Experimento 4: Impedância e defasagens entre tensão e corrente.

Disciplina: EN2703 – Circuitos Elétricos 1.

Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Pedro Caetano de Oliveira Raian Bolonha Castilho Spinelli Washington Fernandes Souza

Turma: A/Diurno

Prof ª. Dra. Katia Franklin Albertin Torres.

Santo André, 22 de Julho 2011

Sumário

1. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 2

2. PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................................ 2

2.1. Materiais e equipamentos ............................................................................................ 2

2.2. Cuidados experimentais ............................................................................................... 2

2.3. Procedimentos .............................................................................................................. 3

2.3.1. Medição da defasagem com capacitor em série ................................................... 3

2.3.2. Medição da defasagem com indutor em série ...................................................... 4

2.3.3. Medição da defasagem com figuras de Lissajous. ............................................... 5

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................................... 7

3.1. Medição da defasagem com capacitor em série ........................................................... 7

3.2. Medição da defasagem com indutor em série .............................................................. 9

3.3. Medição da defasagem com figuras de Lissajous ...................................................... 10

4. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 14

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 15

2

1. OBJETIVOS

O objetivo do experimento foi medir a defasagem entre sinais de tensão e

corrente provocada ora por um capacitor, ora por um indutor.

Para isso, analisou-se o sinal por meio das figuras de Lissajous, bem como por

meio da diferença de período entre o sinal de tensão de entrada e em um resistor

em série com os componentes (capacitor ou indutor).

Tais valores foram comparados ainda com a defasagem determinada

algebricamente através de equações que relacionam os valores dos componentes

dos circuitos.

2. PARTE EXPERIMENTAL

2.1. Materiais e equipamentos

• Multímetro digital portátil Minipa ET-2510.

• Fonte geradora de sinal Tektronix modelo AFG 3021B.

• Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B.

• Placa Protoboard (Matriz de contatos).

• 1 resistor de: 100Ω.

• Indutor de 1mH.

• Capacitor de 1 µF.

• Cabos e fios para conexão.

• Pen Drive (memória flash).

2.2. Cuidados experimentais

• Atentar para medidas de resistência com o ohmímetro deve-se desconectar

os componentes do circuito, evitando que os demais existentes no circuito

interfiram na medida;

• Os painéis e visores dos instrumentos (como por exemplo, do osciloscópio)

nunca devem ser tocados com as mãos ou com os dedos, pois ficam sujos,

engordurados e riscados, sendo muito difícil limpá-los;

• Manipular os botões de controle do gerador de sinais e do osciloscópio com

delicadeza, exercendo apenas a força necessária para o seu acionamento;

3

• Ao final das medições ou cálculos, fazer os arredondamentos necessários de

forma a manter os valores e incertezas com o mesmo número de casas

decimais;

• Identificar as unidades de todos os valores apresentados nas tabelas.

• Ajustar a saída do gerador de sinais para a opção “High Z”. Nesta opção ele é

menos sucessível as influências do circuito externo e permite fornecer até 20

mV de pico a pico.

• Certificar a correta escala no período/frequência do gerador de sinais.

• Escolher o fundo de escala que melhore a visualização do sinal no

osciloscópio.

• Anotar o código e descrição de cada imagem do osciloscópio salva no pen

drive.

2.3. Procedimentos

2.3.1. Medição da defasagem com capacitor em série

A Figura 1 apresenta o circuito montado para a medição da defasagem com

uso do capacitor em série com resistor, considerando a fonte geradora de sinais es(t)

fornecendo uma onda senoidal com Vpp= E = 5 Volts, um resistor R de 10kΩ e um

capacitor com capacitância na faixa de 220nF.

Figura 1 – Circuito para medição de defasagem com capacitor C em série com resistor R.

Mediram-se as resistências ôhmicas do resistor e do capacitor e ajustou-se o

gerador de sinais para uma frequência de 1KHz.

4

Montado o circuito, mediu-se a tensão R

V sobre o resistor, como também as

tensões c

V e V , tensões medidas com três aparelhos: osciloscópio, multímetro de

bancada e multímetro digital.

As impedâncias do resistor e do capacitor são dadas pela equação (1).

