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FEIT/UEMG – Engenharia Elétrica Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica

Profª MSc. Stefani Freitas

24

MÓDULO III

LINHAS DE TRANSMISSÃO

Referências utilizadas:

LEÃO, R. “GTD – Geração, Transmissão e Distribuição da Energia Elétrica”, Departamento de

Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Ceará, Ceará, 2009.

Apostila de GTD, “Geração, Transmissão e Distribuição da Energia Elétrica – ET720 – Sistemas de

Energia Elétrica, Capitulo 5: Linhas de Transmissão.”, Unicamp, Campinas.

HAFFNER, S. , “Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente – A Linha de

Transmissão”, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2007.

CARNEIRO, A. A. F. M. Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica, EESC – USP.

FUCHS, R. D. Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, Livros Técnicos e Científicos,

Escola Federal de Engenharia de Itajubá, Volume 2, 1997. 588p.

Demais/outros conteúdos, imagens e apostilas disponíveis na Web/Internet.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1 – Características Físicas das Linhas de Transmissão

O desempenho elétrico de uma linha aérea de transmissão depende de sua geometria, ou seja,

de suas características físicas.

3.1.1 – Componentes da Linha de Transmissão (LT)

(1) Condutores

(2) Isoladores (cadeia de isoladores de porcelana ou vidro)

(3) Estruturas de suporte

(4) Cabo pára-raios (cabos de aço colocados no topo da estrutura para proteção contra raios)

(1)

(2)

(3)

(4)

Fig. 3.1 – Linha de transmissão.



25

3.1.2 – Classe de tensão

As diferentes classes de tensão em Linhas de Transmissão são apresentadas na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Classes de tensão em LT’s

Sigla Denominação Valores típicos de tensão de (linha)

LV Low Voltage < 600V MV Medium Voltage 13,8kV 23kV 34,5kV 69kV HV High Voltage 115kV 138kV 230kV

EHV Extra High Voltage 345kV 440kV 500kV 600kV 765kV UHV Ultra High Voltage 1100kV

3.1.3 – Cabos e Condutores

Material: Cobre e alumínio. O alumínio é mais barato, mais leve, requer área da seção reta

maior que o cobre para as mesmas perdas.

Aéreo e Subterrâneo.

Unidades mais comumente usadas:

Comprimento: metro [m], pé [ft], milha [mi];

1ft = 0,3048m 1mi = 1609m

Área da seção reta: milímetro quadrado [mm2], circular mil [CM](*): (*) 1 CM = área de um condutor de um milésimo de polegada de diâmetro;

Tabela 3.2 – Condutores de linhas aéreas.

Sigla (Português/Inglês) Material

CA / AAC Alumínio puro AAAC / AAAC Liga de alumínio puro CAA / ACRS Alumínio com alma de aço

ACAR / ACAR Alumínio com alma de liga de alumínio (alumínio+magnésio/silício)

O condutor mais utilizado é o CAA (alumínio com alma de aço), pois o aço contido em seu

interior é mais barato que o alumínio e consequentemente o custo do condutor é reduzido. Além

disso, a alma de aço é mais resistente a tração (admite lances maiores).

Os condutores são nus (não há isolação)

Os condutores são torcidos para uniformizar a seção reta. Cada camada é torcida em sentido

oposto à anterior (evita que desenrole e o acoplamento entre as camadas).

(a) CAA (b) CA

Fig. 3.2 – Condutores.

Cabos de cobre (linhas subterrâneas): sólidos ou encordoados. Condutores isolados com papel

impregnado em óleo. Existem outros tipos de isolação.

3.1.4 – Isoladores

Os materiais empregados na fabricação dos isoladores são :

Porcelana vitrificada;

Vidro temperado.



26

Tipos de Isoladores

1. Isolador de pino

2. Isolador tipo pilar

3. Isolador de disco

(a) Isolador de pino. (b) Isolador tipo pilar. (c) Isolador de disco.

Fig. 3.3 – Isoladores.

3.2 – Estrutura das Linhas de Transmissão

3.2.1 – Disposição dos Condutores

A disposição dos condutores é classificada em três tipos:

1. Triangular:

Fig. 3.4 – LT triangular.

2. Horizontal

Fig. 3.5 – LT horizontal.



27

3. Vertical

Fig. 3.6 – LT vertical.

