revisÃo de anÁlise tensorial w v u v w u v w ( ) v 0...
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REVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL
1.1- Vetores Espaciais
Def.: Para cada par de pontos (a,b) do espaço E, existe um segmento de linha , caracterizado por um comprimento e uma direção.-Conjunto de vetores espaciais: conjunto de todos os segmentos de linha direcionados (segmentos paralelos correspondem a um mesmo elemento.-Operações:
-Adição:
!
ab
!
v + w = w + v
u + v + w( ) = u + v( ) + w
v + 0 = v
Para cada v existe um - v tal que v + ("v) = 0
-Multiplicação por escalar α
Def.: O vetor
!
"v tem comprimento " v e direção de v se " > 0
e direção de - v se " < 0
!
" #v( ) = "#( )v
1v = v
" v + w( ) ="v +"w
" + #( )v ="v + #v
- Produto interno: número real
!
v •w = v w cos "
v •w = w •v
u• v + w( ) = u•v + u•w
" v •w( ) = "v( ) •w
v •v # 0 ; v •v = 0 se e só se v = 0
α
!
v
!
w
-Espaço vetorial: conjunto de objetos tais que as regras de adição e multiplicação se aplicam-Espaço produto interno: Espaço vetorial com produto interno-Conjunto de vetores espaciais é um espaço produto interno-Abreviações:
!
v " w # v + ("w)
Comprimento ou magnitude de v :
v # v # v •v
-Vetor posição: qualquer ponto z em E pode ser localizado em relação a outro ponto O pelo vetor espacial:
!
z "Oz (vetor posição de z em relação a origem O)
-Campos escalar: funções de valores numéricos quedependem da posição. Exs: temperatura, pressão
-Campos de vetores espaciais: funções de vetores espaciaisde dependem da posição. Exs: força, velocidade, vetorposição (p(z))
-As operações de adição, multiplicação por escalar eproduto interno são similares para os campos de vetoresespaciais.
-Em geral trabalharemos com campos reais escalares ecampos vetoriais espaciais, e integrais destes campos
-Base:-Os vetores e1, e2 e e3 são linearmente independentes quandoα1e1+α2e2+α3e3=Σαiei=0 só se α1=α2=α3=0-Geometricamente 3 vetores são LI se eles não estão todos num mesmo plano-Uma base M para um espaço vetorial é um conjunto de χ de vetores LI tal que cada vetor em M pode ser escrito comouma combinação linear de elementos de χ-Ex.: Seja (e1, e2, e3) base de todos os vetores espaciais
!
v = v1e1 + v2e2 + v3e3 = viei
i=1
3
"
v1,v2,v3 - componentes do vetor v com relação a base
-n. elementos da base = dimensão da base-Espaço de vetores espaciais e de campos de vetores espaciais é 3D
-Base para campos vetoriais espaciais:-Uma base (m1,m2,m3) para o espaço de campos vetoriais espaciais é cartesiana se os vetores da base em cada ponto z são unitários.
!
m1(z)•m1(z) =1
m2(z)•m2(z) =1
m3(z)•m3(z) =1
-Base ortogonal: elementos da base são ortogonais aos outros
!
mi(z) •m j (z) = 0 p/ i " j
-Base ortonormal: base cartesiana ortogonal
-Base cartesiana retangular: base ortonormal e, para cada 2 pontos x e y em E, mi(x)=mi(y) para i=1,2,3 ⇒comprimento e direção dos vetores de base em cada ponto independem da posição em E. Usaremos (e1, e2, e3) para este tipo de base. -Todo campo de vetores pode ser escrito como CL da BCR (e1, e2, e3):
!
u = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
i=1
3
"
u1,u2,u3 - componentes cartesianos de u
!
p = z1e1 + z2e2 + z3e3 = zieii=1
3
"
zi # coordenadas cartesianas com relação a origem O
-Vetor posição:
-Qualquer base para campos de vetores espaciais pode ser usada para gerar um número infinito de bases para o espaço de vetores: mi=mi(z) p/ i=1,2,3 e qualquer z pode ser usado como base para o espaço de vetores.
-A base depende de z, pois a magnitude e direção de mi podem variar com a posição (ex: sistemas coord. cilíndrica e esférica)
-A magnitude e direção das funções independem da posição em E, na base cartesiana
CONVENÇÕES
!
u = uieii=1
3
" = uiei
# v •w = (viei) • (w je j ) = viw j (ei •e j ) = viw j$ij = viwi
Para sistema de coordenadas cartesianas :
(ei •e j ) = $ij =1 se i = j
0 se i % j
& ' (
1.2 - Determinantes
!
