Ponto, Reta e Plano

A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que se sabe muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.

Representação, (notação) → Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,… → Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,… → Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex: β,∞,α,... Representação gráfica Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito

sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova. - Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos. - Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta). - Pontos colineares pertencem à mesma reta. - Três pontos determinam um único plano.

- Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

- Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s. Um plano é um subconjunto do espaço R

3 de tal modo que quaisquer dois

pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contida no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

- Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); - Um ponto e uma reta que não contem o ponto; - Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; - Duas retas paralelas que não se sobrepõe; - Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; - Duas retas concorrentes; - Dois segmentos de reta concorrentes. Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas,

concorrentes ou reversas. Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e

elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano

em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção. Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um

diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Razão entre Segmentos de Reta

Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como, por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.

Exemplo AB é um segmento de reta que denotamos por AB. A _____________ B

Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.

Consideremos os segmentos AB e CD, indicados: A ________ B m(AB) = 2cm C ______________ D m(CD) = 5 cm A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida

como a razão entre as medidas desses segmentos, isto é: AB/CD = 2/5

Segmentos Proporcionais

Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.

Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

m(AB) = 2cm A______B P__________Q m(PQ) =4 cm

m(CD) = 3cm C__________D R___________________S m(RS) = 6cm

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e

RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.

Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se: AB/BC = CD/DE

Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.

A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:

Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)

Feixe de Retas Paralelas

Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de

retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.

Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura abaixo representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortadas por duas retas transversais.

Identificamos na sequência algumas proporções: AB/BC = DE/EF BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC

Exemplo Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as

medidas dos segmentos indicadas em centímetros.

Assim: BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se

um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.

Exercício

1. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3, -2, 3). a) Obtenha equações de r nas formas vetorias paramétrica e simétrica b) Verifique se o ponto P = (-9, 10, -9) pertence a r. 2. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas: a) Passa pelo ponto (-4, -5) e é PARALELA à reta cuja equação é 2x – 3y

+ 6 = 0. b) Passa pelo ponto (-2, 3) e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é

2x – y – 2 = 0.

3. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t: 2x – 9y – 5 = 0.

4. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas: a) O INTERCEPTO Y é -4 e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é 3x

– 4y + 8 b) Passa pelo ponto (-3, -4) e é PARALELA ao EIXO Y.

5. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas: a) Passa pelo ponto (1, -7) e é PARALELA ao EIXO X. b) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no

PRIMEIRO e TERCEIRO quadrantes. c) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no

SEGUNDO e QUARTO quadrantes. 6. Dado os pontos A (-3; 1) e B (3; -5), determine o ponto que divide o

segmento AB na razão: k = 2. 7. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (0; 2) e

B (-3; 0). 8. Uma reta r tem a equação: x + 2y – 10 = 0. a) Determine o ponto de r com abscissa 2. b) Obtenha o ponto de r com ordenada 3. 9. Escreva a equação segmentada da reta r dada por 6x – 5y – 30 = 0. 10. Estude a posição relativa dos pares da reta: 2x – y – 5 = 0 e 4x – 2y

+ 6 = 0.

Respostas

1) Solução: a) Seja P(x, y, z) um ponto genérico da reta r. (I) equação vetorial de r: P = A + t(B – A) (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2) (II) equações paramétricas de r: Da eq. vetorial temos que, (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2) = (1 + 2t , -2t , 1 + 2t) Então, as eqs. paramétricas de r são x = 1 + 2t y = – 2t z = 1 + 2t (III) equações simétricas de r: Das paramétricas x = 1 + 2t → t = (x – 1)/2 y = – 2t → t = – y/2 z = 1 + 2t → t = (z – 1)/2 Logo, (x – 1)/2 = – y/2 = (z – 1)/2

b) P(-9, 10, -9) pertence a r ?

Substituindo nas equações simétricas de r temos (-9 – 1)/2 = – 10/2 = (-9 – 1)/2 - 5 = – 5 = -5 Logo, P in r. 2) Solução: a) -3y = -2x – 6 y = 2x/3 + 2 -5 = (2/3)(-4) + b b = -5 + 8/3 b = -7/3 y = (2/3)x - 7/3

b) y = 2x – 2 a . 2 = -1 a = -1/2 3 = (-1/2)(-2) + b b = 2

y = (-1/2)x + 2

3) Resposta “43”. Solução: t: 2x – 9y – 5 = 0 p(k,9) 2k 9 . 9 – 5 = 0 t: 2k – 81 – 5 = 0 t: 2k – 86 = 0 2k = 86 → k = 86/2 → k = 43.

4) Solução: a) 4y = 3x + 8 y = (3/4)x + 2 a.(3/4) = -1 a = -4/3 b = -4 y = (-4/3)x – 4

b) x = -3.

