revista olimpica. ii trimestre 2009

8/9/2019 Revista Olimpica. II Trimestre 2009

1/97

Gaspar Monge Jean Baptiste Joseph Fourier

Problemas de Matemtica

para Competencias olmpicas

Sociedad Ramamsem

II TRIMESTRE DEL 2009


2/97

CONTENIDO

________________________________

Pgina

1. Presentacin 1

2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no Olmpicas 18

3. Problemas de Competencias no Olmpicas 40

4. CURIOSATO 47

5. Solucin a los problemas anteriores de la columna

Olimpiadas alrededor del mundo.

56

6. Olimpiadas alrededor del mundo 64

7. Lgica y Matemtica Recreativa 70

8. Gua y lecciones de entrenamiento para competencias

matemticas.

79

________________________________


3/97

SociedadRAMAMSEM

1

1. Presentacin.

Esta publicacin es realizada por la Sociedad RAMAMSEM y va dirigida a todas aquellas

personas que deseen explorar una matemtica diferente a la que se ensea en secundaria,

y algo ms !Toda comunicacin o informacin con respecto a los problemas propuestos o soluciones,

pueden ser enviados a

[email protected] o bien [email protected] partir de esta publicacin, estaremos reseando la biografa de algunos matemticos

clebres no solamente para honrar su memoria sino tambin humanizar este gran campo

del conocimiento humano y universal como lo es la matemtica.

En nuestra portada aparecen representados los matemticos Gaspar Monge y Jean

Baptiste Joseph Fourier.

Estas referencias bibliogrficas han sido tomadas textualmente de 20 matemticos

clebres de Francisco Vera.

MONGE Y FOURIERDOS AMIGOS DE NAPOLEN

El parto mellizo del Clculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo tal

revolucin en el Anlisis que todos los matemticos del XVIII se apercibieron a investigar

en la rama analtica, dando de lado a la geomtrica que permaneca estacionaria desde

Pascal, discpulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de

la Geometra por la Geometra.

Y cuando el ao 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema didrico en la

Escuela Normal Superior de Pars, Europa no tiene, en realidad, ms que un solo gemetra

digno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporneos llamaban "el sabio

espaol" por antonomasia, y cuyo perfil matemtico fue dibujado por Antonio Snchez


4/97

SociedadRAMAMSEM

2

Prez en un artculo periodstico, recogido despus en sus Actualidades de Antao, Madrid,

1895.

Dice Snchez Prez: "Euler, primer matemtico de la humanidad, public una notabilsima

obra titulada Ciencia Naval en 1749, poca en que el sabio haba llegado al apogeo de su

gloria. Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre

cuestiones navales, comprender hasta qu punto se haba esmerado en dicha obra y

cuntos aos de afanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen

martimo y asombra al mundo. Empieza por observar que los gemetras que le han

precedido han admitido con ligereza algunas proposiciones de los nuevos principios de

filosofa natural, y los corrige. Necesita ms conocimientos de mecnica que los que hay en

su poca y crea la mayor parte de la mecnica de los slidos. Corregido Newton, creada

as casi por completo la nueva ciencia, empieza a rehacer la ciencia antigua, y tiene queabandonar el camino seguido por sus predecesores. As llega, por fin, a frmulas que

concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigor de sus teoras crea otra

que, si bien carece de importancia prctica, la tiene muy grande para los que aprecian la

ciencia por la ciencia: esta es la teora de los voladores o cometas. La opinin del mundo

sabio se haba rebelado contra las conclusiones de todos les gemetras. Habla Jorge Juan

y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen seala a cada gemetra sus errores;

y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que, con su autoridad,

sostenan la de Newton. Levque traduce el Examen al francs y la Academia de Pars

obtiene del Gobierno el privilegio de la publicacin."

Despus de la obra de Jorge Juan aparecieron: los " Freyen Perspective " de Lambert,

Zurich, 1774; los " Elments de Gomtrie " de Legendre, Pars, 1794, y la " Geometria di

compasso " de Mascheroni, Pava, 1797; pero el progreso mximo de la Geometra

corresponde a los ltimos aos del siglo XVIII y primeros del XIX que llenan tres nombres,

franceses los tres, y los tres hijos de la Revolucin, que hacen brotar del viejo tronco

eucldeo sendas ramas nuevas: Gaspar Monge, varias veces ministro, que da al mundo la

Geometra Descriptiva; Lzaro Carnot, llamado con justicia el Organizador de la Victoria,

que funda la Geometra de la Posicin, y Vctor Poncelet, prisionero de los rusos en

Saratov, que crea la Geometra Proyectiva.


5/97

SociedadRAMAMSEM

3

Hablemos del primero, que tiene en otro compatriota y coetneo, Fourier, el complemento

de su vida.

Gaspar Monge naci en Beaune, Borgoa, el 10 de mayo de 1746, y fue hijo de un afilador,

hombre aficionado a la cultura, que quera que sus retoos llegaran a ocupar la posicin

social que a l le haba sido imposible. Se comprende, pues, la alegra del afilador cuando

Gaspar gan el primer premio en el colegio, al que siguieron despus otros muchos, lo que

le vali el honroso ttulo de puer aurcus , que fue el orgullo de su padre.

Apenas contaba catorce aos cuando invent una bomba de incendios. Sus conterrneos

quedaron maravillados del talento de aquel nio, que contestaba invariablemente a las

preguntas que le hacan sobre su invento: "He empleado dos medios infalibles: una

tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad

geomtrica", palabras que caracterizan el genio de Monge: la perseverancia y la habilidadmanual. La primera, de acuerdo con la concepcin goethiana, le condujo a dar una nueva

direccin a la Geometra, y la segunda le permiti ser ejemplo vivo de los obreros que

estuvieron a sus rdenes en uno de los momentos ms dramticos de la historia de

Francia.

A los diecisis aos levant el plano de Beaune, trabajo que fue el origen de su carrera.

Sus profesores, que dependen del Oratorio de Lyon, lo propusieron que ingresara en su

orden y le recomendaron para que explicara Fsica en el Colegio Central de la ciudad del

Rdano; pero el afilador aconsej a su hijo que no aceptara porque un oficial de Ingenieros

le haba indicado que su porvenir estaba en la Escuela Militar de Mezires, y all acudi el

joven Gaspar ignorando que su humilde origen slo le permitira entrar en la seccin

prctica, cuya ms importante misin era la de dfiler un Port con arreglo a laboriosos

mtodos tradicionales que Monge no tard en simplificar; pero su genio inventiva tropez

con la resistencia pasiva de sus superiores cuyo misonesmo les impeda aceptar

novedades.

Sin embargo, Monge era tenaz, y pudo, al fin, imponer sus procedimientos. Entonces le

nombraron profesor adjunto, previo juramento de no revelar su secreto.

Poco despus, cuando slo tena veintids aos de edad, realiz algunas investigaciones

sobre las propiedades infinitesimales de las curvas y superficies y present a la Academia

de Ciencias de Pars, el 11 de enero de 1771, una Mmoire sur les dveloppes, les rayons


6/97

SociedadRAMAMSEM

4

de courbure et les diffrents genres d'inflxions des courbes a doble courbure , que tiene

excepcional importancia tanto para la Geometra Analtica como para la teora de curvas

alabeadas, y fue nombrado profesor titular de la Escuela: primero de Matemtica y luego,

adems, de Fsica, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador.

Pero esto no le impeda acudir a salones y tertulias. Hijo de su siglo, Monge gustaba del

dilogo galante y de la conversacin literaria, haciendo compatible la rigidez de su

formacin cientfica con la flexibilidad de su espritu de mosquetero. En una recepcin oy

hablar en trminos poco correctos de una joven y bella viudita a cierto galn despachado,

y, nuevo Quijote, no slo defendi caballerescamente a la dama, de la que ignoraba hasta

el nombre, sino que pasando a vas de hecho dio una descomunal bofetada al galn. Era

inevitable el desafo, y Monge propuso que fuera a muerte nada menos; pero los padrinos

pudieron arreglar el asunto por medio de un acta y no se verific el duelo. Unos mesesdespus, en otra recepcin, le fue presentada una joven de veinte aos cuya singular

belleza le produjo honda impresin: el consabido flechazo tan a la orden del da en aquella

poca. La joven era la viudita quien haba defendido, y Monge le propuso, sin ms

prembulos, casarse inmediatamente. Ella le contest que tena que arreglar algunas

cuentas pendientes de su esposo antes de decidirse a contraer nuevo matrimonio, a lo que

Monge respondi: "No se preocupe por eso. Yo he resuelto muchos problemas ms

difciles". Y en efecto, se cas con ella.

Esto ocurra el ao 1777, cuando ya su nombre era conocido en los centros cientficos de

Pars. Sus trabajos sobre las ecuaciones en derivadas parciales utilizando originales

consideraciones geomtricas, haban llamado la atencin de los matemticos, y con razn

dijo Lagrange: "Avec son aplication de 1'Analyse la representation des surfaces, ce diable

d'homme sera immortel" Por entonces empez a bullir en su cerebro la idea de la que con

feliz neologismo llam Geometra Descriptiva; pero la rivalidad entre las Escuelas Militares

francesas del antiguo rgimen retras el conocimiento de sus mtodos.

Tres aos ms tarde, Condorcet y D'Alembert aconsejaban al Gobierno la fundacin de un

Instituto de Hidrulica en el Louvre, y Monge fue llamado a Pars con la obligacin de

residir la mitad del ao en la capital y la otra mitad en Mezires.

Y aqu termina la primera poca de la vida de Monge, poca dedicada a la enseanza y a

la gestacin de su obra inmortal.


7/97

SociedadRAMAMSEM

5

La segunda poca es dinmica y tumultuosa. Nacido del pueblo, Monge abraz con

entusiasmo los principios de la Revolucin; y cuando despus de la batalla de Valmy, 20 de

septiembre de 1792, que, al decir de Goethe, abri una nueva era en la Historia, qued

abolida la Monarqua e implantada la Repblica en Francia, la Asamblea Legislativa le

nombr ministro de Marina, cargo que desempe hasta el 13 de febrero de 1793 en que

dimiti porque creyeron que no era suficientemente radical; pero fue reelegido el 18 al

convencerse la Convencin de que quien iba a producir una revolucin en la Geometra era

un perfecto revolucionario en el sentido que daban a esta palabra los hombres del 89.

Fue un ministro incorruptible. No ignoraba que su cabeza poda caer en el cesto fatal, pero

nunca claudic ante los ignorantes ni ante los ineptos, y su encendida fe en los destinos de

Francia slo abrigaba un temor que las disensiones internas de su pas, que estaba,

adems, desarmado, facilitaran la ofensiva del extranjero y redujesen a la nada lasconquistas de la Revolucin.

