INTERFEROMETRIA HOLOGRÁFICA COM REGISTOELECTRÓNICO DE HOLOGRAMAS DE FRESNEL

Chousal, José A.G.’, Vaz, M1no A.P.2‘Assistente da FEUP

2Professor Auxiliar da FEUPDepartamento de Engenharia Mecânica e Gestío Industrial

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Neste trabalho é utilizado um detector de CCD pai-a registar hologramas de Fresnel. Areconstrução dos hologramas é efectuada numericamente recorrendo ao cálculo detransformadas de Fourier. São também obtidos padrões de inteiferência por correlação depares de hologramas. Dos padrões de inteiferência é calculada a deformada do objecto apartir da obtenção da distribuição espacial de fase.

1- INTRODUÇÃO

A Holografia é urna técnica óptica coma qual se pode gravar e reconstruir toda ainformação contida numa frente de onda.Para a gravação da distribuição espacial defase da frente de onda recorre-se à suainterferência com urna frente de ondacoerente da qual resultam variações deamplitude. Desta forma é possível utilizardetectores quadráticos para registar, quer aamplitude, quer a fase. A reconstruçãointegral da frente de onda gravada é obtidafazendo incidir no holograma a frente deonda utilizada como referência durante agravação. A frente de onda resultante é emtudo idêntica à original e resulta dadifracção da radiação incidente namicroestrutura do holograma.

Uma característica importante dosuporte a utilizar no registo holográfico é asua resolução a qual deverá ser suficiente

para gravar o padrão de intensidaderesultante da interferência entre ambas asfrentes de onda. A frequência espacial destepadrão, v, depende do ângulo 8 entreambas as direcções de propagação deacordo com a seguinte equação (Mehta,Rampal 1994):

2-sin(O/2)(1)

onde ?. representa o comprimento de ondada radiação luminosa. As emulsõesfotográficas são o suporte vulgarmenteutilizado na gravação de hologramas. Comurna resolução que pode alcançar as 5000linhas!mm, permitem obter registos comelevados valores de O, contudo, implicamuma revelação química húmida algomorosa (alguns minutos por holograma), oque torna o processo incompatível comalgumas aplicações.

RESUMO

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A substituição das emulsõesfotográficas pelos registos em video(Butters, Leendertz 1971), técnica cujasdesignações mais vulgares são ESPI(Electronic Speckle Pattern Intetferometty)ou TV-Holografia, permite obter 25/30(sitema Europeu/Americano) hologramaspor segundo sem envolver qualquerprocesso de revelação ou reposicionamentodo holograma. A menor resolução destesdetectores (raramente ultrapassando as 50linhas/mm), obriga a utilizar montagens

holográfias em linha em que o ângulo Oentre as direcções de propagação de ambasas frentes de onda é inferior a 1° (Leith,

Upatnieks 1963). Nesta técnica é necessárioum sistema óptico para formar a imagemdo padrão de speckle na superfície dosobjectos sobre a área fotossensível de umdetector CCD. A abertura deste sistemaóptico deverá ser ajustada por forma agarantir que o padrão de speckle éresolvido pelo fotodetector.

O trabalho publicado por Schnards eJüptner (1994) demonstrou que, dentro dedeterminados limites, é possível utilizardetectores CCD para gravar holograrnasfora do eixo, vulgarmente designados porhologramas de Fresnel. Nesta montagemóptica um detector video é utilizado pararegistar o padrão de interferência semrecorrer a qualquer lente formadora deimagem. A reconstrução da imagemgravada é efectuada numericamentecalculando a transformada de fourier bidimensional dos padrões de interferência.

Esta técnica é utilizada neste trabalho paraobter hologramas de Fresnel com ainclusão de alguns algoritmos deprocessamento de imagem com os quais émelhorada a qualidade final doshologramas.

2- CONFIGURAÇÃOEXPERIMENTAL

2.1 - Gravação do holograma

A montagem holográfica utilizada nestetrabalho é em tudo idêntica à montagem“fora do eixo” proposta por Leith eUpatnieks (1963). Na figura 1 estão

representados esquematicamente osprocessos de gravação e reconstrução deum holograma “fora do eixo” quando seutilizam emulsões fotográficas no registodos hologramas. A montagem ópticautilizada neste trabalho tem umaconfiguração identica à representada mascom a placa holográfica substituída por umfotodetector video. Neste caso foi utilizadoum detector CCD com 760Hx576V pixeis,tendo cada elemento uma dimensão

aproximada de 17x1 1 J.tm . A área da zonafotossensível é aproximadamente de8,8x6,6 mm.

Fig. 1 - Gravação e reconstrução de um hologramade fresnel.

Para garantir a completa resolução dopadrão de interferência pelo detector, umobjecto com um diâmetro de 28 mm foicolocado a uma distância d de 1200 mm.

