Prof Jairo Lordeiro 901 Matemática 01/06 Ângulos formados por retas paralelas

Retas Paralelas Duas retas distintas são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem o mesmo coeficiente angular. Além disso, a distância entre elas é sempre a mesma e não possuem pontos em comum.

Retas paralelas, concorrentes e perpendiculares As retas paralelas não se cruzam. Na figura abaixo representamos as retas paralelas r e s.

Retas paralelas (r // s)

Diferente das retas paralelas, as retas concorrentes se cruzam em um único ponto.

Retas concorrentes

Se duas retas se cruzam em um único ponto e o ângulo formado entre elas no cruzamento for igual a 90º as retas são chamadas de perpendiculares.

Retas perpendiculares

Retas paralelas cortadas por uma transversal Uma reta é transversal a uma outra se possuem apenas um ponto em comum. Duas retas paralelas r e s, se forem cortadas por uma reta t, transversal a ambas, formará ângulos como representados na imagem abaixo.

Na figura, os ângulos que apresentam a mesma cor são congruentes, ou seja possuem mesma medida. Dois ângulos de cores diferentes são suplementares, ou seja, somam 180º. Por exemplo, os ângulos a e c apresentam mesma medida e a soma dos ângulos f e g é igual a 180º. Os pares de ângulos recebem nomes de acordo com a posição que ocupam em relação as retas paralelas e a reta transversal. Sendo assim, os ângulos podem ser:

Correspondentes Alternos Colaterais

Ângulos correspondentes Dois ângulos que ocupam a mesma posição nas retas paralelas são chamados de correspondentes. Eles apresentam a mesma medida (ângulos congruentes).

Os pares de ângulos com a mesma cor representados abaixo são correspondentes.

Na figura, os ângulos correspondentes são:

a e e b e f c e g d e h

Ângulos Alternos Os pares de ângulos que estão em lados opostos da reta transversal são chamados de alternos. Esses ângulos também são congruentes.

Os ângulos alternos podem ser internos, quando estão entre as retas paralelas e externos, quando estão fora das retas paralelas.

Na figura, os ângulos alternos internos são:

c e e d e f

Os ângulos alternos externos são:

a e g b e h

Ângulos colaterais São os pares de ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal. Os ângulos colaterais são suplementares (somam 180º). Também podem ser internos ou externos.

Na figura, os ângulos colaterais internos são:

d e e c e f

Os ângulos colaterais externos são:

a e h b e g

Teorema de Tales Num mesmo plano um feixe de retas paralelas determinam, em duas retas transversais, segmentos de retas proporcionais.

Exemplo Os pontos A, A´, B, B´, C, C´ foram obtidos pelo cruzamento das retas paralelas r, s e q com as retas transversais t e v.

Segundo o teorema de Tales, teremos a seguinte relação:

Exercícios 1) Observando os ângulos entre as retas paralelas e a reta transversal, determine os ângulos indicados na figura:

Ver Resposta 2) Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.

Ver Resposta 3) Determine o valor de x na figura abaixo:

Prof. Jairo Lordeiro 901 Rpm 08/06 Teorema de Talles

Teorema de Tales O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.

O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.

Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.

Enunciado

O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença:

“a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.”

Exemplo Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:

Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:

Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.

Teorema de Tales nos Triângulos O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:

De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:

Δ ABC ~ Δ AED

Determine o valor de x nas figuras abaixo:

Exercício 1

Ver Resposta

Exercício 2

Ver Resposta

Exercício 3

1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x.

a) b)

c) d)

2) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas.

a) b)

c) d)

Prof Jairo Lordeiro 901 Matemática 15/06 Teorema de Talles

Teorema de Tales O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.

O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.

Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.

Enunciado

O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença:

“a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos

proporcionais.”

Exemplo Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:

Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:

Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.

Teorema de Tales nos Triângulos O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:

De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:

Δ ABC ~ Δ AED

Exercícios Determine o valor de x nas figuras abaixo:

Exercício 1

r

Exercício 3

Prof Jairo Lordeiro 901 Mat 22/06 Semelhança de triangulo Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.

Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.

Razão de Proporcionalidade

Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.

Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:

Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim, temos as seguintes proporções:

Onde k é a razão de proporcionalidade.

Leia também sobre Razão e Proporção.

Casos de Semelhança Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos.

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

Teorema Fundamental da semelhança Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, forma um triângulo que é semelhante ao primeiro.

Na figura abaixo, representamos o triângulo ABC e a reta r paralela ao lado .

Observando a figura, notamos que os ângulos são congruentes, assim

como os ângulos , pois a reta r é paralela ao lado . Assim, pelo critério AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Leia também sobre Teorema de Tales e Teorema de Tales - Exercícios.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

No triângulo representado abaixo, o lado a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo:

Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja:

.

Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:

Essas relações são muito importantes e são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.

Para saber mais sobre triângulos, leia também:

Congruência de Triângulos Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos.

Casos de congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:

1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.

2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles também congruente.

3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente.