PolinômiosPolinômios

Profª.: Juliana SantosProfª.: Juliana Santos

DefiniçãoDefiniçãoSeja Seja ℂℂ o conjunto dos números complexos o conjunto dos números complexos

(números da forma a + bi, onde (números da forma a + bi, onde aa e e bb são são números reais e números reais e ii é a unidade imaginária tal que é a unidade imaginária tal que ii2 2 = -1= -1).).

Entende-se por Entende-se por polinômiopolinômio em em ℂℂ a função: a função:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an

onde os números complexos onde os números complexos aa00, , aa11, ..., , ..., aann são os são os coeficientescoeficientes, , nn é um número natural denominado é um número natural denominado grau do polinômiograu do polinômio e e xx é a é a variável do polinômiovariável do polinômio..

ExemploExemplo P(P(xx) = x) = x55 + 3x + 3x22 - 7x + 6 - 7x + 6 (a(a00 = 1, a = 1, a1 1 = 0, a= 0, a22

= 0, a= 0, a33 = 3, a = 3, a44 = -7 e a = -7 e a55 = 6) = 6)

O grau de P(x) é igual a 5.O grau de P(x) é igual a 5. NotaNota: Os polinômios recebem nomes : Os polinômios recebem nomes

particulares, a saber:particulares, a saber:a.a. Binômio: possuem dois termos.Binômio: possuem dois termos.

ExemploExemplo: : rr((xx) = 3x + 1 (grau 1). ) = 3x + 1 (grau 1). b.b. Trinômio: possuem 3 termos.Trinômio: possuem 3 termos.

ExemploExemplo: : qq((xx) = 4x) = 4x22 + x - 1 (grau 2). + x - 1 (grau 2).c.c. A partir de 4 termos, recorre-se à A partir de 4 termos, recorre-se à

designação genérica:  designação genérica:  polinômiospolinômios..

Valor numérico – Raiz do Valor numérico – Raiz do polinômiopolinômioSendo Sendo mm um número complexo (lembre-se um número complexo (lembre-se

que todo número real é também um número que todo número real é também um número complexo), denominamos complexo), denominamos valor numéricovalor numérico de de um polinômio P(um polinômio P(xx)  para  )  para  xx = = mm ,  ao valor  ,  ao valor  P(P(mm))  ou seja o valor que obtemos   ou seja o valor que obtemos substituindo substituindo xx por  por mm . .

ExemploExemplo: Qual o valor numérico do polinômio : Qual o valor numérico do polinômio pp(x) = x(x) = x33 - 5x + 2 para x = -1? Teremos, - 5x + 2 para x = -1? Teremos, substituindo a variável substituindo a variável xx por x = -1 que: por x = -1 que:pp(-1) = (-1)(-1) = (-1)33 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6. - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6. Logo, Logo, pp(-1) = 6. (-1) = 6.

Raiz (ou zero) de um polinômio Raiz (ou zero) de um polinômio O número complexo O número complexo mm é raiz ou zero do é raiz ou zero do polinômio P(polinômio P(xx)  quando  )  quando  P(m) = 0 .P(m) = 0 .

ExemploExemplo11: : ii é raiz do polinômio é raiz do polinômio pp((xx) ) = x= x22 + 1 , pois + 1 , pois pp((ii) = 0 .) = 0 .Lembre-se que iLembre-se que i22 = -1, ou seja, o = -1, ou seja, o quadrado da unidade imaginária é igual a quadrado da unidade imaginária é igual a  -1.-1.ExemploExemplo22: O número natural 2 é raiz do : O número natural 2 é raiz do polinômio polinômio pp((xx) = x) = x33 - 2x - 2x22 - x + 2 , pois - x + 2 , pois pp(2) (2) = 0.= 0.

Igualdade de polinômiosIgualdade de polinômiosVamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como se Vamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como se pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando apenas seus coeficientes.apenas seus coeficientes.

