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RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE NICHOS DE CONCRETO
UTILIZADOS NA LIGAÇÃO LAJE-VIGA EM ESTRUTURAS PRÉ-MOLDADAS
Emílio César Gonçalves de Mendonça
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.
________________________________________________
Profª. Lídia da Conceição Domingues Shehata, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Yosiaki Nagato, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2002
ii
MENDONÇA, EMÍLIO C. GONÇALVES DE
Resistência ao cisalhamento de nichos de
concreto utili zados na ligação laje-viga em
estruturas pré-moldadas [Rio de Janeiro] 2002
X, 122 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Civil , 2002)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Resistência ao cisalhamento
2. Conexões de cisalhamento
I. COPPE/UFRJ II . Título ( série )
iii
Aos meus pais,
meu sobrinho Ricardo Filho
e minha afilhada Lara.
iv
Agradeço à minha família por todo apoio que me deu, sem o qual este trabalho
não seria possível, aos meus professores da Universidade Federal do Ceará, à PREMAG
e à Engª. Flávia, à CAPES e ao CNPQ pela bolsa de estudos e apoio financeiro.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE NICHOS DE CONCRETO
UTILIZADOS NA LIGAÇÃO LAJE-VIGA EM ESTRUTURAS PRÉ-MOLDADAS
Emílio César Gonçalves de Mendonça
Abril /2002
Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Programa: Engenharia Civil
A opção por estruturas em concreto pré-moldado vem tornando-se mais comum a
cada dia graças à rapidez de execução e às melhores características dos elementos
estruturais. Estas estruturas são usadas hoje em diversos tipos de edificações, galpões
industriais, além de pontes.
Em se tratando de pontes de concreto pré-moldado, empregam-se dois métodos
construtivos. O primeiro emprega longarinas pré-moldadas e lajes moldadas no local,
enquanto no segundo tanto as longarinas quanto as lajes são pré-moldadas. Neste caso, a
ligação entre vigas e lajes pré-moldadas é feita com nichos de concreto executados em
loco com armadura de espera da viga e outra armadura que trava a anterior.
Este trabalho resume alguns dos ensaios de cisalhamento direto apresentados na
literatura e fórmulas empíricas e análiti cas desenvolvidas para obter-se a resistência ao
cisalhamento de uma interface de concreto. É descrito o programa experimental
desenvolvido para determinar a resistência ao cisalhamento dos nichos de ligação entre
vigas e lajes de pontes de concreto pré-moldado contendo diversas taxas de armadura
transversal, tendo por base os resultados obtidos nos ensaios, é proposta nova expressão
para avaliar essa resistência. Discute-se, ainda, a ductili dade dos nichos e a influência da
armadura de travamento comumente colocada no interior dos nichos na resistência ao
cisalhamento.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
SHEAR RESISTANCE OF SHEAR CONCRETE JOINTS IN PRECAST
CONCRETE STRUCTURES
Emílio C. Gonçalves de Mendonça
April /2002
Advisor: Ibrahim Abd El Malik Shehata
Department: Civil Engineering
Precast Concrete Structures are becoming an attractive solution due to the
facilit y and speed of the construction process. Nowadays, there are many examples of
applications of these types of structures as buildings, industrial halls and bridges.
In precast concrete bridges there are two types of execution process. In
the first, only the main girders are precast and the slabs are cast in place, while in the
second both the girders and the slabs are precast units. The connection between the slab
and the girders in the second solution is usually made by casting in place concrete holes
that are left in the slabs and contain the left out steel from the girder.
The present work aims to investigate the strength of these types of
connections and includes a summary of what is available in the literature about the
subject. An experimental program was carried out in order to study the influence of the
amount of steel in these connections on their strength and ductilit y. On the basis of the
results of this test program, a new equation for evaluating the strength of the connection
is proposed. The ductilit y of the connections and the influence of the type of transverse
reinforcement used on their shear resistance are discussed.
vii
Índice
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................1
2. PESQUISA BIBL IOGRÁFICA .............................................................................6
2.1. INTRODUÇÃO..........................................................................................................6
2.2. ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO ....................................................................6
2.2.1. ENSAIOS REALIZADOS POR HANSON (1960).......................................................6
2.2.2. ENSAIOS REALIZADOS POR HOFBECK (1969)...................................................10
2.2.3. ENSAIOS REALIZADOS POR MATTOCK (1972) .................................................15
2.3. MODELOS TEÓRICOS E FÓRMULAS EMPÍRICAS ADOTADAS PARA AVA LIAR A
RESISTÊNCIA AO CORTANTE DE LIGAÇÃO .....................................................................20
2.3.1. BIRKELAND (1966) E MAST (1968)..............................................................20
2.3.2. MATTOCK (1972) – PLANO DE CISALHAMENTO PREVIAMENTE FISSURADO ....24
2.3.3. MATTOCK (1972) – PLANO DE CISALHAMENTO SEM FISSURAÇÃO PRÉVIA ......24
2.3.4. HSU (1987)........................................................................................................28
2.3.5. TSOUKANTAS (1989).....................................................................................37
2.3.6. ACI 318-99........................................................................................................45
2.3.7. CAN A23.3-94................................................................................................... 46
2.3.8. CEB-FIP MC 90................................................................................................47
2.3.9. RECOMENDAÇÃO CEB-FIP PARA PISOS COMPOSTOS..........................................49
3. ANÁLISE EXPERIMENTAL DOS NICHOS DE LIGAÇÃO .........................51
3.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................51
3.2. CORPOS DE PROVA ...............................................................................................52
3.3. MATERIAIS UTILIZADOS ......................................................................................58
3.3.1. FÔRMAS..............................................................................................................58
3.3.2. CONCRETO..........................................................................................................59
3.3.3. AÇO....................................................................................................................60
3.4. CONCRETAGEM ....................................................................................................60
3.5. INSTRUMENTAÇÃO ...............................................................................................66
viii
3.5.1. EXTENSÔMETROS ...............................................................................................66
3.5.2. DEFLECTÔMETROS..............................................................................................67
3.6. METODOLOGIA DE ENSAIO ..................................................................................67
4. APRESENTAÇÃO, ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULT ADOS...........70
4.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................70
4.2. RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO E À TRAÇÃO DO CONCRETO................................. 70
4.3. CARACTERÍSTICAS DO AÇO..................................................................................72
4.4. CURVAS DE DESLIZAMENTO DOS NICHOS E DEFORMAÇÃO NA ARMADURA DE
LIGAÇÃO .........................................................................................................................72
4.5. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO .......................................................................91
4.6. DUCTILIDADE DAS LIGAÇÕES ............................................................................102
4.7. MODO DE RUPTURA............................................................................................104
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS.....................109
REFERÊNCIAS BIBL IOGRÁFICAS.....................................................................111
APÊNDICE A .............................................................................................................113
ix
Lista de símbolos
Letras romanas
Ac área da seção de concreto
Ast área da seção transversal da armadura na direção normal ao plano de
cisalhamento
d, r eixos inclinados em relação ao eixos l e t
D força devida à ação de pino da armadura transversal
Du força devida à ação de pino última
e excentricidade de carregamento
Ec módulo de elasticidade do concreto tangente na origem
Es módulo de elasticidade do aço
F força resultante de tração ou compressão em uma seção de viga
fc resistência à compressão do concreto medida em cili ndros
fck resistência característica do concreto
fct resistência à tração do concreto
fsp resistência à tração indireta do concreto (compressão diâmetral)
fyl, fyt tensões de escoamento das armaduras nas direções l e t
Is momento de inércia com relação ao eixo longitudinal da barra
l, t eixos paralelo e normal ao plano de cisalhamento, respectivamente
lb comprimento de ancoragem da armadura
N força normal no plano de cisalhamento
P carga concentrada
Pu carga última
R força normal resultante na superfície das rugosidades
T força de tração na armadura transversal ao plano de cisalhamento
V força cortante
Vu força cortante última
w abertura da fissura no plano de cisalhamento
Letras gregas δl deslocamento relativo entre as superfícies na direção l
δld deslocamento de pino da armadura
x
δld,lin deslocamento de pino da armadura no final do comportamento
elástico
δldu deslocamento de pino último da armadura
δlu deslocamento relativo último entre as superfícies na direção l
δt deslocamento relativo entre as superfícies na direção t
δtb alongamento das barras na direção t
εd, εr deformações nas direções d e r
εfis deformação de fissuração do concreto
εl, εt deformações nas direções l e t
εyl, εyt deformações de escoamento das armaduras nas direções l e t
φ diâmetro da armadura
γlt deformação angular no plano formado pelos eixos l e t
ϕ ângulo médio de inclinação das rugosidades
µ coeficiente de atrito
ρl, ρt taxas geométricas de armadura nas direções l e t
σcd, σcr tensões normais no concreto nas direções d e r
σcl, σct tensões normais no concreto nas direções l e t
σfis tensão de fissuração do concreto
σl, σt tensões nas armaduras nas direções l e t
σnl, σnt tensões normais devido ao carregamento externo nas direções l e t
σsl, σst tensões normais devido a deformação das armaduras nas direções l e
t
τdr tensão de cisalhamento no plano inclinado formado pelos eixos d e r
τfr,d tensão cisalhante de dimensionamento devida exclusivamente ao
atrito entre as superfícies
τfr,u tensão cisalhante última devida exclusivamente ao atrito entre as
superfícies
τlt tensão de cisalhamento no plano de cisalhamento
τu tensão de cisalhamento média de ruptura
1
1. Introdução
A utili zação de elementos estruturais pré-moldados representa ganhos em
velocidade de execução da obra e uma melhor qualidade, já que as peças são executadas
com melhor controle tecnológico.
Além destes ganhos diretos, existe uma série de vantagens indiretas
proporcionadas por este sistema construtivo, tais como:
• diminuição dos riscos de acidentes com pessoas: a execução das peças
acontece no solo e, portanto, não há riscos de quedas de operários, além do
controle das condições de trabalho ser melhor;
• economia de fôrmas: não há grandes distâncias de transporte horizontal ou
vertical, evitando a ocorrência de choques, e a desforma pode ser melhor
executada preservando as fôrmas;
• redução do custo de transporte do concreto e demais componentes: a
execução das peças acontece em uma única região.
Caso as peças sejam pré-fabricadas, a obra ganha em economia de espaço
devido à supressão de locais para a execução do concreto, fôrma e armadura, além da
diminuição da área destinada a instalações como banheiros e refeitórios, graças à
diminuição da mão-de-obra o que também acarreta a redução de gastos administrativos.
Os pré-moldados de concreto são intensamente utili zados na construção de
pontes, pois, além das vantagens já mencionadas, este tipo de estrutura dispensa o
emprego de grandes quantidades de cimbramento, que muitas vezes torna-se inviável
dadas as condições da obra, como pontes sobre rios profundos ou vias de grande
importância.
Comumente, empregam-se em pontes peças de concreto compostas (elementos
formados pela união de peças de concreto com idades diferentes). Um exemplo deste
tipo de método construtivo é apresentado na figura 1.1. As vigas pré-moldadas são
dispostas sobre seus suportes e sobre elas são colocadas placas de concreto também pré-
2
moldadas que servirão como fôrma para a laje que será concretada após o término da
colocação das placas.
Forma-se, então, um sistema de vigas T onde a alma é formada pela viga pré-
moldada e a mesa pela laje concretada no local. O monoliti smo da estrutura é garantido
pela aderência entre as superfícies contínuas da laje e da viga e pelos estribos de espera
da viga. A transferência de esforços de cisalhamento horizontais ocorre ao longo de toda
a interface de contato entre as duas peças (figura 1.2).
Outro método construtivo também utili zado em pontes de concreto é o que
emprega vigas e lajes pré-moldadas. Neste caso, a ligação entre as peças é realizada
através de conexões de concreto moldadas no local. Nas vigas, são deixados estribos de
espera e as lajes são moldadas com furos que têm espaçamento igual ao dos estribos de
espera (figura 1.3). O processo de montagem começa com a colocação das vigas em
suas posições. Segue-se o posicionamento das lajes sobre as vigas observando o encaixe
entre os estribos de espera e os furos. Após o término da montagem, os furos (nichos)
são preenchidos com concreto.
Figura 1.1: Ponte construída com vigas pré-moldadas e laje moldada no
local
Armaduratransversal
Viga pré-moldada
Placa de concreto pré-moldado
Laje moldadano local
3
No segundo processo executivo, a transferência de esforços de cisalhamento
horizontal dá-se de forma descontínua, apenas nos locais dos nichos (figura 1.4). O
comportamento estrutural da seção transversal como vigas T deve ser verificado e a
ligação entre a laje e a viga deve também ser analisada quanto à sua resistência ao
cisalhamento e à sua ductili dade na ruptura.
Figura 1.2: Transferência de esforços em interface contínua
Figura 1.3: Ponte construída com vigas e laje pré-moldada
Viga pré-moldada
Tensão decisalhamentoV+∆V
F+∆F
F+∆F
V
F
F
Carregamento
Laje moldadano localInterface
Viga pré-moldada
Laje pré-moldadaNicho de concretomoldado no local
4
A resistência ao cisalhamento dos nichos de ligação mesa-alma (entre viga e
laje pré-moldada) constitui o escopo deste trabalho, que faz parte de uma pesquisa mais
ampla em andamento na Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o
comportamento do elemento estrutural formado por viga e laje pré-moldadas ligadas
através de conexões de concreto.
Diversos autores têm estudado a resistência da ligação contínua entre viga pré-
moldada e laje moldada no local através de ensaios de vigas T submetidas à flexão
(HANSON (1960), SAEMANN (1964), LOOV (1994), ARAÚJO (1997), GOHNERT
(2000)), fornecendo dados sobre como ocorre a transferência dos esforços cisalhantes na
interface. Com isso, têm-se possibilit ado que códigos apresentem procedimentos para o
dimensionamento deste tipo de elemento estrutural.
Outras pesquisas foram realizadas para estudar o comportamento de peças de
concreto armado submetidas a cisalhamento direto (HANSON (1960), HOFBECK
(1969), MATTOCK (1972), HERMANSEN(1974)), mas são poucos os estudos
realizados sobre a resistência e o comportamento das conexões de concreto submetidas
a cisalhamento direto. No Brasil , foram realizados ensaios de conexões na Escola de
Engenharia de São Carlos (MALITE (1997)). Torna-se necessária, portanto, a
realização de pesquisas sobre este tema para a verificação da influência na resistência
Figura 1.4: Transferência de esforços de cisalhamento através de
interface descontínua
Nicho de ligação
Viga pré-moldada
Tensão decisalhamentoV+∆V
F+∆F
F+∆F
V
F
F
Carregamento
Laje pré-moldadaInterface
5
das conexões de fatores como: resistência do concreto, quantidade da armadura
transversal na ligação e tipo de superfície de contato.
São objetivos deste estudo:
• determinar a resistência ao cisalhamento de nichos de ligação entre vigas e
lajes pré-moldadas através de ensaios de cisalhamento direto;
• verificar a influência da taxa geométrica de armadura transversal e da
existência de armadura de travamento no nicho de ligação mesa-alma na
resistência ao cisalhamento das conexões;
• avaliar a ductili dade das conexões através de gráficos que relacionam a
força na ligação e o deslizamento relativo entre os elementos;
• comparar os resultados dos ensaios com os de algumas fórmulas empíricas
e analíti cas para avaliar a resistência ao cisalhamento da interface e, se
necessário, propor uma alternativa.
O capítulo 2 deste trabalho resume alguns estudos realizados sobre a
transferência de esforços de cisalhamento através de uma interface. São mostrados
ensaios de cisalhamento direto de peças de concreto armado, os resultados obtidos e as
principais conclusões. Também são apresentadas fórmulas empíricas e analíti cas para a
resistência ao cisalhamento de uma interface.
No capítulo 3, são detalhados os modelos utili zados nos ensaios de
cisalhamento direto deste trabalho, os equipamentos utili zados, e o procedimento de
ensaio.
No capítulo 4, os resultados dos ensaios são analisados e as resistências ao
cisalhamento são comparadas com as calculadas usando as fórmulas analíti cas e
empíricas apresentadas no capítulos 2 e também da equação proposta neste trabalho. A
ductili dade das conexões é também avaliada.
O capítulo 5 contém as conclusões tiradas e sugestões para pesquisas futuras.
6
2. Pesquisa bibliográfica
2.1. Introdução
A transferência de esforços de cisalhamento em um plano de deslizamento
relativo (plano de cisalhamento) ocorre pela coesão, atrito e engrenamento de partículas
entre as superfície e pelo efeito de pino na eventual presença de armadura atravessando
este plano.
Se o plano apresenta-se fissurado e, portanto, sem adesão (coesão do concreto)
entre as superfícies, a transferência é feita pelo atrito e engrenamento das rugosidades
presentes nas superfícies. Quando o plano não está fissurado, a coesão do concreto
contribui para o mecanismo de transferência dos esforços cisalhantes.
O efeito de pino aparece quando o deslocamento relativo entre as superfícies
provoca o dobramento da armadura. No concreto, ocorre um aumento dos esforços de
tração na região da armadura produzindo, juntamente com a força de arrancamento, o
esfacelamento do concreto ao longo da armadura.
Os tópicos seguintes contém um resumo de algumas pesquisas envolvendo
ensaios de cisalhamento direto em um plano e equações sugeridas para avaliar a
resistência ao cisalhamento de uma interface.