Con perfecta acuidad poltica, Monge denunci el peligro; y cuando se produjo la ofensiva,

la Convencin le autoriz, con fecha 10 de abril de 1793, para poner en prctica sus ideas

salvadoras. La primera preocupacin de Monge fue abastecer los arsenales que no tenan

municiones para hacer a la situacin. El cobre y el estao para fabricar el bronce de los

caones y el salitre indispensable para la plvora eran de procedencia extranjera. "Dadme

salitre y en tres das cargar los caones", dijo Monge a la Convencin. Y de dnde lo

sacaremos?", preguntaron los convencionales. "De los stanos de las casas", respondi

Monge respaldado por Berthollet que, como todos los cientficos, se haba adherido a la

causa de la Revolucin.

Toda la nacin se puso en pie de guerra. Se moviliz un ejrcito de novecientos mil

hombres para defender el suelo francs y bajo la direccin de Monge, Francia se convirti

en una inmensa fbrica de material blico. Slo en Pars se establecieron doscientas

cincuenta y ocho fraguas y quince herreras que construan mil fusiles diarios, la fbrica de

Grenoble puso en prctica los mtodos de Berthollet y dio treinta mil libras de plvora

diarias y las fundiciones produjeron al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de

hierro colado al ao.

Con una actividad verdaderamente sobrehumana, puestos los ojos en un alto ideal

patritico, Monge inspeccionaba fbricas y arsenales, correga personalmente los errores


8/97

SociedadRAMAMSEM

6

cometidos por los obreros, y por la noche, en vez de entregarse a un bien merecido

descanso, redactaba circulares relativas a la manera de trabajar con la mxima eficacia en

un tiempo mnimo. Su boletn sobre El arte de construir caones , fue el breviario de todas

las fbricas y an hoy, despus de siglo y medio, todava se puede consultar con provecho.

Por una natural reaccin biolgica, la popularidad del gran matemtico trajo como

consecuencia la formacin de un grupo enemigo, Un da, al salir de su casa, su esposa oy

susurrar misteriosamente a las vecinas que Monge y Berthollet iban a ser denunciados.

Loca de terror corri a las Tulleras, donde encontr al gran qumico sentado

tranquilamente bajo los castaos. Berthollet, que era un ironista plcido y bonachn, le dijo

que, en efecto, la noticia era cierta, pero que tardara una semana en convertirse en

realidad, y con su habitual placidez agreg: "Dentro de unos ocho das su esposo y yo

seremos detenidos, interrogados, condenados y ejecutados."La bella viudita recasada, que ya era una noble matrona, hecha y perfecta, vio a su esposo

ante la barra, acusado de traidor a la patria, y, luego de una tempestuosa sesin, presidida

por jueces parciales, subira a la carreta trgica para que la hoja de la guillotina realizara la

mortal ablacin del cuello que tantas veces haba ella rodeado con sus brazos.

Cuando Monge, al llegar a su casa por la noche, la encontr convertida en un mar de

lgrimas y conoci la causa de su inmensa tristeza, le dijo sencillamente: "No saba nada

de eso. Lo nico que s es que mis fbricas marchan estupendamente."

Pero algo haba de verdad en el rumor, porque poco despus el "ciudadano Gaspar Monge

fue denunciado por su portero, lo que le oblig a ausentarse de Pars hasta que pasara la

tormenta, que, afortunadamente, dur poco, y cuyo final coincide con el principio de una

nueva etapa de su vida.

El 9 de brumario del ao II, 30 de octubre de 1793, "la Convencin Nacional, queriendo

acelerar la poca en que pudiera hacer extender de una manera uniforme en toda la

Repblica la instruccin necesaria a los ciudadanos franceses", cre la Escuela Normal, en

la que ingresaran "los ciudadanos ya instruidos en las ciencias tiles, para aprender, bajo

la direccin de los profesores ms hbiles, el arte de ensear".

Los alumnos eran designados por los municipios a razn de uno por cada veinte mil

habitantes; deban tener veinticinco aos cumplidos, y "unir a costumbres puras el ms

probado patriotismo". Cobraran, adems, un sueldo de mil doscientos francos anuales.


9/97

SociedadRAMAMSEM

7

La Convencin empezaba a poner en prctica el lema: "Despus del pan, la educacin es

la primera necesidad de un hombre", que fue la divisa de Danton, equivalente al "Despensa

y escuela" que Joaqun Costa haba de defender en la Espaa sin pulso de fines del siglo

XIX, despus del colapso del 98.

En nombre del Comit de Instruccin Pblica, Lakanal redact el reglamento interior de la

Escuela en que, adems de las lecciones magistrales, habra conferencias y discusiones

en las que tomaran parte maestros y discpulos.

Monge fue nombrado profesor de Matemtica y se autoriz para explicar pblicamente sus

nuevas concepciones que cristalizaron en la creacin de la Geometra Descriptiva, cuyo

tratado no public hasta el ao 1800. Aunque segn su autor, la nueva ciencia tena por

objeto " tirer la nation franaise de la dpendence o elle a t jusqu' prsent de l'industrie

trangre ", toda la obra tiene carcter cientfico puro.Los dos objetivos que persegua Monge, eran, segn sus propias palabras: "El primero, dar

mtodos par representar en una hoja de dibujo, que no tiene ms que dos dimensiones,

largo y ancho, todos los cuerpos del Naturaleza, que tienen tres: longitud, anchura y

profundidad, siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente. El segundo

objeto es proporcionar el medio de reconocer las formas de los cuerpos luego una

descripcin exacta, y deducir de aqu todas las verdades que resulten en su forma y en sus

posiciones respectivas. Adems, de igual modo que una vez planteado un problema el

Anlisis da procedimientos para resolver las ecuaciones y deducir los valores de cada

incgnita, en la Geometra Descriptiva existen mtodos generales para construir todo lo

que resulta de la forma y de la posicin de los cuerpos. Esta comparacin de la Geometra

Descriptiva con el lgebra no es gratuita, puesto que ambas ciencias estn en ntima

relacin. No hay ninguna construccin de Geometra Descriptiva que no tenga una

traduccin analtica, y cuando las cuestiones no tienen ms de tres incgnitas, cada

operacin se puede considerar como la escritura de un espectculo en Geometra. Sera de

desear que estas dos ciencias estudiasen simultneamente: la Geometra Descriptiva

llevara a las ms complicadas operaciones analticas la evidencia que las caracteriza y, a

su vez, el Anlisis llevara a la Geometra la generalidad que le es propia.

La idea de Monge, como todas las ideas geniales, es muy sencilla. Supongamos dos

planos: uno horizontal otro vertical, en ngulo recto, a la manera de un libro abierto


10/97

SociedadRAMAMSEM

8

apoyado contra una pared. Si imaginemos cuerpo, un cilindro, por ejemplo, para fijar las

idea y lo proyectarnos sobre los dos planos, tendremos, circulo sobre el horizontal y un

rectngulo, de igual anchura que el dimetro del crculo, sobre el vertical. Abatiendo ahora

este plano sobre aqul, resulta un solo plano, como el libro abierto sobre la mesa, y en l

las dos proyecciones, de dos dimensiones, del cilindro, que tiene tres.

Este es un mtodo descriptivo que permite representar sobre una hoja de papel los cuerpos

del mundo exterior, y basta un pequeo entrenamiento para leer en el plano con la misma

facilidad con que se lee una fotografa area. Claro es que la concepcin de Monge ha

tenido desarrollos posteriores, pero es el genial gemetra francs quien hizo progresar la

ingeniera militar, el dibujo de mquinas y los mtodos grficos de construccin, y quien dio

forma definitiva a la obra encentada por Vitrubio para la arquitectura en la Roma de

Augusto; por Alberto Durero para la pintura en la Alemania luterana y por el polifacticoLeonardo da Vinci para ambas artes en la Italia del Renacimiento.

A la creacin de la Escuela Normal sigui la Central de Trabajos Pblicos. El 21 de ventoso

ao II, 11 de marzo 1794, Barre pidi una Escuela de Ingenieros civiles y militares. El

decreto, redactado por Fourcroy, se promulg el 7 de vendimiarlo ao III, 28 de septiembre

1794, y la Escuela se inaugur el 10 de frimario, 30 de noviembre, y el 15 de fructidor

siguiente, 1 de septiembre 1795, recibi el nombre de Escuela Politcnica, que conserva

todava.

Deba tener cuatrocientos alumnos, elegidos por concurso, y los estudios duraban tres

cursos, cobrando los estudiantes mil doscientos francos anuales, como los de la Normal.

Monge fue encargado de organizar la Escuela y explicar Matemtica.

La Convencin, que haba modificado por completo el sistema poltico y social de Francia,

no poda negarse a aceptar innovaciones pedaggicas, y puede decirse que, a partir del

ao 1795, los mtodos de enseanza sufrieron una transformacin radical en manos de

Monge. Hasta entonces, el sabio propiamente dicho slo enseaba rara vez. Era un

hombre dedicado a la investigacin, mal vestido y peor alimentado, que, por regla general,

saba lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo saba; un hombre al

margen de todos los dems, que slo tena contacto con sus compaeros de tal o cual

sociedad cientfica, de las que empezaron a crearse a fines del siglo anterior, y que

publicaba el resultado de sus meditaciones en alguna de las revistas que ya se editaban y


11/97

SociedadRAMAMSEM

9

a las que se debe la iniciacin del intercambio intelectual que es hoy una necesidad

imperativa y slo era entonces un balbuceo.

Pero a partir de Monge, el sabio no profesor es una excepcin. Creci de manera

sorprendente el nmero de vocaciones cientficas y, en particular, las matemticas, y ms

en particular las geomtricas. Monge form una verdadera escuela de gemetras que

ilustran los nombres de Lacroix, Hachette, Dupin, Briachon y Gaultier de Tours, para no

citar ms que a sus discpulos inmediatos, quienes introdujeron en la Geometra mtodos

demostrativos que habran rechazado los antiguos como una licencia incompatible con su

concepcin matemtica del rigor, pero que en manos de los gemetras de la escuela de

Monge condujeron a resultados felices.

La Politcnica ejerci una influencia decisiva en la enseanza de la Matemtica, a pesar de

sus dos defectos originales: el sistema centralizador, caracterstica, por otra parte, de lapoltica francesa, que hizo crecer demasiado el nmero de alumnos, y el criterio de los

tribunales examinadores que juzgaban por las esperanzas de los candidatos, lo que trajo

como consecuencia ciertos lamentables fracasos, como el de Galois; pero hay que hacer a

la Convencin la justicia de declarar que no slo supo dirigir el patriotismo y la abnegacin

de los franceses del perodo revolucionario, sino que su a veces exagerada neofilia fue

fecunda en materia de pedagoga matemtica mediante la creacin de las escuelas Normal

y Politcnica en las que dej imborrable huella de len uno de los ms grandes gemetras

de la Historia.

