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Relatório Final do Projeto
Avaliação do conhecimento de Estatística dos formandos em Licenciatura do
IME
Programa: Ensinar com Pesquisa da Pró-Reitoria da Graduação da USP.
Período: Março/2008 a Fevereiro/2009
Bolsista: Kelly Cristina Ramos da Silva
Orientador: Marcos N. Magalhães
Departamento: Estatística
Unidade: Instituto de Matemática e Estatística – IME.
1. Introdução
O Instituto de Matemática e Estatística (IME) tem a carreira de Licenciatura nos
períodos diurno e noturno com duração de 4 e 5 anos, respectivamente. O número de vagas é
de 50 no diurno e 100 no noturno. Na grade curricular os estudantes têm duas disciplinas de
Estatística, sendo que os do diurno no primeiro e os do noturno no segundo ano do curso.
Existe a possibilidade de cursar outras disciplinas de Estatística como optativas.
A presença de Estatística é cada vez mais intensa na sociedade. Tabelas e gráficos
aparecem freqüentemente como auxílio de argumentação nos mais variados ramos de
atividade. A imprensa também usa avaliações quantitativas nos seus noticiários e a atividade
científica é cada vez mais dependente de análise estatísticas que validem conclusões e
estabeleçam a adequação de procedimentos. Em resumo, o entendimento de conceitos básicos
de Estatística, incluindo leitura e interpretação de gráficos, é primordial para a cidadania.
Nos Ensinos Fundamental e Médio os tópicos de Estatística fazem parte do conteúdo da
disciplina de Matemática. É o professor dessa disciplina que irá discutir, ou não, esses assuntos
nas diversas séries conforme o planejamento escolar. Desse modo, uma boa formação do
professor nesse assunto é uma condição importante para que Estatística possa ter espaço
adequado no currículo desses níveis de ensino.
2 2
2. Desenvolvimento
O projeto tinha como objetivo investigar o conhecimento em Estatística dos formandos
em Licenciatura em Matemática do IME. Inicialmente, a bolsista fez a leitura crítica dos
Parâmetros Curriculares Nacionais dos Ensinos Fundamental e Médio (PCNs) de Matemática
para se familiarizar com as demandas oficiais. Essa leitura teve foco na área de Estatística e nas
idéias principais presentes nos textos e resultou na elaboração de um resumo (ver Anexo 1)
contendo as principais recomendações dos PCNs. Em seguida, a bolsista fez um estudo dos
tópicos incluídos nas disciplinas de Estatística para Licenciatura consultando várias referências
e, de certa forma, revisando os conceitos aprendidos nas disciplinas que havia cursado
anteriormente. Esse estudo foi feito para que a bolsista pudesse elaborar questões visando a
preparação de um Teste de Estatística a ser respondido pelos formandos.
Para avaliar a situação dos formandos foi feita uma coleta de dados, anônima e
voluntária, através de Questionário e Teste (Anexo 2) que foram aplicados simultaneamente.
No Questionário solicitamos que os formandos respondessem 6 perguntas referentes à
experiência profissional e acadêmica e, também, à sua perspectiva de carreira. O Teste
Estatístico buscou avaliar o conhecimento dos formandos e foi composto de 20 questões de
múltipla escolha abordando conceitos que deveriam ser familiares a estudantes aprovados em
disciplinas básicas de Estatística.
Para desenvolvimento do projeto foram realizadas reuniões semanais com discussão
sobre o andamento do trabalho e as leituras realizadas.
3. Coleta de Dados
O número aproximado de formandos nos foi informado pela Seção de Alunos da
Graduação do IME em meados de setembro/2008. Eram em torno de 100 os possíveis
formandos e na listagem recebida constava, além do nome, o endereço eletrônico dos alunos
(quando disponível). Pelas características do curso esses alunos fazem, no semestre final,
disciplinas em diversas unidades da USP, o que dificultou a coleta de informações. Alguns
deles, inclusive, não cursavam nenhuma disciplina no IME no segundo semestre de 2008.
A preparação do Questionário/Teste tomou mais tempo do que previsto e a versão
inicial só pode ser testada em meados de novembro. Solicitamos a colaboração de 3 estudantes
3 3
formandos que, após responderem à versão inicial, fizeram críticas a respeito da clareza e da
dificuldade das questões e sugeriram alteração na redação de vários itens.
Com as sugestões incorporadas, a versão final do Questionário/Teste começou a ser
aplicada em fins de novembro, um péssimo período pois coincide com o final do semestre
letivo. O tempo aproximado para o preenchimento foi estimado em 35 minutos.
A coleta de dados foi muito difícil. Inicialmente, a bolsista visitou uma das aulas do
IME que era assistida por alguns dos formandos e, com a colaboração da professora, teve uma
conversa com os alunos divulgando o projeto e solicitando colaboração. Tendo em vista o
tempo necessário para as respostas, o preenchimento do Questionário/Teste seria feito fora da
sala de aula e, para tal, cópias foram distribuídas àqueles que se dispuseram em responder.
Tivemos pouca receptividade e vários daqueles que aceitaram preencher acabaram não
retornando suas respostas da pesquisa. Após essa iniciativa, continuamos a buscar os
formandos nos intervalos de aulas mas tentamos diversificar as alternativas de contato
utilizando o correio eletrônico. Foram distribuídos em torno de 90 cópias do
Questionário/Teste para possíveis formandos, mas tivemos apenas 23 pesquisas respondidas.
Infelizmente, tivemos pouca colaboração desses estudantes que se justificaram de várias
maneiras indicando, principalmente, a insegurança com relação ao conhecimento pesquisado e
a falta de tempo devido ao final do ano letivo.
A análise dos resultados obtidos é apresentada nas próximas seções. Convém ressaltar
sua limitação para descrever a situação do formando em Licenciatura do IME, conforme as
dificuldades amostrais já apontadas. Apesar disso, acreditamos que as informações
apresentadas podem servir de retrato de um grupo de formandos e, também, auxiliar a
realização de uma nova pesquisa sobre o assunto.
4. Análise do Questionário
Vamos descrever os resultados das seis perguntas do Questionário, ressaltando que algumas
delas solicitam opiniões ou comentários e foi necessário categorizar as respostas obtidas. Além
disso, algumas perguntas se ramificam dependendo da resposta dada.
O conhecimento dos licenciandos sobre as recomendações legais para o ensino de
matemática foi objeto da Pergunta 1 e observamos, pelo Gráfico 1, que 61% dos licenciandos
leram os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) – Matemática.
4 4
Gráfico 1: Leitura dos PCNs.
Para avaliar a experiência didática em sala de aula, uma pergunta (de número 2) foi
feita sobre se os formandos já haviam lecionado. Observamos no Gráfico 2 que 57% dos
licenciandos do IME nunca lecionaram em classes do ensino Fundamental ou Médio.
Gráfico 2: Atividade de lecionar.
No intuito de complementar a informação, solicitamos para os que responderam Sim que
indicassem pontos positivos e negativos. As respostas são apresentadas nos Gráficos 3 e 4.
Como pontos positivos, 70% afirmaram ter satisfação em ensinar e ver a evolução dos alunos.
Sim (14) 61%
Não (9)
39%
Não (13) 57%
Sim (10) 43%
5 5
Os outros 30% se dividem igualmente entre melhorar a didática, ver o interesse dos alunos pela
Matemática e a possibilidade de administrar divergências em salas de aulas.
Gráfico 3 – Pontos positivos da experiência pessoal de lecionar (freqüências).
No Gráfico 4 apresentamos as respostas referentes aos pontos negativos da experiência
do estudante de lecionar. Para 50% dos formandos que já lecionaram, a falta de motivação e o
desinteresse dos estudantes pelo estudo constituem o principal ponto negativo de lecionar.
Outros pontos negativos indicados incluem: estrutura educacional e má remuneração, trabalho
cansativo e o despreparo que constatou na sua própria formação de educador. Tivemos, ainda,
uma resposta em branco.
Gráfico 4: Pontos negativos da experiência pessoal de lecionar (freqüências).
