL; KONDO, 1991) uma nova classe de robôsmóveis foi introduzida, apresentado a capacidade de se locomover por meio do balançode seus braços e corpo, tal qual se movimentam os macacos. O robô faz uso da ação dagravidade para pendular e conseguir mover-se. O protótipo proposto apresenta 5 juntas,cada uma equipada com um atuador, e 6 elos, tendo sido projetado para satisfazer aosseguintes requisitos:

• dois braços para deslocar-se, movimentando-os alternadamente;

• a barra de apoio (fulcrum) é reta, desconsiderando-se movimentos na direção verti-cal;

• o robô possui dois elos pequenos, próximos à barra de sustentação, para evitarcolisão durante o período de passagem.

Em trabalhos subseqüentes considera-se um robô com apenas dois elos (braços) e al-gumas estratégias de controle são desenvolvidas, como CMAC(Cerebellar Model Arith-metics Computer), rede neural hierárquica (FUKUDA; SAITO; ARAI, 1991; SAITO;FUKUDA; ARAI, 1993, 1994) e lógicafuzzy(NAKANISHI; FUKUDA; KODITSCHEK,1999a).

(NISHIMURA; FUNAKI, 1996) e (NISHIMURA; FUNAKI, 1998) utilizam para ocontrole de movimeto a técnica de estado-final com o método deaprendizagem de erro.Está-se especialmente interessado em se desenvolver um método interativo de aprendi-zado. Pelo método da linearização estendida obtém-se uma representação linear.

Após uma revisão na literatura a respeito de biomecânica, constata-se que são possí-veis três diferentes tipos de movimento por bracejamento:

• ladder and swing up problem

• rope problem

• leap problem

O primeiro problema é quando a tarefa de transferir-se de um galho para outro baseia-se simplesmente em controlar a posição do braço para seguraro próximo galho. O se-gundo problema aparece quando há uma continuidade de movimento e o terceiro pro-blema aparece em situação de bracejamento rápido, onde o próximo galho encontra-sedistante e só é alcançável com velocidade inicial alta, por meio de um vôo livre (NAKA-NISHI; FUKUDA; KODITSCHEK, 1997, 1998, 1999b; NAKANISHI; FUKUDA, 2000;HASEGAWA; FUKUDA; ITO, 2000).

O objetivo desse trabalho é apresentar o desenvolvimento deum robô manipuladormóvel por bracejamento para locomoção em linhas aéreas de transmissão de energia para

13

l1,m1

l2,m2

l3,m3

Figura 1.1: Determinação dos sistemas de coordenadas.

inspeção de cabos e isoladores. O robô possui 2 braços e corpo, totalizando 3 elos, con-forme pode ser visto na figura 1.1.

Um aspecto ainda não abordado nesse trabalho é o modo como tais sistems mecâni-cos são controlados. Uma grande variedade de técnicas de controle foram desenvolvidaspara o controle de robôs manipuladores convencionais, taiscomo, linearização por rea-limentação, torque computado, controle independente por juntas,backstepping, controlerobusto, controle por modos deslizantes (estrutura variável). Entrementes, cabe salientarque a quase totalidade dos trabalhos considera que o robô seja completamente atuado, istoé, para cada grau de liberdade existe um atuador, ou seja, umaentrada de controle. Nessetrabalho considera-se um robô manipulador móvel por bracejamento com a primeira juntalivre, ou seja, não possui atuador nem mecanismo de frenagemna junta, fato esse que im-possibilita o uso direto das técnicas de controle convencionais.

Várias são as motivações para o estudo desse tipo de sistema,destacando-se as situ-ações em que faz-se necessário a redução do peso do robô ou quese deseje minimizar oconsumo de energia. Além disso, do ponto de vista do controle, sistemas mecânicos su-batuados apresentam dificuldades desafiadoras. Alguns desses sistemas mecânicos suba-tuados apresentam restrições diferenciais de segunda ordem não integráveis, comumentechamados de sistemas não-holonômicos de segunda ordem (ORIOLO; NAKAMURA,1991; LUCA; IANNITTI, 2002).

Diferentemente de sistemas mecânicos com restrições não-holonômicas de primeiraordem (restrições em velocidade generalizadas), sistemasnão-holonômicos de segundaordem apresentamdrift term, o que dificulta ainda mais o controle desses sistemas. Po-rém, existem alguns sistemas não-holonômicos de segunda ordem que apresentam obs-trução estrutural à existência de leis de controle realimentado estabilizante, estática, con-tínua e invariante no tempo (BROCKETT, 1982). Entretanto, há alguns sistema não-holonômicos de segunda ordem que são suavemente estabilizáveis (esses sistemas geral-mente são influenciados pela ação da gravidade) (ANEKE, 2003).

As restrições podem ser completamente integráveis (holonômicas), parcialemente in-tegráveis ou não-integráveis (não-holonômicas). Para o caso de parcialmente integrável,

14

o sistema deve estar sob ação de torque gravitacional constante e as variáveis de juntanão-atuadas não aparecem na matriz de inércia do manipulador. Agora, para uma restri-ção ser completamente integrável, ela deve ser parcialmente integrável e a distribuição serinvolutiva ((ORIOLO; NAKAMURA, 1991)).

Existem diversos trabalhos na literatura técnica que têm por objetivo o estudo de sis-temas mecânicos subatuados. Tais sistemas são caracterizados pela presença de restriçõesdiferenciais de segunda ordem, isto é, restrições que envolvem acelerações generaliza-das (REYHANOGLU et al., 1996, 1999; REYHANOGLU, 2001). Vários modelos desistemas mecânicos subatuados foram construídos para estudo e análise, com maior desta-que para oTORA(OLFATI-SABER, 2001a),VTOL(HAUSER; SASTRY; MEYER, 1992;OLFATI-SABER, 2001b),UArm II (SIQUEIRA, 2004),Pendubot(OLFATI-SABER,2001a),Acrobot (SPONG, 1995). Destacam-se, também, aplicações em veículos autô-nomos subaquáticos (EGELAND; BERGLUND, 1994; PETTERSEN, 1996), navios desuperfície subatuados (PETTERSEN; NIJMEIJER, 1998). O Acrobot e o VTOL sãoexemplos de sistemas não-holonômicos de segunda ordem que podem ser estabilizadospor uma lei de controle suave.

Ao longo das últimas duas décadas diversas soluções têm sidoapresentadas para osproblemas de planejamento de trajetória, rastreametno de trajetória e posição de referên-cia para robôs móveis subatuados. Entretanto, uma vez que não há uma teoria geral sobreo assunto, obtém-se somente soluções de controle caso a caso. De um modo geral, osseguintes problemas são enfrentados quando se projeta leisde controle para robôs suba-tuados:

P1: Planejamento de Trajetória, onde dada uma configuração inicial e uma configu-ração final desejada, calcula-se uma trajetória (dinamicamente realizável) que leveda configuração inicial à configuração final;

P2: a partir de uma trajetória exeqüível, oRastreamento de Trajetória consiste emcalcular dinamicamente um controle por realimentação que leve o erro de rastrea-mento assintoticamente a zero;

P3: dada umaConfiguração de Referência, computa-se o controle necessário parafazer com que o sistema atinja a configuração assintoticamente estável.

Se não for possível resolver o planejamento de trajetóriaP1, isto é, não há trajetóriaexeqüível para o sistema, os correspondentes problemasP2 eP3 ficam sem sentido. Poroutro lado, pode acontecer de existir uma trajetória que unaas configurações inicial efinal, só que não é possível planejá-la previamente, ainda assim pode-se resolver o pro-blemaP3 e, como conseqüência, obter-se uma solução assintótica para o problemaP1.

Como já mencionado, não há uma teoria geral consolidada parao controle de siste-mas mecânicos subatuados com restrições não-holonômicas de segunda ordem mas, sim,algumas técnicas que são aplicadas em casos específicos, para um modelo em particulare com determinada aplicação. A seguir apresenta-se uma síntese das principais metodo-logias utilizadas no projeto de controladores para tais sistemas.

(FIERRO; LEWIS; LOWE, 1999) utiliza um esquema híbrido de controle para aclasse de sistemas mecânicos subatuados, mais especificamente para o sistema pêndulo

15

invertido. O controlador híbrido consiste em uma coleção decontroladores de realimen-tação de estado, mais um supervisor de eventos discretos.

(SU; STEPANENKO, 1999) apresenta um esquema de controle em estrutura variáveladaptativa baseada no modelo, onde limites de incerteza dependem apenas dos parâme-tros de inércia do sistema. Interesse em se estudar sistemasmecânicos subatuados poissão uma classe de sistemas fortemente não-lineares, onde complexas dinâmicas internas,comportamento não-holonômico e perda de linearização por realimentação estão presen-tes. Grande parte das técnicas apresentadas falham em prover uma análise da estabilidadegeral do sistema, ou desconsidera a influência da gravidade nas juntas não-atuadas. Assimuma lei de controle não-linear robusta baseada na teoria de estruturas variáveis é obtidapara robôs subatuados (robô manipulador planar).

(REYHANOGLU et al., 1999) dá continuidade ao trabalho presente em (BLOCH;REYHANOGLU; MCCLAMROCH, 1992), ampliando os resultados para sistemas me-cânicos que satisfazem relações de aceleração/dinâmicas não-integráveis. Inicialmenterealiza uma transformação no sistema, colocando-o na formacascateda (forma triangu-lar), destacando importantes propriedades do sistema mecânico subatuado.

(TOUSSAINT; BASAR; BULLO, 2000) considera o problema de obter uma lei decontrole para fazer com que um veículo subatuado não-linearsiga uma trajetória na pre-sença de perturbações, sendo que medições imperfeitas (incompletas) do estado estãodisponíveis para realimentação. O problema de controle pode ser subdividido em duaspartes. A primeira é projetar um controle por realimentaçãode estados para o sistemamecânico subatuado, assumindo que informação sobre o estado é completa. A segundaparte consiste em modificar a lei de controle obtida para conisderar o caso de medidasimperfeitas de estado.

(LUCA; ORIOLO, 2000) propõe um novo método para o planejamento de movimentoe controle para robôs com 3-elos planares, com a terceira junta rotacional passiva. Taissistemas mecânicos subatuados são completamente linearizáveis e com entrada/saída de-sacopláveis por meio de uma realimentação dinâmica não-linear. A saída linearizanteé a posição do chamadocentro de percurssão do terceiro elo. Com base nesseresultado é possível se planejar movimentos contínuos que,em tempo finito, partam dequalquer estado inicial e atinjam qualquer estado final desejado.

(SPONG, 1994a, 1995) apresentam uma estratégia deswing upbaseada em realimen-tação parcialmente linearizante. Tal abordagem cria uma dinâmica zero instável, fazendocom que o primeiro elo do Acrobot saia do equilíbrio estável em malha aberta em direçãoà posição invertida. A natureza subatuada desse sistema torna-o de grande utilidade parao estudo de problemas em Robótica e em Teoria de Sistemas Não-lineares. O controle li-neariza e desacopla o movimento do segundo elo do movimento do primeiro elo por meiode uma malha não-linear interna. O movimento do primeiro elo, por sua vez, é excitadopelo movimento do segundo elo, o que represena uma dinâmica interna.

