Adriano Alberto

1 ENG285

Tipos de materiais: - Heterogêneos - Homogêneos . Isotrópico: deformação igual em todas as direções . Ortotrópico: deformação igual em duas e diferente em uma direção . Anisotrópico: deformação diferente em todas as direções Exemplo de livro recomendado pelo professor: Estruturas Reticuladas: Süssekinis

RESOLUÇÃO LISTA 1 Adriano Alberto PROBLEMAS ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL 1 a 4) Traçar o diagrama de esforço normal. (Obs.: qx variação linear com a distância) 1)

↑ �

Para 0 ≤ x < 2:

5 + N = 0 => N = - 5 kN

Adriano Alberto

2

Para 2 ≤ x < 3:

5 - 10 + N = 0 => N = 5 kN

2)

Adriano Alberto

3

↓ � Para 0 ≤ x < 0,2: 10 + N = 0 => N = - 10 kN

Para 0,2 ≤ x < 0,6: 10 – 20 + N = 0 => N = 10 kN

Para 0,6 ≤ x < 1: 10 – 20 + 30 + N = 0 => N = - 20 kN

Adriano Alberto

4

3)

Adriano Alberto

5

Para 0 ≤ x < 2: 1,5 . x + 6 + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 6 N(0) = - 6 kN N(2) = - 9 kN Para 2 ≤ x < 4: 1,5 . 2 + 6 – 4 + 1,5 . (x – 2) + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 2 N(2) = - 5 kN N(4) = - 8 kN Para 4 ≤ x < 6: 1,5 . 4 + 6 – 4 + 6 + 1,5 . (x – 4) + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 8 N(4) = - 14 kN N(6) = - 17 kN

Adriano Alberto

6

4)

q(x) = - �� . x + q

N(x) = � � �� . �� = � � ������� = q(x) = -

�� . x + q

Para q(x) = 0 => x = L

N(L) = q . L - ����� =

���

PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MO MENTO FLETOR 5 a 8) Para as vigas a seguir, pedefletor em cada trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os valores máximos de V e M e onde eles ocorrem.

V(x) = - ��. �� + C1 ;

M(x) = �����. �� + C2

5)

�� . x � q!. �� => N(x) = �2 ��� . x!. �� = qx

PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MO MENTO

Para as vigas a seguir, pede-se: a) escrever as equações do esforço cortante e do momento trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os

onde eles ocorrem.

; V(x) = �#����� ; q = -

�������

Adriano Alberto

7

qx - �����

PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MO MENTO

se: a) escrever as equações do esforço cortante e do momento trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os

Adriano Alberto

8

a)

RL - 30 . 4 – 4 – 20 . 4 – 60 + RR = 0 => RL + RR – 264 = 0

∑%& = 0 => - 30 . 4 . 2 – 4 . 6 – 20 . 4 . 6 + 8 . RR - 60 . 10 = 0 => RR = '())* => RR = 168 kN

RL + 168 – 264 = 0 => RL = 96 kN

Para 0 ≤ x < 4:

RL – 30 . x – V(x) = 0 => 96 – 30 . x – V(x) = 0 => V(x) = - 30x + 96

Ou

V(x) = - �. + + C1 => V(x) = - �30. + + C1 => V(x) = - 30x + C1

V(0) = 96 kN => - 30 . 0 + C1 = 96 => C1 = 96

=> V(x) = - 30x + 96 (OK)

Para V(x) = 0:

- 30x + 96 = 0 => x = 3,2 m

V(4) = - 30 . 4 + 96 = - 24 kN

M(x) = �.� �. + + C2 => M(x) = ���30x � 96�. + + C2 => M(x) = - 15 x² + 96x + C2

M(0) = 0 => - 15 (0)² + 96 . 0 + C2 = 0 => C2 = 0

=> M(x) = - 15 x² + 96x

Ou

Adriano Alberto

9 - 96x + 30x .

