resolução de sistemas lineares

OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1

FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP

ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães [email protected]

27 DE JANEIRO DE 2014

3. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

Consideremos a seguinte situação: O regulamento de um campeonato de basquete manda assinalar 2 pontos para cada partida que o clube vence, e 1 ponto para cada partida que perde. Certo clube disputou 4 partidas e somou 7 pontos. Quantas partidas vence e quantas perdeu? No quadro seguinte, vamos colocar todas as possibilidades do número de partidas que o clube venceu e do número de partidas que perdeu, de acordo com os dados:

Número de partidas que o clube venceu:

Número de partidas que o clube perdeu:

Número de partidas disputadas

Soma dos pontos

0 4 0+4=4 0.2+4.1=4

1 3 1+3=4 1.2+3.1=5

2 2 2+2=4 2.2+2.1=6

3 1 3+1=4 3.2+1.1=7

4 0 4+0=4 4.2+1.0=8

Observando o quadro de possibilidades vemos que o clube venceu 3 partidas e perdeu 1 partida, satisfazendo as duas condições apresentadas no problema:

o clube disputou 4 partidas o clube somou 7 pontos Vamos, porém, resolver esse problema utilizando equações do 1º grau com duas variáveis. Representando por x o número de partidas que o clube ganhou e por y o número de partidas que o

clube perdeu, podemos traduzir as duas condições do problema pelas seguintes equações:

x+y=4 e 2x+1x=7 Notamos que são duas equações do 1º grau com duas variáveis ligadas pelo conectivo e (as duas se referem ao mesmo fato). Neste caso, dizemos que as duas equações formam um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, e indica-se:

x y 4

2x y 7

O par ordenado (3,1) que torna verdadeira as duas equações, ao mesmo tempo,. É determinado solução do sistema: Se substituirmos x por 3 e y por 1, chegamos à duas sentenças verdadeiras.

mailto:[email protected]


Convém notar que, apesar de cada uma das equações terem infinitas soluções, o sistema de

equações x y 4

2x y 7

, como todos outros sistemas de equações do 1º grau, tem uma única solução, que

neste caso é S={(3,1)}. Resolução mental de um sistema de equações do 1º grau

Se dissermos: dois números somados resultam 25 e subtraídos resultam 1. Após pensarmos um pouco concluímos que estes números são 13 e 12.

Este exemplo pode ser representado como um sistema x y

x y 1

25. E a solução seria (13,12).

Muitos outros sistemas podem ser resolvidos mentalmente. Resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

Vamos aprender agora a resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Entre os métodos de resolução, estudaremos o método da substituição, o método da adição e o

método da comparação, que são os três métodos clássicos e acessíveis para a 6ª Série. Mais em frente,

também estudaremos resolução gráfica de um sistema.

Método da substituição

Como exemplo, resolveremos os sistemas:

Exemplo 1:

Resolver o sistema x y - I -

x y = 8 - II -

6.

A notação U=IRxIR indica que xIR e yIR.

Para resolver um sistema pelo método da substituição, escolhemos uma das equações e isolamos,

no primeiro membro, uma das incógnitas. Vamos escolher a equação I e isolar a variável x:

x+y=6x=6-y.

Agora substituímos o x da equação II por 6-y.

x-y=8

(6-y)-y=8

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de y.

6-y-y=8

-y-y=8-6

-2y=2

2y=-2 y=-1

Substituindo y por -1 na equação x=6-y, encontramos o valor de x:

x=6-y

x=6-(-1)

x=6+1

x=7

Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(7,-1)}


Exemplo 2

Resolver o sistema 2x y - I -

x = 11 - II -

12

3y sendo U=IRxIR.

Isolamos o valor de y na equação I: 2x+y=12y=12-2x

Substituindo y por 12-2x na equação II encontramos o valor de x

x+3y=11

x+3(12-2x)=11

x+36-6x=11

x-6x=11-36

-5x=-25

5x=25

x=5

Substituindo x por 5 em y=12-2x, temos

y=12-2.5

y=12-10

y=2

Logo S={(5,2)}

Método da Comparação

Vamos resolver um sistema pelo método da comparação em U=IRxIR.

Exemplo

x y - I -

x y = 6 - II -

14

Isolamos o valor de x na equação I:

x+y=14x=14-y III

Isolamos o valor de x na equação II:

x-y=6x=6+y IV

Como os primeiros membros das equações III e IV são iguais, pela propriedade transitiva da

igualdade, podemos afirmar que os segundos membros são iguais, ou seja:

6+y=14-y

y+y=14-6

2y=20

y=10

Substituindo y por 10 na equação x=14-y:

x=14-10

x=4

Logo S={(4,10)}


Método da Adição

Vamos resolver os seguintes sistemas pelo método da adição, sendo U=IRxIR.