3.2.2 – Dimensão das Estruturas

A dimensão das estruturas depende principalmente de dois fatores:

1. Tensão nominal de operação.

2. Sobretensões previstas.

Fig. 3.7 – Linhas a circuito duplo.

3.2.3 – Classificação das Estruturas Quanto a Forma de Resistir

a) Estruturas autoportantes

(a) (b)

Fig. 3.8 – Estrutura autoportante.



28

a) Estruturas estaiadas

(a) (b)

Fig. 3.9 – Estrutura estaiada.

3.2.4 – Materiais para Estruturas

a) Madeira

b) concreto armado

c) estruturas metálicas

3.2.5 – Cabos Pára-raios

Ocupam a parte superior das estruturas e se destinam a interceptar descargas de origem

atmosféricas e descarregá-las para o solo, evitando que causem danos e interrupções nos

sistemas.

3.3 – Parâmetros de Linhas de Transmissão

Resistência (R) – Dissipação de potência ativa devido a passagem de corrente.

Condutância (G) – Representação das correntes de fuga entre condutores e pelos isoladores.

É muito variável em função das condições de operação da linha (clima, umidade relativa do ar,

poluição, etc.). Seu efeito em geral é desprezado, pois sua contribuição no comportamento geral

da linha é muito pequena.

Fig. 3.10 – Representação de uma LT.

Indutância (L) – Deve-se aos campos magnéticos criados pela passagem de corrente.

Capacitância (C) – Deve-se aos campos elétricos: carga nos condutores por unidades de

diferença de potencial entre eles.



29

Fig. 3.11 – Campo elétrico e magnético entre condutores.

Com base nessas grandezas que representam fenômenos físicos que ocorrem na operação de

linhas, pode-se obter um modelo equivalente para a mesma, como ilustrado na figura a seguir:

FONTE CARGA

Fig. 3.12 – Modelo equivalente de LT.

3.4 – Resistência (R)

Causa a dissipação de potência ativa:

(3.1)

Resistência em corrente contínua (CC):

.

.Ω (3.2)

Sendo:

– resistividade do material (Ω.m);

l – comprimento (m) ou (m/km);

A – área da seção reta (m2).

Tabela 3.3 – Resistividade do cobre e alumínio.

Material Temperatura (resistividade do material)

Cobre 20°C 1,77.10-8 Ω.m Alumínio 20°C 2,83.10-8 Ω.m

depende da temperatura RCC varia com a temperatura. Se aumenta, então RCC aumenta:

(3.3)

Sendo:

R1 – resistência do material devido à temperatura t1;

R2 – resistência do material devido à temperatura t2;

T – constante do material [°C].

Em cabos encordoados, o comprimento dos fios periféricos é maior que o comprimento do

cabo (devido ao encordoamento helicoidal). Isto acresce à resistência efetiva em 1 a 2%.



30

Em corrente alternada (CA), devido ao efeito skin, a corrente tende a concentrar-se na

superfície do condutor. Isto provoca um acréscimo na resistência efetiva (proporcional a

frequência) observável a 60Hz (em torno de 3%).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 1. O alumínio Marigold 1113 MCM (61x3,432mm) apresenta as seguintes

características:

Resistência em CC a 20°C 0,05112 Ω/km

Resistência em CA-60Hz a 50°C 0,05940 Ω/km

Temperatura constante do alumínio = 228°C

Determine:

a) O acréscimo percentual na resistência devido ao encordoamento.

b) O acréscimo percentual na resistência devido ao efeito skin.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.5 – Indutância (L)

3.5.1 – Indutância de uma Linha Monofásica

Considere a linha monofásica:

D

ra rb-ii

Fig. 3.13 – Linha monofásica.

Hipótese Simplificadora:

Fig. 3.14 – Fluxo concatenado entre condutores.

Simplificações:

Admitir: , ( ) ( )

Considerar condutor 2 com um ponto, localizado a um distância D do centro do condutor 1.

Então, as indutâncias externas produzidas pelos condutores a e b são, respectivamente:

2 .

(3.4)

2 .

(3.5)



31

Nas indutâncias internas, cada condutor enxerga o outro como um ponto. O fluxo externo de

um condutor não afetará o fluxo interno do outro. Então:

1

2. 10 /

(3.6)

1

2. 10 /

(3.7)

A indutância total devido ao condutor a é:

(3.8)

2 .