�� + M(x) = 0 => M(x) = - 15 x² + 96x (OK)

M f,máx = M(3,2) = - 15 . (3,2)² + 96 . 3,2 => M f,máx = 153,6 kN.m

Para M(x) = 0:

- 15 x² + 96x = 0 => x(-15x + 96) = 0 => 1 = 0 = 96/15 = 6,489

M(0) = 0

M(4) = - 15 . (4)² + 96 . 4 => M(4) = 144 kN.m

Para 4 ≤ x < 6:

96 – 30 . 4 – 20(x – 4) – V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 20x + 80 => V(x) = - 20x + 56

Ou

V(x) = - �20. + + C3 => V(x) = - 20x + C3

V(4) = - 24 kN => - 20 . 4 + C3 = - 24 => C3 = - 24 + 80 => C3 = 56

Logo,

V(x) = - 20x + 56 (OK)

V(4) = - 24 kN

V(6) = - 20 . 6 + 56 = - 64 kN

M(x) = ���20x � 56�. + + C4 => M(x) = - 10 x² + 56x + C4

M(4) = 144 kN.m => - 10 . (4)² + 56 . 4 + C4 = 144 => C4 = 144 – 64 => C4 = 80

=> M(x) = - 10 x² + 56x + 80

Ou

Adriano Alberto

10 - 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20(x – 4) .

��:)�� + M(x) = 0

=> - 96x + 120x – 240 + 10(x² - 8x + 16) + M(x) = 0

=> - 56x – 80 + 10x² + M(x) = 0 => M(x) = - 10 x² + 56x + 80 (OK)

M(4) = 144 kN.m

M(6) = - 10 (6)² + 56 . 6 + 80 => M(6) = 56 kN . m

Para 6 ≤ x < 8:

96 – 30 . 4 – 20 . 2 - 20(x – 6) – 4 - V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 40 - 20x + 120 – 4

=> V(x) = - 20x + 52

Ou

V(x) = - �20. + + C5 => V(x) = - 20x + C5

V(6) = - 64 – 4 = - 68 kN => - 20 . 6 + C5 = - 68 => C5 = - 68 + 120 => C5 = 52

Logo,

V(x) = - 20x + 52 (OK)

V(6) = - 68 kN

V(8) = - 20 . 8 + 52 = - 108 kN

M(x) = ���20x � 52�. + + C6 => M(x) = - 10 x² + 52x + C6

M(6) = 56 kN.m => - 10 . (6)² + 52 . 6 + C6 = 56 => C6 = 56 + 48 => C6 = 104

=> M(x) = - 10 x² + 52x + 104

Ou

Adriano Alberto

11 - 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20 . 2 . (x – 5) + 4(x – 6) + 20(x – 6) .

��:;�� + M(x) = 0

=> - 96x + 120x – 240 + 40x – 200 + 4x – 24 + 10(x² - 12x + 36) + M(x) = 0

=> - 52x – 104 + 10x² + M(x) = 0 => M(x) = - 10 x² + 52x + 104 (OK)

M(6) = 56 kN.m

M(8) = - 10 (8)² + 52 . 8 + 104 => M(8) = - 120 kN . m

Para 8 ≤ x < 10:

96 – 30 . 4 – 20 . 4 – 4 + 168 - V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 84 + 168

=> V(x) = 60 kN

M(x) = ��60�. + + C7 => M(x) = 60x + C7

M(8) = - 120 kN . m => 60 . 8 + C7 = - 120 => C7 = - 600

=> M(x) = 60x - 600

Ou

- 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20 . 2 . (x – 5) + 4(x – 6) + 20 . 2 . (x – 7) – 168(x – 8) + M(x) = 0

=> - 96x + 120x – 240 + 40x – 200 + 4x – 24 + 40x – 280 – 168x + 1 344 + M(x) = 0

=> - 60x + 600 + M(x) = 0 => M(x) = 60x - 600 (OK)

M(8) = - 120 kN . m

M(10) = 60 . 10 - 600 => M(10) = 0

Diagrama:

Adriano Alberto

12

Adriano Alberto

13

Carregamento equivalente feito para teste (diagrama diferente):

a)

RL - 120 – 84 - 60 + RR = 0 => RL + RR – 264 = 0

∑%& = 0 => - 120 . 2 – 84 . 6 + 8 . RR - 60 . 10 = 0 => RR = '())* => RR = 168 kN

RL + 168 – 264 = 0 => RL = 96 kN

Para 0 ≤ x < 2:

RL – V(x) = 0 => 96 –V(x) = 0 => V(x) = 96 kN

M(x) = �.� �. + + C1 => M(x) = ��96�. + + C1 => M(x) = 96x + C1

M(0) = 0 => 96 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> M(x) = 96x

Ou

- 96x + M(x) = 0 => M(x) = 96x (OK)

Adriano Alberto

14

M(0) = 0

M(2) = 96 . 2 => M(2) = 192 kN.m

Para 2 ≤ x < 6:

96 –120 – V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 => V(x) = - 24 kN

M(x) = ���24�. + + C2 => M(x) = - 24x + C2

M(2) = 192 kN.m => - 24 . 2 + C2 =192 => C2 = 240

=> M(x) = - 24x + 240

Ou

- 96x + 120 . (x – 2) + M(x) = 0 => - 96x + 120x – 240 + M(x) = 0

=> M(x) = - 24x + 240 (OK)

M(2) = 192 kN.m

M(6) = - 24 . 6 + 240 => M(6) = 96 kN . m

Para 6 ≤ x < 8:

96 –120 – 84 - V(x) = 0 => V(x) = - 108 kN

M(x) = ���108�. + + C3 => M(x) = - 108x + C3

M(6) = 96 kN.m => - 108 . 6 + C3 = 96 => C3 = 744

=> M(x) = - 108x + 744

Ou

Adriano Alberto

15

- 96x + 120 . (x – 2) + 84(x – 6) + M(x) = 0

=> - 96x + 120x – 240 + 84x - 504 + M(x) = 0 => M(x) = - 108x + 744 (OK)

M(6) = 96 kN.m

M(8) = - 108 . 8 + 744 => M(8) = - 120 kN.m

Para 8 ≤ x < 10:

96 –120 – 84 + 168 - V(x) = 0 => V(x) = 60 kN

M(x) = ��60�. + + C4 => M(x) = 60x + C4

M(8) = - 120 kN.m => 60 . 8 + C4 = - 120 => C4 = - 600

=> M(x) = 60x - 600

Ou

- 96x + 120 . (x – 2) + 84(x – 6) – 168(x – 8) + M(x) = 0

=> - 96x + 120x – 240 + 84x - 504 – 168x + 1 344 + M(x) = 0 => M(x) = 60x - 600 (OK)

M(8) = - 120 kN.m

M(10) = 60 . 10 - 600 => M(10) = 0

6)

Adriano Alberto

16

a)

Para 0 ≤ x < 2:

3x - V(x) = 0 => V(x) = 3x

Ou

V(x) = �. + + C1 => V(x) = ��3�. + + C1 => V(x) = 3x + C1

V(0) = 0 => 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> V(x) = 3x (OK)

V(0) = 0

V(2) = 3 . 2 = 6 kN

M(x) = �.� �. + + C2 => M(x) = ��3x�. + + C2 => M(x) = 1,5 x² + C2

M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C2 = - 12 => C2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12

Ou

12 - 3x . �� + M(x) = 0 => M(x) = 1,5 x² - 12 (OK)

M(0) = - 12 kN.m

M(2) = 1,5 . (2)² - 12 => M(2) = - 6 kN.m

Para 2 ≤ x < 5:

3 . 2 + 5,5 – 5(x – 2) - V(x) = 0 => V(x) = - 5x + 21,5

Ou

V(x) = - �. + + C3 => V(x) = - ��5�. + + C3 => V(x) = - 5x + C3

V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kN => - 5 . 2 + C3 = 11,5 => C3 = 21,5

=> V(x) = - 5x + 21,5 (OK)

Adriano Alberto

17

V(2) = 11,5 kN

V(5) = - 5 . 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kN

Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m

M(x) = �.� �. + + C4 => M(x) = ���5x � 21,5�. + + C4

=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x + C4

M(2) = - 6 kN.m => - 2,5 (2)² + 21,5 . 2 + C4 = - 6 => C4 = - 39

=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39

Ou

12 – 3 . 2 . (x – 1) – 5,5(x – 2) + 5(x – 2) . ��:��� + M(x) = 0

=> 12 – 6x + 6 – 5,5x + 11 + 2,5(x² - 4x + 4) + M(x) = 0

=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39 (OK)