2.2. Ensaios de cisalhamento direto
2.2.1. Ensaios realizados por HANSON (1960)
Com o objetivo de analisar a transferência de esforços de cisalhamento
horizontais em superfícies de contato entre concreto pré-moldado e concreto moldado
no local, HANSON (1960) realizou diversos ensaios de cisalhamento onde variaram-se
a rugosidade da superfície de contato, o tipo de ligação (com e sem chave de
cisalhamento), o comprimento da interface de cisalhamento e a taxa de armadura
7
transversal no plano de cisalhamento. O efeito da resistência do concreto não foi
analisado de modo sistemático.
O modelo ensaiado é apresentado na figura 2.1. Cada corpo de prova era
composto de duas partes, uma representando a viga pré-moldada e a outra uma laje
moldada no local. O comprimento da interface de contato teve os valores 150mm,
300mm e 600mm aproximadamente. Em alguns modelos, na peça que representava a
viga, foi deixado um nicho com dimensões de 128mmx128mmx64mm que foi
preenchido com o concreto da peça superior, formando, assim, uma chave de
cisalhamento. Os modelos com armadura transversal possuíam um estribo de diâmetro
igual a 12,7mm em formato de U (extremidade com ganchos).
As superfícies de contato das peças inferiores foram submetidas a alguns
tratamentos objetivando modificar as características das interfaces de cisalhamento,
assim classificadas:
• li sa: a superfície de contato foi suavizada tornando-a relativamente li sa;
• rugosa: a superfície foi escarificada com uma lâmina de aço, obtendo-se
rugosidades de cerca de 19mm;
• aderente: a parte superior foi moldada diretamente sobre a superfície seca
sem nenhum tratamento para anular a aderência;
• não aderente: a superfície de contato foi pintada com um composto de
sili cone evitando a aderência do concreto novo com o antigo.
Também foram realizados ensaios de exemplares com superfícies rugosas e
superfícies e li sas nos quais os agregados da região da interface estavam expostos e sem
argamassa. Para efetuar a limpeza da superfície dos agregados, foi utili zado aditi vo
retardador em uma camada de aproximadamente 25mm e fez-se jateamento com água
após 24 horas. Os resultados dos modelos com estes tipos de interface não são aqui
apresentados, pois eles não retratam situações práticas usuais.
Para isolar a influência do estado da superfície de contato na resistência da
ligação, o efeito de pino da armadura transversal foi, primeiramente, avaliado
separadamente, através dos ensaios realizados em modelos com a superfície de contato
li sa e não aderente (figura 2.2). Este efeito foi, então, subtraído dos resultados dos
demais ensaios.
8
Os modelos com interface aderente apresentaram grande resistência e pouco
deslocamento relativo entre as duas peças, enquanto os sem aderência apresentaram
grandes deslocamentos antes de atingir a sua capacidade resistente (figura 2.3.).
Figura 2.1: Corpos de prova ensaiados por HANSON (1960) - dimensões em mm
533
305
L+356
L+25
178
305
51
φ19,05
φ12,7
64
128
100
305
203
178
chave decisalhamento
609
25
aplicação dacarga
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Deslocamento relativo (mm)
Ten
são
cisa
lhan
te (
MP
a)
Figura 2.2: Efeito de pino da armadura transversal, para os espécimes com
L=300mm, verificado por HANSON(1960)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Deslocamento relativo (mm)
Ten
são
cisa
lhan
te (
MP
a)
Sup. rugosa e aderente
Sup. l isa e aderente
Sup. rugosa não aderente
Figura 2.3: Curva tensão de cisalhamento-deslocamento (descontado o efeito de
pino da figura 2.2)
10
Na figura 2.4, verifica-se que a existência de chave de cisalhamento pouco
afetou a curva tensão cisalhante deslocamento.
A variação do comprimento da interface, mantendo-se a mesma armadura da
ligação, acarretou alteração na taxa geométrica de armadura transversal. Os resultados
mostraram que o aumento da taxa geométrica de armadura (tensão de escoamento do
aço aproximadamente a mesma) leva ao aumento da capacidade resistente da peça.
2.2.2. Ensaios realizados por HOFBECK (1969)
HOFBECK (1969) realizou estudos sobre a transferência de esforços de
cisalhamento em peças de concreto armado com ou sem prévia fisssuração ao longo do
plano de cisalhamento. Os ensaios realizados visavam verificar:
• o efeito da existência de pré-fissuração ao longo da interface de
cisalhamento;
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Deslocamento relativo (mm)
Ten
são
cisa
lhan
te (
MP
a)
Sup. rugosa e aderente
Sup. rugosa e aderente com chave
Figura 2.4: Efeito da chave de cisalhamento conjuntamente com a aderência
(descontado o efeito de pino da figura 2.2)
11
• a influência da tensão de escoamento, taxa e arranjo da armadura
transversal;
• a influência da resistência do concreto;
• o efeito de pino da armadura transversal.
Foi aplicada aos corpos de prova (figura 2.5), uma carga P, produzindo
cisalhamento puro no plano m-n. Os modelos foram providos de uma adequada
armadura longitudinal para que a ruptura se desse ao longo do plano de cisalhamento. A
armadura transversal constituiu-se de estribos fechados abraçando a armadura
longitudinal. A tabela 2.1 apresenta dados dos modelos ensaiados.
O concreto dos modelos foi fabricado utili zando agregados com dimensão
máxima de 22mm e foi submetido a cura durante as primeiras 48h.
Os modelos ensaiados da série 6 diferem dos demais devido à existência de
borrachas flexíveis envolvendo os estribos na região de fissuração, visando eliminar a
contribuição do efeito de pino da armadura na resistência ao cisalhamento.
Os modelos da série 1 e os modelos 6.1 e 6.2 foram ensaiados com plano de
cisalhamento sem fissura prévia. Os demais corpos de prova foram ensaiados após a
indução de um plano fissurado, obtido pela aplicação de um carregamento ao longo da
superfície de cisalhamento, coplanar a esta e na direção normal ao eixo da armadura
longitudinal (ensaio de tração indireta).
A carga foi incrementada até a ruptura. Após cada acréscimo de carga, o
deslizamento relativo foi medido.
Na tabela 2.2 são apresentados os valores de tensão máxima de cisalhamento
(τu) obtidos.
Verificou-se que a existência de um plano previamente fissurado aumenta o
deslizamento relativo em todas as fases do carregamento. A tensão máxima de
cisalhamento é menor nos modelos pré-fissurados, sendo a diferença maior para baixos
valores de ρtfyt e tornando-se insignificante para altos valores do mesmo (figura 2.6).
O aumento do diâmetro das barras ou a diminuição do espaçamento dos
estribos, incrementando, assim, a taxa geométrica de armadura transversal (ρt),
aumentou o valor da tensão máxima de cisalhamento.
12
A tensão máxima de cisalhamento foi maior para os espécimes com aço de
maior tensão de escoamento, desde que esta fosse atingida antes da ruptura.
Para corpos de prova com baixo valor de ρtfyt, a resistência do concreto não
afetou a resistência ao cisalhamento dos modelos fissurados. O mesmo não aconteceu
no caso dos espécimes com altos valores de ρtfyt , onde o aumento da resistência do
concreto acarretou o aumento da capacidade resistente.
A presença da mangueira de borracha envolvendo os estribos na região da
interface anulou a maior parte do efeito de pino que, para os modelos pré-fissurados,
representou uma significativa parcela de resistência. Nos ensaios, a perda chegou a 39%
para o corpo de prova 6.3 e a 20% para o 6.4 quando comparados com os corpos de
prova 3.2 e 3.5 (sem mangueira) respectivamente (ver tabela 2.2).
Figura 2.5: Detalhe dos modelos ensaiados por HOFBECK (1969) –
dimensões em mm
seção transversalcentral
127
254
P
Pplano decisalhamento
4φ9,5
3φ12,7
2φ15,91φ12,7
estribos(tabela 2.2)
127127
19
127
400
1912
7
m
n
13
Tabela 2.1: Corpos de prova ensaiados por HOFBECK (1969)
Corpo de prova
φ (mm) ρt fyt (MPa) fc (MPa)
1.0 - - - 28,41.1A 9,5 4,4E-03 357 27,61.1B 9,5 4,4E-03 338 30,51.2A 9,5 8,8E-03 357 27,01.2B 9,5 8,8E-03 338 29,41.3A 9,5 1,3E-02 357 27,01.3B 9,5 1,3E-02 338 27,61.4A 9,5 1,8E-02 357 31,71.4B 9,5 1,8E-02 338 27,21.5A 9,5 2,2E-02 357 31,71.5B 9,5 2,2E-02 338 28,61.6A 9,5 2,6E-02 357 30,31.6B 9,5 2,6E-02 338 28,5
2.1 9,5 4,4E-03 357 21,82.2 9,5 8,8E-03 357 21,82.3 9,5 1,3E-02 357 27,52.4 9,5 1,8E-02 357 27,52.5 9,5 2,2E-02 357 29,42.6 9,5 2,6E-02 357 29,43.1 3,2 1,0E-03 352 28,43.2 6,4 4,0E-03 400 28,23.3 9,5 8,8E-03 357 21,83.4 12,7 1,6E-02 332 28,43.5 15,9 2,5E-02 298 28,44.1 9,5 4,4E-03 465 28,64.2 9,5 8,8E-03 465 28,64.3 9,5 1,3E-02 465 30,54.4 9,5 1,8E-02 465 30,54.5 9,5 2,2E-02 465 23,95.1 9,5 4,4E-03 357 17,25.2 9,5 8,8E-03 357 18,45.3 9,5 1,3E-02 357 16,85.4 9,5 1,8E-02 357 18,25.5 9,5 2,2E-02 357 18,46.1 9,5 4,4E-03 338 27,96.2 9,5 2,2E-02 338 27,76.3 9,5 4,4E-03 338 27,96.4 9,5 2,2E-02 338 27,7
14
Tabela 2.2: Resultados dos ensaios realizados por HOFBECK (1969)
Corpo de prova
ρtfyt (MPa) τu (MPa)Corpo de
provaρtfyt (MPa) τu (MPa)
1.1 0,00 3,38 3.1 0,35 1,691.1A 1,57 5,28 3.2 1,57 3,661.1B 1,48 5,94 3.3 3,14 4,781.2A 3,14 7,03 3.4 5,21 7,231.2B 2,97 6,90 3.5 7,32 8,111.3A 4,72 7,74 4.1 2,06 4,951.3B 4,46 7,53 4.2 4,10 6,891.4A 6,28 9,57 4.3 6,15 8,301.4B 5,94 9,00 4.4 8,19 9,851.5A 7,88 9,85 4.5 10,24 9,281.5B 7,42 9,74 5.1 1,57 3,591.6A 9,43 10,08 5.2 3,14 4,921.6B 8,91 9,99 5.3 4,72 5,70
2.1 1,57 4,15 5.4 6,28 5,592.2 3,14 4,78 5.5 7,88 7,102.3 4,72 5,91 6.1 1,48 5,632.4 6,28 7,03 6.2 7,42 8,722.5 7,88 9,15 6.3 1,48 2,252.6 9,43 9,75 6.4 7,42 6,49
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
ρρ tfyt(MPa)
ττ u(M
Pa)
Plano não f issurado(série 1 )Plano f issurado(série 2)
Figura 2.6: Resistência ao cisalhamento em função de ρtfyt, fc≅ 28MPa
15
2.2.3. Ensaios realizados por MATTOCK (1972)
Dando continuidade à pesquisa iniciada por HOFBECK (1969) sobre
transferência de esforços de cisalhamento, novos ensaios foram realizados por
MATTOCK (1972) com o objetivo de avaliar a influência da tensão normal ao plano de
cisalhamento na capacidade resistente ao cortante.
Os modelos ensaiados sob cisalhamento direto induzido por tração (séries 7 e
8) e compressão com tensão normal ao plano de cisalhamento (séries 9 e 10) são
mostrados na figura 2.7 a e b respectivamente. Outros dados dos corpos de prova estão
li stados na tabela 2.3.
O plano de cisalhamento tinha dimensões de 300mmx120mm nos espécimes
submetidos a tração e de 300mmx150mm nos espécimes submetidos a compressão.
A carga aplicada P gerava cortante ao longo do plano de cisalhamento de
intensidade P nos espécimes tracionados e de Pcosθ nos espécimes comprimidos.
Nestes últimos, além da força cortante no plano de cisalhamento havia força normal de
compressão igual a Psenθ.
θ
Plano decisalhamento
P P
Armaduratransversal
P P
(a) (b)
Figura 2.7: Corpos de prova ensaiados por MATTOCK (1972)
16
Foram executados ensaios em espécimes com superfície de cisalhamento pré-
fissurada (séries 8 e 10) e em espécimes sem fissura prévia (séries 7 e 9).
Tabela 2.3: Características dos corpos de prova ensaiados por MATTOCK
(1972)
Corpo de prova
φ (mm) ρt θ (º) fyt (MPa) fc (MPa)
7.1 9,5 7,8E-03 341,3 33,47.2 9,5 1,2E-02 341,3 35,37.3 9,5 1,6E-02 341,3 34,87.4 6,4 3,4E-03 386,1 37,37.5 6,4 5,2E-03 386,1 35,07.6 6,4 8,6E-03 386,1 35,28.1 9,5 7,8E-03 341,3 33,48.2 9,5 1,2E-02 341,3 35,38.3 9,5 1,6E-02 341,3 34,88.4 6,4 3,4E-03 386,1 37,38.5 6,4 5,2E-03 386,1 35,08.6 6,4 8,6E-03 386,1 35,29.1 9,5 1,5E-02 45 361,3 37,99.2 9,5 1,8E-02 30 359,9 37,99.3 9,5 1,9E-02 15 360,6 27,29.4 9,5 1,8E-02 0 370,3 27,29.5 9,5 1,2E-02 30 351,6 44,49.6 9,5 6,1E-03 30 351,6 44,4
10.1 9,5 9,2E-03 75 357,2 23,810.2 9,5 9,2E-03 75 358,5 30,310.3 9,5 1,2E-02 60 357,2 23,810.4 9,5 1,2E-02 60 365,4 30,310.5 9,5 1,5E-02 45 363,4 31,910.6 9,5 1,8E-02 30 358,5 31,910.7 9,5 1,8E-02 15 361,3 27,710.8 9,5 1,8E-02 0 370,3 27,710.9 9,5 1,2E-02 30 351,6 40,0
10.10 9,5 6,1E-03 30 351,6 40,0
17
Os resultados dos ensaios encontram-se resumidos na tabela 2.4.
Os modelos da série 7, ensaiados a tração, apresentaram resistência ao
cisalhamento menor do que os modelos da série 1 ensaiados por HOFBECK (1969)
submetidos a compressão (figura 2.8). Esta diferença não foi observada entre a série 8,
ensaiada a tração, e as séries 2 e 3 de HOFBECK (1969) ensaiadas a compressão com
superfície de cisalhamento pré-fissurada (figura 2.9).
Tabela 2.4: Resultados obtidos por MATTOCK (1972)
Corpo de prova σnt (MPa) ρtfyt + σnt (MPa) τu (MPa)
7.1 2,6 5,97.2 4,0 6,37.3 5,3 6,77.4 1,3 3,97.5 2,0 4,27.6 3,3 5,88.1 2,6 4,88.2 4,0 6,18.3 5,3 6,48.4 1,3 3,68.5 2,0 3,98.6 3,3 5,19.1 17,0 22,5 17,09.2 10,2 16,8 17,79.3 2,8 9,5 10,49.4 0,0 6,8 9,69.5 11,4 15,7 19,89.6 11,0 13,2 19,1
10.1 22,2 25,5 5,910.2 27,0 30,3 7,210.3 19,2 23,5 11,110.4 21,1 25,6 12,210.5 15,6 21,2 15,610.6 8,6 15,2 14,910.7 2,7 9,3 10,010.8 0,0 6,8 7,710.9 10,3 14,6 17,9
10.10 5,6 7,8 9,7
18
Figura 2.8: Resultados obtidos nos ensaios dos espécimes submetidos a tração e
a compressão com plano de cisalhamento não fissurado
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
ρρ f (MPa)
ττ u (
MP
a)
Séries 2 e 3 (espécimes submetidos acompressão, HOFBECK (1969))
Série 8 (espécimes submetidos atração)
Figura 2.9: Comparação de resultados dos espécimes submetidos a compressão e a
tração com plano de cisalhamento fissurado previamente
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
ρρ tfyt (M Pa)
ττ u (
MP
a)
Sér i e 1 (espéci messubmetidos a compressão,HOFBECK (1969))Sér i e 7 (espéci messubmetidos a tração)
19
Os exemplares 10.1 a 10.4, ensaiados com compressão atuando no plano de
cisalhamento, atingiram a ruptura devido à compressão neste plano, enquanto nos
demais a ruptura ocorreu por cisalhamento.
Na figura 2.10, a resistência ao cisalhamento de modelos ensaiados com
compressão agindo no plano de cisalhamento (série 9 e modelos 10.5 a 10.10) é
comparada com a dos modelos das séries 1, 2 e 3 de HOFBECK (1969) (sem
compressão). Observa-se que o aumento da resistência dos corpos de prova com
compressão agindo no plano acontece na mesma razão que os modelos das séries 1, 2 e
3. Nota-se, também, nestes corpos de prova, um aumento no limite superior em relação
aos exemplares sem compressão no plano. Este acréscimo de resistência para altos
valores de (ρtfyt + σnt) deve-se ao aumento significativo de resistência do concreto, em
torno de 14MPa, apresentada em alguns exemplares (9.1, 9.2, 9.5, 9.6, 10.9 e 10.10) e a
existência de compressão no plano de cisalhamento.