Polinômio identicamente nuloPolinômio identicamente nulo (ou simplesmente (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável para todo valor da variável xx. Indicamos . Indicamos P º 0P º 0 (polinômio (polinômio nulo). Para um polinômio P(nulo). Para um polinômio P(xx) ser um polinômio nulo é ) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero).sejam nulos (iguais a zero).

Polinômios idênticosPolinômios idênticos são polinômios iguais. Se P e Q são são polinômios iguais. Se P e Q são polinômios idênticos, escrevemos polinômios idênticos, escrevemos P º QP º Q. É óbvio que se . É óbvio que se dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q é denominada é denominada identidade identidade ..

Grau do polinômioGrau do polinômio Em um polinômio, o termo de mais alto grau que Em um polinômio, o termo de mais alto grau que

possui um coeficiente não nulo é chamado possui um coeficiente não nulo é chamado termo termo dominantedominante e o coeficiente deste termo é o e o coeficiente deste termo é o coeficiente coeficiente do termo dominantedo termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) . O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por aqui será denotado por ∂(p)∂(p)..

Acerca do grau de um polinômio, existem várias Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:observações importantes:

a.a. Um polinômio nulo não tem grau, uma vez que não possui Um polinômio nulo não tem grau, uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.

b.b. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado igual a 1, o polinômio será chamado polinômio unitáriopolinômio unitário..

c.c. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.potências em ordem crescente ou decrescente.

d.d. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito polinômio será dito incompletoincompleto..

e.e. Se o grau de um polinômio incompleto for Se o grau de um polinômio incompleto for nn, o número , o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.de termos deste polinômio será menor do que n+1.

f.f. Um polinômio será Um polinômio será completocompleto quando possuir todas as quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.termo constante.

g.g. Se o grau de um polinômio completo for Se o grau de um polinômio completo for nn, o número de , o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra É comum usar apenas uma letra pp para representar para representar a função polinomial a função polinomial pp = = pp(x) e P[x] o conjunto de (x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em todos os polinômios reais em xx..

Operações – Adição e SubtraçãoOperações – Adição e Subtração Dados dois polinômiosDados dois polinômiosff((xx) = a) = a00 + a + a11x + ax + a22x² + ax² + a33x³ + ... + ax³ + ... + annxxnn

gg((xx) = b) = b00 + b + b11x + bx + b22x² + bx² + b33x³ + ... + bx³ + ... + bnnxxnn

chama-se chama-se somasoma de de ff com com gg o polinômio o polinômio

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x² + ... + (an + bn)xn

Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos polinômios acima, definimos polinômios acima, definimos diferençadiferença entre entre ff e e gg como o como o polinômio f - g = f + (- g), isto é:polinômio f - g = f + (- g), isto é:

(f - g)(x) = (a0 - b0) + (a1 - b1)x + (a2 - b2)x² + ... + (an - bn)xn

ExemplosExemplos

ExemploExemploSOMASOMA:: Somar Somar ff((xx) = 4 + 3x + x² e ) = 4 + 3x + x² e gg((xx) = 5 + 3x² + x) = 5 + 3x² + x44..

Temos:Temos: ff((xx) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x44

gg((xx) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x44

então:então:

((ff++gg)()(xx) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x4 4 == = 9 + 3x + 4x² + x= 9 + 3x + 4x² + x44..

ExemploExemploSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃO: Subtrair : Subtrair pp((xx) = 3x² - 4x + 1 por ) = 3x² - 4x + 1 por qq((xx) = 5x² - 3x + 4.) = 5x² - 3x + 4.

Temos:Temos: ((pp – – qq)(x) = 3x² - 4x + 1 + [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3.)(x) = 3x² - 4x + 1 + [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3.