M(2) = - 6 kN.m

M(5) = - 2,5 (5)² + 21,5 . 5 - 39 => M(5) = 6 kN.m

M f,máx = M(4,3) = - 2,5 . (4,3)² + 21,5 . 4,3 - 39 => M f,máx = 7,225 kN.m

Para 5 ≤ x < 7:

3 . 2 + 5,5 – 5 . 3 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kN

M(x) = �.� �. + + C5 => M(x) = ���6,5�. + + C5

=> M(x) = - 6,5x + C5

M(5) = 6 kN.m => - 6,5 . 5 + C5 = 6 => C5 = 38,5

=> M(x) = - 6,5x + 38,5

Adriano Alberto

18

Ou

12 – 3 . 2 . (x – 1) – 5,5(x – 2) + 5 . 3 . (x – 3,5) + 3(x – 5) + M(x) = 0

=> 12 – 6x + 6 – 5,5x + 11 + 15x – 52,5 + 3x – 15 + M(x) = 0

=> M(x) = - 6,5x + 38,5 (OK)

M(5) = 6 kN.m

M(7) = - 6,5 . 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kN.m

Diagrama:

Adriano Alberto

19

Adriano Alberto

20

7)

Para 0 ≤ x < 2:

- 3x - V(x) = 0 => V(x) = - 3x

Ou

V(x) = - �. + + C1 => V(x) = - ��3�. + + C1 => V(x) = - 3x + C1

V(0) = 0 => - 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> V(x) = - 3x (OK)

V(0) = 0

V(2) = - 3 . 2 = - 6 kN

M(x) = �.� �. + + C2 => M(x) = ���3x�. + + C2 => M(x) = - 1,5 x² + C2

M(0) = 4 => - 1,5 (0)² + C2 = 4 => C2 = 4 => M(x) = - 1,5 x² + 4

Ou

- 4 + 3x . �� + M(x) = 0 => M(x) = - 1,5 x² + 4 (OK)

M(0) = 4 kN.m

M(2) = - 1,5 . (2)² + 4 => M(2) = - 2 kN.m

Adriano Alberto

21

Para 2 ≤ x < 4,5:

- 3 . 2 + 16 - V(x) = 0 => V(x) = 10 kN

M(x) = �.� �. + + C3 => M(x) = ��10�. + + C3 => M(x) = 10x + C3

M(2) = - 2 kN.m => 10 . 2 + C3 = -2 => C3 = - 22

=> M(x) = 10x - 22

Ou

- 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + M(x) = 0 => M(x) = 10x – 22 (OK)

M(2) = - 2 kN.m

M(4,5) = 10 . 4,5 – 22 => M(4,5) = 23 kN.m

Para 4,5 ≤ x < 7:

- 3 . 2 + 16 – 4(x – 4,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 28

Ou

V(x) = - �. + + C4 => V(x) = - ��4�. + + C4 => V(x) = - 4x + C4

V(4,5) = 10 kN => - 4 . 4,5 + C4 = 10 => C4 = 28

=> V(x) = - 4x + 28 (OK)

V(4,5) = 10 kN

V(7) = - 4 . 7 + 28 => V(7) = 0

Para V(x) = 0 => - 4x + 28 = 0 => x = 7 m

M(x) = �.� �. + + C5 => M(x) = ���4x � 28�. + + C5 => M(x) = - 2x² + 28x + C5

M(4,5) = 23 - 8 = 15 kN.m => - 2(4,5)² + 28 . 4,5 + C5 = 15 => C5 = - 70,5

Adriano Alberto

22

=> M(x) = - 2x² + 28x – 70,5

Ou

- 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + 8 + 4(x – 4,5) . ��:),=�

� + M(x) = 0

=> - 4 + 6x – 6 – 16x + 32 + 8 + 2(x² - 9x + 20,25) + M(x) = 0

=> M(x) = - 2x² + 28x – 70,5 (OK)

M(4,5) = 15 kN.m

M(7) = - 2(7)² + 28 . 7 – 70,5 => M(7) = 27,5 kN.m

Para 7 ≤ x < 9,5:

- 3 . 2 + 16 – 4 . 2,5 – 6 - 4(x – 7) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 22

