29º SALÃO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA A

ANÁLISE DE TRELIÇAS ESPACIAIS

AUTORES:

Orientador: Prof. João Kaminski Junior

Autores: Bruna Moro Druzian, Rafael Luis Moresco

Apresentador: Bruna Moro Druzian

INTRODUÇÃO

A análise estrutural é a fase mais importante no projeto de uma edificação, na

qual é idealizada a estrutura e definido seu comportamento, tendo como resultado a

determinação da resposta da estrutura, isto é, os deslocamentos, as reações nos apoios e

os esforços internos, o que possibilita o seu dimensionamento.

Treliças espaciais são estruturas reticuladas tridimensionais que vem sendo

empregadas em grande escala desde o século passado, principalmente em coberturas

metálicas e torres treliçadas, devido sua facilidade de fabricação e montagem, além de

sua leveza. O foco deste trabalho está no desenvolvimento de um programa

computacional para a análise de estruturas do tipo treliça espacial.

Esta pesquisa se justifica, uma vez que para um melhor entendimento da análise

de uma treliça espacial, é conveniente dispor de um programa computacional que

apresente a resposta da estrutura de uma maneira rápida e simplificada, apresentando os

resultados de todos os passos da análise.

Além disso, a análise computacional impede o calculista de dispensar teorias

alusivas ao comportamento estrutural. Por conseguinte, o programa computacional só é

válido conforme o profissional conheça as ferramentas de modo a aferir resultados. Em

vista disso, é necessário conhecer os métodos fomentados na teoria e no cálculo de

estruturas.

O método dos deslocamentos ou da rigidez é bastante usado para a elaboração de

programas com finalidade didática ou profissional. Aspectos como a existência de

apenas uma opção de escolha do sistema hipergeométrico, bem como a simplicidade de

obtenção dos valores dos coeficientes de rigidez e do sistema de equações de equilíbrio,

ratificam o seu emprego em programas computacionais.

Cabe salientar que a análise de uma estrutura, resolvida pelo método da rigidez,

deve conter características relativas à geometria da estrutura (coordenadas dos nós,

conectividades das barras, dimensões das seções transversais das barras, vinculações),

as propriedades do material e ao carregamento (ações externas), responsáveis pelos

esforços solicitantes.

Estruturas reticuladas tridimensionais são constituídas por elementos lineares

(barras) dispostos no espaço. As treliças espaciais, por sua vez, apresentam 3 graus de

liberdade em cada nó, que são as translações nas direções, x, y e z (ux, uy e uz).

Conhecendo-se os nós que concorrem às barras, são determinados os comprimentos das

mesmas, os cossenos diretores de cada elemento, os quais são usados para a montagem

da matriz de rotação da barra (R). Em seguida são definidas as matrizes de rigidez das

barras no sistema de coordenadas local (SML) e global (SM).

No sistema global a matriz de rigidez (SM) é determinada através da

multiplicação das matrizes RT, SM

L e R, em que R

T é a transposta da matriz de rotação

R.

A matriz SJ, definida como matriz de rigidez global pode ser montada de

maneira que os coeficientes de rigidez das matrizes SM pertencentes a cada barra sejam

colocados nas suas respectivas posições, em função da numeração prioritária dos graus

de liberdade (GDL). Os coeficientes de rigidez devem ser somados nos nós em que

concorram duas ou mais barras, para cada GDL de um nó.

A matriz SJ, na numeração prioritária, pode ser particionada em 4 matrizes,

denominadas: S, SRD, SDR e SRR. A matriz S é relativa aos deslocamentos livres, ou

seja, contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres na

estrutura original, quando são aplicados deslocamentos unitários na estrutura

restringida, um por vez, na direção dos deslocamentos livres.

A matriz SRD engloba os coeficientes de rigidez correspondentes aos

deslocamentos restringidos na estrutura original, quando são aplicados deslocamentos

unitários na estrutura restringida, um por vez, na direção dos deslocamentos livres.

A matriz SDR contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos

deslocamentos livres na estrutura original, quando são aplicados deslocamentos

unitários na estrutura restringida, um por vez, na direção dos deslocamentos

restringidos. Essa é idêntica a matriz SRD transposta.

