resoluÇÃo da prova de matemÁtica - passe na ufrgs · pr 38) ( ) 3,75 ( ) 39) 242 1 1 6: 120:10...
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VESTIBULAR UFRGS 2020 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Questão 26
2 2
0 ,a c a c
I Se entãob d b d
−
2
. .
.
.
a c
b d
a c c c
b d d d
a c c
b d d
2
. .
.
.
a c
b d
a a c a
b b d b
a a c
b b d
2
2
.
.
a cFazendo x
b d
cx
d
ax
b
=
2 2
( )a c
Então Vb d
0, 0a c a
II Se entãob d b
− +
0,
0,
c a c ase
d b d b
c a c ase
d b d b
+
+
, ( )Logo a afirmativa é F
Por atribuição:
40
4 1 331 1 0 ( )
1 3 3 30
3
a a
c ab bF
c c d b
d d
= −
+ = − + = − = − − =
:
2
2
aIII onde a é par e b é par
b
a x x a
b y y b
−
=
=
2( )
2
a x x a xfoi reduzida a F
b y y b y= =
Por atribuição:
8
10
a
b
=
=
8 2.4 4( )
10 2.5 5F= =
27)
1 1 1 11 . 1 . 1 ... 1
2 3 4 100
1 2 3 4 5 98 99 1 1. . . . ... . ( )
2 3 4 5 6 99 100 100 10A
− − − −
= =
28)
2
2
1 2
2 2 2
2
Re 1
2 8 0
( 2) ( 2) 4.1.( 8)
2
2 4 32 2 36
2 2
2 6 8 44 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 2 4 2
1 1( )
4 16
solução
x x
x
x
x x x
a b
C
− − =
− − − − −=
+ = =
= = = = − = −
+ = + = −
−
= − =
2
2 2
Re 2
2 8 0
1 1
2 1
8 4
1 1 1 1( )
4 16
solução
x x
raízes a e b
A soma dos inversos das raízes é dada por
b a S b cS P
a b ab P a a
S
P
Ca b
− − =
++ = = = − =
= = −−
+ = − =
29)
Utilizando a Lei dos Cossenos: 30)
31)
2 2 2
2
2
2
2
3 5 2.3.5.cos(150 )
9 25 2.3.5. os(30 )
39 25 2.3.5.
2
9 25 3.5.( 3)
34 15 3
34 15 3 ( )
o
o
x
x c
x
x
x
x E
= + −
= + − −
= + − −
= + − −
= +
= +
2
2 2
2
2
2 2 2 2.
22 2
2
d =
=
=
= =
=
1 2
2 1 ( )
x
x A
+ =
= −
:
2.
32.
2
3 1 3 3
3 1
hexág
hexág
hexág
Altura do hexágono
H x
H
H
x
=
=
= = =
= −
:
.
2
1
2
triâng
triâng
Área do triângulo
base alturaA
xA
=
= ( )
:
1
2
1 3 1
2
3 1( )
2
triâng
triâng
triâng
Área do triângulo
xA
A
A B
=
−=
−=
32)
33)
2 2 2
2
2 2
2
4 4
32
2.4
2.4
4 2
(
)
h
h
h
h
h
ou utilizar a diagonal
quadrado
= +
=
=
=
=:
2
4 4 2
2
8 2 ( )
Área do Triângulo
base alturaA
A
A C
=
=
=
( )
3
3 3
2
3
1
33
3
33
3
2 8
.. .2
. 2 2
3 3 3 3
3.3
1( )
8 8
pirâmides
cubo
cubo
basepirâmide
pirâmides
pirâmides
cubo
VRazão
V
V a a
a a ah a
A h aV
aV a
V aRazão A
V a
=
= =
= = =
= =
= = =
34) 35)
2
2
.6 .448
3 3
.6 .224
3 3
48 24
24
P
bPmaior
bPmenor
P Pmaior Pmenor
P
V
A hV
A hV
V V V
V
= = =
= = =
= − = −
=
2
2
.4 .632
3 3
.2 .68
3 3
32 8
24
Q
bQmaior
bQmenor
Q Qmaior Qmenor
Q
V
A hV
A hV
V V V
V
= = =
= = =
= − = −
=
241
24
( )
p
Q
VRazão
V
Razão
B
=
= =
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
1 ( )
3
2
y x
y x
x
x corte no x
corte no y
−
= −
=
=
= −
25
3
25
3
25
3
15 15( )
2 2
3
2
y x
y x
x
x corte no x
corte no y
− +
= − +
− = −
= − =−
= −
( ) ( )2 2
3 3 9
: (3, 3)
: 3
x y
Centro C
Raio r
− + −
=
2 2
3 2(
2 3
sin ), .
( 90 ).
1:
4
. .3 9( )
4 4 4
o
Os coeficientes angulares são e invertidos e com
ais opostos então as retas são perpendiculares
ângulo de entre elas Isso faz com que a
área marcada seja da área do círculo
rA C
−
= = =
36)
37)
8
.
