UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTERGRAÇÃO LATINO-AMERICANA

ENGENHARIA DE ENERGIAS RENOVÁVEIS - JHONY RODRIGO DA SILVA 201120497

Resumo livro Transmissão de energia elétrica – Linhas aéreas - Rubens Dario Fuchs Vl1

Capitulo 3.2 Analise quantitativa

O capitulo limita-se apenas a linhas de transmissão clássicas, considerando apenas as constituídas por

ligações físicas entre uma fonte de energia e um elemento consumidor dessa energia. Nesse caso fonte

consumidor de energia é entendido como transmissor e receptor de energia. A ligação física se dá por condutores

em que circulam correntes elétricas mantidos sob diferenças de potencial.

O fenômeno de energização da linha

Considerando uma linha de transmissão ideal, a resistência elétrica dos condutores é considerado

perfeito, sem perdas de energia. Em um instante imediatamente anterior a ligação da chave S, t<0. Os terminais

da fonte estão sob uma diferença de potencial U[V]. No instante que a chave S for ligada (t=0), entre os terminais,

aparecera a mesma diferença de potencial U[V]. Sabendo que as diferenças de potencial são possíveis somente

entre cargas elétricas, a colocação sob tensão dos terminais da linha foi provocada por um deslocamento de cargas

elétricas através de S, cargas ordinárias da fonte. Cargas elétricas em movimento dão origem a campos

magnéticos, e a simples presença das cargas aos campos elétricos. Portanto ao se energizar uma linha de

transmissão, ao longo da mesma estabelece-se campos elétricos e magnéticos, progressivamente, do transmissor

ao receptor. Os campos se propagam do transmissor ao receptor. Com isso definimos a velocidade de propagação

ou celeridade para uma linha de comprimento l (km):

𝑣 =𝑙

𝑇[𝑘𝑚

𝑠]

Sendo T o tempo necessário para a tensão no receptor atinja o valor U[V]. Considerando um trecho de

linha de comprimento unitário 1 [km] de linha; sena 𝑡1[𝑠] o tempo necessário para energizar esse trecho unitário.

Teremos que:

𝑡1 =1

𝑣[𝑠]

A carga elétrica acumulada nesse trecho será:

𝑞 = 𝑈𝐶 [𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏]

A corrente através doe uma seção do condutor será:

𝐼𝑜 = 𝑞𝑣 = 𝑈𝐶𝑣 [𝐴]

Sua intensidade independe do comprimento da linha, se esta for de comprimento infinito, essa corrente

de carga será suprimida pela fonte, sem alteração de valor, enquanto que o valor da tensão da fonte se mantiver

inalterado, independentemente. A impedância de entrada da linha é definida como:

𝑍𝑜 =𝑈

𝐼𝑖=

1

𝐶. 𝑣 [𝑜ℎ𝑚]

A FEM induzida será:

𝐹𝐸𝑀 = −∆𝑥𝐿 𝑑𝐼𝑜

𝑑𝑡= −

𝐼𝑜

∆𝑡∆𝑥𝐿

𝐹𝐸𝑀 = −𝐼𝑜𝐿𝑣 [𝑉]

Como essa FEM deve ser neutralizada pela tensão da fonte para que I possa fluir, teremos:

𝑈 = 𝐼. 𝐿𝑣[𝑉] 𝑜𝑢

𝑍𝑜 =𝑈

𝐼𝑜= 𝑙𝑣 [𝑜ℎ𝑚]

Sabemos que a v depende principalmente do meio em que se encontra a linha, em casos subterrâneos

por exemplo, ela é muito mais baixa. Também apresentam perdas, representáveis por uma resistência em série

com uma indutância em paralelo com a capacitância, também reduzindo a velocidade de propagação.

Temos para cada linha:

𝐼𝑜 =𝑈

𝑍𝑜= 𝑐𝑡𝑒

Logo a corrente de carga de uma linha, excitada por uma fonte de tensão constante. Logo a corrente de carga de

uma linha, excitada por uma fonte de tensão constante, também independe do seu comprimento.

Relações de Energia

Em cada intervalo de tempo necessário para energizar um trecho de comprimento de linha, a fonte

fornece à mesma uma quantidade de energia igual a 𝑈𝐼𝑜∆𝑡. Essa energia, numa linha ideal, não é dissipada na

linha. Os campos elétricos e magnéticos têm a capacidade de armazenar energia.