Não foi utilizado nenhum sistema ópticoformador de imagem e foram registadoshologramas de objectos com superfícies

opacas difusas.Matematicamente, a distribuição de

amplitude e fase no plano da imagem realpode ser obtida recorrendo ao integral deFresnel-Kirchhoff (Hercht 1991). Destaforma, se uma frente de onda plana iluminaum holograma posicionado no plano z=0 epossuindo uma transmitância de amplitudet(x,y), do integral de Fresnel-Kirchhoff

resulta uma amplitude complexa F(,ii) no

plano da imagem real (Das 1991):

Gravação do Holograma

Feixe de referência

Holograma

-

.1...r:-.r_ __

Objectod1_

Iluminação

Reconstrução do Holograma

Feixe de reterênci — —

Imagem — — — — II - — - Imagem- -i_9 II -

virlu ai- —

— HoIogram —

-

d

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f( ‘i —

JJt(x,y) e’2+2)

edxdy (2)(x,y)

sendo a a amplitude da onda incidente. Estaequação é uma aproximação da fórmulaexacta e só será válida na condição de:

d3 »[(x)2 (_y)2]2

2.2 - Reconstrução da frente de ondagravada

Embora o processo de gravação sejaidêntico ao utilizado com as emulsõesfotográficas a reconstrução da imagemgravada é obtida de forma diferente. Natécnica em análise a obtenção da frente deonda registada resulta de urna reconstruçãonumérica efectuada no plano da imagemreal. O processo matemático envolvidoconsiste no cálculo da transformada deFourier bi-dimensional da amostragemdiscreta do padrão de interferênciaefectuado no plano do detector CCD. Aintensidade da imagem real é assim obtidaa partir da equação (2) calculando oquadrado do módulo da função amplitudecomplexa, isto é:

=

Por sua vez a função f(,r) pode serdicretizada amostrando o holograma detransmissão t(x,y) numa matriz NxMpontos. A representação discreta daequação (2) será obtida através daexpressão (Yaroslavskii, Merzlyakov1980):

•r12 2 7 ‘‘ ‘

— +s t\rFr,sj—e

M—1N—1 •,r 2 2 2 k 1+1 ) et2+j) (5)1=0 k=0

(4)

sendo T(r,s) a matriz de NxM pontos quedescreve a distribuição de amplitude e faseda imagem real. Neste caso foi utilizadoum sistema de processamento de imagemque amostrava digitalmente a imagemsegundo uma matriz de 512x512 pontos.Numericamente a equação (5) é umarepresentação da aproximação de Fresnelem termos de transformada de Fourierdiscreta pelo que pode ser obtida através de

.um dos vários algoritmos de FFTconhecidos. Desta forma é possível registarhologramas de Fresnel em detectoreselectrónicos de imagem desde que ageometria da montagem óptica sejarigorosamente controlada por forma agarantir que o padrão de franjas deinterferência é resolvido pelo fotodetector.

Na figura 2 está representado o padrãode franjas de interferência no plano dofotodetector e na figura 3a o resultadoobtido após a reconstrução do holograma.A imagem da figura 2 corresponde aoregisto no fotodetector (CCD) de umaamostragem discreta da funçãotransmitância t(x,y) referida na expressão(2). Esta amostragem discreta da funçãopode ser utilizada na expressão (5) parareconstruir a imagem gravada por cálculonumérico da transformada de Fourier,somatório duplo na mesma expressão (5).

registado.

A figura 3a mostra na parte inferiordireita a frente de onda proveniente doobjecto, no centro aparece o termo deordem zero e na parte superior esquerdaaparece uma mancha, correspondendo àimagem conjugada bastante desfocada. Esta

fig. 2 - Imagem do padrão de interferência

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imagem pode ser focada se fizermos areconstrução no plano conjugado, como sepode ver na figura 3b. No caso dafrequência espacial do padrão deinterferência ser superior à resolução dofotodetector pode ser usada uma lente paraampliar a rede. Desta forma é obtido umholograma de Fourier e neste caso as duasimagens aparecem no mesmo plano, figura4.

O facto de o pixel do fotodetector nãoser quadrado exige uma correcção dasdimensões da imagem, para que esta nãoapareça deformada. Isto pode ser explicadode uma forma simples com o auxflio dafigura 5. A figura 5a representa franjascirculares mostradas num dispositivo compixel rectangular. Como a FF1’ vai serrealizada numa base quadrangular(512x512), o algoritmo processará aimagem do acordo com a sua representaçãona figura 5b. Desta forma as frequências nadirecção vertical irão diminuir por umasobreamostragem em relação à horizontal.Desta transformada resulta um imagem dotipo mostrado na figura 5c. A reposição doaspecto correcto da transformada é obtidaajustando a dimensão horizontal, figura 5d.Esta alteração dimensional acontecetambém durante a reconstrução doshologramas aqui apresentados, pois aoperação utilizada é semelhante.

