resumo para exame nacional

8/3/2019 Resumo Para Exame Nacional

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Resumo para o Exame Nacional de Matemática

Probabilidades

(provavelmente 2 questões no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Características gerais

- Ω = Conjunto de resultado ou espaço de resultados ou espaço amostral

- O acontecimento contrário de A representa-se por A

- Se ∅=∩ B A , então A e B dizem-se incompatíveis

P(A∩B)=0

- Se ∅= B A mas Ω= B A , então A e B dizem-se contrários

P(A∩B)=0 e P(A∪B)=1

- 1)(0 ≤≤ A p

- ( ) 1p =Ω- ∅=⇔= A A p 0)(

- Ω=⇔= A A p 1)(

- )(1)( A p A p −=

- )()()()( B A p B p A p B A p −+=

- )()()()( B A p B p A p B A p −+= )BA(p)A(p)BA(p ∩−=

- Se ( ) 0BAP = (incompatíveis), então )()()( B p A p B A p +=

- ( ) ( ) ( )BABABABA ∩∪∩∪∩=∪

- A\B = BA ∩

- Leis de Morgan: ( ) BABA ∩=∪ ( ) BABA ∪=∩

• Conceito frequencista de probabilidade

Lei dos Grandes Números:

Quando o nº de repetições da experiência é muito elevado,

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A∩B

AB

A∩BA ∩B

A ∩B




p(A) = frequência relativa da realização do acontecimento A

• Lei de Laplace

possíveiscasosºn

favoráveiscasosºn

)A(p =

• Probabilidade condicionada

)(

)()|(

B p

B A p B A p

= Probabilidade de A dado B

• Acontecimentos independentes

A e B são acontecimentos independentes sse )().()( B p A p B A p = logo )()|( A p B A p =

• Nos problemas de contagem

Os elementos repetem-se e interessa a ordemArranjos com repetição potências:

p

p

n nA =′

Os elementos não se repetem e interessa a ordem Arranjos sem repetição: ( )!pn

!nA p

n

−=

Caso particular de arranjos sem repetição(n=p): Permutações = !nPn =

Os elementos não se repetem e não interessa a ordem Combinações: ( )!pn!p

!nCp

n

−=

Algumas considerações: 0!=1; n=nº total de elementos; p=nº elementos que formam o grupo

• Triângulo de Pascal

oC

0

linha 0Propriedades:

- Cada linha começa e termina como

C 1

1

1C linha 1

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o algarismo 1: 1C...1C ii

0i ==

- A linha de ordem n tem n+1

elementos

- A soma de todos os elementos de

cada linha é dada por n

0

2C

1

2C

2

2C

0

3C

1

3C

2

3C 3

3C

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

• Binómio de Newton

1 1)(0 =+ba

1 1 baba +=+ 1)(

1 2 1222

2)( bababa ++=+

1 3 3 132233 33)( babbaaba +++=+

1 4 6 4 14322344

464)( babbabaaba ++++=+

Generalizando: ∑=

−=+n

k

k k nk

nn baC ba0

)( Fórmula do binómio de Newton

- Existem n + 1 parcelas/termos

- Termo geral do desenvolvimento do binómio: p pn

p

n

pbaC T −

+=

1 → termo de

ordem p+1

- A soma dos expoentes de a e de b em cada termo é igual a n

- Soma dos coeficientes: n2S= ∑=

=n

0k

k

nnC2

- 1º termo : T1 (p=0)

• Distribuição de probabilidades

Variável aleatória X =x1, x2, …, xk

xi x1 x2 … xk

P[X=xi] p1 p2 … pk

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Funções

• Regras:

Regras das potências: ∀a>0, b>0, x∈IR, y∈IR

xa >0

1a0 = 11x =yxyx a.aa =+

( ) xyyx aa =( ) xxx b.aab =

y

xyx

a

aa =−

x

x

a

1

a

1=

x

x

a

1a =−

yax= ⇔ ylogx a=

Regras operatórias dos logaritmos:

( ) xalog x

a =

( ) xa xloga =

( ) ( ) ( )ylogxlogxylog aaa +=

y

xlog

a = ( ) ( )ylogxlog aa −

xlogx

1log aa −=

( )pa xlog =p. ( )xloga

( )( )

( )alog

xlogxlog

b

ba = ⇔ ( ) ( ) ( )alog.xlogxlog bab =

yxloga =

⇔ xa

y

=

• Limite de uma função segundo Heine:

Se axn → então ( ) bxf n = . Deste modo, ( ) bxf limylim nn == .