Ou

V(x) = - �. + + C6 => V(x) = - ��4�. + + C6 => V(x) = - 4x + C6

V(7) = 0 – 6 = - 6 kN => - 4 . 7 + C6 = - 6 => C6 = 22

=> V(x) = - 4x + 22 (OK)

V(7) = - 6 kN

V(9,5) = - 4 . 9,5 + 22 => V(9,5) = - 16 kN

M(x) = �.� �. + + C7 => M(x) = ���4x � 22�. + + C7 => M(x) = - 2x² + 22x + C7

M(7) = 27,5 kN.m => - 2(7)² + 22 . 7 + C7 = 27,5 => C7 = - 28,5

=> M(x) = - 2x² + 22x – 28,5

Ou

Adriano Alberto

23 - 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + 8 + 4 . 2,5 . (x – 5,75) + 6(x – 7) + 4(x – 7).

��:>�� + M(x) = 0

=> - 4 + 6x – 6 – 16x + 32 + 8 + 10x – 57,5 + 6x – 42 + 2(x² - 14x + 49) + M(x) = 0

=> M(x) = - 2x² + 22x – 28,5 (OK)

M(7) = 27,5 kN.m

M(9,5) = - 2(9,5)² + 22 . 9,5 – 28,5 => M(9,5) = 0

Diagrama:

Adriano Alberto

24

Adriano Alberto

25

8)

Para 0 ≤ x < 1,5:

- 4x - V(x) = 0 => V(x) = - 4x

Ou

V(x) = - �. + + C1 => V(x) = - ��4�. + + C1 => V(x) = - 4x + C1

V(0) = 0 => - 4 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> V(x) = - 4x (OK)

V(0) = 0

V(1,5) = - 4 . 1,5 = - 6 kN

M(x) = �.� �. + + C2 => M(x) = ���4x�. + + C2 => M(x) = - 2x² + C2

M(0) = - 3 kN.m => - 2 (0)² + C2 = - 3 => C2 = - 3 => M(x) = - 2x² - 3

Ou

3 + 4x . �� + M(x) = 0 => M(x) = - 2x² - 3 (OK)

M(0) = - 3 kN.m

Adriano Alberto

26

M(1,5) = - 2 . (1,5)² - 3 => M(1,5) = - 7,5 kN.m

Para 1,5 ≤ x < 2,5:

- 4 . 1,5 + 18 – 4(x – 1,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 18

Ou

V(x) = - �. + + C3 => V(x) = - ��4�. + + C3 => V(x) = - 4x + C3

V(1,5) = - 6 + 18 = 12 kN => - 4 . 1,5 + C3 = 12 => C3 = 18

=> V(x) = - 4x + 18 (OK)

V(1,5) = 12 kN

V(2,5) = - 4 . 2,5 + 18 => V(4,5) = 8 kN

M(x) = �.� �. + + C4 => M(x) = ���4x � 18�. + + C4 => M(x) = - 2x² + 18x + C4

M(1,5) = - 7,5 kN.m => - 2(1,5)² + 18 . 1,5 + C4 = - 7,5 => C4 = - 30

=> M(x) = - 2x² + 18x - 30

Ou

3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4(x – 1,5) . ��:',=�

� + M(x) = 0

=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 2(x² - 3x + 2,25) + M(x) = 0

=> M(x) = - 2x² + 18x - 30 (OK)

M(1,5) = - 7,5 kN.m

M(2,5) = - 2 . (2,5)² + 18 . 2,5 - 30 => M(2,5) = 2,5 kN.m

Para 2,5 ≤ x < 4,5:

- 4 . 1,5 + 18 – 4 . 1 – 4(x – 2,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 18

Ou

V(x) = - �. + + C5 => V(x) = - ��4�. + + C5 => V(x) = - 4x + C5

Adriano Alberto

27

V(2,5) = 8 kN => - 4 . 2,5 + C5 = 8 => C5 = 18

=> V(x) = - 4x + 18 (OK)

V(2,5) = 8 kN

V(4,5) = - 4 . 4,5 + 18 => V(4,5) = 0

Para V(x) = 0:

- 4x + 18 = 0 => x = 4,5 m

M(x) = �.� �. + + C6 => M(x) = ���4x � 18�. + + C6 => M(x) = - 2x² + 18x + C6

M(2,5) = 2,5 – 6 = - 3,5 kN.m => - 2(2,5)² + 18 . 2,5 + C6 = - 3,5 => C6 = - 36

=> M(x) = - 2x² + 18x - 36

Ou

3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4 . 1 . (x – 2) + 6 + 4(x – 2,5) . ��:�,=�

� + M(x) = 0

=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 4x – 8 + 6 + 2(x² - 5x + 6,25) + M(x) = 0

=> M(x) = - 2x² + 18x - 36 (OK)

M(2,5) = - 3,5 kN.m

M(4,5) = - 2 . (4,5)² + 18 . 4,5 - 36 => M(4,5) = 4,5 kN.m

Para 4,5 ≤ x < 6:

- 4 . 1,5 + 18 – 4 . 1 – 4 . 2 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 3 kN

M(x) = �.� �. + + C7 => M(x) = ���3�. + + C7 => M(x) = - 3x + C7

M(4,5) = 4,5 kN.m => - 3 . 4,5 + C7 = 4,5 => C7 = 18

=> M(x) = - 3x + 18

Adriano Alberto

28

Ou

3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4 . 1 . (x – 2) + 6 + 4 . 2 .(x – 3,5) + 3(x – 4,5) + M(x) = 0

=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 4x – 8 + 6 + 8x – 28 + 3x – 13,5 + M(x) = 0

=> M(x) = - 3x + 18 (OK)

M(4,5) = 4,5 kN.m

M(6) = - 3 . 6 + 18 => M(6) = 0

Diagrama:

9 a 13) Para as vigas a seguir, pedefletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b) indicar os valores máximos de

9 a 13) Para as vigas a seguir, pede-se: a) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b)

os de V e M e onde eles ocorrem.

Adriano Alberto

29

se: a) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b)

Adriano Alberto

30

9)

- 80 . 1,5 + RB – 40 . 2 + RC - RD + RE - ',=.)?

� = 0 => RB + RC + RE = 230 (I)

∑%@ = 0 => RD . 1,5 - ',=.)?

� . A1,5 � ',=( B = 0 => RD =

(?',= = 20 kN

∑%C = 0 => RD . 1 – RB . 2 + 80 . 1,5 . 2,75 + 40 . 2 . 1 = 0 => 20 – RB . 2 + 330 + 80 = 0

=> RB = 215 kN

∑%D = 0 => 80 . 1,5 . 0,75 - 40 . 2 . 1 + RC . 2 + RD . 3= 0 => 90 – 80 + RC . 2 + 20 . 3 = 0

=> RC = - 35 kN

Substituíndo os valores em (I):

=> 215 - 35 + RE = 230 => RE = 50 kN

Para 0 ≤ x < 1,5:

V(0) = 0

V(1,5) = 0 - 80 . 1,5 = - 120 kN

Para 1,5 ≤ x < 3,5:

V(1,5) = - 120 + RB = - 120 + 215 = 95 kN

V(3,5) = 95 – 40 . 2 = 15 kN

Adriano Alberto

31

Para 3,5 ≤ x < 6:

V(3,5) = 15 + RC = 15 – 35 => V(3,5) = - 20 kN.m

V(6) = - 20 kN

Para 6 ≤ x < 7,5:

V(6) = - 20 + RE = - 20 + 50 => V(6) = 30 kN

V(7,5) = 30 - ',=.)?

� => V(7,5) = 0

V(x) = - 120 + 215 – 80 – 35 + 50 – q(x) . ��:;��

Semelhança de triângulos:

)?',= =

������:;� => q(x) = 26,66666667 . (x – 6)

V(x) = 30 – �;,;;;;;;;>

� . (x – 6)² => V(x) = 30 – 13,33333333 . (x² - 12x + 36)

=> V(x) = 30 – 13,33333333 . x² + 160x – 480 => V(x) = – 13,33333333 . x² + 160x – 450

�E����� = - 26,66666667 . x + 160

Para �E����� = 0 => x = 6 (ponto de máxima da parábola)

Area = � .� �+ >,=; = � �– 13,33333333.x² � 160x– 450�+ >,=

;

=> Area = A:'(,((((((((.�H( � 80 � � 450xB I>,=; 9 = - 750 – (– 780)

=> Area = 30 kN.m (OK)

