MACVESTGABARITO COMENTADO - LISTA I

Polinômios e números complexos01 a) Demonstração.Dicas: Calcule f(x+h), [f(x+h)-f(x)]/h e compare com o resultado de g(x + h/2)b) Como f(1) = g(1) = f(-1) = 0, 1 é raíz de f(x) e g(x) e -1 é raiz de f(x). Tendo a1=1 e substituindo x por 1 nas devidas equações, obtemos um sistema linear. Resolvendo e achando os valores de a2, a1 e a0, obtemos como resposta o polinômio do 3º grau x3-x2-x+1.

02 Como 1+i é raiz da equação e a raiz da equação é tida a partir da seguinte relação:x4+a = 0 → x = 4√−a

Logo, sendo x = 1+i, temos: 1+i = 4√−a

elevando−se ambos os membros aquarta potência , temos :−a = (1+i)4

−a = (1+i)2⋅(1+ i)2

−a = (1+2i+i 2)⋅(1+2i+i2)Como i=√−1,temos que i 2 = −1

−a = (1+2i−1)⋅(1+2i−1)−a = (2i)⋅(2i )

−a = 4i2

−a = −4a = 4

03 a) Do gráfico, temos:para x = -2, y=0;para x = 1, y=0;para x=0, y=2.Substituindo os valores acima na equação ax³+bx+c, temos(-2)³a+(-2)b+c = 0 → -8a-2b+c = 0 (I)(1)³a+(1)b+c = 0 → a+b+c = 0 (II)0a+0b+c = 2 → c = 2 (III)Substituindo III em I e II, temos:-8a-2b = -2 (dividindo por 2) → -4a-b = -1 (IV)a+b = -2 (V)Somando IV com V, temos:-3a = -3a = 1 (VI)Substituindo VI em IV:-4.1-b = -1 → -b = 3 → b = -3

Portanto, os coeficientes a, b e c vale, respectivamente, 1, -3 e 2.

b) Sabemos que só são raízes da equação -2 e 1, porém, temos que saber a multiplicidade destas raízes. Portanto, analisemos as equações de grau inferior ao grau do polinômio. O polinômio em questão é:

P(x) = x³-3x+2

1

Valendo-se do algoritmo de Briot-Ruffini, vem:1 0 -3 2 | 11 1 -2 0 |

Logo, o polinômio de segundo grau que vem de P(x) é Q(x) = x²+x-2. Analisando as raízes de Q(x), vemos que elas são -2 e 1, sendo, também, -2 e 1 raízes de P(x). Como 1 já é raiz de P(x), dizemos que 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x).

Logo, as raízes de P(x) são -2, com multiplicidade 1, e 1, com multiplicidade 2.

04 Considere a equação:P(x) = x³ – (2a-1)x² – a(a+1)x + 2a²(a-1) = 0

E seja (a-1) uma raiz desta equação. Por definição, temos que se o polinômio é do 3º grau, ele possui três raízes. Como temos uma delas, as outras duas serã, genericamente, r1e r2. Com isso, podemos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini:

1 - (2a-1) - a(a+1) 2a²(a-1) | (a-1) 1 |

Simplificando o algoritmo:1 -2a+1 -a²-a 2a³-2a² | (a-1)

1 -a -2a² 0 | Com isso, sabemos que o polinômio de 2º grau que vem é:

Q(x) = x² – ax – 2a²Resolvendo Q(x), de forma a determinar suas raízes:

x² – ax – 2a² = 0Soma: -b/a = aProduto: c/a = -2a²Como a soma é positiva, a maior raíz é positiva e tendo-se o produto negativo, alguma raíz também é negativa, porém, como a maior raíz já é positiva, a menor tem que, obrigatoriamente, ser negativa. O produto pode ser fatorado, obtendo-se:Produto: c/a = -2a . a. Como (2a) é o maior fator, ele é positivo. Logo, o produto fica:Produto = c/a = 2a . (-a)Somente testando se 2a e (-a) são raízes:Soma = 2a – a = aEstá mais que comprovado que 2a e (-a) são raízes da equação. Como 2a e (-a) são raízes do polinômio Q(x) que foi obtido a partir do polinômio P(x), 2a e (-a) também são raízes de P(x).

Portanto, são raízes de P(x) (a-1), 2a e (-a).