(3.9)

Considerando 4 . 10 / :

2 . 1

4

(3.10)

2. 10 .

(3.11)

E, o raio médio geométrico do condutor a é:

. 0,77 .

(3.12)

A equação (3.11) é parecida com a do fluxo externo, só que engloba também fluxo interno.

Equivalente, portanto, ao fluxo externo de um condutor com raio que é chamado de raio efetivo

ou Raio Médio Geométrico Efetivo.

A indutância total devido ao condutor b é:

(3.13)

2 .

(3.14)

2 . 1

4

(3.15)

2. 10 .

(3.16)

Onde: .

0,77 . é o Raio Médio Geométrico efetivo do condutor b.

Indutância total é a soma das indutâncias dos condutores a e b.

(3.17)

2. 10 .

2. 10 .

(3.18)

2. 10 .

. (3.19)

4. 10 .

. / (3.20)

A indutância depende da distância entre os fios, do raio dos condutores e do meio.

A indutância depende da corrente.



32

Se os condutores tiverem o mesmo raio:

4. 10 .

(3.21)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 2. Determine a indutância média por fase de uma linha monofásica cuja distância entre

os condutores é de 1,5m e o raio dos condutores é de 0,5cm.

1 2Dm = 1,5m

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.5.2 – Indutância de Condutores Compostos

Um condutor constituído de dois ou mais elementos ou fios em paralelo é chamado condutor

composto (isto também inclui os condutores encordoados).

Sejam dois condutores compostos, conforme ilustrado na Fig. 3.15. O condutor x é formado

por n fios cilíndricos e idênticos, cada um transportando a corrente

. O condutor Y é

formado por M fios cilíndricos e idênticos, cada um transportando a corrente

.

a

b

c

n

AB

C

M

DbC

Dbn

Condutor x Condutor Y

Fig. 3.15 – Seção transversal de uma linha monofásica constituída por dois condutores compostos.

Considerando as distâncias indicadas na Fig. 3.15, as indutâncias dos fios a e b que fazem parte

do condutor x são dadas por:

.

2 .

. .

. .

/ (3.22)

.

2 .

. .

. .

/ (3.23)

Sendo:

. Permeabilidade do meio (geralmente é usada apenas a permeabilidade do vácuo

4 . 10

4 . 10

, pois a permeabilidade relativa do ar 1.

Distância entre os fios e [m].

Raio de um condutor fictício (sem fluxo interno), porém com a mesma indutância que o

condutor , cujo raio é [m] (para condutores cilíndricos .

[m]).

É imprescindível que e estejam na mesma unidade.



33

A indutância do condutor composto x é igual ao valor médio da indutância dos fios dividido pelo

número de fios (associação em paralelo), ou seja:

é

=

/ (3.24)

Segue daí que:

2 .

( . )( . )( . ) .

( . ). ( . ). ( . ) / (3.25)

Onde = .

O numerador da equação (3.25) é chamado Distância Média Geométrica (DMG) e é notado por

Dm.

O denominador da equação (3.25) é chamado Raio Médio Geométrico (RMG) e é notado por DS.

Deste modo,

2 .

/ (3.26)

Sendo f a frequência de operação da linha, a reatância indutiva é dada por:

2 . . (3.27)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 3. Calcule a indutância da seguinte linha monofásica:

rX = 0,25 cm

Lado X

6 cm

6 cm

9 cm

Lado Y

rY = 0,5 cm

a

b

c

d

e

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.5.3 – Indutância de Linhas Trifásicas

Em uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico, a indutância das fases é diferente e o

circuito é desequilibrado. Por intermédio da transposição da linha, é possível restaurar o

equilíbrio das fases, do ponto de vista dos terminais da linha. A transposição consiste em fazer

com que cada fase ocupe cada uma das posições nas torres por igual distância (para uma linha

trifásica são três as posições possíveis e deve-se fazer com que cada fase ocupe 1/3 do

comprimento da linha em cada uma das três posições). Observe a Fig. 3.16.



34

1

2

3

D12

D13

D23

Condutor A

Condutor B

Condutor C

Posição 1

Posição 2

Posição 3

1/3 comprimento 1/3 comprimento 1/3 comprimentoTra

nsp

osiç

ão

Tra

nsp

osiç

ão

Fig. 3.16 – Transposição de fases numa LT trifásica.

