Regra da Cadeia

Lembremos que a regra da cadeia para função de uma única variável nos dava uma

regra para diferenciar uma função composta: Se y = f(x) e x = g(t), onde f e g são funções

diferenciáveis, então y é, indiretamente, uma função diferenciável de t e

dt

dx.

dx

dy

dt

dy

Para funções de mais do que uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões,

cada uma delas fornecendo uma regra de diferenciação de uma funções composta.

Regra da Cadeia (Caso 1)

Suponha que z = f (x,y) seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de

primeira ordem contínuas, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z

é uma função diferenciável de t e

dt

dy.

y

f

dt

dx.

x

f

dt

dz

Como freqüentemente escrevemos z/ x no lugar de f/ x, podemos reecrever a

Regra da Cadeia na forma:

dt

dy.

y

z

dt

dx.

x

z

dt

dz

Exemplo 1: Se z = x2y +3xy

4, onde x = sen 2t e y = cos t, determine dz/dt quando t = 0

Solução: Da regra da cadeia vem:

dt

dy.

y

z

dt

dx.

x

z

dt

dz = (2xy + 3y

4) (2cos 2t) + (x

2 + 12xy

3) (– sen t)

Não é necessário substituir as expressões de x e y em função de t.

Observe que, quando t = 0, temos x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Portanto,

0tdt

dz (0 + 3) (2cos 0) + (0 + 0) (– sen 0) = 6

Fig. 1

Esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variação de z com relação a t

quando o ponto (x,y) se move ao longo da curva C com equações paramétricas

x = sen 2t e y = cos t. (Veja fig. 1). Em particular, quando t = 0, o ponto (x,y) é

(0,1), e dz/dt = 6. Se, por exemplo, z = T(x,y) = x2y + 3xy

4 representa a

temperatura no ponto (x,y), então a função composta T( sen 2t , cos t) representa

a temperatura dos pontos da curva C, e sua derivada dz/dt representa a taxa de

variação de temperatura ao longo da curva C

Exemplo 2: A pressão P (em quilopascals), o volume V ( em litros) e a temperatura T (em

kelvins) de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula

PV = 8,31T. Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é

de 300 K e está aumentando com a taxa de variação de 0,1 K/s e o volume é de

100 L e está aumentando com a taxa de 0,2 L/s.

Solução: Se t representa o tempo decorrido, medido em segundos, então, a um dado

instante t, temos T = 300, dT/dt = 0,1, V = 100 e dV/dt = 0,2.

Como P = 8,31 T/V, pela regra da cadeia:

04155.0)2,0(100

)300(31,8)1,0(

100

31,8

dt

dV

V

T31,8

dt

dT

V

31,8

dt

dV.

V

P

dt

dT.

T

P

dt

dP

2

2

A pressão está decrescendo com a taxa de 0,042 kPa/s

Regra da Cadeia (Caso 2)

Suponha que z = f (x,y) seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de

primeira ordem contínuas, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) também tenham derivadas parciais de

primeira ordem contínuas. Então

t

y.

y

z

t

x.

x

z

t

ze

s

y.

y

z

s

x.

x

z

s

z

Exemplo 3: Se z = exsen y, onde x = st

2 e y = s

2t, determine z/ s e z/ t.

Solução: Aplicando o caso 2 da regra da cadeia, temos:

s

y.

y

f

s

x.

x

f

s

z = (e

xsen y) (t

2) + (e

xcos y) (2st)

= t2 2ste sen (s

2t) + 2st

2ste cos (s2t)

t

y.

y

f

t

x.

x

f

t

z = (e

xsen y) (2st) + (e

xcos y) (s

2)

= 2st2ste sen (s

2t) + s

2 2ste cos (s2t)

O Caso 2 da regra da cadeia contém três tipos de variáveis: s e t, que são variáveis

independentes; x e y, chamadas variáveis intermediárias; e z, que é a variável

dependente.

Para lembrar da regra da cadeia, é útil desenhar o grafo da árvore:

Desenhamos os ramos da árvore saindo da

variável dependente z para as variáveis

intermediárias x e y, a fim de indicar que z é uma

função de x e y. Então, desenhamos os ramos

saindo de x e y para as variáveis independentes s e

t. Em cada ramos, indicamos a derivada parcial

correspondente. Para achar z/ s, determinamos o

produto das derivadas parciais ao longo de cada

caminho de z a s e somamos esses produtos. Da

mesma forma, para determinar z/ t, usamos os

caminhos de z a t.

Regra da Cadeia (Caso Geral)

Suponha que u = f (x1,x2,x3,...,xn) tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e

que xj = g(t1,t2,t3,...,tm) também tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, para

cada j = 1,2,3,...,n. Então

i

n

ni

2

2i

1

1i t

x.

x

u...

t

x.

x

u

t

x.

x

u

t

u

para cada i = 1, 2, 3,...,m.

Exemplo 4: Escreva a regra da cadeia para o caso em que w = f (x,y,z,t) com x = x (u,v),

y = y(u,v), z = z(u,v) e t = t(u,v).

Solução: Aplicamos o caso geral com n = 4 e m = 2. A figura

ao lado mostra o grafo correspondente. Apesar de

não estarem escritas nos ramos as derivadas,

entende-se que, num ramo que liga as folhas y e u,

a derivada parcial omitida é y/ u. Com ajuda do

grafo da árvore, podemos escrever as expressões

pedidas:

v

t.

t

w

v

z.

z

w

v

y.

y

w

v

x.

x

w

v

w

u

t.

t

w

u

z.

z

w

u

y.

y

w

u

x.

x

w

u

w

z

z/ x z/ y

x y

x/ s x/ t y/ s t/ t

s t s t

w

x y z t

u v u v u v u v

Exemplo 5: Se u = x4y + y

2z

3, onde x = rse

t, y = rs

2e–t

e z = r2s sen t, determine o valor de

u/ s quando r = 2, s = 1 e t = 0.

Solução: Com o auxílio do grafo da árvore, obtemos:

s

z.

z

u

s

y.

y

u

s

x.

x

u

s

u =

= (4x3y) (re

t) + (x

4 + 2yz

3) (2rse

–t) + (3y

2z

2) (r

2sen t)

Quando r = 2, s = 1 e t = 0, temos x = 2, y = 2 e z = 0.

Portanto:

s

u = (64) (2) + (16) (4) + (0) (0) = 192

Exemplo 6: Mostre que g(s,t) = f (s2 – t

2, t

2 – s

2) satisfaz a equação 0

t

gs

s

gt .

Solução: Seja x = s2 – t

2 e y = t

2 – s

2. Então g (s,t) = f (x,y), e a regra da cadeia nos fornece

)t2(y

f)t2(

x

f

t

y.

y

f

t

x.

x

f

t

g

)s2(y

f)s2(

x

f

s

y.

y

f

s

x.

x

f

s

g

Portanto: 0y

fst2

x

fst2

y

fst2

x

fst2

t

gs

s

gt

u

x y z

r s t r s t r s t