(DEJONG; SPONG, 1994), apresenta um paralelo entre a técnica de inteligência ar-tificial Raciocínio Baseado em Modelo e Controle Baseado em Modelo. Utilizando infe-rência simbólica, inicialmente explicita-se um conjunto de axiomas em lógica (cálculo de

16

predicados de primeira ordem, por exemplo) que capture informações de interesse. Esseconjunto é conhecido comomodelo do sistema. Para se raciocinar em termos de con-trole de sistemas mecânicos, os axiomas devem descrever as propriedades dinâmicas domecanismo. O processo de inferência deve explicitar informações até então implícitas.

O objetivo dos trabalhos apresentados por (LEE; SMITH, 1994; SMITH et al., 1997;SMITH; LEE; GRUVER, 1997) é apresentar técnicas práticas para o projeto e sinto-nia automática de sistemasfuzzye aplicá-las em um problema complexo de controlecomo o controle deswing updo Acrobot. O método utiliza Algoritmos Genéticos, Sis-temasFuzzycom Chaveamento Dinâmico (DSFS) e técnicas de meta-regras para reduziro tempo de projeto do sistemafuzzye aumentar aperformance. O sistema DSFS es-colhe dinamicamente um dentre vários métodos de inferênciafuzzy, como por exemplodefuzzyficação min-heighte defuzzyficação produto algébrico de área.

Como continuidade aos trabalhos anteriores, (SMITH; ZHANG; GRUVER, 1998)apresenta avanços no sentido da prova de estabilidade e na análise do controlador napresença de perturbação externa. Inicialmente o controlador fuzzyajustado teve algunsproblemas com a existência de perturbações externas.

(OLFATI-SABER, 2000) introduz a utilização de formas normais cascateadas parasistemas mecânicos subatuados, que são convenientes para oprojeto de leis de controle.Essas formas normais são parcialmente lineares, que resulta da conhecida propriedadede que sistemas subatuados podem ser parcialmente linearizados por meio de uma trans-formação de variáveis (SPONG, 1994b). A dificuldade aparecequando a nova entradade controle está presente tanto no subsistema linear quantono subsistema não-linear. Éapresentado nesse trabalho um método para desacoplamento dos subsistemas linear e não-linear que utiliza uma transformação de coordenadas. Tal mudança transforma a dinâmicado sistema para a forma norma cascateada, com a propriedade de que o controle do sis-tema como um todo se reduz ao controle do subsistema não-linear. Sob condição desimetria na matriz de inéricia do sistema, essa transformação pode ser obtida diretamentedo Lagrangeano do sistema.

Esse trabalho é uma seqüência de três artigos cujo objetivo étratar de redução e con-trole não-linear de uma grande classe de sistemas subatuados de alta ordem. Em (OLFATI-SABER, 2001c) considera-se sistemas com simetria do tipo I (actuated shape varia-bles case); já o artigo (OLFATI-SABER, 2001a) aborda sistemas com simetria do tipoII (unactuated shape variables case) e o último trabalho (OLFATI-SABER, 2001b) apre-senta sistemas com simetria do tipo III (input coupling case).

Inicialmente (OLFATI-SABER, 2001c) apresenta uma mudançade coordenadas emmalha fechada que transforma sistemas subatuados da Classe-I (variáveis de forma atua-das, entradas desacopladas e momentos normalizados integráveis) de alta ordem em sis-temas cascateados emstrict feedback form. Na segunda parte do trabalho, (OLFATI-SABER, 2001a) trata o caso de sistemas da Classe-II (variáveis de forma não atuadas,momentos normalizados integráveis e entradas desacopladas). A principal contribuiçãodesse artigo é apresentar um modo sistemático para se obter amudança de coordenadasem malha-fechada que transforma o sistema subatuado da Classe-II em sistemas cascate-ados na forma quadrática não-triangular. Por fim, (OLFATI-SABER, 2001b) trata o caso

17

de sistemas subatuados da Classe-IV (sistemas subatuados com entradas acopladas). Oprincipal resultado desse trabalho é apresentar uma mudança de coordenadas em malhafechada que tansforma sistemas subatuados de alta ordem comentradas acopladas emsistemas cascateados.

(KIM et al., 2001) apresenta um esquema robusto de controle para robôs manipula-dores subatuados utilizandoSliding ModeseMRAC (Model Reference Adaptive Control).Sob certas considerações estruturais no sistema e no modelo, o controle adaptativo garanteque o erro entre o sistema dinâmico com incerteza e o modelo tende a zero. Inicialmenteas juntas passivas são controladas indiretamente pela atuação nas juntas ativas e, uma vezatingida a posição desejada, as juntas passivas são bloqueadas, por meio de freios, e entãoo controle das juntas ativas é executado.

(XIN; KANEDA, 2001a,b) apresentam um novo esquema de controle que combinacontrole por linearização parcial, em relação ao primeiro elo, e controle robusto para asfases de balanço e captura. A idéia central é considerar a velocidade do segundo eloquando o Acrobot gira pela vertical como incerteza, projetando um controlador robustocapaz de tratar tal incerteza por meio de solução LMI para o problema de estabilizaçãoquadrática. Sob condição de forte acoplamento inercial é possível mostrar que o primeiroelo pode ser movimentado à posição vertical por meio de um controlador não-linear quelineariza a dinâmica do elo (SPONG, 1995).

(MITA; NAM, 2001) propõe a utilização de um novo método de controle digital parasistemas amostrados variantes no tempo, denominadoVariable Period Deadbeat Con-trol (VPDC), para controlar sistemas não-holonômicos com arraste (with drift terms) deordem elevada. Uma vez que qualquer sistema afim simétrico deordem 3 (ou quatro)pode ser transformado em um sistema encadeado (chained form), leis de controle parasistemas não-holonômicos são projetadas para controlar sistemas na forma encadeada.

(ORTEGA et al., 2002) considera a aplicação de uma nova formulação para controlebaseado em passividade (PBC), conhecida comointerconnection and damping assign-ment(IDA) para o problema de estabilização de sistemas subatuados, que requer a modi-ficação das energias potencial e cinética. PBC é uma metodologia de projeto para controlede sistemas não-lineares, muito utilizado em aplicações mecânicas. Em alguns problemasde regulação esse método oferece um procedimento natural para determinar a energia po-tencial, preservando a estrutura Euler-Lagrange em malha fechada.

(MNIF; GHOMMEM, 2002) apresenta o problema de controle de sistemas subatua-dos na forma não triangular. O principal resultado desse trabalho é a construção de umcontrolador não linear por realimentação para a classe de sistemas mecânicos subatuadosem que o equilíbrio em malha fechada na origem é semiglobalmente estável.

(XIN; KANEDA, 2002) propõe o desenvolvimento de uma lei de controle baseadana energia do sistema para o movimento deswing up, sendo a análise de convergênciabaseada na teoria de Lyapunov. As condições nos parâmetros da lei de controle é tal que aenergia total converge à energia potencial do sistema na posição vertical invertida. Dessemodo, o ângulo entre os dois elos converge a zero e o movimentodos dois elos convergea uma órbita homoclínica, a qual contém a posição vertical desejada.

18

(KOBAYASHI et al., 2002) apresenta o desenvolvimento de duas estratégias de con-trole, uma baseada no controle da energia e outra baseada em controle linear. A estratégiade controle linear é tal que os pólos do sistema em malha fechada são escolhidos de modoa fazer com que a posição vertical para baixo seja instável e aposição vertical para cimaestável. A segunda estratégia, baseada no controle de energia, também faz uso da primeiraestratégia para o controle do balanço.

(HONG, 2002) considera o controle em malha aberta de um sistema mecânico suba-tuado por meio de entradas oscilatórias com modulações de amplitude e freqüência. Umavez decidida a freqüência de oscilação, a amplitude é determinada analisando-se um sis-tema invariante no tempo, o qual é derivado da dinâmica da junta não atuada pelo métodoaveraging.

(SANCHEZ; FLORES, 2002) utiliza trabalhos desenvolvidos anteriormente (SMITHet al., 1997) e apresenta em detalhes o desenvolvimento do controladorfuzzy, sendo queapresenta resultados realizados experimentalmente, em tempo real.

(CORTÉS et al., 2002) apresenta o desenvolvimento de ferramentas dentro do for-malismo de conexão afim (affine connection) para sistemas mecânicos subatuadosevol-ving on principal fiber bundle. Nesse trabalho apresenta-se formulações reduzidas paraconexões afins Levi-Civita e não-holonômicas na presença desimetrias e restrições não-holonômicas. Testes especializados para controlabilidade são desenvolvidos e a noção defiber configuration controllabilityé introduzida.

(LUCA; IANNITTI, 2002) aborda o problema de controlabilidade de sistemas mecâ-nicos subatuados, isto é, da existência de uma entrada de controle adequada que leve osistema a uma configuração desejada. Uma vez que não há nenhumprocedimento analí-tico geral para se verificar tal propriedade em sistemas não-lineares, uma possibilidade ése estudarsmall time local controllability(STLC), suficiente para se verificar controlabi-lidade.

(SIQUEIRA; TERRA, 2002; SIQUEIRA, 2004) utilizam controlenão-linearH∞ viaQuasi-Linear Parameter Varying (quasi-LPV)aplicado a um robô manipulador subatu-ado. Essa técnica consiste em encontrar uma solução para um conjunto deLinear MatrixInequalities (LMI)que satisfaça o ganhoL2, conjunto esse obtido a partir do cruzamentodos limites do espaço de estados (gridding of the state space range).

(MITA et al., 2002; YONEMURA; YAMAKITA, 2004) enfocam a singularidade nocontrole do Acrobot e o problema de estabilização, parcialmente inspirado por pesquisaem output zeroingem robôs bípedes. É proposto um algoritmo de controle para o mo-vimento deswing upe para a estabilização do robô. A estratégia de controle apresentatrês fases, quais sejam, controle senoidal, controle A (realimentação linearizante para mo-mento angular em torno da junta 1 e controle B (controleoutput zeroing). Entretanto, asegunda e terceira fases podem ser aglutinadas em uma única fase, e o problema de sin-gularidade pode ser evitado.

(ACROBOT; MOTION, 2003) apresenta uma estratégia deswing-uppara o Acrobot,

19

fazendo com que o robô atinja uma pequena região em torno do ponto vertical superior deequilíbrio. O domínio da condição inicial para essa estratégia é omanifoldinteiro. Então,analisa essa estratégia para otimalidade temporal baseadona restrição de domínio para acondição inicial.

(ZHANG; TARN, 2003) aplica controle chaveado que apresentacomo vantagem a ob-tenção da estabilidade e melhorias na resposta transitória. Simples estratégias de controlechaveado pode não parecer muito útil para o controle de sistemas dinâmicos complexos.Partes adicionais de controle podem ser combinadas com o controle chaveado para se ob-ter melhor desempenho.

(VELA; BURDICK, 2003) introduz uma nova técnica para a estabilização de umagrande classe de sistemas não-lineares comdrift. Os resultados obtidos são baseados nateoriageneralized averagingrecentemente desenvolvida, que utiliza a teoria não-linear deFloquet juntamente com expansões em séries para, arbitrariamente, aproximar o fluxo deum campo vetorial tempo-periódico.

(WANG et al., 2004) apresenta um método de controle estabilizante via modos desli-zantes hierárquico para uma classe de sistemas subtuados desegunda-ordem. A idéia é,primeiramente, dividir em dois subsistemas. Para cada parte uma superfície deslizante deprimeiro nivel é definida. Para essas duas superfícies deslizantes de primeiro nivel, umasuperfíe de segundo nivel é definida.