10%10%10%
20%
50%
0
1
2
3
4
5
6
Desinteresse Estrutura Despreparo Cansativo Branco
70%
10% 10% 10%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Satisfação em ensinar
Melhorar a didática
Interesse dos alunos
Análise de divergências
6 6
Um dos problemas importantes no contexto da educação no país é a relativa falta de
professores em algumas áreas. Nesse sentido buscamos identificar entre os futuros formandos
da Licenciatura do IME quais seriam suas perspectivas profissionais. No Gráfico 5, notamos
que 52% dos entrevistados têm intenção de seguir carreira de professor, 39% pretendem seguir
profissões não relacionadas com a área de ensino de matemática e 9% não sabem o que irão
fazer após a sua formatura. É curioso observar nas respostas dos entrevistados que entre os que
buscam seguir outras profissões, uma parte deles (9% dos 39%) admite que poderia lecionar
por satisfação pessoal após ter estabilidade financeira.
Gráfico 5: Pretensões profissionais.
A Pergunta 4 se referiu a opinião sobre o curso e tinha 3 itens referentes às
contribuições para profissionalização, problemas do curso e disciplinas de Estatística. Da
Tabela 1, referente à Pergunta 4a, observamos que o curso de Licenciatura em Matemática foi
o responsável pelo desenvolvimento e o aprimoramento de técnicas e conhecimentos
matemáticos para 43% dos entrevistados. Eles indicam, também, que o curso auxiliou para
melhorar sua metodologia de ensino, pois a Matemática passou a ser vista de uma maneira
mais ampla. Para 22% dos formandos o nome da USP foi o que mais lhes ajudou
profissionalmente, pois lhes deu mais prestigio e melhores oportunidades no mercado de
trabalho. Dos estudantes entrevistados, 22% alegaram que o curso não os ajudou em nada ou
Outras
Profissões
(9)
39%
Lecionar
(12)
52%
Não sei
(2)
9%
7 7
em muito pouco, pois o que aprenderam no curso não teve aplicação no que trabalham. Os
restantes 13% se dividiram nas respostas: nunca trabalhou, entendeu melhor o ambiente escolar
e o curso ajudou, mas não citou no que.
Tabela 1: Contribuições do curso.
Descrição Freqüência Porcentagem
Conhecimentos Matemáticos 10 43%
Prestigio da USP 05 22%
Muito pouco ou nada 05 22%
Outras 03 13%
Os resultados referentes à Pergunta 4b estão na Tabela 2. Verificamos que, na opinião
dos formandos entrevistados, os problemas mais freqüentes do curso são: currículo incoerente
e a falta de didática de alguns docentes com 35% e 30%, respectivamente. Eles afirmam que
muitas das disciplinas apresentam conteúdos desconexos e sem aplicação prática, além disso,
não existe uma real preocupação em se formar professores. Alguns formandos manifestam
insatisfação por não ver a utilidade daquilo que estão apreendendo em sua vida social e
profissional, pelas constantes alterações no currículo e pelo preconceito do curso de
Licenciatura ser visto como um curso de segunda categoria e para pessoas mal preparadas.
Tabela 2: Problemas do curso.
Descrição Freqüência Porcentagem
Currículo incoerente 08 35%
Didática de alguns docentes 07 30%
Falta de aplicação 03 13%
Exagero de matérias de física e educação 02 9%
Preconceito com a Licenciatura 02 9%
Mudanças constantes no currículo 01 4%
8 8
A Tabela 3 apresenta a opinião dos formandos sobre as disciplinas de Estatística,
obtidas a partir da Pergunta 4c. Para 44% dos entrevistados, são disciplinas com bom conteúdo
e aplicáveis em qualquer meio, seja ele profissional, social ou acadêmico. Alguns dos
entrevistados gostariam que o curso tivesse mais disciplinas da área, sendo que uma parte deles
utiliza Estatística no seu trabalho e pretende se especializar, enquanto outros têm o interesse
em entrar na área. Outros 22% dos entrevistados afirmam que as disciplinas não foram bem
dadas e que não lhes acrescentou muito ao que já tinham aprendido no ensino básico. Entre
outras opiniões tivemos a menção de que a primeira disciplina lecionada (Estatística I) foi mais
bem assimilada do que a seguinte (Estatística II).
Tabela 3: Opinião referente às disciplinas de Estatística.
Descrição Freqüência Porcentagem
Bom conteúdo 10 44%
Muito fracas 05 22%
São suficientes 04 17%
Outras 03 13%
Branco 01 4%
A Pergunta 5 se referia à importância dos conteúdos de Estatística para a educação
básica e, da Tabela 4, segue que 79% dos formandos consideram esses conteúdos importantes.
Mencionam que, além de ser um conteúdo obrigatório no currículo, também é necessário para
o cotidiano pois está presente em diversos meios de comunicação. Entre os 17% que deram
outras respostas tivemos opiniões sobre as disciplinas de Estatística feitas durante o curso e
suas relações com a Educação Básica.
Quanto ao preparo para lecionar Estatística (Pergunta 6), observamos do Gráfico 6 que
65% dos entrevistados acreditam ter condições de ensinar Estatística para educação básica,
apesar de alguns afirmarem que não possuem total domínio do conteúdo ou não gostam da
área. Outros 13% acham que se consultarem uma boa bibliografia seriam capazes de dar uma
boa aula e 22% afirmam não estarem preparados, seja porque não possuem vocação para
9 9
ensinar, seja porque afirmam que as disciplinas da Educação não lhes prepararam
adequadamente.
Tabela 4: Tópicos de Estatística para Educação Básica.
Opinião Freqüência Porcentagem
Importantes 18 79%
Outras respostas 4 17%
Branco 1 4%
Gráfico 6: Preparo para lecionar Estatística.
5. Análise do Teste
As análises a seguir se referem às respostas das 20 questões do Teste (ver Anexo 2).
Para elaboração do Teste a bolsista consultou as referências freqüentemente indicadas nas
disciplinas de Estatística para Licenciatura e propôs várias questões. Após discussão com o
orientador, que tinha experiência em ministrar essas disciplinas durante vários anos, ficou
estabelecido um conjunto de questões. Como já mencionado, o Teste foi respondido
preliminarmente por 3 formandos e suas sugestões incorporadas na versão final. Dessa forma,
Sim (16) 66%
Não (5)
21%
Sim, após revisão (3)13%
10 10
acreditamos que o Teste aplicado foi equilibrado quanto ao conteúdo e dificuldade, além de
coerente com as disciplinas cursadas pelos formandos entrevistados. Havia 8 questões de
Análise Descritiva e Medidas Resumo, 7 de Probabilidade e Variáveis Aleatórias e 5 questões
de Inferência. As dificuldades das questões foram balanceadas entre os diversos tópicos.
No Gráfico 7 apresentamos os resultados obtidos no Teste através do box-plot obtido
com auxílio do software R. Existe razoável simetria no desempenho dos estudantes com valore
mínimo de 7 e máximo de 20 e mediana ao redor de 13. Na Tabela 5 apresentamos algumas
medidas resumo. O valor médio corresponde a um índice de acerto próximo a 70%, o que é
bastante bom se pensarmos que esses formandos tiveram o curso de Estatística há mais de dois
anos. Entretanto, vale relembrar que tivemos muitas recusas o que poderia indicar que os que
responderam foram aqueles melhores nesse tópico. A variabilidade descrita pelo desvio padrão
amostral ficou em 3,63 que nos parece razoável. Note que na Tabela 5 a mediana é 14, que é
um valor mais preciso do que aquele indicado no box-plot. Essa diferença é ocasionada pela
maneira como o software calcula os quantis da distribuição dos dados utilizando aproximações
de continuidade, enquanto o outro valor foi calculado diretamente dos dados.
Gráfico 7: Box-plot do número de acertos por formando.
11 11
Tabela 5: Medidas resumo dos acertos por aluno.
Média Mediana Moda DP amostral Mínimo Máximo
13,17 14 15 3,63 7 20
No Gráfico 8 apresentamos a porcentagem de acertos por questão. Considerando as
com melhor índice de acerto, temos duas questões (4 e 6) com 100% , seguidas pelas Questões
5 e 15 com 91% de acertos. Essas questões eram bem simples e, apesar de exigirem
conhecimento de algumas definições, podiam ser resolvidas usando o bom senso. As duas
questões com pior desempenho foram a Questão 20 com 30% e a Questão 14 com 39% de
acerto. Elas se referiam ao tópico de Intervalo de Confiança que faz parte de Inferência
Estatística, assunto que tradicionalmente os estudantes têm mais dificuldade de compreensão.
Gráfico 8: Porcentagem de acertos por questão.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Questões
12 12
5. Conclusões
A bolsista procurou cumprir as tarefas que lhe foram designadas tentando superar suas
eventuais dificuldades de formação. Acredito que essa experiência de trabalho no projeto
contribuiu para melhorar sua formação.