Diagrama:

Adriano Alberto

32

Adriano Alberto

33

10)

- 24 + RB – 18 . 3 + RE – 24 . 1,5 . 0,5= 0 => RB + RE = 96 kN (I)

∑%D = 0 => 12 + 24 . 1 – 18 . 3 . 3 + 6 . RE – 24 . 1,5 . 0,5 . 7 = 0

=> 6 . RE = 252 => RE = 42 kN

Substituíndo em (I):

RB + 42 = 96 => RB = 54 kN

Para 2,5 ≤ x < 3:

V(x) = - 24 + 54 – 18(x – 2,5) => V(x) = - 18x + 75

Para V(x) = 0 => x = 4,166666667 m

Para 7 ≤ x < 8,5:

V(x) = - 24 + 54 – 54 + 42 – q(x) . ��:>��

Semelhança de triângulos:

�)',= =

������:>� => q(x) = 16(x – 7)

V(x) = 18 – 8(x – 7)² => V(x) = 18 – 8(x² - 14x + 49) => V(x) = - 8x² + 112x - 374

�E����� = - 16x + 112

Para �E����� = 0 => x = 7 (ponto de máxima da parábola)

Adriano Alberto

34 Area = � .� �+ *,=

> = � ��8x² � 112x � 374�+ >,=;

=> Area = A:*.�H( � 56 � � 374xB I*,=> 9 = - 770,6666667 – (– 788,6666667)

=> Area = 18 kN.m (OK)

Diagrama:

Adriano Alberto

35

Adriano Alberto

36

11)

- 8 + RB – 6 . 4 – 12 + RD – 6 = 0 => RB + RD = 50 kN (I) ∑%D = 0 => - 8 . 2 + 8 . 2 – 6 . 4 . 2 + 12 . 2 - 12 . 4 + RD . 6 – 6 . 8 = 0 => 6 . RD = 120

=> RD = '�?; ≅ 20 kN

Substituíndo em (I):

RB = 50 - 20 => RB = 30 kN

Para 2 ≤ x < 6:

V(x) = - 8 + 30 – 6(x – 2) => V(x) = - 6x + 34

Para V(x) = 0 => x = (); ≅ 5,666666667 m

Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante:

(16) - (16) + (3,666666667 . ��� ) – (0,333333333 .

��) - (12 . 2) – (14 . 2) + (2 . 6) = 0 (OK)

Diagrama:

Adriano Alberto

37

Adriano Alberto

38

12)

RA – 4 + 12 – 16 + RE = 0 => RA + RE = 8 kN (I) ∑%& = 0 => 2 – 4 . 4 + 12 + 12 . 6 + 10 . RE – 16 . 8 – 2 = 0 => RE =

;?'? => RE = 6 kN

Substituíndo em (I): RA + 6 = 8 kN => RA = 2 kN Para 3 ≤ x < 5:

V(x) = 2 – 2(x – 3) => V(x) = - 2x + 8

Para V(x) = 0 => x = 4 m

Para 6 ≤ x < 10:

V(x) = 2 – 4 + 12 - 4(x – 6) => V(x) = - 4x + 34

Para V(x) = 0 => x = 8,5 m

Diagrama:

Adriano Alberto

39

Adriano Alberto

40

13)

RA – 7 . 2 – 7 – 14 . 2 + RD – 7 . 2 = 0 => RA + RD = 63 kN (I) ∑%& = 0 => 25 – 7 . 2 . 1 – 7 . 2 – 14 . 2 . 3 – 11 + 7 . RD – 7 . 2 . 8 = 0

=> RD = �'?> = 30 kN

Substituíndo em (I): RA + 30 = 63 => RA = 33 kN Para 2 ≤ x < 4:

V(x) = 33 – 7 . 2 – 7 – 14(x – 2) => V(x) = - 14x + 40

Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m

Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante:

(- 25) + (14 + 38) + (0,857142857 . '�� ) – (1,142857143 .

';� ) + (11) – (16 . 3) + (14) = 0 (OK)

Diagrama:

Adriano Alberto

41

Adriano Alberto

42

14) O cortante e o momento fletor na extremidade A do segmento da viga (em equilíbrio) da figura ao lado são + 3 kN e – 2 kN.m, respectivamente, e o cortante e o momento fletor na extremidade D são desconhecidos. Desenhe os diagramas completos de cortante e de momento fletor para o segmento da viga, e escreva a equação de momento no intervalo CD.