(TIMM; LIPSON, 2004) investiga a hipótese de que bracejamento periódico é umapropriedade emergente de bracejamento de amplo alcance e energeticamente eficiente.Em trabalhos anteriores, movimento periódico era considerado uma condição impostaexternamente ao sistema. Inicialmente o movimento de bracejamento dos macacos foicotejado ao balanço de um pêndulo (Tutlle). Na continuidade, Fleagle pormenorizou talcomparação, mas estudando a cinemática desses animais por meio de gravações de vídeo,fazendo uso da Mecânica para melhor entender o bracejamentocontínuo. Fukuda aplicoua técnica de bracejamento para o estudo de sistemas subatuados com o objetivo de medira eficácia de diversos algoritmos de controle.

(WANG et al., 2004) desenvolve um controlador com estruturavariável baseado empassividade (PBVSC) para prover robustez à incerteza paramétrica.

(HENMI et al., 2004) apresenta uma versão do Acrobot assemelhada à estrutura docorpo humano, com limite de deslocamento angular na segundajunta entre 0 aπ, natentativa de modelar um ginasta de barra horizontal. Quandoa segunda junta atinge seuextremo, a dinâmica do Acrobot iguala-se à dinâmica de um pêndulo simples sem entrada.

A partir da análise dos movimnentos a serem executados por umginasta, segundo atécnicaFurudashi, um novo método para oswing-upé proposto. O esquema de controleapresentado divide-se em três etapas, a saber

• Etapa 1: balançar o segundo elo até atingir uma posição (ângulo) de referência. É amesma ação que o ginasta executa para levantar a parte de baixo do corpo;

• Etapa 2: uma entrada é aplicada na direção contrária à etapa 1, até alcançar o limite

20

da junta. É quando o ginasta estica a parte inferior do corpo epassa a movimentarjunto com a cintura;

• Etapa 3: o robô rotaciona mantendo a junta na posição limite.Esse é o momentoem que o ginasta gira seu corpo mantendo a parte inferior estendida.

Outros trabalhos interessantes são: (RATHINAM; MURRAY, 1996; HONG; LEE;LEE, 1998; OBIKA et al., 2003; XIN; KANEDA, 2004; GOMES; RUINA, 2005).

O objetivo desse trabalho é desenvolver estratégias de controle de robôs móveis porbracejamento para que se movimente continuamente, efetuando a troca de braços parasustentação e locomoção. Entretanto, diferentemente dos trabalhos apresentados anteri-ormente (com excessão de (GOMES; RUINA, 2005)), a idéia é utilizar a força gravita-cional de modo otimizado, fazendo com que se minimize o torque externo aplicado paraa realização do movimento. Isso é importante pois aumenta a autonomia em termos debateria.

Na seqüência apresenta-se os modelos matemáticos para a cinemática (seção 2) e paraa dinâmica (seção 3) do robô proposto, com pequenas alterações em técnicas já existentespara robôs manipuladores convencionais. Por fim apresenta-se alguns resultados obti-dos em simulação para se validar os modelos desenvolvidos (4) e, por fim, na seção (5),apresenta-se a simulação da aplicação da técnica NMPC (Nonlinear Model based Predic-tive Control) para o controle do robô utilizado nesse trabalho.

21

2 MODELO CINEMÁTICO DIRETO

Para o desenvolvimento do modelo cinemático direto utilizar-se-á a convenção deDenavit-Hartenberg (SCIAVICCO; SICILIANO, 1996; FU; GONZALES; LEE, 1987), aqual será resumidamente apresentada a seguir:

1. Sistema de coordenadas da base.Estabeleça o sistema de coordenadas da base(x0, y0, z0) na base de apoio do robô, com o eixoz0 sobre o eixo da junta 1 eapontando para o "ombro"do robô. Os eixosx0 e y0 podem ser convenientementeestabelecidos, desde que formando um sistema ortonormal.

2. Sistemas de coordenadas das juntas.Para cada uma das juntasi = 1 · · ·n − 1,repita:

(a) Eixo da junta.Alinhe zi com o eixo da juntai + 1 (rotacional ou prismática).

(b) Origem do sistemai. Localize a origem do sistemai na intersecção dezi ezi−1 ou na intersecçãao da normal comum azi e zi−1 e o eixozi.

(c) Eixoxi. xi = +(zi−1 × zi)/‖zi−1 × zi‖ ou sobre a normal comum entrezi−1 ezi se eles forem paralelos.

(d) Eixoyi. yi = +(zi × xi)/‖zi × xi‖, para completar o sistema.

3. Sistema de coordenadas da garra.Usualmente an-ésima junta é rotacional. Alinhezn na mesma direção quezn−1 e apontando para fora do robô. Alinhexn de formaque seja normal azn−1 e azn. yn completa o sistema.

4. Parâametros das juntas e elos.Para cadai = 1 · · ·n repita:

(a) di. di é a distância da origem do sistemai − 1 à intersecção dos eixoszi−1 exi, medida sobre o eixozi−1. É a variável de junta, se a juntai for prismática.

(b) ai. ai é a distância da intersecção dezi−1 e xi à origem do sistemai, medidasobre o eixoxi.

(c) θi. θi é o ângulo de rotação em torno dezi−1, medido dexi−1 àxi. É a variávelde junta se a juntai for rotacional.

(d) αi. αi é o ângulo de rotação em torno dexi, medido dezi−1 à zi.

De acordo com o procedimento apresentado, os sistemas de coordenadas para o robômóvel por bracejamento com três elos foram estabelecidos (figura 2.1) e os parâmetrosestão apresentados na tabela 2:

22

l1,m1

l2,m2

l3,m3

Figura 2.1: Determinação dos sistemas de coordenadas.

Elo ai di θi αi

1 l1 0 θ1 02 l2 0 θ2 03 l3 0 θ3 0

Tabela 2.1: Tabela com os parâmetros D-H.

Da definição dos parâmetros de Denavit-Hartenberg, pode-seperceber que um pontoPi, expresso no sistema de coordenadasi, pode ser expresso no sistema de coordenadasi − 1 fazendo-se a seguinte seqüência de transformações:

1. Rotação de um ânguloθi em torno dezi−1, para alinharxi−1 comxi.

Az,θi=

cosθi −senθi 0 0senθi cosθi 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(2.1)

2. Translação dedi ao longo dezi−1 para fazerxi−1 coincidir comxi.

Az,di=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 di

0 0 0 1

(2.2)

3. Translação deai ao longo dexi para fazer as origens e os eixosx coincidentes.

Ax,ai=

1 0 0 ai

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(2.3)

4. Rotação de um ânguloαi em torno dexi, para fazer os dois sistemas tornarem-secoincidentes.

Ax,αi=

1 0 0 00 cosαi −senαi 00 senαi cosαi 00 0 0 1

(2.4)

23

Logo,

i−1Ai = Az,diAz,θi

Ax,aiAx,αi

=

cosθi −cosαisenθi senαisenθi aicosθi

senθi cosαicosθi −senαicosθi aisenθi

0 senαi cosαi di

0 0 0 1

(2.5)e portanto,

[

i−1Ai

]

−1=i Ai−1 =

cosθi senθi 0 −ai

−cosαisenθi cosαicosθi senαi −disenαi

senαisenθi −senαicosθi cosαi −dicosαi

0 0 0 1

(2.6)

Para a configuração mostrada na figura 2.1, as matrizes de transformação homogêneasão dadas por:

0A1 =

cosθ1 −sinθ1 0 l1cosθ1

senθ1 cosθ1 0 l1senθ1

0 0 1 00 0 0 1

(2.7)

1A2 =



0 0 1 00 0 0 1

(2.8)

1A3 =



0 0 1 00 0 0 1

(2.9)

24

3 MODELO DINÂMICO

Esse capítulo tem por objetivo apresentar dois métodos analíticos distintos para a de-terminação do modelo dinâmico de um robô móvel por bracejamento com três elos, mos-trado na figura 2.1. A idéia é basear-se em métodos utilizadospara a determinação domodelo dinâmico de robos manipuladores convencionais e adaptá-las para o robô móvelpor bracejamento, o qual pode ser considerado, sem dúvida, um robô manipulador con-vencional para a obtenção do modelo dinâmico.

O primeiro método, denominado de método deEuler-Lagrange, descreve o com-portamento temporal do sistema mecânico com base na energiado sistema, a partir dadeterminação doLagrangeano do sistema, que é a diferença entre a energia cinéticatotal do sistema e a sua energia potencial total. Diferentemente, o segundo método aser apresentado fundamenta-se na segunda lei de Newton e no Princípio de d’Alembert.Em (FU; GONZALES; LEE, 1987; SPONG; VIDYASAGAR, 1989; MURRAY; LI; SAS-TRY, 1993; ANGELES, 1997; KOSLOWSKI, 1998) tem-se diversasapresentações sobremodelagem dinâmica de robôs manipuladores.

O desenvolvimento do modelo dinâmico pelo método de Euler-Lagrange é simples esistemático além de apresentar equações de estado explícitas par a dinâmica, utilizadaspara análise e projeto de estratégias avançadas de controleno espaço das variáveis dejunta. Em contra-partida, exige uma grande capacidade computacional para a realizaçãodas operações de matrizes e multiplicações necessárias, dificultando a sua utilização paracontrole em tempo-real.

Ao contrário, o método de Newton-Euler caracteriza-se por iterações diretas e rever-sas, facilitando a implementação computacional do método edificultando o desenvolvi-mento anaítico das equaões do modelo. Assim, apresenta-se como opção para a imple-mentaço de sistemas de controle em tempo-real. Em (FU; GONZALES; LEE, 1987) podese consultar tabelas comparativas da complexidade computacional entre os dois mÉtodos.

3.1 Método Euler-Lagrange

A derivação das equações dinâmicas para um robô manipuladorcomn graus de liber-dade baseia-se:

• na matriz de transformação de coordenadas homogêneasi−1Ti

25

• na equação de Euler-Lagrange:

d

dt

(

∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi

= τi i = 1, 2, . . . , n (3.1)

onde

• L é o Lagrangeano do sistema, dado pela diferença entre a energia cinética total e aenergia potencial total do sistema;

• qi é a coordenada generalizada para a juntai;

• τi é a força (momento) generalizada aplicada ao sistema na junta i.

A determinação das coordenadas generalizadas, posição da origem dos diversos siste-mas de coordenadas das juntas e do sistema de referência foram escolhidos em conformi-dade com a convenção de Denavit-Hartenberg para a determinação do modelo cinemáticoapresentado na seção 2.

O primeiro passo é a determinação do Lagrangeano do sistema,isto é, a determinaçãodas energias cinética e potencial dos diversos elementos dorobô. SejaEci a energia ciné-tica do eloi, ondei = 1, 2, . . . , n expressa no sistema de coordenadas da base, expressapor:

Eci =1

2tr

[

i∑

p=1

i∑

r=1

Uip

(∫

iriirt

idm

)

UTir qpqr

]

(3.2)

onde

Uij ,

{

0Aj−1Qjj−1Ai j ≤ i

0 j > i(3.3)

sendo a matrizQ, para o caso de junta rotacional, dada por:

Qi ,

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(3.4)

Efetuando-se a integral em 3.2 obtém-se:

Eci =1

2tr

[

i∑

p=1

i∑

r=1

UipJiUTir qpqr

]

(3.5)

ondeJi é expresso em termos do tensor de inércia do elo:

Ji =

−Ixx+Iyy+Izz

2−Ixy −Ixz mixi

−IxyIxx−Iyy+Izz

2−Iyz miyi

−Ixz −IyzIxx+Iyy−Izz

2mizi

m[xi miyi mizi mi

(3.6)

26

A energia cinética total é dada pela soma das diversas parcelas correspondentes àenergia cinética de cada um dos elos que compõem o robô, a saber:

Ec =1

2

n∑

i

tr

[

i∑

p=1

i∑

r=1

UipJiUTir qpqr

]

Ec =1

2

n∑

i

i∑

p=1

i∑

r=1

tr[

UipJiUTir qpqr

]

(3.7)

Uma vez determinada a energia cinética total do robô, falta ocálculo da energia po-tencial total do sistema. SejaEpi a energia potencial do eloi, dada por:

Epi = −mi~g0ri = −mi~g( 0Ai

iri) i = 1, 2, . . . , n (3.8)

onde~g = [gx gy gz] é expresso no sistema de coordenadas da base eiri é a posição docentro de massa do eloi em relação à origem do sistema de coordenadasi.