Para a linha da Fig. 3.16, a indutância média por fase é dada por:

2 .

/ (3.28)

D - Distância média geométrica entre os condutores . . .

- Raio médio geométrico do condutor [m].

Em linhas constituídas por mais de um condutor por fase, o raio geométrico deve ser

calculado como anteriormente, ou seja:

( . ). ( . ). ( . )

E os termos empregados no cálculo da DMG (D12, D23 e D31) correspondem às distâncias

médias geométricas entre cada uma das combinações das fases, ou seja, DxY é dado por:

( . )( . )( . )

No entanto, para o caso de linhas trifásicas com condutores com espaçamento equilátero

equivalente, considera-se apenas a distância entre o centro das fases.

Os valores do RMG de cada condutor (Daa, Dbb, etc.) podem ser obtidos diretamente nas

tabelas dos fabricantes, juntamente com os demais dados dos cabos (nome, código, seção

transversal, formação, número de camadas, diâmetro externo e resistência elétrica), ou podem

ser determinados através da seguinte equação:

0,5. . (3.29)

Onde:

é o diâmetro externo do condutor α e K uma constante que depende de sua formação

(quantidade e tipo de fios), cujos valores, encontram-se na Tabela 3.4.



35

Tabela 3.4 – Valores de K para a determinação RMG de um cabo.

Disponível em: http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf

Condutor de alumínio (CA)

Formação (n° de fios) Fator de Formação (K) 7 0,7256

19 0,7577 37 0,7678 61 0,7722 91 0,7743

Condutor de alumínio com alma de aço (CAA)

Formação (fios alumínio/aço) Fator de Formação (K) 22/7 0,7949 26/7 0,8116 30/7 0,8250 45/7 0,7939 54/7 0,8099

54/19 0,8099

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 4. Determinar o raio médio geométrico do condutor de alumínio com alma de aço

Pheasant 1272 MCM, formado por 54 fios de alumínio e 19 de aço (54/19) que possui um

diâmetro externo de 3,5103cm.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 5. Determine a reatância indutiva por fase a 60Hz da linha trifásica mostrada a seguir:

2

20'

38'

20'

1

2 3

O raio médio geométrico é 0,0373’.

1’ 0,304 m.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 6. Determine a reatância indutiva da linha trifásica mostrada a seguir:

D

d

a a’ b b’ c c’

Fase A Fase B Fase C

Dados:

d = 45 cm

D = 8 m

Comprimento da linha = 160 km

Raio Médio Geométrico de cada condutor 0,046’

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.6 – Capacitância (C)

Na LT existem cargas em movimento e uma diferença de potencial entre condutores

Capacitância (carga/ diferença de potencial):

/ (3.30)

http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf



36

3.6.1 – Capacitância de uma Linha Monofásica

Considere uma linha para a qual:

Os raios dos condutores são iguais: ra = rb =r

qa = - qb = q

a bD

Fig. 3.17 – Seção transversal de uma linha monofásica.

Utilizando a definição de capacitância:

(3.31)

Sabendo que, ε εr . εo e, assumindo que a permisividade do ar é εr = 1 e que a permisividade

do meio é εo = 8,85.10-12 [F/m].

a b

Cab

a b

CaN CbN

N (a) Linha/linha. (b) Linha/neutro.

3.18 - Capacitâncias.

A capacitância de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor

determinado pela equação (3.31), ou seja:

2

(3.32)

A reatância capacitiva e a susceptância capacitiva são dadas, respectivamente, por:

1

2 . . (3.33)

1

(3.34)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 7. Determine a capacitância, a reatância capacitiva e a susceptância capacitiva por

metros de uma linha monofásica que opera a 60Hz. Os dados do condutor são:

- Espaçamento entre centro dos condutores 20’

- Diâmetro externo do condutor 0,642’’

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.6.2 – Capacitância de Linhas Trifásicas

Para uma linha trifásica espaçada igualmente e formada por condutores idênticos de raio r,

conforme mostra a Fig. 3.19 a capacitância entre fase-neutro pode ser obtida também pela

equação (3.34).



37

a

bc

D D

D

Fig. 3.19 – Seção transversal de uma linha trifásica simétrica.