O atraso no início da coleta de dados foi desastroso para a obtenção de uma amostra
maior que, possivelmente, daria um panorama melhor da situação dos formandos em
Licenciatura do IME.
Das informações obtidas com o Questionário merece destaque o número relativamente
alto dos entrevistados (9 em 23) que não leram os PCNs de Matemática do MEC. Isso após
passarem por inúmeras disciplinas, incluindo várias da Faculdade de Educação. Não seria o
caso de se prever discussão desses textos oficiais em alguma disciplina do currículo? É claro
que existe a possibilidade deles terem sido discutidos, mas os alunos não se recordaram disso,
o que também seria um fato grave.
A perspectiva de ser professor é de apenas 52% dos entrevistados e, dessa forma, um
pouco frustrante. Um curso na universidade ter pouco mais da metade pretendendo,
efetivamente, seguir a profissão habilitada é realmente algo a se pensar. Talvez o IME possa
fazer alguma coisa sobre isso, entretanto, a valorização do professor da Educação Básica é a
melhor alternativa para aumentar essa porcentagem e isso depende, principalmente, dos
governos nos vários níveis.
A maior parte dos formandos se sente preparada para ensinar tópicos de Estatística nos
Ensinos Fundamental e Médio. Contudo, os resultados do Teste indicam que muitos tópicos de
Estatística não foram devidamente assimilados pelos formandos.
Pretendemos apresentar os resultados desse trabalho nos Simpósios de Iniciação
Científica do IME e da USP no segundo semestre de 2009. Para finalizar, cabe ressaltar que os
pontos aqui mencionados precisariam ser aprofundados numa nova pesquisa que, a despeito de
outros possíveis enfoques, deveria ter o cuidado de incluir um número maior de formandos na
amostra.
6. Referências Bibliográficas:
Magalhães, M. N. e Lima, A. C. P. (2008). Noções de Probabilidade e Estatística, 6a edição
revista, 3a reimpressão. São Paulo, Edusp, 392 p.
13 13
Bussab, W. O. e Morettin, P. A. (2002). Estatística Básica, 5a edição. São Paulo, Editora
Saraiva, 526p.
Ross, S. M. (2004). Introduction to probability and Statistics for Engeneers and Scientistics,
3rd edition. USA, British Library Cataloguing in Publication Data, 624 p.
Kellner, E.N. S. (1971). Fundamentos de Estatística para as ciências do comportamento, 4a
edição. Rio de Janeiro, Editora Renes Ltda., 312p.
Mc Graw-Hill, S. e Spiegel, M.R. (1972). Estatística, 4a edição. São Paulo, Editora Mc Graw-
Hill do Brasil Ltda, 580 p.
Páginas consultadas:
http://www.conteudoescola.com.br/site/content/view/74/67/
Parâmetros Curriculares Nacionais em Ação - Ensino Médio.
http://portal.mec.gov.br/seb/index.php?
option=content&task=view&id=265&Itemid=255
Parâmetros Curriculares Nacionais em Ação - Ensino Médio.
Orientações complementares.
http://portal.mec.gov.br/seb/index.php?
option=content&task=view&id=408&Itemid=394
Programas utilizados:
R 2.4.0.
Excel 2000.
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ANEXO 1
Resumo das Recomendações do MEC
PROJETO: AVALIAÇÃO DOS CONHECIMENTOS EM ESTATÍSTICA DOS FORMANDOS EM LICENCIATURA DO IME Bolsista: Kelly Cristina Ramos da Silva Orientador: Marcos N. Magalhães IME- USP
Parte A: Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental
A Matemática Moderna, por meio dos princípios de topologia, teorias dos conjuntos e estruturas
algébricas, influenciou de maneira decisiva a forma de ensino de Matemática nas décadas de 60/70. Desde
então, o ensino passou a ter preocupação com formalizações e, para vários pesquisadores em Educação, se
distanciando das questões práticas.
Em 1980, foi apresentado pelo Conselho Nacional de Professores de Matemática (NCTM), nos
Estados Unidos, um documento no qual a resolução de problemas era colocada como o foco de ensino de
Matemática e para sua aprendizagem foram colocados em pauta aspectos sociais, antropológicos,
lingüísticos e cognitivos relevantes.
Essas idéias serviram de inspiração para as reformas que ocorreram mundialmente. De 1980 a
1995, em diferentes países foram apresentadas as seguintes propostas em comum:
� O Ensino Fundamental deve ter a finalidade de dar ao indivíduo as competências básicas
necessárias para sua formação;
� Incentivar à participação efetiva do educando nas práticas de ensino;
� No tratamento de problemas do âmbito social ou científico, que utilizem a matemática para
sua resolução, deve-se enfatizar a resolução de problemas como método de ensino;
� Desde o Ensino Fundamental é importante tratar-se com um amplo espectro de conteúdos,
como elementos de estatística, probabilidade e combinatória para se atender à demanda social
que indica a necessidade de abordar tais tópicos;
� Enfatizar a utilidade da tecnologia para o homem atual e sua história de evolução;
No Brasil, nota-se que grande parte das instituições de ensino ainda seguem a estrutura
educacional de Matemática abordada nas décadas de 60/70. Nas séries iniciais há o predomínio da
linguagem de teoria dos conjuntos e a formalização precoce de conceitos, enquanto que nas séries finais
existe um muito trabalho com álgebra e poucas aplicações práticas.
Entretanto, há experiências bem-sucedidas que comprovam a fecundidade das idéias apresentadas
pelo NCTM. Algumas dessas idéias foram incorporadas nas propostas curriculares de Secretarias de
Educação (Estados e Municípios). Ainda assim, os problemas que motivaram as reformas e as novas
propostas curriculares permanecem desconhecidos por uma parcela significativa de educadores.
15
Quadro atual do Ensino de Matemática no Brasil
Entre as inúmeras dificuldades que o Brasil vem enfrentando com relação ao ensino de
Matemática, destacam-se: a falta de uma formação profissional qualificada, as restrições ligadas às
condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais efetivas e as interpretações equivocadas de
concepções pedagógicas.
No entanto, algumas mudanças estão sendo feitas para minimizar esse quadro, como a elaboração
de projetos educacionais que contemplam os interesses e necessidades da comunidade. Alguns educadores
individualmente ou em pequenos grupos estão se mobilizando em busca de uma melhoria em suas práticas
de ensino. As capacitações de professores não atingem grande número de profissionais e por isso uma
parcela significativa de educadores acaba se apoiando quase que exclusivamente nos livros didáticos que,
muitas vezes, são de qualidade insatisfatória.
Em 1993, com o objetivo de avaliar o ensino de Matemática dos alunos do Ensino Fundamental, o
Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB) aplicou testes obtendo os seguintes
resultados – 67,7% dos alunos da primeira série, 17,9% dos alunos da terceira série, 3,1% dos alunos da
quinta série e 5,9% dos alunos da sétima série acertaram um número maior ou igual a 50% das questões dos
testes. Em 1995, foram realizados novos testes, agora incluindo as quarta e oitava séries e constataram que
os percentuais de acertos por série/grau e conhecimento, além de continuarem diminuindo à medida que se
aumentavam os anos de escolaridade, indicavam também deficiência em questões relacionadas à aplicação
de conceitos e a resolução de problemas.
Contudo, por meio dos dados obtidos nos testes foi possível avaliar a situação do ensino de
Matemática nessa etapa da escolaridade. Desse modo, concluiu-se que existem problemas antigos e novos
nesse ensino a serem tratados que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) procuram contemplar,
mostrando as pretensões enunciadas pelas diretrizes curriculares dos anos 80 e início dos anos 90, além de
incluir novos elementos na pauta de discussões.
A Resolução de Problemas e o Ensino-aprendizagem de Matemática
O eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, a resolução de problemas,
pode ser resumido pelos princípios citados abaixo:
� A situação-problema é o início de um processo que tem como finalidade conduzir o educando a
elaborar meios de resolução de problemas.
� Os exercícios no qual levam os educandos a refletir e organizar as informações, se caracterizam
como problemas. Se tais atitudes não ocorrerem durante a resolução dos mesmos, podemos dizer
que eles são praticamente um processo de aplicação mecânica de conceitos matemáticos.
� A resolução de problemas não deve ser compreendida como aplicação do que se aprendeu, mas
como uma orientação para se aprender. Sendo que seu contexto possibilita o ensino e
aprendizagem das propriedades Matemáticas.
