Resolução aprimoramento encontro 8

1. (Uerj 2016) A altura da imagem de um objeto, posicionado a uma distância 1P do orifício de

uma câmara escura, corresponde a 5% da altura desse objeto. A altura da imagem desse

mesmo objeto, posicionado a uma distância 2P do orifício da câmara escura, corresponde a

50% de sua altura.

Calcule 2P em função de 1P .

2. (Fmj 2016) Um objeto é colocado perpendicularmente sobre o eixo principal de um espelho

esférico de distância focal 2 m, que atende às condições de nitidez de Gauss. A imagem

formada é virtual, direita e com o dobro do comprimento do objeto. Nas condições descritas, relativas à natureza e à posição da imagem formada, determine: a) o tipo do espelho esférico empregado. b) a distância, em metros, do objeto ao vértice do espelho esférico. 3. (Unifesp 2016) Na entrada de uma loja de conveniência de um posto de combustível, há um espelho convexo utilizado para monitorar a região externa da loja, como representado na

figura. A distância focal desse espelho tem módulo igual a 0,6 m e, na figura, pode-se ver a

imagem de dois veículos que estão estacionados paralelamente e em frente à loja,

aproximadamente a 3 m de distância do vértice do espelho.

Considerando que esse espelho obedece às condições de nitidez de Gauss, calcule: a) a distância, em metros, da imagem dos veículos ao espelho. b) a relação entre o comprimento do diâmetro da imagem do pneu de um dos carros, indicada

por d na figura, e o comprimento real do diâmetro desse pneu.

4. (Ufjf-pism 2 2015) Manuela deve comprar um espelho para instalar em seu quarto. Ela pretende comprar um espelho que permita ver sua imagem completa refletida nele. Sabendo

que Manuela tem 1,70 m de altura e que seus olhos estão a 1,55 m do chão, ajude-a a realizar

sua escolha, calculando o que se pede. a) A máxima altura em relação ao solo onde pode ser colocada a base do espelho. b) A altura mínima em relação ao solo onde pode ser colocado o topo do espelho.

5. (Ufu 2015) Uma pessoa projeta em uma tela a imagem de uma lâmpada, porém, em um tamanho quatro vezes maior do que seu tamanho original. Para isso, ela dispõe de um espelho

esférico e coloca a lâmpada a 60cm de seu vértice.

A partir da situação descrita, responda: a) Que tipo de espelho foi usado e permitiu esse resultado? Justifique matematicamente sua

resposta.

b) Se um outro objeto for colocado a 10cm do vértice desse mesmo espelho, a que distância

dele a imagem será formada? 6. (Uerj 2015) Um lápis com altura de 20cm é colocado na posição vertical a 50cm do vértice

de um espelho côncavo. A imagem conjugada pelo espelho é real e mede 5cm.

Calcule a distância, em centímetros, da imagem ao espelho. 7. (Unifesp 2014) Dentro de uma casa uma pessoa observa, por meio de um espelho plano E, uma placa com a inscrição VENDO colocada fora da casa, ao lado de uma janela aberta. A janela e o espelho têm as dimensões horizontais mínimas para que o observador consiga ver a placa em toda sua extensão lateral. A figura 1 representa o espelho e a janela vistos de dentro da casa. A figura 2 representa uma visão de cima da placa, do espelho plano E, do observador O e de dois raios de luz emitidos pela placa que atingem, depois de refletidos em E, os olhos do observador.

Considerando as medidas indicadas na figura 2, calcule, em metros: a) a largura (L) da janela. b) a largura mínima (x) do espelho E para que o observador possa ver por inteiro a imagem da

placa conjugada por ele.

8. (Ufpr 2017) Um espelho côncavo, com raio de curvatura 10 cm e centro em C, foi

posicionado de acordo com a figura abaixo. Um objeto O, com 2 cm de altura, está localizado

a 3 cm do espelho e orientado para baixo, a partir do eixo principal. Os segmentos que podem

ser observados sobre o eixo principal são equidistantes entre si.

a) Na figura, assinale o foco do espelho, ressaltando-o por meio da letra F.

b) Determine graficamente, na figura, a imagem formada, representando, adequadamente, no

mínimo, dois raios “notáveis”, antes e após a ocorrência da reflexão.

c) Determine, apresentando os devidos cálculos, o tamanho da imagem. É sabido que a

ampliação corresponde ao simétrico da razão entre a distância da imagem ao espelho e a distância do objeto ao espelho, ou a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto, com as devidas orientações.

