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Revisao para a terceira provaAula 30
Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo
Sao Carlos SP, Brazil
22 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecanica
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
O Teorema do Valor Medio e suas Consequencias
O Teorema do Valor Medio e um dos Teoremas mais importantesdo Calculo. A sua demonstracao e feita mostrando primeiramenteo caso particular f (a) = f (b) conhecido como Teorema de Role.
Teorema (do Valor Medio - TVM)
Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavelem (a, b). Entao existe c ∈ (a, b) tal que
f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a) ,
ou seja
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
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Teorema (De Cauchy)
Se f e g sao contınuas em [a, b] e diferenciaveis em (a, b), existec ∈ (a, b) tal que
[f (b)− f (a)]g ′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).
Prova: Considere h(x) = [f (b)− f (a)]g(x) − [g(b)− g(a)]f (x) eaplique o Teorema de Role.
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Regras de L’Hospital
As regras de L’Hospital se aplicam a calculos de limites queapresentam as seguintes indeterminacoes
0
0ou
∞∞ .
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Teorema (Regra de L’Hospital)
Sejam f e g funcoes differenciaveis em x com g ′(x) 6= 0 em(p − r , p + r)\{p} para algum r > 0. Se
limx→p
f (x) = 0 = limx→p
g(x)
e limx→p
f ′(x)
g ′(x)= ℓ ∈ R (ou ℓ = ±∞), entao lim
x→p
f (x)
g(x)= ℓ
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Prova: Como os valores de f (p) e g(p) nao influem no calculo dolimite, podemos assumir que f (p) = g(p) = 0. Assim, do Teoremade Cauchy, para cada x ∈ (p − r , p + r)\{p} existe c entre x e p(distinto de ambos) tal que
= limx→p
f (x)− f (p)
g(x) − g(p)= lim
x→p
f ′(c)
g ′(c)= lim
x→p
f ′(x)
g ′(x).
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
Observacao: A regra de L’Hospital ainda sera valida se, em lugarde x → p , tivermos x → p+ , x → p− , x → +∞ ou x → −∞ .
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2a¯Regra de L’Hospital: Sejam f e g funcoes derivaveis em
(p − r , p + r)\{p} , r > 0 , com g ′(x) 6= 0 para 0 < |x − p| < r .Se
limx→p
f (x) = +∞ = limx→p
g(x)
e o limite limx→p
f ′(x)
g ′(x)existir (ou divergir para ± infinito), entao o
limite limx→p
f (x)
g(x)tambem existira (ou divergira para ± infinito) e
teremos
limx→p
f (x)
g(x)= lim
x→p
f ′(x)
g ′(x).
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Observacao: A 2a¯ regra de L’Hospital ainda sera valida se, emlugar de x → p , tivermos x → p+ , x → p− , x → +∞ oux → −∞ . Esta regra tambem permanecera valida caso tenhamos−∞ em lugar de +∞ em um ou ambos os limites.
Observacao: As Regras de L’Hospital se aplicam a
indeterminacoes da forma0
0e∞∞ . As outras formas de
indeterminacao, 0 ·∞, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞, podem ser reduzidas aestas.
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Monotonicidade
Agora vamos obter informacao do comportamento de uma funcaoa partir de suas derivadas (usando o Teorema do Valor Medio).
Corolario (Teste de Monotonicidade)
Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel nointervalo (a, b).
◮ Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera estritamentecrescente em [a, b].
◮ Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entao f sera estritamentedecrescente em [a, b].
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E facil ver que, se f for diferenciavel e crescente (resp.decrescente) em (a, b), entao f ′(x) ≥ 0 (resp. f ′(x) ≤ 0), paratodo x ∈ (a, b). A recıproca tambem e verdadeira.
CorolarioSeja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel nointervalo (a, b).
◮ Se f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera crescente em[a, b].
◮ Se f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entao f sera decrescente em[a, b].
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Maximos e Mınimos
Definicao
Um ponto crıtico de uma funcao f e um ponto c onde ouf ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe.
Proposicao
Seja I um intervalo aberto e f : I → R uma funcao diferenciavel.Se c ∈ I for um ponto extremo (maximo ou mınimo) de f , entaof ′(c) = 0.
Observacao: Todo ponto extremo de uma funcao diferenciavel emnum intervalo aberto e um ponto crıtico e que nem todo pontocrıtico e um ponto extremo. Logo, se f estiver definida em umintervalo aberto, procuramos os pontos extremos entre os pontoscrıticos.