No hay que olvidar tampoco al ya citado Lakanal, que fund las Escuelas Centrales cuyos

becarios ostentaban el ttulo de "Discpulos de la Patria", ni a Condorcet, que cre la

Sociedad Nacional de Ciencias y Artes, el 5 de fructidor del ao III, 22 de agosto 1795, lo

que le acarre no pocos disgustos y sinsabores una vez apagado el fermento

revolucionario.

Y llegamos ya al ltimo perodo de la vida de Monge, que empieza el ao 1796 con una

carta de Napolen en la que el militar deca al matemtico: "Permtame que le agradezca la

acogida que el ministro de Marina de 1792 dispens en cierta ocasin a un joven oficial de

Artillera, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el

general del Ejrcito de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga."


12/97

SociedadRAMAMSEM

10

Esa carta fue el origen de la amistad entre Monge y Napolen, amistad desinteresada por

parte de ambos, lo que no tiene nada de particular respecto de Monge, que era noble, pero

s respecto de Napolen, que era un ambicioso y nada sensible a los afectos. Comentando

esta amistad, el astrnomo Arago pone en boca de Bonaparte esta frase: "Monge me adora

como a una amante."

Napolen no olvid que Monge, siendo ministro de Marina, le haba ayudado en su carrera,

y su gratitud se tradujo por el nombramiento, juntamente con Berthollet, de comisario del

Directorio para seleccionar las obras de arte "regaladas" por los italianos como aportacin

voluntaria" para contribuir a los gastos de guerra. Estos regalos y aportaciones voluntarias

son eufemismos napolenicos que hoy no nos sorprenden. Comparado con los dictadores

actuales, Napolen resulta un ingenuo en el arte de desvalijar; pero tuvo en cuenta la

opinin de Monge cuando ste le aconsej moderacin.Al ao siguiente de su viaje a Italia como perito de arte, Monge hubo de hacer otro como

miembro de la comisin nombrada para depurar responsabilidades con motivo del

asesinato del general Duphot. A la comisin se le ocurri la "luminosa" idea de proponer el

establecimiento de una Repblica de tipo francs, a lo que se opuso sensatamente cierto

diplomtico diciendo que haba que poner un lmite a todo, incluso a los derechos de

conquista. Los hechos le dieron la razn ocho meses despus cuando, proclamada la

Repblica en Italia, se encontr en un aprieto Napolen, entonces en El Cairo, y con ,

Monge, que era una de las pocas personas que conocan el plan de invasin a Egipto.

Y en este momento entra en escena Fourier, el creador de la Fsica matemtica moderna,

con su Teora analtica del calor , obra calificada por lord Kelvin de gran poema

matemtico, a pesar de su evidente falta de rigor desde el punto de vista de la Matemtica

pura.

Jos Fourier haba nacido en Auxerre el 21 de mayo de 1768. Tena, pues, treinta aos

cuando conoci a Napolen personalmente. Siendo un nio de ocho aos muri su padre,

que era un modesto sastre, y el huerfanito fue recomendado al obispo de Auxerre por una

dama caritativa. El prelado lo intern en la Escuela Militar de la ciudad, que regentaban los

benedictinos, donde no tard en destacarse por su talento. A los doce aos escriba

sermones para los signatarios de la Iglesia, quienes se los aprendan de memoria y los

lanzaban desde el plpito como piezas oratorias originales.


13/97

SociedadRAMAMSEM

11

Los benedictinos le aconsejaron que ingresara en su orden, y Fourier, que saba que la

Escuela Militar no poda conceder el ttulo de oficial al hijo de un sastre, decidi meterse a

fraile, a cuyo efecto hizo el noviciado en la abada de Saint Benoit; pero antes de

pronunciar los votos estall la Revolucin y Fourier cambi la vida silenciosa de la celda

conventual por la vida agitada del Pars de 1789, decidido a tomar parte en las revueltas

callejeras y dedicarse a la Matemtica, ciencia con la que haba trabado conocimiento en la

Escuela Militar de Auxerre.

Su inclinacin natural le gui hacia el estudio de las ecuaciones numricas, y el 9 de

diciembre de aquel ao glorioso present a la Academia de Ciencias una memoria que

caus gran sensacin en el mundo matemtico, y fue nombrado alumno de la Escuela

Normal. All conoci a Monge y al poco tiempo lleg a "matre de confrences", pasando

luego a la Politcnica, donde afirm su amistad con el creador de la Geometra Descriptiva.El ao 1798 ambos fueron nombrados, con Berthollet, miembros de la Legin de Cultura

que Napolen llev consigo a Egipto "para tender una mano segura a los pueblos

desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de

hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilizacin europea", palabras que no son

de un poltico, sino de un astrnomo, Arago que explicaba, en 1883, las razones que

movieron a Napolen para llevar a cabo la campaa de Egipto.

La flota francesa, que se compona de quinientos barcos, lleg a Malta el 8 de junio, y tres

das despus los gruones tomaban la plaza, Como primera medida civilizadora, Monge

cre quince escuelas elementales y una Superior calcada sobre el molde de la Politcnica.

A los pocos das, el Oriente , que llevaba el pabelln napolenico y a cuyo bordo iban los

tres mosqueteros de la cultura europea: Monge, Fourier y Berthollet, zarp rumbo a Egipto.

Durante la travesa, Napolen trazaba todas las maanas el plan de la tertulia nocturna

para despus de cenar. Eran charlas de tipo cientfico y los asuntos que ms preocupaban

al corso y que someta constantemente a discusin eran: la edad de la Tierra, su posible

destruccin por el agua o por el fuego y la pluralidad de mundos habitados. Este ltimo

tema demuestra que los delirios de Napolen superaban a los de Alejandro. El capitn

macedonio soaba modestamente con conquistar el mundo entonces conocido, mientras

que Napolen haca planes subconscientes para invadir los planetas del sistema solar,

porque el globo terrqueo, incluida Amrica, de la que tambin pens aduearse, era


14/97

SociedadRAMAMSEM

12

pequeo para su ambicin teratolgica. Si viviera hoy dira que su espacio vital empezaba

en la Luna.

El 1 de julio lleg la flota francesa a Alejandra, y Monge, Fourier y Berthollet

desembarcaron inmediatamente, apercibindose a remontar el Nilo hasta El Cairo, lo que si

bien les impidi presenciar el asalto de la ciudad a los acordes de la Marsellesa, les puso a

cubierto de una posible emboscada. Napolen era previsor; pero un da se llev un susto

descomunal al or un formidable caoneo procedente del ro. Temiendo por la suerte de los

miembros de la Legin de Cultura, abandon el campo de batalla y corri al galope de su

caballo hacia el sitio de donde procedan los caonazos. El barco fluvial de los intelectuales

haba varado en un banco de arena y era objeto de un ataque. Monge serva la pieza como

un consumado artillero e intentaba rechazar en vano a los asaltantes, quienes, al divisar el

famoso sombrero bicorne de Napolen, se dieron a la fuga.Despus de la batalla de las Pirmides, 20 de julio, el ejrcito francs entr en El Cairo

cantando a grito pelado "Allons, enfants de la patrie", y los egipcios, que no entendan una

palabra, protestaban a su manera por la noche: rebanando todos los cuellos franceses que

podan, al amparo de la oscuridad.

Estos atentados preocupaban a Napolen; pero como le preocupaban ms las noticias de

Pars, decidi regresar secretamente a Francia con Monge y Berthollet, dejando a Fourier

en El Cairo para que continuara su labor cultural. El viaje de vuelta no fue tan agradable

como el de ida. Evidentemente, el corso haba desertado ante el enemigo y en vez de

pensar en invadir los planetas pensaba en su suerte si lo atrapaban los ingleses. Como

todos los dictadores que en el mundo han sido -y son- gustaba de los efectos teatrales y no

se resignaba a morir de una manera vulgar. Qu lejos estaba entonces de pensar que iba

a acabar vulgarmente en un peasco perdido en medio del Atlntico!

Encarg a Monge nada menos que hiciese volar el barco si era atacado por los ingleses.

Justamente al otro da apareci una silueta sospechosa en el horizonte y todo el mundo se

apercibi a rechazar el ataque; pero result que el barco era francs. Cuando se le pas el

susto, Napolen pregunt por Monge y grande fue su inquietud al no aparecer ste por

parte alguna. Luego de un minucioso registro, lo encontraron en el polvorn con una mecha

encendida en la mano, y cost no poco trabajo convencerle de que aquello era una

barbaridad.


15/97

SociedadRAMAMSEM

13

Monge y Berthollet llegaron a Pars en lamentable estado. No se haban mudado de ropa

durante toda la travesa. A Monge, en particular, no le conoci su portero -tan sucio iba!- y

se negaba a dejarlo entrar en su casa.

El 2 de enero de 1802 regres Fourier. Haba estado en El Cairo hasta que los franceses,

despus de Trafalgar, se convencieron de que era a los ingleses a quienes corresponda

civilizar a Egipto.

Fourier fue nombrado prefecto del Isre con residencia en Grenoble, donde tuvo que

resolver no pocos problemas de orden pblico. La regin estaba agitada por las cuestiones

religiosas que recientes descubrimientos arqueolgicos hacan incompatibles con la

cronologa bblica; pero Fourier consigui la tranquilidad desempolvando los huesos de un

to abuelo: el bienaventurado Pedro Fourier, y los grenobleses se olvidaron de la Biblia para

cantar alabanzas en loor de su coterrneo, tregua que aprovech Fourier para realizargrandes trabajos pblicos: la desecacin de las marismas, entre ellos, que beneficiaron al

departamento.

Durante su estancia en Grenoble redact la Teora analtica del calor, cuya primera

memoria present a la Academia de Ciencias el ao 1807, obteniendo tal xito que los

acadmicos propusieron este tema para el Gran Premio de 1812, al que concurri Fourier y

se lo llev, a pesar de las reservas que hicieron Laplace, Lagrange y Legendre sobre el

rigor de ciertas proposiciones.

En esto radica precisamente la diferencia entre el matemtico puro y el fsico-matemtico.