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� Quando os conteúdos de Matemática são apresentados aos educandos, de forma a mostrar que seus
conceitos e procedimentos são próximos e se articulam entre si, os alunos tendem a construir um
campo de conceitos que toma sentido, sendo que quando ocorre o aprendizado dos mesmos o
educando passa a utilizá-los para resolver diferentes problemas de caráter matemático.
Portanto, as resoluções de problemas matemáticos devem acontecer por meio de uma seqüência de
ações, em que o mesmo deve ser de caráter investigativo, ou seja, conduzir o educando a questionar, a
refletir, a relacionar conceitos, analisar e a tomar suas próprias decisões. Caso contrário, não existe um real
desafio e um verdadeiro problema a ser tratado.
Seleção de Conteúdos
Os currículos de Matemática do Ensino Fundamental devem contemplar os estudos: dos Números
e das Operações, do Espaço e das Formas e das Grandezas e das Medidas. Além de ter sido necessário
acrescentar a esse currículo o estudo: de Dados Estatísticos, das Tabelas, dos Gráficos, de Análise
Combinatória e de Probabilidade, devido à presença freqüente dessa linguagem para expressar informações
nos diferentes meios de comunicação.
Apesar de nesse currículo o estudo de Lógica não estar presente, alguns de seus princípios são
fundamentais para a construção de conhecimentos matemáticos, como na argumentação, na elaboração de
hipóteses e em justificativas pautadas por demonstrações formais.
A escolha dos conteúdos se mostra como um desafio para os educadores, pois, nessa etapa da
educação básica, deve-se procurar identificar dentro de cada um dos amplos campos quais conceitos,
procedimentos e atitudes são socialmente relevantes, de modo a analisar até que ponto os conteúdos
escolhidos influenciaram no desenvolvimento cognitivo dos educandos.
Os Conceitos são generalizações úteis que auxiliam o educando nos processos de interpretação e
de organização dos dados e fatos. Em que um conjunto de conceitos podem estar relacionados entre si,
sendo que seu ensino de dá de forma gradativa e em diferentes níveis de dificuldade.
Os Procedimentos devem ser vistos como conteúdos que conduzem o educando a desenvolver
habilidades ligadas ao saber fazer, aplicáveis a distintas situações, por exemplo, traçar a mediatriz de um
segmento com régua e compasso, calcular porcentagens, etc.
As Atitudes estão relacionadas ao afetivo e possuem a mesma importância que os Conceitos e
Procedimentos, elas estão presentes, por exemplo, na perseverança de buscar soluções, na valorização do
trabalho coletivo, etc.
Tratamento da Informação
O Tratamento da Informação é uma área que vem sendo destacada, tanto nos aspectos sociais
como nas atividades profissionais, devido ao vasto número de informações e às formas particulares de
apresentação dos dados com que se convive diariamente.
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Dessa forma, os estudos, nos terceiro e quarto ciclos, dos conteúdos determinados nesse bloco tem
o propósito de desenvolver formas particulares de pensamento e raciocínio de modo que conduzam os
educandos a resolverem problemas que envolvam fenômenos aleatórios, nas quais é necessário coletar,
organizar, representar e interpretar os dados por meio da linguagem estatística.
Pelo fato de ser um campo que aborda uma ampla variedade de conteúdos matemáticos, o
desenvolvimento desse bloco pode viabilizar o aprofundamento, a ampliação e a aplicação de conceitos e
procedimentos como porcentagem, razão, proporção, ângulos, etc. Além de favorecer o desenvolvimento
de algumas atitudes, como se posicionar criticamente, fazer previsões e tomar decisões.
Uma maneira de se explorar os processos estatísticos e probabilísticos é a partir da leitura e
discussão de questões de diferentes áreas do conhecimento, sejam elas do âmbito social ou científico. Para
se trabalhar com esse campo é indispensável o uso de calculadora e em alguns casos software, porque a
maior parte do tempo disponível deve ser utilizada na construção de estratégias que levarão os educandos a
testar suas hipóteses e interpretar resultados.
Outra maneira de se trabalhar com os conteúdos presentes nesse bloco de Tratamento da
Informação seria por meio da realização de pesquisas do interesse dos educandos. Nessas atividades, é
necessário que o educador esclareça para os educandos alguns pontos, entre eles: o problema deve estar
bem definido, as variáveis envolvidas devem ser analisadas, deve-se decidir se a coleta será feita por
recenseamento ou por amostragem e precisa-se fazer uma análise preliminar das informações numérias,
além de observar os aspectos relevantes e fazer alguns cálculos pertinentes. No desenvolvimento dessas
atividades de pesquisa os alunos terão a oportunidade de construir o conceito de amostra e iniciar o
processo de elaboração de inferência sobre a representatividade da mesma.
Um ponto importante a ser discutido e observado pelos alunos é que em pesquisas quantitativas, ao
agruparmos os dados em classes a precisão das informações será um pouco prejudicada, apesar disso
obtemos um resumo representativo do nosso conjunto de dados que nos auxiliará na compreensão e análise
dos mesmos. A escolha do número de classes é uma questão de bom senso, pois se ele for muito grande o
resumo obtido pode não representar adequadamente o conjunto de dados, ou, caso ele seja muito pequeno
perde-se informações.
Outro ponto importante seria a escolha dos recursos visuais convenientes, que mostrem uma
apresentação global da informação, possibilitando uma leitura rápida e também a compreensão dos
significados, como às medidas de tendência central.
Os problemas de contagem, no Ensino Fundamental, abordam agrupamentos de objetos em
diferentes quantidades, nas quais os educandos na tentativa de solucioná-los poderão aperfeiçoar a maneira
de contar, isto é, desenvolver o raciocínio combinatório. Em que esse raciocínio é uma ferramenta útil para
o ensino de probabilidade, estatística e para a compreensão do princípio multiplicativo.
No Ensino Fundamental, quinta a oitava série, o ensino de probabilidade se dará de forma
informal, com situações que conduzam os educandos a fazer algumas previsões do sucesso dos eventos.
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Nesse trabalho, os educandos devem ser levados a utilizar o princípio multiplicativo para construir espaços
amostrais e representações, como tabelas de dupla entrada ou diagramas de árvores.
No terceiro ciclo, quinta e sexta série, tem-se o intuito de acrescentar a esse estudo a prática de
elaboração de questões e conjecturas pertinentes para um conjunto de informações, a interpretação de
diagramas e fluxogramas e o estudo das medidas estatísticas. No estudo de probabilidade serão
apresentados aos educandos métodos de quantificar o incerto e averiguar as chances de ocorrência de
alguns eventos.
No quarto ciclo, sétima e oitava série, iremos trabalhar com gráficos e algumas medidas
estatísticas que conduzem os educandos a desenvolverem pesquisas de âmbito real. Além disso, eles
também poderam construir espaços amostrais de alguns eventos e estimar a probabilidade de sucesso dos
mesmos, cujas estimativas devem ser expressas como uma razão.
Nessa etapa da educação básica, quarto ciclo, prosseguem os trabalhos de elaborações de questões
iniciados no terceiro ciclo, acrescentando a esse estudo o princípio da lógica formal, por meio de um
processo mais detalhado de argumentação, o qual auxiliará o educando a entender o significado e a força
das demonstrações Matemáticas.
A argumentação é uma prática que se encontra vinculada à capacidade de justificar uma afirmação,
em que a mesma deve ser pertinente e plausível. Apesar de estar mais relacionada à prática discursiva, pode
auxiliar o educando a fazer uma demonstração matemática.
Conexões entre os conteúdos
Utilizar contextos de âmbito real ou de outras áreas do conhecimento é considerado importante
pelos educadores na sua prática de ensino de Matemática. No entanto, isso só acontece depois que todos os
conhecimentos matemáticos presentes nessas situações tiverem sido amplamente estudados pelos
educandos. O ensino básico geralmente apresenta um currículo linear e hierarquizado, tornando-se assim
mais difícil trabalhar com contextos mais amplos, nas quais são raras às vezes que essas situações têm a
finalidade de construir o conhecimento.
Existe uma tradição que preserva a organização do ensino de Matemática, em que se mostra um
difícil obstáculo que inibe o educador a utilizar a resolução de problemas como metodologia de ensino,
além de não permitir que os educandos questionem e opinem durante as atividades escolares.