Assim, a energia potencial total do sistema resulta em:

Ep =n

∑

i

−mi~g( 0Aiiri) (3.9)

O Lagrangeano do sistema, então, é dado por:

L , Ec − Ep

L ,1

2

n∑

i

i∑

p=1

i∑

r=1

tr[

UipJiUTir qpqr

]

−n

∑

i

−mi~g( 0Aiiri) (3.10)

Agora, aplicando-se a função de Euler-Lagrange (de acordo com a equação 3.1), efazendo uso do Lagrangeano (equação 3.10), resulta em:

τi =n

∑

j=1

j∑

k=1

tr(

UjkJjUTji

)

qk +n

∑

j=i

j∑

k=1

j∑

m=1

tr(

UjkmJjUTji

)

qkqm

−

n∑

j=i

mj~gUjij ri (3.11)

parai = 1, 2, . . . , n e comUijk definido por:

∂Uij

∂qk

,

0Aj−1Qjj−1Ak−1Qk

k−1Ai i ≥ k ≥ j0Ak−1Qk

k−1Aj−1Qjj−1Ai i ≥ j ≥ k

0 (i < j) ∨ (i < k)

(3.12)

A equação 3.11 pode ser reescrita na forma matricial:

τ(t) = D(q(t))q(t) + h(q(t), q(t)) + c(q(t)) (3.13)

onde

• τ(t) = n × 1 é o vetor de torques generalizados aplicados em cada uma das juntas;

27

• q(t) = n × 1 é o vetor das variáveis de junta do robô;

• q(t) = n × 1 é o vetor velocidade das variáveis de junta;

• q(t) = n × 1 é o vetor aceleração das variáveis de junta;

• D(q) = n × n é a matriz de inércia relacionada com a aceleração do robô, sendocada elemento dado por:

Dik ,

n∑

j=max(i,k)

tr(

UjkJiUTji

)

i, k = 1, 2, . . . , n (3.14)

• h(q, q) = n × 1 é o vetor de força centrífuga e de Coriolis, onde cada elemento édado por:

hi ,

n∑

k=1

n∑

m=1

tr

n∑

j=max(i,k,m)

tr(

UjkmJjUTji

)

qkqm i, k,m = 1, 2, . . . , n

(3.15)

• c(q) = n×1 é o vetor com os termos graviacionais, sendo cada elemento calculadocom:

ci ,

n∑

j=i

(

−mi~gUjij rj

)

i = 1, 2, . . . , n (3.16)

3.2 Aplicação do Método de Euler-Lagrange

Nessa subseção considera-se um robô com três graus de liberdade, com três juntasrotacionais, conforme mostra a figura 2.1. Os elos possuem comprimentol1, l2 e l3, res-pectivamente. As massas de cada um dos elos sãom1, m2 em3.

Assumindo-se nulos os produtos de inércia obtém-se a matrizde pseudo-inércia (FU;GONZALES; LEE, 1987; BEER; JR., 1994) para cada um dos elos, asaber:

J1 =

m1l21

30 0 −m1l1

2

0 0 0 00 0 0 0

−m1l12

0 0 m1

(3.17)

J2 =

m2l22

30 0 −m2l2

2

0 0 0 00 0 0 0

−m2l22

0 0 m2

(3.18)

J3 =

m3l32

30 0 −m3l3

2

0 0 0 00 0 0 0

−m3l32

0 0 m3

(3.19)

De acordo com a equação 3.7 e expandindo os somatórios, a energia cinética para orobô em estudo é dada por:

Ec = Ec1 + Ec2 + Ec3 (3.20)

28

onde

Ec1 =1

2tr

[

U11J1UT11θ

21

]

(3.21)

Ec2 =1

2tr

[

U21J2UT21θ

21

]

+1

2tr

[

U21J2UT22θ1θ2

]

+1

2tr

[

U22J2UT21θ1θ2

]

+1

2tr

[

U22J2UT22θ

22

]

(3.22)

Ec3 =1

2tr

[

U31J3UT31θ

21

]

+1

2tr

[

U31J3UT33θ1θ3

]

+1

2tr

[

U33J3UT31θ1θ3

]

+1

2tr

[

U33J3UT33θ

23

]

(3.23)

Em seguida, determina-se a energia potencial para o robô apresentado na figura 2.1,de acordo com a equação 3.9:

Ep = m1~g0A1

1r1 + m2~g0A2

2r2 + m3~g0A3

3r3 (3.24)

onde iri é a posição do centro de massa do eloi em relação ao sistema de coordenadasda juntai.

Uma vez determinadas as expressões 3.20 e 3.24 das energias cinética e potencialdo robô, respectivamente, pode-se aplicar a equação de Euler-Lagrange, resultando nasseguintes expressões para os torques externos aplicados:

τ1 = d11θ1 + d12θ2 + d13θ3

+ h111θ21 + h112θ1θ2 + h113θ1θ3

+ h122θ22 + h121θ1θ2 + h133θ

23 + h131θ1θ3

+ m1~gU111r1 + m2~gU21

1r1 + m3~gU311r1 (3.25)

τ2 = d21θ1 + d22θ2

+ h211θ21 + h212θ1θ2 + h221θ1θ2

+ m2~gU122r2 + m2~gU22

2r2 (3.26)

τ3 = d31θ1 + d33θ3

+ h311θ21 + h313θ1θ3 + h331θ1θ3

+ m3~gU133r3 + m3~gU33

3r3 (3.27)

onde

dik ,

n∑

j=max(i,k)

tr[

UjkJjUTji

]

(3.28)

hikm ,

n∑

j=max(i,k,m)

tr[

UjkmJjUTji

]

(3.29)

29

Finalmente, realizando as respectivas substituições dedik ehikm nas equações 3.25, 3.26e 3.27, obtém-se a expressão final para o modelo da dinâmica dorobô, o qual pode serexpresso sob a forma:

τ = D(θ)θ + H(θ, θ) + C(θ) (3.30)

ondeD(θ) é uma matriz com dimensão3 × 3, H(θ, θ) e C(θ) são vetores de dimensão3 × 1.

τ1

τ2

τ3

=

d11 d12 d13

d21 d22 0d31 0 d33

θ1

θ2

θ3

+

h1

h2

h3

+

c1

c2

c3

(3.31)

onde os elementos são dados por:

d11 ,1

3m1l

21 +

4

3m2l

22 +

4

3m3l

23 + m2l1l2 cos(θ2) + m3l1l3 cos(θ3)

d12 ,1

3m2l

22 +

1

2m2l1l2 cos(θ2)

d13 ,1

3m3l

23 +

1

2m3l1l3 cos(θ3)

d21 ,1

3m2l

22 +

1

2m2l1l2 cos(θ2)

d22 ,1

3m2l

22

d31 ,1

3m3l

23 +

1

2m3l1l3 cos(θ3)

d33 ,1

3m3l

23

h1 , −1

2m2l1l2θ

22 sin(θ2) − m2l1l2θ1θ2 sin(θ2) −

1

2m3l1l3θ

23 sin(θ3) − m3l1l3θ1θ3 sin(θ3)

h2 ,1

2m2l1l2θ1 sin(θ2)

h3 ,1

2m3l1l3θ1 sin(θ3)

c1 ,1

2m1l1g cos(θ1) + m2l1g cos(θ1) +

1

2m2l2g cos(θ1 + θ2) +

+ m3l1g cos(θ1) +1

2m3l3g cos(θ1 + θ3)

c2 , m2l2g cos(θ1 + θ2)

c3 , m3l3g cos(θ1 + θ3)

30

3.3 Método Newton-Euler

O método a ser apresentado nessa seção está baseado na equação de Newton:

F = mv (3.32)

e na equação de Euler:

N = Iω + ω × Iω (3.33)

O método de Newton-Euler é um procedimento iterativo (com iterações diretas e re-versas) para calcular os torques nas juntas do robô. As iterações diretas calculam asvelocidades e acelerações dos diversos elos a partir da baseem direção à garra. Já as ite-rações reversas calculam os torques exercidos em cada uma das juntas, partindo da garrapara a base do robô.

Antes de se apresentar as equações finais, algumas definiçOesfazem-se necessárias:

• mi: massa total do eloi

• si: posiçãao do centro de massa do eloi em relação ao sistema de coordenadas(xi, yizi)

• pi: origem doi-ésimo sistema de coordenadas em relação aoi − 1-ésimo sistemade coordenadas

• ai: aceleração linear do centro de massa do eloi

• Fi: força externa total exercida no centro de massa do eloi

• Ni: momento externo total exercido no centro de massa do eloi

• Ii: matriz de inércia do eloi em relação ao centro de massa, descrito no sistema decoordenadas da base

• fi: forçaa exercida no eloi pelo eloi−1 no sistema de coordenadas(xi−1, yi−1, zi−1)

• ηi: momento exercido no eloi pelo eloi−1 no sistema de coordenadas(xi−1, yi−1, zi−1)

De forma resumida, as equações de Newton-Euler tanto para asiterações diretasquanto reversas são dadas por:

31

• iterações diretas (i = 1, 2, . . . , n)

iR0ωi =

iRi−1(i−1R0ωi−1 + z0qi) juntai rotacional

iRi−1(i−1R0ωi−1) juntai prismática

iR0ωi =

iRi−1 [ i−1R0ωi−1 + z0qi + ( i−1R0ωi−1) × (z0qi)]

iRi−1(i−1R0ωi−1)

iR0vi =

( iR0ωi) × ( iR0pi) + ( iR0ωi) × [( iR0ωi) × ( iR0pi)]

+ iRi−1(i−1R0vi−1)

iRi−1(z0qi + i−1R0vi−1) + ( iR0ωi) × ( iR0pi)+

+2( iR0ωi) × ( iRi−1z0qi) + ( iR0ωi) × [( iR0ωi) × ( iRi−1pi)]

iR0ai = ( iR0ωi) × ( iR0si) + ( iR0ωi) ×[

( iR0ωi) × ( iR0si)]

+ iR0vi

• iteraçõoes reversas (i = n, n − 1, . . . , 1)

iR0Fi = miiR0ai

iR0Ni = ( iR0Ii0Ri)(

iR0ωi) + ( iR0ωi) ×[

( iR0Ii0Ri)(

iR0ωi)]

iR0fi = iR0Fi + iRi+1(i+1R0fi+1)

iR0ηi = iRi+1

[

i+1R0ηi+1 + ( i+1R0pi) × ( i+1R0fi+1)]

+ ( iR0pi + iR0si) × ( iR0Fi) + iR0Ni

τi =

( iR0ηi)T ( iRi−1zi−1) + biqi juntai rotacional

( iR0fi)T ( iRi−1zi−1) + biqi juntai prismática

3.4 Aplicação do Método de Newton-Euler

A partir de agora se desenvolverá as iterações do método de Newton-Euler para umrobô com três graus de liberdade, com três juntas rotacionais, conforme mostra a fi-gura 2.1. Os elos possuem comprimentol1, l2 e l3, respectivamente. As massas de cadaum dos elos sãaom1, m2 em3.