No campo magnético:

∆𝐸𝑚 = 𝐿∆𝑥𝐼𝑜

2

2 [𝑊𝑠]

No campo elétrico:

∆𝐸𝑒 = 𝐶∆𝑥𝑈2

2 [𝑊𝑠]

Esse armazenamento se da simultaneamente. Portanto,

𝑈𝐼𝑜∆𝑡 = 𝐿∆𝑥𝐼𝑜

2

2+

𝐶∆𝑥𝑈2

2 [𝑊𝑠]

A quantidade de energia armazenada pelo campo elétrico é exatamente igual a quantidade de energia

armazenada pelo campo magnético. Cada um dos campos armazena a metade da quantidade de energia que é

fornecida pela fonte. Esse processo durara indefinidamente, se a linha tiver um comprimento infinito. Como as

linhas são de comprimento finito, ocorrerão fenômenos complexos que dependem da forma com que a linha é

terminada.

Sendo:

|𝑅2| = |𝑍𝑜|

Temos

𝑈 = 𝐼𝑜𝑍𝑜 = 𝐼𝑜𝑅2

𝐼𝑜 =𝑈

𝑍𝑜=

𝑈

𝑅2

Toda energia fornecida pela fonte será dissipada na resistência já que não há campos magnéticos e

elétricos a armazenar energia na terminação da linha. Logo:

𝑈𝐼𝑜∆𝑡 = 𝑅2𝐼𝑜2∆𝑡 [𝑊𝑠]

Quando o valor de 𝑅2 for diferente do valor de 𝑍𝑜, o equilíbrio será alterado pois o segundo membro

dessa equação poderá ser maior ou menor que o primeiro, dependendo da capacidade de dissipação de 𝑅2,

devemos considerar portanto dois casos:

A – Linha com resistência terminal maior que 𝑍𝑜: onde a corrente 𝐼2´ através da resistência 𝑅2

´ será menor

que a corrente 𝐼𝑜 e a potência dissipável (𝐼2´ )2𝑅2

´ será igualmente menor do que a potencia 𝐼2𝑅2.

Equacionando temos que em uma linha ideal aberta a tensão no receptor cresce ao dobro do valor da

tensão aplicada.

𝑈2 = 2𝑈 [𝑉]

B – Linha com resistência terminal maior que 𝑍𝑜: A corrente 𝐼2´´ através da resistência 𝑅2

´´ será maior que

a corrente 𝐼𝑜 e a potência dissipável (𝐼2´´)2𝑅2

´ será maior do que a potencia 𝐼22𝑅2.

Equacionando chegamos que em uma linha em curto-circuito a corrente crescerá, no receptor, ao dobro

do seu valor.

𝐼2´´ = 2𝐼𝑜

Ondas viajantes

Ao energizarmos uma linha, partem do transmissor, simultaneamente, duas ondas, uma de tensão de

amplitude U[V] e uma de corrente, de amplitude 𝐼𝑜[𝐴] que se deslocam com velocidade constante 𝑣 [𝑚

𝑠] em

direção ao receptor, onde chegam com o nome de ondas diretas ou incidentes. Dependendo da forma de

terminação da linha também temos as ondas refletidas, que viajam de volta, do receptor para o transmissor, com

a mesma velocidade das ondas incidentes.

A linha com 𝑹𝟐 > 𝒁𝒐 a onda de tensão refletida possui o mesmo sinal que a onda de tensão incidente. A

tensão resultante estão será maior que a onda incidente. A onda da corrente refletida possui sinal contrário do

da onda incidente, resultando em corrente menor do que a incidente.

A linha com 𝑹𝟐 = 𝒁𝒐 a onda refletida da tensão e a onda da corrente são nulas, não havendo alterações

em seus valores.

A linha com 𝑹𝟐 < 𝒁𝒐 , a onda de tensão se reflete com sinal oposto ao de incidente, resultado em

diminuição da tensão. A onda de corrente se reflete com o mesmo sinal, o que leva ao seu aumento.

Equacionando temos que:

𝑈𝑟 = (𝑍2 − 𝑍𝑜

𝑍2 + 𝑍𝑜) 𝑈𝑑 [𝑉] 𝑒

𝐼𝑟 = (𝑍𝑜 − 𝑍2

𝑍2 + 𝑍𝑜) 𝐼𝑑 [𝐴]

No caso de linhas reais, a energia dissipada na resistência dos condutores tem o caráter de um

amortecimento, reduzindo levemente os módulos das tensões e correntes e acelerando sua entrada em regime

permanente.