5) Solução: a) y = -7

b) y = x

c) y = -x

6) Solução: Como conhecemos as coordenada A e B e o valor da razão k, basta

substituirmos esses valores nas formas deduzidas. Assim:

e

7) Solução: Sendo P (x; y) um ponto genérico da reta, temos:

= 0 → 2x – 3y + 6 = 0

Logo, a equação procurada é 2x – 3y + 6 = 0. 8) Solução: a) Seja A (2; ya) o ponto de r com abscissa 2. Como as coordenadas de A

satisfazem a equação de r, então:

2 + 2 . ya – 10 = 0 → ya = 4 → A (2; 4) b) Seja B (xb; 3) o ponto de r com ordenada 3. Da mesma forma, podemos

escrever: xb + 2 . 3 – 10 = 0 → xb = 4 → B (4; 3) 9) Solução:

6x – 5y – 30 = 0 → 6x – 5y = 30 →

Logo, a equação segmentária é

10) Solução:

as retas são paralelas.

Geometria Plana

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

As Figuras Básicas Aproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos, para mencionar

três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano. No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis

têm em comum apenas o ponto A.

Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc.

Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B. O segmento AB (“tem começo e fim”)

Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta BA, de origem B.

A semi-reta AB A semi-reta BA

(sua origem é A e “ela não tem fim”) (sua origem é B e “ela não tem fim”)

A seguir, indicamos a reta AB. A reta AB (“não tem começo nem fim”)

Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc.

Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima figura, temos um plano.

O plano α Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas,

principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Perímetro Entendendo o que é perímetro. Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento. Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala,

sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja: P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1 P = 26 – 1 P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé. A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro. Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana. Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha

quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros

quadrados), e outros. Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Área do Retângulo Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os

lados diferentes.

No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm2 Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área

também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a

altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .

Área do Trapézio

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2

Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).

Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h 2

Cálculo da área do ∆CFD: A∆2 = b . h

2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h

2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores. 2

AT = h (B + b) 2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b)

2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Área do Triângulo Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal:

A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:

A = b . h

2

Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo.

No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).

Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo.

Observe o exemplo: Observe o triângulo equilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área.

Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:

42 = h2 + 22

16 = h2 + 4 16 – 4 = h2 12 = h2 h = √12 h = 2√3 cm Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da

base e da altura. 2

A = 4 . 2√3 2

A = 2 . 2√3 A = 4 √3 cm2

Exercícios

1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então : a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m < 4 2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então

podemos afirmar que : a) r é um número natural b) r = - 3 c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0 d) r é um número inteiro menor do que - 3. e) não existe r nestas condições. 3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de

k2 é: a) 200 b) 196 c) 144 d) 36 e) 0 4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os

pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:

a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4) d) (0,5) e) (0, 3)

5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:

a) 25 b) 32 c) 34 d) 44 e) 16 6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0. 7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à

equação sen(x – y) = 0 constituem: a) uma reta b) uma senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores 8. A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas

cartesianas: a) uma hipérbole b) uma elipse c) uma circunferência d) uma parábola e) duas retas

9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura.

Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x.

a) 15º

b) 20º

c)30º

d)40º

e)45º

10. Na figura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente.

Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD:

Respostas

1) Resposta “C”. Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então a sua

abscissa é nula. Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a

alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22). 2) Resposta “C”. Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem abscissa e

ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma

vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 , ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação. 3) Resposta “B”. Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta é a letra B. 4) Resposta “D”. Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir

que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,

considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = (0 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 + (y - 3)2

AC2 = (0 - (-4))2 + (y - 1)2 = 16 + (y - 1)2

BC2 = (2 - (-4))2 + (3 - 1)2 = 40 Substituindo, vem: 4 + (y - 3)2 + 16 + (y - 1)2 = 40 \ (y - 3)2 + (y - 1)2 = 40 - 4 -

16 = 20 Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y -

5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo.

Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

5) Resposta “C”. Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao

segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M(3, 5).

Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

6) Solução: t: 2x-9y-5=0 p(k,9) 2k 9.9-5=0 t: 2k -81 -5 = 0 t: 2k-86 = 0 2k = 86 k = 86/2 k = 43. 7) Resposta “D”. Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p ,

4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo: sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp. Daí, vem: y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z. Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de

mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja: ................................................................... k = - 1 reta: y = x + p

k = 0 reta: y = x k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente. ................................................................... Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas). 8) Resposta “E”. Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever: (x – y)(x + y) + (x + y) = 0; Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2

Fatorando, fica: (x + y) (x – y + 1) = 0 Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente: x + y = 0 ou x – y + 1 = 0; Logo, y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à

alternativa E. 9) Resposta “E”. Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da figura dobrada,

Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o quadrilátero ABCD. Trace a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a 45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°. Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos internos, portanto tem a mesma medida.

Portanto, a resposta é letra “e”. 10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por

2 = 20,5 É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7 Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′

Ângulos

Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º.