Entretanto, a estrutura mecânica nâo é uma cadeia simples deelos, já que apresentadois elos atrelados a um mesmo elo anterior (como se fosse umabifurcação). Assim,

32

aplica-se normalmente o método de Newton-Euler considerando-se as duas extremidadesde forma independente.

As matrizes de inércia de cada um dos elos, em relação aos Deuscentros de massa,são:

I1 =

0 0 00 1

12m1l

21 0

0 0 112

m1l21

(3.34)

I2 =

0 0 00 1

12m2l

22 0

0 0 112

m2l22

(3.35)

I3 =

0 0 00 1

12m3l

23 0

0 0 112

m3l23

(3.36)

Primeiramente define-se as condições iniciasω0 = ω = v0 = 0 e v0 = (0 ,−g, 0),com|g| = 9, 8062m/s2.

3.5 Iterações Diretas

• i=1

Cálculo da velocidade angular:

1R0ω1 = 1R0(0R0ω0 + ~z0q1) (3.37)

1R0ω1 =

00q1

(3.38)

Cálculo da aceleração angular:

1R0ω1 = 1R0

[

0R0ω0 + ~z0q1 + ( 0R0ω0) × (~z0q1)]

(3.39)

1R0ω1 =

00q1

(3.40)

Cálculo da aceleração linear do elo:

1R0a1 = ( 1R0ω1) × ( 1R0p1) + ( 1R0ω1) ×[

( 1R0ω1) × ( 1R0p1)]

+ 1R0(0R0v0) (3.41)

1R0a1 =

−l1q21 − g sin(q1)

l1q1 − g cos(q1)

0

(3.42)

33

Cálculo da aceleração linear do centro de massa do elo:

1R0a1 = ( 1R0ω1) × ( 1R0s1) + ( 1R0ω1) ×[

( 1R0ω1) × ( 1R0s1)]

+ 1R0(0R0v1) (3.43)

1R0a1 =

−l1q2

1

2− g sin(q1)

l1q1

2− g cos(q1)

0

(3.44)

• i=2


2R0ω2 = 2R1(1R0ω1 + ~z0q2) (3.45)

2R0ω2 =

00

q1 + q2

(3.46)


2R0ω2 = 2R1

[

1R0ω1 + ~z0q2 + ( 1R0ω1) × (~z0q1)]

(3.47)

2R0ω2 =

00

q1 + q2

(3.48)


2R0a2 = ( 2R0ω2) × ( 2R0p2) + ( 2R0ω2) ×[

( 2R0ω2) × ( 2R0p2)]

+ 2R1(1R0v1) (3.49)

2R0a2 =

−l2(q1 + q2)2 − l1q

21 cos(q2) + l1q1 sin(q2) − g sin(q1 + q2)

l2(q1 + q2) + l1q21 sin(q2) + l1q1 cos(q2) − g cos(q1 + q2)

0

(3.50)

Cálculo da aceleração linear do centro de massa do elo:

2R0a2 = ( 2R0ω2) × ( 2R0s2) + ( 2R0ω2) ×[

( 2R0ω2) × ( 2R0s2)]

+ 2R0v2 (3.51)

2R0a2 =

− l22(q1 + q2)

2 − l1q21 cos(q2) + l1q1 sin(q2) − g sin(q1 + q2)

l22(q1 + q2) + l1q

21 sin(q2) + l1q1 cos(q2) − g cos(q1 + q2)

0

(3.52)

34

• i=3


3R0ω3 = 3R1(1R0ω1 + ~z0q3) (3.53)

3R0ω3 =

00

q1 + q3

(3.54)


3R0ω3 = 3R1

[

1R0ω1 + ~z0q3 + ( 1R0ω1) × (~z0q1)]

(3.55)

3R0ω3 =

00

q1 + q3

(3.56)


3R0a3 = ( 3R0ω3) × ( 3R0p3) + ( 3R0ω3) ×[

( 3R0ω3) × ( 3R0p3)]

+ 3R1(1R0v1) (3.57)

3R0a3 =

−l3(q1 + q3)2 − l1q

21 cos(q3) + l1q1 sin(q3) − g sin(q1 + q3)

l3(q1 + q3) + l1q21 sin(q3) + l1q1 cos(q3) − g cos(q1 + q3)

0

(3.58)

Cálculo da aceleração centro de massa do elo:

3R0a3 = ( 3R0ω3) × ( 3R0s3) + ( 3R0ω3) ×[

( 3R0ω3) × ( 3R0s3)]

+ 3R0(R0 v3) (3.59)

3R0a3 =

− l32(q1 + q3)

2 − l1q21 cos(q3) + l1q1 sin(q3) − g sin(q1 + q3)

l32(q1 + q3) + l1q

21 sin(q3) + l1q1 cos(q3) − g cos(q1 + q3)

0

(3.60)

Antes, porém, de se iniciar as iterações reversas do método de Newton-Euler, apresenta-se o diagrama de forças e momentos atuantes na estrutura mecânica do robô. A idéiautilizada no diagrama é considerar as forças e momentos queentram no elo, isto é, oconjunto de forças e momentos exercidos pela cadeia anterior de elos como uma únicaforçaafe e um único momentoηe; do mesmo modo considera-se as forças e momentosquesaemdo elo, isto é, exercidos pela cadeia posterior de elos também como uma únicaforçafs e um único momentoηs. Todas as forçs e momentos estão descritos com relaçãao sistema de coordenadas de referência.

35

fi1

fo2

ni1

ni3

fi3

fo3 no3

no2

ni2

fi2

no1

fo1

Figura 3.1: Diagrama de forças e momentos em cada elo.

3.6 Iterações indiretas

• i=3

3R0F3 = m33R0a3

3R0f3i = 3R0F3

3R0N3 = ( 3R0I30R3)(

3R0ω3) + ( 3R0ω3) ×[

( 3R0I30R3)(

3R0ω3)]

3R0η3i = ( 3R0p3 + 3R0s3) × ( 3R0F3) + 3R0N3

3R0η3i = ( 3R0

l3 cos(q1 + q3)l3 sin(q1 + q3)

0

+ 3R0

− l3 cos(q1+q3)2

− l3 sin(q1+q3)2

0

) × ( 3R0F3)

+ 3R0N3 (3.61)

τ3 =

(

m3l23

3+

m3l1l3 cos(q3)

2

)

q1 +

(

m3l23

3

)

q3 +m3l1l3q

21 sin(q3)

2

+m3l3g cos(q1 + q3)

2(3.62)

• i=2

36

2R0F2 = m22R0a2

2R0f2i = 2R0F2

2R0N2 = ( 2R0I20R2)(

2R0ω2) + ( 2R0ω2) ×[

( 2R0I20R2)(

2R0ω2)]

2R0η2i = ( 2R0p2 + 2R0s2) × ( 2R0F2) + 2R0N2 (3.63)

2R0η2i = ( 2R0

l2 cos(q1 + q2)l2 sin(q1 + q2)

0

+ 2R0

− l2 cos(q1+q2)2

− l2 sin(q1+q2)2

0

) × ( 2R0F2)

+ 2R0N2 (3.64)

τ2 =

(

m2l22

3+

m2l1l2 cos(q2)

2

)

q1 +

(

m2l22

3

)

q2 +m2l1l2q

21 sin(q2)

2

+m2l2g cos(q1 + q2)

2(3.65)

• i=1

37

1R0F1 = m11R0a1

1R0f1i = 1R0F1 + 1R0F2 + 1R0F3

1R0N1 = ( 1R0I10R1)(

1R0ω1) + ( 1R0ω1) ×[

( 1R0I10R1)(

1R0ω1)]

1R0η1i = 1R0η2i + 1R0η3i + ( 1R0p1) × ( 1R0F2 + 1R0F3)

+ ( 1R0p1 + 1R0s1) × ( 1R0F1) + 1R0N1 (3.66)

1R0η1i = 1R0η2i + 1R0η3i + ( 1R0

l1 cos(q1)l1 sin(q1)

0

) × ( 1R0F2 + 1R0F3)

+ ( 1R0

l1 cos(q1)l1 sin(q1)

0

+ 1R0

− l1 cos(q1)2

− l1 sin(q1)2

0

) × ( 1R0F1) + 1R0N1

(3.67)

τ1 =

(

m1l21

3+

4m2l22

3+

4m3l23

3+ m2l1l2 cos(q2) + m3l1l3 cos(q3)

)

q1

+

(

m2l22

3+

m2l1l2 cos(q2)

2

)

q2 +

(

m3l23

3+

m3l1l3 cos(q3)

2

)

q3

− m2l1l2q1q2 sin(q2) −m2l1l2q

22 sin(q2)

2− m3l1l3q1q3 sin(q3) −

m3l1l3q23 sin(q3)

2

+m1l1g cos(q1)

2+ m2l1g cos(q1) +

m2l2g cos(q1 + q2)

2

+ m3l1g cos(q1) +m3l3g cos(q1 + q3)

2(3.68)

38

4 SIMULAÇÃO

A seguir apresenta-se diversas simulações do modelo dinâmico desenvolvido nas se-ções anteriores, tanto pelo método de Euler-Lagrange (seção 3.1) quanto pelo método deNewton-Euler (seção 3.3). As simulações foram realizadas em duas etapas, uma conside-rando o modelo dinâmico ideal, isto é, sem atrito e outra considerando o modelo dinâmicocom atrito. Tanto na primeira etapa quanto na segunda utilizou-se várias posições iniciaisa fim de se validar o modelo dinâmico obtido.

Na figura 4.1 observa-se a posição angular das três juntas do robô, partindo da posiçãoinicial [0, 0, 0], utilizando o modelo dinâmico ideal e na figura 4.2 tem-se a posiçãoangular de cada uma das juntas quando utilizado o modelo dinâmico com atrito.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 5 10 15 20 25 30

An

gu

lo (

rd)

Tempo (s)

Angle Joint 1Angle Joint 2Angle Joint 3

Figura 4.1: Posição angular das juntas, em simulação sem atrito.

Agora, tendo como posição inicial[−π2

π2

− π2], pode-se observar a posição angular

das juntas, primeiramente considerando-se o modelo dinâmico sem atrito (4.3) e, por fim,considerando-se o modelo dinâmico com atrito (4.4).

39

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 5 10 15 20 25 30

An

gu

lo (

rd)

Tempo (s)

Pos. Junta 1Pos. Junta 2Pos. Junta 3

Figura 4.2: Posição angular das juntas, em simulação com atrito..

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30

An

gu

lo (

rd)

Tempo (s)


Figura 4.3: Posição angular das juntas, em simulação sem atrito.

40

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30

An

gu

lo (

rd)

Tempo (s)


Figura 4.4: Posição angular das juntas, em simulação com atrito.

41

5 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO NÃO-LINEAR

Esse trabalho aplica a estratégia de controle NMPC (Nonlinear Model based Pre-dictive Control) para o controle de posição do robô móvel por bracejamento proposto.Adotou-se a estratégia NMPC pela sua capacidade de tratar restrições e limites do sistemade uma maneira direta durante o cálculo do sinal de controle (CAMACHO; BORDONS,1999), além de gerar uma lei de controle ótima. Ainda, essa abordagem não se baseia naexistência de uma trajetória de referência.