El matemtico puro, el matemtico a secas, slo dispone de las leyes de la Lgica como

garanta de sus descubrimientos, mientras que el fsico tiene al alcance de la mano la

realidad del Universo para comprobar experimentalmente las deducciones de aqul. El

matemtico se mueve en la serena regin del pensamiento, mientras que el fsico acta en

la regin tumultuosa del mundo exterior. El primero; se da por satisfecho cuando sus

teoremas no tienen contradicciones internas ni estn en oposicin con proposiciones ya

demostradas o admitidas, mientras que el segundo exige el acuerdo entre la teora y la

prctica, y cuando falla este acuerdo le vuelve la espalda a los teoremas "demostrados",

con gran indignacin del matemtico que quiere ver el Universo como un sistema de

ecuaciones diferenciales con arreglo a un fanatismo que hinca sus races en el

determinismo newtoniano, y para quien la falta de un parmetro en una frmula es tan


16/97

SociedadRAMAMSEM

14

irritante como la falta de un acento para un helenista en un texto de Platn; pero a veces se

da el caso -tal el de Fourier- de que, despreciando la meticulosidad lgica, el fsico

construye un monumento matemtico imperecedero.

La Fsica no toma una ecuacin como, por ejemplo, la de Laplace relativa al movimiento de

un fluido y la tira contra la cabeza del matemtico para que le d una solucin general, sino

que, las ms veces, le pide algo mucho ms difcil: una solucin particular que satisfaga

ciertas condiciones dependientes del problema que quiere resolver. Anloga a la aludida

ecuacin de Laplace es la que encontr Fourier para el movimiento trmico de un

conductor y, mediante sucesivas experimentaciones con varillas metlicas, cre la teora de

los valores-fronteras adaptando las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las

condiciones iniciales dadas, y demostrando que toda funcin fsica se puede desarrollar en

serie trigonomtrica bajo ciertas condiciones que, afortunadamente, no tienen importanciadesde el punto de vista prctico, y que toda curva peridica, sin ordenadas infinitas, es

descomponible en un cierto nmero de curvas armnicas de perodos conmensurables, lo

que dio origen al invento de las mquinas llamadas analizadores armnicos, que permiten

determinar mecnicamente las amplitudes correspondientes a los perodos necesarios para

construir una curva peridica dada.

El ao 1812, en que Fourier gan el Gran Premio de la Academia de Ciencias, anunciado

como el ao de la victoria, fue el de la retirada de Rusia. Monge no haba ido a la campaa

porque era demasiado viejo. Tena sesenta y seis aos, y cuando el famoso Boletn XXIX

anunci la derrota del ejrcito francs y su literatura fue como el canto de cisne del imperio

napolenico, Monge recibi tal impresin que sufri un ataque de apopleja. Su amor a

Francia era grande, como tambin era grande su afecto a Napolen, lo que no le impeda

decirle a veces verdades como puos. Por ejemplo: cuando Bonaparte se coron

emperador, los alumnos de la Escuela Politcnica promovieron un alboroto que lleg a

odos del flamante csar, quien se quej a Monge preguntndole si los politcnicos se

haban declarado enemigos suyos, y Monge le contest tranquilamente: "Es natural. Me

cost mucho trabajo hacerlos republicanos y, como usted ha cambiado de casaca tan

bruscamente, no he tenido tiempo todava de hacerlos imperialistas."

La amistad de Fourier, en cambio, se enfri, y Luis XVIII lo respet en el cargo de prefecto

del Isre. Por cierto que cuando el 19 de mayo de 1815 Napolen volvi de Elba, Fourier,


17/97

SociedadRAMAMSEM

15

que estaba en Grenoble, march a Lyon para prevenir al rey de lo que suceda y el rey, con

su borbnica cerrazn mental, no le hizo caso. La consecuencia es demasiado conocida

para recordarla. Lo que s diremos es que Fourier fue detenido y conducido a Bourgoin ante

Napolen, que consultaba un mapa con un comps en la mano en el momento en que

Fourier entr en su despacho.

-Qu hay, prefecto? -le dijo Napolen sin levantar la vista del mapa-. Me ha declarado

usted la guerra?

-Seor -respondi Fourier-, mi deber...

-Su deber? Es usted tan ciego que no ve que nadie comparte su opinin? Lo nico que

siento es que usted, un egipcio , un hombre que ha compartido conmigo el pan del vivac,

un viejo amigo, figure hoy en las filas de mis adversarios. Seguramente olvida lo que yo

hice por usted en El Cairo.Fourier no quiso recoger la ltima frase. Era demasiado bueno para recordar a Napolen su

huda.

Dos das despus ste volvi a llamarle para darle cuenta de su plan.

-Qu le parece? -le pregunt.

-Un disparate condenado al fracaso -le respondi Fourier sin inmutarse.

Y agreg:

-Se puede usted encontrar con un fantico que le desbarate sus proyectos.

-Los Borbones no cuentan ni siquiera con un fantico.

Y cambiando el tema de la conversacin, aadi:

-Ya habr ledo que me han declarado fuera de ley. Yo ser ms indulgente. Me limitar a

expulsarlos de las Tulleras.

Cuando, en efecto, volvi a instalarse en las Tulleras, Napolen, aparte de sus proyectos

blicos, empez a preocuparse de la cultura con ms intensidad que antes. Al fin y al cabo

era hijo del siglo XVIII y discpulo de la Enciclopedia, y, con su natural visin de la realidad,

comprendi que los idelogos vencidos el 18 de brumarlo empezaban a dar seales de

descontento.

Era ya demasiada la sangre vertida y Francia se vea complicada en nuevas guerras. Los

esfuerzos militares afectaban profundamente la economa nacional, y aunque el bloqueo

aduanero y la exclusin de las manufacturas inglesas favorecan la industria francesa,


18/97

SociedadRAMAMSEM

16

hasta el punto de que en Italia slo se permita la importacin de productos textiles

fabricados en Francia, la patria de Watt segua siendo insustituible, gracias al maquinismo

que haba tomado formidable impulso en Inglaterra en el ltimo tercio del siglo XVIII.

En Francia faltaban especialmente el algodn y los productos coloniales: especias, caf y,

sobre todo, azcar. Por cierto que la falta de azcar dio origen a una nueva industria. La

Qumica haba descubierto la existencia de azcar en la remolacha, y dos alemanes,

Marggraff y Achard, consiguieron extraerla; Napolen, que careca de escrpulos, se

aprovech de este descubrimiento.

Por aquellos das empez la decidida proteccin a los sabios. Humboldt, Volta, Ampre,

Gay-Lussac y otros supieron de su liberalidad, y alguno tambin de su ingratitud.

En materia de enseanza reorganiz las escuelas Normal y Politcnica, dndoles un

acentuado matiz uniforme, centralista y utilitario. Napolen slo consideraba la Ciencia porsus aplicaciones prcticas y siempre prefiri las escuelas profesionales a las universidades,

porque ignoraba que las ideas son tanto ms fecundas cuanto ms abstractas y que los

grandes progresos industriales se gestan en el silencio fecundo del laboratorio.

Los ltimos aos de Fourier fueron tristes. De su estancia en Egipto sac la peregrina

consecuencia de que el calor del desierto es condicin indispensable para la salud y se

fajaba y forraba como una momia. En su casa haca siempre un insoportable calor de

horno.

Durante la segunda Restauracin tuvo que vender sus muebles para mal comer, pero su

situacin econmica mejor un poco cuando sus amigos consiguieron para l la direccin

de la Oficina de Estadstica del Sena.

La Academia de Ciencias lo llam a su seno en 1816 y los Borbones no le dejaron sentarse

en el codiciado silln; pero fue reelegido al ao siguiente, y desde el de 1822 desempe el

cargo de secretario perpetuo hasta su muerte, acaecida en Pars el 16 de mayo de 1830 a

consecuencia de un ataque cardaco, en los momentos en que correga las pruebas de

imprenta de su obra sobre ecuaciones numricas, fruto de cuarenta aos de estudios y

meditaciones.

El final de Monge fue ms lento. Aunque apenas se le vea, retirado casi siempre en su

casa de campo, no dej de ejercer influencia sobre Napolen, a quien sigui admirando -no

as Fourier- despus de Waterloo.


19/97

SociedadRAMAMSEM

17

La primera Restauracin produjo en su imperial amigo un hondo sentimiento de rencor

hacia los que haban cambiado de ideario poltico; pero atendi a los sentimientos de

piedad que le invoc Monge, cuya doble carrera de revolucionario y de favorito de

Napolen hizo de su cabeza, en el final de su vida, un objeto codiciado por los Borbones, lo

que le oblig a cambiar de domicilio varias veces para huir de los esbirros que lo

perseguan.

He aludido antes a la idea napolenica de conquistar Amrica, punto en que parecen estar

de acuerdo todos los historiadores. Sin embargo, la referencia de Monge difiere. Su

intimidad con Napolen le presta caracteres de verosimilitud.

Segn Monge, adems de sus ambiciones de conquistador, Bonaparte tena ambiciones

cientficas. Quera ser un segundo Humboldt.

-Voy a empezar una nueva etapa en mi vida -le dijo en una ocasin, poco antes deWaterloo- y quiero dejar obras y descubrimientos dignos de m, para lo cual necesito una

persona que primero me ponga al corriente del estado actual de la Ciencia y sea luego mi

compaero de viaje al Nuevo Mundo. Ambos recorreremos toda Amrica, desde Alaska al

cabo de Hornos para estudiar su fauna y su flora, as como los prodigiosos fenmenos de

la Fsica terrestre acerca de los cuales no han dicho todava su ltima palabra los

cientficos.

-Yo ser ese compaero -repuso Monge que tena ya cerca de setenta aos.

-Usted es demasiado viejo. Necesito un hombre joven.

Monge pens en Arago; pero los ingleses interrumpieron las negociaciones metiendo a

Napolen en el Belerophon y mandndolo a Santa Elena.

El gran gemetra muri el 28 de julio de 1818, causando gran consternacin en el mundo

cientfico. Los politcnicos pidieron permiso para asistir a su entierro; pero el rencoroso

Borbn que detentaba entonces el trono de San Luis, lo neg. Al da siguiente los

estudiantes acudieron en masa al cementerio, y sobre la tumba del maestro depositaron

una corona de rosas rojas, como a sangre de quien nunca reneg de ser un humilde hijo

del pueblo.


20/97

SociedadRAMAMSEM

18

2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no

Olmpicas.

A continuacin brindamos la solucin de los 30 ejercicios propuestos en la columna

Problemas de Competencias no Olmpicas de la edicin anterior.

Les recordamos que la forma de resolver cada ejercicio no necesariamente es la

nica, as que invitamos al estimable lector a enviarnos sus soluciones a los mismos.

LGEBRA.