Esse quadro pode ser mudado caso o educador se habilite a construir uma prática de ensino
fazendo algumas conexões entre os conteúdos matemáticos. Nessa construção deve-se determinar os
objetivos que se deseja alcançar, procurando se ater à seleção de conteúdos a serem trabalhados, as
articulações entre os mesmos e a elaboração de situações-problema. Tendo que as conexões traçadas
precisam estar em harmonia com os eixos temáticos das outras áreas do currículo e com os Temas
Transversais.
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Parte B: Orientações curriculares para o Ensino Médio
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio foram desenvolvidas a partir de encontros e
debates com os gestores da Secretária Estaduais de Educação e aqueles que, nas Universidades, vêem
pesquisando e discutindo questões relativas ao ensino das diferentes disciplinas. Para a análise participaram
representantes das Equipes Técnicas das Secretárias Estaduais de Educação, com professores de cada
estado participante e, em alguns casos representantes de alunos de escolas públicas. Tal trabalho
proporcionou a realização de seis seminários, sendo cinco regionais e um nacional. Em seguida, iniciou-se
um processo bastante intenso para sua consolidação.
O Ensino Médio, segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), deve
ser planejado seguindo dois aspectos. O primeiro trata-se da formação do educando – a educação básica
deve fornecer ao educando condições para que ele possa desenvolver sua autonomia intelectual, seu
pensamento crítico e aprimorar o exercício da cidadania, além de prepará-lo para o meio profissional. O
segundo remete-se a organização curricular que precisa ter os seguintes conceitos: base comum
diversificada, interdisciplinaridade e contextualização, proposta pedagógica elaborada e executada pelos
estabelecimentos de ensino com a participação dos docentes.
A escola pensada neste contexto deve valorizar o trabalho coletivo, ou seja, docentes, alunos e
demais membros que a compõem devem trabalhar conjuntamente de modo a maximizar a eficiência do
trabalho escolar, com uma política curricular que busca abordar conteúdos e práticas de uma dada cultura.
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), o Ensino Médio
tem a finalidade de completar a educação básica e aprimorar a formação humana.
Com tais propósitos, percebe-se que o meio educacional deve proporcionar o desenvolvimento
de um amplo espectro de competências e habilidades, que podem e devem ser trabalhados no conjunto das
disciplinas. Segundo Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM-2002) e os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+2002), o desenvolvimento das habilidades relacionadas à
representação, compreensão, comunicação, investigação e contextualização sócio-cultural podem se dar
por meio do ensino de Matemática.
Iremos destacar neste documento três aspectos: a escolha de conteúdos; a forma de trabalhar os
conteúdos; o projeto pedagógico e a organização curricular.
Na escolha de conteúdos espera-se que ao final da formação básica o educando reconheça a
Matemática como um conhecimento social e historicamente construído e valorize sua importância no
desenvolvimento científico e tecnológico, além de saber usa-lá para resolver diferentes problemas práticos
do cotidiano.
A forma de trabalhar os conteúdos deve sempre levar o educando a situações-problema que o
façam questionar, refletir, estabelecer hipóteses, tirar conclusões, apresentar exemplos e contra-exemplos,
generalizar, abstrair, criar modelos e argumentar com fundamentação lógico-dedutiva. Nessas atividades
20
deve-se valorizar o raciocínio matemático, procurando agregar aspectos formais de caráter matemático e
descartar as exigências de memorização.
Enfim, o objetivo aqui tratado nestes tópicos é enfocar a qualidade do processo e não à
quantidade de conteúdos a serem trabalhados.
Os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos: Números e Operações; Funções;
Geometria e Análise de Dados e Probabilidade. Esses conteúdos precisam ser abordados de forma a manter
uma relação entre eles.
A articulação entre os blocos é essencial, pois ao observarmos os tópicos tratados em cada um
deles, verificamos que existe dependência entre eles, e também intersecção de seus assuntos. Por exemplo,
em uma situação problema que envolva gráficos, tabelas e dados numéricos são necessários o
conhecimento de números, proporcionalidade direta ou inversa, decimais finitos, porcentagem, uso de
calculadora abordados no bloco Números e Operações; noção de crescimento, decrescimento e esboço de
gráficos, relação entre variáveis abordada no bloco de Funções; e para construção de gráficos, são
necessários às noções de medida, de ângulo e áreas abordadas no bloco de Geometria.
Os conteúdos do bloco de Análise de Dados e Probabilidade são recomendados para todos os
níveis da educação básica, em especial para o Ensino Médio. O estudo desse bloco possibilita a ampliação
e formalização dos conhecimentos sobre o raciocínio combinatório, probabilístico e estatístico. É
importante enfatizar que a probabilidade é uma medida de incerteza, que seus modelos são úteis para
simular eventos e que se podem obter conclusões equivocadas no que se refere à probabilidade e à chance
caso nossas intuições forem equivocadas.
O ensino de estatística possibilita a aprendizagem da formulação de perguntas que podem ser
respondidas com a análise de uma amostra. No Ensino Médio, sugere-se que se dê ênfase na construção e
representação de gráficos e tabelas mais elaborados, analisando sua conveniência e utilizando tecnologias,
quando possível. Sendo necessário também, capacitá-lo para questionar a validade das representações de
dados e das representações gráficas veiculadas em diferentes mídias.
A Análise Combinatória é uma ferramenta utilizada para o estudo de probabilidade, além de
possuir uma inter-relação com as idéias de experimento cujos resultados são representados em um espaço
amostral discreto.
Nessa etapa da educação básica, o educando precisa compreender o propósito e a lógica
das investigações estatísticas, bem como sobre o processo de investigação; as idéias matemáticas implícitas
em representações estatísticas, os procedimentos ou conceitos, a relação entre síntese estatística,
representação gráfica e dados primitivos.
Contudo, espera-se que à medida que o educando vá se apropriando do conhecimento, a
sua capacidade de argüir e de discutir aumente e, assim possibilite a melhor compreensão do processo de
aprendizagem e das ferramentas apropriadas que auxiliam na resolução de diferentes problemas de âmbito
matemático.
21
Questões de Metodologia
Ensino e aprendizagem incluem as relações entre alguém que ensina, alguém que aprende e algo
que é o objeto de estudo – no caso o saber matemático. Iniciaremos tratando de duas concepções sobre o
processo de ensino e aprendizagem de Matemática e em seguida de alguns conceitos.
Uma primeira corrente, historicamente observada nas salas de aula de Matemática, identifica
aprendizagem como acúmulo de conhecimento e o ensino como transmissão de conhecimento. Essa
concepção de ensino apresenta a vantagem de se atingir um grande público ao mesmo tempo, porém nem
sempre se pode esperar motivação do mesmo.
Uma segunda corrente, ainda pouco explorada em nossos sistemas de ensino, transfere para o
educando parte da responsabilidade pela sua própria aprendizagem. As idéias socioconstrutivistas da
aprendizagem partem do princípio de que, na situação de resolução de problemas, o educando vai ser
levado a construir os conceitos e conseqüentemente aprender, cabendo ao educador o papel de mediador.
A primeira concepção é vista como uma forma padrão de ensino, que se organiza da seguinte
forma: primeiro apresenta-se um novo conceito, seguido de certo número de exemplos servindo como
referência; no final apresenta-se um grande número de exercícios, conhecidos como “exercícios de
fixação”.
A segunda concepção tem o caminho inverso, apresentação de uma situação-problema, e ao final
do processo a formalização do conceito.
A contextualização pode ser feita por meio da resolução de problemas, mas é preciso estar atento
aos problemas fechados, isto é, todo aquele que necessita de informações que não se encontram no
enunciado, porque esses problemas pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse caso, o
educando facilmente identifica o conceito a ser utilizado, suprindo a fase de investigação e reflexão. O uso
exclusivo desse tipo de problema leva a mecanização na resolução. Sendo que a competência de analisar
um problema e tomar as decisões necessárias à sua resolução é fundamental para o exercício da cidadania.
Foram desenvolvidos novos paradigmas educacionais, em especial os que adotaram a
aprendizagem sob a concepção socioconstrutivistas, e diante das limitações dos problemas fechados,
indicam o uso de problemas abertos e situação-problema em que a solução pode ser feita sem precisar de
informações fora do contexto dado. Apesar de apresentar objetos diferentes esses dois tipos direcionam o
educando a realizar tentativas, estabelecer hipóteses, testar essas hipóteses e validar seus resultados. Desta
forma o conhecimento passa a ser entendido como uma ferramenta, e não mais como algo que deve ser
memorizado para ser aplicado em provas.