A presença de compressão agindo no plano de cisalhamento resulta em um
estado biaxial compressão-compressão no concreto, que passa a ter resistência à
compressão de aproximadamente 1,2fc.
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
ρρtfyt+σσnt (MPa)
τ u(M
Pa)
Séries 2 e 3 (com fissura préviaHOFBECK (1969))Série 1 (sem fissura prévia HOFBECK(1969))Série 9 (sem fissura prévia)
Série 10 (fissurada)
Figura 2.1.10: Comparação dos resultados dos espécimes sem e com tensão normal
ao plano de cisalhamento
20
2.3. Modelos teór icos e fórmulas empír icas adotadas para avaliar a
resistência ao cor tante de ligação
2.3.1. BIRKELAND (1966) e MAST (1968)
Dado o bloco de concreto ilustrado na figura 2.11, admite-se a existência de
um plano fissurado m-n e de uma força externa V aplicada paralelamente ao plano
fissurado fazendo com que as duas metades do bloco tendam a deslizar uma em relação
à outra. Se, ao sistema, for aplicada uma força N na direção ortogonal ao plano
fissurado, o deslizamento relativo é combatido pela ação da força de atrito µN, onde µ é
o coeficiente de atrito entre as superfícies em contato (figura 2.11).
Quando a interface apresenta certa rugosidade, o deslocamento entre as duas
peças envolve uma componente δt normal ao plano de cisalhamento m-n (separação).
Esta componente, na existência de armadura transversal, provoca o aparecimento de
uma força de compressão adicional, ortogonal ao plano, igual e oposta à força de tração
(T) na armadura, motivada pela separação das duas superfícies (BIRKELAND (1966)).
O efeito das rugosidades, durante a separação e o deslizamento das duas
superfícies, pode ser representado pelo deslocamento de um conjunto de dentes
Figura 2.11: Força de atrito agindo entre dois blocos de concreto
m n
N
V
V
N
N
N
V
µN
21
inclinados a um ângulo ϕ com relação ao plano de cisalhamento (figura 2.12). Isolando
uma parte do bloco limitada pelo plano de cisalhamento e considerando seu equilíbrio
sob a ação da força externa (V) e as resultantes das forças internas nos dentes (R) e nas
armaduras (T), tem-se:
TcosR =ϕ⋅
VsenR =ϕ⋅
ϕ⋅= tanTV (2.1)
Figura 2.12: Tração na armadura transversal devido às rugosidades e
reação no concreto - Teoria atrito-cisalhamento
Rcosϕ
R
ϕ
δtArmadura
m
RsenϕT
n
V
V
V
T
T
22
Considerando que o deslocamento δt seja suficiente para provocar o
escoamento da armadura e que a ancoragem desta seja suficiente para sustentar a tensão
de escoamento, a força T é dada por:
ytst fAT ⋅= (2.2)
Das equações 2.1 e 2.2, chega-se à tensão de cisalhamento média que provoca
a ruptura
µ⋅σ=ϕ⋅⋅ρ==τ styttc
uu tanf
A
V (2.3)
com ϕ=µ tan e yttst f⋅ρ=σ
onde
Ast= área da seção da armadura transversal à interface
fyt= tensão de escoamento da armadura transversal
Ac= área da seção de concreto
Vu= força cortante última
ρt= taxa geométrica de armadura transversal
µ= coeficiente de atrito entre as superfícies (tangφ)
σst= tensão normal ao plano de cisalhamento devido a deformação da armadura
transversal
A teoria atrito-cisalhamento prevê a existência de um plano fissurado,
desconsiderando, portanto, a transmissão de tensão de cisalhamento pela aderência entre
as peças (coesão).
A retração diferencial entre peças com idades diferentes, fluência e variações
térmicas, além de danos nas conexões devido ao próprio processo de montagem das
estruturas de concreto pré-moldadas podem acarretar a formação de um plano fissurado
entre as superfícies de concreto. A teoria do atrito-cisalhamento, ao considerar a
23
superfície fissurada, é a favor da segurança, pois não admite a contribuição da adesão do
concreto.
Valores de µ sugeridos por MAST (1968) em função do tipo de superfície de
contato e dos materiais estão li stados na tabela 2.5.
Tabela 2.5: Valores do coeficiente de atrito µ em função dos materiais e da
superfície de contato (MAST (1968))
Tipo de superfície µ
Concreto-concreto superfície rugosa 1,4
Concreto-aço em vigas compostas 1,0
Concreto-aço com conectores soldados em campo 0,7
Concreto-concreto superfície lisa 0,7
Concreto monolítico 1,4-1,7
Ao aplicar-se a teoria do atrito-cisalhamento no dimensionamento deve-se
atentar para o seguinte:
• a aplicação de tensão normal ao plano de cisalhamento (σnt) resulta no
aumento (se for de compressão) ou diminuição (se for de tração) da força
normal atuando neste plano e deve ser levada em conta da seguinte forma
)f(tan)f( ntyttntyttu σ+⋅ρ⋅µ=ϕ⋅σ+⋅ρ=τ
com as tensões de compressão consideradas positi vas e as de tração
negativas;
• a teoria do atrito-cisalhamento pressupõe o escoamento da armadura
transversal, o que geralmente ocorre para pequenas taxas de armadura. Para
altas taxas de armadura, o esmagamento do concreto na interface ocorre
antes que a armadura alcance o escoamento. Neste caso, τu deve ser
limitada ao valor que corresponde ao esmagamento do concreto que, em
24
várias normas de cálculo é estabelecida como uma fração de fc ou um valor
fixo em MPa.
2.3.2. MATTOCK (1972) – Plano de cisalhamento previamente fissurado
Uma equação, alternativa àquela da teoria atrito cisalhamento, é proposta por
MATTOCK (1972) para a resistência ao cisalhamento em um plano previamente
fissurado em concreto monolíti co. Esta equação foi baseada nos resultados obtidos dos
ensaios realizados por ele (apresentados no item 2.2.3) e é dada como:
cntyttu f3,0)f(8,0)MPa(38,1 ⋅≤σ+⋅ρ⋅+=τ (2.4)
)MPa(38,1)f( ntytt >σ+⋅ρ
2.3.3. MATTOCK (1972) – Plano de cisalhamento sem fissuração prévia
Considera-se um plano de ruptura por cisalhamento onde o carregamento
externo acarreta tensão cisalhante τlt ao longo do plano e tensões normais σnt e σnl nas
direções normal e paralela a este plano respectivamente.
Geralmente, no início do carregamento, o plano de ruptura por cisalhamento
encontra-se não fissurado e a armadura Ast, transversal a este plano, não está tracionada.
Ao aumentar-se o carregamento, surgem fissuras inclinadas de um ângulo α em
relação ao plano em questão quando a tensão principal de tração atinge o valor da
resistência à tração do concreto. O ângulo de inclinação das fissuras depende da
combinação das tensões de cisalhamento, τlt, e normais, σnt e σnl, no concreto quando
ocorre a fissuração. No caso dos ensaios de cisalhamento puro (σnt=0 e σnl=0), α é 45º.
Com a fissuração do concreto, formam-se pequenas bielas no plano de
cisalhamento entre cada duas fissuras paralelas (figura 2.13a). Dando continuidade ao
acréscimo de carregamento, o aumento da tensão cisalhante acarreta o deslocamento
relativo entre as superfícies levando ao um pequeno acréscimo de inclinação das bielas
25
e o alongamento da armadura transversal. O novo ângulo que as bielas fazem com o
plano de ruptura é β e as tensões normais no concreto são σct e σcl.
A tensão de tração na armadura pode atingir a tensão de escoamento do aço fyt,
caso não ocorra antes a ruptura das bielas, provocando a reação de compressão ytst fA ⋅
(T) no plano de ruptura. O colapso do sistema ocorre pela ruptura das bielas enquanto o
aço escoa (MATTOCK (1972)).
Num pequeno elemento de concreto no plano de cisalhamento, situado no
centro de uma biela com planos ortogonais ao sistema de coordenadas r e d (figura
2.13b), atuam a tensão de compressão σcd na direção paralela às fissuras e a tensão
cisalhante τdr. Como não são transmitidos esforços normais através das fissuras, σcr é
zero.
Figura 2.13: Estado de tensões em superfície não fissurada MATTOCK
(1972)
(a)
Força cortanteaplicada
Força normalaplicada
Força devido adeformação do aço
T N
NT
TN
TN
V
V
V
V
Armação transversal
β
Fissuras diagonais
Plano de ruptura
σcd
d
l
r
τdr
t
(b)
σcl
σctτlt
26
O par de valores σcd e τdr que provoca a ruptura do elemento de concreto pode
ser determinado através do critério de ruptura de Mohr-Coulomb. A interseção de
qualquer círculo de Mohr que tangencie a envoltória de ruptura e o eixo τ define o ponto
de coordenadas 0, τdr, visto que σcr=0 (figura 2.14). O ponto diametralmente oposto
define o ponto de ruptura (σcd, τdr).
O estado de tensões no elemento com relação aos eixos l e t, na ruptura, pode
ser representado da seguinte forma:
β⋅β⋅τ⋅−β⋅σ=σ cossen2sen dr2
cdct (2.5)
β⋅β⋅τ⋅+β⋅σ=σ cossen2cos dr2
cdcl (2.6)
)sen(coscossen 22drcdlt β−β⋅τ+β⋅β⋅σ−=τ (2.7)
para �
45≈β , tem-se
drcd
ct 2τ−
σ=σ (2.5a)
Figura 2.14: Combinação de tensões que levam à ruptura
Envoltória de rupturado concreto
σ
τ
σcd,τdr
σcr,τdr
27
drcd
cl 2τ+
σ=σ (2.6a)
2cd
lt
σ−=τ (2.7a)
A componente de tensão σct na ruptura corresponde à tensão provocada pela
reação do aço em escoamento adicionada à tensão σnt devida a forças externas.
Assim:
ntyttntc
ytstct f
A
fAσ+⋅ρ=σ+
⋅=σ (2.8)
A tensão cisalhante de ruptura pode ser escrita como:
ltc
uu K
A
Vτ⋅==τ (2.9)
onde
K= coeficiente de não uniformidade de distribuição de τlt nas bielas
Se �
45≈β
2
K cdu
σ⋅−=τ (2.10)
e a tensão normal ao plano de ruptura é
τ−
σ=σ+⋅ρ=σ dr
cdntyttct 2
f (2.11)
O valor do coeficiente (K) é 1 se há uma distribuição uniforme da tensão
cisalhante nas bielas e K=0,67 no caso de distribuição parabólica.
Utili zando as equações 2.5, 2.7 e 2.8 é possível determinar o par de valores de
(ρtfyt + σnt) e τu correspondente à ruptura, assumindo-se um determinado valor de K.
28
Considerando a distribuição de tensão de cisalhamento na biela algo intermediário entre
a distribuição uniforme e a parabólica, o valor de K pode ser aproximado para 0,84.
Os resultados experimentais obtidos por HOFBECK (1969) para série 1 e as
curvas obtidas com K=1 e K=0,84 estão apresentados na figura 2.15.
A partir desta figura, pode-se constatar que, com a utili zação de K=0,84, a
curva proposta aproxima-se dos resultados experimentais, entretanto fica, ainda, contra
a segurança além de não acompanhar a tendência experimental para baixos valores de
ρtfyt. Pode-se também concluir que, levando em conta a extensão teórica envolvida, este
método não apresenta um avanço significativo em relação a teoria atrito-cisalhamento.
2.3.4. HSU (1987)
HSU (1987) apresentou um modelo analíti co para transferência de esforços de
cisalhamento em planos sem prévia fissuração baseado, tal como o modelo apresentado
Figura 2.15: Comparação entre os valores de τu experimentais obtidos por
HOFBECK (1969) e os calculados pelo modelo de MATTOCK
(1972)
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12
ρρtfyt +σσnt (MPa)
ττ u(M
Pa)
Série 1
Ruptura da biela (K=1)
Ruptura da biela (K=0.84)
29
por MATTOCK (1972), na formação de bielas entre as fissuras que surgem
atravessando a interface. Adicionalmente, utili zou-se, na formulação analíti ca, equações
de compatibili dade, equilíbrio e curvas de tensão deformação do concreto sob estado
multiaxial de tensões. Além disso, o modelo admite a contribuição da armadura
posicionada paralelamente à interface no mecanismo de resistência ao cisalhamento.
Considere-se um elemento de concreto armado no plano definido pelas
direções perpendiculares l e t submetido a tensões normais σnl e σnt além de tensão ���������������� ��
lt, conforme mostra a figura 2.16a, de forma similar àquela apresentada por
MATTOCK (1972). Em decorrência das forças externas aplicadas, surgem fissuras
inclinadas formando uma série de bielas inclinadas a um ângulo � ��������� ��ção ao plano
de cisalhamento. Admite-se, também, um estado principal de tensões no concreto da
biela formado por compressão(σcd) na direção das fissuras (eixo d) e tração (σcr) na
direção ortogonal (eixo r), conforme mostra a figura 2.16b.
Decompõe-se o estado de tensões no plano de ruptura, σnl, σnt e τlt, em dois
estados, um relativo à parcela resistida pelo concreto, σcl, σct e τlt, e outro resistido pela
armad� ������� sl���
st (figura 2.16a). Observe-se que a tensão tangencial τlt é resistida
apenas pelo concreto; portanto, o efeito de pino da armadura é desconsiderado.
τ lt
σnt
σnl
τlt
=
σcl
τ lt
τ lt
σct
σsl=ρlσ l
+σst=ρtσ t
σcd σcr
l
r
t
d
α
(a) Estado de tensões no plano de cisalhamento
(b) Estado de tensões na biela
Figura 2.16: Modelo de elemento de concreto armado adotado por HSU (1987)
30
Como o estado de tensões no concreto , σcl, σct e τlt, é derivado do estado de
tensões principais na biela, utili zando-se o círculo de Mohr, o estado de tensões no
plano de ruptura pode ser descrito em função do estado de tensões na biela, � cd� � cr, e
do estado de tensões nas armaduras da seguinte forma:
tt2
cr2
cdnt sencos σ⋅ρ+α⋅σ+α⋅σ=σ (2.12)
ll2
cr2
cdnl cossen σ⋅ρ+α⋅σ+α⋅σ=σ (2.13)
α⋅α⋅σ−σ=τ cossen)( crcdlt (2.14)
onde �
l���
t= taxa geométrica de armadura nas direções l e t
σl e σt= tensões nas armaduras nas direções l e t
As tensões de tração são consideradas positi vas e as de compressão, negativas.
As deformações nas direções l e t, necessárias para avaliar as tensões nas
armaduras, são descritas em função das deformações da biela � d� � r nas direções d e r
da seguinte forma:
α⋅σ+α⋅ε=ε 2r
2dl sencos (2.15)
α⋅ε+α⋅ε=ε 2r
2dt cossen (2.16)
com rdtl ε+ε=ε+ε
α⋅α⋅ε−ε=γ cossen)( rdlt (2.17)
onde
� l� � t= deformações nas direções l e t
�lt= deformação angular
A tensão nas armaduras é determinada por:
ylllsl para E ε≤εε⋅=σ (2.18a)
yllyll para f ε>ε=σ (2.18b)
31
ytttst para E ε≤εε⋅=σ (2.19a)
yttytt para f ε>ε=σ (2.19b)
onde
te l direções nas armaduras das escoamento de tensõesf e f ytyl =
armaduras das escoamento de tensãoà entescorrespond sdeformaçoe e ytyl =εε
aço do deelasticida de módulo Es =
As tensões na biela, � cd�
� cr, podem ser avaliadas a partir das deformações na
mesma considerando as seguintes curvas de tensão-deformação para o concreto no
estado multiaxial de tensões (figura 2.17):
para a direção de compressão
pd
2
0
d
0
dccd para 2f ε≤ε
εε
⋅λ−εε
⋅⋅−=σ (2.20a)
pd
2
0
d
ccd para
12
1
1f
ε>ε
λ−
λ−
εε
−⋅λ
−=σ (2.20b)
onde
λε
=ε 0p (2.21)
002,00 −=ε
d
r7,0εε−=λ (2.22)
para a direção de tração
crrrccr para E ε<εε⋅=σ (2.23)
32
fisr
fisr
fiscr para
005,01
ε≥εε−ε
+
σ=σ (2.24)
onde
0
ccc
f2E , origem na tangenteconcreto, do deelasticida de módulo E
ε⋅−==
cilindros em medida concreto do compressão à aresistênci f c =
MPa em f com f332,0 concreto, do fissuração de tensão ccfisfis ⋅=σ=σ
c
fisfisfis E
concreto, do fissuração de deformação σ
=ε=ε
σfis
σcr
εrεfis
(b)
(a)
εp=ε0/λ
-fc/λ
σcd
εd
Figura 2.17: Relação tensão-deformação para estado multiaxial de tensões
33
A aplicação desse método de análise é feita como mostrado a seguir.