1. Hallar todas las soluciones reales de la ecuacin

280616212252183222 ++=+++ xxxxxx

(High School Problems, 2000)

SOLUCIN (de Edward T.H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario y Lino

Demasi, estudiante del Saint Ignatius High School, Thunder Bay, Ontario)Notemos que, completando cuadrados, tenemos

3x2 18x + 52 = 3(x 3)2 + 25,

2x2 12x + 162 = 2(x 3)2 + 144,

x2 + 6x + 280 = (x 3)2 + 289.

De aqu que, el miembro izquierdo es al menos 1712514425 =+=+ y el miembro

derecho es a lo sumo 17289 = de donde x = 3 es la nica solucin.


21/97

SociedadRAMAMSEM

19

2. Determine todos los primos p para los cuales el sistema

p + 1 = 2x2

p2 + 1 = 2y2

tiene una solucin en los enteros x, y.

(Bundeswettbewerb Mathematik, Alemania, Primera Ronda, 1997)

SOLUCIN (Oficial):

Podemos asumir que y > x 2; p > y. Restando las ecuaciones dadas, tenemos:

p(p 1) = 2(y + x)(y x).

Se sigue que p > y x; 2p > y + x, por lo anterior p = x + y; p 1 = 2(y x). Eliminando y de

estas ltimas ecuaciones, tenemos p + 1 = 4x 4x = 2x2 x = 2 p = 7. Es fcil verificar

que 7 satisface las condiciones del enunciado.

3. Resuelva para enteros x, y la ecuacin 6(x! + 3) = y2 + 5.

(High School Problems, 2000)

SOLUCIN (Oficial):

La ecuacin dada implica que 6x! + 13 = y2. Claramente x 0. Si x 5, entonces

x! 0 (md 5), implica que y2 = 6x! + 13 3 (md 5). Pero los cuadrados mdulo 5 son 0, 1,

4, as x 4.

Si x = 0 1, entonces y2 = 19, no teniendo soluciones enteras la ecuacin dada.

Si x = 2, entonces y2 = 25, obteniendo (x, y) = (2, 5).

Si x = 3, entonces y2 = 49, obteniendo (x, y) = (3, 7).

Si x = 4, entonces y2

= 157, no teniendo soluciones enteras la ecuacin dada.As, las cuatro soluciones enteras son (x, y) = (2, 5) y (3, 7).


22/97

SociedadRAMAMSEM

20

4. Dado que x2 + y2 = 28, xy = 14, determine el valor de x2 y2.

(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,

2000)

SOLUCIN (de Herberth Wilson, Profesor del Liceo Nuevo de Limn, Limn, Costa Rica):

Si 142822 ==+ xyyx . Entonces 2822822 ==+ xyyx

Tenemos que:

( )

yxyx

yx

yxyx

xyyx

xyyx

==

=

=+

=+

=+

0

0

02

02

2

2

22

22

22

De esta manera

022

22

=

=

=

yx

yx

yx

5. Cul es el mayor nmero triangular que es menor que 500?


2000)

SOLUCIN (Oficial):

Recordemos que los nmeros triangulares son de la forma2

)1( +nndonde n es un

nmero natural. As, debemos encontrar el mayor entero n tal que 5002

)1(

+nno sea

.1000)1( +nn Desde que 322 = 1032 se tiene que n < 32. Chequeando n= 31 hallamos

31 32 = 992 y as el nmero triangular buscado es 496.


23/97

SociedadRAMAMSEM

21

6. Una operacin * est definida como A * B = AB BA . Determine el valor de 2 * (1).


2000)

SOLUCIN (Oficial):

De acuerdo con la definicin de la operacin *, tenemos

2 * (1) = 2 1 (1)2 = 1/2 1 = 1/2.

7. Pruebe que para cualesquiera nmeros reales :,,, dcba


2000)

SOLUCIN (Oficial):

(a) Consideremos la diferencia bc ad. Claramente (bc ad)2 0. Desarrollando el

miembro izquierdo de la desigualdad tenemos b2c2 2abcd + a2d2 0 y de aqu es

fcil obtener 2abcd b2c2+ a2d2.

(b) Podemos usar el razonamiento de la parte (a) para probar la parte (b). Siendo a,b,

cy dnmeros reales arbitrarios obtenemos

2abcd b2c2+ a2d2.

2abdc b2d2+ a2c2.

2adcb c2d2+ a2b2.

Y, sumando miembro a miembro, estas desigualdades obtenemos

6abcd a2b + a2c2+ a2d2+b2c2+ b2d2+ c2d2.


24/97

SociedadRAMAMSEM

22

8. Determine todas las soluciones de la ecuacin

(Murrays Quickies de la revista Crux Mathematicorum, 1995)

SOLUCIN (Oficial):

Desde que la ecuacin puede ser escrita como (x 1)5 = 32(x + 1)5,

.4,3,2,1,0,21

1==

+

rwx

x r

donde w es una de las cinco races de la unidad. Con lo cual

.4,3,2,1,0,

21

21=

+= r

w

wx

r

r

9. Cuntos nmeros de seis dgitos que son cuadrados perfectos tienen la propiedad de

que al sumarles una unidad a cada uno de sus dgitos el nmero resultante es tambin un

cuadrado perfecto ?

(Murrays Quickies de la revista Crux Mathematicorum, 1997)

SOLUCIN (Oficial):

Si el cuadrado perfecto de seis dgitos est dado por

m2 = a 105 + b 104 + ca 103 + d 102 + e 10+ f,

entonces

n2 = (a + 1) 105 + (b + 1) 104 + (c + 1) 103 + (d + 1) 102 + (e + 1) 10+ (f + 1).

Entonces

n + m = di y n m = 111 111/ di

donde di es uno de los divisor de 111 111. Desde que 111 111 es un producto de cinco

nmeros primos, este tiene 32 divisores positivos diferentes. Pero di > 111 111/ di por lo

que tenemos al menos 16 soluciones de la forma m = (d i 111 111/ di) / 2. Como m2 es un

nmero de seis dgitos, tenemos que 632,46 200 10 < 2m < 2 000.


25/97

SociedadRAMAMSEM

23

Chequeando los varios divisores, vemos que existen cuatro soluciones. Una de ellas

corresponde a di = 3 13 17 = 1 443 as que m = (1 443 7 11) / 2 = 683 y m2 = 466 489.

Entonces, 466 489 + 111 111 = 577 600 = 7602. Los otros son dados por la tabla

di m m2 n2 n

3 7 37 = 777 317 100 489 211 600 460

3 11 37 = 1 221 565 319 225 430 336 656

7 11 13 = 1 001 445 198 025 309 136 556

10. La suma de tres enteros a, b y c es cero. Pruebe que 2a 4 + 2b4 + 2c4 es el cuadrado de

un entero.

(XXXIX Republic Competition of Mathematics in Macedonia, Class I, 1999)SOLUCIN (Andrei Simion, estudiante, Brooklyn Technical High School, New York):

Sea p(x) = x3 + sx2 + qx + r un polinomio de grado tres cuyas races son a, b y c. De

acuerdo a los Teoremas de Vite s = -(a + b + c) = 0. Entonces

a3 + qa + r = 0.

b3 + qb + r = 0.

c3 + qc + r = 0.

Multiplicando cada una de estas ltimas ecuaciones por 2, 2b y 2c, respectivamente, ysumndolas tenemos:

2a4 + 2b4 + 2c4 + 2q(a2 + b2 + c2 ) = 0

(el trmino con r desaparece desde que a + b + c = 0). Como,

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 2(ab + bc + ac) = 2q

se tiene

2a4 + 2b4 + 2c4 4q2 = 0

y2a4 + 2b4 + 2c4 = (2q)2

y, as, lo hemos probado.


26/97

SociedadRAMAMSEM

24

GEOMETRA.

1. Calcule la diagonal AC del siguiente paralelogramo

donde el paralelogramo est formado por cuatro tringulos equilteros de lado 1.

(Concurso Regional de Mxico, 1993)

SOLUCIN (de Sociedad RAMAMSEM, Limn, Costa Rica):

Al ser los tringulos equilteros se tiene que ADC = 120, AD = 2 y DC = 1. Luego,

aplicando la ley de cosenos al tringulo ADC obtenemos

AC2 = AD2 + DC2 2 AD DC cos ADC

de donde concluimos que AC = 7 .

2. El permetro de un rectngulo es 56 metros. La razn de su largo al ancho es 4 : 3.

Determine la longitud, en metros, de una de las diagonales del rectngulo.


2000)

SOLUCIN (Oficial):

Sean a y b las longitudes del largo y ancho (en metros) del rectngulo. Como su permetro

es 56, tenemos 2a + 2b = 56 o bien a + b = 28. Tambin tenemos que a : b = 4 : 3 o bien

a = 4b/3. Haciendo la sustitucin correspondiente en la primera ecuacin tenemos

4b/3 + b = 28 de donde b = 12 y, en consecuencia a = 16. Aplicando el teorema de

Pitgoras la longitud de la diagonal es 20.

B 1 C

1

A D


27/97

SociedadRAMAMSEM

25

3. En el interior de un cuadrado r, cuatro cuartos crculos son dibujados, con radios r y

centrados en los vrtices del cuadrado. Como se indica en la figura siguiente.

Determine el rea de la regin sombreada.

(Maritimes Mathematics Competition, 1999)

I SOLUCIN (de Richard Tod, The Royal Forest of Dean, Gloucestershire, Inglaterra):Consideremos la figura siguiente

en donde c representa el rea sombreada, a y b representan las reas de fuera del reasombreada.

Desde que el rea del cuadrado es 2r tenemos

.44 2rcba =++ (1)

Considere el cuarto de crculo ABC. ste tiene un rea de .4

2r

As, tenemos

.432

2r

cba

=++ (2)

Considere el tringulo equiltero ABP cuya rea es .4

32

r

Considere la sexta parte del crculo ABP cuya rea es .4

2r


28/97

SociedadRAMAMSEM

26

La diferencia es .4

3

6

2r

Necesitamos el doble de esta diferencia y tenemos

.2

3

32

2rcba

=++

(3)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3) se tiene

.3

333 2rc

+=

II SOLUCIN (Catherine Shevlin, Wallsend, Inglaterra)

Sea el origen de coordenadas el centro del cuadrado de lado 1. Entonces el cuarto de

crculo DBP tiene ecuacin

As, el rea general es

Esto es

Simplificando, obtenemos


29/97

SociedadRAMAMSEM

27

4. Un arbelos consiste de tres arcos semicirculares como muestra la figura:

Un crculo es colocado en el interior del arbelos tal que es tangente a los tres semicrculos.

Suponga que los radios de los dos menores semicrculos son a y b, y que el radio del

crculo es r. Asumiendo que a > b > r y que a, b y r estn en progresin aritmtica, calcule

a / b.