A situação-problema é gerada por meio de um problema cujo conceito, necessário para a sua
resolução, é aquele o qual queremos que o educando construa. A metodologia de ensino abordada nos leva
a questionar dois fatos, por um lado, como os educandos conseguirão resolver o problema se o conceito
necessário para sua resolução não foi lhes apresentado, por outro lado, com base nas informações históricas
temos que a construção do conhecimento matemático se deu por meio da resolução de problemas, ou seja,
primeiro surgiram os problemas e a partir de suas resoluções extraíram-se os conceitos.
22
Atualmente, a idéia de Modelagem Matemática tem sido usada nas escolas, a qual se
entende como a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos, buscando
resolver e interpretar suas soluções em uma linguagem mais simples. A Modelagem Matemática também
dá a alternativa de se trabalhar com projetos, podendo estudar temas do interesse do educando, integrar
diferentes conhecimentos, promover a interação social e a reflexão sobre problemas reais. Para que esse
trabalho seja viável o educador deve estabelecer os objetivos educativos e de aprendizagem, selecionar os
conteúdos conceituais e procedimentais a serem trabalhados, preestabelecer atividades que levem a
reflexão, facilitar recursos, materiais, informações e analisar o desenvolvimento individual dos educandos.
Sabemos que a Modelagem Matemática apresenta fortes conexões com a idéia de resolução
de problemas, tendo que essa metodologia auxilia os educadores a colocarem em prática aulas
investigativas, permitindo o rompimento de estudos baseados em currículos lineares e o trabalho
vinculado com temas do âmbito real, auxiliando assim na compreensão dos conceitos matemáticos, além
de mostrar que tal ciência se encontra impregnada de valores que influenciam a vida humana.
A história da Matemática é um recurso que pode auxiliar o educador em sua prática, porque o
leva a entender algumas das dificuldades apresentadas pelos educandos. Por exemplo: as dificuldades
presentes na compreensão dos alunos sobre “regras de sinais” e números reais.
Organização Curricular e Projeto Político Pedagógico
O trabalho pedagógico precisa ser organizado de forma a adequar-se aos educandos e o
projeto político pedagógico deve ser pensado como um processo de reflexão e discussão constante sobre
os problemas escolares, na busca de soluções.
O corpo docente e membros da escola precisam estar comprometidos com a ação educativa
para que seja construído um projeto político pedagógico significativo que seja fruto do cotidiano. Esse
projeto refere-se tanto ao trabalho mais amplo de organização da escola como ao trabalho mais específico
de organização da sala de aula.
Nesse sentido, tem-se no currículo um elemento essencial na definição desse projeto quando a
ele se incorpora o processo social de produção de conhecimentos, especialmente pelo trabalho
interdisciplinar que é pouco presente nos trabalhos escolares e seu desenvolvimento é visto como desafio
pelos educadores. Sendo que as atividades interdisciplinares propiciam ao educando a habilidade de
contextualizar e integrar os saberes.
Considerações Finais (da parte B)
Cada educador, conjuntamente com outros membros da instituição escolar, devem definir os
currículos de Matemática a serem colocados em prática, sempre buscando uma formação Matemática que
privilegie o essencial e o significativo, isto é, procurar articulação entre os diferentes temas, lembrando-se
que um mesmo conceito matemático pode ser trabalhado em mais de um bloco de conteúdos, que a
contextualização é um importante instrumento para solidificar a idéia de interdisciplinaridade e favorecer
23
a atribuição de significados pelo educando no processo de ensino e aprendizagem. Os conteúdos escolares
podem ser relacionados com temas atuais das ciências, da tecnologia e das práticas sociais para se obter
uma melhor compreensão dos conceitos e procedimentos apresentados pelos educadores.
No entanto, temos que as contextualizações artificiais e as contextualizações pretensamente
baseadas na realidade não se adaptam a esse contexto, porque as informações delas extraídas são fictícias,
não sendo assim possível tirar conclusões significativas, impossibilitando a interação dos conceitos e
procedimentos pretendidos.
No Ensino Médio, a estrutura lógica da Matemática precisa ser ampliada e aprofundada, de modo
que os alunos ao final da educação básica sejam capazes de utilizar os processos obtidos por imaginação,
intuição, raciocínio indutivo e raciocínio lógico-dedutivo e distinguir entre validação matemática e
validação empírica.
Parte C: PCNS + Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais
As orientações educacionais aqui apresentadas se remetem a todo o âmbito escolar, apesar de
estarmos situados no volume das disciplinas da área de Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Entre seus principais objetivos, está o de facilitar a organização curricular, sugerindo
práticas educativas coerentes para que ocorra a articulação entre as competências gerais almejadas e os
conhecimentos disciplinares, além disso, também auxiliar na elaboração do projeto pedagógico escolar.
A Natureza do Ensino Médio e as Razões da Reforma.
Em 1996, a reformulação do Ensino Médio foi estabelecida pela Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional (LDBEN), em 1998 foi regulamentada pelas Diretrizes do Conselho Nacional de
Educação e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) com o intuito de atender às necessidades
impostas pelo processo de globalização e também aumentar o número de concluintes na educação básica.
A idéia central manifestada pela nova lei é que o Ensino Médio deve exclusivamente completar a
educação básica e procurar valorizar as aplicações dos conhecimentos, eliminando o conceito no qual
colocava-o como um ensino direcionado para a educação superior ou para o ensino profissionalizante.
Enfim, esse novo conceito de Ensino Médio tem o objetivo de dar ao educando a autonomia
intelectual, além de qualificá-lo para o exercício da cidadania.
Como rever o Projeto Pedagógico da Escola
Independentemente das reformas a implementar por conta da nova legislação, grande parte das
instituições de ensino estão passando por transformações, das quais talvez a mais importante delas seja o
fato que o número de matriculados nas instituições de ensino dobrou em uma década, hoje já ultrapassa 50
milhões, mais de 10 milhões se encontram no ensino médio e cerca de 2,5 milhões no ensino superior no
país.
24
O projeto político pedagógico deve-se adequar aos seus educandos, sendo assim ele deve passar
constantemente por mudanças. Entretanto, sabemos que isso não ocorre em inúmeras escolas, que não
renovam seus projetos políticos pedagógicos há décadas.
Para tentarmos resolver os problemas presentes na educação brasileira, devemos primeiro
visualizar os pontos de partida para contorná-los ou superá-los. Um deles seria a conscientização
crescente da sociedade em relação à importância da educação e à adequação da escola à população alvo.
Outros pontos a serem considerados são: a tradição disciplinar, a transmissão de informações desprovidas
de contextos e a resolução de exercícios padronizados. Eles são heranças do ensino conduzido em função
de exames de ingresso à educação superior. Sendo que esses pontos se encontram cercados de difíceis
obstáculos, porque tanto a sociedade como às instituições de ensino possuem padrões conservadores que
se colocam como obstáculos perante qualquer transformação que se remete ao meio escolar.
Tendo que conceitos equivocados junto com um ensino descontextualizado resultam em
desinteresse e baixo desempenho. Assim surgem desentendimentos entre educadores, educandos e pais,
sendo que, professores acusam os alunos de fracos e desinteressados e os pais acusam o mesmo dos
professores. Sendo que a harmonia do ambiente escolar é fator essencial para que ocorram tanto o
desenvolvimento cognitivo como a prática do exercício da cidadania por parte dos educandos.
A instituição de ensino pensada neste contexto deve ter alunos e professores comprometidos com
a prática educacional e uma estrutura física que atenda às necessidades de todos. Com atividades
educacionais próximas das questões reais sejam elas apresentadas pela vida comunitária, econômica,
social ou ambiental.
A Escola como Cenário Real da Reforma Educacional
As idéias impostas pelas reformas educacionais tiveram sua consolidação após mais de meia
década e acredita-se que demore mais de uma década para promover as transformações pretendidas na
educação nacional. Porém já se notam experiências importantes em muitas escolas brasileiras que estão
desenvolvendo novos projetos pedagógicos e novas práticas educacionais.
Diversas instituições de ensino, de diferentes regiões, estão construindo novos e bem-sucedidos
paradigmas educacionais e nem sempre são as que possuem mais recursos financeiros ou equipamentos. O
diferencial delas está na relação entre membros da escola e da sociedade, isto é, a disponibilidade da
instituição de prestar serviços à sociedade. Por exemplo: a realização de orientações profissionais, o
preparo pré-universitário e atividades culturais e sociais.
Matemática
O conhecimento matemático é fundamental para a inserção do indivíduo na sociedade, pois ele é
indispensável para a compreensão de diversas situações da vida cotidiana de qualquer cidadão.