• Indeterminações:

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Certas indeterminações só podem ser levantadas utilizando os limites notáveis

∞−∞ Levanta-se calculando o limite do termo de maior grau

+∞==−+∞→+∞→

)(lim)(lim22

x x x x x

( )( )

( )+

+∞→+∞→+∞→ =∞+=∞+∞+=++

−+

=++

++−+

=−+ 0

11

1

1

lim1

11

lim1lim x x

x x

x x

x x x x

) x x( x x x

∞

∞

Levanta-se escolhendo o termo de maior grau do numerador e do denominador

3

2

3

2lim

233

32lim

5

5

5

25

−=−

=++

+−+∞→+∞→ x

x

x x

x x

x x

0

0 Levanta-se factorizando o numerador e o denominador

2

3

11

111

1

1lim

1

1lim

2

12

3

1=

−−−−−

=−−−−−

=−−

→→ x

x x

x

x

x x

Regra de Ruffini:-1 0 0 1 -1 0 1

1 -1 -1 -1 1 -1 -1

-1 -1 -1 0 = Resto -1 -1 0 = Resto

• Limites notáveis:

♣ +∞=+∞→ p

x

x x

alim ♣ +∞=

+∞→ p

x

x x

elim ♣ 0

e

xlim

x

p

x=

+∞→

♣x

1elim

x

0x

−→

= 1 ♣ 1ax

1elim

ax

0x=

−→

♣ 0ax

1elim

ax

x=

−−∞→

♣ +∞=+∞→ xln

xlimx

(p> 0) ♣ 0x

xlnlimx

=+∞→

♣ +∞=+∞→ xlog

xlim

a

p

x(p> 1)

♣ ( )

1x

1xlnlim

0x=

+→

♣ ( )

11x

xlnlim

1x=

−→♣ ( ) 0xln.xlim

0x=

+→

Atenção: ex

11lim

x=

+

+∞→

• Continuidade

f é contínua em a sse ( )af )x(f lim)x(f limaxax

==−+

→→

• Teorema de Bolzano:

Toda a função contínua num intervalo não passa de um valor a outro sem passar por

todos os valores intermédios:

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[ ]

( ) ( )] [ ] [ ( )kcf :b,ac

bf ,af k

b,ae mc o n t í n u aéf =∈∃⇒

∈• Corolário do Teorema de Bolzano:

Se f é contínua em [a, b] e f(a).f(b) < 0, então a função admite pelo menos um zero no

intervalo ]a, b[.

• Assímptotas

Assímptotas horizontais Para verificar a existência de assímptotas horizontais, calcula-se o

limite da função quando x tende para infinito:

)(lim x f x +∞→

se tender para um número real k , então a recta de equação k y = é A.H. do

gráfico da função f

)(lim x f x −∞→

se tender para um número real k , então a recta de equação k y = é A.H. do

gráfico da função f

Assímptotas verticais Para verificar a existência de assímptotas verticais, calculam-se os

limites laterais da função quando x tende para pontos de exclusão do domínio ou nos pontos

de alteração de uma função definida por ramos. Sendo a ponto nessa condição:

)(lim x f a x −→

ou

)(lim x f a x +→

se tender para ∞+ ou ∞− , então a recta de equação a x = é

A.V. do gráfico da função f

Assímptotas oblíquas bmx y += é A.O. de f sse:

[ ] 0)()(lim =+−±∞→

bmx x f x

com x

x f m

x

)(lim±∞→

= e [ ]mx x f b x

−=±∞→

)(lim

• Derivadas

Taxa de Variação Média: [ ]

( ) ( )

ab

af bf TVM b,a −

−= [ ]

( ) ( )

h

af haf TVM ha,a

−+=+

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Taxa de Variação Instantânea ou Derivada: ( )( ) ( ) ( ) ( )

ax

af xf lim

h

af haf lima'f

ax0h −−

=−+

=→→

Equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x0: y = mx + b onde m=f’(x0)

Regras de derivação:

0k ' = 1x' = ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxf xgxf ''' +=+

( )[ ] ( )xkf xkf '' = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xg.xf xg.xf xg.xf ''' +=

( )[ ] ( ) ( )xf .xf .nxf '1n'n −= ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )xg

xg.xf xg.xf

xg

xf 2

'''−

=

( ) x'x ee =

( ) ( )kln.kk x'x = ( )( )x

1xln

' = ( )( )[ ]( )