1; ; ( ) ; 2R C C C

Z R Z jX X C fω ω π−

= = − = = (1)

A impedância equivalente na associação em série é dada por (2).

2 2

; : arg( )

Im (Re ) (Im ) ; arg( ) arctg

Re

R C CZ Z Z R jX Z Z Z

ZZ Z Z Z

Zθ

= + = − =

= + = =

(2)

Medindo-se o intervalo de tempo entre dois pontos das ondas com mesmo

valor de tensão, utilizando-se os cursores verticais do osciloscópio, obteve-se a

defasagem em graus, que é dada por (3).

.360t

Tθ

∆= ° (3)

Por fim, mediu-se a defasagem da tensão em relação à corrente utilizando a

figura de Lissajous mostrada no osciloscópio. O método de determinação da

defasagem está na seção 2.3.3.

2.3.2. Medição da defasagem com indutor em série

A Figura 2 mostra o circuito montado para a medição defasagem da indutância,

considerando a fonte geradora de sinais es(t) fornecendo uma onda senoidal com

Vpp= E = 5 Volts, o resistor R de 100Ω e o indutor L com impedância na faixa de

1mH.

5

Figura 2 – Circuito para medição de indutância L.

Mediu-se a resistência ôhmica do indutor e do resistor e o gerador de funções

foi ajustado para fornecer uma onda senoidal com Vpp= E = 5 Volts, com uma

freqüência 20kHz.

Com esse circuito mediu-se a tensão sobre o resistor R

V , a tensão sobre o

indutor indutor

V e a tensão dada pelo gerador de sinais V , tensões medidas com três

aparelhos: osciloscópio, multímetro de bancada e multímetro digital.

As impedâncias do resistor e do indutor são dadas pela equação (4).

; ; ; 2R L L L

Z R Z jX X L fω ω π= = + = = (4)

A impedância equivalente na associação em série é dada por (5).

2 2

; : arg( )

Im (Re ) (Im ) ; arg( ) arctg

Re

R L LZ Z Z R jX Z Z Z

ZZ Z Z Z

Zθ

= + = + =

= + = =

(5)

A desafagem em graus, medindo-se o intervalo de tempo entre dois pontos das

ondas com mesmo valor, é dada por (3).

2.3.3. Medição da defasagem com figuras de Lissajous.

A Figura 3 mostra os parâmetros medidos em uma figura de Lissajous para o

cálculo do ângulo de defasagem θ com uso da equação (6).

6

Figura 3 – Exemplo de medidas para cálculo da defasagem usando figuras de Lissajous.

arcsina

bθ

=

(6)

No experimento, ocorreu um problema com a gravação dos dados referentes à

figura de Lissajous do capacitor. Todavia, como os dados dos dois canais foram

gravados e o osciloscópio os aloca numa planilha, decidiu-se usar estes dados para

reconstruir a figura perdida.

Inicialmente, como o osciloscópio é pré-configurado no padrão estadunidense,

a separação da casa decimal é por ponto e isso necessita alterar a configuração do

computador para este padrão de forma que o Excel compreenda aquele dado como

número e facilita-se o trabalho de seleção de dados. Se a planilha for aberta com a

configuração brasileira ela estará mal organizada, no entanto, se ela for aberta com

o computador já no padrão estadunidense, as colunas de tempo e tensão estarão

separadas e organizadas de forma a facilitar a interpretação dos dados.

Acertadas as configurações, foi criada uma planilha com os dados de tempo e

dos dois canais juntos (o osciloscópio os gera em planilhas separadas), foi

reconstruída inicialmente a onda senoidal dos canais em função do tempo para se

certificar de que os dados estavam corretos e então foi reconfeccionada a figura de

Lissajous utilizando o canal 1 no eixo das abscissas e o canal 2 no eixo das

ordenadas. Inicialmente foi refeita a figura do indutor para comparar com a figura

gravada do osciloscópio, confirmado o resultado, foi repetido o procedimento com os

dados do capacitor e obtida a figura de Lissajous tal como vista na tela do

osciloscópio durante o experimento e os valores dos semi-eixos concordando com

os anotados para o cálculo da desafagem θ.

7

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.1. Medição da defasagem com capacitor em série

A Tabela 1 apresenta os valores das tensões R

V , c

V e V medidos com os três

equipamentos de medição disponíveis.