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Observacoes:
◮ Se I nao for um intervalo aberto podemos ter pontos crıticospara os quais a derivada nao e zero.
◮ Um ponto crıtico nao precisa ser um ponto extremo.
◮ x = 0 e um ponto de mınimo para f (x) = |x | (f ′(0) 6 ∃).
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O Teorema de Weierstrass afirma que uma funcao contınua em umintervalo fechado tem um valor maximo e um mınimo global, masnao diz como encontrar esses valores extremos.
Notemos que o valor extremo de uma funcao contınua definidanum intervalo fechado ou ocorre num ponto crıtico ou ocorre emum extremo do intervalo.
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Para encontrar os valores maximos e mınimos globais de umafuncao contınua f num intervalo fechado [a, b] :
1. Encontre os valores de f nos pontos crıticos de f em (a, b).
2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
3. O maior valor das etapas 1 e 2 e o valor maximo global e omenor desses valores e o mınimo global.
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A proposicao seguinte segue dos corolarios do TVM.
Proposicao (Criterio da derivada primeira)
Seja f uma funcao contınua e c um ponto crıtico de f .
(i) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c , entaof tem um maximo local em c .
(ii) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c , entaof tem um mınimo local em c .
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TeoremaSejam f : [a, b] → R derivavel em (a, b) e p ∈ [a, b]. Valem asafirmacoes:
(i) Se f ′(p) = 0 e f ′ for crescente em (a, b), entao p sera pontode mınimo local de f .
(ii) Se f ′(p) = 0 f ′ for decrescente em (a, b), entao p sera pontode maximo local de f .
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Proposicao (Criterio da derivada segunda)
Suponhamos que f : [a, b] → R admita derivadas ate segundaordem contınuas em (a, b) e seja p ∈ (a, b). Valem as afirmacoes:
(i) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) > 0, entao p sera ponto de mınimolocal de f .
(ii) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) < 0, entao p sera ponto de maximolocal de f .
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Concavidade
Sejam f : (a, b) → R uma funcao diferenciavel e p ∈ (a, b). A retatangente ao grafico de f no ponto (p, f (p)) e o grafico de
Tp(x) = f (p) + f ′(p)(x − p).
Definicao
Seja f derivavel em (a, b) . Diremos que
◮ f tem concavidade para cima em (a, b) se, para quaisquerx , p ∈ (a, b), com x 6= p, tivermos
f (x) > Tp(x).
◮ f tem concavidade para baixo em (a, b) se, para quaisquerx , p ∈ (a, b), com x 6= p, tivermos
f (x) < Tp(x).
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O proximo teorema estabelece condicoes suficientes para que umafuncao f tenha concavidade para cima ou para baixo.
Teorema (Criterio para determinar concavidade-I)
Seja f uma funcao derivavel em (a, b). Valem as afirmacoes
(i) Se f ′ for estritamente crescente em (a, b), entao f temconcavidade para cima em (a, b).
(ii) Se f ′ for estritamente decrescente em (a, b), entao f temconcavidade para baixo em (a, b).
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Corolario (Criterio para determinar concavidade-II)
Seja f uma funcao derivavel ate segunda ordem em (a, b) . Valemas afirmacoes
(i) Se f ′′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entao f tem concavidadepara cima (a, b).
(ii) Se f ′′(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entao f tem concavidadepara baixo em (a, b) .
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Pontos de Inflexao
Definicao
Seja f uma funcao contınua em p ∈ Df . Diremos que p e ponto
de inflexao de f se a concavidade de f muda em p.
Definicao
Se f for uma funcao diferenciavel em p ∈ (a, b) e p for um pontode inflexao de f , diremos que p e um ponto de inflexao
horizontal, se f ′(p) = 0 (ponto crıtico). Caso contrario diremosque p e um ponto de inflexao oblıquo.
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CorolarioSe f for duas vezes diferenciavel em (a, b) e p ∈ (a, b) for umponto de inflexao de f , entao f ′′(p) = 0.
TeoremaSeja f tres vezes diferenciavel em (a, b) com derivada terceiracontınua. Se p ∈ (a, b) for tal que f ′′(p) = 0 e f ′′′(p) 6= 0, entao psera um ponto de inflexao de f .
