Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011

Repartido 2 – Ley de Gauss

Ejercicio 1.- (R.H.K 29.4)

La carga en un conductor aislado originalmente descargado se separa

al sostener una barra cargada positivamente muy cerca de él, como

se muestra en la figura. Calcule el flujo para las cinco superficies

gaussianas mostradas. Suponga que la carga negativa inducida sobre

el conductor es igual a la carga positiva q sobre la barra.

El sistema se puede modelar como constituido por cargas puntuales que sustituyen a las concentraciones de cargas sobre los conductores. Por hipótesis la carga inducida en le conductor es igual al de la barra, S2 encierra una carga –q, y S1 una carga q (ya que el conductor debe conservar su neutralidad eléctrica).Por la ley de Gauss:

siendo q la carga encerrada por S.

Para S1: Para S2: Para S3:

Para S4: Para S5:

Ejercicio 2.- (R.H.K 29.7)

Una carga puntual +q está a una distancia d/2 de una superficie

cuadrada de lado d y está directamente arriba del centro del

cuadrado como se muestra en la figura. Halle el flujo eléctrico a

través del cuadrado. (Sugerencia: Considere el cuadrado como una cara de un cubo con arista d.)

El flujo total a través de un cubo que contiene una carga q en su interior vale Si suponemos

que la carga está exactamente en el centro, por simetría el flujo a través de cualquier de sus caras valdrá 1/6 del total.

Por tanto para la configuración mostrada en la figura, el flujo vale:

1

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Ejercicio 3

Considere una esfera conductora neutra aislada, maciza excepto por un hueco

en el del cual se encuentra una carga puntual q como muestra la figura. Discutir

el flujo de campo eléctrico a través de cada una de las superficies esféricas

señaladas. En caso que se pueda hallarlo.

Por la ley de Gauss el flujo del campo eléctrico a través de una superficie

cerrada vale . La única carga presente es la presente es la carga

puntual q, pues el conductor es neutro. Sin embargo, en condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior de un conductor debe ser nulo, por lo que se debe inducir en la superficie de la cavidad, una carga distribuida en la misma igual a –q, que apantalle la carga q. Por conservación de la carga en el conductor, en la superficie externa se debe inducir una carga igual a q, que se distribuye en la misma. Además salvo en las superficies, el conductor permanece neutro eléctricamente.

Para SA: (ya que encierra parte de la carga inducida –q de la superficie interna)

Para SB: (ya que encierra parte de la carga inducida –q de la superficie interna y la carga puntual +q) Para Sc: (ya que encierra la carga inducida –q de la superficie interna y a la carga +q)

Para Sc:

Ejercicio 4 - En el sistema de la figura existe un campo eléctrico dado por E = bx j donde b = 800 V/m. El cubo tiene arista a=10cm. Determine la carga eléctrica dentro del cubo.

El flujo del campo eléctrico a través del cubo es igual a la suma del flujo a través de cada una de las caras.

2

De las 6 integrales, son todas nulas salvo aquellas que se evalúan en las caras y= a e y= 2a, ya que el producto escalar es nulo (pues ) Para estas, el campo y la normal son colineales, supongamos que esas caras son la 1 (y=a) y 2 (y=2a). Además dA= adx

Ejercicio 5.- (R.H.K. 29.8) - Una red para cazar mariposas está en un campo eléctrico E uniforme como se muestra en la figura. El aro, un círculo de radio a, está alineado perpendicularmente al campo. Halle el flujo eléctrico a través de la red, respecto a la normal hacia fuera.

(no hay

cargas)l

Ejercicio 6.- .- (R.H.K. 29.18)

Un conductor aislado de forma arbitraria contiene una carga neta de +10 µC. Dentro del conductor hay una

cavidad hueca en la cual hay una carga puntual q = +3,0 µC. ¿Cuál es la carga (a) en la pared de la cavidad y (b)

en la superficie externa del conductor?

a) El campo eléctrico, en condiciones electrostáticas dentro de un conductor es nulo. Por tanto, si considero cualquier superficie gaussiana dentro de su interior, el flujo del campo eléctrico es nulo y por la ley de Gauss, la carga encerrada debe ser nula. Por tanto en la pared de la cavidad debe haber una carga igual y opuesta a la carga puntual, para que la apantalle.