Tabela 1 – Valores de tensão medidos com os aparelhos disponíveis.

|V| [V] |VR| [V] |Vc| [V]

Osciloscópio 1,530 0,843 1,190

Multímetro de bancada 1,500 0,827 1,213

Multímetro portátil 1,492 0,825 1,207

Com estes valores medidos, a impedância teórica do circuito e a respectiva

defasagem, calculada com uso de (2), são de 187,96 Ω e -57,86°, respectivamente.

3 6 1

2 2

100 (2 .1.10 .1.10 ) 100 159,15

159,15(100) ( 159,15) 187,96; arg( ) arctg 57,86

100

R LZ Z Z j j

Z Z

π− −

= + = + = −

− = + − = = = − °

(7)

A Figura 4 mostra a forma de onda da fonte na tela do osciloscópio.

Figura 4 – Tensão na fonte.

A Figura 5 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o

capacitor conforme circuito da Figura 1.

8

Figura 5 – Tensão no capacitor.

A Figura 6 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o

resistor conforme circuito da Figura 1. O canal 1 (amarelo) do osciloscópio recebe a

tensão sobre o resistor enquanto que o canal 2 (azul) está com a tensão fornecida

pela fonte, isto foi feito para facilitar a visualização das curvas.

Figura 6 – Canal 1 resistor (amarelo). Canal 2 fonte (azul). Diferença de tempo entre dois zeros

consecutivos.

A defasagem calculada com uso de (3) foi de 57,6°, valor próximo ao valor

teórico calculado anteriormente, mostrando a eficiência do método utilizado. O erro

nesse caso foi de 0,26° ou, em porcentagem, foi de 0,5%.

9

3.2. Medição da defasagem com indutor em série

Para o circuito montado na Figura 2 foram medidas as resistências do resistor

série (R) e a resistência presente no indutor (RL), já que o mesmo não é ideal, tendo,

assim, um valor de resistência associado.

A Tabela 2 apresenta os valores medidos das tensões RV , indutor

V e V medidos

com os três equipamentos de medição disponíveis.

Tabela 2 – Valores de tensão medidos com os aparelhos disponíveis.

|V| [V] |VR| [V] |Vindutor| [V]

Osciloscópio 1,390 0,922 1,750

Multímetro de bancada 1,410 0,928 0,945

Multímetro portátil 0,349 0,226 0,231

Pode-se perceber que as medidas obtidas com o multímetro portátil

mostraram-se bem distantes das obtidas com os demais aparelhos e estão

claramente erradas, já que o valor da tensão na fonte (primeira coluna), não pode

ser esse, que é muito baixo comparado com a tensão fornecida, já se considerando

a resistência interna da fonte. Esse erro provavelmente se deve à frequência do

sinal ser maior que a do circuito com o capacitor (20 kHz e 1 kHz, respectivamente),

de forma que o aparelho, com uma provável limitação na taxa de amostragem do

sinal, não é capaz de colher pontos suficientes de tensão para estimar corretamente

seu valor.

No caso do multímetro de bancada, a tensão no indutor mostrou-se

consideravelmente diferente da fornecida pelo osciloscópio, que é mais preciso na

medição de sinais alternados. A provável explicação é a influência da resistência

interna do componente na medida do aparelho.

Com estes valores medidos, a impedância teórica do circuito e a respectiva

defasagem calculada com uso de (2) são de 140,91Ω e 44,79°, respectivamente.

3 3

2 2

100 (2 .20.10 .0,790.10 ) 100 99, 27

99, 27(100) (99,27) ; arg( ) arctg 44,79

100

R LZ Z Z j j

Z Z

π−

= + = + = +

= + = = = °

(8)

10

Para o resistor série, cujo valor nominal era de 100 Ω, foi medido um valor de

99,2 Ω, o que é dentro da tolerância fornecida pelo fabricante (5% correspondente a

faixa ouro) e para o indutor mediu-se uma resistência de 4,1 Ω. Ainda para o indutor

o valor da indutância medido foi de 297 µH.