9. (Fmj 2016) Um objeto é colocado perpendicularmente sobre o eixo principal de um espelho

esférico de distância focal 2 m, que atende às condições de nitidez de Gauss. A imagem

formada é virtual, direita e com o dobro do comprimento do objeto. Nas condições descritas, relativas à natureza e à posição da imagem formada, determine: a) o tipo do espelho esférico empregado. b) a distância, em metros, do objeto ao vértice do espelho esférico. 10. (Unifesp 2017) Para demonstrar o fenômeno da refração luminosa, um professor faz incidir

um feixe monocromático de luz no ponto A da superfície lateral de um cilindro reto constituído

de um material homogêneo e transparente, de índice de refração absoluto igual a 1,6 (figura

1).

A figura 2 representa a secção transversal circular desse cilindro, que contém o plano de

incidência do feixe de luz. Ao incidir no ponto A, o feixe atravessa o cilindro e emerge no ponto

B, sofrendo um desvio angular .α

Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é igual a 83 10 m s, que o índice de refração

absoluto do ar é igual a 1,0 e adotando sen53 0,8, calcule:

a) a velocidade escalar do feixe luminoso, em m s, no interior do cilindro.

b) o desvio angular ,α em graus, sofrido pelo feixe luminoso ao atravessar o cilindro.

11. (Ufmg 2013) Ariete deseja estudar o fenômeno da dispersão da luz branca, ou seja, a sua decomposição em várias cores devido à dependência do índice de refração do material com a frequência. Para isso, ela utiliza um prisma de vidro cuja seção reta tem a forma de um triângulo retângulo isósceles.

O índice de refração desse vidro é n 1,50 para a luz branca e varia em torno desse valor para

as várias cores do espectro visível. Ela envia um feixe de luz branca em uma direção perpendicular a uma das superfícies do prisma que formam o ângulo reto, como mostrado na figura.

(Dados: sen 45 cos 45 0,707.)

a) COMPLETE, na figura, a trajetória do feixe até sair do prisma. b) EXPLIQUE, detalhando seu raciocínio, o que acontece com esse feixe na superfície oposta

ao ângulo reto. c) Ariete observa a dispersão da luz branca nesse experimento? JUSTIFIQUE sua resposta. 12. (Fuvest 2010) Luz proveniente de uma lâmpada de vapor de mercúrio incide

perpendicularmente em uma das faces de um prisma de vidro de ângulos 30 , 60 e 90 ,

imerso no ar, como mostra a figura a seguir.

A radiação atravessa o vidro e atinge um anteparo. Devido ao fenômeno de refração, o prisma separa as diferentes cores que compõem a luz da lâmpada de mercúrio e observam-se, no anteparo, linhas de cor violeta, azul, verde e amarela. Os valores do índice de refração n do vidro para as diferentes cores estão dados adiante. a) Calcule o desvio angular ,α em relação a direção de incidência, do raio de cor violeta que

sai do prisma. b) Desenhe, na figura a seguir, o raio de cor violeta que sai do prisma.

c) Indique, na representação do anteparo a seguir, a correspondência entre as posições das

linhas L1, L2, L3 e L4 e as cores do espectro do mercúrio.

NOTE E ADOTE:

θ (graus) senθ Cor n (vidro)

60 0,866 violeta 1,532

50 0,766 azul 1,528

40 0,643 verde 1,519

30 0,500 amarelo 1,515

lei de Snell:

1 1 2 2n sen n senθ θ n 1 para qualquer

comprimento de onda no ar.

Gabarito: Resposta da questão 1: A equivalência entre altura e posição dos objetos e das imagens é dada por:

i p'

o p

Na primeira situação, a altura da imagem é 5% da altura do objeto. Logo, pode-se escrever:

1

1

1 1

p '0,05 o

o p

p ' 0,05 p

Na segunda situação, a altura da imagem é 50% da altura do objeto. Logo, pode-se escrever:

2

2

2 2

p '0,5 o

o p

p ' 0,5 p

Como trata-se de uma câmara escura, a distância das imagens até o orifício é a mesma, ou

seja: 1 2p ' p '.