Propriedades da AdiçãoPropriedades da Adição A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de

coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades:é, verifica as seguintes propriedades:

a.a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam pp, , qq, , rr em P[ em P[xx], tem-se que:], tem-se que:(p + q) + r = p + (q + r)

b.b. COMUTATIVA. Quaisquer que sejam COMUTATIVA. Quaisquer que sejam pp, , qq em P[ em P[xx], tem-se que:], tem-se que:p + q = q + p

c.c. ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio pp00((xx)=0 tal que:)=0 tal que:

p0 + p = p , ¥ p € P

d.d. INVERSO ADITIVO. Para cada INVERSO ADITIVO. Para cada pp em P[x], existe outro polinômio em P[x], existe outro polinômio qq==-p -p em P[em P[xx] tal que: ] tal que:

p + q = 0

Operações – MultiplicaçãoOperações – Multiplicação Dados dois polinômiosDados dois polinômiosff((xx) = a) = a00 + a + a11x + ax + a22x² + ax² + a33x³ + ... + ax³ + ... + ammxxmm

gg((xx) = b) = b00 + b + b11x + bx + b22x² + bx² + b33x³ + ... + bx³ + ... + bnnxxnn

chama-se chama-se produtoproduto fgfg o polinômio o polinômio

(fg)(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x² + ... + ambnxm+n

Notemos que o produto Notemos que o produto fgfg é o polinômio é o polinômio

hh((xx)= c)= c00 + c + c11x + cx + c22xx22 + ... + c + ... + cm+nm+nxxm+nm+n

ExemploExemploMultiplicar Multiplicar ff((xx) = x + 2x² +3x³ por ) = x + 2x² +3x³ por gg((xx) = 4 + 5x ) = 4 + 5x

+ 6x².+ 6x².Temos:Temos:((fgfg) () (xx) ) = (x + 2x² + 3x³)(4 + 5x + 6x²) = = (x + 2x² + 3x³)(4 + 5x + 6x²) =

= x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²) = x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²) + 3x³(4 + 5x + 6x²) = + 3x³(4 + 5x + 6x²) =

= (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x= (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x44) +) + + (12x³ + 15x+ (12x³ + 15x44 + 18x + 18x55) =) = = 4x + 13x² + 28x³ + 27x= 4x + 13x² + 28x³ + 27x44 + 18x + 18x55..

Propriedades da MultiplicaçãoPropriedades da Multiplicação A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de

coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:a.a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam pp, , qq, , rr em P[ em P[xx], tem-se que:], tem-se que:

(p . q) . r = p . (q . r)

b.b. COMUTATIVA. Quaisquer que sejam COMUTATIVA. Quaisquer que sejam pp, , qq em P[ em P[xx], tem-se que:], tem-se que:

p . q = q . p

c.c. ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio pp00((xx)=0 tal que:)=0 tal que:

p0 . p = p0 , ¥ p € P

d.d. DISTRIBUTIVA. Quaisquer que sejam DISTRIBUTIVA. Quaisquer que sejam pp, , qq, , rr em P[ em P[xx], tem-se que:], tem-se que:p · (q + r) = p · q + p · r

Operações – DivisãoOperações – Divisão Dados dois polinômios Dados dois polinômios ff ( (dividendodividendo) e ) e gg ≠ 0 ( ≠ 0 (divisordivisor), ),

dividir dividir ff por por gg é determinar dois outros polinômios é determinar dois outros polinômios qq ((quocientequociente) e ) e rr ( (restoresto) de modo que se verifiquem as ) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:duas condições seguintes:

a.a. qq . . gg + + rr = = ffb.b. ∂∂rr < ∂ < ∂gg (ou (ou rr = 0, caso em que a divisão é chamada = 0, caso em que a divisão é chamada

exata)exata)ExemploExemplo: Quando dividimos : Quando dividimos ff = 3x = 3x44 – 2x³ + 7x + 2 por – 2x³ + 7x + 2 por gg = 3x³ - 2x² + 4x – 1, obtemos = 3x³ - 2x² + 4x – 1, obtemos qq = x e = x e rr = -4x² + 8x + = -4x² + 8x + 2, que satisfazem as duas condições:2, que satisfazem as duas condições:

a.a. qgqg + + rr = x(3x³ - 2x² + 4x – 1) + (-4x² + 8x + 2) = = x(3x³ - 2x² + 4x – 1) + (-4x² + 8x + 2) = = 3x = 3x44 – 2x³ + 7x + 2 = – 2x³ + 7x + 2 = ff

b.b. ∂∂rr = 2 e ∂ = 2 e ∂gg = 3 = 3 ∂ ∂rr < ∂ < ∂gg

Métodos, Algoritmos e Teoremas Métodos, Algoritmos e Teoremas para a divisão de polinômiospara a divisão de polinômios