2
Re
( ) :
12 8
8 12
2 3
2
3
APDE
APQ
A x
x yA
lação entre x e y
semelhança de triângulos
x y
x y
x y
xy
=
=
=
=
=
=2 2 2
2
2.
2 1 23 .2 3 2 6 3
:
( ) 8 ( )3
APQ
xx
x x xA
Função da área
xA x x D
= = = =
= −
*
( ) 1
( ) :
f x x
f x x tem o gráfico abaixo
= +
=
( ) 1 " "
:
f x x desloca uma unidade para
a ESQUERDA
= +
*
( ) 1
( ) :
g x x
g x x tem o gráfico abaixo
= − −
= ( ) 1
:
1 :
" "
:
g x x
negativo antes do módulo
inverte a concavidade
fora do módulo
desloca uma unidade para
a BAIXO
= − −
−
( ) ( ) :f x e g x no mesmo sistema cartesiano
( )
, log ( ) ( ) ,
, ,
( )
Observa se que f está acima de g em toda a
sua extensão o f x g x para todo x
ou ainda para todo x
E
−
− +
38) 39)
1
6
: 120
: 10
Meia vida horas
Concetração inicial C mg
Horário inicial horas
− =
=
1
.
1Pr
2
1exp .
2
, :
1( ) ,
2
x
Meia vida é o tempo necessário para a redução da massa pela metade
Isso gera uma ogressâo Geométrica de razão q ou uma função
onencial decrescente com a base da potência igual a
Elaborando a função temos
C x C
−
=
=
1( ) ,
. ( 6 )
onde C x é a concentração C é a concentração inicial
e x representa o número de períodos cada período é igual a horas
int :O número de períodos pode ser obtido pelo processo uitivo
5
:8
:
1( ) 120
2
1( ) 120
32
120( )
32
15( ) 3,75
4
( ) 3,75 ( )
Substituindo se
C x
C x
C x
C x
C x mg C
−
=
=
=
= =
=
Pr 2.
( 2 )
Pode se perceber que trata se de uma
ogressão Aritmética de razão r
aumento de palitos a cada etapa
− −
=
1
:
( 1).
245 3 ( 1).2
245 3 ( 1).2
2421
2
121 1
122 ( )
n
Empregando se a Fórmula do Termo Geral
a a n r
n
n
n
n
n C
−
= + −
= + −
− = −
= −
+ =
=
40)
41) 42)
1
1 2
1
1
1 1 11 ... , ,
2 4 8
lim inf
.
112
1 1 2
1 11 2 2 2
1 11
2 2
A distância entre os pontos P e B
resulta da soma ou seja
é igual ao ite da soma dos initos
termos de uma PG
a aS q
q a
S S PB
+ + +
= = = =−
= = = = =
−
:
Aplicando o Teorema de Pitágoras
no triângulo retângulo obtido
2 2 2
1 2
2 2 2
2
1 2
5
5 ( )
hip cat cat
AB
AB
AB E
= +
= +
=
=
( )5 2
:
log 2
log3
min log 288.
log 288 log 2 .3
5.log 2 2.log3
5 2 ( )
Dados
x
y
Deter ar o valor de
x y B
=
=
=
= +
= +
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
3 2
3 2
33 2
3
( )
( ) 3 3 1
3 3 1 2 :
3 3 1 1 . :
( ) 1 ,
( ) 1 . 1 . 1 . ,
det min
f x x
g x x x x
x x x é o cubo da soma de termos
x x x x Então
g x x que também pode ser escrita como
g x x x x Nessa forma fatorada
de cada fator pode se er ar uma raiz
estabelecendo
=
= + + +
+ + +
+ + + = +
= +
= + + +
−
1 2 3
:
1 0
1 1:
1, 1 1
igualdade a zero
x
x raiz tripla igual a
x x e x
+ =
= − −
= − = − = −
:
, int
tan .
tan ,
( )
Gráfico
Quando uma raíz tem multiplicidade
ímpar a curva ercepta o eixo x
genciando o no valor da raiz
Por to o gráfico correto está na
alternativa D
−
43) 44)
( )
( )
( )
( ) 2. ( ) 2.cos( )
:
245 2. 45 2
2
2cos 45 2.cos 45 2
2
( ) 2. ( ) 2.cos( )
( ) 2. 45 . 2.cos 45 .cos
( ) 2 45 . cos 45 .cos
( ) 2 cos .cos 45 . 45
( ) 2.cos 45
o o
o o
o o
o o
o o
o
f x sen x x
Considerando
sen sen
f x sen x x
f x sen sen x x
f x sen sen x x
f x x sen x sen
f x x
= +
= =
= =
= +
= +
= +
= +
= −
exp cos
"1":
( ) 2.1 2 ( )
O valor máximo pode ser obtido
substituindo se a ressão do
por
f x B
−
= =
,
cos
, ,
exp
cos " 1" "1";
Para esse tipo de questão quando a função
é descrita em seno ou seno e solicita se
o valor máximo ou o valor mínimo na prática
pode se substituir a ressão em seno ou
em seno por e por o menor valor
obtido corresponde ao mín
−
−
−
.
imo e o maior
corresponde ao máximo
2 2
2 2
:
20 400
, ,
int .