Para o modelo da figura 2.18, supondo uma carga P aplicada na direção l, as
tensões normal e tangencial num elemento no plano de cisalhamento são:
hb
Pknl ⋅
⋅=σ σ (2.25)
Lb
Pklt ⋅
⋅=τ τ (2.26)
onde
k � = coeficiente de não uniformidade da tensão normal
k� = coeficiente de não uniformidade da tensão de cisalhamento
b= largura da seção transversal (figura 2.18)
h= altura da seção transversal
L= comprimento da interface
Figura 2.18: Detalhe dos corpos de prova e zona crítica
L
Zona crítica
bh
P
P
l
t
34
Eliminando P das duas expressões anteriores chega-se a
ltnl k
k
h
L τ⋅
⋅=σ
τ
σ (2.27)
τ
σ⋅=k
k
h
LK (2.28)
ltnl K τ⋅=σ (2.29)
A análise de diversos ensaios mostrou que, após a formação das fissuras
diagonais, existe uma região fissurada na vizinhança da interface. Esta região foi
denominada região crítica e tem largura típica de cerca de 50mm a 80mm para modelos
com 254mm de largura. HSU (1987) considerou, ao contrário de MATTOCK (1972),
que, nesta região, a fissuração do concreto provoca uma redistribuição das tensões de
cisalhamento (τlt) e normal (σnl), obtendo-se uma distribuição aproximadamente
uniforme. Portanto, os coeficiente k � e k� são iguais à unidade e K=L/h.
Com a equação 2.29 na equação 2.13 e utili zando a equação 2.14, chega-se a
( ) ll2
cr2
cdcrcd fcossencossenK ⋅ρ+α⋅σ+α⋅σ=α⋅α⋅⋅σ−σ
e σcr pode ser expresso da seguinte forma:
( )α+α⋅α⋅
⋅ρ−α−α⋅α⋅⋅σ=σ
2ll
2cd
crcoscossenK
fsencossenK (2.30)
O processo de resolução é iterativo e consiste na determinação de � cr para cada ������� �����
d escolhido. Determina-se, então, o valor das demais variáveis para cada par �
cr���
d, sendo possível traçar curvas relacionando qualquer par de variáveis escolhidas: �
lt � � l � � t ��� lt, f l e ft.
A tensão de cisalhamento última (τu) e, consequentemente, a carga última (Pu)
corresponde ao pico da curva que relaciona a tensão de cisalhamento (τlt) com a
deformação angular (γlt).
35
O método iterativo segue os seguintes passos:
1. Escolhe- ��������� �� ����� d;
2. adota- ����������� ����������� cr;
3. determina- ����� r através das equações 2.23 ou 2.24;
fisrfis
2
cr
fisr para 1005,0 ε≥ε
ε+
−
σσ
⋅=ε
fisrc
crr para
Eε<ε
σ=ε
4. determina- ���������� ��� és da equação 2.22;
d
r7,0εε−=λ
5. calcula- �!��� cd utili zando as equações 2.20a ou 2.20b;
pd
2
0
d
0
dccd para 2f ε≤ε
εε
⋅λ−εε
⋅⋅−=σ
pd
2
0
d
ccd para
12
1
1f
ε>ε
λ−
λ−
εε
−⋅λ
−=σ
6. encontra-se o ângulo "#�$�&% %(')��*����#�+�,�)-���� ções abaixo, derivadas das
equações 2.12, 2.16, 2.18(a ou b) e 2.19(a ou b);
36
yttcrcd
yttcrnt2 para f
cos ε≥εσ−σ
⋅ρ−σ−σ=α
yttrdstcrcd
rstcrnt2 para )(E
Ecos ε<ε
ε−ε⋅⋅ρ+σ−σε⋅⋅ρ−σ−σ
=α
7. determina- �������������� � �� ������ cr através da equação abaixo, derivadas
da equação 2.30:
( ) para
coscossenK
fsencossenKyll2
yll2
cdcr ε≥ε
α+α⋅α⋅⋅ρ−α−α⋅α⋅⋅σ
=σ
( ) ( )
para
coscossenK
cossenEsencossenK
yll
2
2r
2dsl
2cd
cr
ε<εα+α⋅α⋅
α⋅ε+α⋅ε⋅⋅ρ−α−α⋅α⋅⋅σ=σ
8. �������������� � �� ������ cr estiver suficientemente próximo do valor � � ����� � ��� ���! "�#��� ��� � ���%$��� &�#� cr o procedimento encerra-se; caso
contrário, repetem- ���'��($��)������(*+�-, � � � �-������.�� � �� /���'� cr.
A figura 2.19 apresenta os resultados obtidos nos ensaios realizados por
HOFBECK (1969) dos modelos da série 1 e a tensão de cisalhamento última (τu)
avaliada pelo método proposto por HSU (1987) para estes mesmos exemplares.
Embora os resultados obtidos pela aplicação do método descrito tenham tido
boa concordância com os resultados experimentais, a dificuldade de implementação do
método e a perda de percepção de como o aumento da resistência do concreto ou da taxa
de armadura transversal afetam a resistência ao cisalhamento tornam pouco prática a sua
utili zação.
37
2.3.5. TSOUKANTAS (1989)
Com base em pesquisas sobre os mecanismos de transferência de esforços de
cisalhamento (atrito entre as superfícies, reação normal devido à armadura transversal e
efeito de pino da armadura), TSOUKANTAS (1989) apresentou um modelo para o
dimensionamento de conexões de cisalhamento com superfícies rugosas ou li sas. O
modelo considera separadamente os mecanismos de transferência de esforços numa
interface previamente fissurada como funções do deslocamento relativo entre as
superfícies.
Efeito do atrito entre as superfícies
O mecanismo de atrito atua quando existe uma força normal devida a carga
externa ou à presença de armadura transversal à interface. Em se tratando do segundo
caso, o deslocamento relativo (δl) imposto pelo cortante provoca a separação entre as
superfícies do plano de cisalhamento (δt) devido ao efeito de engrenamento das
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
ρρ tfyt(M Pa)
ττ u(M
Pa)
sér ie 1(HOFBECK(1969))
HSU (1987)
Figura 2.19: Resultados dos ensaios realizados por HOFBECK (1969)
e calculados por HSU (1987)
38
irregularidades (figura 2.20). A armadura transversal, se ancorada adequadamente em
ambas as partes de concreto, é então tracionada produzindo tensão normal ttst σ⋅ρ=σ
no plano de cisalhamento.
A separação das superfícies pode ser relacionada com o deslocamento δl
através da seguinte fórmula empírica:
lt 05,0 δ⋅=δ (superfície li sa) (2.31)
32lt 6,0 δ⋅=δ (superfície rugosa) (2.32)
com δl e δt dados em mm.
Estas equações são válidas para δl ����������� ������ �������������������� !��"! ��#���$�δl ���%�'&(���)�(��*������*���+�������������!�� ��,����-./�#�.0
Com o acréscimo de carga, o valor de δl aumenta até ser atingida a carga de
ruptura (Pu) definida como aquela que corresponde a um deslocamento relativo δlu.
O valor de δlu é dado, em mm, por:
para superfícies li sas
( )stntlu 15,0 σ+σ⋅=δ (2.33)
δ l
δt σst
σt
σt
Figura 2.20: Deslocamentos δl e δt e tensão devidos ao alongamento das
barras
39
onde
σnt= tensão normal aplicada no plano de cisalhamento em MPa
σst= tensão normal no plano de cisalhamento devido a deformação na
armadura transversal em MPa
A tensão de compressão tem sinal positi vo e a de tração, negativo.
Para superfícies rugosas
δlu=2,00mm
A tensão de tração (σt) resultante na armadura devido ao deslocamento relativo
entre as superfícies depende do alongamento da barra (δtb), do comprimento de
ancoragem (lb) e do diâmetro da barra (φ). Resultados de ensaios levaram à seguinte
fórmula empírica:
yt31
tb
41
ckb
21-t f
16
fl15 ≤δ⋅
⋅⋅φ⋅=σ (2.34)
com 2
ttb
δ=δ (figura 2.21)
As variáveis de comprimento são dadas em mm e as de tensão em N/mm2.
σ t
δ tb=δ t/2
σ t
Figura 2.21: Deformação da armadura decorrente do deslocamento das
superfícies na direção normal ao plano de cisalhamento
40
A equação anterior fornece bons resultados para comprimentos de ancoragem
entre 2φ e 12φ. Para valores de ancoragem superiores, a equação dá resultados muito
conservadores ao adotar-se o valor limite lb=12φ, além disso, para efeito de
dimensionamento, introduz-se um fator de incerteza de 2/3. Assim:
yt31
tb41
ckt ff60 ≤δ⋅⋅φ⋅=σ (2.35)
As tensões cisalhantes última ( � fr,u���������������� �������������������
� fr,d) devidas
exclusivamente ao atrito entre as superfícies são dadas como:
( )stntu,fr 4,0 σ+σ⋅=τ (superfície li sa) (2.36)
( )3stnt
2cku,fr f5,0 σ+σ⋅⋅=τ (superfície rugosa) (2.37)
( )c
stntd,fr 4,0
γσ+σ⋅=τ (superfície li sa) (2.38)
( )3stnt
2
c
ckd,fr
f38,0 σ+σ⋅
γ
⋅=τ (superfície rugosa) (2.39)
onde
fck= resistência característica do concreto �
c= coeficiente de minoração da resistência do concreto
A tensão tangencial devida ao atrito (τfr) pode ser expressa em função do
deslocamento relativo entre as superfícies é:
para superfícies li sas
lu
l
u,fr
fr
δδ=
ττ
(2.40)
41
para superfícies rugosas
05,05,07,1
3
u,fr
fr
4
u,fr
fr
lu
l +
ττ⋅−
ττ⋅=
δδ
(2.41)
Efeito de pino da armadura
O efeito de pino da armadura decorre do dobramento da armadura devido ao
deslocamento de pino δld (δld=δl/2) na direção da força cortante (figura 2.22)
A ação de pino da armadura transversal depende de fatores como: cobrimento
da armadura (c), diâmetro das barras, comprimento de ancoragem, qualidade do
concreto e da excentricidade (e) da força aplicada à armadura.
O valor do cobrimento deve permitir que a ruptura ocorra pelo escoamento da
armadura junto com o esmagamento do concreto em torno da barra. Valores admissíveis
de cobrimento são mostrados na figura 2.23. O comprimento de ancoragem deve ser
maior do que 6φ.
A força última resistente devido ao efeito de pino (Du) é obtida da equação
empírica:
Figura 2.22: Deslocamento de pino da armadura
l
δld=δl/2
42
0)1(ffD)ef10(D 2ytcc
42ucc
2u =ζ−⋅⋅⋅φ⋅ψ−⋅⋅φ⋅⋅+ (2.42)
onde
fcc= resistência à compressão do concreto obtida de corpos de prova cúbicos
(MPa)
ζ= σt/fyt
e= excentricidade da força aplicada à armadura (figura 2.24)
ψ é um fator que depende do cobrimento na direção da força cortante. A figura
2.25 e a tabela 2.6 permitem a determinação do valor de ψ.
Considerando e=0 e δl � δldu (δldu é o deslocamento de pino na ruptura) a
resistência de pino última e de dimensionamento são dadas por:
Figura 2.23: Valores aceitáveis de cobrimento para possibilit ar o
escoamento da barra sob efeito de pino
c2>
5φ
φ
c1>3φ
43
( )2ytcc
2u -1ffD ζ⋅⋅⋅φ⋅ψ= (2.43)
( )2
sc
ytck2ud 1
ff
4
3D ζ−⋅
γ⋅γ⋅
⋅φ⋅ψ⋅= (2.44)
Para δl<δldu a resistência de pino para dimensionamento é:
⋅
⋅δ⋅+δ=δ
3
u
d
4
u
dldulin,ldld D
D5,0-
D
D15,1 (2.45)
onde
φ⋅=δ 005,0ldu
δld,lin= deslocamento de pino no final do comportamento elástico do material
( )c
ulin,ld E
1eD2 +χ⋅⋅χ⋅⋅=δ (2.46)
41
ss
c
IE8
E
⋅⋅
=χ (2.47)
φ
lb>6φ
e D
Figura 2.24: Excentricidade da carga aplicada no pino
44
onde
Ec= módulo de elasticidade do concreto (N/mm2)
Es= módulo de elasticidade do aço (N/mm2)
Is= momento de inércia da barra com relação ao eixo longitudinal da barra
(mm4)
Tabela 2.6: Determinação de ψ
Local da armadura na seção
transversalValor de ψ
Local da armadura na seção
transversalValor de ψ
I III
II IV 1,3
+φ
⋅⋅φ
+ 10,0c
027,0c
6,0 21
φ⋅+ 2c
03,09,0
φ⋅+ 1c
233,06,0
Figura 2.24:Excentricidade da carga aplicada no pino
2.23: Excentricidade da carga aplicada no pino
D
I II
III IV
c1/φ=3 c1/φ
c2/φ=5
c2/φ
c1
c2
Figura 2.25: Definição da localização da armadura na seção de concreto
para determinação deψ
45
2.3.6. ACI 318-99
O ACI 318-99 (2000), na seção 11.7, define os procedimentos para avaliar a
resistência ao cisalhamento onde a transferência de esforços dá-se em um determinado
plano na interface entre diferentes materiais ou concretos de diferentes idades.
A equação dada para avaliar a resistência da interface sem tensão normal
aplicada em função da taxa de armadura transversal é dada por:
⋅
≤µ⋅⋅ρ=τMPa52,5
f2,0f c
yttu (2.48)
Os valores dados para o coeficiente de atrito em função do tipo do concreto
empregado e da condição da interface encontram-se na tabela 2.7.
Tabela 2.7: Valores do coeficiente de atrito segundo o ACI 318-99
Tipo de superfície µConcreto monolítico 1,4λConcreto novo sobre antigo, com interface tornada rugosa 1,0λConcreto novo sobre antigo, com interface sem tratamento para torná-la rugosa
0,6λ
Concreto ligado a elemento estrutural de aço através de pinos de aço com boleto ou armadura de aço
0,7λ
λ=1 para concreto de massa específica normalλ=0,85 para concreto leve com agregado miúdo de massa específica normalλ=0,75 para concreto leve com todos os agregados leves
Quando a interface é submetida a uma tensão normal σnt,
( ) µ⋅σ+⋅ρ=τ ntyttu f (2.49)
No caso de armadura transversal inclinada a um ângulo αf em relação à
superfície de ligação, a equação 2.48 toma a seguinte forma:
46
( )ffyttu cossenf α+α⋅µ⋅⋅ρ=τ (2.50)
Quando ρtfyt >1,38MPa é permitido, para o caso de superfícies rugosas ou
concreto monolíti co, adotar a equação 2.4, proposta por MATTOCK (1972), para
avaliar a resistência da interface (item 2.3.2):
1yttu Kf8,0 +⋅ρ⋅=τ (2.51)
Onde
K1= 2,76MPa para concretos de massa específica normal, 1,38MPa para
concretos leves com todos os agregados leves e 1,72 para concretos leves com
agregado miúdo de massa específica normal
Para concretos de alta resistência e (ρt +fyt) maior ou igual a 0,07fc,
MATTOCK (2001) sugere K1=0,1fc e τu não superior a 0,3fc ou 16,6MPa. No caso de
concretos de alta resistência e (ρt +fyt) menor que 0,07fc, a seguinte equação é proposta.
( )ntyttu f25,2 σ+⋅ρ⋅=τ (2.52)
2.3.7. CAN A23.3-94
A norma canadense CAN A23.3-94 (1995), na seção 11.6, admite a
participação da coesão do concreto na resistência ao cisalhamento da interface.
A equação geral dada para avaliar a resistência ao cisalhamento de uma
interface é:
⋅
≤α⋅⋅ρ+σ+α⋅⋅ρ⋅µ+=τMPa0,7
f25,0cosf)senf(c c
fyttntfyttu (2.53)
47
Os valores dados para a coesão (c) e o coeficiente de atrito (µ) para diferentes
tipos de interface são dados na tabela 2.8.
A coesão é função apenas do tipo de superfície da interface, independente da
resistência do concreto.
Os valores dos coeficientes de atrito da norma canadense são iguais ou bem
próximos daqueles apresentados no ACI 318-99. Contudo, a norma canadense é menos
conservadora, pois admite a participação da coesão do concreto na resistência ao
cisalhamento e tem um valor limite superior àquele do ACI 318-99.
2.3.8. CEB-FIP MC 90
A norma CEB-FIP MC90 (1993) fornece, no seu item 3.9 (atrito concreto-
concreto), para diferentes tipos de interface, equações para avaliar a resistência ao
cisalhamento da interface entre duas superfícies.
Para as superfícies li sas, definidas como aquelas que são obtidas pelo
lançamento do concreto em fôrmas metálicas ou de madeira, aquelas alisadas após a
concretagem ou, ainda, as sem nenhum tratamento específico para torná-la rugosa, a
tensão de cisalhamento última é dada pela equação idêntica à apresentada por
TSOUKANKANTAS (1989) (2.36):
Tipo de superfície c (MPa) µ
Concreto monolítico 1,00 1,4
Concreto novo sobre antigo tornado rugoso com rugosidades de no mínimo 5mm de profundidade
0,50 1,0
Concreto novo sobre antigo com interface sem tratamento para torná-la rugosa
0,25 0,6
Concreto ligado a elemento estrutural de aço através de pinos ou armadura de aço
0,00 0,6
Tabela 2.8: Valores de c e µ segundo a norma CAN A23.3-94
48
)f(4,0 ntyttu σ+⋅ρ⋅=τ (2.54)
O deslizamento que corresponde à tensão última (δlu) pode ser obtido pela
seguinte equação idêntica à equação 2.33 também apresentada por TSOUKANTAS
(1989):
)f(15,0 ntyttlu σ+⋅ρ⋅=δ (2.55)
com δlu em mm e tensão em MPa.