"ijk = " ijk =
0 quando 2 índices forem iguais
+1 quando ijk forem permutação par de 123 (sent. horário)
#1 quando ijk forem permutação ímpar de 123 (sent. anti - horário)
$
% &
' &
εijk e εijk são completamente anti-simétricas nos índices 123, i.e.,trocando 1 índice por outro o sinal é invertido.
!
det(aij ) =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= "ijka1ia2 ja3k
(1)
1 2 4 3 4 = "ijkai1a j 2ak3
(2)
1 2 4 3 4
-Com a troca de 1 linha por outra, o sinal do determinante muda:
!
"ijkaima jnakp = " jika jmainakp = #"ijkaima jnakp
-Podemos escrever as eqs. (1) e (2) como:
!
"ijkamianjapk = det(ars)"mnp (3)
"ijkaima jnakp = det(ars)"mnp (4)
-Produto entre 2 determinantes:
!
det(ars)det(bxy ) = det(ars)"ijkbi1b j 2bk3 = "mnpamianjapkbi1bj 2bk3
= "mnp (amibi1)(anjb j2)(apkbk3
abp 3
1 2 3 )
= det(ausbsv )
Exercícios
1.3 - Gradiente de um Campo Escalar
Def.: O gradiente de um campo escalar α é um campo vetorial ∇α. O gradiente é especificado a partir do seu produto interno com um vetor arbitrário, em todos os pontos z de E:
!
"#(z) • a $ lims%&
#(z + sa) '#(z)
s
onde a $ zy (y - ponto arbitrário de E)
("#(z) • a = ai)#(z)
)zi= a1
)#(z)
)z1+ a2
)#(z)
)z2
+ a3
)#(z)
)z3
*
+ ,
-
. /
Escolhendo a = ei :
"# •ei =)#
)zi("# =
)#
)ziei
Exercício: Prove que ∇zi=ei
1.4 - Tensores de Segunda Ordem
T é uma transformação ou mapeamento que leva para cadacampo vetorial v um outro campo vetorial T•v tal que asseguintes regras são satisfeitas:
!
T • v + w( ) = T •v + T •w
T • ("v) ="(T •v)
T + S( ) •v # T •v + S •v
"T( ) •v #" T •v( )
-Tensor Zero: 0•v=0 para todo campo vetorial v
-Todo Campo Tensorial constitui um espaço vetorial
-Produto tensorial ou produto diático entre 2 vetores: T=ab
-Componentes de campos tensoriais de segunda ordem:
T - tensor de segunda ordemej (j=1,2,3) - base cartesiana retangular para o espaço de campos vetoriais⇒ T• ej =Tij ei
!
Tij[ ] =
T11
T12
T13
T21
T22
T23
T31
T32
T33
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
Seja v um campo vetorial, então:
!
T •v = T • (v je j ) = v jT •e j = v jTijei
Notação: T=Tij ei ej
-Tensor Identidade: I•ej=Iijei=ej=δijei ⇒ (Iij- δij)ei =0
como a base cartesiana retangular é L.I.: Iij = δij
-ei ej: base para o espaço de campos tensoriais de segunda ordem
(dimensão 9)
-Transposta de um campo tensorial de segunda ordem:
Def.:
!
T • u( ) •v " u• TT
•v( )u = ei v = e j
# Tji = TijT
ou TT
= Tnmemen
Def.: w •TT
= T •w
- Tensor simétrico: T = TT
- Tensor anti-simétrico: T = - TT
- Campo tensorial ortogonal: preserva comprimentos e ângulos
!
Q• u( ) • Q•v( ) = u•v
" u• QT
• Q•v( )[ ] = u• QT
•Q( ) •v[ ] = u•v
" QT
•Q = I
!
A • B •v( ) = A •B( ) •v
onde A •B( ) " Aij eie j( ) • Bkmekem( ) = AijB jmeiem
A •B( )T
= BTAT
- Sejam A e B campos tensoriais de Segunda Ordem:
- Inverso de um campo tensorial de 2a ordem:
- Um campo tensorial é inversível se:
a) Se A•u1=A•u2 então u1=u2
b) Para cada campo vetorial v, corresponde pelo menosum campo vetorial u tal que A•u=v
⇒ A-1: inversa de A
Definindo: A-1•v1=u1 pode-se mostrar que A-1• A= A • A-1=I
- Para uma transformação ortogonal, Q-1= QT
- Obs: Nem o tensor 0 nem um produto tensorial ab sãoinversíveis
-Traço de um campo tensorial de segunda ordem:
-Sejam a, b campos vetoriais; α campo escalar; S, T campostensoriais de segunda ordem
-A operação tr(T) satisfaz:
- tr(T+S)= tr(T) + tr(S)
-tr(α T)= α tr(T)
-tr(ab)=a•b
-No sistema de coordenadas cartesianas:
-tr(T)=Tij tr(ei ej) = Tij ei •ej= Tij δij= Tii (=soma dos elementosda diagonal)
1.5 - Gradiente de um campo vetorial
Def.: O gradiente de um campo vetorial v é um campo tensorial de segunda ordem ∇v.