De acordo com a idéia de se tirar vantagem da ação da força gravitacional para mo-vimentar o robô, pode se imaginar que o controle ótimo seja tal que efetivamente faça ouso otimizado da gravidade. Sendo assim, o NMPC apresenta-se como uma estratégia decontorle de robôs móveis por bracejamento que faz uso da acção da gravidade.

O controle preditivo baseado em modelo é uma estratégia de controle que utiliza omodelo do sistema para obter uma seqüência ótima de controleatravés da minimizaçãode uma função objetivo (também chamada de função custo). A cada intervalo de amos-tragem, o modelo é usado para predizer o comportamenot do sistema em um horizonte depredição. Baseado nessas predições, a função objetivo é minimizada em relação à seqüên-cia futura de entradas. Tal minimização requer a solução de um problema de otimizaçãocom restrição a cada intervalo de amostragem.

Não obstante predição e otimização sejam realizadas sobre um horizonte futuro, ape-nas os valores das entradas para o intervalo de amostragem atual são utilizados e o mesmoprocedimento é executado no próximo instante de amostragem. Esse mecanismo é conhe-cido como estratégia demoving horizonou, também, comorecending horizon, referindo-se ao modo como a janela de tempo avança de um instante de amostragem para o próximoinstante.

Os elementos básicos presentes em todas as variações do controlador preditivo ba-seado no modelo são o modelo de predição, a função objetivo e ocálculo da ação decontrole. O modelo de predição é parte central do MPC, pois possibilita a previsão dassaídas futuras do sistema. Já a função objetivo define o critério a ser otimizado a fim deproduzir uma seqüência de controle que conduza o sistema do modo desejado.

A seguir desenvolve-se o esquema de controle NMPC proposto nesse trabalho. Con-

42

sidere um modelo não-linear genérico, expresso por:

x(t) = f(x(t), u(t)) (5.1)

ondex(t) é o vetor de estado eu(t) é o vetor de entrada de controle. O mesmo sistemanão-linear, agora descrito em tempo discreto, é dado por:

x(k + 1) = f(x(k), u(k)) (5.2)

A função objetivo a ser minimizada assume, em geral, a seguinte forma:

Φ(t) =

N2∑

j=N1

xT (k + j|k)Qx(k + j|k)

+Nu∑

j=1

uT (k + j − 1|k)Ru(k + j − 1|k) (5.3)

ondeN = N2 − N1 é o horizonte de predição,Nu é o horizonte de controle eQ ≥ 0 eR ≥ 0 são matrizes de ponderação, as quais penalizam o erro de estado e o esforço decontrole, respectivamente.

Considerando ofato de que todo sistema real está, na prática, sujeito a alguma res-trição, como por exemplo limites físicos, define-se as seguintes expressões genéricas derestrição:

x(k + j|k) ∈ X , j ∈ [N1, N2]

u(k + j|k) ∈ U , j ∈ [0, Nu]

ondeX é o conjunto convexo e fechado de todos os possíveis valores parax eU é o con-junto convexo e fechado de todos os possíveis valores parau. Supondo que tais restriçõessejam lineares em relação ax, pode se escrever:

Cx(k + j|k) ≤ c, j ∈ [N1, N2] (5.4)

Du(k + j|k) ≤ d, j ∈ [0, Nu] (5.5)

Assim, o problema de otimização a ser resolvido em cada intervalo de amostragemkconsiste em encontrar um seqüêcia de controleu⋆ e uma seqüência de estadox⋆ tal queminimize a função custoΦ(k) e satisfaça às restrições, isto é:

u∗, x∗ = arg minu,x

{Φ(k)} (5.6)

sunjeito a:

x(k|k) = x0 (5.7)

x(k + j|k) = f(x(k + j − 1|k), u(k + j − 1|k)),

j ∈ [N1, N2] (5.8)

Cx(k + j|k) ≤ c, j ∈ [N1, N2] (5.9)

Du(k + j|k) ≤ d, j ∈ [0, Nu] (5.10)

ondeq0 é o valor deq no instantek.

43

O problema de minimização 5.6 é resolvido para cada instantede amostragem, resul-tando na seqüência ótima de controle:

u∗ = {u∗(k|k), u∗(k + 1|k), . . . , u∗(k + Nu|k)} (5.11)

e a seqüência ótima de estado é dada por:

x∗ = {x∗(k + N1|k), x∗(k + N1 + 1|k), . . . , x∗(k + N2|k)} (5.12)

com um custo ótimoΦ∗(k). Assim, a lei de controle definida pelo NMPC é implicita-mente dada pelo primeiro elemento da seqÜência ótima de controle:

h(δ) = u∗(k|k) (5.13)

ondeh(δ) é contínuo durante o intervalo de amostragemT .Portanto, pelo exposto acima, o sistema em malha fechada resulta em:

x(δ) = f(x(δ), h(δ)) (5.14)

De acordo com as equações do NMPC, é necessário descrever a dinâmics do sistemapara tempo discreto. Assim, o sistema expresso por 5.14 podeser discretizado utilizandoo método de Euler, resultando em:

q(k + 1) = q(k) + Tf(k) + Tg(k)u(k) (5.15)

ondeT é o intervalo de amostragem.

A função objetivo leva em consideração a posição cartesianado efetuador final dorobô, em vez de considerar diretamente as coordenadas de junta, pois o robô deve alcan-çar a barra horizontal de apoio (y = 0), independentemente da configuração no espaçodas juntas. É importante salientar o fato de o robô não ser completamente atuado.

Assim a função custo é dada por:

Φ(t) =

N2∑

j=N1

XT (k + j|k)QX(k + j|k)

+Nu∑

j=1

uT (k + j − 1|k)Ru(k + j − 1|k) (5.16)

ondeX = [x y]T é o vetor com as coordenadas cartesianas ,Q é uma matriz de dimensão2 × 2 eR é um escalar real.

A estratégia NMPC considera as restrições do sistema como descritas pelas equa-ções 5.4 e 5.5. Além do fato de o sistema ser subatuado, a entrada de controle possuilimites superior e inferior, dados por:

−τmax ≤ τ ≤ τmax (5.17)

comτmax = 30Nm. Além disso, restringe-se o ângulo de junta dentro do intervalo:

−π ≤ θi ≤ π (5.18)

44

O objetivo desse trabalho é investigar a utilização da estratégia de controle NMPCpara controlar um robô móvel por bracejamento. O robô se movimenta alternando os bra-ços, do mesmo modo que os macacos fazem para se moverem de um galho para outro.

Inicialmente o robô está configurado de tal modo queθ1 = −π, θ2 = 0 eθ3 = 0, comvelocidades nulas. Nesse trabalho simula-se o robô se movimentando da posição inicialpara uma posição final fixa desejada, de tal modo que avance ao longo do eixoX e que oefetuador final atinja a barra de sustentaç ao (y = 0). O horizonte de prediçãoN = 5 foidefinido, com um intervalo de amostragemT = 0.01s. A matriz de ganho Q é dada por:

Q =

[

1 00 100

]

(5.19)

eR = 0.1.A figura 5.1 apresenta a posição angular de cada junta do robô durante o movimento

e na figura 5.2 tem-se a velocidade angular de cada junta.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Time (s)

Ang

le (

rad)

Joint Position

Θ1

Θ2

Θ3

Figura 5.1: Posição angular de cada junta.

A posição do efetuador final do robô ao longo dos eixos X e Y são apresentadasna figura 5.3 e a trajetória realizada pelo efetuador final no plano XY pode ser vista nafigura 5.4. Os valores para a função objetivo são mostrado em 5.5. O torque aplicado aosistema, na junta 2, é apresentado na figura 5.6.

45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Time (s)

Ang

le (

rad/

s)

Joint Velocity

dΘ1

dΘ2

dΘ3

Figura 5.2: Velocidade angular de cada junta.

0 0.5 1 1.5 2 2.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time (s)

Pos

ition

(m

)

X and Y Positions along time

Pos. XPos. Y

Figura 5.3: Trajetória descrita pelo robô nos eixos X e Y.

46

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Trajectory on XY Plan

X (m)

Y (

m)

Figura 5.4: Trajetória descrita no plano XY.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

100

200

300

400

500

600

700

800Cost

Time (s)

Figura 5.5: Função objetivo.

47

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6Torque on Joint 2

Time (s)

Tor

que

(Nm

)

Figura 5.6: Torque aplicado na junta 2.

48

REFERÊNCIAS

ABDERRAHIM, M.; BALAGUER, C.; GIMÉNEZ, A.; PASTOR, J. M.; PADRÓN,V. M. ROMA: a climbing robot for inspection operations. In: IEEE INTERNATIONALCONFERENCE ON ROBOTICS & AUTOMATION, 1999.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1999.v.3, p.2303–2308.

ACROBOT, E.-B. S.-U. of the; MOTION, T.-O. Ravi N. Banavar and Arun D. Mahindra-kar. In: IEEE CONFERENCE ON CONTROL APPLICATIONS, 2003.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2003. v.1, p.706–711.

ANEKE, N. P. I.Control of Underactuated Mechanical Systems. 2003. PhD Thesis —Technische Universiteit Eindhoven.

ANGELES, J.Fundamentals of Robotic Mechanical Systems - Theory, Methods andAlgorithms . [S.l.]: Springer-Verlag, 1997. (Mechanical EngineeringSeries).

ARACIL, R.; FERRE, M.; HERNANDO, M.; PINTO, E.; SEBASTIAN, J. M. Telerobo-tic system for live-power line maintenance.Control Engineering Practice, [S.l.], v.10,n.11, p.1271–1281, November 2002.

BEER, F. P.; JR., E. R. J.Mecânica Vetorial para Engenheiros. 5a.ed. [S.l.]: MakronBooks, 1994. v.Dinâmica.

BLOCH, A. M.; REYHANOGLU, M.; MCCLAMROCH, N. H. Control and Stabilizationof Nonholonomic Dynamic Systems.IEEE Transactions on Automatic Control, [S.l.],v.37, n.11, p.1746–1757, November 1992.

BROCKETT, R. W.New directions in Applied Mathematics. [S.l.]: Springer-Verlag,1982.

CAMACHO, E. F.; BORDONS, C.Model Predictive Control. [S.l.]: Springer-Verlag,1999. (Advanced Textbooks in Control and Signal Processing).

CAMPOS, M. F. M.; PEREIRA, G. A. S.; VALE, S. R. C.; BRACARENCE, A. Q.; PI-NHEIRO, G. A.; OLIVEIRA, M. P. A Mobile Manipulator for Instalattion and Removalof Aircraft Warning Spheres on Aerial Poert Transmission Lines. In: IEEE INTERNATI-ONAL CONFERENCE ON ROBOTICS & AUTOMATION, 2002.Anais. . . [S.l.: s.n.],2002. v.4, p.3559–3564.

49

CAMPOS, M. F. M.; PEREIRA, G. A. S.; VALE, S. R. C.; BRACARENCE, A. Q.; PI-NHEIRO, G. A.; OLIVEIRA, M. P. A robot for installation and removal of aircraft war-ning spheres on aerial power transmission lines.IEEE Transactions on Power Delivery,[S.l.], v.18, n.4, p.1581–1582, October 2003.

CORTÉS, J.; MARTÍNEZ, S.; OSTROWSKI, J. P.; ZHANG, H. Controllability of Me-chanical Systems with Constraints and Symmetry. In: INTERNATIONAL SYMPO-SIUM ON MATHEMATICAL THEORY OF NETWORKS AND SYSTEMS, 15., 2002.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2002.