( )xf

xf xf ln

'' =

( ) ( )aln.x

1

xlog

'

a =

( ) ucos.uusen '' = ( ) usen.uucos '' −=

( )ucos

uutg

2

''=

Extremo: f’(x)=0

Se no intervalo [a,b] f’(x) > 0 então f é estritamente crescente no intervalo [a,b]

Se no intervalo [a,b] f’(x) < 0 então f é estritamente decrescente no intervalo [a,b]

Ponto de inflexão: f’’(x)=0Se f’’(x)<0 ⇒ concavidade voltada para baixo

Se f’’(x)>0 ⇒ concavidade voltada para cima

Na calculadora: f’(a)=nDeriv( função , x , a)

Trigonometria

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(provavelmente 1 ou nenhuma questão no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Características gerais

1sin1 ≤≤− α β α β α β α sin.coscos.sin)sin( +=+

1cos1 ≤≤− α β α β α β α sin.coscos.sin)sin( −=−

R∈α tan α α α cos.sin2)2sin( =

β α β α β α sin.sincos.cos)cos( −=+β α β α β α

tan.tan1tantan)tan(

−+=+

β α β α β α sin.sincos.cos)cos( +=−β α

β α β α

tan.tan1

tantan)tan(

+

−=−

α−α=α 22sincos)2cos(

α

α α

2tan1

tan2)2tan(

−=

1sincos22 =+ α α ⇔

α=α+

2

2

cos

1tg1

α

α α

cos

sintan =

Período de uma função (T):

f(x) = sen (kx) k

2 T

π=

f(x) = cos (kx) k

2 T

π=

f(x) = tg (kx)k

Tπ

=

1x

xsenlim

0x

=→

1x

1xcoslim

0x=

−→

As regras de derivação de seno, coseno e tangente estão no formulário.

Complexos

(provavelmente 1 questão no primeiro grupo, 1 no segundo)

• Forma algébrica

bia z += Conjugado: bia z −= Simétrico: bia z −−=−

1i −= Re(z) = a Im(z) = b az −= ⇔ aiz −= ∨ aiz= 22

ba z += distância à origem ( ρ )

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)sin(cos. θ θ ρ θ ρ icis += Conversão de forma trigonométrica para algébrica

d bcadicbia =∧=⇔+=+ Igualdade de 2 números na forma algébrica

Adição: id bcadicbia )()()()( +++=+++

Subtracção: id bcadicbia )()()()( −+−=+−+

Multiplicação: ibcad bd acbdibciadiacdicbia )()())((2 ++−=+++=++

Divisão: Multiplicar ambos os termos da fracção pelo conjugado do denominador:

)dic)(dic(

)dic)(bia(

dic

bia

−+−+=

++

• Potências de base i

10 =i ii =11

2−=i ii −=

3

iii −==3123

(o resto da divisão inteira de 123 por 4 é 3)

• Forma trigonométrica

θ ρ cis z .= )(. θ ρ −= cis z )(. π θ ρ +=− cis z

Conversão de forma algébrica para trigonométrica: z = ρ ( ρ -módulo)

a

btg =θ ∧ ∈θ (1º, 2º, 3º ou 4º) Q ou Ox∈θ ou Oy∈θ (θ - argumento)

Igualdade de 2 números na forma trigonométrica:

Z k k ciscis ∈+=∧=⇔= ,2.. 21212211 π θ θ ρ ρ θ ρ θ ρ

Adição e subtracção impossíveis na forma trigonométrica

Multiplicação: ( )212121 ciszz θ+θρρ=

Divisão: ( )21

2

1

2

1 cisz

zθ−θ

ρρ

=

Simétrico: ( )θ+πρ=− cisz

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Inverso: ( )θ−ρ

= cis1

z

1

Potencia: ( )( )θρ= ncisz nn, n∈Z

Radical: n

k2ciscis nn

π+θρ=θρ , k ∈Z

• Domínios planos

Sendo 1 P a imagem geométrica do complexo 1 z :

θ =− )(Arg 1 z z Semi-recta de origem em 1 P e ângulo de desde 1 P

r z z =−1 Circunferência de centro em 1 P e raio r

21z z z z −=− Mediatriz do segmento de recta [ ]21 P P

k z =)Re( Recta vertical em k ( k x = )

k z =)Im( Recta horizontal em k ( k y = )

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