No Ensino Médio, a Matemática supera seu caráter instrumental e começa a ser tratada como
uma ciência com características próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador
25
importante junto às demais Ciências da Natureza, confirmando o seu valor como conhecimento essencial
para a formação das capacidades humanas que serão exigidas ao longo da vida social e profissional do
indivíduo.
Quando o ensino de Matemática se dá de forma contextualizada, integrada e relacionada a
outros conhecimentos pode proporcionar o desenvolvimento de competências e habilidades que são
formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do educando. Levando-os a
utilizar linguagens especificas, argumentação, análise, avaliação e generalização, além de conduzi-los a
tomar suas próprias conclusões.
Para melhor compreensão dos nossos objetivos, com relação ao ensino dessa disciplina iremos
comparar dois exemplos de problemas matemáticos. O primeiro seria uma situação encontrada
freqüentemente na mídia como a apresentação de um gráfico de alguns dados relevantes do estudo e o
segundo seria uma figura de parte de um sólido conhecido. Diante de tais problemas, sabemos que a
leitura por si só não é suficiente. É necessário dominar a linguagem de códigos e nomenclaturas
matemáticas, como a interpretação de gráficos. Nos dois casos abordados, temos que, os educandos
precisam de conhecimentos matemáticos específicos para melhor compreensão, porém casos como do
primeiro exemplo, são mais abertos, ou seja, não exigem outras informações além das presentes no
problema. Já casos como o segundo exemplo, são tipicamente disciplinares, ou seja, são necessárias
propriedades que não se encontram no enunciado do problema.
A prática de ensino que utiliza resolução de problemas, oferece ao educando à oportunidade de
pensar por si só, construir estratégias de resolução, relacionar diferentes conhecimentos, argumentar e
analisar sua solução, mas para que isso ocorra, os desafios devem ter sentido, isto é, eles precisam ter uma
relação com o mundo real. Entretanto, os exercícios do tipo “calcule...”, “resolva...” não devem ser
excluídos do processo de ensino, porque eles auxiliam no aprendizado de técnicas e propriedades
matemáticas, apesar de serem insuficientes por não contribuírem no desenvolvimento da autonomia
intelectual do educando e nem na sua relação com o mundo social e profissional.
Para que os conteúdos e as competências sejam trabalhados simultaneamente, é preciso atenção
à maneira como se organizam as atividades, o ambiente escolar, a escolha de materiais didáticos, os
temas, os conteúdos e a metodologia. Sendo a metodologia é um ponto crucial, porque se ela acontecer de
forma fragmentada, com conteúdos sem significados e transmitidos de uma única forma ao educando,
certamente as competências não serão alcançadas.
As Competências em Matemática
Foram estabelecidas pela área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias três
grandes competências a serem seguidas nessa etapa da escolaridade básica. Sabendo-se que sua
organização não é única, além de não ter uma definição universal, elas são qualificações humanas amplas,
múltiplas que não se excluem entre si e são divididas pelos PCN da seguinte forma:
26
Representação e Comunicação – que se constitui no reconhecimento e utilização de símbolos,
códigos e nomenclaturas da linguagem científica na forma oral e escrita; identificação, transformação e
tradução adequada de valores e unidades básicas; leitura e interpretação de diferentes tipos de textos com
informações do âmbito matemático; posicionamento com argumentos consistentes com relação a temas de
ciências e tecnologias.
Investigação e Compreensão – que está relacionado à maneira pelo qual o educando identifica as
variáveis relevantes, fenômenos naturais, regularidades invariantes e transformações de um dado
problema, e com isso estabeleça relações com as informações dispostas e seu conhecimento, para assim
elaborar possíveis estratégias para a resolução do problema.
Contextualização Sócio-cultural – que é uma forma de compreender o conhecimento
matemático que se encontra relacionado à tecnologia e a sociedade ao longo da história, procurando
mostrar sua participação na cultura contemporânea por meio de manifestações artísticas, teatrais ou
musicais, nas construções arquitetônicas ou na publicidade, além de sua utilização efetiva para analisar
situações de seu entorno real.
Temas estruturadores do ensino de Matemática
A proposta dos PCNEM é que o corpo docente junto com a instituição de ensino elabore um
trabalho pedagógico que favoreça o desenvolvimento das competências almejadas. Sendo a escolha de
temas relativos ao conteúdo específico da disciplina, a análise dos recursos de ensino e dos métodos de
abordagem desse conhecimento, a atenção com os tempos de ensino e de aprendizagem e o ambiente são
fatores que compõem o planejamento e fazem parte dessa elaboração.
Explorar conteúdos relativos a diversos temas envolve diferentes formas de pensar em
matemática, diferentes contextos para as suas aplicações, nas quais devem ser levados em consideração à
dosagem das quantidades trabalhadas em cada conteúdo, procurando sempre destacar temas de relevância
científica e cultural.
Um critério, básico e geral, é que os conteúdos ou temas escolhidos devem viabilizar o
desenvolvimento das competências já citadas neste contexto, além de permitir a articulação lógica entre
diferentes áreas do conhecimento, de modo a garantir maior significação para a aprendizagem, a melhor
utilização do tempo disponível e de conduzir o educando a estabeler relações entre os conteúdos.
O conjunto de temas estruturadores desenvolvidos de forma simultânea nas três séries do ensino
médio que possibilitam o desenvolvimento das competências abordadas neste texto são: Álgebra:
Números e Funções; Geometria e Medidas e Análise dos dados. Sendo que cada tema estruturador possui
organização própria com relação a linguagens, conceitos, procedimentos e especialmente objetos de
estudo. São parcelas autônomas que podem ser organizadas dentro do projeto pedagógico de cada
educador ou instituição de ensino, de forma a melhor atender às necessidades do educando.
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Um tema estruturador do ensino é a Análise de Dados que estuda conjuntos finitos de dados, que
são classificados como numéricos ou informações qualitativas. Sua organização pode se dar por meio de
três unidades temáticas: Estatística, Contagem e Probabilidade.
O ensino de matemática nessa etapa da escolaridade deve proporcionar ao educando o
desenvolvimento das competências de contextualização sócio-cultural, isto é, as atividades de ensino
devem estar próximas de situações reais, como: a leitura de informações que circulam na mídia sejam elas
por meio de dados numéricos, gráficos ou tabelas.
A Estatística e a Probabilidade são vistas como conjuntos de idéias e procedimentos que utilizam
a matemática para tratar de problemas reais de diferentes áreas do conhecimento ou como formas
matemáticas de quantificar e interpretar conjuntos de informações que não podem ser quantificadas direta
ou exatamente. Além de possuírem mecanismos para controlar com certa segurança a incerteza e
mobilidade desses dados.
A Contagem é responsável pelo desenvolvimento do raciocínio combinatório, ou seja, a
habilidade de dispor adequadamente um conjunto de dados ou informações para que assim possam ser
contados os casos possíveis. A forma de se ensinar tal conteúdo deve se ater a mostrar que suas fórmulas
são conseqüência da resolução de diversos problemas de natureza combinatória, sendo a resolução de
problemas a melhor forma de se abordar tal conteúdo, pois evita à teorização excessiva e improdutiva.
Admitindo-se que o conteúdo desse bloco já vem sendo trabalhado com o educando nas séries
anteriores, no ensino médio é permitido ultrapassar as etapas iniciais, como de coleta, organização e
representação de informações para passarmos a analisar e refletir sobre seus significados.
Estratégias para a ação
A perspectiva de resolução de problemas é a metodologia adotada pelos PCNEM, que pode ser
entendida como a postura de investigação frente a qualquer situação questionável. Sendo recomendada
sua aplicação para trabalhos coletivos, de modo que ajude no aprimoramento da comunicação oral e na
relação com o outro.
Tal metodologia é pouco aceita pelo corpo docente, sob alegação de que os educandos não sabem
trabalhar em grupos e fazem muito barulho. Porém, temos que esta modalidade de trabalho escolar é
indispensável para o desenvolvimento de várias competências.
A comunicação em matemática é um fator que deve ter destaque. Ela pode ser desenvolvida, por
meio da solicitação de textos, como sínteses a respeito das aulas de matemática realizadas durante um
determinado período escolar, relatórios de atividades ou de projetos.
A Avaliação pode ser pensada como um momento de aprendizado, apesar das suas limitações.