CÔTÉ, J.; MONTAMBAULT, S.; ST.-LOIUS, M. Preliminary Results on the Develop-ment of a Teleoperated Compact Trolley for Live-Line Maintenance. In: IEEE CON-FERENCE ON TRANSMISSION AND DISTRIBUTION CONSTRUCTION, OPERA-TION AND LIVE-LINE MAINTENANCE, 2000. Anais. . . [S.l.: s.n.], 2000. p.21–27.

DEJONG, G.; SPONG, M. W. Swinging Up the Acrobot: an example of intelligent con-trol. In: AMERICAN CONTROL CONFERENCE, 1994.Proceedings. . .[S.l.: s.n.],1994. p.2158–2162.

EGELAND, O.; BERGLUND, E. Control of Underwate Vehicle withNonholonomicAcceleration Constraints. In: IFAC CONFERENCE ON ROBOT CONTROL, 1994.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1994. p.845–850.

FAUCHER, D.; LESSARD, J.; CÔTÉ, P. R. J.; MCGEE, J.-Y. Groundoperated teleope-ration system for live power line maintenance. In: IEEE CONFERENCE ON SYSTEMS,MAN AND CYBERNETICS, 1996.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1996. v.1, p.792–798.

FIERRO, R.; LEWIS, F. L.; LOWE, A. Hybrid Control for a Class of UnderactuatedMechanical Systems.IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics - Part A:Systems and Humans, [S.l.], v.29, n.6, p.649–654, November 1999.

FU, K. S.; GONZALES, R. C.; LEE, C. S. G.Robotics: control, sensing, vision andintelligence. [S.l.]: McGraw-Hill, 1987. (CAD/CAM Robotics and Computer).

FUKUDA, T.; HOSOKAL, H.; KONDO, Y. Brachiation Type of Mobile Robot. In:INTERNATIONAL CONFERENCE ON ADVANCED ROBOTICS, 1991.Anais. . .[S.l.: s.n.], 1991. p.915–920. (Robots in Unstructured Environments, v.2).

FUKUDA, T.; SAITO, F.; ARAI, F. A Study on the Brachiation Type of Mobile Ro-bots (Heuristic Creation of Driving Input and Control UsingCMAC). In: IEEE/RSJ IN-TERNATIONAL WORKSHOP ON INTELLIGENT ROBOTS AND SYSTEMS, 1991.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1991. v.2, p.478–483.

GOMES, M. W.; RUINA, A. L.A Five-link 2D Brachiating Ape Model With Life-likeMotions and No Energy Cost. 2005.

HASEGAWA, Y.; FUKUDA, T.; ITO, Y. Behavior Modification for Continuous Locomo-tion of Brachiating-Type Mobile Robot. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCEON SYSTEMS, MAN AND CYBERNETICS, 2000.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2000. v.5,p.3294–3299.

HAUSER, J.; SASTRY, S.; MEYER, G. Nonlinear Control Design for Slightly Non-minimum Phase Systems: application to v/stol aircraft.Automatica, [S.l.], 1992.

50

HENMI, T.; WADA, T.; DENG, M.; INOUE, A.; UEKI, N.; HIRASHIMA, U. Swing-UpControl of an Acrobot Having a Limited Range of Joint Angle ofTwo Links. In: ASIANCONTROL CONFERENCE, 5., 2004.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2004. v.2, p.1071–1076.

HONG, K.-S. An Open-loop Control for Underactuated Manipulators Using OscillatoryInputs: steering capability of an unactuated joint.IEEE Transactions on Control Sys-tems Technology, [S.l.], v.10, n.3, p.469–480, May 2002.

HONG, K.-S.; LEE, K.-R.; LEE, K.-I. Vibrational Control of Underactuated MechanicalSystems: control design through the averaging analysis. In: AMERICAN CONTROLCONFERENCE, 1998.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1998. p.3482–3486.

KIM, M.-S.; OH, S.-K.; SHIN, J.-H.; LEE, J.-J. Robust Model Reference AdaptiveControl of Underactuated Robot Manipulators. In: IEEE INTERNATIONAL SYMPO-SIUM ON INDUSTRIAL ELECTRONICS, 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. v.3,p.1579–1584.

KOBAYASHI, T.; KOMINE, T.; SUZUKI, S.; IWASE, M.; FURUTA, K.Swing-Up andBalancing Control of Acrobot. In: ANNUAL CONFERENCE OF THE SOCIETY OFINSTRUMENT AND CONTROL ENGINEERS, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002.v.5, p.3072–3075.

KOSLOWSKI, K. Modelling and Identification in Robotics. [S.l.]: Springer-Verlag,1998. (Advances in Industrial Control Series).

LEE, M. A.; SMITH, M. H. Automatic Design and Tuning of a FuzzySystem forControlling the Acrobot Using Genetic Algorithms, DSFS andMeta-Rule Techniques.In: FIRST INTERNATIONAL JOINT CONFERENCE ON THE NORTH AMERICANFUZZY INFORMATION PROCESSING SOCIETY BIANNUAL CONFERENCE, THEINDUSTRIAL FUZZY CONTROL AND INTELIGENT SYSTEMS CONFERENCEAND NASA JOINT TECHNOLOGY, 1994.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1994. p.416–420.

LUCA, A. D.; IANNITTI, S. A Simple STLC Test for Mechanical Systems Underactu-ated by One Control. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON ROBOTICS &AUTOMATION, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002. p.1735–1740.

LUCA, A. D.; ORIOLO, G. Motion Planning and Trajectory Control of an UnderactuatedThree-Link Robot via Dynamic Feedback Linearization. In: IEEE INTERNATIONALCONFERENCE ON ROBOTICS & AUTOMATION, 2000.Proceedings. . .[S.l.: s.n.],2000. p.2789–2795.

MARUYAMA, Y.; MAKI, K.; MORI, H. A Hot-Line Manipulator Remotely Opera-ted by the Operator in the Ground.Sixth International Conference on Transmissionand Distribution Construction and Live Line Maintenance, [S.l.], p.437–444, Sep-tember 1993.

MITA, T. K.; FUKUHARA, Y.; MITA, T.; YAMAKITA, M. Swing-Up Co ntrol and Avoi-ding Singular Problem of an Acrobot System. In: ANNUAL CONFERENCE OF THESOCIETY OF INSTRUMENT AND CONTROL ENGINEERS, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002. v.5, p.2990–2995.

51

MITA, T.; NAM, T. K. Control of Underactuated Manipulators Using Variable PeriodDeadbeat Control. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON ROBOTICS & AU-TOMATION, 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.2735–2740.

MNIF, F.; GHOMMEM, J. Stabilization for a Class of Underactuated Mechanical Sys-tems. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON SYSTEMS, MAN ANDCY-BERNETICS, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002.

MURRAY, R. M.; LI, Z.; SASTRY, S. S.A Mathematical Introduction to RoboticManipulation . [S.l.]: CRC Press, 1993.

NAKANISHI, J.; FUKUDA, T. A Leaping Maneuver for a Brachiating Robot. In: IEEEINTERNATIONAL CONFERENCE ON ROBOTICS & AUTOMATION, 2000.Anais. . .[S.l.: s.n.], 2000. p.2822–2827.

NAKANISHI, J.; FUKUDA, T.; KODITSCHEK, D. E. Preliminary Studies of a SecondGeneration Brachiation Robot Controller. In: IEEE INTERNATION CONFERENCE ONROBOTICS AND AUTOMATION, 1997., 1997, Albuquerque, New Mexico. Procee-dings. . . [S.l.: s.n.], 1997. p.2050 – 2056.

NAKANISHI, J.; FUKUDA, T.; KODITSCHEK, D. E. Experimental Implementationof a "Target Dynamics"Controller on a Two-link BrachiatingRobot. In: IEEE INTER-NATION CONFERENCE ON ROBOTICS AND AUTOMATION, 1998., 1998,Leuven,Belgium.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1998. p.787 – 792.

NAKANISHI, J.; FUKUDA, T.; KODITSCHEK, D. E. A Hybrid Swing Up Controllerfor a Two-link Brachiating Robot. In: IEEE/ASME INTERNATIONAL CONFERENCEON ADVANCED INTELLIGENT MECHATRONICS, 1999., 1999, Atlanta, USA.Pro-ceedings. . .[S.l.: s.n.], 1999. p.549 – 554.

NAKANISHI, J.; FUKUDA, T.; KODITSCHEK, D. E. Brachiation ona Ladder With Ir-regular Intervals. In: IEEE INTERNATION CONFERENCE ON ROBOTICS AND AU-TOMATION, 1998., 1999, Detroit, Michigan.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1999. p.2717 –2722.

NAKASHIMA, M.; YAKABE, H.; MARUYAMA, Y.; YANO, K.; MORITA, K .; NA-KAGAKI, H. Application of Semi-Automatic Robot Technologyon Hot-Line Mainte-nance Work. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON ROBOTICS &AUTO-MATION, 1995.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1995. v.1, p.843–850.

NISHIMURA, H.; FUNAKI, K. Motion Control of Brachiation Robot by Using Final-State Control for Parameter-Varying Systems. In: CONFERENCE ON DECISION ANDCONTROL, 35., 1996, Kobe, Japan.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1996. p.2474 – 2475.

NISHIMURA, H.; FUNAKI, K. Motion Control of Three-link Brachiation Robot byUsing Final-State Control with Error Learning.IEEE/ASME Transactions on Mecha-tronics, [S.l.], v.3, n.2, p.120 – 128, June 1998.

OBIKA, M.; KAWADA, K.; FUJISAAWA, S.; YAMAMOTO, T.; SUITA, Y . The Crea-tion of the Motion Pattern Attended with Emergence Using Evolutional Computation. In:ANNUAL CONFERENCE OF THE SOCIETY OF INSTRUMENT AND CONTROLENGINEERS, 2003.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2003. v.3, p.3283–3287.

52

OLFATI-SABER, R. Cascade Normal Forms for Underactuated Mechanical Systems.In: IEEE CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL, 39., 2000.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2000. p.2162–2167.

OLFATI-SABER, R. Nonlinear Control and Reduction of Underactuated Systems withSimmetry II: unactuated shape variables case. In: IEEE CONFERENCE ON DECISIONAND CONTROL, 40., 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.4164–4169.

OLFATI-SABER, R. Nonlinear Control and Reduction of Underactuated Systems withSimmetry III: input coupling case. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION AND CON-TROL, 40., 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.3778–3783.

OLFATI-SABER, R. Nonlinear Control and Reduction of Underactuated Systems withSimmetry I: actuated shape variables case. In: IEEE CONFERENCE ON DECISIONAND CONTROL, 40., 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.4158–4163.

ORIOLO, G.; NAKAMURA, Y. Control of Mechanical Systems withSecond-Order No-nholonomic Constraints: underactuated manipulators. In:CONFERENCE ON DECI-SION AND CONTROL, 30., 1991.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1991. p.2398–2403.

ORTEGA, R.; SPONG, M. W.; GÓMEZ-ESTERN, F.; BLANKENSTEIN, G. Stabiliza-tion of a Class of Underactuated Mechanical Systems via Interconnection and DampingAssignement.IEEE Transactions on Automatic Control, [S.l.], v.47, n.8, p.1218–1233,August 2002.