Para linhas trifásicas simétricas, a capacitância fase-terra é idêntica a capacitância para linhas

monofásicas, ou seja:

2

/

Para uma linha trifásica assimétrica e formada por condutores idênticos de raio r, é

necessário transpor a linha afim de equilibrar as fases novamente (igual ao caso da indutância)

e obter a capacitância média.

a

bc

DabDac

Dcb Fig. 3.20 – Seção transversal de uma linha trifásica assimétrica.

Cada tensão recebe contribuição de três fases.

A capacitância fase-neutro vale:

2

(3.35)

Onde o espaçamento eqüilátero da linha após transposição de fases é:

. . (3.36)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 8. Determine a capacitância, reatância capacitiva da linha por Km da linha trifásica

mostrada a seguir. Determine também a reatância total da linha.

Dados: Comprimento da linha = 282 km Tensão de operação = 220 V Frequência = 60Hz Diâmetro externo do condutor 1,10 ’’

2

20'

38'

20'

1

2 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



38

3.6.3 – Condutores Múltiplos por Fase

Para n condutores, considera-se que a carga em cada um seja de qa/n (para a fase a). O

procedimento para a obtenção da capacitância é semelhante ao que já foi feito até agora e o

resultado final é:

2

/

(3.37)

Em que:

Para 2 condutores: .

Para 3 condutores: .

Para 4 condutores: 1,09 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 9. Determine a reatância capacitiva por fase da linha trifásica mostrada a seguir:

D

d

a a’ b b’ c c’

Fase A Fase B Fase C

Dados:

d = 45 cm

D = 8 m

Comprimento da linha = 160 km

Raio Médio Geométrico de cada condutor= 0,0176m

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.6.4 – Efeito do Solo sobre a Capacitância de Linhas Trifásicas

A consideração do efeito terra não, geralmente não provoca alterações significativas no valor da

capacitância (em outras palavras, a capacitância entre as fases é muito maior que a capacitância

fase-terra), é possível determinar esta componente determinando o método das imagens.

a

b

c

a’

b’

c’

solo

Ha

Hb

Hc

Hab

Hca

Hbc

Fig. 3.21 – Método das imagens.



39

Considerando os condutores fase e as imagens mostrados na Fig. 3.19, a capacitância média

com relação ao neutro é dada por:

2

. . .

. .

(3.38)

3.7 – Modelo da Linha de Transmissão

Pode-se associar a uma linha de transmissão todos os parâmetros discutidos anteriormente:

Resistência – parâmetro série – perda de potência ativa com passagem de corrente.

Indutância – parâmetro série – campos magnéticos com passagem da corrente.

Capacitância – parâmetro shunt – campos elétricos com diferença de potencial.

Condutância – parâmetro shunt – correntes de fuga.

As linhas de transmissão são classificadas de acordo com seu comprimento:

Linhas curtas – até 80km

Linhas médias – até 240km

Linhas longas – mais de 240km

3.8 – Linha de Transmissão com Parâmetros Distribuídos

As linhas de transmissão de corrente alternada (CA) possuem resistência, indutância e

capacitância uniformemente distribuídas ao longo da linha. A resistência consome energia, com

perda de potência de R.I2. A indutância armazena energia no campo magnético. A capacitância

armazena energia no campo elétrico.

IS

C C C C C R

1

1'

U1

x

x (km)

2

2'

VRVS

LR R R R RL L L

Carga

Fig. 3.23 – Linha de Transmissão com parâmetros distribuídos.

A impedância característica da linha é dada por:

Ω (3.39)

Sendo:

z – Impedância série da LT por unidade de comprimento;

y – Admitância shunt da LT por unidade de comprimento.

A constante de propagação que define a amplitude e a fase da onda ao longo da linha é dada

por:

. (3.40)

A expressão matemática que define :

( ). ( ) ( ) ( ) (3.41)



40

As equações gerais de tensão e corrente das linhas de transmissão CA, senoidal, operando em

regime permanente e com parâmetros distribuídos se forem fornecidos dados do INÍCIO da

linha são:

( ) cosh( ) . . ( ). (3.42)

( ) 1

. ( ). cosh( ) . (3.43)

VT – Tensão no terminal transmissor da linha

IT – Corrente no terminal transmissor da linha

As equações gerais de tensão e corrente das linhas de transmissão CA, senoidal, operando em

regime permanente e com parâmetros distribuídos se forem fornecidos dados de UM PONTO x

da linha são:

( ) cosh( ) . . ( ). (3.44)

( ) 1

. ( ). cosh( ) . (3.45)

Onde:

V(x) – Tensão em qualquer ponto da linha, medido a partir do terminal receptor.