Tendo como sugestão, as seguintes recomendações: pode-se solicitar aos alunos que formulem as
questões da prova com a orientação do professor; outra opção seria a prova com consulta, seja ao livro
texto ou as anotações que o próprio aluno elabore antes da prova, cuja estas anotações podem ser
construídas mediante informações do professor.
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Para que os objetivos propostos pelo PCNEM se tornem viáveis para o sistema de ensino básico
brasileiro, é necessário um projeto político pedagógico que conduza a realização das competências eleitas,
além de promover a articulação dos conteúdos entre si.
Para alcançarmos as competências almejadas nesse contexto, devemos nos remeter à maneira
pelo qual o trabalho escolar está se desenvolvendo, de forma que se as atividades propostas aos educando
não forem contextualizadas de modo a transmitir significado, ou, se lhes for negado o direito de
questionar e opinar durantes a prática de ensino, provavelmente as competências relativas à
contextualização sócio-cultural e a da comunicação oral não serão alcançadas. Desse modo para que os
alunos adquiram a formação sugerida pelos PCNEM, é preciso se preocupar com a organização do ensino
e a articulação dos conteúdos.
Bibliografia:
1. Secretária da Educação Básica e Ministério da Educação; Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias (Orientações Curriculares para o Ensino Médio) Volume
2, 135p. 2006.
2. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática; Ensino de quinta a oitava série; 1998
148 p.
3. PCN+ Ensino Médio (Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais), Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. 144p.
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ANEXO 2
Prezado estudante,
Esta pesquisa é parte do projeto Avaliação do Conhecimento de Estatística dos Formandos em
Licenciatura do IME desenvolvido no Departamento de Estatística. As informações estão dividas em duaspartes Questionário e Teste, com 6 perguntas e 20 questões de múltipla escolha, respectivamente. A pesquisaleva ao redor de 35 minutos para ser completada. Informamos que os resultados serão avaliados conjuntamente e não individualmente e pedimos quecolabore respondendo todas as perguntas e questões. Para responder não é necessário identificar-se mas, sedesejar, podemos informar seu desempenho (indique seu e-mail no final das questões). Muito obrigado.
Professor Marcos N. Magalhães ([email protected])Coordenador do Projeto- Novembro/2008
Questionário
1. Você já leu os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemática? Sim ( )
Não ( )
2. Você leciona ou já lecionou em classes do Ensino Fundamental ou Médio? Sim ( )
Não ( )
Caso sua resposta seja afirmativa, cite alguns pontos positivos e negativos dessa experiência:
Positivos: ______________________________________________________________________
Negativos: ______________________________________________________________________
3. Após sua formatura no curso de Licenciatura em Matemática, o que pretende fazer profissionalmente? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
4. Sobre o curso de Licenciatura em Matemática do IME:
No que o curso te ajudou profissionalmente? __________________________________________a.
________________________________________________________________________________
Quais os principais problemas do curso? _____________________________________________b.
________________________________________________________________________________
c. Dê sua opinão sobre as disciplinas de Estatística do curso: _______________________________ ________________________________________________________________________________
5. Na sua opinião, os tópicos de estatística e de probabilidade são conteúdos importantes para o EnsinoFundamental e para o Ensino Médio? Por quê?
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
6. Comente sobre sua preparação para ensinar, caso necessário, tópicos de Estatística para estudantes doEnsino Fundamental e do Ensino Médio: ___________________________________________________
________________________________________________________________________________
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Teste
1. Dados dois eventos e tais que com . Então:E F TÐFlEÑ œ TÐFÑ T ÐEÑ !
( ) E F e são eventos mutuamente exclusivos.
( ) O evento B é independente do evento A.
2. Cinco crianças de um colégio foram selecionadas ao acaso e suas idades são: 6, 7, 7, 11, 12 . Daqui a dezanos, o que ocorrerá com a média e o desvio padrão desse conjunto?
( ) A média se alterará, mas o desvio padrão continuará o mesmo.
( ) Ambos os valores se alterarão.
3. Um remédio tem 0,8 de probabilidade de curar uma certa doença. Considere que escolhemos, ao acaso ede forma independente, 20 doentes para tomar o remédio. Seja o número de doentes que ficaram\curados, então:
( ) \ será uma variável aleatória Bernoulli.
( ) \ será uma variável aleatória Binomial.
( ) \ não será variável aleatória.
4. Duas amostras, com observações diferentes, podem resultar em um mesmo valor demédia amostral?
5. Dado o conjunto de valores: 5, 5, 5, 5, 5. Então, calculando seu desvio padrão obtemos:
Sim ( )
Não ( )
&
&
!
( )
( )
( )
È
Enunciado referente às Questões 6 a 8. As medidas da taxa de hemoglobina no sangue, em gramas/cm , de$
uma amostra de operários da construção civil, são apresentadas no histograma a seguir:
171514131211
0,3
0,2
0,1
0,0
hemoglobinahemoglobina
Densidade de Freqüência
0,25
0,15
0,05
15%
30%
25%
20%
10%
Então:
6. A mediana está na faixa de 13 a 14?
7. Pode ocorrer que 5% das observaçõesda amostra tenham taxa acima de 16?
8. Para esses operários a taxa média dehemoglobina é, certamente, inferior a 14?
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
32
9. A variável aleatória (média amostral) não altera sua variabilidade à medida que o\
tamanho da amostra aumenta.
10. Um supermercado acredita que 70% de seus clientes aprovam seus serviços.Seleciona-se, ao acaso, 10 clientes durante um dia qualquer. Então, a probabilidadede obter 7 clientes que aprovam o serviço é 0,7 .(
11. Em um teste de hipóteses para a média populacional, temos como Região CríticaÖB − À B #&×e . Então, se a média amostral for 22, não rejeitaremos a hipótesenula.
Sim ( )
Não ( )
Não sei ( )
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
12. O gráfico abaixo mostra o comportamento de duas distribuições Normais.
403020100
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
Densidade
X
Y
Assinale a afirmação correta:
( ) A média e o desvio padrão de são maiores que os de .\ ]
( ) A média e o desvio padrão de são menores que os de .\ ]
( ) A média de é menor mas os desvios padrões são iguais, pois são distribuições Normais.\
13. Para se deslocar de casa para a escola um estudante gasta em média R$ 20 por dia. Escolhendo um dia aoacaso, marque a afirmação correta referente ao gasto de transporte desse estudante:
( ) A probabilidade de gastar mais é igual a de gastar menos de R$ 20.
( ) Ele tem maior probabilidade de gastar exatamente R$ 20.
( ) Não temos informação sobre a probabilidade de gastar R$ 20.
14. Com uma amostra de tamanho 30, um grupo de biólogos obteve [3,2 ; 4,6] para Intervalo de Confiançade 95% da vida média de borboletas (em meses). É correto afirmar que:
( ) O valor da vida média das borboletas não se encontra no intervalo acima pois o tamanho daamostra é pequeno.
( ) O valor da vida média das borboletas pode estar, ou não, no intervalo acima que tem confiançade 95%.
( ) Com probabilidade de 95%, a vida média das borboletas se encontra no intervalo acima.
33
Enunciado referente às Questões 15 a 17. Para estudantes de um certo colégio, a tabela abaixo apresenta apreferência por tipo de filme segundo o sexo. Um estudante é escolhido ao acaso nessa escola, então:
Tipo de FilmeSexo Policial Comédia Drama Total
Masculino 48 32 10 90Feminino 22 38 50 110
Total 70 70 60 200
15. A probabilidade do estudante escolhido preferir filme policial e ser do sexo femininoé de 1/5?
16. A probabilidade do estudante não ser do sexo masculino e nem preferir drama é de3/10?
17. A probabilidade do estudante escolhido preferir drama, sabendo que é do sexomasculino é de 1/20?
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
Enunciado referente às Questões 18 e 19 Nota. O diagrama abaixo indica a (de 0 a 10) de estudantes emum teste.
MeninosMeninas
10
8
6
4
2
0
18. A variabilidade das notas das meninas émenor do que a variabilidade das notasdos meninos?
19. Há evidências de que 25% dos meninos e50% das meninas têm notas abaixo de 6?
Sim ( )
Não ( )
Sim ( )
Não ( )
20. Um pesquisador construiu um intervalo de confiança para a proporção dedoenças provocadas pela poluição do ar. Caso, ele pretenda construir um novointervalo de confiança com mesma confiança mas tamanho de amostra maior,o que acontecerá com a amplitude do intervalo?
Aumenta ( )
Diminui ( )
Não sei ( )
Atenção:
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