Exemplo 1

Resolver o sistema: x y 11

x y 5

Adicionamos membro a membro as equações:

x y 11

x y 5

2x = 16

x = 8

Substituindo x por 8 na equação x+y=11:

x+y=11

8+y=11

y=11-8

y=3

Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(8,3)}

Exemplo 2

Resolver o sistema 2x -1 - I -

2x 3y 1 - II -

5y

Os coeficientes de x são iguais.

Multiplicamos uma das equações por -1 (vamos multiplicar a equação II)

2x -1

- 2x -1

2y = -2

y = -1

5y

3y

Substituindo y por -1 na equação I:

2x+5y=-1

2x+5(-1)=-1

2x-5=-1

2x=-1+5

2x=4

x=2

Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2,-1)}

Soma

Soma


Exemplo 3

Resolver o sistema 5x y 4 - I -

2x y 1 - II -

2.

Vamos multiplicar a equação II por 2:

5x + 2y = 4

2x - y = 1 . (2)

5x 2y 4

4x 2y 2

9x = 6

x =2

3

Substituindo x por 2/3 na equação I encontramos y=1/3

Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2/3,1/3)}

Exemplo 4

Resolver o sistema 2x 4 - I -

3x 4y 1 - II -

5y.

Multiplicando a equação I por -3 e a equação II por 2, temos:

2x + 5y = -4 . (-4)

3x + 4y = 1 . (2)

- 6x 15y 12

6x 8y 2

- 7y = 14

y = -2

Substituindo y por -2 na equação I, temos x=3

Logo, V={(3,-2)}

Soma

Soma


Discussão de Sistemas de Equações do 1º grau

Sistemas impossíveis

Ao resolvermos por exemplo, o sistema de equações x y

3x 3y = 2

1, pelo método da adição,

chegamos à expressão 0x+0y=-1. Como 0x=0 e 0y=0, temos que 0+0=-1 e 0=-1, encontramos uma

expressão falsa.

Toda vez que isto acontece, chamamos de sistema impossível, e solução é S=, ou seja, nenhum

par de números satisfaz a equação.

Se tentarmos resolvê-lo pelo método da substituição ou comparação, chegaremos sempre em uma

equação impossível da forma 0x=c ou 0y=c, sendo c0.

Sistemas indeterminados

Ao resolvermos por exemplo, o sistema 2x y

4x 2y = 2

1, por adição, chegamos à identidade 0x=0. O

mesmo aconteceria usando o método da substituição ou comparação.

Como uma identidade tem infinitas soluções, os sistemas indeterminados também tem.

Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Vamos aprender a resolver graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas

incógnitas. A resolução gráfica permite entender melhor a classificação que demos aos sistemas.

1º Caso - Sistema determinado. - Um sistema determinado de duas equações do 1º grau

possui uma única solução. Os gráficos de um sistema determinados são do tipo do exemplo abaixo:

O gráfico do sistema x y

x y = 3

7, ficaria assim:

P(5,2)


Observe que:

* As retas são concorrentes no ponto P. * As coordenadas do ponto P determinam o par ordenado (5,2), que é a única solução do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é determinado, ele é

representado no plano cartesiano por duas retas concorrentes.

2º. Caso - Sistemas Impossíveis - Um sistema impossível de duas equações do 1º grau possui

uma única solução. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo:

O gráfico do sistema 2x y

x 3y = 4

6 10, ficaria assim:

r

s

Observe que:

* As retas são paralelas. * Não existe par ordenado de números que seja solução do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é impossível, ele é representado no

plano cartesiano por duas retas paralelas. No caso acima rs=.

3º Caso - Sistema indeterminado - Um sistema indeterminado de duas equações do 1º grau possui

infinitassoluções. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo:

O gráfico do sistema 2x y

x 3y = 4

6 8, ficaria assim:

r s


Observe que:

* As retas são coincidentes. * Existem infinitos pontos que são soluções do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é indeterminado, ele é

representado no plano cartesiano pela mesma reta.

Equacionamento de Problemas

Os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas podem ser usados na solução de

problemas que envolvem duas grandezas.

Para isso é necessário montar as equações, resolver o sistema, verificar se a solução satisfaz a

condição do problema e dar a resposta.

Se você tiver 2 incógnitas, com 2 equações você resolve o problema (a menos que as incógnitas

levem a um Sistema Indeterminado). Se você tiver 3 incógnitas, precisará de 3 equações. Se você tiver N

incógnitas, precisará de N equações.

Equacionar um problema nem sempre é possível com 1 incógnita, e, a maior parte dos problemas

resulta um sistema. Nem sempre um sistema linear.

4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Resolvemos geralmente pelo método da substituição. Nem sempre o método da adição funciona.

Pode ter até 4 pares (x,y) na solução.

Deixaremos para os alunos tentarem resolvê-los! Desafio!

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