Assim, igualando as duas equações, tem-se:

1 2

2 1

0,05 p 0,5 p

p 0,1 p

Resposta da questão 2:

a) O único espelho esférico que fornece uma imagem ampliada e direita é o espelho côncavo. O objeto deve estar entre a distância focal e o espelho, portanto podemos também

prever que a resposta para o item (b) é menor que 2m. b) Usando a equação de Gauss para os espelhos esféricos:

1 1 1

f di do

sendo:

f distância focal

di distância da imagem

do distância do objeto

E usando as seguintes convenções:

0, esp.côncavof

0, esp. convexo

0, imagem realdi

0, imagem virtual

Substituindo os valores fornecidos, temos:

1 1 1

12 m di do

Combinando a equação de Gauss com a relação de aumento em módulo A :

i diA

o do

Em que:

i tamanho da imagem

o tamanho do objeto

di

A 2 di 2 do 2do

Substituindo (2) em (1):

multipl. 2 do1 1 1do 1 2 do 1m

2 m 2 do do

Resposta da questão 3: Observação: Notar que por o espelho ser convexo, a distância focal é menor que zero (negativa). a) Utilizando a equação de Gauss, temos que:

1 1 1

f p p'

1 1 1

p' 0,6 3

p' 0,5 m

Assim, se a distância da imagem para o espelho é d:

d p'

d 0,5 m

b) O que o item está questionando é o aumento transversal da lente. Assim,

0,5i d p'A

o o p 3

d 1

o 6

Resposta da questão 4:

Dados: H 1,70 m; h 1,55 m.

Considerando que o referido espelho seja plano, objeto e imagem são simétricos em relação ao plano do espelho. A figura ilustra a situação.

Sejam x a altura do espelho, y a distância da borda inferior do espelho ao solo e d a

distância de Manuela ao espelho. Por semelhança de triângulos:

x H H 1,70GMN GC'P' x x 0,85 m.

d 2d 2 2

y h h 1,55NQP' GPP' y y 0,775 m.

d 2d 2 2

Δ Δ

Δ Δ

A distância do topo do espelho ao solo é:

e eH x y 0,85 0,775 H 1,625 m.

Resposta da questão 5:

a) Como a imagem é projetada em uma tela, ela é real, invertida e maior o espelho esférico usado é côncavo. Justificativa:

O aumento da imagem ou ampliação (A) é representado por:

i

o

diA

o d (1)

Em que i é a altura da imagem, o altura do objeto, id é a distância da imagem em relação

ao vértice, od é a distância do objeto em relação ao vértice do espelho.

Temos a informação de que a imagem é quatro vezes maior que o objeto e que a distância

do objeto é de 60 cm.

Substituindo na equação (1), obtemos a distância da imagem:

ii

d4 d 240 cm

60 cm

Aplicando a equação de Gauss: i o

1 1 1

f d d (2)

onde f é a distância focal do espelho e substituindo os valores id e od , calculamos f :

1 1 1 1 5f 48 cm

f 240 60 f 240

Confirmando assim o espelho côncavo, pois f 0.

b) Tendo a distância focal e sabendo que agora o objeto será colocado a 10 cm do vértice do

espelho, ou seja, entre o vértice e o foco, podemos concluir que a imagem será virtual sendo que a distância da imagem deverá ser negativa de acordo com as convenções de sinais adotadas para espelhos esféricos. Neste caso, a equação de Gauss (2) é suficiente para apresentar a solução.

i o

1 1 1

f d d

ii i

1 1 1 1 1 1 480d 12,6 cm

48 d 10 48 10 d 38

Sendo assim, a imagem está a 12,6 cm do vértice do espelho para “dentro do espelho”, sendo

uma imagem virtual.

Resposta da questão 6:

Dados: h 20 cm; p 50 cm; h' 5 cm.

Supondo que o referido espelho côncavo seja esférico, temos:

5p' h' p ' p' 12,5 cm.

p h 50 20

Resposta da questão 7: a) Destacando, da FIGURA 2, o triângulo ABC:

L 1,2 3,4tg45 1 L 1,2 3,4

2,8 0,6 L 1,2

L 2,2 m.

b) Destacando, da FIGURA 2, os triângulos ADO' e FEO':

Por semelhança de triângulos:

x 2,8 1,2 x x 0,6 m.

1,2 5,6 2

Resposta da questão 8: a) O foco está no ponto médio entre o centro de curvatura do espelho e seu vértice, sendo assinalado na figura abaixo:

b) Determinação gráfica da imagem com no mínimo dois raios “notáveis”, suas reflexões com

seus respectivos prolongamentos:

c) Para determinar o tamanho da imagem, usamos a equação de Gauss e sua relação com o

aumento:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1di 7,5 cm

f di do 5 di 3 5 3 di 15 di

7,5i di iA i 5 cm

o do 2 3

Portanto, a imagem tem 5 cm de altura.