Método de Descartes*Método de Descartes*Este método, também conhecido com o nome de método Este método, também conhecido com o nome de método dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes fatos:fatos:

a.a. ∂∂qq = ∂ = ∂ff – – gg, o que é conseqüência da definição, pois:, o que é conseqüência da definição, pois:qg qg + + rr = = f f ∂( ∂(qgqg + + rr) = ∂) = ∂ff e então ∂ e então ∂qq + ∂ + ∂gg = ∂ = ∂ff

b.b. ∂∂rr < ∂ < ∂gg (ou (ou rr = 0) = 0)O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:

1)1) calculam-se ∂calculam-se ∂qq e ∂ e ∂rr;;2)2) constroem-se os polinômios constroem-se os polinômios qq e e rr, deixando incógnitos os seus , deixando incógnitos os seus

coeficientes;coeficientes;3)3) determinam-se os coeficientes impondo a igualdade determinam-se os coeficientes impondo a igualdade qgqg + + rr = = ff..

*René Descartes (1596-1650): filósofo, cientista e matemático francês, conhecido como “o pai da filosofia moderna”.

ExemploExemplo Dividir Dividir ff = 5x³ + x² - 10x - 24 por = 5x³ + x² - 10x - 24 por gg = x - 2. = x - 2.

Temos:Temos:

∂∂qq = 3 – 1 = 2 = 3 – 1 = 2 qq = ax² + bx + c = ax² + bx + c

∂∂rr < 1 < 1 ∂ ∂rr = 0 = 0 rr = = dd

qgqg + + rr = = ff (ax² + bx + c) (x - 2) + (ax² + bx + c) (x - 2) + dd = 5x³ + x² - 10x – 24 = 5x³ + x² - 10x – 24

Desenvolvendo, temos para todo x:Desenvolvendo, temos para todo x:ax³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x + (d - 2c) = 5x³ + x² - 10x – 24ax³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x + (d - 2c) = 5x³ + x² - 10x – 24

Então, resulta:Então, resulta:a = 5a = 5

b – 2a = 1 b – 2a = 1 b = 2a + 1 b = 2a + 1 b = 11 b = 11

c – 2b = -10 c – 2b = -10 c = 2b – 10 c = 2b – 10 c = 12 c = 12

d – 2c = -24 d – 2c = -24 d = 2c – 24 d = 2c – 24 d = 0 d = 0

Resposta: Resposta: qq = 5x² + 11x + 12 e = 5x² + 11x + 12 e rr = 0 = 0

Método da ChaveMétodo da ChaveEste método de divisão de polinômios é semelhante ao Este método de divisão de polinômios é semelhante ao empregado para números inteiros.empregado para números inteiros.

ExemploExemplo: : 337 8337 8 – – 32 4232 42 1717 – – 1616 11

Vamos utilizar a mesma técnica para divisão de polinômios. Vamos utilizar a mesma técnica para divisão de polinômios. DividindoDividindo ff = 2x = 2x55 – 3x – 3x44 + 4x³ - 6x + 7 por + 4x³ - 6x + 7 por gg = x³ - x² + x – 1: = x³ - x² + x – 1:

ff 2x 2x55 - 3x - 3x44 + 4x³ + 0x² - 6x + 7 x³ - x² + x – 1 + 4x³ + 0x² - 6x + 7 x³ - x² + x – 1 gg - 2x- 2x55 + 2x + 2x44 - 2x³ + 2x² 2x² - x + 1 - 2x³ + 2x² 2x² - x + 1 qq - x- x4 4 + 2x³ + 2x² - 6x + 7+ 2x³ + 2x² - 6x + 7 xx4 4 - x³ + x² - x- x³ + x² - x x³ + 3x² - 7x + 7x³ + 3x² - 7x + 7 - x³ + x² - x + 1- x³ + x² - x + 1