Para superfícies consideradas rugosas, definidas como aquelas decorrentes de
fissuração do concreto monolíti co e aquelas artificialmente rugosas (escarificação,
jateamento de areia, etc.), a tensão última é dada por:
31
yttnt3
2
cu )f(f4,0 ⋅ρ+σ⋅⋅=τ (2.56)
O deslizamento para a tensão de cisalhamento na equação 2.56 é de cerca de
2mm.
Também é especificada, no item 14.3, relativo a ligações em elementos pré-
fabricados, a tensão de cisalhamento no estado limite último:
( ) cdcdkntffd,yttu f3,0f1,0sen)cot1(f ⋅≤⋅ω⋅+σ+αα+⋅ρ⋅µ=τ (2.57)
onde
µ= 0,5 para superfícies li sas sem chave de cisalhamento e 0,9 para superfícies
rugosas ou com chave de cisalhamento
ωk= razão entre área das chaves de cisalhamento e a área do plano de
cisalhamento (nula para ligações planas ou com ωk<0,2)
49
2.3.9. Recomendação CEB-FIP para pisos compostos
O guia para execução de pisos compostos do CEB-FIP (1998) apresenta, além
de equações para o cálculo da tensão última de cisalhamento, a descrição das superfícies
de contato entre concretos de diferentes idades mais comuns, fazendo a classificação em
dez grupos. A tabela 2.9 apresenta a classificação das interfaces.
A tensão de cisalhamento última é dada por:
cntyttu f25,0)f(c ⋅≤σ+⋅ρ⋅µ+=τ (2.58)
Tabela 2.9: Classificação das superfícies (CEB (1998))
Grupo Tipo de superfície
Isuperfície lisa obtida pelo lançamento do concreto contra superfícies de madeira ou aço
II superfície alisada de tal forma a assemelhar-se com (I)
III superfície alisada mas com algumas identações e ondulações
IV superfície definida por deslizamento de fôrmas ou vibração
V superfície obtida por alguma forma de extrusãoVI superfície texturizada por escovação em concreto úmido com alguma
VII tal como em (VI) mas com rugosidades de maior profundidade
VIIIsuperfície onde o concreto foi bastante compactado deixando os agregados à mostra, contudo bem aderidos à matriz
IX superfície jateada com agregados à mostra
X superfície com chave de cisalhamento
Os valores de c e µ estão na tabela 2.10. A categoria 1 corresponde àquelas
superfícies definidas pelos grupos de I a VI e a categoria 2 às intencionalmente tornadas
rugosas.
A resistência à tração do concreto (fct) é dada pela equação 2.59, em MPa.
32
ckct f21,0f ⋅= (2.59)
Onde fck é a resistência característica do concreto em MPa.
50
Tabela 2.10: Valores de c e µ segundo CEB (1998)
Superfície c µCategoria 1 0,2fct 0,6
Categoria 2 0,4fct 0,9
Para superfícies muito li sas (I) e (II), o valor da coesão de 0,2fct é considerado
excessivo e é sugerido que se adote o valor reduzido de 0,1fct.
No caso de baixa tensão de cisalhamento, nenhuma armadura é necessária e a
resistência ao cisalhamento é limitada a:
⋅⋅⋅
=τ(X) a (VII) para f4,0
(VI) e (III) para f2,0
(II) e (I) para f1,0
ct
ct
ct
u
A tabela 2.11 apresenta o resumo dos valores assumidos para a coesão,
coeficiente de atrito e valores máximos de τu segundo os códigos apresentados.
Tabela 2.11: Coesão, coeficiente de atrito e valores máximos de τu segundo os códigos
apresentados
Código SuperfícieCoesão (MPa)
µValor máximo de
τu (MPa)
rugosa 0,00 1,0lisa 0,00 0,6rugosa 0,50 1,0lisa 0,25 0,6rugosa 0,00 0,9lisa 0,00 0,5rugosa 0,40fct 0,9
lisa 0,20fct 0,6
ACI 318-99 0,2fc ou 5,52
CAN A23.3-94 0,25fc ou 7,0
CEB-FIP MC90 0,3fc
CEB (1998) 0,25fc
51
3. Análise experimental dos nichos de ligação
3.1. Introdução
A necessidade da verificação da aplicabili dade das formulações apresentadas
no capítulo 2 para prever a resistência ao cisalhamento da ligação laje-viga utili zando
nichos de concreto levou a elaboração do programa experimental descrito a seguir.
O programa experimental envolveu ensaios de cisalhamento direto em corpos
de prova que representavam a conexão entre viga e laje pré-moldada. As variáveis
relacionadas ao problema escolhidas para análise foram a taxa geométrica de armadura
transversal no plano de cisalhamento e a presença ou não de uma armadura dupla de
travamento em forma de “M” colocada no interior dos nichos entre os estribos antes da
concretagem dos mesmos. A armadura de travamento é utili zada para melhorar a
ancoragem da armadura de ligação no interior dos nichos.
Foram obtidos dados sobre a resistência dos nichos ao cisalhamento e a
ductili dade dos nichos, sendo esta analisada através de gráficos de deslocamento
relativo em função do carregamento.
O principal esforço a que é submetido o plano de ligação mesa-alma, durante a
flexão da viga pré-moldada é o cortante. Mas esforços de compressão normais ao plano
de cisalhamento devido à aplicação de carregamento (acidental ou permanente) após a
concretagem dos nichos. A distribuição e intensidade destes esforços dependem da
imperfeição do contato entre viga e laje. Esta perda de contato surge principalmente se a
viga possui alguma contraflecha devido à protensão, dimensionada para combater o
peso próprio da estrutura e parte do carregamento acidental (figura 3.1). A existência do
esforço de compressão normal ao plano de cisalhamento provoca um aumento na
resistência ao cisalhamento da interface conforme foi visto no capítulo 2.
Portanto, a utili zação de modelos ensaiados sob cisalhamento puro como os
deste trabalho para a determinação da capacidade resistente dos nichos de ligação
representa uma simpli ficação da ligação mesa-alma e fornece resultados conservadores.
52
Durante toda a etapa de confecção dos corpos de prova, a PREMAG – Sistema
de Construções Ltda, empresa que executa pontes pré-moldadas utili zando o sistema de
ligação entre lajes e vigas através de nichos concretados no local, colaborou com esta
pesquisa fornecendo materiais e fazendo fôrmas, usinagem de concreto, concretagem,
desforma e cura.
3.2. Corpos de prova
Cada corpo de prova ensaiado constituiu-se de um pilarete de seção quadrada e
de duas bases nas quais foram moldados os nichos solidarizando as três peças. Detalhes
e dimensões dos pilaretes, bases e nichos encontram-se na figura 3.2. Para facilit ar a
desforma das bases, os nichos de ligação possuíam formato de tronco de pirâmide com a
menor dimensão junto ao pilarete.
Os pilaretes tinham armadura longitudinal e estribos, e na seção transversal que
passa pelo centro dos nichos foram colocados estribos fechados (soldados) atravessando
o pilarete e ancorados nos nichos (figuras 3.3 e 3.4). As das bases tinham armadura
Vigaprotendida
Laje
Imperfeição nocontato viga-laje
Carregamento após a concretagem dos nichos
Nicho
Figura 3.1: Imperfeição no contato entre viga protendida e laje
53
longitudinal e estribos, não havendo qualquer armadura especial em volta das aberturas
deixadas para concretagem dos nichos (figura 3.5).
Em seis corpos de prova colocou-se a armadura de travamento em forma de
“M” em de ambos os nichos, encaixada nos laços formados pelos estribos (figura 3.6).
Após a concretagem dos nichos, o pilarete e as bases formram um único
elemento conforme ilustra a figura 3.7. Ao todo, foram ensaiados treze corpos de prova
com sete diferentes taxas geométricas de armadura transversal ao longo do plano de
cisalhamento.
Figura 3.2: Detalhes dos pilaretes e das bases, dimensões em mm
150
150
600
180
135
150
285
Detalhe dos nichos
180
180
150
150
600
150
150
300
450
150 150 150
135 180 135
150
450
150
54
NichoPilarete
Figura 3.4: Detalhe dos estribos dos nichos, vista superior
4N1φ6,3 c=570
6N3
c/1
00
Solda
310
Armadura de ligação c=940
90
6N3φ5,0c=680
4N1
15
0
150
Armadura deligação
Figura 3.3: Armadura dos pilaretes, dimensões em mm
55
Figura 3.5: Armadura das bases, dimensões em mm
4N1φ6,3c=570
4N2
150
4N2φ5,0 c=1280
4N1
450
Armadura deligação
N5φ5,0 c=600
2N5
2N5
Pilarete
Figura 3.6: Detalhe da armadura de travamento, dimensões em mm
56
Os corpos de prova foram numerados de 1 a 7 e a letra A na sua designação
representa a existência da armadura de travamento quando for o caso. A armadura de
ligação dos corpos de prova é apresentada na tabela 3.1.
Tabela 3.1: Armadura de ligação dos corpos de prova
φ (mm) No de estribos Ast (mm2)
CP1 8,0 1 100,5
CP1-A 8,0 1 100,5
CP2 10,0 1 157,1
CP2-A 10,0 1 157,1
CP3 12,5 1 245,4
CP3-A 12,5 1 245,4
CP4 8,0 2 201,1
CP4-A 8,0 2 201,1
CP5 10,0 2 314,2
CP5-A 10,0 2 314,2
CP6 12,5 2 490,9
CP6-A 12,5 2 490,9
CP7 ------ ------ ------
Corpo de provaArmadura de ligação
Nos corpos de prova ensaiados, os pilaretes representam a viga de concreto
pré-moldado e a base representa a laje, portanto o carregamento a ser aplicado deve ser
tal que nas interfaces de contato entre nichos e pilarete surjam tensões de cisalhamento.
Com esse fim, aplicou-se sobre o pilarete, em seu eixo longitudinal, a carga
concentrada P. Nas bases, surgem reações em forma de um carregamento uniforme com
resultante igual a P/2 (figura 3.8). Isolando-se o pilarete juntamente com os nichos, a
carga P é equili brada por uma resultante igual a P/2 em cada nicho (figura 3.9).
57
Na interface de contato entre nicho e pilarete, surge uma distribuição de tensão
de cisalhamento τ que, para efeito de estudo, será representada pela tensão cisalhante
média com valor de P/2Ac, onde Ac é a área de contato entre nicho e pilarete (figura
3.10).
Figura 3.8: Carregamento aplicado no corpo de prova
Figura 3.7: Montagem final dos corpos de prova, dimensões em mm
150
450
150
Pilarete
Base
Nicho
58
3.3. Materiais utili zados
3.3.1. Fôrmas
As fôrmas confeccionadas para a moldagem dos corpos de prova eram de
folhas de compensado de 17mm de espessura com ambas as superfícies plastificadas e
não apresentavam empenamento ou falhas na camada plastificada. O processo de
execução foi supervisionado, sendo verificadas as dimensões e esquadro final das
q q
Figura 3.9: Carregamento no pilarete e reação nos nichos
τ
Figura 3.10: Tensão cisalhante na interface do nicho
59
fôrmas. Parte das fôrmas foi executada no Laboratório de Estruturas da COPPE
(LABEST) sendo complementadas na PREMAG.
3.3.2. Concreto
O concreto utili zado na execução dos corpos de prova foi usinado na
PREMAG.
O cimento escolhido para a fabricação das peças foi o de alta resistência inicial
para possibilit ar uma rápida desforma e manuseio das peças, já que os nichos de cada
peça, conforme explicado adiante, tiveram que ser concretados em diferentes datas. O
agregado graúdo consistia de brita nº 1 dentro dos padrões exigidos em norma e o
agregado miúdo consistia de areia que encontrava-se seca.
A dosagem foi executada com a pesagem do cimento e dos agregados e a água
foi medida em volume em central de produção de concreto da própria empresa. A
mistura do concreto ocorreu em caminhão betoneira que servia também como transporte
para o local de concretagem.
A resistência característica aos 28 dias escolhida para todos os corpos de prova
foi de 35MPa. A escolha dessa resistência deve-se ao fato da ampla utili zação desse
concreto na fabricação de peças de concreto pré-moldado protendido comuns em
pontes.
A composição do concreto é dada na tabela 3.2.
Tabela 3.2: Composição do concreto
Cimento (kg) ARI 440 a 460 1
Agregado miúdo (kg) areia 815 1,8
Agregado graúdo (kg) brita 1 1100 2,4
Água (l) 175 0,39
Componentes Tipo TraçoConsumo por m3
60
3.3.3. Aço
Para a armadura dos corpos de prova, utili zou-se aço do tipo CA50 com tensão
de escoamento nominal de 500MPa para diâmetros de 6,3mm, 8,0mm, 10mm, e
12,5mm e aço CA60 para barras com 5mm de diâmetro.
As armaduras dos 13 pilaretes e de 8 bases foram preparadas no LABEST, a
armadura das demais bases e a armadura de travamento dos nichos foram executadas na
PREMAG.
3.4. Concretagem
Todas as etapas de concretagem dos corpos de prova ocorreram na PREMAG.
Foram executadas quatro etapas em diferentes datas. Inicialmente, houve a concretagem
dos treze pilares e de 9 bases. Seguiu-se a execução de mais 17 bases, completando-se
as 26 necessárias.
Nas duas etapas seguintes houve a concretagem dos nichos de ligação.
Primeiro executou-se a concretagem de treze nichos em 13 diferentes bases e pilaretes,
após 8 dias o conjunto formado por um pilarete e uma base, agora solidarizados, era
virado para possibilit ar a concretagem dos demais nichos nas 13 bases restantes.
Foram moldados 26 corpos de prova cilíndricos de 150mx300mm para ensaios
de compressão e tração diametral. A tabela 3.3 apresenta as peças concretadas em cada
etapa, a sua data de execução e a quantidade de corpos de prova cilíndricos moldados
em cada etapa.
Em todas as etapas de concretagem o concreto apresentou abatimento do
tronco de cone em torno de 5cm. Utili zou-se vibrador de imersão e o lançamento do
concreto foi realizado com ajuda de pás e carrinhos de mão. Em média, cada etapa de
concretagem durou cerca de uma hora, sendo a cura realizada por aspersão de água
sobre as peças.
61
Tabela 3.3: Etapas de concretagem e quantidade de corpos de
prova cilíndricos moldados
Bases Pilaretes Nichos
1 9 13 06/06 6
2 17 13/06 4
3 13 26/06 124 13 04/07 4
Total 26 13 26 26
EtapaPeças
DataNº corpos de prova
Como a superfície dos pilaretes na região de ligação com os nichos
apresentava-se excessivamente li sa devido ao contato com as formas, aplicou-se sobre a
superfície adesivo para concreto a base de látex, melhorando as condições de aderência
dos nichos. O pilarete que não possuía armadura de ligação sofreu um leve apicoamento
na região de contato com os nichos sem aplicação de adesivo.
As figuras 3.11 a 3.16 mostram os pilaretes já desformados, as armaduras
transversal e de travamento e a concretagem dos nichos.
62
Figura 3.11: Pilarete após a desforma, com a armadura transversal dos nichos.
63
Figura 3.12: Montagem dos corpos de prova para concretagem dos nichos.
64
Figura 3.13: Nicho sem armadura de travamento
Figura 3.14: Armadura de travamento
65
Figura 3.15: Nicho com travamento
Figura 3.16: Concretagem dos nichos
66
3.5. Instrumentação
Para a obtenção de dados como deformação na armadura de ligação e o
deslocamento relativo entre nichos e pilaretes, utili zaram-se extensômetros e
deflectômetros.
3.5.1. Extensômetros
Os extensômetros foram colocados dois a dois junto a duas faces opostas dos
pilaretes, totalizando quatro extensômetros por corpo de prova (nos corpos de prova
com armadura de ligação formada por estribos duplos, apenas um deles foi
instrumentado). A figura 3.17 ilustra o posicionamento dos extensômetros.
A colocação dos extensômetros nas barras ocorreu após realizada a soldagem
dos estribos para evitar danos devido ao aquecimento do aço. Todo o procedimento foi
realizado no laboratório de estruturas da COPPE.
Figura 3.17: Posição dos extensômetros na armadura de ligação
Extensômetros
Extensômetros
Armadura deligação
Pilarete
67
3.5.2. Deflectômetros
O deslizamento relativo entre os nichos e o pilarete foi determinado através de
dois deflectômetros com curso máximo de 50mm e precisão de 0,015mm (constante de
calibração= 0,015mm/µε), posicionados entre as bases, na parte inferior do pilarete.
Cada deflectômetro registrava o deslizamento de um nicho. Os aparelhos foram fixados
aos blocos através de cantoneiras de alumínio coladas à superfície das bases (figura
3.18). Uma cantoneira fixada próximo ao fundo do pilarete apoiava o cursor do
deflectômetro.
Os deflectômetros foram colocados pouco antes da execução dos ensaios, após
o corpo de prova estar devidamente posicionado.