I(x) – Corrente em qualquer ponto da linha, medido a partir do terminal receptor.

VR – Tensão no terminal receptor da linha

IR – Corrente no terminal receptor da linha

As funções hiperbólicas são definidas por:

cosh( )

2 (3.46)

senh( )

2 (3.47)

As ondas viajantes em uma LT são atenuadas com mudança de ângulo à medida que se

propagam ao longo da linha. A causa primária são as perdas na energia da onda devido a

resistência, dispersão, dielétrico, e perda corona.

A solução das equações em V(x) e I(x) permite relacionar tensões e correntes em qualquer

ponto da linha em função de seus valores terminais de tensão VR e corrente IR.

A potência complexa em um ponto x da linha é dada por:

( ) ( ). ( ) ( ) ( ) (3.48)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 10. Considere uma linha monofásica cujos condutores tem um raio de 2cm e estão

espaçados de 1m, e:

A resistência e a condutância são desprezadas

A frequência é de 60Hz

A tensão no início da linha (x = 0) V(x) = 130 0° kV

A corrente no início da linha (x = 0) I(x) = 50 -20° A

Determine as expressões de corrente e tensão ao longo da linha.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



41

Exercício 11. Uma LT trifásica apresenta os seguintes parâmetros característicos por fase:

R = G = 0

L = 1,33.10-7 [H/m]

C = 8,86.10-12 [F/m]

Sabendo que no início da linha (x = 0) tem-se 127 0° kV (de fase) e S = 150+j50 MVA (por

fase), determine:

a) A constante de propagação

b) A impedância característica Zc

c) A tensão, a corrente e a potência no final da linha se o seu comprimento é de 300km. Comente

os resultados.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

É possível interpretar as formas de onda de tensão e corrente como ONDAS VIAJANTES

pode-se decompor a onda em onda INCIDENTE e onda REFLETIDA.

Se carga apresenta impedância igual à impedância característica não há onda refletida

linha plana ou linha infinita formas de tensão e corrente planas, se a linha for sem perdas.

De outra forma: Se a impedância da fonte é igual à ZC não há onda refletida linha plana

ou linha infinita formas de tensão e corrente planas.

Valores típicos de ZC são de 400Ω para linhas aéreas de circuito simples e 200Ω para dois

circuitos em paralelo. O ângulo de fase ZC está normalmente entre 0 e 15°.

Cabos múltiplos têm ZC menor porque L é menor e C é maior.

Comprimento da onda: distância entre dois pontos da linha correspondente a um ângulo de

fase de 360° ou 2 radianos:

2

(3.49)

Para linhas sem perdas:

2

1

(3.50)

A velocidade de propagação da onda é:

. (3.51)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 12. Para a LT monofásica estudada no exercício 10. Calcule o comprimento da LT e a

velocidade de propagação da onda.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.8.1 – Linha de Transmissão com Quadripolo

As equações gerais de uma LT com parâmetros distribuídos podem ser escritas na forma

matricial como:

( ) ( )

cosh ( ) ( )

1

( ) cosh ( )

(3.52)

A equação matricial representa o modelo de um quadripolo com duas portas (entrada/saída),

quatro variáveis (VT, IT, VR, IR) e com as constantes genéricas do quadripolo dadas por:



42

+

_

+

_

IT

VT

IR

VRA, B, C, D

Fig. 3.24 – Quadripolo representando uma LT.

cosh ( ) ( )

1

( )

cosh ( )

(3.53)

Os parâmetros genéricos ABCD são conhecidos como parâmetros distribuídos da linha. Para

um quadripolo com elementos passivos tem-se que:

1 (3.54)

A representação da linha como quadripolo é totalmente adequada para o cálculo de seu

desempenho, do ponto de vista de seus terminais transmissor e receptor.

3.9 – Linha de Transmissão com Parâmetros Concentrados

Seja uma linha de transmissão representada por parâmetros concentrados segundo o modelo

π como mostra a Fig. 3.25.