A Figura 7 apresenta a forma de onda obtida na medição da tensão sobre o

resistor conforme circuito da Figura 2. O canal 1 (amarelo) do osciloscópio recebe a

tensão sobre o resistor enquanto que o canal 2 (azul) está com a tensão fornecida

pela fonte, isto foi feito para facilitar a visualização das curvas.

Figura 7 – Canal 1: tensão resistor (amarelo). Canal 2: tensão na fonte (azul). Diferença de tempo

entre dois zeros consecutivos.

A defasagem calculada, com uso de (3), foi de 41,76° valor próximo ao valor

teórico calculado anteriormente mostrando a eficiência do método utilizado. O erro

nesse caso foi de 3,03° e, em porcentagem, foi de 6,8%. Neste caso o erro

percentual foi maior devido ao fato do indutor ser um componente elétrico que

possui uma resistência interna associada, fazendo com que ocorra essa diferença

da defasagem teórica, que não considera essa resistência interna do componente.

3.3. Medição da defasagem com figuras de Lissajous

A Figura 8 mostra a figura de Lissajous para o indutor.

11

(a)

(b)

Figura 8 –- Figuras de Lissajous para o indutor.

A Figura 9 mostra a figura de Lissajous refeita com os dados gravados dos

canais 1 e 2 do osciloscópio, esta figura está de acordo com a Figura 8 do próprio

osciloscópio.

12

Figura 9 – Figura de Lissajous para o indutor refeita no Excel®.

Com a certeza de que o procedimento para retomada da curva de Lissajous a

partir dos dados gravado pelo osciloscópio para o caso do indutor foi confiável,

partiu-se para se confeccionar a curva de Lissajous com os dados do capacitor

seguindo o mesmo procedimento, cujo resultado encontra-se na Figura 10.

13

Figura 10 – Figura de Lissajous para o capacitor refeita no Excel®.

A Tabela 3 resume os cálculos da desafagem do indutor e do capacitor

utilizando as figuras de Lissajous.

Tabela 3 – Valores dos semi-eixos a e b e cálculo da defasagem θ.

Indutor Capacitor

a 1,4 1,8

b 2 2,2

θ=arcsin (a/b) 0,78 rad 0,96 rad

θ (Graus) 44,43° 54,90°

Estes valores estão de acordo com os valores calculados teoricamente com

uso das equações (2) e (5). Estão, dessa maneira, próximos também dos valores

calculados por meio da análise do sinal de tensão da fonte e no resistor.

Como curiosidade, a Figura 11 apresenta um resumo de uma possível forma

de analisar o comportamento de uma figura de Lissajous (observar quadrante IV da

imagem).

14

Figura 11 - Exemplos de figuras de Lissajous para ondas de mesma freqüência e fases diferentes [1].

4. CONCLUSÃO

Com o experimento, pôde-se concluir que é possível medir satisfatoriamente a

defasagem provocada em um sinal tanto pela análise direta do sinal de entrada,

analisando-se o sinal em um elemento do circuito montado após o componente

responsável pela defasagem no sistema e comparando com o sinal de entrada, bem

como por meio das figuras de Lissajous.

Na prática, era de se esperar que os métodos fossem equivalentes, dado que o

equipamento utilizado é o mesmo e apenas se muda a forma de representação do

sinal nos eixos do aparelho.

A principal diferença está, portanto, na forma de visualização do sinal: no

primeiro método, é necessário o uso de cursores para uma maior precisão, no

segundo, basta contar o número de “quadradinhos” (divisões) na escala do

15

osciloscópio, tendo em mente a escala utilizada. Nesse ponto, as figuras de

Lissajous são de mais fácil visualização.

Determinada algebricamente, por meio de equações que modelam o circuito e

seus componentes, os valores obtidos para a defasagem foram também bem

próximos dos experimentais.

Na medida da tensão sobre os componentes do circuito, percebeu-se que as

medidas fornecidas pelo multímetro portátil foram pouco confiáveis no circuito

indutivo, sendo que a provável causa é o maior valor da frequência, de modo que a

amostragem realizada pelo aparelho é prejudicada.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] PAVLIC, Theodore P.; Lissajous figures Disponível em <http://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/lab1_intro/lab1_intro_lissajous.pdf>. Acesso em 31 de Jul. 2011

[2] BOYLESTAD, R.L.; Introdução à análise de circuitos; 10.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.