3.6. Metodologia de ensaio
Ao todo, foram executados 13 ensaios, realizados em cinco diferentes datas
num intervalo de 20 dias. As datas dos ensaios, quantidades e corpos de prova ensaiados
estão na tabela 3.4.
DeflectômetroCantoneiras de
aluminio
Vista superior
Figura 3.18: Posição dos deflectômetros nos corpos de prova
68
Tabela 3.4: Data e relação dos corpos de prova ensaiados
Data No de ensaios Corpos de prova ensaiados
5/10 2 CP1,CP1A10/10 2 CP2,CP2A19/10 2 CP3,CP3A24/10 4 CP4,CP4A,CP5,CP5A 26/10 3 CP6, CP6A,CP7
Para aplicar o carregamento sobre os pilaretes utili zaram-se dois macacos
hidráulicos com capacidade de 1500kN cada um. Os macacos eram fixados em um
pórtico metálico ancorado a uma placa de reação. Os corpos de prova foram
posicionados abaixo dos macacos, em cima de blocos de concreto. A aplicação do
carregamento e a leitura dos dados foram executadas em dois ensaios separados um para
cada corpo de prova atuando apenas um macaco hidráulico. A figura 3.19 ilustra o
esquema utili zado nos ensaios.
Para simpli ficar a execução dos ensaios, tornando mais prática a obtenção dos
resultados, os extensômetros dos dois corpos de prova foram numerados de 1 a 8, sendo
os quatro primeiros pertencentes aos exemplares com a designação A (com travamento),
conforme ilustra a figura 3.20.
Os deflectômetros 1 e 2 foram fixados aos corpos de prova com travamento e o
3 e 4 aos sem travamento. O deflectômetro 1 media o deslocamento do nicho que tinha
a deformação na armadura de ligação registrada pelos extensômetros 1 e 2, o
deflectômetro 2, o deslocamento do nicho que tinha a deformação na armadura de
ligação registrada pelos extensômetros 3 e 4, e assim por diante.
Com exceção dos exemplares CP1, CP1-A e CP7, os ensaios iniciaram-se com
a aplicação de carga com incremento de 20kN até o valor de 80kN para os exemplares
CP2(A) a CP4(A) e até 120kN para os modelos CP5(A) e CP6(A). Após estas cargas, o
incremento passou a ser de 10kN até ser atingida a carga última. Em cada intervalo de
carga, realizou-se pelo menos uma leitura dos deslizamentos relativos e da deformação
das barras.
No ensaio do exemplar CP7, determinou-se apenas a carga última, pois, devido
a ruptura da ligação, o pilarete poderia cair sobre os deflectômetros.
69
Ext 1
Ext 2
Ext 3
Ext 4 Ext 6
Ext 5
Ext 8
Ext 7
(a) (b)
Figura 3.19: Esquema de ensaio
Figura 3.20: Numeração dos extensômetros para ensaio, (a) com travamento, (b)
sem travamento
1
2
3
4
5
6
1 Pórtico metálico
Macaco hidráulico2
Medidor de carga3 Placa de reação
Bloco de apoio
Corpo de prova
5
6
4
70
4. Apresentação, análise e discussão dos resultados
4.1. Introdução
São apresentados os resultados dos ensaios dos materiais utili zados na
produção dos corpos de prova.
Os resultados obtidos dos ensaios de cisalhamento: carga de ruptura, tensão
cisalhante média e deslizamento relativo para cada estágio de carga são apresentados
por meio de tabelas e gráficos. Não foi possível obter dados do ensaio do exemplar
CP3-A devido a problemas com o equipamento de controle dos macacos hidráulicos.
A resistência dos corpos de prova é analisada em função do parâmetro ρtfyt e
comparada com a dada pelas expressões de MAST (1968), de TSOUKANTAS (1989),
das normas ACI, CAN, CEB-FIP MC90 (ligações em elementos pré-fabricados) e do
guia para pisos compostos CEB-FIP (1998). A ductili dade das conexões também é
relacionada ao parâmetro ρtfyt.
4.2. Resistência à compressão e à tração do concreto
Os ensaios foram realizados no laboratório de materiais de construção
(LAMAC) da Escola de Engenharia, no dia 25/10. Nas tabelas 4.1 e 4.2 estão os
resultados dos ensaios. Alguns resultados apresentam-se repetidos, pois representam a
concretagem de pilaretes e bases em uma mesma data. Em alguns ensaios de
compressão, foram obtidas resistências que não concordavam com a distribuição
amostral dos demais ensaios. Não foi identificada a razão destes erros e estes resultados
foram omitidos nas tabelas e nos cálculos de resistência à compressão.
A correspondente resistência à tração para o ensaio de tração direta é dada por
0,9fsp onde fsp é a resistência obtida nos ensaios de compressão diametral (CEB-FIP
MC90 (1993)).
71
A resistência à compressão adotada para o concreto da ligação, fc, foi de
36MPa que corresponde aproximadamente a média das resistências encontradas para os
cili ndros moldados no dia 06/06 que representam o concreto dos pilaretes, parte mais
fraca da ligação, pois apresentaram resistência menor do que a dos nichos.
A resistência à tração, fct, adotada para a ligação foi de 2,3MPa, média dos
valores encontrados para o concreto dos nichos, dias 26/06 e 04/07, pois estes tinham
menor resistência à tração.
Tabela 4.1: Resultados dos ensaios de resistência à compressão do concreto
Pilaretes Nichos
35,1 35,742,4 36,831,7 35,7
45,339,942,443,648,449,8
média 36,3 36,4 41,9desvio 4,6 5,5 5,3
35,1
fc (MPa)
Bases
42,431,732,539,6
Tabela 4.2: Resultados dos ensaios de compressão diametral
fct (MPa) fsp fct fsp fct
2,5 2,8 2,5 2,7 2,42,9 3,2 2,9 2,5 2,32,5 2,5 2,2
média 2,9 2,6 3,0 2,7 2,6 2,3
Pilaretes NichosBasesfsp (MPa)
2,83,22,8
72
4.3. Características do aço
Os ensaios de tração foram realizados no laboratório de estruturas da COPPE.
As deformações foram medidas através de extensômetros. A velocidade de
carregamento foi de aproximadamente 20kN por minuto.
Executaram-se ensaios para duas amostras das barras com diâmetros de 8mm,
10mm e 12,5mm. Determinaram-se a tensão de escoamento, a tensão de ruptura, e a
deformação de escoamento. Os resultados estão na tabela 4.3.
Tabela 4.3: Características das barras utili zadas na armadura de ligação
φ(mm) εyt (%o) fyt (MPa) fu (Mpa)
8,0 3,38 578 73810,0 2,91 548 63312,5 3,06 601 836
4.4. Curvas de deslizamento dos nichos e deformação na armadura
de ligação
Em todas as curvas carga-deslizamento obtidas dos ensaios observa-se
claramente duas etapas distintas.
Inicialmente, as curvas, como a aderência entre o concreto dos nichos e o
concreto dos pilaretes ainda não foi perdida, mostram pouco ou nenhum deslizamento.
Após a perda da aderência, a conexão apresenta um comportamento não linear
até atingir um patamar de escoamento onde ocorrem grandes deslocamentos com um
baixo incremento de carga. Este comportamento persiste até ser atingida a carga
máxima de ensaio. A partir daí, a curva apresenta no ramo descendente. Em alguns
casos há uma perda de resistência seguida por ganho resistência que continua até a
ruptura.
As figuras 4.1 a 4.32 apresentam as curvas de deslizamento e deformação na
armadura de ligação. A nomenclatura dos deflectômetros e extensômetros foi mostrada
73
no item 3.6. Os valores das deformações e deslizamentos nas várias etapas de
carregamento são apresentados em forma de tabelas no apêndice A.
As curvas de deslizamento referentes aos exemplares CP5-A e CP6 não
apresentam o deslizamento para a carga máxima, como também o ramo descendente da
curva. Nestes ensaios, os deflectômetros tiveram que ser retirados antes da aplicação
dessa carga, pois as cantoneiras de fixação se desprenderam por terem sido atingidas por
fragmentos de concreto dos pilaretes.
74
Figura 4.1: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP1 (ext5 e 6)
Figura 4.2: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP1 (ext7 e 8)
0
100
200
300
400
500
-4 1 6 11 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN) ext5
ext6
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN) ext7
ext8
75
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext1
ext2
Figura 4.3: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP1
Figura 4.4: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP1-A (ext 1 e 2)
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
76
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext3
ext4
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def1
def2
Figura 4.6: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP1-A
Figura 4.5: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP1-A (ext 3 e 4)
77
Figura 4.7: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP2 (ext 5 e 6)
Figura 4.8: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP2 (ext 7 e 8)
0
100
200
300
400
500
-4 1 6 11 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext5
ext6
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext7
ext8
78
Figura 4.9: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP2
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext1
ext2
Figura 4.10: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP2-A (ext 1 e 2)
79
Figura 4.11: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP2-A (ext 3 e 4)
Figura 4.12: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP2-A
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext3
ext4
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def1
def2
80
Figura 4.13: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP3 (ext 5 e 6)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN) ext5
ext6
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext7
ext8
Figura 4.14: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP3 (ext 7 e 8)
81
Figura 4.15: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP3
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
0
100
200
300
400
500
-4 1 6 11 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN) ext5
ext6
Figura 4.16: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP4 (ext 5 e 6)
82
Figura 4.17: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP4 (ext 7 e 8)
Figura 4.18: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP4
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext7
ext8
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
83
Figura 4.19: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP4-A (ext 1 e 2)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext1
ext2
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext3
ext4
Figura 4.20: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP4-A (ext 3 e 4)
84
Figura 4.21: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP4-A
_A
Figura 4.22: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP5 (ext 5 e 6)
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def1
def2
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext5
ext6
85
Figura 4.23: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP5 (ext 7 e 8)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN) ext7
ext8
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
Figura 4.24: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP5
86
Figura 4.25: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP5-A (ext 1 e 2)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (%o)
Car
ga (
kN)
ext1
ext2
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext3
ext4
Figura 4.26: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP5-A (ext 3 e 4)
87
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def1
def2
Figura 4.28: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP6 (ext 5 e 6)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext5
ext6
Figura 4.27: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP5-A
88
Figura 4.29: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP6 (ext 7 e 8)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext7
ext8
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def3
def4
Figura 4.30: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP6
89
Figura 4.31: Curva carga-deformação na armadura do exemplar CP6-A (ext 1 e 2)
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Deformação (% o)
Car
ga (
kN)
ext1
ext2
0
100
200
300
400
500
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Car
ga (
kN)
def1
def2
Figura 4.32: Curva carga-deslocamento relativo do exemplar CP6-A
90
Os exemplares CP4-A, CP5 e CP6-A apresentaram certa rotação em relação ao
eixo que passa no centro da armadura transversal dos nichos, como pode ser observado
nas curvas carga-deslocamento relativo. Os deflectômetros de um mesmo corpo de
prova registram deslocamentos bem diferentes.
Nestes exemplares, foram constatadas imperfeições construtivas, ocorridas no
procedimento de solidarização das bases com os pilaretes (concretagem dos nichos). As
bases apresentavam certa rotação em relação ao eixo longitudinal da armadura de
ligação. A distribuição de tensões na aresta inferior das bases não era uniforme e a
resultante desta distribuição apresentava excentricidade em relação ao eixo do pilarete.
Como consequência, surgiu torção ( ePM t ⋅= ) nos nichos (figura 4.33).
Além de ter influência sobre as curvas de deslizamento, o surgimento de torção
levou à diminuição da capacidade resistente dos nichos como será visto a seguir.
Figura 4.33: Distribuição de tensões nas bases dos exemplares CP4-A, CP5 e
CP6-A
P
e
P
91
4.5. Resistência ao cisalhamento
A tensão cisalhante média e a carga máxima (Pu) suportada pelos corpos de
prova, juntamente com as respectivas taxas geométricas de armadura e parâmetros ρtfyt
são apresentados na tabela 4.4.
Os corpos de prova que possuíam armadura de travamento, com exceção
daqueles que apresentaram distorções nas curvas de deslizamento (CP4-A e CP6-A),
apresentaram maior resistência ao cisalhamento que os exemplares com mesma taxa de
armadura transversal, porém sem armadura de travamento. Devido ao que ocorreu nos
exemplares CP4-A e CP6-A, pode-se dizer que, embora a armadura de travamento eleve
a resistência da conexão, este aumento não deve ser considerado no projeto.
Tabela 4.4: Resistência ao cisalhamento dos corpos de prova
τu (MPa) Pu (kN)
CP1 4,5E-03 2,58 3,1 140
CP1-A 4,5E-03 2,58 4,7 210
CP2 7,0E-03 3,82 4,4 200
CP2-A 7,0E-03 3,82 5,3 240
CP3 1,1E-02 6,55 8,7 390
CP4 8,9E-03 5,16 6,9 310
CP4-A 8,9E-03 5,16 5,3 240
CP5 1,4E-02 7,64 8,0 360
CP5-A 1,4E-02 7,64 10,0 450
CP6 2,2E-02 13,10 12,2 550
CP6-A 2,2E-02 13,10 9,1 410
CP7 0,0E+00 0,00 2,2 100
Corpo de prova
ρt ρtfyt
Ensaios
A tensão máxima alcançada pelo corpo de prova CP7, 2,2MPa, cerca de 0,95fct,
demostra que uma boa aderência entre o concreto dos nichos e o concreto pré-moldado
alcançada pelo simples apicoamento da superfície.
92
O efeito da retração diferencial na adesão mostra-se de pouca importância para
este tipo de conexão, onde a superfície de contato, como também a área exposta a perda
de umidade é pequena.
As figuras 4.34 e 4.35 mostram a tensão cisalhante última alcançada pelas
conexões em função do parâmetro ρtfyt. A primeira figura apresenta os valores absolutos
da tensão cisalhante e a segunda valores adimensionais dados pela razão entre a tensão
última e a resistência do concreto (36MPa).
Observa-se uma relação linear entre tensão última e ρtfyt para valores de tensão
até cerca de 9MPa ou 0,25fc. A figura 4.34 também apresenta duas curvas, dadas pela
equação 4.1, representativas dos resultados considerando valores médios.
⋅
≤τ+ρ⋅µ=τMPa0,9
f25,0f c
oyttu (4.1)
Onde:
µ= 0,8 para valores médios
Figura 4.34: Resistência dos corpos de prova em função de ρtfyt
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Curva prop. (0,8)
93
τo= tensão cisalhante resistida pelo concreto, dada pelo corpo de prova sem
armadura (adesão do concreto). Uma boa estimativa para o valor encontrado no
ensaio pode ser conseguida utili zando o valor 0,2fc2/3.
Nas tabelas 4.5, 4.6 e 4.7 estão os valores da tensão de cisalhamento calculados
usando a teoria atrito-cisalhamento, sugerida por MAST (1968), pelo modelo
apresentado por TSOUKANTAS (1989) e pelas equações apresentadas pelas normas
ACI, CAN, CEB (equação 2.57), pelo guia CEB-FIP para pisos compostos (capítulo 2),
além dos encontrados utili zando a equação proposta (4.1). A interface de cisalhamento
entre nichos e pilaretes é classificada como li sa, mas, para efeito de comparação,
também são apresentados os valores da tensão última para o caso de superfícies rugosas.
As figuras 4.36 a 4.41 mostram a tensão cisalhante em função de ρtfyt segundo
os modelos citados no parágrafo anterior.
Como pode-se observar, os valores obtidos pelas equações sugeridas por
autores e normas são bastante conservadores considerando o estado limite último das
peças. Os resultados experimentais chegaram a ser mais de três vezes àqueles
Figura 4.35: Resistência dos corpos de prova em função de ρtfyt e τu/fc
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u/f
c
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Curva prop. (0,8)
94
calculados (ver tabelas 4.5 a 4.7). Em diversos casos os resultados experimentais são
maiores até que os calculados usando-se expressões para superfícies rugosas.