!
"v(z) • a # lims$%
v(z + sa) & v(z)
s
onde a # zy (y - ponto arbitrário de E)
'"v(z) • a = ai(v(z)
(zi= a1
(v(z)
(z1+ a2
(v(z)
(z2
+ a3
(v(z)
(z3
)
* +
,
- .
Escolhendo a = e j :
"v •e j =(v
(z j'"v =
(vi(zi
eie j
tr("v) =(vi(zi
tr(eie j )
/ ij
1 2 3 =(vi(zi
= divergente
' divv # " •v # tr("v) =(vi(zi
1.6- Produto vetorial e rotacional
!
a"b( )em relaçãoa base cart.
1 2 3 #
e1 e2 e3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= (a2b3 $ a3b2)e1 + (a3b1 $ a1b3)e2 + (a1b2 $ a2b1)e3
a direção de a"b( ) é dada pela regra da mão direita
a"b( ) está no plano perpendicular a a e b
!
rot v "
e1 e2 e3
# /#z1 # /#z2 # /#z3
v1 v2 v3
=
#v3
#z2
$#v2
#z3
%
& '
(
) * e1 +
#v1
#z3
$#v3
#z1
%
& '
(
) * e2 +
#v2
#z1$#v1
#z2
%
& '
(
) * e3
Notação mais compacta (sist. cartesiano) :
a+b( ) = ,ijka jbk ei
rot v = ,ijk#vk#z j
ei
1.7- Determinante de um tensor de segunda ordem
Seja gi uma base arbitrária para um sistema de coordenadascurvilíneas
-Magnitude do det T=Vol. Paral. Deformado Vol. g1g2g3- det T > 0 se T•g1, T•g2 ,T•g3tem a mesma orientação deg1,g2,g3
Def.:
!
detT "T • g
1( )# T • g
2( )[ ] • T • g
3( )
g1#g
2( ) • g
3
- Na base cartesiana
!
detT = det(Tmn ) (= "ijkT1iT 2 jT3k )
- Mostra-se que
!
det(S •T) = det SdetT
det(T"1) =1/detT
det(TT) = detT
1.8 - Integração-Campos vetoriais:
!
v(z) + v(y) = vi(z)ei + vi(y)ei = vi(z) + vi(y)[ ]ei
" v • dRR# = vieidR =
R# vidR
R#( )
iei
- Transformada de Green:
!
" : escalar, vetor ou tensor
"ˆ n •dASm# $ "(z1 + %z1,z2,z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z2%z3e1 +
"(z1,z2 + %z2,z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z1%z3e2 + "(z1,z2,z3 + %z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z1%z2e3
÷%' = %z1%z2%z3 e fazendo %z1 ( 0,%z2 ( 0,%z3 ( 0 :
1
%'m
"ˆ n •dASm# =)"
Mas,
)"d'R# = limmax %'m(0 )"( )
m%'
m
m=1
k
* = "ˆ n •dASm#
m=1
k
*
+ )"d'R# = "ˆ n •dA
Sm#
Transformada de Green
1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4
-Para ϕ campo tensorial:
!
"vR# d$ = v ˆ n
produtotensorial
{ dAS#
% tr("v)R# d$ = tr(v ˆ n )dA
S#
% divvR# d$ = v • ˆ n
S# dA
Teorema da divergênciaou Teorema de Gauss
1 2 4 4 4 3 4 4 4
!
"TR# d$ = T ˆ n dA
S#
% divTR# d$ = T & ˆ n dA
S#
-Para ϕ campo vetorial:
- Mudança de variáveis em integrais de volume
!
x1 = x
1x
1
,x2
,x3
( )x
2 = x2x
1
,x2
,x3
( )x
3
sist.coord .
{ = x3x
1
,x2
,x3
( )sist .coord .
1 2 4 3 4
Sabe - se que
F(x1,x 2,x 3)dx1dx
2dx
3
R" =
F x1(x
1
,x2
,x3
),...( )det#x i
#x j
$
% & &
'
( ) ) dx
1
dx2
dx3
R"
Se um dos sistemas for o sistema cartesiano :
F(z1,z2,z3)R" dz1dz2dz3 = F z1(x
1,x 2,x 3),...( )R" gdx
1dx
2dx
3
onde g * det(gij )