+

_

+

_

IT

VT

IR

VR

Z

Y1 Y2

Fig. 3.25 – Circuito π de uma LT.

Aplicando-se ao circuito π da Fig. 3.22 a Lei de Kirchhoff para as tensões e correntes tem-se:

( . ) (1 . ) . (3.55)

( . )

( . ) .

(1 . ) (1 . )

(3.56)

A representação da linha como um circuito π em uma linha de transmissão simétrica, ou seja,

Y1 =Y2 = a metade da admitância shunt total, torna-se:

+

_

+

_

IT

VT

IR

VR

Z

Y/2 Y/2

Fig. 3.26 – Circuito π de uma LT.



43

E as equações (3.55) e (3.56) tornam-se:

1

2 2 (3.57)

1

4 1

2 (3.58)

Na forma matricial:

1

2

1

4 1

2

(3.59)

Assim, os parâmetros genéricos do circuito π são:

1

2

Ω

1

4

(3.60)

3.9.1 – Circuito π Equivalente de LT’s (LT longa)

Da equivalência entre as constantes genéricas da linha de parâmetros distribuídos e aqueles

da linha de parâmetros concentrados tem-se que:

1

2 cosh( )

( )

1

4

1

( )

(3.61)

Explicitando Z e Y/2 resulta em valores de parâmetros concentrados obtidos a partir de

parâmetros do modelo distribuído, com ZC sendo a impedância característica da linha, γ a

constante de propagação e x o comprimento da linha.

. ( )

2

1

2

(3.62)

Os parâmetros concentrados do modelo π quando definidos a partir dos parâmetros

distribuídos da linha é denominado de π Equivalente. O modelo π. Equivalente representa o

modelo de parâmetros concentrados de uma linha longa (x > 240 km).

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Exercício 13. Para uma LT trifásica, 60Hz, tem-se R = 0,107.10-3 Ω/m , L 1,35.10-6 [L/m] e C =

8,45.10-12[F/m]. A tensão no início da linha é igual a 220kV e o seu comprimento é de 362 km.

Determine:

a) ZC e

b)Determine o circuito π equivalente da LT

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44

3.9.2 – Circuito π Nominal de LT’s (LT média)

Quando uma linha tem comprimento médio ( 0 km ˂ x ≤ 240 km), os parâmetros da linha Z e

Y podem ser obtidos simplesmente pelo produto da impedância z e admitância y por unidade de

comprimento vezes o comprimento x da linha.

. .

(3.63)

Neste caso o circuito π é denominado de π Nominal.

+

_

+

_

IT

VT

IR

VR

xzZ .

2

.

2

xyY

2

.

2

xyY

Fig. 3.27 – Circuito π nominal.

3.9.3 – Circuito de LT’s Curtas

Para linhas curtas (x ≤ 0 km), a capacitância pode ser desprezada e a linha representada por

somente uma impedância série Z=z.l como mostrado na Fig. 3.25.

+

_

+

_

IT

VT

IR

VR

Z

Fig. 3.28 – Circuito equivalente de uma LT curta.

Neste caso tem-se que:

(3.64)

. (3.65)

Na forma matricial, tem-se:

1 0 1

(3.66)

As constantes genéricas são:

1 Ω

0 (3.67)

Nas linhas de transmissão tem-se normalmente que a relação X/R é maior do que 5. Para

valores maiores de relação X/R a resistência da impedância série pode ser desconsiderada.

Os circuitos de distribuição são, em geral, modelados como na Fig. 3.25, desprezando-se a

admitância shunt da linha. Nos circuitos de distribuição a relação X/R é pequena, o que pode

levar à desconsideração de X em relação a R.

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45

Exercício 14) Para a LT trifásica do exercício anterior (Exercício 13), os seguintes dados foram

obtidos:

(1,07 5,0 95). 10 Ω/

3,1 56. 10 /

404,0493 5,94°Ω

1,2 72. 10 4,06° (1,3312 12, 029). 10

Determine os circuitos π equivalente e π nominal da LT. E compare os resultados obtidos.

Considerar a LT com x = 362 km e x = 100 km.

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geração, transmissão e distribuição de energia elétrica · feit/uemg – engenharia elétrica...

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