Ângulo Central: - Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos

lados passam por vértices consecutivos do polígono.

Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência

e os lados são tangentes à ela.

Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e

seus lados são secantes a ela.

Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.

Ângulo Raso: - É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semi-retas opostas.

Ângulo Reto:

- É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendiculares.

Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma

das suas medidas é 900.

Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida.

Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se

os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma

das suas medidas é 3600.

Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma

das suas medidas de dois ângulos é 180º.

Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando ângulos.

Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes

iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.

Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais,

cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau.

Exercícios

1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â,

nos seguintes casos: a)

b)

c)

2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?

3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:

a)

b)

c)

d)

4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:

a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado? 5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é

igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor. 6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento

mede 38 graus. Qual é esse angulo? 7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco

ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.

8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade

do ângulo z. Calcule y.

9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.

10. Determine o valor de a na figura seguinte:

Respostas

1) Resposta a) 55˚ b) 74˚ c) 33˚ 2) Resposta “130”. Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha

paralela às retas "a" e "b". Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.

Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.

Logo, î = 80° + 50° = 130°. 3) Solução: a) 160° - 3x = x + 100° 160° - 100° = x + 3x 60° = 4x x = 60°/4 x = 15° Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 6x + 2x = 180° -15° - 5°

8x = 160° x = 160°/8 x = 20° Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° c) Sabemos que a figura tem 90°. Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°

4x + 50° = 90° 4x = 40° x = 40°/4 x = 10° d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são

exatamente a metade de um círculo.

Então, 138° + x = 180°

x = 180° - 138° x = 42° Logo, o ângulo x mede 42°. 4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°. Então, 6x + 4x + 2x = 180°

12x = 180° x = 180°/12 x = 15° Os ângulos são: 30° 60° e 90°. a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles

vale 360º. 5) Resposta “144˚”. Solução: - dois ângulos são complementares, então a + b = 90º - o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, substituímos na

primeira equação: 2b/3 + b = 90 5b/3 = 90 b = 3/5 * 90 b = 54 → a = 90 – 54 = 36º Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º. 6) Resposta “80˚”. Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu

[complemento] mede 38º. [a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38 a/2 – 90/5 + a/5 = 38 a/2 + a/5 = 38 + 90/5 7a/10 = 38 + 18 a = 10/7 * 56 a = 80º 7) Resposta “180˚”.

Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a,

b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 3, 4, 5 e 6:

a/2 = x → a = 2x

b/3 = x → b = 3x

c/4 = x → c = 4x

d/5 = x → d = 5x

e/6 = x → e = 6x

Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º

Agora a soma das retas: 20x

Então: 20x = 360º → x = 360°/20

x = 18°

Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.

8) Resposta “135˚”.

Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a

metade do ângulo z. Calcule y.

Então vale lembrar que:

x + y = 180 então y = 180 – x.

E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z

E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a

metade do ângulo z. Calcule y.

x = y/6 + z/2

Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z

Então:

x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:

6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x

6x – 2x = 180°

4x = 180°

x=180°/4

x=45º

Agora achar y, sabendo que y = 180° - x

y=180º - 45°

y=135°.

9) Resposta “11º; 159º”. Solução: 3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 3m - 12º = m + 10º 3m - m = 10º + 12º 2m = 22º

m = 22º/2 m = 11º m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a

180º. (m + 10º) + n = 180º

(11º + 10º) + n = 180º 21º + n = 180º n = 180º - 21º n = 159º Resposta: m = 11º e n = 159º. 10) Resposta “45˚”. É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.

Triângulos

Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. Vértices: A,B,C. 2. Lados: AB,BC e AC. 3. Ângulos internos: a, b e c.

Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a

encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

BM é uma mediana.

Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O

ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.

Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo

prolongamento do lado adjacente (ao lado).

Classificação dos triângulos quanto ao número de lados

Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA)

Triângulo Isóscele: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) =

m(CA)

Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as

medidas dos ângulos são menores do que 90º.

Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.

Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Medidas dos Ângulos de um Triângulo

Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar

com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180

graus, isto é: a + b + c = 180º Exemplo Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x =

180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.

Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.

Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos

internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C = a+b

Exemplo No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º.

Congruência de Triângulos

A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm

a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a

notação: ABC ~ DEF Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência entre os lados,

tal que: AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T

Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são

ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.

Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecerem três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo,

indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.

Casos de Congruência de Triângulos

LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos. Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados

congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.

LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os

ângulos formados por eles também são congruentes.

ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos

adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.

LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e

um ângulo oposto ao lado. Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo

adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente.

Semelhança de Triângulos

A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S. Exemplo As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os

triângulos:

os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem

lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.

Realmente: AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2 BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2 AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2 Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado

razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.

Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.