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Polinonios de Taylor
O polinomio
Pn(x)= f (p)+f ′(p)(x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+ ...+
f (n)(p)
n!(x−p)n,
e chamado de polinomio de Taylor de ordem n de f (x) ao
redor de p.
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O teorema a seguir nos fornece uma formula para o erro.
Teorema (Formula de Taylor com resto de Lagrange)
Suponhamos que a funcao f (x) seja (n + 1) vezes diferenciavel noao redor do ponto p. Entao
Rn(x) =f n+1(x)
(n + 1)!(x − p)n+1
para algum x entre x e p.
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Assıntotas Verticais, Horizontais e Oblıquas
Definicao (Assıntota Vertical)
A reta x = p e uma assıntota vertical ao grafico de f se
limx→p
f (x) = +∞ ou limx→p−
f(x) = +∞ ou limx→p+
f(x) = +∞
ou
limx→p
f (x) = −∞ ou limx→p−
f(x) = −∞ ou limx→p+
f(x) = −∞.
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Definicao (Assıntota Horizontal)
A reta y = L e uma assıntota horizontal ao grafico de f se
limx→+∞
f (x) = L ou limx→−∞
f (x) = L
Exemplo
A reta y = 1 e assıntota horizontal de f (x) =x2 − 1
x2 + 1.
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Definicao (Assıntota Oblıqua)
Seja f uma funcao. Se existir uma reta de equacao y = mx + ntal que
limx→+∞
[f (x)− (mx + n)] = 0
oulim
x→−∞[f (x)− (mx + n)] = 0 ,
entao tal reta sera dita uma assıntota para f . Se m = 0, teremosuma assıntota horizontal e, se m 6= 0, teremos uma assıntota
oblıqua.
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Procedimento para determinar assıntotas: Primeiro determinem, caso exista, atraves do limite
m = limx→±∞
f (x)
x.
Em seguida, calcule
n = limx→±∞
[f (x)−mx ].
Se n for finito entao y = mx + n sera assıntota para x → ±∞.
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Esboco de Graficos de Funcoes
A lista de informacoes necessarias para fazer um esboco do graficode uma funcao.
1. Explicite o domınio da funcao.2. Calcule os limites laterais de f nos pontos onde f nao e
contınua ou nao estiver definida.3. Calcule os limites de f para x → +∞ e x → −∞.
4. Determine as assıntotas.5. Localize as raızes de f .6. Encontre os pontos crıticos e determine os intervalos de
crescimento e de decrescimento.7. Determine os pontos de maximo e mınimo e calcule os valores
da funcao nestes pontos.8. Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexao.9. Esboce a curva utilizando todas as informacoes anteriores.
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Anti-derivadas ou Primitivas
Sabemos que a derivada de uma funcao constante e zero.Entretanto, uma funcao pode ter derivada zero em todos os pontos
de seu domınio e nao ser constante; por exemplo f (x) =x
|x | e tal
que f ′(x) = 0 em todo ponto de seu domınio, mas nao e constante.
No entanto vale o seguinte resultado
CorolarioSe f for contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b) e f ′(x) = 0para todo x ∈ (a, b), entao f sera constante.
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CorolarioDuas funcoes f , g : (a, b) → R tais que f ′(x) = g ′(x) para todox ∈ (a, b) diferem por uma constante.
Definicao
Uma primitiva ou anti-derivada de f definida em um intervalo I euma funcao derivavel F definida em I tal que
F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I .
Observacao: Se F for uma primitiva de f , entao F sera contınua,pois F e derivavel. Duas primitivas de uma funcao definida em umintervalo diferem por uma constante.
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Segue que as primitivas de f sao da forma F (x) + k , com kconstante. Denotamos por
∫
f (x) dx = F (x) + k , k constante
a famılia de primitivas ou integral indefinida de f .
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Das formulas de derivacao ja vistas seguem as seguintes primitivas
(a)
∫
c dx = cx + k ; (b)
∫
ex dx = ex + k ;
(c)
∫
xα dx =xα+1
α+ 1, α 6= −1; (d)
∫
cos x dx = sen x + k ;
(e)
∫
1
xdx = ln x + k , x > 0; (f )
∫
1
xdx = ln(−x) + k , x < 0;
(g)
∫
sen x dx = − cos x + k ; (h)
∫
sec2 x dx = tg x + k ;
(i)
∫
sec x tg x dx = sec x + k ; (j)
∫
1
1 + x2dx = arctg x + k ;
(k)
∫
sec xdx=ln |sec x+tg x |+ k ; (l)
∫
tg x dx = − ln | cos x |+ k ;
(m)
∫
1√1−x2
dx=arcsen x+k .