3- OBTENÇÃO DEINTERFEROGRAMAS

A interferometria holográfica permiteobter padrões de interferência

correlacionando dois ou mais hologramas.Tratando-se de hologramas de um mesmoobjecto em duas situações de carregamento

distintas é possível, por análise do padrãode franjas de interferência, inferir osdeslocamentos induzidos pelocarregamento. Estas técnicas, com grandeutilidade na Mecânica Experimental,também podem ser aplicadas com o registodos hologramas em CCD. Osinterferogramas poderão ser obtidos a partirda correlação dos hologramas por adiçãoou por subtracção.

Fig. 3a - Reconstrução numérica do holograma dafigura 2.

Fig. 5 - Processo de correcção dimensional dumaFF1’ calculada num dispositivo com pixelrectangular.

Fig. 3h - Reconstrução da imagem conjugada.

fig. 4 - Reconstrução de um holograma comampliação do padrão de interferência por uma lentecom ampliação de 1:2.

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3.1 - Correlação por adição

Existem duas vias para chegar aospadrões de interferência utilizando acorrelação por adição:

- somar previamente os doishologramas, efectuar a transformadade fresnel e calcular a amplitude, ou

- efectuar a transformada de Fresnel decada um dos hologramas, calcular aamplitude de cada um e de seguidaadicionar essas amplitudes.

A amplitude do interferograma pode serobtida a partir da amplitude complexa doseguinte modo:

A(r, s) = qRe[f(r, s)]2 + Im[f(r, s)]2 (6)

onde Re e Im representam respectivamenteas partes real e complexa da amplitudecomplexa. A figura 6 mostra um exemplode franjas de adição obtidas numamembrana metálica carregada por umacarga aplicada no seu centro eperpendicular à sua superfície.

subtracção, permite melhorar o contraste daimagem e obter hologramas que ocupemtodo o plano da imagem. E o caso da figura$ onde se pode ver o objecto das figuras 3 e4 ocupando toda a imagem. Para realizaresta imagem foram gravados doishologramas com uma separação temporal,de tal modo que a instabilidade ambientepermitiu uma ligeira diferença entre eles.Deste modo os dois hologramas do mesmoobjecto são ligeiramente diferentes e oobjecto é visível mesmo após a subtracção.A ampliação do objecto consegue-seaproximando-o do detector CCD, no casoda figura 8 a distância do objecto ao CCD é65 mm.

3.2 - Correlação por subtracção

A correlação pode também ser efectuadapor subtracção, sendo também válidas nestecaso ambas as alternativas possíveis naadição. No entanto as vantagens dasubtracção são evidentes comparando asfiguras 6 e 7. A diminuição de intensidadedo termo de ordem zero, conseguido na

3.3 - Correlação em time average

Nesta técnica experimental, oholograma é gravado enquanto o objectovibra sinusoidalmente num dos seus modospróprios de vibração. As franjas deinterferência representam pontos com igualamplitude de vibração. A figura 9 apresenta

Fig. 7 - Interferograma obtido por subtracção dedois hologramas.

Fig. 6 - Interferograma obtido por adição de doishologramas. Fig. 8 - Reconstrução com subtracção, do mesmo

objecto das figuras 3 e 4, ocupando toda a imagem.

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um dos modos próprios de uma placacircular quando vibra com uma frequênciade 12kHz.

3.4 - Deformada do objecto:determinação da fase

Para obter a forma da deformada doobjecto torna-se necessário calcular a fasedo interferograrna obtido do par dehologramas que registam as duas posições:antes e após a deformação. A distribuiçãoespacial da fase de cada holograrna podeser obtida da amplitude complexa atravésda seguinte expressão:

—I Im[f(r,s)]b(r,s)=tan r rRefr, s

(7)

Desta forma cada urna das posições doobjecto é caracterizada por urnadistribuição de fase que representa aposição do objecto mais urna distribuiçãode fase aleatória resultante do speckle. Aosubtrafrmos as distribuições obtidas para asduas posições do objecto eliminamos adistribuição aleatória, uma vez que esta semantém constante. O resultado obtidocorresponde à variação de fase da frente deonda proveniente do objecto devida à suadeformação. O resultado desta subtracçãodeverá ser mantido entre O e 27t. A figura10 mostra a obtenção da fase entre doisestados distintos da membrana das figuras6e7.

Rotinas de processamento de imagempodem ser utilizadas para eliminar os

pontos sem informação, que constituemruído no mapa de fase. Obtem-se assim ummapa de fase com descontinuidades que sãodevidas às assintotas da função tangente.Estas descontinuidades podem sereliminadas por aplicação de um algoritmode desembrulhar (unwrapping) a cada umdos mapas de fase. Contudo a presença deruído nos mapas de fase induz errosintoleráveis na deformada do objecto peloque é necessária a sua filtragem antes deeliminar os saltos de fase.