b) Como la carga total del conductor vale +10 C, y en la pared de la cavidad hay -3,0 C

Ejercicio 7.- (R.H.K. 29.22) Dos láminas no conductoras largas y delgadas de carga positiva están una frente a la otra como en la figura. ¿Cuál es E en los puntos a) a la izquierda de las láminas, b) entre ellas y c) a la derecha de las láminas? Suponga la misma densidad superficial de carga σ para cada lámina. Considere únicamente los puntos que no estén cerca de los extremos, o sea cuya distancia a partir de las láminas es pequeña comparada con las dimensiones de la lámina.

Las láminas se modelan como planos infinitos con una densidad de carga superficial .

El campo que crea un plano infinito es normal al plano y de valor .

Consideremos que el plano 1 está en x= 0 y el plano 2 en x=d.

aplicando superposición

Ejercicio 8 El campo eléctrico en la atmósfera sobre la superficie terrestre es aproximadamente 200 V/m, dirigido hacia abajo. A 1400 m por encima de la superficie terrestre el campo eléctrico de la atmósfera es de sólo 20 V/m, también dirigido hacia abajo. ¿Cuál es la densidad media de carga en la atmósfera por debajo de 1400 m? ¿Consiste predominantemente de iones positivos o negativos?

Consideremos como superficie gaussiana un cilindro circular de sección A, generatrices verticales, cuya base está sobre la superficie terrestre (h=0) y la “tapa” está en h= 1400 m.

De las tres integrales, la que se calcula sobre la superficie lateral es nula, ya que E nSlateral

Por la ley de Gauss, siendo q la carga encerrada en el cilindro:

= =1,138×10-

12 C/m3

= 1,1×10-12 C/m3

Ejercicio 9.- (R.H.K. 29.25) Una esfera pequeña cuya masa m es de 1,12 mg contiene una carga q = 19,7 nC. Cuelga en el campo gravitatorio de la Tierra de un hilo de seda que forma un ángulo θ = 27,4º con una lámina grande no conductora y uniformemente cargada como en la figura. Calcule la densidad de carga uniforme σ para la lámina.

Como la esfera está en equilibrio Tsen = FE

Tcos = W = mg

Dividiendo miembro a miembro:

5,11 ×10-9 C/m2

5,11×10-9 C/m2

Ejercicio 10.- (R.H.K. 29.28) La figura muestra una carga +q dispuesta como una esfera conductora uniforme de radio a y situada en el centro de una esfera hueca conductora de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca exterior contiene una carga de –q. Halle E(r) en las ubicaciones (a) dentro de la esfera (r < a), (b) entre la esfera sólida y la hueca (a < r < b), (c) dentro de la esfera hueca (b < r < c), y (d) afuera de la esfera hueca (r > c). (e) ¿Cuáles cargas aparecen en las superficies interna y externa de la esfera hueca?

El campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo. En las fronteras, el campo eléctrico es discontinuo debido a que aparecen densidades de cargas superficiales.

a) 0 < r < a E (r) = 0 por estar en el interior de un conductor.

b) a < r < b

c) b < r < c E (r) = 0 por estar en el interior de un conductor.

d) r > c E (r) = 0

e) q (r=b) =- q (para que apantalle a +q) q (r=c) = 0 (pues la carga neta de la esfera es –q)

Ejercicio 11.- (R.H.K. 29.29)Un cilindro conductor muy largo (de longitud L) conteniendo una carga total +q está rodeado por un tubo cilíndrico (también de longitud L) con una carga total – 2q, como se muestra en sección transversal de la figura. Use la ley de Gauss para hallar (a) el campo eléctrico en los puntos afuera del tubo conductor, (b) la distribución de la carga en el tubo conductor y (c) el campo eléctrico en la región comprendida entre el tubo y el cilindro

a) El campo eléctrico tiene simetría cilíndrica (se desprecian los efectos de bordes).Consideremos como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r > RTE (RTE es el radio exterior del tubo). Para calcular el flujo, dividiremos la superficie gaussiana en tres: la superficie cilíndrica lateral, y las dos “tapas”