PARKER, L. E.; DRAPER, J. V.Handbook of Industrial Robotics. 2nd.ed. [S.l.]: Shi-mon Nof, 1998.

PETTERSEN, K. Y.Exponential Stabilization of Underactuated Vehicles. 1996. Tese(Doutorado em Ciência da Computação) — Norwegian University of Science and Tech-nology - Department of Engineering Cybernetics.

PETTERSEN, K. Y.; NIJMEIJER, H. Tracking Control of an Underactuated SurfaceVessel. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL, 1998.Anais. . .[S.l.: s.n.], 1998. v.4, p.4561–4566.

PEUNGSUNGWAL, S.; PUNGSIRI, B.; CHOMMONGTHAI, K.; OKUDA, M. Auto-nomous Robot for a Power Transmission Line Inspection. In: IEEE INTERNATIONALSIMPOSYUM ON CIRCUITS AND SYSTEMS, 2001.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2001. v.2,p.121–124.

RATHINAM, M.; MURRAY, R. M. Configuration Flatness of Lagrangian Systems Un-deractuated by One Control. In: CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL, 35.,1996.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1996. p.1688–1693.

REYHANOGLU, M. Feedback Control of an Underactuated Systemwith Two Unactu-ated Degrees of Freedom. In: CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL, 40.,2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.4176–4177.

REYHANOGLU, M.; SCHAFT, A. van der; MCCLAMROCH, N. H.; KOLMA-NOVSKY, I. Nonlinear Control of a Class of Underactuated Systems. In: CONFERENCEON DECISION AND CONTROL, 35., 1996.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1996. p.1682–1687.

53

REYHANOGLU, M.; SCHAFT, A. van der; MCCLAMROCH, N. H.; KOLMA-NOVSKY, I. Dynamics and Control of a Class of Underactuated Mechanical Systems.IEEE.Transactions on Automatic Control, [S.l.], v.44, n.9, p.1663–1671, Septem-ber 1999.

ROCHA, J.; SIQUEIRA, J. ao. New Approaches for SurveillanceTasks. In:IFAC/EURON SYMPOSIUM ON INTELLIGENT AUTONOMOUS VEHICLES,5.,2004, [email protected]. . . [S.l.: s.n.], 2004.

ROCHA, J.; SIQUEIRA, J. ao. The Development of a Robotic System for Maintenanceand Inspection of Power Lines. In: NÃO IDENTIFICADO, 2004, [email protected]. . . [S.l.: s.n.], 2004.

RUAUX, P. Mechanisation of the Installation of Aircraft Warning Spheres on OverheadLines. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON TRANSMISSION &DISTRI-BUTION CONSTRUCTION AND LIVE MAINTENANCE, 1995.Anais. . . [S.l.: s.n.],1995. p.125–131.

SAITO, F.; FUKUDA, T.; ARAI, F. Swing and Locomotion Controlfor Two-Link Bra-chiation Robot. In: IEEE INTERNATION CONFERENCE ON ROBOTICS & AUTO-MATION, 1993.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1993. v.2, p.719–724.

SAITO, F.; FUKUDA, T.; ARAI, F. Swing and Locomotion Controlfor Two-Link Brachi-ation Robot.IEEE Control Systems Magazine, [S.l.], v.14, n.1, p.5–12, February 1994.

SANCHEZ, E. N.; FLORES, V. Real-time Fuzzy PI+PD Control foran UnderactuatedRobot. In: IEEE SYMPOSIUM ON INTELLIGENT CONTROL, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002. p.137–141.

SÁNCHEZ, F. M.; SANTONJA, R. A.; ZÚÑIGA, J. M. S. y.Detector de Colisiónespara el Sistema ROBTET. 1998.

SANTAMARÍA, A.; ARACIL, R.; TUDURI, A.; MARINES, P.; VAL, F.; nIN, L. F. P.;FREIRE, M.; PINTO, E.; BARRIENTOS, A. Teleoperated Robots for Live Power LinesMaintenance (ROBTET). In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON ELECTRICALDISTRIBUTION, 1997.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1997. n.438, p.3.31.1 – 3.31.5.

SAWADA, J.; KUSUMOTO, K.; MUNAKATA, T.; MAIKAWA, Y. A Mobile Robot forPower Transmission Lines.IEEE Power Engineering Review, [S.l.], v.11, n.1, p.57,January 1991.

SCHIAVON, R.; FINOTELLO, R.; TERRIBILE, T. The SupervisoryControl of ARA-MIS, a System for Robotic Inspection of Sediments. In: MTS/IEEE CONFERENCEAND EXHIBITION OCEANS, 2000.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2000. v.2, p.823–828.

SCHRAFT, R. D.; SCHMIERER, G.Service Robots. [S.l.]: A. K. Peters, 2000.

SCIAVICCO, L.; SICILIANO, B.Modeling and Control of Robot Manipulators . [S.l.]:McGraw-Hill, 1996. (Electrical and Computer Engineering).

SIQUEIRA, A. A. G.Control H∞ Não-linear de Robôs Manipuladores Subatuados.2004. Tese (Doutorado em Ciência da Computação) — Escola de Engenharia de SãoCarlos / Universidade de São Paulo.

54

SIQUEIRA, A. A. G.; TERRA, M. H. NonlinearH∞ Control via quasi-LPV Repre-sentation Applied in a Underactuated Manipulator. In: IEEE/RSJ INTERNATIONALCONFERENCE ON INTELLIGENT ROBOTS AND SYSTEMS, 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002. p.2169–2174.

SMITH, M. H.; LEE, M. A.; ULIERU, M.; GRUVER, W. A. Design Limitations ofPD versus Fuzzy Controllers for the Acrobot. In: IEEE INTERNATIONAL CONFE-RENCE ON ROBOTICS AND AUTOMATION, 1997.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 1997.v.2, p.1130–1135.

SMITH, M. H.; ZHANG, T.; GRUVER, W. A. Dynamic Fuzzy Control and System Sta-bility for the Acrobot. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON FUZZY SYS-TEMS - WORLD CONGRESS ON COMPUTATIONAL INTELLIGENCE, 1998.Pro-ceedings. . .[S.l.: s.n.], 1998. v.1, p.286–291.

SMITH, M.; LEE, M.; GRUVER, W. A. Designing a Fuzzy Controller for the Acrobotto Compensate for External Disturbances. In: IEEE INTERNATIONAL CONFERENCEON SYSTEMS, MAN AND CYBERNETICS - COMPUTATIONAL CYBERNETICSAND SIMULATION, 1997.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1997. v.3, p.2264–2268.

SOUZA, A. de; MOSCATO, L. A.; SANTOS, M. F. dos; BRITO VIDAL FILHO, W. de;FERREIRA, G. A. N.; VENTRELLA, A. G. Inspection Robot For High-Voltage Trans-mission Lines. In: ABCM SYMPOSIUM SERIES IN MECHATRONICS, 2004.Anais. . .[S.l.: s.n.], 2004. v.1.

SPONG, M. W. Swing Up Control for the Acrobot. In: IEEE INTERNATIONAL CON-FERENCE ON ROBOTICS AND AUTOMATION, 1994.Proceedings. . . [S.l.: s.n.],1994. v.3, p.2356–2361.

SPONG, M. W. The Control of Underactuated Mechanical Systems. In: FIRST INTER-NATIONAL CONFERENCE ON MECHATRONICS, 1994.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1994.

SPONG, M. W. The Swing Up Control Problem for the Acrobot.IEEE Control SystemsMagazine, [S.l.], v.15, n.1, p.49–55, February 1995.

SPONG, M. W.; VIDYASAGAR, M.Robot Dynamics and Control. [S.l.]: John Wiley& Sons, 1989.

SU, C.-Y.; STEPANENKO, Y. Adaptive Variable Structure Set-Point Control of Unde-ractuated Robots.IEEE Transactions on Automatic Control, [S.l.], v.44, n.11, p.2090–2093, November 1999.

TANAKA, S.; MARUYAMA, Y.; YANO, K.; INOKUCHI, H.; TORAYAMA, T.; MU-RAI, S. Development of a Hot-Line Work Robot, "Phase II"and aTraining System forRobot Operators. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON TRANSMISSION & DIS-TRIBUTION CONSTRUCTION OPERATION & LIVE-LINE MAINTENANCE, 1998.Anais. . . [S.l.: s.n.], 1998. p.147–153.

TIMM, R. W.; LIPSON, H. Periodicity Emerges from Evolved Energy-Efficient andLong-Range Brachiation. In: GENETIC AND EVOLUTIONARY COMPUTATIONCONFERENCE, 2004.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2004.

55

TOUSSAINT, G. J.; BASAR, T.; BULLO, F. H∞ Optimal Tracking Control Techniquesfor Nonlinear Underactuated Systems. In: CONFERENCE ON DECISION AND CON-TROL, 39., 2000.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2000. p.2078–2083.

UNECE.Worldwide Growth in the Period 2004-2007. [S.l.]: United Nations EconomicCommission for Europe - World Robotics, 2004.

VELA, P. A.; BURDICK, J. W. Control of Underactuated Mechanical Systems with DriftUsing Higher-Order Averaging Theory. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION ANDCONTROL, 42., 2003.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2003. p.3111–3117.

WANG, H.-B.; WANG, Y.-L.; ZHAO, T.-S.; WANG, H.-R. Passivity-based VariableStructure Control of Two-Link Underactuated Robot. In: INTERNATIONAL CONFE-RENCE ON MACHINE LEARNING AND CYBERNETICS, 3., 2004.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2004. p.496–499.

WANG, W.; YI, J.; ZHAO, D.; LIU, D. Design of a Stable Sliding-Mode Controller for aClass of Second-order Underactuated Systems. In: IEE PROCEEDINGS ON CONTROLTHEORY APPLICATIONS, 2004.Anais. . . [S.l.: s.n.], 2004. v.151, n.6, p.683–690.

XIN, X.; KANEDA, M. A New Solution to the Swing Up Control Problem for the Acro-bot. In: ANNUAL CONFERENCE OF THE SOCIETY OF INSTRUMENT AND CON-TROL ENGINEERS, 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. p.124–129.

XIN, X.; KANEDA, M. A Robust Control Approach to the Swing Up Control Problemfor the Acrobot. In: IEEE/RSJ INTERNATIONAL CONFERENCE ON INTELLIGENTROBOTS AND SYSTEMS, 2001.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2001. v.3, p.1650–1655.

XIN, X.; KANEDA, M. The Swing Up Control for the Acrobot Basedon Energy Con-trol Approach. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL,41., 2002.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2002. v.3, p.3261–3266.

XIN, X.; KANEDA, M. New Analytical Results of the Energy Based Swinging Up Con-trol of the Acrobot. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION AND CONTROL, 43.,2004.Proceedings. . .[S.l.: s.n.], 2004. v.1, p.704–709.

YONEMURA, T.; YAMAKITA, M. Swing Up Control of Acrobot Basedon SwitchedOutput Functions. In: ANNUAL CONFERENCE OF THE SOCIETY OF INSTRU-MENT AND CONTROL ENGINEERS, 2004.Proceedings. . . [S.l.: s.n.], 2004. v.3,p.1909–1914.

ZHANG, M.; TARN, T.-J. A Hybrid Switching Control Strategy for Nonlinear and Unde-ractuated Mechanical Systems.IEEE Transactions on Automatic Control, [S.l.], v.48,n.10, p.1777–1782, October 2003.

robÓ mÓvel por bracejamento subatuado com 3 elosfetter/plir/ti_vinicius.pdf · se os modelos para...

Documents