A filtragem com utilização de um filtro demediana é um dos processos possíveis. Estefiltro tem a particularidade de manter ossaltos de 2ic que caracterizam os mapas defase. Outro processo consiste no recurso aum método iterativo baseado no cálculo denovas franjas a partir da fase obtida emcada iteração. Este método permiterecalcular a fase e como foi demonstradopor Gu et ai (1994) converge para asolução do problema. A imagem

Fig.9 - Interferograma obtido em time averagequando o objecto vibra a 12kHz.

Fig. 10 - fase obtida por subtracção, modulo 2zt, deduas distribuições de fase correspondentes aposições distintas do objecto.

Fig. 11 - Filtragem da fase obtida por iteração, Guet ai (1994).

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apresentada na figura 11 foi obtida usandoeste método.

Com a informação contida na imagemda figura ii é possível desembrulhar a faseusando um qualquer algoritmo deunwrapping que adiciona ou subtraimúltiplos de 2t sempre que detecte saltosmaiores que it entre pontos adjacentes. Afigura 12 mostra uma representação 3D dadistribuição espacial da fase.

4- CONCLUSÕES

Em relação ao trabalho apresentado porSchnards e Jüptner (1994) pensamos terobtido resultados com melhor contrasteutilizando um detector CCD com 1/4 daresolução e com o inconveniente adicionalde ter o pixet rectangular.

Esta técnica de gravação de hologramaspermite um método de determinação dafase que relativamente aos métodosvulgarmente utilizados (envolvendo três oumais imagens) reune algumas vantagensmuito importantes, das quais se destacam:

- a simplicidade da montagemutilizada, é de fácil alinhamento ebastante estável dado envolverpoucos componentes ópticos,

- um só interferograma (2 imagens)permite obter a deformada doobjecto.

Relativamente ao último pontopodemos referir que a técnica de phaseshft exige que no mínimo sejam gravados

3 interferogramas, o que aumenta asensibilidade a perturbações ambientais eexige também mais espaço dearmazenamento em memória para oprocessamento das imagens que permitecalcular a fase. Outra técnica possívelresulta da introdução duma portadora(carrier), a qual permite obter adistribuição de fase a partir de um sóinterferograma, no entanto é necessáriocontrolar com rigor a portadoraintroduzida. A natureza speckle destastécnicas não permite resultados aceitáveiscom elevadas frequências espaciais peloque a frequência da portadora a introduzir ésempre limitada.

Finalmente pode dizer-se que com oaumento da resolução dos CCD esta técnicapode vir a revelar-se de grande aplicaçãonum futuro próximo. Refira-se também anova geração de placas de processamentode imagem que cada vez mais recorrem aouso de integrados DSP (Digital Signa!Processing) os quais permitem acelerar oprocessamento das imagens, permitindofazer variadas tarefas em tempo real. Comestas melhorias, transformadas de Fourier5 12x5 12 podem ser realizadas actualmenteem cerca de 2 segundos e preve-se que talvelocidade venha a aumentar. Com estasperspectivas de evolução é previsível queprocessamento do tipo apresentado nesteartigo venha a poder ser feito em temporeal.

REFERÊNCIAS:

• Butters, J. N., Leendertz, J. A.,“Holographic and Vídeo TechniquesAppied to Engineering Measurements”,1. Meas. Control, Vol. 4, pp 349-354,1971.

• Das, P. Laser and OpticalEngineering”, Springer, New York,1991.

• Gu, 1., Hung, Y. Y., Chen, f.,Iterati on algorithm for computer-aidedspeckle interferometry”, AppliedOptics, Vol. 33, Q 23, pp. 5308-53 17,1994.

Fig. 12 - Levantamento tridimensional dadeformada da membrana.

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• Hecht, E.,” Óptica “, (tradução deRebordão, J.M. ) Fundação CaloustGulbenkian, 1991.

• Leith, E. N., Upatnieks J., “ WavefrontReconstruction with Continuous-ToneObjects “, Journ. of the Opt. Soc. ofAmerica, Vol. 53, n 12, pág. 1377-1381, 1963.

• Mehta, P. C., Rampal, V. V., “ Lasersand Holographv “, (World Scientific,Singapore 1994), Chap. 4, p. 282.

• Schnards, U., Jüptner, W., “ Direct

Recording of Holograms by a CCDTarget and Numerical Reconstruction “,

Applied Optics, Vol. 33, n 2, pp. 179-181, 1994.

• Yaroslavskii, L. P., Merzlyakov, N. S.,Methods of Digital Holography “,

Consultants Bureau, New York andLondon, 1980.

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