Casos de Semelhança de Triângulos

Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos

correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Se A~D e C~F então: ABC~DEF

Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2 Então ABC ~ EFG Exemplo Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o

outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.

Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados

correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Exercícios

1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

2. Determine os valores literais indicados na figura:

3. Determine os valores literais indicados na figura:

4. Determine os valores literais indicados na figura:

5. Determine os valores literais indicados na figura:

6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.

7. Determine x nas figuras.

8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo

que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.

Respostas

1) Solução: a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 2) Solução: 13² = 12² + x² 169 = 144 + x² x² = 25 x = 5 5.12 = 13.y y = 60/13

3) Solução:

4) Solução:

5) Solução:

6) Solução:

7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.

8) Solução:

9) Solução:

10) Solução:

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade

de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema observando um mosaico como o da ilustração a seguir

Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:

Triângulo ABC

Triângulo A`B`C`

Triângulo A``B``C``

Área do quadrado construído sobre a

hipotenusa

4 8 16

Área do quadrado construído sobre um

cateto

2 4 8

Área do quadrado construído sobre o

outro cateto

2 4 9

Como 4 = 2 + 2,8 = 4 + 4,16 = 8 + 8, Pitágoras observou que: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas

dos quadrados construídos sobre os catetos.

A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o triângulo retângulo isósceles.

Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos retângulos.

Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e

construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as seguintes figuras:

= 1 unidade de comprimento = 1 unidade de área 25 = 16 + 9 ou 52 = 42 + 32

Nessas condições, confirma-se a relação: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos.

Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas da matemática.

Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados da medida dos catetos.

Demonstrando o teorema de Pitágoras Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras.

Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas planas.

Consideremos o triângulo retângulo da figura.

a = medida da hipotenusa b = medida de um cateto c = medida do outro cateto Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois

o lado de cada quadrado mede (b+c).

- Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo RNS) . 4

- Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado GHJK + (área do retângulo DIJH).2

- Área do quadrado RSVT = a2

- Área do triângulo RNS=2

.cb

- Área do quadrado IELJ=c2 - Área do quadrado GHJK=b2 - Área do retângulo DIJK=b.c Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever:

a2+ .2

bc42=c2+b2 + (bc) . 2

a2 + 2bc = c2 + b2 + 2bc Cancelando 2bc, temos:

a2=b2+c2

A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante.

Pense & Descubra

Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a figura. Calcule, em metros, o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1.

De acordo com os dados do problema, temos b = 96 m e c = 180 m.

Aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 41616

a2 = (96)2 + (180)2 a = 41616 a2 = 9216 + 32400 a = 204 Então, a frente do terreno para a rua 1 tem 204 m de comprimento.

Teorema de Pitágoras no quadrado Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação

importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado.

d= medida da diagonal l= medida do lado Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:

d2=l2+l2 d= 22l

d2=2 l2

Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação

importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo equilátero.

l= medida do lado h= medida da altura No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto

médio do lado BC .

d=l 2

No triângulo retângulo AHC, ^

H é ângulo reto. De acordo com o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

l2=h2+

2

2

l h2=l2-

4

2l h2=

4

3 2l h=

4

3 2l

Exercícios

1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:

a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8. 2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos: a)

b)

3. A figura representa um barco à vela.

Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y. 4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:

h=2

3l

A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do balance?

5. Qual era a altura do poste?

6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

7. Calcule a área da seguinte figura.

8. Calcule a área da seguinte figura.

9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a

seguir.

10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

Respostas

1) Solução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

a)

b)

2) Solução: a)

b)

3) Solução:

4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado

forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão. Então vem: 1,8 m = 180 cm

Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m. 5) Solução:

h = 4 + 5 = 9 Logo, a altura do poste era de 9 m. 6) Solução:

Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.

7) Solução:

8) Solução:

9) Solução: x² = 9² + 12² x² = 81 + 144 x² = 225 √x² = √225 x = 15 10) Solução: x² + 20² = 25² x² + 400 = 625 x² = 625 – 400 x² = 225 √x² = √225 x = 15

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de

triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas propriedades.

A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de

medida 90º ou 2

rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo

retângulo.

Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado, dizemos que:

000 9018090

Com isso, podemos concluir: - Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas

medidas somam 90º; - Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º. Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e

dois agudos, complementares entre si. De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do

triângulo retângulo e em a sua hipotenusa. Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo

reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo”.

Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o teorema seria expresso como segue:

a2 = b2 + c2

Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo

A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico, classificação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema.

De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento)

satisfazem a sentença 52 = 32 + 42. Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as

relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão comparados adiante.

Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir:

Seno do ângulo = hipotenusa

ânguloaoopostocateto

Co-seno do ângulo = hipotenusa

ânguloaoadjacentecateto

Tangente do ângulo = ânguloaoadjacentecateto

ânguloaoopostocateto

A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:

sen α = 5

3= 0,6

cos α = 5

4= 0,8

tg α = 4

3= 0,75

Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da

Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são semelhantes.

Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras.

Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o

triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.

Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos

internos do triângulo recém-construído.

Lançando Mao das medidas dos novos lados 1111 , CAeBCBA

(respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:

sen α = 10

8= 0,6

cos α = 10

8= 0,8

tg α = 8

6= 0,75

Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não

importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações definidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos.

Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.

Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-

tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:

cot do ângulo = ânguloaoopostocateto

ânguloaoadjacentecateto

sec do ângulo = ânguloaoadjacentecateto

hipotenusa

cosec do ângulo = ânguloaoopostocateto

hipotenusa

Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de

comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,

cotg α = 3

4

sec α = 4

5

cosec α = 3

5

Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são

complementares.

o90

Sabemos ainda que:

sen α = a

b

sen β =

a

c

cos α = a

c

cos β =

a

b

tg α = c

b

tg β =

b

c

cotg α = b

c

cotg β =

c

b

Verifica-se facilmente que:

sen α = cos β; cos α = sen β;

tg α = cotg β; cotg α = tg β. Exemplo Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm.

Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.

Resolução Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da

hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que: a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169

Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos

ângulos da Figura, os seguintes valores:

13

5sen

13

12cos

12

5tg

13

12sen

13

5cos

5

12tg

Ângulos Notáveis

Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis

Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais e encontrados facilmente em situações cotidianas.

Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45o-; uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60o; facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.

Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.

Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado

divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equilátero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.

Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado

(identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triângulo equilátero (figura 5). Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos,

podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles. Para o meio-quadrado, temos que: D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2

2ad

Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:

l2=2

3

4

3

42

1 22

2222

2l

hl

hl

lhh

Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem

catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o outro triângulo sombreado,

teremos catetos e medidas 2

3

2

1 le , enquanto sua hipotenusa tem

comprimento l. Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de

30om 45o e 60o. Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o. Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhecendo as

medidas de seus lados, temos:

sen 30o= 2

11.

2

12 ll

l

cos 30o=2

32

3

l

l

l

h

tg 30o=3

3

3

3.

3

1

3

2.

2

2

3

22

l

l

l

l

h

l

sen 60o=2

3

1

2

3

l

l

h

cos 60o=2

11.

2

2 l

l

l

l

tg 60o= 31

2.

2

3

2

2

3

2

l

l

l

h

Seno, Co-seno e Tangente de 45o

A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a 2 , podemos calcular:

sen 45o=2

2

2

2.

2

1

2

a

a

d

a

cos 45o= 2

2

2

2.

2

1

2

a

a

d

a

145 a

atg o

Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de

valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil.

30o 45o 60o

sen

2

1

2

2

2

3

cos

2

3

2

2

2

1

tg

3

3

1 3

Identidades Trigonométricas É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um

ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.

Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma identidade.

Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem as condições de existência de expressão.

Por exemplo, a igualdade x

x

xx

2

422 2 é uma identidade em x, pois é

verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou inexistente).

Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já

estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A, retângulo em A.

Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte igualdade:

b2 + c2 = a2

Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim, teremos:

1

22

2

2

2

2

2

2

a

c

a

b

a

a

a

c

a

b

Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao

nosso triângulo, que: sen2α + cos2α = 1 e cos2β + sen2 β = 1 Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de

um ângulo x é igual à unidade, ou seja: Sen2x + cos2x = 1 Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações

co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)

Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo.

Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que:

co-razão x = razão (90o –x) Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na figura

A, que: sen α=cos β sen β=cos α tg α=cotg β tg β=cotg α sec α=cossec β sec β=cossec α Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do

triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:

tg

c

b

c

a

a

b

a

ca

b

sen .

cos

De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β.

Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0,

x

xsenxtg

cos

Podemos observar, também, que a razão c

b, que representa tg α, se

invertida (passando a b

c), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e

aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo:

cotg x = xsen

x

xtg

cos1

Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno,

secante e co-secante. Vejamos que:

b

aec

b

asen

cos

e

c

a

a

c

sec

cos

Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β. Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,

sec x = xcox

1

cosec x = xsen

1

Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos

membros dessas identidades não serem nulos.

Exercícios

1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.

2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro.

Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.

3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as

medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.

4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, b = 10 e B = 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.

5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e

o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.

6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo

interno desse triângulo vale: a) 11 / 24 b) - 11 / 24 c) 3 / 8 d) - 3 / 8 e) - 3 / 10 7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar

que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:

a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. 9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado

da tangente vale 2.

Respostas

1) Solução:

2) Solução:

3) Solução:

4) Solução:

Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 = 2R . sen(30) e desse

modo R = 10 . Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º,

calcularemos o ângulo A.

Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10 . sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = /2

Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º. Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e

temos duas possibilidades: 1. A = 45º e C = 105º 2. A = 135º e C = 15º. 5) Solução:

No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58º

A lei dos cossenos:

b² = a² + c² - 2ac cos(B)

garante que:

b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)

Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.

6) Resposta “B”. Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior

ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:

62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.

Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de

um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.

7) Resposta “E”. Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem: A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y Organizando convenientemente a expressão, vem: A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º \ y = 90º -

x. Substituindo, vem: A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x) Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de

um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.

Logo, substituindo, fica: A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx

A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E.

8) Solução: Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:

Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x

= 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:

(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3. 9. Solução: Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2. Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. 10) Solução: Seja x o arco. Teremos: tg2x = 2 Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do

arco. Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3 Como sabemos que: secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem: sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1 Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é

igual à unidade. Resposta: 1

Quadrilátero

Quadriláteros e a sua classificação Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros

são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.

No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: - Os vértices são os pontos: A, B, C e D. - Os ângulos internos são A, B, C e D. - Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.

Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer,

obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.

Classificação dos Quadriláteros Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num

paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:

- Losango: 4 lados congruentes - Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) - Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.

Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).

- AB é paralelo a CD - BC é não é paralelo a AD - AB é a base maior - DC é a base menor

Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm

características semelhantes. Um trapézio pode ser: - Retângulo: dois ângulos retos - Isósceles: lados não paralelos congruentes - Escaleno: lados não paralelos diferentes

Exercícios

1. Determine a medida dos ângulos indicados: a)

b)

c)

2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17°; x +

37°; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.

3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.

4. A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida

da diagonal , da diagonal e o perímetro do triângulo BMC.

5. No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:

6. Determine as medidas dos ângulos do trapézio da figura abaixo:

7. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.

8. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.

9. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura

respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?

10. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?

Respostas

1) Solução: a) x + 105° + 98º + 87º = 360º x + 290° = 360° x = 360° - 290° x = 70º b) x + 80° + 82° = 180° x + 162° = 180° x = 180º - 162º x = 18° 18º + 90º + y + 90º = 360° y + 198° = 360° y = 360º - 198° y = 162º c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º (3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 10a = 720º a = 720° / 10 a = 72° 72° + b + 90° = 180° b + 162° = 180° b = 180° - 162°

b = 18°. 2) Solução: x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360° 4x + 112° = 360° 4x = 360° - 112° x = 248° / 4 x = 62° Então, os ângulos são: x + 17° = 79° x + 37° = 99° x + 45° = 107º x + 13° = 75°. 3) Solução: 9y + 16° = 7y + 40° 9y = 7y + 40° - 16° 9y = 7y + 24° 9y - 7y = 24° 2y = 24° y = 24º /2 y = 12° Então: x + (7 * 12° + 40°) = 180° x = 180º - 124° x = 56° 4) Solução: x = 15 y = 20

= 20 + 20 = 40

= 15 + 15 = 30 BMC = 15 + 20 + 25 = 60. 5) Solução: 12 x + 2° + 5 x + 3° = 90° 17 x + 5° = 90° 17 x = 90° - 5° 17 x = 85° x = 85° / 17° = 5° y = 5x + 3° y = 5 (5°) + 3° y = 28° 6) Solução: x + 27° + 90° = 180° x + 117° = 180° x = 180° - 117°

x = 63° y + 34° + 90° = 180° y + 124° = 180° y = 180° - 124° y = 56° As medidas dos ângulos são: 63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124°. 7) Solução: c = 117° a + 117° = 180° a = 180° - 117° a = 63° b = 63° 8) Solução:

x + y = 11 x - y = 5 __________

2x + 0 = 16 2x = 16/2 x = 8 x + y = 11 8 + y = 11 y = 11 – 8 y = 3 9) Solução: A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1 10) Solução: Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.

Polígonos

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-

colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal fechada simples

Linha poligonal fechada não-simples

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que

se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos:

, , , , , . - Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.

- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: ,

, , ,

- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , ,

, , . - Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do

lado a ele consecutivo: , , , , .

Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Nome Número de lados

Nome Número de lados

triângulo 3 quadrilátero 4

pentágono 5 hexágono 6

heptágono 7 octógono 8

eneágono 9 decágono 10

hendecágono 11 dodecágono 12

tridecágono 13 tetradecágono 14

pentadecágono 15 hexadecágono 16

heptadecágono 17 octodecágono 18

eneadecágono 19 icoságono 20

triacontágono 30 tetracontágono 40

pentacontágono 50 hexacontágono 60

heptacontágono 70 octacontágono 80

eneacontágono 90 hectágono 100

quilógono 1000 googólgono 10100

Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira

simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.

Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.

Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.

Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.

Alguns polígonos regulares: - triângulo equilátero - quadrado - pentágono regular - hexágono regular Propriedades dos polígonos

De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).

O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono.