95
Tabela 4.5: Resistência ao cisalhamento dos corpos de prova segundo a teoria atrito cisalhamento MAST (1968), TSOUKANTAS
(1989) e ACI 318-99 (tensão em MPa)
τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)
CP1 2,58 3,11 3,61 0,86 1,81 1,72 7,64 0,41 1,39 2,24 2,58 1,21 1,55 2,01CP1-A 2,58 4,67 3,61 1,29 1,81 2,58 7,64 0,61 1,39 3,36 2,58 1,81 1,55 3,01CP2 3,82 4,44 5,35 0,83 2,68 1,66 8,68 0,51 2,15 2,07 3,82 1,16 2,29 1,94CP2-A 3,82 5,33 5,35 1,00 2,68 1,99 8,68 0,61 2,15 2,48 3,82 1,40 2,29 2,33CP3 6,55 8,67 9,17 0,95 4,58 1,89 10,98 0,79 3,52 2,46 5,52 1,57 3,93 2,21CP4 5,16 6,89 7,23 0,95 3,61 1,91 10,05 0,69 2,78 2,48 5,16 1,33 3,10 2,22CP4-A 5,16 5,33 7,23 0,74 3,61 1,48 10,05 0,53 2,78 1,92 5,16 1,03 3,10 1,72CP5 7,64 8,00 10,70 0,75 5,35 1,50 11,06 0,72 4,30 1,86 5,52 1,45 4,59 1,74CP5-A 7,64 10,00 10,70 0,93 5,35 1,87 11,06 0,90 4,30 2,33 5,52 1,81 4,59 2,18CP6 13,10 12,22 18,34 0,67 9,17 1,33 14,64 0,83 7,05 1,73 5,52 2,21 5,52 2,21CP6-A 13,10 9,11 18,34 0,50 9,17 0,99 14,64 0,62 7,05 1,29 5,52 1,65 5,52 1,65CP7 0,00 2,22 0,00 ---- 0,00 ---- 0,00 ---- 0,00 ---- 0,00 ---- 0,00 ----
TSOUKANTAS ACI 318-99Sup. rug. Sup. lisa Sup. rug. Sup. lisa Sup. rug. Sup. lisaCorpo
de provaρtfyt τu,exp
MAST
96
Tabela 4.6: Resistência ao cisalhamento dos corpos de prova segundo o CAN A23.3-94 e o CEB (tensão em MPa)
τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)
CP1 2,58 3,11 3,08 1,01 1,80 1,73 2,32 1,34 1,29 2,41 3,24 0,96 2,01 1,55CP1-A 2,58 4,67 3,08 1,51 1,80 2,59 2,32 2,01 1,29 3,62 3,24 1,44 2,01 2,33CP2 3,82 4,44 4,32 1,03 2,54 1,75 3,44 1,29 1,91 2,33 4,36 1,02 2,75 1,62CP2-A 3,82 5,33 4,32 1,23 2,54 2,10 3,44 1,55 1,91 2,79 4,36 1,22 2,75 1,94CP3 6,55 8,67 7,00 1,24 4,18 2,07 5,89 1,47 3,27 2,65 6,81 1,27 4,39 1,98CP4 5,16 6,89 5,66 1,22 3,35 2,06 4,65 1,48 2,58 2,67 5,56 1,24 3,56 1,94CP4-A 5,16 5,33 5,66 0,94 3,35 1,59 4,65 1,15 2,58 2,07 5,56 0,96 3,56 1,50CP5 7,64 8,00 7,00 1,14 4,84 1,65 6,88 1,16 3,82 2,09 7,80 1,03 5,04 1,59CP5-A 7,64 10,00 7,00 1,43 4,84 2,07 6,88 1,45 3,82 2,62 7,80 1,28 5,04 1,98CP6 13,10 12,22 7,00 1,75 7,00 1,75 10,80 1,13 6,55 1,87 9,00 1,36 8,32 1,47CP6-A 13,10 9,11 7,00 1,30 7,00 1,30 10,80 0,84 6,55 1,39 9,00 1,01 8,32 1,10CP7 0,00 2,22 0,50 4,44 0,25 8,89 0,00 ---- 0,00 ---- 0,92 2,43 0,46 4,85* Guia para pisos compostos CEB (1998)
MC90 Guia do CEB - FIP (1998)*Sup. rug. Sup. lisa Sup. rug. Sup. lisa Sup. rug. Sup. lisaCorpo
de prova
ρtfyt τu,exp
CAN A23.3-94
97
Tabela 4.7: Resistência ao cisalhamento dos corpos de prova segundo a equação
proposta
τu,calc
(τu,exp)/
(τu,calc)
CP1 2,58 3,11 4,25 0,73CP1-A 2,58 4,67 4,25 1,10CP2 3,82 4,44 5,24 0,85CP2-A 3,82 5,33 5,24 1,02CP3 6,55 8,67 7,42 1,17CP4 5,16 6,89 6,31 1,09CP4-A 5,16 5,33 6,31 0,85CP5 7,64 8,00 8,30 0,96CP5-A 7,64 10,00 8,30 1,21CP6 13,10 12,22 9,00 1,36CP6-A 13,10 9,11 9,00 1,01CP7 0,00 2,22 2,18 1,02
Corpo de prova
ρtfyt τu,exp
µ=0,8Equação proposta
De modo geral, a razão entre a resistência obtida experimentalmente e aquela
originada das equações propostas (τu,exp/τu,calc) diminui com o aumento do valor ρtfyt.
Embora o limite proposto pelo CEB-FIP (1990) para a resistência, 0,30fc, seja superior
ao valor adotado pela equação 4.2 sugerida, este limite não é alcançado para o valor
máximo da taxa geométrica de armadura utili zada nos ensaios. Em casos práticos de
vigas pré-moldadas, a área da seção transversal da armadura de cisalhamento, que
constitui também a armadura de ligação, não supera o valor adotado para os corpos de
prova CP6 e CP6A (2φ12,5mm), portanto o limite para a equação 4.1 está adequado aos
casos práticos.
A equação 4.1, diferente das demais, apresenta resultado superior àquele
encontrado nos ensaios para o exemplar CP1, mas ainda inferior ao valor da resistência
do corpo de prova com mesma taxa geométrica de armadura porém com armadura de
travamento, CP1A. O mesmo ocorre com o exemplar CP5 e CP4-A (baixa resistência
devido a defeitos construtivos).
98
Figura 4.37: Comparação entre os resultados dos ensaios e os calculados
com a expressão de TSOUKANTAS (1989)
Figura 4.36: Comparação entre os resultados dos ensaios e os calculados
com a expressão de MAST (1968)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. lisa
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. lisa
99
Figura 4.38: Comparação entre os resultados dos ensaios e os calculados
com a expressão da ACI
Figura 4.39: Comparação entre os resultados dos ensaios e os calculados
com a expressão da norma canadense (CAN)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. lisa
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. lisa
100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. lisa
Figura 4.40: Comparação entre os resultados dos ensaios e os calculados
com a expressão do CEB para conexões de cisalhamento
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
ρρtfyt (MPa)
ττ u (M
Pa)
Modelos sem trav.
Modelos com trav.
Sup. rug.
Sup. li sa
Figura 4.41: Comparação entre os resultados dos ensaios e os
calculados com a expressão do CEB para pisos compostos
101
A principal diferença entre as equações apresentadas no capítulo 2 e a sugerida
é o valor da contribuição da adesão do concreto na resistência ao cisalhamento
considerada. O coeficiente de atrito adotado na maioria das equações não difere muito
do valor 0,8 usado na equação 4.1.
A consideração da fissuração do plano de cisalhamento no início do
carregamento e a conseqüente perda de adesão, embora a favor da segurança, não
representa bem a situação prática. Os nichos ensaiados em laboratório foram executados
na PREMAG e, portanto, colocados em caminhão, transportados e retirados do
caminhão e, ainda assim, não apresentaram dano sensível da ligação. A condição dos
nichos de ligação executados nas lajes sobre as vigas pré-moldadas deve ser mais
favorável.
A tabela 4.8 contém a média dos valores τu,exp/τu,calc e o desvio padrão para
cada equação analisada.
Tabela 4.8: Média e desvio padrão dos valores τu,exp/τu,calc
Média de (τu,exp)/(τu,calc)*
Desv. Padrão*
Sup. rug. 0,86 0,21Sup. lisa 1,72 0,41Sup. rug. 0,66 0,41Sup. lisa 2,20 0,53Sup. rug. 1,51 0,34Sup. lisa 2,11 0,38Sup. rug. 1,25 0,24Sup. lisa 1,88 0,34Sup. rug. 1,35 0,30Sup. lisa 2,41 0,58Sup. rug. 1,16 0,17Sup. lisa 1,72 0,34
Proposta µ=0,8 1,03 0,18* Os valores calculados para o exemplar sem armadura não foram utilizadosno cálculo da média e do desvio padrão** Guia para pisos compostos CEB (1998)
CAN A23.3-94
MC90
Guia CEB - FIP (1998)**
Equações
MAST
TSOUKANTAS
ACI 318-99
102
Afora a equação proposta, a que melhor representa os resultados obtidos nos
ensaios é aquela apresentada pelo Guia para Pisos Compostos (CEB-FIP (1998)), para
qual tem-se valor médio de τu,exp/τu,calc de 1,72 e desvio padrão de 0,34. Para a equação
proposta por MAST (1968), tem-se a mesma média de τu,exp/τu,calç, mas maior desvio
padrão (0,41) devido a maior dispersão apresentada para baixas taxas de armadura.
Para a equação proposta tem-se valor médio de τu,exp/τu,calc de 1,03 e desvio
padrão de 0,18.
4.6. Ductili dade das ligações
Observando as curvas de deslizamento é possível determinar para alguns
corpos de prova o deslocamento relativo quando se tem a carga última, admitido como
sendo a média dos valores medidos com os dois deflectômetros. Pode-se também obter
o deslocamento relativo correspondente à perda de adesão, considerado como sendo o
maior valor entre os medidos com os dois deflectômetros. Os valores obtidos estão na
tabela 4.9 e a figura 4.42 ilustra o comportamento destes deslizamentos em função do
parâmetro ρtfyt.
Tabela 4.9: Deslizamentos correspondentes à perda de adesão e à carga última
τad
(MPa)
Pad
(kN)δad
(mm)τu
(MPa)Pu (kN) δu (mm)
CP1 2,58 1,8 80 0,26 3,1 140 9,24 1,8
CP1-A 2,58 2,2 100 * 4,7 210 15,20 2,1
CP2 3,82 2,0 90 0,29 4,4 200 15,19 2,2
CP2-A 3,82 1,3 60 0,26 5,3 240 15,33 4,0
CP3 6,55 3,3 150 0,24 8,7 390 19,40 2,6
CP4 5,16 2,7 120 0,14 6,7 300 19,68 2,5
CP5-A 7,64 3,1 140 0,21 10,0 450 >33,65 3,2
CP6 13,10 4,4 200 0,46 12,2 550 >32,21 2,8
* O deslizamento não é bem definido devido ao grande incremento de carga
Pu/PadCorpo
de provaρtfyt
(MPa)
Rompimento da adesão Ruptura
103
Embora o exemplar CP4 tenha apresentado carga máxima de 310kN com
aproximadamente 32mm de deslizamento, isto ocorreu após um pico de carga de 300kN
e correspondente deslizamento de 19,68mm, valores que foram para ele considerados.
O deslizamento dos nichos para a carga última é função da taxa de armadura da
conexão, o que não ocorre com o deslocamento relativo a perda de adesão do concreto,
o qual permaneceu em torno de 0,25mm na maioria dos corpos de prova.
A razão entre carga última e a carga onde ocorre a perda de adesão variou entre
1,8 e 4,0. Considerando que os esforços na estrutura em serviço sejam
aproximadamente 50% daqueles no estado limite último, a ligação mesa-alma (nichos
de ligação) em serviço apresenta-se fissurada e em alguns casos com deslocamentos
relativos consideráveis (figura 4.42).
O dimensionamento dos nichos de ligação deve, então, contemplar além do
limite último, características de utili zação tais como limite de abertura de fissuras e
deslocamentos relativos admissíveis. Assim, os valores determinados por normas
considerados anteriormente conservadores sob ponto de vista do estado limite último
podem apresentar-se adequados quanto aos requisitos de utili zação.
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8
ρρtfyt (MPa)
desl
izam
ento
(m
m)
Carga última
Perda de adesão
Figura 4.42: Deslizamentos para a cargas última e de perda de adesão
104
4.7. Modo de ruptura
O modo de ruptura dos corpos de prova com armadura consistiu basicamente
do esfacelamento do concreto dos pilaretes na região dos nichos, com a armadura de
ligação.
Após o esfacelamento do concreto, e com o aumento das deformações, ocorreu
também o rompimento da solda das barras.
O exemplar CP1 apresentou o ruptura da armadura, ocasionando a separação
entre base e pilarete.
O exemplar CP7 atingiu a ruptura pelo cisalhamento da interface.
As bases do exemplar CP6 apresentaram fissuras com origem nos nichos
propagando-se em direção aos cantos (figura 4.43).
As figuras 4.44 a 4.51 ilustram o modo de ruptura de alguns corpos de prova.
Figura 4.43: Fissuração das bases do corpo de prova CP6
105
Figura 4.44 Modo de ruptura do corpo de prova CP2 Figura 4.45: Modo de ruptura do corpo de prova CP3
106
Figura 4.46: Modo de ruptura do corpo de prova CP3-A Figura 4.47: Modo de ruptura do corpo de prova CP4-A
107
Figura 4.48: Modo de ruptura do corpo de prova CP5 Figura 4.49: Modo de ruptura do corpo de prova CP5-A
108
Figura 4.50: Modo de ruptura do corpo de prova CP6-A Figura 4.51: Modo de ruptura do corpo de prova CP7
109
5. Conclusões e sugestões para novas pesquisas
As curvas de carga-deslizamento obtidas nos ensaios apresentaram
comportamento linear do início do carregamento até a quebra da adesão do concreto.
Neste intervalo, ocorre pouco ou nenhum deslizamento. Após a perda de adesão, as
curvas tem comportamento não linear e são registrados grandes deslocamentos
relativos. Elas assemelham-se às curvas obtidas nos ensaios realizados por
HANSON(1960) mostradas no capítulo 2.
A resistência ao cisalhamento dos nichos de ligação é aproximadamente função
linear de ρtfyt com um limite de cerca de 0,25fc ou 9MPa. Acima deste valor, ρtfyt tem
menor influência na resistência, que passa a ser dominada pela resistência do concreto.
O limite encontrado é próximo daquele verificado por HOFBECK (1969) conforme
pode ser observado na figura 2.6.
Embora tenha havido um ganho de resistência nos corpos de prova com
armadura de travamento, este deve ser considerado apenas como um fator a mais de
segurança, já que, como foi observado, defeitos construtivos podem ocasionar a
diminuição da resistência dos nichos.
O exemplar sem armadura de ligação apresentou resistência bem próxima à
resistência à tração do concreto (0,95fct). Portanto, para este tipo de conexão, as
equações que consideram a adesão do concreto na determinação da resistência ao
cisalhamento fornecem resultados conservadores, principalmente para baixas taxas de
armadura. A equação proposta pelo MC90 (CEB-FIP (1990)), por exemplo, forneceu
resistência 1/3,62 vezes aquela obtida para o exemplar CP1-A.
A equação proposta neste trabalho (equação 4.1) com coeficiente µ igual a 0,8
foi a que melhor adequou-se aos resultados dos ensaios com média de τu,exp/τu,calc igual a
1,03 e desvio padrão de 0,18. A equação sugerida pelo Guia para pisos Compostos
(CEB-FIP(1998)) foi, das outras equações analisadas, a que melhor representou os
resultados dos ensaios, tendo-se média de τu,exp/τu,calc igual a 1,72 e desvio padrão de
0,34.
A perda de adesão ocorreu, na maioria dos corpos de prova, com deslizamento
em torno de 0,25mm.
110
O deslizamento na ruptura é função da taxa de armadura de ligação. Nos
exemplares CP5-A e CP6, a ruptura verificou-se com deslizamentos superiores a 30mm.
A interface entre os nichos de ligação e a viga pré-moldada quando esta
encontra-se sob a ação do carregamento de serviço apresenta-se fissurada, além disso
podem ser constatados, em alguns casos, consideráveis deslocamentos relativos entre as
superfícies. O dimensionamento destas conexões deve, pois, levar em consideração
critérios de utili zação, tais como limite de abertura de fissuras e deslocamentos relativos
admissíveis.
São sugestões para pesquisas futuras:
• as pontes são estruturas submetidas a carregamentos cícli cos, portanto o
comportamento dos nichos sob ação repetida de carga e descarga deve
ser verificado;
• ensaios de nichos em série localizados em um mesmo pilarete;
• por meio de ensaios pode-se também verificar o ganho de resistência
dos nichos de ligação ao empregar-se chave de cisalhamento
juntamente com a utili zação de concreto de alto desempenho nos
nichos.
111
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113
Apêndice A
Estão li stados aqui os resultados de deslocamento, fornecidos pelos
deflectômetros, e de deformações nas barras medidas pelos extensômetros obtidos dos
ensaios dos corpos de prova.