Por la simetría cilíndrica del campo, el mismo es perpendicular a las normales de las tapas, por lo que el producto escalar será nulo y por tanto sus integrales nulas.

b) Sobre el tubo conductor, habrá en la superficie interior (de radio RTI) una carga –q (para apantallar la carga q del conductor central) y sobre la superficie externa del tubo habrá una carga –q (de modo que la total sea -2q).

c) Considerando como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r < RTI y haciendo consideraciones

similares a a) (considerando que la carga neta encerrada es +q), obtenemos: (r < RTI)

Ejercicio 12 Considere una distribución esférica de carga positiva de radio a. La densidad volumétrica de carga es tal que aumenta proporcionalmente con la distancia al centro de la distribución. Es decir ρ(r)=r (r<a).

a) Halle la carga neta de la esfera. b) Halle el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera, en función de la distancia al centro.

a) q= a4

b) El campo tiene simetría esférica

para r<a: (r<a)

para r>a: (r>a)

Ejercicio 13 (R.H.K. 29.44)Una región esférica contiene una carga uniforme por unidad de volumen ρ. Sea r el vector desde el centro de la esfera hasta un punto general P dentro de la esfera. (a) Demuestre que el campo eléctrico en P está dado por E = ρ r/3ε0. (b) Una cavidad esférica se crea dentro de la esfera de arriba, como se muestra en la figura. Usando los conceptos de la superposición, demuestre que el campo eléctrico en todos los puntos dentro de la cavidad vale E = ρa/3ε0 (campo uniforme), donde a es el vector que une al centro de la esfera con el centro de la cavidad. Nótese que ambos resultados son independientes de los radios de la esfera y de la cavidad.

a) El campo tiene simetría esférica

b) Consideremos que el campo eléctrico en el hueco es igual a la superposición de un campo E1

creado por la esfera grande con densidad , con otro campo E2 creado por una esfera (correspondiente al hueco) con una densidad -.Sea el punto P, un punto en el hueco: r = a + r’

Ejercicio 14 Considere el modelo de átomo de Thomson de Hidrógeno. Una esfera de radio R con carga positiva uniformemente distribuida y en el centro un electrón. En conjunto este átomo es neutro así que la distribución esférica tiene la misma carga que el electrón (en valor absoluto) a) Halle el campo eléctrico creado por la esfera en un punto situado a una distancia a del centro (a < R).Demuestre que si el electrón se aparte ligeramente una distancia a del centro y se deja en libertad, efectuará oscilaciones armónicas. Halle la frecuencia de esas oscilaciones en función de la carga y la masa del electrón y del radio R del átomo. Dado que la frecuencia de la radiación emitida por el átomo es la frecuencia de oscilación, halle que radio (el orden de magnitud) debería tener un átomo en este modelo, para que emita luz visible (entre 1014 y 1015 Hz).

a) El campo tiene simetría esférica y la carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera.

b) Si aparto el electrón una distancia r (muy pequeña del centro), sobre él actúa una fuerza igual a:

(que es una fuerza de restauración)

=

R= 4×10-10 m (del orden del radio atómico)

Ejercicio 15 El teorema de Earnshaw asegura que ninguna partícula puede estar en equilibrio estable bajo la acción de fuerzas únicamente electrostáticas.a) Demuestre dicho teorema.b) Considere la siguiente situación: cuatro cargas iguales en los vértices de un cuadrado y una carga del mismo

valor que las anteriores pero de signo opuesto en el centro del cuadrado. ¿la carga del centro, está en equilibrio estable?

a) Por el absurdo. Supongamos que sea P el punto de equilibrio estable. Si apartamos la carga y la separamos de su posición de equilibrio, deberían existir fuerzas de restauración en dirección a P que hagan retornar la carga. Independientemente de la presencia de la carga, debería existir un campo eléctrico dirigido hacia P en el entorno de este punto. Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie gaussiana que rodee el punto, el mismo no sería nulo e implicaría la existencia de una carga neta (negativa) en el punto.

b) Por el teorema de Earnshaw no puede ser un punto de equilibrio estable. Además alcanza con ver que si lo apartamos en una dirección cualquiera, distinta a las diagonales, la carga del centro no retorna.

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