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é

dada por . A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é

igual a . Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por

diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2. A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada

por .

A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada

por . A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados

(Sc) é igual a 360º. A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada

por . Outros polígonos

Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:

Estrelado

Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser: Falso: Pela sobreposição de Polígonos Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples Entrecruzado

Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono. Entrelaçado

Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam

Esboço dos Polígonos citados acima

Ângulos de um Polígono Regular

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.

Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) =

Exemplos Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos

internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720° Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60° O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°. Para um polígono convexo qualquer de n lados:

Soma dos ângulos Internos SÎ = (n-2) . 180º Soma dos ângulos Externos Sê = 360º Número de Diagonais d= n(n-3) / 2 Polígonos regulares São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos

congruentes. Î = (n-2).180º /n ê=360º/n Î + ê =180º

Exercícios

1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono? 2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º? 3. Ache o valor de x na figura:

4. Um quadrilátero possui: a) Quantos vértices? b) Quantos Lados? c) Quantos lados internos e externos?

5. De o nome do polígono que possui: a) 8 lados b) 5 vértices 6. De o nome do polígono que possui: a) 3 ângulos externos b) 22 ângulos internos 7. Qual o número mínimo de lados de um polígono? 8. Determine o número de diagonais do octógono. 9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do

número de lados. 10. Quantos ângulos internos possui um decágono?

Respostas

1) Solução: n = 12

2) Solução:

3) Solução: A soma dos ângulos internos do pentágono é:

4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados.

Portanto: a) 4 vértices b) 4 lados c) 4 ângulos internos e externos. 5) Solução: a) Octógono b) Pentágono 6) Solução: a) Triângulo b) Polígono de 22 lados. 7) Solução: 3 lados. 8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8

9) Solução: n número de lados: n

n de diagonais: d =

Pelo dado do problema: d = 2n

Logo, o polígono é o heptágono. 10) Solução: 10 ângulos

Circunferência, Círculo e seus Elementos Respectivos

Equações da circunferência Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de

um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,

a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e

permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)),

a equação da circunferência será x2 + y2 = r2. Equação Geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da

circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de

centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de

fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: - Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; - Não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação

geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo

independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos

nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto

P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência

b) P pertence à circunferência

c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y - b)2 - r2:

- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x -

a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma

circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :

(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

Assim:

Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à

circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela

por P

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

A Importância da Circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos

de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do

círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos

localizados fora do círculo.

Raio, Corda e Diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta

intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas, mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.

- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.

Propriedades das secantes e tangentes

Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O,

intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.

Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O,

intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.

Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro

e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de

tangência.

Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta

reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma

circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o

mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo

plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros

estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos

distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à

circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.

Polígonos circunscritos

Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é

circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de

circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios

congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo

vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não

são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são

extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora

do ângulo central cujos lados contêm os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior, mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de

um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que: - A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a

m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).

- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos. - Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos

que possuem medidas iguais são arcos congruentes. - Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são

extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).

- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior:

m(DE)+m(EF)=m(DEF).

- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

Propriedades de arcos e corda

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois

pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.

- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).

- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).

- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).

Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é

um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.

 + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus  + Ê + Î + Ô = 360 graus

Ângulos inscritos

Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na

circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB)

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.

Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um

ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.

Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o

lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam

por A e B e têm vértices em V1, V2, V3,..., são todos congruentes (a mesma medida).

Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

Exercícios

1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular a razão

entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a equação da circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e B(6,3).

2. Dada o equação reduzida de uma circunferência (x ? 1)2 + (y + 4)2 = 9,

dizer qual a origem e o raio da circunferência: 3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 = 0, observar

posição relativa dos seguintes pontos a) P(2, 1) b) Q(5, 1) 4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 = 0 e a

circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5 5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que

sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0. 6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por uma de

suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da corda, sabendo que o raio da circunferência é 50 cm.

7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um número x real, qual é a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto?

8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se

representar os números e -12? 9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de

um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1 hora?

10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros

do relógio às 15h 15min.

Respostas

1) Solução: Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre

eles é o centro da circunferência. Encontrando então o centro temos h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). A distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio.

Logo, R = dCB = = = = .

Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 + 12 – 2 = 0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.

2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica

reduzida de uma circunferência: x0 = 1 y0 = -4 r2 = 9 → r = 3 Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3. 3) Solução: a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0 P é interno à circunferência b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0 Q Percente à circunferência. 4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y

da reta e jogando na equação da circunferência teremos: y = 2 ? 2x x2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0 x2 + 2x +1 =0 Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o

que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência. 5) Solução: Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja como de fato

está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo paralelas a s, manterão o coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 , bastando, então, encontrar os valores de c:

As tangentes distam r = 3 do centro (0,0): dC,t = |c|/05 = 3 c =± 305 Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.