4x² - 6x + 84x² - 6x + 8 rr

Divisão por binômios do 1º grau Divisão por binômios do 1º grau ((xx – – aa))

Teorema do restoTeorema do restoO resto da divisão de um polinômio O resto da divisão de um polinômio ff por por xx – – aa é igual ao valor é igual ao valor numérico de numérico de ff em em aa..

r = f(a)

ExemploExemplo11: O resto da divisão de : O resto da divisão de ff = 5x = 5x44 + 3x² + 11 por + 3x² + 11 por gg = x – 3 = x – 3 é:é:

ff(3) = 5 . 3(3) = 5 . 344 + 3. 3² + 11 = 405 + 27 + 11 = 443 + 3. 3² + 11 = 405 + 27 + 11 = 443

ExemploExemplo22: O resto da divisão de : O resto da divisão de f f = (x + 3)= (x + 3)77 + (x – 2)² por + (x – 2)² por gg = = x + 3 é:x + 3 é:

ff(-3) = (-3 + 3)(-3) = (-3 + 3)77 + (-3 – 2)² = 0 + (-3 – 2)² = 077 + (-5)² = 25 + (-5)² = 25

Teorema de D’Alembert*Teorema de D’Alembert*Um polinômio Um polinômio ff é divisível por é divisível por xx – – aa se, e somente se, se, e somente se, aa é raiz de é raiz de ff..

De acordo com o teorema do resto, temos De acordo com o teorema do resto, temos rr = = ff((aa). Então:). Então:

r = 0 r = 0 f(a) = 0 f(a) = 0 (divisão exata) ((divisão exata) (aa é raiz de é raiz de ff))

ExemploExemplo: Determinar o valor de : Determinar o valor de pp, para que o polinômio P(, para que o polinômio P(xx) = 2x) = 2x3 3 + 5x+ 5x2 2 – – ppx + 2 seja divisível por x - 2.x + 2 seja divisível por x - 2.

Resolução:Resolução: Se P(Se P(xx) é divisível por x - 2, então P(2) = 0.) é divisível por x - 2, então P(2) = 0.

P(2) = 0 P(2) = 0 2 . 8 + 5 . 4 - 2p + 2 = 0 2 . 8 + 5 . 4 - 2p + 2 = 0 16 + 20 - 2p + 2 = 0 16 + 20 - 2p + 2 = 0 p = 19 p = 19Resposta: p = 19.Resposta: p = 19.

*Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783): filósofo, matemático e físico francês; abandonado quando criança nos degraus de uma Igreja em Paris.

Divisão por binômios do 1º grau Divisão por binômios do 1º grau ((xx – – aa))

Teorema do fatorTeorema do fatorSe Se cc é uma raiz de um polinômio é uma raiz de um polinômio ff((xx), de grau ∂), de grau ∂cc > 0, então > 0, então xx – – cc é um é um fatorfator de de ff((xx).).Pelo teorema de D’Alembert, a divisão de Pelo teorema de D’Alembert, a divisão de ff((xx) por ) por xx – – cc resulta um resulta um quociente quociente qq((xx) e um resto ) e um resto rr((cc) tal que:) tal que:

f(x) = (x – c) . q(x) + r(c)

Se Se cc é uma raiz de é uma raiz de ff((xx), então ), então ff((cc) = 0 e temos:) = 0 e temos:

f(x) = (x – c) . q(x)

Portanto, Portanto, xx – – cc é um fator de é um fator de ff((xx).).

Como conseqüência, podemos dizer que Como conseqüência, podemos dizer que ff((xx) é divisível por () é divisível por (xx – – aa) e por () e por (xx – – bb), com ), com aa ≠ ≠ bb, se, e somente se, , se, e somente se, ff((xx) for divisível ) for divisível por (por (xx – – aa)()(xx – – bb).).