05 TEMA DA QUESTÃO FORA DO CONTEÚDO ESTUDADO

06 a) Chamando a raíz média (maior que a menor e menor que a maior raíz), e como as raízes formam uma progressão aritmética, de razão genericamente tomada como sendo r, temos:

P.A. = (a-r, a, a+r)É dado que a soma das raízes é 9/5. Logo:Soma: a-r+a+a+r = 9/5 → 3a = 9/5 → a = 3/5.Também é dado que a diferença entre o quadrado da maior raíz e o quadrado da menor raíz é 24/5. Assim sendo:(a+r)² – (a-r)² = (fatorando – diferença de dois quadrados) (a+r + a -r) (a+r – a +r) = (2a)(2r) = 4ar = 24/5. Como a = 3/5, vem:4.3r/5 = 24/5 → 12r/5=24/5 → r = 2.

2

De posse de a e r, a progressão aritmética em questão é:P.A. = (3/5-2, 3/5, 3/5+2)P.A. = (-7/5, 3/5, 13/5)

b) Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra...

ATENÇÃO!!!!!!TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

1) Todo polinômio de grau maior que 1 pode vir a ter raízes complexas.2) Todo polinômio de grau maior que 1 pode ser decomposto como o produto da diferença entre a variável e suas raízes (teorema da decomposição).

an xn+an−1 xn−1+an−2 x n−2+ ...+a1 x+a0=an⋅(x−r1)⋅(x−r2)⋅( x−r3)⋅...( x−r n−1)⋅(x−r n)3) Corolário do teorema da decomposição (Decorrência de um teorema): Um polinômio de grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores de grau 1.4) Corolário do corolário: Sendo verdade que um polinômio de grau n pode ser decomposto em n fatores de grau 1 e como cada fator de grau 1 envolve a diferençaentre a variável e uma raíz, então um polinômio de grau n possui n raízes.

É claro que você não deve mostrar que você sabe de onde vem a definição com tanto espalhafato, como agora, no vestibular... Então, retomando:

Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio P(x) pode ser obtido pelo produto (Teorema da decomposição):

P (x )=5⋅( x−(−75

))⋅( x−35)⋅( x−13

5)

Realizando as operações necessárias, chegamos na seguinte expressão:

P (x )=125 x3−225 x2−365 x+273

25Que pode ser representado também por:

P (x )=125 x3

25−225 x2

25−365 x

25+ 273

25Vemos que o coeficiente de grau 1 é -365/25.

Simplificando a fração, temos que o coeficiente em questão é – 73/5.

07 a) Sendo Z0=1

1+i− 1

2i+ i , fazendo-se o MMC entre as frações, temos:

Z0=1

1+i− 1

2i+ i→Z 0=

1⋅2i−1⋅(1+i)+i⋅(2i)⋅(1+i)(1+i)⋅2i

Sendo assim, temos:

Z0=2i−1−i+2i2+2i2+2i3

2i+2i2

3

Como i=√−1 , temos quei3=√−1⋅√−1⋅√−1=−ie i 2=√−1⋅√−1=−1

Sendo assim:

Z0=2i−1−i+2i2+2i2+2i3

2i+2i2 =2i−1−i−2−2−2i2i−2

=−i−52i−2

Multiplicando-se pelo conjugado do denominador, temos:

Z0=−i−52i−2

⋅2i+22i+2

=(−i−5)⋅(2i+2)

(2i)2−22 =−2i 2−10i−2i−104i2−4

=2−12i−10−4−4

=−8−12i−8

= 8−8

−12i−8

Z 0=1+ 32

i

Logo, a parte real (Re) de Zo = 1 e a parte imaginária (Im) de Zo = 3/2.b) O teorema das raízes complexas...

ATENÇÃO!!!!!!TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS

Se z = a+bi for raiz de um polinômio, z = a-bi (seu conjugado) também o será.

Continuando... O teorema das raízes complexas nos garante que:

Se z0=1+ 32

i é raiz , z0=1−32

i também será raiz

Como o exercício pede um polinômio que possua Zo como raíz, o termo de maior grau do polinômio pode ser considerado 1, no momento. Logo, pelo teorema fundamental da álgebra:

P (x )=1⋅(x−1− 32

i)⋅( x−1+3/2 i)=x 2−x−32

xi−x+1+ 32

i+ 32

xi− 32

i−( 32

i)2

=x2−2x+ 134

Como procura-se um polinômio de coeficientes inteiros, vem:

x2−2x+ 134

(⋅4)=0(⋅4)→4x2−8x+13=0

Então, 4x²-8x+13 é a equação com menores coeficientes inteiros que possui Zo como raiz.c) Considerando genericamente w=a+bi, temos:

z0⋅w=(1+ 32

i)⋅(a+bi)=a+ 3a2

i+bi+ 3b2

i2

Como i² = -1:

z0⋅w=a+3a2

i+bi−3b2

Colocando-se i em evidência onde é conveniente, temos:

z0⋅w=(a−3b2

)+( 3a2

+b)i

Do plano complexo, temos que, para um número complexo y = c+di, o seu módulo fz parte da equação |y|²=c²+d². Então:

4

∣z 0⋅w∣=√(a−3b2

)2

+( 3a2

+b)2

=√a2−3ab+ 9b2

4+ 9a2

4+3ab+b2=√a2+ 9b2

4+ 9a2

4+b2=5√2

Calculando-se o MMC entre as frações, temos:

∣z 0⋅w∣=√a2+ 9b2

4+ 9a2

4+b2=√ 13a2+13b2

4=√13a2+13b2

2=5√2

Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, vem:13a 2+13b2

4=25⋅2→13a2+13b2=100

Mas, como o exercício pede um complexo Zo.W que possua as partes real e imaginária iguais, vem:

a−3b2

=3a2

+b

a−3a2

=3b2

+b

2a−3a2 =

2b+3b2

−a2

=5b2

−a=5ba=−5b

Como a = -5b, temos:13a2+13b2=100

13⋅(−5b)2+13b2=100325b2+13b2=100

338b2=100

b2= 50169

b=5 √213

como a = -5b:

b=5 √213

a=−5b→a=−5⋅5 √213

a=−25 √213

Logo, o número complexo w=−25 √213

+5 √213

i

d) TEMA DA ALTERNATIVA AINDA NÃO ESTUDADO

08 a) Sendo o polinômio P(x) = x³ – 14x² + kx – 64 = 0 e chamando de b a raiz média e denominando-se genericamente a razão de q, temos:

P.G. = (a/q, a, a.q).Das relações de Girard, vem:Soma: -b/a = 14Produto: -d/a = 64Logo:

5

aq+a+a⋅q=14→ a+a⋅q+a⋅q2

q=14→a+a⋅q+a⋅q2=14q

eaq⋅a⋅a⋅q=64→ a3=64→a=3√64→a=4

Substituindo a=4 na primeira equação, temos:a+a⋅q+a⋅q2=14q

4+4q+4q2=14q→4q2−10q+4=0 (⋅12

)→2q2−5q+2=0

Resolvendo-se a equação, achamos q' = 2 ou q'' = ½.Portanto, as possíveis progressões podem ser:

P.G. = (a/q, a, a.q)P.G. = (2, 4, 8) ou P.G. = (8, 4, 2)

Logo, as raízes são 2, 4 e 8.b) Temos que o produto das raízes duas a duas é:Produto 2x2: c/a = kLogo:

2.4 + 2.8 + 4.8 = k8 + 16 + 32 = k

k = 56

09 QUESTÃO RESOLVIDA EM SALA (A resolução será feita a parte)

10 a) Sendo o número ω=−12

+ √32

i um número complexo, temos que:

1ω= 1

−1+√3 i2

= 2−1+√3i

Multiplicando-se o denominador pelo seu conjugado, temos:1ω= 2

−1+√3i⋅−1−√3 i−1−√3 i

= 2⋅(−1−√3 i)(−1+√3 i)⋅(−1−√3 i)

= −2−2√3i(−12)−(√3i)2 =

−2−2√3 i1−(−3)

=−2−2√3 i4

Simplificando a expressão, vem:1ω=−2

4+−2√3 i

4=−1

2−√3 i

2Temos, também, que:

ω3=(−12 + √3 i

2 )3

=(−12 + √3i

2 )⋅(−12 + √3i

2 )⋅(−12 + √3 i

2 )=98−

5√3 i8

Portanto, as partes real (Re) e imaginária (Im) dos números 1ω eω3 são:

1ω : ℜ=−1

2e ℑ=−√3

2e ω3: ℜ=9

8e ℑ=−5√ 3

8

6

b) Os números 1ω e ω3 estão representados no gráfico abaixo:

onde A⃗B= 1ω e B⃗C=ω3

c) Se substituirmos z=1 na equação z³-1 = 0, veremos que 1-1=0. Logo, 1 é raiz. Valendo-se do algoritmos de Briot-Ruffini, vem:

1 0 0 -1 | 11 1 1 0 |

Logo, a equação de segundo grau que vem de z³-1=0 é z² + z + 1 = 0. Resolvendo-se a equação, temos:

z=−1±√12−42

z=−1±√−32

z=−1±√3⋅√−12

z=−1±√3i2

As raízes complexas z '=−1−√3 i2

e z ' '=−1+√3 i2

são raízes da equação z³-1 = 0.

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