Tabela A.1: Resultados do ensaio do corpo de prova CP1
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,010 0,007 0,02 0,023 40,0 0,9 0,023 0,023 0,041 0,099 0,03 0,034 60,0 1,3 0,060 0,051 0,222 1,620 0,07 0,005 80,0 1,8 0,598 0,611 2,328 0,04 0,266 100,0 2,2 1,511 0,991 3,197 0,62 1,467 110,0 2,4 1,391 2,584 3,177 2,02 3,648 120,0 2,7 3,063 4,03 5,829 130,0 2,9 5,28 7,07
10 140,0 3,1 8,32 10,1511 120,0 2,7 16,78 18,7112 120,0 2,7 24,25 26,7513 20,0 0,4 25,73 28,37
114
Tabela A.2: Resultados do ensaio do corpo de prova CP1-A
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext1 (%o)
ext2 (%o)
ext3 (%o)
ext4 (%o)
def1 (mm)
def2 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 50,0 1,1 0,007 0,014 0,032 0,036 0,03 0,023 100,0 2,2 0,022 0,031 0,122 0,222 0,03 0,054 125,0 2,8 0,470 4,47 1,585 140,0 3,1 0,529 7,67 4,756 150,0 3,3 0,773 8,58 5,777 160,0 3,6 0,847 9,88 7,258 180,0 4,0 0,914 11,51 9,029 190,0 4,2 1,046 12,81 10,30
10 200,0 4,4 1,161 13,99 11,5511 210,0 4,7 16,49 13,9012 150,0 3,3 17,20 14,5813 130,0 2,9 18,71 16,0714 40,0 0,9 22,73 17,60
Table A.3: Resultados do ensaio do corpo de prova CP2
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,052 0,079 0,003 0,000 0,05 0,003 40,0 0,9 0,183 0,181 0,017 0,011 0,11 0,004 60,0 1,3 0,285 0,259 0,027 0,018 0,15 0,025 80,0 1,8 0,446 0,376 0,047 0,040 0,23 0,026 90,0 2,0 0,526 0,457 0,112 0,305 0,29 0,007 100,0 2,2 0,564 2,450 0,073 1,364 0,83 0,198 110,0 2,4 0,627 0,019 1,670 1,09 0,299 120,0 2,7 1,908 1,44 0,44
10 130,0 2,9 2,579 2,05 0,8011 140,0 3,1 5,507 2,92 1,4512 150,0 3,3 5,372 4,52 2,9913 160,0 3,6 6,29 4,7214 170,0 3,8 7,32 5,7815 170,0 3,8 8,82 7,2316 180,0 4,0 10,76 9,2617 190,0 4,2 13,77 12,2618 200,0 4,4 15,93 14,4419 130,0 2,9 15,95 14,4420 140,0 3,1 19,93 18,5021 140,0 3,1 21,99 22,32
115
Tabela A.4: Resultados do ensaio do corpo de prova CP2-A
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext1 (%o)
ext2 (%o)
ext3 (%o)
ext4 (%o)
def1 (mm)
def2 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,086 0,110 0,089 0,00 0,023 40,0 0,9 0,110 0,154 0,185 0,01 0,024 60,0 1,3 0,139 0,429 1,670 0,03 0,265 80,0 1,8 0,297 1,163 2,685 0,04 0,616 90,0 2,0 0,437 0,548 2,657 0,08 0,827 100,0 2,2 0,600 0,267 0,16 0,978 110,0 2,4 0,722 0,217 0,24 1,109 120,0 2,7 0,751 0,32 1,23
10 130,0 2,9 0,767 0,38 1,3111 140,0 3,1 0,762 0,55 1,5312 150,0 3,3 0,702 0,77 1,8013 160,0 3,6 1,24 2,3414 170,0 3,8 1,72 2,7315 180,0 4,0 4,00 4,4316 190,0 4,2 6,20 6,9217 200,0 4,4 11,11 12,4418 220,0 4,9 12,17 13,4819 240,0 5,3 14,69 15,9720 190,0 4,2 16,95 18,2021 180,0 4,0 21,11 21,17
116
Tabela A.5: Resultados do ensaio do corpo de prova CP3
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,017 0,018 0,008 0,006 0,00 0,013 40,0 0,9 0,023 0,032 0,032 0,039 0,02 0,004 60,0 1,3 0,033 0,049 0,114 0,152 0,02 0,005 80,0 1,8 0,073 0,100 0,171 0,207 0,02 0,006 90,0 2,0 0,231 0,524 0,182 0,206 0,02 0,017 100,0 2,2 0,593 0,192 0,219 0,05 0,018 110,0 2,4 0,748 0,224 0,253 0,06 0,019 120,0 2,7 0,821 0,246 0,277 0,10 0,03
10 130,0 2,9 0,943 0,303 0,342 0,14 0,0611 140,0 3,1 1,032 0,436 0,469 0,18 0,1112 150,0 3,3 1,118 0,604 0,602 0,24 0,2213 160,0 3,6 1,216 0,810 0,689 0,30 0,3514 170,0 3,8 1,277 0,921 0,756 0,38 0,4615 180,0 4,0 1,033 0,797 0,46 0,5416 190,0 4,2 1,103 1,668 0,54 0,6017 200,0 4,4 1,208 2,628 0,66 0,7618 210,0 4,7 1,280 0,74 0,8419 220,0 4,9 1,328 0,90 0,9620 230,0 5,1 1,361 1,04 1,0921 240,0 5,3 1,37 1,3422 250,0 5,6 1,61 1,5323 260,0 5,8 1,96 1,7724 270,0 6,0 2,61 2,3225 280,0 6,2 4,47 4,1126 250,0 5,6 8,34 8,1727 290,0 6,4 10,25 10,3228 300,0 6,7 10,99 11,1229 310,0 6,9 11,69 11,8330 310,0 6,9 12,15 12,2931 320,0 7,1 12,96 13,1332 330,0 7,3 13,59 13,7533 340,0 7,6 14,38 14,5934 350,0 7,8 15,29 15,5535 360,0 8,0 16,33 16,5736 370,0 8,2 17,28 17,4437 380,0 8,4 18,08 18,2138 390,0 8,7 19,41 19,3939 260,0 5,8 22,33 21,1840 250,0 5,6 24,01 22,7141 250,0 5,6 25,64 24,50
117
Tabela A.6: Resultados do ensaio do corpo de prova CP4
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,007 0,012 0,000 0,005 0,02 0,003 40,0 0,9 0,017 0,021 0,000 0,020 0,01 0,004 60,0 1,3 0,040 0,038 0,138 0,185 0,03 0,035 80,0 1,8 0,070 0,085 0,216 0,291 0,05 0,056 90,0 2,0 0,080 0,095 0,236 0,298 0,00 0,067 100,0 2,2 0,083 0,100 0,275 0,361 0,02 0,068 110,0 2,4 0,104 0,129 0,373 0,570 0,03 0,059 120,0 2,7 0,212 0,232 0,403 0,654 0,14 0,05
10 130,0 2,9 0,544 0,525 0,426 0,720 0,38 0,0511 140,0 3,1 0,713 0,563 0,445 0,806 0,49 0,0112 150,0 3,3 0,875 0,621 0,460 0,917 0,63 0,0213 160,0 3,6 0,993 0,638 0,464 0,986 0,79 0,0314 170,0 3,8 1,101 0,685 0,457 1,060 0,90 0,0815 180,0 4,0 1,154 0,786 0,455 1,190 1,11 0,1816 190,0 4,2 1,066 1,187 0,474 1,332 1,54 0,3717 200,0 4,4 2,065 0,497 1,495 1,95 0,5618 210,0 4,7 3,208 1,960 2,79 1,1119 220,0 4,9 12,311 4,85 2,9420 230,0 5,1 8,54 5,6921 240,0 5,3 9,98 6,3422 250,0 5,6 11,68 7,2223 260,0 5,8 15,13 9,7424 270,0 6,0 17,44 12,1025 280,0 6,2 18,69 13,4526 290,0 6,4 20,19 15,1327 300,0 6,7 21,97 17,3928 250,0 5,6 24,26 19,1829 250,0 5,6 29,33 24,3430 280,0 6,2 33,30 28,3731 300,0 6,7 35,24 30,4232 310,0 6,9 36,00 31,3233 40,0 0,9 39,63 35,13
118
Tabela A.7: Resultados do ensaio do corpo de prova CP4-A
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext1 (%o)
ext2 (%o)
ext3 (%o)
ext4 (%o)
def1 (mm)
def2 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,009 0,004 0,003 0,00 0,013 40,0 0,9 0,031 0,002 0,003 0,04 0,004 60,0 1,3 0,179 0,096 0,119 0,12 0,015 80,0 1,8 0,429 0,215 0,278 0,18 0,016 90,0 2,0 0,698 0,470 0,522 0,37 0,057 100,0 2,2 0,897 0,805 0,898 0,92 0,178 110,0 2,4 0,904 0,858 0,964 1,10 0,199 120,0 2,7 0,895 0,925 1,051 1,35 0,25
10 130,0 2,9 1,043 1,062 1,215 1,93 0,3111 140,0 3,1 2,976 1,335 1,534 4,07 0,3912 150,0 3,3 1,446 1,617 5,84 0,4413 160,0 3,6 1,491 1,635 6,21 0,3914 170,0 3,8 1,548 1,673 6,59 0,3515 180,0 4,0 1,647 1,755 7,08 0,2616 190,0 4,2 1,824 1,883 7,78 0,0917 200,0 4,4 2,028 2,017 8,35 0,1518 210,0 4,7 2,167 2,535 9,28 0,7919 220,0 4,9 3,503 10,32 1,7420 230,0 5,1 6,892 11,34 2,7521 240,0 5,3 13,851 13,37 4,7122 180,0 4,0 17,50 9,0223 140,0 3,1 18,51 11,22
119
Tabela A.8: Resultados do ensaio do corpo de prova CP5
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,008 0,003 0,004 0,004 0,02 0,003 40,0 0,9 0,041 0,023 0,009 0,014 0,02 0,004 60,0 1,3 0,133 0,114 0,029 0,028 0,02 0,005 80,0 1,8 0,216 0,161 0,051 0,045 0,05 0,016 100,0 2,2 0,712 0,137 0,280 0,963 0,37 0,817 120,0 2,7 1,198 0,140 1,628 0,98 1,868 130,0 2,9 0,381 1,993 1,22 2,399 140,0 3,1 0,687 2,272 1,40 2,85
10 150,0 3,3 0,849 2,499 1,56 3,1511 160,0 3,6 1,074 2,475 1,61 3,3912 170,0 3,8 1,267 2,689 1,65 3,7113 180,0 4,0 1,366 2,658 1,65 3,9414 190,0 4,2 1,458 2,816 1,70 4,2615 200,0 4,4 1,581 2,900 1,69 4,4916 210,0 4,7 1,773 2,950 1,69 4,7717 220,0 4,9 1,944 3,070 1,64 5,0218 230,0 5,1 2,170 2,703 1,54 5,6519 240,0 5,3 2,725 1,44 6,5120 250,0 5,6 3,028 1,36 7,3921 260,0 5,8 2,818 1,15 8,9922 270,0 6,0 3,462 0,98 10,0123 280,0 6,2 5,486 0,64 11,0724 290,0 6,4 7,929 0,14 11,8125 300,0 6,7 0,72 12,8926 310,0 6,9 1,91 14,2427 320,0 7,1 3,51 15,8828 330,0 7,3 5,01 17,3229 340,0 7,6 6,22 18,6530 350,0 7,8 7,70 20,1831 360,0 8,0 10,19 23,1832 300,0 6,7 18,38 30,1833 300,0 6,7 21,20 32,78
120
Tabela A.9: Resultados do ensaio do corpo de prova CP5-A
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext1 (%o)
ext2 (%o)
ext3 (%o)
ext4 (%o)
def1 (mm)
def2 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,017 0,016 0,002 0,018 0,02 0,013 40,0 0,9 0,056 0,048 0,009 0,030 0,00 0,014 60,0 1,3 0,085 0,074 0,035 0,068 0,04 0,015 80,0 1,8 0,127 0,104 0,054 0,098 0,01 0,016 100,0 2,2 0,168 0,139 0,094 0,147 0,06 0,027 120,0 2,7 0,194 0,176 0,280 0,547 0,03 0,088 130,0 2,9 0,180 0,175 0,620 0,04 0,149 140,0 3,1 0,178 0,179 0,637 0,04 0,21
10 150,0 3,3 0,177 0,203 0,728 0,03 0,3411 160,0 3,6 0,191 0,230 0,752 0,02 0,3812 170,0 3,8 0,209 0,280 0,842 0,02 0,5013 180,0 4,0 0,213 0,302 0,871 0,03 0,5314 190,0 4,2 0,228 0,340 0,954 0,01 0,5715 200,0 4,4 0,243 0,368 0,979 0,05 0,6516 210,0 4,7 0,264 0,411 1,077 0,07 0,8017 220,0 4,9 0,268 0,444 1,101 0,07 0,9018 230,0 5,1 0,301 0,527 1,200 0,09 1,0019 240,0 5,3 0,320 0,630 1,296 0,09 1,3020 250,0 5,6 0,375 0,750 1,533 0,13 1,6921 260,0 5,8 0,378 0,794 1,534 0,17 1,8822 270,0 6,0 0,457 0,852 1,750 0,26 2,1723 280,0 6,2 0,530 0,882 0,38 2,6924 290,0 6,4 0,731 0,838 0,57 3,2325 300,0 6,7 1,274 0,84 3,8726 310,0 6,9 2,875 2,06 5,2227 320,0 7,1 9,14 12,6028 330,0 7,3 10,11 13,7229 340,0 7,6 10,92 14,5030 350,0 7,8 12,06 15,8131 360,0 8,0 17,36 21,2232 370,0 8,2 19,01 22,9133 380,0 8,4 20,09 23,9834 390,0 8,7 21,9935 400,0 8,9 25,2336 410,0 9,1 27,0437 420,0 9,3 28,4538 430,0 9,6 30,7639 430,0 9,6 33,65
121
Tabela A.10: Resultados do ensaio do corpo de prova CP6
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext5 (%o)
ext6 (%o)
ext7 (%o)
ext8 (%o)
def3 (mm)
def4 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,016 0,030 0,013 0,05 0,013 40,0 0,9 0,044 0,072 0,026 0,06 0,054 60,0 1,3 0,032 0,083 0,041 0,08 0,115 80,0 1,8 0,044 0,132 0,053 0,17 0,126 100,0 2,2 0,034 0,209 0,079 0,20 0,147 120,0 2,7 0,011 0,258 0,101 0,25 0,208 130,0 2,9 0,350 0,103 0,19 0,239 140,0 3,1 0,411 0,122 0,22 0,20
10 150,0 3,3 0,471 0,151 0,30 0,3011 160,0 3,6 0,540 0,179 0,35 0,2812 170,0 3,8 0,565 0,188 0,30 0,3913 180,0 4,0 0,630 0,244 0,35 0,3614 190,0 4,2 0,682 0,269 0,33 0,4215 200,0 4,4 0,727 0,297 0,35 0,4616 210,0 4,7 0,762 0,318 0,39 0,5817 220,0 4,9 0,783 0,328 0,43 0,6618 230,0 5,1 0,859 0,372 0,46 0,7419 240,0 5,3 0,921 0,397 0,58 0,9020 250,0 5,6 0,964 0,416 0,57 0,9221 260,0 5,8 1,074 0,439 0,57 1,0822 270,0 6,0 1,123 0,445 0,73 1,0623 280,0 6,2 1,183 0,444 0,81 1,2224 290,0 6,4 1,273 0,469 0,87 1,3325 300,0 6,7 1,339 1,00 1,3826 310,0 6,9 1,399 1,07 1,5327 320,0 7,1 1,433 1,17 1,6128 330,0 7,3 1,571 1,22 1,8029 340,0 7,6 1,613 1,39 2,0330 350,0 7,8 1,857 1,79 2,3631 360,0 8,0 2,126 2,15 2,7432 370,0 8,2 2,187 2,41 3,0233 380,0 8,4 2,768 3,39 4,0434 330,0 7,3 10,10 10,6035 380,0 8,4 13,93 14,3436 390,0 8,7 16,11 16,2937 400,0 8,9 17,28 17,4838 410,0 9,1 18,48 18,6239 420,0 9,3 20,78 20,8340 430,0 9,6 21,75 21,6941 440,0 9,8 22,69 22,6442 450,0 10,0 23,46 23,2743 460,0 10,2 24,61 24,4644 470,0 10,4 26,18 26,0745 480,0 10,7 26,78 26,6746 490,0 10,9 27,86 27,6447 500,0 11,1 29,15 28,8748 510,0 11,3 30,45 30,1249 520,0 11,6 31,75 31,4850 530,0 11,8 32,21 32,00
122
Tabela A.11: Resultados do ensaio do corpo de prova CP6-A
Etapa de carga
Carga (kN)
τ (MPa)ext1 (%o)
ext2 (%o)
ext3 (%o)
ext4 (%o)
def1 (mm)
def2 (mm)
1 0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,002 20,0 0,4 0,000 0,03 -0,023 40,0 0,9 0,032 0,06 -0,034 60,0 1,3 0,087 0,12 -0,025 80,0 1,8 0,122 0,09 0,026 100,0 2,2 0,203 0,14 0,007 120,0 2,7 0,346 0,19 0,208 130,0 2,9 0,381 0,22 0,349 140,0 3,1 0,379 0,21 0,40
10 150,0 3,3 0,424 0,28 0,4911 160,0 3,6 0,497 0,36 0,7212 170,0 3,8 0,534 0,39 0,8713 180,0 4,0 0,577 0,45 1,0414 190,0 4,2 0,593 0,48 1,1615 200,0 4,4 0,618 0,49 1,2516 210,0 4,7 0,639 0,50 1,3317 220,0 4,9 0,646 0,47 1,4218 230,0 5,1 0,666 0,48 1,4819 240,0 5,3 0,667 0,48 1,5720 250,0 5,6 0,669 0,46 1,6521 260,0 5,8 0,705 0,43 1,8022 270,0 6,0 0,695 0,42 1,9123 280,0 6,2 0,707 0,39 2,0324 290,0 6,4 0,641 0,37 2,0925 300,0 6,7 0,653 0,33 2,2426 310,0 6,9 0,679 0,32 2,3427 320,0 7,1 0,668 0,27 2,4428 330,0 7,3 0,689 0,23 2,5229 340,0 7,6 0,727 0,15 2,8630 350,0 7,8 0,780 0,11 3,0831 360,0 8,0 0,887 0,03 3,4132 370,0 8,2 0,864 0,15 3,5833 380,0 8,4 0,955 0,27 3,8034 390,0 8,7 1,167 0,56 4,2235 400,0 8,9 1,566 1,14 4,8336 410,0 9,1 3,40 7,1237 350,0 7,8 10,45 14,4238 320,0 7,1 15,13 19,2439 310,0 6,9 17,13 23,8240 240,0 5,3 27,07