. .10 100
400 100 ( )
quadrado
círculo
sombreada
A área do quadrado central
é dada por
A
A parte não sombreada desse quadrado
corresponde a dois semicírculos ou seja
é igual a um círculo eiro
A r
A D
Também poderi
= = =
= = =
= −
:
100(4 )sombreada
a estar na forma
A = −
45) 46)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
1 2
1 4
: 0
1 0 4
1 4
1 4
1 2
1 2 1 2
3 1
x y
Corte no eixo x fazer y
x
x
x
x
x x
x x
+ + =
=
+ + =
+ =
+ =
+ =
+ = − + =
= − =
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
1 2
1 4
: 0
0 1 4
1 4
4 1
3
3
3 3
x y
Corte no eixo y fazer x
y
y
y
y
y
y y
+ + =
=
+ + =
+ =
= −
=
=
= − =
inf :A partir dessas ormações obtém se o esboço do gráfico−
1
1
2
2 3 13
2
b hA
A
=
= =
2
2
2
2 3 33 3 3 3 3 4 3 ( )
2políg
b hA
A A D
=
= = = + =
7
2 9
. . .: min
( )
:
det min 0 0 :
1 10
2
2
2 0
2 2 ( )
x y
a y
S P D Sistema Possível e Deter ado
Uma única solução
Condição necessária
er ante principal D
a
a
a
a a E
+ =
+ =
−
47) 48)
, ,
3,3
6
3,3
6
min :
36
3
!
! ! !
6! 6.5.4.3!
3! 3! 3! 3!
5.4 20
a b c
n
Ca hos de A até C
Subir vezes etotal
direita vezes
S S S D D D
nP
a b c
P
P
=
=
= =
= =
, ,
2,4
6
2,4
6
min :
26
4
!
! ! !
6! 6.5.4!
2! 4! 2! 4!
3015
2
a b c
n
Ca hos de C até B
Subir vezes etotal
direita vezes
S S D D D D
nP
a b c
P
P
=
=
= =
= =
min
( ) : Pr :
20 15 300 ( )
Total de ca hos de A até B
passando por C aplicando o incípio Fundamental da Contagem
n D= =
( )f
P Et
=
( ), 60,6
6 60 :
(
mod ,
) :
!
! !n p
Total de possibilidades para escollher
quaisquer números dentre
Como a ordem dos escolhidos não
ifica a escolha feita trata se
de combinações
nC C
p n p
−
= =−
, ,
6 .
Possibilidades favoráveis ou seja
quando todos os escolhidos são primos
( ), 17,6
, ,
6 :
!
! !n p
Possibilidades favoráveis ou seja
quando todos os escolhidos são primos
nC C
p n p= =
−17,6
60,6
( ) ( )Cf
P E At C
= =
49)
30 ( )
:
( ).
Re Pr : 2 int
Total de alunos quantidade par
Se a quantidade de elementos da distribuição é ÍMPAR a mediana é o termo central
dados organizados em ordem crescente ou decrescente
gra ática Divide se o total por e pega se o próximo eir
=
− − . ,
31 : 31 : 2 15,5. 16
:
. ( ).
Re
o
o Por exemplo
com elementos A mediana é o elemento
Se a quantidade de elementos da distribuição é PAR a mediana é média aritmética
dos dois termos centrais dados organizados em ordem crescente ou decrescente
gr
=
Pr : 2 int .
, 30 : 30 : 2 15. 15 16
.
o o
a ática Divide se o total por e pega se o quociente e o próximo eiro
Por exemplo com elementos A mediana é a média entre o e o
elemento
− −
=
, .
15 16 .
15 6 (15 5 10 )
16 8 ( )
6 87,0 ( )
2
30 ,
o o
o o o o
o
Na tabela do exercício os dados já estão em ordem crescente
A mediana será a média entre o e o elemento
elemento nota
elemento nota é próximo valor na tabela
md md B
Observe as notas como co
= = +
=
+= =
:mplemento resolutivo
50)
2019 30
2020 40
10
I
Diferença
−
→
→
=
100.1030 100% 33,3% ( 20%) ( )
30
10 %
x mais de V
x
−−−− = =
−−−−
2017 15
2019 30
2017 15, 2019
100%. 2017,
15, sup 100% ( )
II
menos de
Se em fosse exatamente em ter se ia o dobro
que gera um aumento de Mas como em tem se
menos de a porcentage de aumento é erior aos V
−
→
→
− −
−
2012 3
2016 12
. 300%.
18.100 18002010 12 12 100% 150%
12 12
2019 30 18 %
18
III
Quadruplicou o valor de armazenamento Significa um aumento de
x
x
A diferença é
−
→
→
→ −−−− = = =
→ −−−−
2012 2016 ( )
( )
No período de a o crescimento percentual foi maior V
E