A matriz SRR contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos

deslocamentos restringidos na estrutura original, quando são aplicados deslocamentos

unitários na estrutura restringida, um por vez, na direção dos deslocamentos

restringidos. Essa é usada apenas na análise de estruturas com algum deslocamento de

apoio.

O vetor A é obtido observando-se as ações aplicadas diretamente sobre os nós da

estrutura. O vetor de ações nodais equivalentes (AE) é dado pelos valores dos vetores

AML de todas as barras, em coordenadas globais e com o sinal invertido. O vetor AC

(vetor de ações nodais) é resultado da soma dos vetores A e AE e pode ser particionado

em AD - ADL, correspondente aos deslocamentos livres, e AR - ARL, correspondente

aos deslocamentos restringidos.

Por definição, nas treliças todos os nós são rotulados e não existem cargas

aplicadas ao longo do vão das barras, apenas forças nodais. Por conseguinte, os vetores

ADL e AML serão nulos. O vetor AE que é formado a partir dos vetores AML de cada

barra, também será nulo.

O vetor dos deslocamentos livres resulta da resolução do sistema de equações

AD = S . D. A seguir, são calculadas as reações de apoio (AR) pela equação

AR = ARL + SRD . D e as ações de extremidade de barra, as quais devem ser expressas

em coordenadas locais, a fim de obter os esforços normais nas barras da treliça espacial.

OBJETIVOS

O objetivo geral consiste no desenvolvimento de um programa computacional

em linguagem FORTAN 90, o qual deve utilizar o método da rigidez para analisar

qualquer tipo de treliça espacial.

Ademais, o programa deve ser capar de apresentar os resultados de todas os

passos da solução, incluindo as matrizes de rigidez de todas as barras em coordenadas

locais e globais, as matrizes de rotação das barras, a matriz de rigidez global da

estrutura, os vetores de carga, a solução do sistema de equações, os deslocamentos, as

reações de apoio, as ações de extremidade de barra e os esforços nas barras quando a

treliça espacial é submetida a ações externas.

METODOLOGIA

A análise de uma estrutura tridimensional envolve um trabalho árduo quando

executada sem o auxílio de um programa computacional. A metodologia a ser

empregada consiste em partir de um programa de treliça plana, o qual foi elaborado em

linguagem FORTRAN 90 e utiliza o Método da Rigidez e chegar em um programa para

a análise de treliças espaciais.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Após o usuário preencher as informações relativas à estrutura em um arquivo de

entrada de dados e executar o programa, é gerado um arquivo de saída de resultados, o

qual inclui todos os dados da estrutura (coordenadas dos nós, conectividades das barras,

propriedades geométricas das seções transversais das barras, vinculações e propriedades

dos materiais), as matrizes de rigidez de cada barra em coordenadas locais e globais, as

matrizes de rotação das barras, a matriz de rigidez global da estrutura, os vetores de

carga, as matrizes e vetores resultantes do Método Cholesky (processo utilizado para

resolução do sistema de equações), além dos resultados da análise da estrutura

(deslocamentos nos nós, reações nos apoios e esforços internos em cada barra da

estrutura).

Por fim, os resultados apresentados no arquivo de saída são comparados com os

resultados obtidos em outros programas de análise de treliças espaciais, tais como o

MASTAN2 e o ANSYS, com a finalidade de verificar a funcionalidade do programa.

CONCLUSÕES

Ao término do projeto espera-se que o programa de treliça espacial seja objeto

de auxílio para os profissionais da área na análise estrutural de treliças espaciais,

servindo também como instrumento didático aos alunos de Engenharia Civil na

resolução de exemplos de análise deste tipo de estrutura pelo Método da Rigidez.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GERE, J. M.; WEAVER, W., Análise de Estruturas Reticuladas. Rio de Janeiro:

Editora Guanabara S.A., 1987.

KAMINSKI, J.; GOMES, H. M., Notas de aula: Análise Matricial de Estruturas

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MARTHA, L. F., Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro:

Elsevier, 2010.

SANTOS, M. I.; KLEIN, S. P., Análise Matricial de Estruturas de Barras pelo

Método de Rigidez – Caderno Técnico Nº 66. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS,

1984, 76 pág.

SORIANO, H.L., Análise de Estruturas: Análise de estruturas - Formulação

Matricial e Implementação Computacional. Rio de Janeiro: Editora Ciência

Moderna Ltda., 2005.