3 – 3 – 3 . 2 + RD = 0 => RD = 6 kN ∑%& = 0 => 2 - 1,5 – 3 . 2 – 3 . 2 . 3 + 4 . 6 + MD = 0 => MD = - 0,5 kN.m Para 2 ≤ x < 4:

2 – 3x - 1,5 + 3(x – 2) + 3(x – 2) . ��:��� + M(x) = 0

=> 2 – 3x – 1,5 + 3x – 6 + 1,5 . (x² - 4x + 4) + M(x) = 0 => M(x) = - 1,5 . x² + 6x – 0,5 Diagrama:

Adriano Alberto

43

15) A figura ilustra o diagrama do cortante para uma viga com momento fletor nulo na extremidade esquerda e sem momento externo aplicadodiagramas de: a) carregamento; b) momento fletor. Opção 1:

A figura ilustra o diagrama do cortante para uma viga com momento fletor nulo na esquerda e sem momento externo aplicado entre os extremos. Desenhe os

Adriano Alberto

44 A figura ilustra o diagrama do cortante para uma viga com momento fletor nulo na

entre os extremos. Desenhe os

Opção 2:

∑LM = 0 => 16 . 2 – 80 + 4,25 . 16 ∑%D = 0 => - 32 . 1 + 68 . 2,125 Para 2 ≤ x < 6,25:

V(x) = 16 . 2 – 80 + 16(x – 2) => V(x) = 16x

Para V(x) = 0 => x = 5 m = C

80 + 4,25 . 16 – 20 = 0 (OK)

32 . 1 + 68 . 2,125 – 20 . 4,25 + M = 0 => M = - 27,5 kN.m

2) => V(x) = 16x – 80

= C

Adriano Alberto

45

Adriano Alberto

46

16) A figura mostra o diagrama do cortante para uma viga engastada na extremidade direita. Não há momentos externos aplicados em nenhum ponto ao longo da viga. Desenhe os diagramas de: a) carregamento; b) momento fletor.

∑LM = 0 => 0 – 30 + 75 – 20 – 15 – 35 + RE = 0 => RE = 25 kN (OK) Diagrama:

∑%D = 0 => 10 . 3 . 1,5 – 10 . 2 . 1

10 . 2 . 1 – 15 . 2 – 35 . 4 + 25 . 8 + M = 0 => M = -

Adriano Alberto

47

- 55 kN.m

17 e 18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os diagramas de esforço cortante e de carregamento para a viga. 17)

∑LM = 0 => 6,6 – 12,2 + 1,2 + 4,4 = 0 ∑%& = 0 => - 12,2 . 3 + 1,2 . 5,5

18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os cortante e de carregamento para a viga.

12,2 + 1,2 + 4,4 = 0 (OK)

12,2 . 3 + 1,2 . 5,5 – 3 + 4,4 . 7,5 = 0 (OK)

Adriano Alberto

48

18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os

18)

A(Triângulo CDh1) = (,;.NO

� = 32,4 =>

A(Triângulo DEh2) =

�,).N�� = 14,4 =>

∑LM = 0 => - 10 + 28 – 30 + 12 = 0 ∑%C = 0 => 10 . 5 – 28 . 2 –

= 32,4 => h1 = 18

= 14,4 => h2 = 12

30 + 12 = 0 (OK) 5 . 6 . 3 + 12 . 8 = 0 (OK)

Adriano Alberto

49

Adriano Alberto

50

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONCEITO DE TENSÃO, DEFORMAÇÃO E SEGURANÇA 19) Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto B, como mostra a figura. Trace o diagrama de esforço normal e determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.

Para 0 ≤ x < 0,8:

- 30 + N = 0 => N = 30 kN

Para 0,8 ≤ x < 2:

- 30 – 50 + N = 0 => N = 80 kN

P = Q& =

�&

PAB = �

&RS = (????

T.�?,?'?�� = 95 492 965,86 Pa

PBC = �

&RS = (????U=????T.�?,?'=�� = 113 176 848,4 Pa