(Maritimes Mathematics Competition, 1999)

SOLUCIN (Catherine Shevlin, Wallsend, Inglaterra)

El radio del semicrculo mayor es a + b. As, el centro del semicrculo mayor est a unadistancia a y b de los centros de los semicrculos menores como se muestra en la figura

anterior.

Aplicando la ley de cosenos a dos tringulos, tenemos

Eliminando cos , y resolviendo para r, tenemos

Si a,b y r estn en progresin geomtrica, tenemos


30/97

SociedadRAMAMSEM

28

o, equivalentemente

Haciendo x = a / b tenemos

As, .23=b

a

5. Propuesto por Toshio Seimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista Crux

Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.

Dado el tringulo ABC con BAC = 90. El incrculo del tringulo ABC interseca a BC

en D. Sean E y F los pies de las perpendiculares desde D a AB y AC respectivamente. Sea

H el pie de la perpendicular desde A a BC. Prueba que el rea del rectngulo AEDF es

igual a AH2 / 2.

I SOLUCIN: (de Dimitar Mitkov Kunchev, estudiante, Baba Tonka School of Mathematics,

Rousse, Bulgaria):

Sea .,, aBCbACcAB === Entonces, si s es el semipermetro del ABC tenemos

2

cbacsCD

+== y .

2

bcacsDB

+== Desde que los tringulos EBD y

ABC son semejantes, tenemos que ,2 a

bbcaED

BC

BD

AC

ED

+== y usando la

semejanza entre los tringulos FDC y ,ABC obtenemos similarmente

.

2 a

ccbaFD

+= Si denotamos por S el rea del rectngulo ,AEDF entonces


31/97

SociedadRAMAMSEM

29

( )( ) ( )

.22

14

24

2

44

22

2

22

2

222

2

22

2

AHabc

acbbc

ababca

bca

bca

a

bccbabcaFDEDS

=

==+=

=

++==

Hemos usado el teorema de Pitgoras y la frmula de la altura en un tringulo rectngulo:

.a

bcAH=

II SOLUCIN (de Vclav Konen, Ferris State University, Big Rapad, MI, USA):

Sea r el inradio del tringulo .ABC De la figura:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) .coscoscos1

cos22cos2cos12

2

cos1

2

45cos2

2

2

222

2222

AEEDrsenBrBrrBsenBsenBBr

BsenBsenBBBsenBr

senBBrBrrAH

=++=+++=

+++++=

++=

+=

o


32/97

SociedadRAMAMSEM

30

6. Propuesto por Vedula N. Murty, Visakhapatnam, India. Tomado de la revista Crux


Si los ngulos A, B, C del tringulo ABC satisface cos A sen (A/2) = sen (B /2)sen (C/2)

pruebe que el tringulo ABC es issceles.

SOLUCIN (de Murray Seymur Klamkin (fallecido el 6 de agosto de 2004), University of

Alberta, Edmonton, Alberta)

Sustituya C por ( )BA + para obtener

+=2222

cosBA

senB

senA

senA

o

bien .2

cos22

cos

+=BAB

senA

senA

Esta ltima ecuacin podemos rescribirla como

+

+=

+

+2222

AsenB

AsenA

AsenA

Asen

o bien

+=

B

Asen

Asen

22

3de donde B

AA+=

22

3o .

22

3=++ B

AA

En el primer caso BA = y en el segundo .CA =

7. Pruebe que en cualquier tringulo acutngulo ABC,

Cot A + cot B + cot C = ,4

222

k

cba ++

donde k es el rea del tringulo ABC.

(J.I.R. MC Knight Problems Contest 1986)

SOLUCIN (de Vedula N. Murty, Dover, PA, USA) :

Usaremos las siguientes frmulas conocidas ,2

,

2

cos222

R

asenA

bc

acbA =

+= donde R

es el circunradio del tringulo ABC, y .4R

abck= De aqu, obtenemos

).cot

222

abc

acbRA

+=


33/97

SociedadRAMAMSEM

31

Usando esta ecuacin y las ecuaciones semejantes para Bcot y ,cotC tenemos

cot A + cot B + cot C = .4

222

k

cba ++

8. Sea ABC un tringulo y D un punto sobre el lado BC. Si P es punto sobre AD,

demuestra que la razn entre las reas de los tringulos ABCy PBCes igual a la razn

entre los segmentos ADy PD.

(Material de Capacitacin a docentes de Limn, Costa Rica, 2008)


Consideremos la siguiente figura

A C

B

D

P

Notemos que los tringulos ABDyBPDcomparten la misma altura trazada desde Be

igual sucede con los tringulos ADCyPDC yla altura trazada desde C. Sean 1h y 2h

dichas alturas entonces

( )( ) PD

AD

hhPD

hhAD

hPDhPD

hADhAD

PDCPBD

ADCABD

PBC

ABC=

+

+=

+

+

=++

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)()(

)()(

1

1

1

1


34/97

SociedadRAMAMSEM

32

9. Muestre que la mediana ma es la media geomtrica de b y c si y slo si a = 2 b c.



( ) .22242422

4

22

2

22

22222222

222222

acbacbacbcbbcacb

bcacbbcacbbcma

===+=+

=+=+=

10. Sea ABCun tringulo tal que BAC = 2 ABC. Sean a= BC, b= ACy c= AB.

Demuestra que a2 = b(b + c).



Sea ABC = entonces BAC = 2. Aplicando la Ley de Senos sen

b

sen

a=

2de

donde, al simplificar la expresin, se obtiene .2

cosb

a= Aplicando la Ley de Cosenos se

tiene

2cos2222 += bccba que es equivalente a

1cos22 2222 += bccba

+= 12

22

2222

b

abccba

+= 1422 2

2

222b

abccba

+= 1

22

2

2222

b

abccba


35/97

SociedadRAMAMSEM

33

bcb

cacba 2

2222 ++=

bccb

b

caa 222

22 ++=+

bccbb

ca 21

222 ++=

+

( )22 cbb

cba +=

+

( )cbba += 2

11. LMNO es un cuadrado. P es un punto en el interior del cuadrado tal que NOP es un

tringulo equiltero. Cunto mide el ngulo PMN ?

(Nat West U K Junior Mathematical Challenge, 1994)


Consideremos la siguiente figura:

M

L

N

O

P

Como NOP es equiltero entonces PNM = 30. Al ser PN = MN entonces el tringulo

MNP es issceles y, finalmente, PMN = 75.


36/97

SociedadRAMAMSEM

34

TEORA DE NMEROS.

1. Pruebe que dos nmeros consecutivos cualesquiera son primos relativos.

( CEOC, 1991 )

SOLUCIN (Oficial):

Sean n y n + 1 dos nmeros consecutivos cualesquiera, se debe probar que ( n, n + 1 ) = 1.

En efecto, por el algoritmo de Euclides tenemos

n + 1 = n 1 + 1

n = 1 n + 0

Luego, ( n + 1, n ) = 1.

2. Propuesto por Paul Yiu, Florida Atlantic University, Boca Ratn, Florida. Tomado de la

revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.

Suponga que un tringulo de lados enteros contiene un ngulo de 120, los dos lados que

le forman difieren en una unidad. Pruebe que la longitud del mayor lado es la suma de dos

cuadrados consecutivos.

SOLUCIN (de Jeremy Young, estudiante, Nottingham High School, Nottingham, Reino

Unido):

Sea b la longitud del lado opuesto al ngulo de medida 120, y sean a y a + 1 las longitudes

de los otros lados. Aplicando la Ley de Cosenos tenemos: b2 = 3a2 + 3a + 1 o bien,

3(2b + 1)(2b 1) = (6a + 3)2. Como 2b + 1 y 2b 1 son corrimos, existen enteros m, n tales

que

2b + 1 = m2, 2b 1 = 3n2 (1)

o bien

2b + 1 = 3m2

, 2b 1 = n2

(2)Si (1), entonces m2 3n2 = 2, lo cual es imposible en mdulo 3. Por tanto, debe cumplirse

(2) y as b = (n2 + 1) / 2. Como b es un entero entonces n es impar. Luego, podemos

expresar ,2

1

2

122

++

=nn

b la cual es una suma de cuadrados consecutivos.


37/97

SociedadRAMAMSEM

35

3. Propuesto por Zun Shan y Edward T. H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo,

Ontario. Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2000.

Es bien conocido y fcil de probar que el producto de cuatro enteros consecutivos ms uno

siempre es un cuadrado perfecto. Tambin es fcil de probar que el producto de

cualesquiera dos nmeros enteros positivos consecutivos ms uno nunca es un cuadrado

perfecto. Ahora, note que 2 3 4 + 1 = 52 y 4 5 6 + 1 = 112.

(a) Halle otro nmero natural n tal que n(n + 1)(n + 2) + 1 es un cuadrado perfecto.

(b) Existirn otros nmeros?

SOLUCIN (de Michael Lambrou, Universidad de Creta, Creta, Grecia):

En el artculo de D.W. Boyd y H. H. Kisilevsky: La ecuacin Diofntica

u(u + 1)(u + 2)(u + 3) = v(v + 1)(v + 2), publicado en Pacific Journal of Mathematics, vol. 40,

1972, pp 23 32, existe una completa y no elemental solucin de la mencionada ecuacin.Ahora, en el presente problema se requiere resolver la ecuacin v(v + 1)(v +2) + 1 = m2.

Haciendo m 1 = u(u + 3) se tiene m + 1 = (u + 1)(u + 2), hemos reducido a la ecuacin

resuelta en Boyd y Kisilevsky. As, de ese artculo, la otra nica solucin es

(v, m) = (55, 419). Esto responde a ambas partes (a) y (b).

4. Determine el nmero entero de dos dgitos tal que la diferencia entre l y el producto de

sus dgitos es 12.(The Alberta High School Mathematics Competition, Part I, November 16, 1999)

SOLUCIN (Oficial):

Sean x, y los dos dgitos del nmero buscado entonces, de acuerdo al enunciado, se tiene

10x + y xy = 12, o bien (x 1)(10 y) = 2 cuyas soluciones son (2, 8) y (3, 9) as que

tenemos dos nmeros que satisfacen las condiciones: 28 y 39.

5. En la ecuacin cuadrtica x2 14x + k = 0, k es un entero positivo. Las races de la

ecuacin son dos diferentes nmeros primos ., qp Determine el valor de .p

q

q

p +

(The Alberta High School Mathematics Competition, Part I, November 16, 1999)

SOLUCIN (Oficial):

Tenemos que p + q = 14 por lo que uno de ellos es 3 y el otro es 11. Luego, la suma

buscada es 133/33.