Divisão por binômios do 1º grau Divisão por binômios do 1º grau ((xx – – aa))

Algoritmo de Briot*-Ruffini**Algoritmo de Briot*-Ruffini**Um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do Um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo tipo xx – – aa de uma maneira mais simples e rápida é o chamado: de uma maneira mais simples e rápida é o chamado: dispositivo práticodispositivo prático ou algoritmo de ou algoritmo de Briot-RuffiniBriot-Ruffini..

termo constante termo constante do divisor, com coeficientes de x do dividendo p(x) do dividendo sinal trocado p(x)

coeficientes do quociente resto

*Charles Auguste Briot (1817-1882): matemático francês**Paolo Ruffini (1765-1822): médico e matemático italiano

ExemploExemploDividir Dividir pp = 2x = 2x44 + 7x³ - 4x + 5 por + 7x³ - 4x + 5 por hh = x + 3 = x + 3

Resolução: Resolução: ++ - 3 2 7 0 - 4 5- 3 2 7 0 - 4 5

- 6 +7 - 3 + 0 9 + (- 4) - 15 + 5- 6 +7 - 3 + 0 9 + (- 4) - 15 + 5

xx 2 1 - 3 5 - 10 2 1 - 3 5 - 10

q rq r

Quociente: Quociente: qq = 2x³ + x² - 3x + 5 = 2x³ + x² - 3x + 5Resto: Resto: rr = - 10 = - 10

Equações AlgébricasEquações Algébricas Sendo Sendo ff((xx) um polinômio em ℂ, chama-se equação ) um polinômio em ℂ, chama-se equação

algébrica à igualdade algébrica à igualdade ff((xx) = 0 . Portanto, as raízes da ) = 0 . Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio equação algébrica, são as mesmas do polinômio ff((xx). O ). O grau do polinômio, será também o grau da equação.grau do polinômio, será também o grau da equação.ExemploExemplo: 3x: 3x44 - 2x - 2x33 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau. + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau.

PropriedadesPropriedades::P1. P1. Toda equação algébrica de grau Toda equação algébrica de grau nn possui exatamente possui exatamente nn

raízes.raízes.ExemploExemplo: A equação x: A equação x33 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2. P2. Se Se bb for raiz de for raiz de ff((xx) = 0, então ) = 0, então ff((xx) é divisível por ) é divisível por xx - - bb . .

Esta propriedade é muito importante para diminuir o grau de uma Esta propriedade é muito importante para diminuir o grau de uma

equação, o que se consegue dividindo equação, o que se consegue dividindo ff((xx) por ) por xx - - bb, aplicando , aplicando

Briot-Ruffini.Briot-Ruffini.

P3. P3. Se o número complexo a + bi for raiz de Se o número complexo a + bi for raiz de ff((xx) = 0 , então o ) = 0 , então o

conjugado a - bi também será raiz.conjugado a - bi também será raiz.

ExemploExemplo: Qual o grau mínimo da equação : Qual o grau mínimo da equação ff((xx) = 0, sabendo-se ) = 0, sabendo-se

que três de suas raízes são os números que três de suas raízes são os números 55, , 3 + 2i3 + 2i e  e 4 - 3i4 - 3i..

Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são

também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de

ff((xx) é igual a 5, ou seja, ) é igual a 5, ou seja, ff((xx) possui no mínimo 5 raízes.) possui no mínimo 5 raízes.

P4. P4. Se a equação Se a equação ff((xx) = 0 possuir ) = 0 possuir kk raízes iguais a raízes iguais a mm então então

dizemos que dizemos que mm é uma raiz de grau de multiplicidade é uma raiz de grau de multiplicidade kk..

ExemploExemplo: A equação (x - 4): A equação (x - 4)1010 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. = 0 possui 10 raízes iguais a 4.

Portanto, 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.Portanto, 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.

P5. P5. Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica ff((xx) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é ) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).raiz).ExemploExemplo: 1 é raiz de 40x: 1 é raiz de 40x55 - 10x - 10x33 + 10x - 40 = 0, pois a soma dos + 10x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero.coeficientes é igual a zero.