6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circunferencia tem que usar

essa formua C=2.π.r Sendo π (pi) = 3,14 r = Raio C=2×3,14×50 C=6,28×50 C=31,4. 7) Solução: Dado um número real x, fica determinado um ponto P da

circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que

difira do número x, por um número inteiro de vezes , irá corresponder a esse mesmo ponto P.

Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse

mesmo ponto é .

8) Solução: Dado o número real , temos:

Portanto, para representá-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um

doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido anti-horário.

Por outro lado, dado o número real -12, temos: , ou seja, será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido horário, já que o número dado é negativo.

9) Solução: Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5

cm. Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no

relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.

Assim, o comprimento desse arco é cm. 10) Solução: Sabemos que, a cada hora, o ponteiro das horas se desloca

30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30'.

Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos. Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30', às 15h e 15min.

Volumes de Sólidos Geométricos

Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura:

a) A figura representa a planificação de um prisma reto; b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela

altura do sólido, isto é

c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas; d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o

volume de um prisma reto. Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da

mesma forma que as acima apresentadas: Figuras Geométricas:

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas),

fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone - Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva,

inclusive a própria curva. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o

segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do

cone e a outra na curva que envolve a base. - Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. - Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os

segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

- Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

- Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela

rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos 2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um

plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2

4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat = Pi R g

5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

ATotal = Pi R g + Pi R2

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por: ABase=Pi R2 Pelo Teorema de Pitágoras temos: (2R)2 = h2 + R2

h2 = 4R2 - R2 = 3R2 Assim:

h = R Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela

altura, então:

V = (1/3) Pi R3 Como a área lateral pode ser obtida por: ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2 então a área total será dada por: ATotal = 3 Pi R2

O conceito de esfera A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas

aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na

origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em

tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas

para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão

localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 } Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por: S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 } Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina

que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se

houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão

localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:

x² + y² + z² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém

a casca reunido com o interior, isto é: x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo

ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por: (x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém

a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R² Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser

construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas

superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o

conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R2 sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de

coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com

uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Objeto Relações e fórmulas

Esfera Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R²

Calota esférica (altura h, raio da base r)

R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6

Segmento esférico (altura h, raios das bases r1>r²)

R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R² A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o

nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)² Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio

R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em

coordenadas polares através de: 0<m<R, 0<t<2Pi A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é

dada por:

ou seja

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

ou seja:

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Após alguns cálculos obtemos: VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região

esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que

o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

VC(d) = Pi d²(3R-d)/3 e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever ov

olume da calota vazia em função de h: VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3 Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar

o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter: V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3 que pode ser simplificada para: V(h) = Pi h²(3R-h)/3 Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R]

ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Poliedro Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As

regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados

quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais

regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Áreas e Volumes

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto

As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. As faces laterais são retangulares.

Poliedro regular Área Volume

Tetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2]

Hexaedro 6 a2 a³

Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2]

Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])

Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])

Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Prisma oblíquo

As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. As faces laterais não são retangulares.

Bases: regiões poligonais congruentes

Altura: distância entre as bases

Arestas laterais paralelas: mesmas medidas

Faces laterais: paralelogramos

Prisma reto Aspectos

comuns Prisma oblíquo

Seções de um prisma Seção transversal É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo

às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal) É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavaliere Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a

mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo

equilátero.

Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano.

Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases.

A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Volume de um prisma O volume de um prisma é dado por: Vprisma = Abase . h Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal

regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

Cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos

também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P.

Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro"

Num cilindro, podemos identificar vários elementos: - Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num

cilindro existem duas bases. - Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". - Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos

que contêm as bases do "cilindro". - Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não

estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

- Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

- Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. - Área total É a medida da superfície total do cilindro. - Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela

interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificação dos cilindros circulares

Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.

Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

Cilindro eqüilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um "cilindro" Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = Abase × h Se a base é um círculo de raio r, então:

V = r2 h

Áreas lateral e total de um cilindro circular reto

Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:

Alat = 2 r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Atot = Alat + 2 Abase

Atot = 2 r h + 2 r2

Atot = 2 r(h+r)

Exercícios

1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a área total.

2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm.

Calcular a área lateral, área total e o seu volume. 3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma

quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata

cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

Respostas

1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:

Alat = 2 r. 2r = 4 r2

Atot = Alat + 2 Abase

Atot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2

V = Abase h = r2. 2r = 2 r3

2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2

Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 =

20 cm2

Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12

cm33

3) Solução: hprisma = 12 Abase do prisma = Abase do cone = A Vprisma = 2 Vcone

A hprisma = 2(A h)/3 12 = 2.h/3 h =18 cm 4) Solução: V = Vcilindro - Vcone

V = Abase h - (1/3) Abase h V = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 h V = (2/3) Pi R2 h cm3