38/97

SociedadRAMAMSEM

36

FUNCIONES O SUCESIONES.

1. Propuesto por M. Selby, University of Windsor. Tomado de la revista Crux

Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 1991.

Sea ( ) ,347 nnA += donde n es un entero positivo. Halle una expresin simple para

[ ] ,1 nn AA + donde [ ]x es el mayor entero menor o igual que .x

SOLUCIN (de Guo-Gang Gao, estudiante, Universit de Montral)

Si ( ) 3322

nn

n

ba +=+ donde na y nb son enteros entonces ( ) 3322

nn

n

ba =

de donde resulta que ( ) ( ) nn 22 3232 ++ es un entero. Como ( ) ,132 2


39/97

SociedadRAMAMSEM

37

2. Propuesto por Ray Killgrove y Robert Sternfeld, Indiana State University, Terre Haute.

Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 1991.

Una traslacin g de una funcin f es una funcin g(x) = f(x + a) para alguna constante a.

Suponga que una traslacin de una funcin f: IR IR es impar y otra traslacin es par.

Pruebe que f es peridica. Es verdadero el recproco?

SOLUCIN (de Saint Olaf Problem Solving Group, Saint Olaf College, Northfield,

Minnesota):

Sabemos que existen a y b tales que para todo x, f(x + a) = f(x + a) y f(x + b) = f(x + b).

Esto implica que f(2a + x) = f(x) y f(2b + x) = f(x). As,

f(x +4(a b)) = f(2a + (x + 2a 4b)) = f(4b x 2a) = f(2a + x 2b) = f(2b x) = f(x) con

lo que f(x) tiene periodo 4(a b). Si a = b, entonces f(x + a) = f(a x) = f(a +x) lo cual

implica que f(x) es la funcin cero.

El recproco es falso. La funcin f(x) = x - [x] es un contraejemplo.

3. Pruebe que f(x) = sen2(x + ) + sen2(x + ) 2cos( )sen(x + )sen(x + ) es una

funcin constante de x.

(Sciences Annual Mathematics Competition, 1999)

SOLUCIN (de Edward T. H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario)

Derivando y utilizando la conocida frmula ,22

2

+=+ba

senba

senbsenasen

tenemos

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

+++++

+++=

xsenxxxsen

xsenxsenxf

coscoscos2

22)(,

( ) ( ) )2(cos2cos)2(2 ++= xsenxsen = 0

Al ser la primera derivada igual a cero se concluye que la funcin es constante. Adems,

como )()( 2 = senf concluimos que )()( 2 = senxf


40/97

SociedadRAMAMSEM

38

4. Una funcin real de variable real f est definida para enteros positivos, y un entero

positivo a satisface: f(a) = f(1995), f(a + 1) = f(1996), f(a + 2) = f(1997), f(n + a) =1)(

1)(

+

nf

nf

para cualquier entero positivo.n

(a) Pruebe que f(n + 4a) = f(n) para cualquier entero positivo .n

(b) Determine el menor valor posible de a.

(10th Nordic Mathematical Contest)

SOLUCIN (Mohammed Aassila, Estrasburgo, Francia):

a. de1)(

1)()(

+

=+nf

nfanf deducimos que

)(

1

11)(

1)(

11)(

1)(

))(()2(nf

nf

nf

nf

nf

aanfanf =+

+

+

=++=+

y

).()2(

1)2)2(()4( nf

anfaanfanf =

+=++=+

(b) El menor valor de a es 3. En efecto, si a = 1 se tendra

)1(

1)3()44983()1995()()1(

ffaffaff ==+===

de donde [ ] 1)1( 2 =f lo cual es imposible.

Si a = 2, entonces

1)2(1)2()2()4()42494()1996(

)1()3()42493()1995()()2(

+=+==+==

+==+===

ffaffaff

affaffaff

de donde [ ] 1)2( 2 =f lo cual es imposible.

Si a = 3, por construccin tenemos1)(

1)()3()(

+

=+=+nf

nfnfanf y, por (a)


41/97

SociedadRAMAMSEM

39

),()4()12( nfanfnf =+=+ con lo que

),1995()121663()3()( fffaf =+==

),1996()121664()4()1( fffaf =+==+

),1997()121665()5()2( fffaf =+==+ como se requera.

5. En cierta fiesta, la primera vez que la campana de la puerta son un invitado lleg. En

cada siguiente campanada dos invitados ms llegaban que en la campanada anterior.

Cuntos invitados haban llegado a la fiesta despus de 20 campanadas?

(Junior High School Mathematics Contest, British Columbia Colleges, Ronda Preliminar,2000)

SOLUCIN (Oficial):

Sea an el nmero de personas que llegaron en la nava campanada. Entonces an = 2n 1.

Sea bn el nmero de personas que haban llegado despus de la nava campanada.

Entonces tenemos

b1 = 1

b n + 1 = bn + an + 1 = bn + 2n + 1 para todo n 1, es decir b n + 1 bn = bn + 2n + 1

De donde, al escribir los primeros 20 obtenemos

b1 = 1

b2 b1 = 3

b3 b2 = 5

b20 b19 = 39

Cuando efectuamos la suma de estas igualdades, miembro a miembro, obtenemosb20 = 1 + 3 + 5 + + 39 = 400


42/97

SociedadRAMAMSEM

40

3. Problemas de Competencias no Olmpicas.

Esta columna consistir en 30 ejercicios propuestos que se separarn por categoras(lgebra, Geometra, Teora de Nmeros y Funciones o Sucesiones) y de menor a mayor

nivel de dificultad. Es importante destacar que el nivel de dificultaden que se ordenarn

los ejercicios de cada categora es valorado por nosotros (los editores) de acuerdo a

criterios establecidos pero ello no significa que esta valoracin pueda ser diferente para el

estimable lector.

Por otro lado, la solucin de los mismos se presentar hasta la prxima edicin conla finalidad de que nuestros lectores participen activamente envindonos soluciones y / o

comentarios que puedan enriquecer la discusin de cada ejercicio. Sin embargo, de no

darse esa participacin en algunos ejercicios, se publicar, al menos, una solucin oficial

brindada por los encargados de esta seccin.

LGEBRA.

1. x, y, z son tres nmeros reales tales que xy = 24, yz = 48, xz = 72.

Cunto vale x + y + z?

(Gironalino del Grupo Tutor, nmero 8, Italia)

2. Propuesto por Nicos D. Diamantes, estudiante, Universidad de Patras, Grecia. Tomado

de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1991.

Hallar una raz real de .0122010 35 =+ yyy

3. Hallar todos los enteros positivos zyx ,, que satisfacen la ecuacin

.4)(5 xyzxzyzxy =++

(Competicin Matemtica Intercolegial de la Sociedad Matemtica de Singapur, 1988)


43/97

SociedadRAMAMSEM

41

4. Propuesto por Victor Oxman, estudiante, Universidad de Haifa, Haifa, Israel. Tomado de

la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1998.

Suponga que cba ,, son nmeros reales positivos tales que

( )( )( ).bacacbcbaabc +++= Claramente cba == es una solucin. Determine todas las otras soluciones.

5. Determine el nmero de soluciones ( )zyx ,, en enteros positivos de la ecuacin

.233 =++ zyx

(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)

6. Determine cul de los siguientes nmeros es el mayor: 86 + .95 +


7. Para nmeros reales no negativos zyx ,, que satisfacen ,1=++ zyx pruebe que

.641

1

1

1

1

1

+

+

+ zyx

(CEOC, 1992)

8. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

(Memorial University Undergraduate Mathematics Competition, September 25, 1997)


44/97

SociedadRAMAMSEM

42

9. Propuesto por Waldemar Pompe, estudiante, Universidad de Varsovia, Polonia. Tomado


Un nmero de cuatro dgitos abcd es llamado faulty si satisface las siguientes

propiedades: el producto de los dos ltimos dgitos c y d es igual al nmero ,ab mientras

que el producto de 1c y 1d es igual al nmero de dos dgitos .ba Determine todos los nmeros faulty !

10. Determine todos los pares ordenados de enteros tales que .5336 += yx

(15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)

GEOMETRA.

1. Los botones de un telfono estn dispuestos como lo indica la siguiente figura

Si los botones estn separados un centmetro, de centro a centro, cuando usted marca el

nmero 592 7018 determine la distancia que han recorrido sus dedos.(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)


45/97

SociedadRAMAMSEM

43

2. El tringulo ABC es equiltero con lados tangentes al crculo de centro O y radio .3

Determine el rea del cuadriltero .AOCB


3. El tringulo ABC es tal que A = 30, C = 45 y AB mide el doble de la altura sobre

AC. Determine el valor deABBC.

( Competencia Colegial de USA, 1972 )

4. Sean cba ,, los lados y ,, los ngulos opuestos de un tringulo. Muestre que si

coscoscos 222 cabcab == entonces el tringulo es equiltero.

(Competencia Hngara, 1987)

5. Propuesto por Toshio Scimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista Crux


Sea M el punto medio del segmento BCdel tringulo .ABC Suponga que

CBAM = y .15o=MAC Calcule la medida del ngulo .C

6. El cuadrngulo ABCD est inscrito en un crculo con radio 1 en el cual una de las

diagonales, ,AC es un dimetro del crculo, mientras que la otra diagonal, ,BD es

congruente con .AB Las diagonales se intersecan en .P Es conocido que .5

2=PC

Cunto mide CD ?

(Concurso Matemtico por Equipos BALTIC WAY - 92, Vilnius, 1992)


46/97

SociedadRAMAMSEM

44

7. AB es un dimetro de un crculo de radio 1. CD es una cuerda perpendicular a AB

que le interseca en .E Si el arco CAD es3

2de la circunferencia del crculo. Determine la

longitud del segmento .AE

(Competencia Matemtica de Alberta High School, Noviembre 1996, I Parte)

8. A y B son dos puntos sobre el dimetro MN de un semicrculo. FEDC ,,, son

puntos sobre el semicrculo tales que .FBNDBMEANCAM == Pruebe que

.DFCE= (Competencia Matemtica de Alberta High School, Febrero 1997 Segunda Ronda)

9. El cuadriltero ABCD cumple las siguientes propiedades:

(1) El punto medio O del lado AB es el centro de un semicrculo;

(2) Los lados CBDCAD ,, son tangentes a este semicrculo.

Pruebe que .42 BCADAB = (15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)

10. Tomado de Advanced Problems de Crux Mathematicorum, 1998.

Dado un cuadriltero ABCD con ,120,60,2,3 oo ===+= DAADCDABAD

halle la longitud del segmento desde D hasta el punto medio de .BC


47/97

SociedadRAMAMSEM

45

TEORA DE NMEROS.