P6. P6. Toda equação de termo independente nulo, admite um Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da número de raízes nulas igual ao menor expoente da variávelvariável..ExemploExemplo: A equação 3x: A equação 3x55 + 4x + 4x22 = 0 possui duas raízes nulas. A = 0 possui duas raízes nulas. A equação xequação x100100 + x + x1212 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas. = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas.

P7. P7. Se xSe x11 , x , x22 , x , x33 , ... , x , ... , xnn são raízes da equação a são raízes da equação aooxxnn + a + a11xxn-1n-1 + + aa22xxn-2n-2 + ... + a + ... + ann = 0, então ela pode ser escrita na forma = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada: afatorada: aoo (x - x (x - x11) . (x - x) . (x - x22) . (x - x) . (x - x33) . ... . (x - x) . ... . (x - xnn) = 0 .) = 0 .

ExemploExemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, : Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever: (x + 1) . (x - 2) . (x - 53) = 0, que então podemos escrever: (x + 1) . (x - 2) . (x - 53) = 0, que desenvolvida fica: xdesenvolvida fica: x33 - 54x - 54x22 + 51x + 106 = 0 . + 51x + 106 = 0 .

Relações entre coeficientes e Relações entre coeficientes e raízes (Relações de Girard*)raízes (Relações de Girard*)Equação do 2º grauEquação do 2º grauConsideremos a equação:Consideremos a equação:

1)1) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são xax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x11 e x e x22..

Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:

2)2) a(x – xa(x – x11)(x – x)(x – x22) = 0) = 0

Temos a identidade:Temos a identidade:

ax² + bx + c = a(x – xax² + bx + c = a(x – x11)(x – x)(x – x22), ¥ x, portanto:), ¥ x, portanto:

x1 + x2 = - b / a e x1x1 = c / a

*Albert Girard (1595-1632): matemático francês que possuía grande interesse pela música

Equação do 3º grauEquação do 3º grauConsideremos a equação:Consideremos a equação:

1)1) ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são xax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x11, x, x22 e x e x33..

Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:

2)2) a(x – xa(x – x11)(x – x)(x – x22)(x – x)(x – x33) = 0) = 0

Temos a identidade:Temos a identidade:

ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), ¥ x, ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), ¥ x, portanto:portanto:

x1 + x2 + x3 = - b / a , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a e x1x2x3 = - d / a

Equações de grau Equações de grau nn qualquer qualquerSeguindo os mesmos passos anteriores, vamos agora Seguindo os mesmos passos anteriores, vamos agora descrever as relações entre coeficientes e raízes de uma descrever as relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial de grau equação polinomial de grau nn (∂ (∂nn ≥ 1): ≥ 1):

Soma das raízes = x1 + x2 + x3 + ... + xn = - an-1 / an

Soma dos produtos das raízes tomadas:

duas a duas = x1x2 + x1x3 + x1x4 + ... + xn-1xn = an-2 / an

três a três = x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn-2xn-1xn = - an-3 / an

h raízes da equação = (-1)h . an-h / an

Produto das raízes = x1x2x3 ... xn = (-1)n . a0 / an

ExemploExemplo Escrever as relações de Girard para a equação algébrica Escrever as relações de Girard para a equação algébrica

x³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando xx³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando x11, x, x22 e x e x33 as raízes da as raízes da equação.equação.

Resolução: Pela equação, temos:Resolução: Pela equação, temos:aann = 1 , a = 1 , an-1n-1 = 7 , a = 7 , an-2n-2 = -3 , a = -3 , a00 = 5 = 5

Assim, temos que:Assim, temos que:xx11 + x + x22 + x + x33 = - (7 / 1) = -7 = - (7 / 1) = -7

xx11xx22 + x + x11xx33 + x + x22xx33 = (-3 / 1) = -3 = (-3 / 1) = -3

xx11xx22xx33 = - (5 / 1) = -5 = - (5 / 1) = -5

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