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Mudanca de Variavel ou Regra da Substituicao
Sejam f e g tais que Im(g) ⊂ Df . Suponhamos que F seja umaprimitiva de f .
Entao F (g(x)) e uma primitiva de f (g(x))g ′(x), de fato, pelaRegra da Cadeia,
[F (g(x))]′ = F ′(g(x))g ′(x) = f (g(x))g ′(x).
Portanto,∫
f (g(x))g ′(x) dx = F (g(x)) + k ,
onde k e uma constante arbitraria.
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Integracao por Partes
Sejam f , g : [a, b] → R diferenciaveis em (a, b). Entao, para cadax ∈ (a, b), vale
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x),
ou seja,f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) .
Logo
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x) −∫
f ′(x)g(x) dx . (1)
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A integral de Darboux
Vamos dar uma nocao (devido a Darboux) equivalente a nocao deintegral de Riemann que apresenta algumas vantagens na obtencaode criterios de integrabilidade. Seja f : [a, b] → R uma funcaolimitada e
P : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xnP = b,
uma particao de [a, b]. Sejam
Mi = supx∈[xi−1,xi ]
f (x) e mi = infx∈[xi−1,xi ]
f (x), 1 6 i 6 n.
Defina a soma superior Sp (inferior sP) de f relativamente aparticao P por
SP =
nP∑
i=1
Mi∆xi
(
sP =
nP∑
i=1
mi∆xi
)
.
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Seja P uma particao e Q uma particao obitida de P adicionandoum ponto x . E imediato que SQ ≤ SP e que sQ ≥ sP . Maisgeralmente, se P ⊂ Q temos que SQ ≤ SP e que sQ ≥ sP .
Dadas duas particoes P e Q denotamos por P ∪ Q a particaoformada pelos pontos de P e de Q.
Segue que, dadas duas particoes P e Q quaisquer
infx∈[a,b]
f (x)(b − a) ≤ sP ≤ sP∪Q ≤ SP∪Q ≤ SQ ≤ supx∈[a,b]
f (x)(b − a)
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Definicao
Se P denota o conjunto de todas as particoes do intervalo [a, b] ef : [a, b] → R e uma funcao limitada a integral superior (inferior)de f e definida por∫ b
a
f (x)dx = inf {SP : P ∈ P}(
∫ b
a
f (x)dx = sup {sP : P ∈ P})
Definicao
Uma funcao limitada f : [a, b] → R e Darboux integravel se, esomente se,
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (x)dx
e neste caso o valor comum e denotado por D
∫ b
a
f (x)dx
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Criterio de Integrabilidade para integrais de Darboux
TeoremaUma funcao limitada f : [a, b] → R e Darboux integravel se, esomente se, dado ǫ > 0 existe particao P ∈ P tal que
SP − sP < ǫ.
Recorde que, se R ,Q ∈ P entao,
SR ≥ SR∪Q ≥∫ b
a
f (x)dx ≥∫ b
a
f (x)dx ≥ sR∪Q ≥ sQ .
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TeoremaUma funcao limitada f : [a, b] → R e Riemann integravel se, esomente se, e Darboux integravel e em qualquer caso
D
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (x)dx .
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Criterio de Integrabilidade
Proposicao
Se f for contınua em [a, b] entao,
◮ f e uniformemente contınua; isto e, dado ǫ > 0 existe δ > 0(que depende somente de ǫ) tal que, se x , y ∈ [a, b] e|x − y | < δ entao, |f (x)− f (y)| < ǫ.
◮ f e Darboux integravel em [a, b].
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Definicao
Se existir a integral
∫ b
a
f (x) dx , entao definiremos
∫ a
b
f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx .
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Propriedades da Integral
Sejam f , g : [a, b] → R funcoes integraveis. Entao
◮ Para todo k ∈ R, a funcao f + kg e integravel e∫ b
a
(f + kg)(x) dx =
∫ b
a
f (x) dx + k
∫ b
a
g(x) dx .
◮ Se a ≤ c < d ≤ b, entao f e integravel em [c , d ].