1. Determine la cantidad de valores de xque hace que la expresin18

98

++

x

xsea un

nmero entero.

(Problema de la Semana del 22/07 a 28/07 Tercer Nivel, 2006, Olimpiada Panamea de

Matemtica)

2. Se obtiene el nmero n, al efectuar el producto ( ) ( ) .55559999

5200792007

43421K

43421K

vecesveces

Halle la suma

de los dgitos de n.(Problema de la Semana 17, del 25 de junio al 1 de julio, Tercer Nivel, Olimpiada

Panamea de Matemtica)

3. Cul de los nmeros x = 16 806789, y = 3441315 es mayor ?

(Competencia escolar de Leningrado, 1984)

4. Si n es un nmero natural impar mayor que 2, demuestre que n( n

2

1 ) es divisible por24.

(CEOC, 1992)

5. Determinar para cules nmeros primos p se cumple que 2p + p2 es primo.

(CEOC, 1992)


48/97

SociedadRAMAMSEM

46

FUNCIONES O SUCESIONES.

1. Colaboracin de Yakub Aliyev, Facultad de Pedagoga, Departamento de Matemticas,

Qafqaz University, Khyrdalan AZ 0101, Azerbaijan.

Hallar todos los nmeros reales ba, para los cuales existe una funcin ++ RRf : con

2)1(f , y para toda +Ryx, la igualdad bxay yfxfxyf )()()( = se satisface.

2. Halle todas las funciones :f IR IR tal que xxf )( y )()()( yfxfyxf ++ para

todo yx, IR.

(CEOC, 1991)

3. Propuesto por efket Arslanagi, Universidad de Sarajevo, Bosnia y Herzegovina.

Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1997.

Halle todos los trminos de la sucesin ( )INna nnn += 112 23 que son cuadrados

de algn entero positivo.

4. Propuesto por Hojoo Lee, estudiante, Universidad Kwangwoon, Corea del Sur. Tomado


Halle todas las funciones :f tal que ( ) ( ) ( ) ++= nmmmnfmnfnf .,22

5. Propuesto por Yakub N. Aliyeb, Universidad Estatal de Baku, Baku, Azerbaijan.

Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2007.

Halle todas las funciones :f IRIR tales que 1)1( =f y, para todos los nmeros reales

yx, tenemos ).(2)(3)( yfxfyxf xy +=+


49/97

SociedadRAMAMSEM

47

4. CURIOSATO.

Esta columna tiene como finalidad mostrar ejercicios de preparacin o competencia

olmpicas en fases iniciales que se desarrollan en otros pases.

Estos tipos de ejercicios son, en su mayora, de seleccin nica y se procurar brindar la

solucin de todos los ejercicios que se propongan. Es importante hacer notar que los

mismos pueden servir de preparacin para estudiantes que participan en los distintos

niveles de la Olimpiada Costarricense de Matemtica.

La mayora de problemas que presentamos en esta columna son ejercicios de olimpiadas

nacionales e internacionales. Esperamos que este trabajo sirva como material de apoyo a

los maestros que entrenan estudiantes para olimpiadas matemticas y que sirva tambinde motivacin y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a problemas retadores e

interesantes que son tpicos de olimpiadas matemticas.

En esta columna presentamos el examen y soluciones del XI CONCURSO DE

PRIMAVERA DE MATEMTICAS: Segunda Fase, NIVEL I para estudiantes de 5 y 6 de

primaria, Madrid, Espaa.


50/97

SociedadRAMAMSEM

48

XI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMTICAS2 FASE : Da 21 de abril de 2007

NIVEL I (5 y 6 de primaria) Lee detenidamente las instrucciones !!!

Escribe ahora tu nombre y los datos que se te piden en la hoja de respuestas

* No pases la pgina hasta que se te indique.* Duracin de la prueba: 1 HORA 30 MINUTOS.* No est permitido el uso de calculadoras, reglas graduadas, ni ningn otro instrumento de medida.

* Es difcil contestar bien a todas las preguntas en el tiempo indicado. Concntrate en las que veas ms asequibles.

Cuando hayas contestado a esas, intntalo con las restantes.

* No contestes en ningn caso al azar. Recuerda que es mejor dejar una pregunta en blanco que contestarla

errneamente:

* MARCA CON UNA CRUZ ( ) EN LA HOJA DE RESPUESTAS LA QUE CONSIDERES

CORRECTA.* SI TE EQUIVOCAS, ESCRIBE "NO" EN LA EQUIVOCADA Y MARCA LA QUE CREAS

CORRECTA.

CONVOCA:

Facultad de Matemticas de la U.C.M.COLABORAN:

Universidad Complutense de MadridConsejera de Educacin de la Comunidad de Madrid

Educamadridwww.profes.net (SM) - Grupo ANAYA - El Corte Ingls

Yalos Instruments, S.L. - SAS

Cada respuesta correcta te aportar 5 puntos.

Cada pregunta que dejes en blanco 2 puntos.

Cada respuesta errnea 0 puntos.

1. En esta rejilla de puntos la distancia en horizontal o en vertical de puntos consecutivos

es 1 cm. Cul es, en cm, la longitud de la espiral trazada?

A) 30 B) 31 C) 32 D) 35 E) 36


51/97

SociedadRAMAMSEM

49

2. El abuelo ha repartido su coleccin de postales entre sus cuatro nietos. Todos

recibieron el mismo nmero de postales. Si el nmero de postales es uno de los que figura

en las respuestas, cuntas postales tena el abuelo?

A) 14 B) 18 C) 28 D) 33 E) 42

3. Un coche con cuatro elefantes dentro pesa 16 toneladas. Si todos los elefantes pesan lo

mismo y el coche vaco pesa una tonelada ms que un elefante, cuntas toneladas pesa

el coche vaco?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 12

4. Cul de las siguientes operaciones da como resultado 50?

A) 15 + 10 x 2 B) 100 : 5 C) 2 x (5 x 10) D) (20 + 80) : 10 E) 200 : 4

5. Un mismo producto se vende en distintos envases. Cul sale ms barato?

A) 120 g a 0,45 B) 150 g a 0,65 C) 200 g a 1,10 D) 250 g a 1,25 E) 400 g a 2,10

6. La estrella hexagonal de la figura tiene 12 cm2 de rea. Cul es, en cm2, el rea del

hexgono regular circunscrito?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21


52/97

SociedadRAMAMSEM

50

7. He preguntado a mis tres amigos si eran capaces de adivinar cuntos libros tengo en mi

habitacin. Azucena dice que 183, Bruno que 194 y Celia que 152. Y yo les digo que uno

se ha equivocado por 11 libros, otro por 20 y otro por 22. Cunto suman las cifras del

nmero de libros que tengo en mi habitacin?

A) 10 B) 5 C) 7 D) 14 E) 12

8. En esta pirmide, cada ladrillo es la suma de los dos ladrillos que lo sostienen. Cul es

la suma de los nmeros de la fila de abajo?

A) 1467 B) 1740 C) 2007 D) 1747 E) 1627

9. Estos tres hexgonos regulares son del mismo tamao. X, Y, Zrepresentan las reas

de las zonas sombreadas. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Xes igual a Ypero no a Z B) Xes igual a Zpero no a Y X Y Z

C) Yes igual a Zpero no a X D) X, Yy Zson las tres iguales

E) X, Yy Zson las tres distintas


53/97

SociedadRAMAMSEM

51

10. Si + = , = + , + = + + + , entonces, + + =

A) + B) C) D) E) +

11. A Julin le encantan los animales. Tiene en su casa 39 mascotas entre gatos, perros,

hmsteres, tortugas y periquitos. Tiene tantos gatos como perros y el doble de hmsteres

que de perros. El nmero de tortugas es la tercera parte que el nmero de hmsteres y

tiene siete periquitos ms que tortugas. Cuntos periquitos tiene Julin?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

12. Los ngulos de la siguiente figura son todos rectos y la longitud de algunos de sus

lados, en cm, est indicada en el dibujo. El rea de la figura, en cm2, es:

A) 41 B) 104 C) 112 D) 64 E) 95

13. Cul de estos nmeros es primo?

A) 2001 B) 2003 C) 2005 D) 2007 E) 2009


54/97

SociedadRAMAMSEM

52

14. En la figura de la derecha, los segmentos ABy CDson paralelos. El ngulo A es de 28

y el ngulo Cde 52. Cunto mide el ngulo x?

A) 62 B) 80 C) 100 D) 280 E) 120

15. Qu fraccin del rectngulo grande est sombreada? (Los polgonos interiores son

cuadrados)

A) 11/16 B) 9/16 C) 5/8 D) 3/4 E) 2/3

16. Por la tubera superior se introducen 1000 litros de agua. Cada vez que el lquido llega a

una bifurcacin, se separa en dos partes iguales y discurre la mitad por cada lado.

Cuntos litros de agua llegarn al recipiente B?

A) 750 B) 500 C) 666 D) 600 E) 800


55/97

SociedadRAMAMSEM

53

17. Por el camino que lleva al cementerio hay una hilera de cipreses plantados a la misma

distancia entre s. Un verano de fuerte sequa murieron todos los cipreses menos los dos

de los extremos y uno ms que se salv. Cuntos cipreses haba antes de la sequa si

slo recuerdo que haba menos de 25?

A) 6 B) 12 C) 14 D) 15 E) 19

18. Una leona tarda en comerse una cebra 6 horas, mientras que un gran len tarda la

mitad de tiempo que la leona. Si un amanecer cazan los dos juntos una cebra, cunto

tiempo tardarn en devorarla?

A) 9 horas B) 3 horas C) 1 hora y media D) 4 horas y media E) 2 horas

19. En un tringulo, la medida de cada lado es un nmero entero. El mayor es doble que el

mediano y ste, doble que el menor. Cul de estos nmeros no puede ser el permetro dedicho tringulo?

A) 84 B) 77 C) 14 D) 97 E) 70

20. Hemos construido un castillo con cubos iguales. Cuntos cubos, como mnimo, hemos

utilizado si sus vistas son stas?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 E) 21


56/97

SociedadRAMAMSEM

54

21. Si el camino sigue siempre el mismo patrn, cul es la secuencia de flechas que

llevan del 675 al 677?

22. Cul de estas figuras no puede ser trazada sin levantar el lpiz del papel y sin pasar

dos veces por un mismo segmento?

23. Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el nmero

de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta 1 al nmero de la pantalla. Utilizando slo las

teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el 53. Cuntas veces, como mnimo,

debes pulsar las teclas?

A) 4 B) 6 C) 10 D) 15 E) 53

revista olimpica. ii trimestre 2009

Documents