Resposta da questão 9:

a) O único espelho esférico que fornece uma imagem ampliada e direita é o espelho côncavo. O objeto deve estar entre a distância focal e o espelho, portanto podemos também

prever que a resposta para o item (b) é menor que 2m. b) Usando a equação de Gauss para os espelhos esféricos:

1 1 1

f di do

sendo:

f distância focal

di distância da imagem

do distância do objeto

E usando as seguintes convenções:

0, esp.côncavof

0, esp. convexo

0, imagem realdi

0, imagem virtual

Substituindo os valores fornecidos, temos:

1 1 1

12 m di do

Combinando a equação de Gauss com a relação de aumento em módulo A :

i diA

o do

Em que:

i tamanho da imagem

o tamanho do objeto

di

A 2 di 2 do 2do

Substituindo (2) em (1):

multipl. 2 do1 1 1do 1 2 do 1m

2 m 2 do do

Resposta da questão 10: Considere a figura 2 do enunciado. Observe que foi acrescido à figura o segmento pontilhado

BC, sendo C o centro da seção circular.

Aplicando-se a Lei de Snell à refração pelo ponto A, tem-se que:

ar ciln sen n sen (1)β γ

Como o triângulo ABC é isósceles, pois AC CB R, sendo R o raio da seção transversal,

conclui-se que:

' (2)γ γ

Aplicando-se a Lei de Snell para a refração através do ponto B, tem-se que:

cil cil arn sen ' n sen n sen ' (3)γ γ β

Da equação (1) e da segunda igualdade da equação (3), conclui-se que:

ar arn sen n sen '

' (4)

β β

β β

Da figura 2, tem-se que:

ˆDACβ e ˆ' DBC (5)β

Do triângulo ABD, conclui-se que:

ˆ ˆ ˆ180 BDA 180 (180 DAB DBA)

ˆ ˆDAB DBA

ˆ ˆ(DAC ) (DBC )

( ) ( )

2( ) (6)

α

α

α γ γ

α β γ β γ

α β γ

a) Por definição: c

n ,v

sendo n o índice de refração absoluto num determinado meio, c a

velocidade de propagação da luz no vácuo, e v a velocidade de propagação da luz no meio. Conclui-se que

88c 3 10

v 1,9 10 m sn 1,6

b) Da figura 2 conclui-se que 53 .β

Aplicando-se a Lei de Snell no feixe luminoso que passa pelo ponto A, tem-se que:

ar ciln sen n sen

1sen53 1,6 sen

sen53 0,8 1sen

1,6 1,6 2

30

β γ

γ

γ

γ

Substituindo os valores de 53β e 30γ na equação (6), tem-se que:

2 (53 30) 2 23 46α

Resposta da questão 11: Considerando o prisma imerso no ar, temos os seguintes dados: nar = 1; n = 1,5; sen 45° = cos 45° = 0,707. a) Na primeira face, a incidência é normal, portanto não há desvio do raio. Na segunda face

ocorre reflexão total, como ilustra a figura.

b) Calculando o ângulo limite (L) para a segunda face:

arn 1sen L sen L 0,67.

n 1,5

A refração na interface de dois meios somente acontece se sen i < sen L. No caso, comparando: sen i = sen 45° = 0,707 e sen L = 0,67. Concluímos que sen i > sen L. Logo, ocorre reflexão total.

c) Como na reflexão não há dispersão da luz, e na refração com incidência normal também não ocorre esse fenômeno, Ariete não observa dispersão da luz nesse experimento. Resposta da questão 12:

a) Dados: vin 1,532.

Analisemos a Fig 1 que mostra a refração sofrida pelo raio violeta. Aplicando a lei de Snell:

vi ar vi vi vin sen30 n sen 1,532 (0,5) 1( ) 0,766.θ θ θ

Consultando a tabela dada, encontramos:

vi 50 .θ

Na Fig 2:

30 50 20 .α α

b) Teremos:

c) Sabemos que na refração, o desvio angular cresce do vermelho para o violeta.

Comprovemos aplicando a lei de Snell para as demais radiações envolvidas.

O ângulo de incidência é 1 30θ para todas as radiações.

Assim:

rad ar 2 2 radn sen30 n sen sen n (0,5).θ θ

Então:

az

vd

am

sen 1,528 (0,5) 0,764;

sen 1,519 (0,5) 0,760;

sen 1,515 (0,5) 0,758.

θ

θ

θ

No intervalo de 0 a 90 , quanto menor o seno do ângulo, menor é o ângulo. Portanto, o

raio amarelo é o que sofre menor desvio, depois, nessa ordem, verde, azul e violeta. Vejamos no esquema.