◮ Se f (x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], entao∫ b
af (x) dx ≥ 0. Em
particular, se g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b], entao∫ b
a
g(x) dx ≤∫ b
a
f (x) dx .
◮ Se existirem as integrais∫ c
af (x) dx e
∫ b
cf (x) dx , com
c ∈ [a, b], entao existira a integral∫ b
af (x) dx e
∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx .
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O Teorema Fundamental do Calculo
Teorema (Teorema Fundamental do Calculo)
Se f : [a, b] → R e contınua entao, a funcao g definida por
g(x) =
∫ x
a
f (t) dt, a ≤ x ≤ b
e diferenciavel em [a, b] e g ′(x) = f (x).
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Calculo de Integrais Definidas
Do Teorema Fundamental do Calculo, se f : [a, b] → R e contınuaentao
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
e uma primitiva de f . Se G e outra primitiva de f , temos queexiste uma constante k ∈ R tal que F (x) = G (x) + k . ComoF (a) = 0 temos que G (a) = −k e
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt = G (x)− G (a).
Em particular∫ b
a
f (t)dt = G (b)− G (a).
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Calculo de areas
Entao A e o conjunto dos pontos (x , y) ∈ R2 limitado pelas retas
x = a, x = b e pelos graficos das funcoes f e g , onde f (x) ≥ g(x),para todo x ∈ [a, b]. Segue que
area A =
∫ b
a
[f (x)− g(x)] dx =
∫ b
a
f (x)dx −∫ b
a
g(x)dx
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Deslocamento e Espaco Percorrido
Consideremos uma partıcula que se desloca sobre o eixo x comequacao de posicao x = x(t) e com velocidade v = v(t) contınua
em [a, b]. Sabemos quedx
dt(t) = v(t), ou seja, x(t) e uma
primitiva de v(t). Portanto, pelo Teorema Fundamental doCalculo, temos
∫ b
a
v(t) dt = x(b)− x(a) (2)
que e o deslocamento da partıcula entre os instantes a e b.
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
Para calcular a distancia percorrida durante o intervalo de tempo,teremos que considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 e tambemquando v(t) ≤ 0. Portanto, definimos por
∫ b
a
| v(t)| dt (3)
o espaco percorrido pela partıcula entre os instantes a e b .
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Observacao: Se v(t) ≥ 0, para todo t ∈ [a, b], entao (2) e (3)implicam que o espaco percorrido pela partıcula e o seudeslocamento coincidem entre os instantes a e b e sao iguais a
∫ b
a
v(t) dt
que determina a area do conjunto limitado pelas retas t = a, t = b,pelo eixo 0t e pelo grafico de v = v(t). Veja a figura abaixo.
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v = v(t)
v(t)
a b t
✻
✲
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Observacao: Seja c ∈ [a, b] e suponha que v(t) ≥ 0 em [0, c] ev(t) ≤ 0 em [c , b] conforme a figura.
✻
✲
A1
A2✙
✲
tba
v = v(t)v(t)
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Entao o deslocamento da partıcula e dado por (2) acima, ou seja,
x(b)− x(a) =
∫ b
a
v(t) dt = A1 − A2 ,
mas a distancia percorrida entre os instantes a e b e dada por(3), ou seja,
∫ b
a
| v(t)| dt =∫ c
a
v(t) dt −∫ b
c
v(t) dt = A1 + A2 .
Logo, neste caso, a distancia percorrida percorrida nao coincidem.
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
Trabalho
Nesta secao, vamos definir trabalho realizado por uma forca quevaria com a posicao. No caso de uma forca constante F , otrabalho realizado e definido pelo produto da forca pela distancia dque o objeto se move:
τ = Fd , trabalho = forca × distancia.
Vamos considerar agora uma forca F que atua sobre uma partıculaque se desloca sobre o eixo x . Suponhamos que esta forca sejaparalela ao deslocamento e variavel com a funcao de posicao x .Entao escrevemos
~F (x) = f (x)~i ,
onde f (x) e a componente de ~F (x) na direcao do deslocamento(isto e, na direcao de ~i).
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
Com isto
Definicao
O trabalho τ realizado por uma forca ~F (x) = f (x)~i sobre umapartıcula no deslocamento de x = a ate x = b e dado por
τ = lim∆P→0
n∑
i=1
f (ci )∆xi =
∫ b
a
f (x) dx .
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I