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Reginaldo Alexandre Da Silva

VERSÃO REVISADA

USP – São CarlosMarço de 2017

Ficha catalográ ca elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/ USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Da Silva, Reginaldo Alexandre

D229c Caleidociclos / Reginaldo Alexandre Da Silva;

orientador Sérgio Luís Zani. – São Carlos – SP,

2017.

113 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-graduação

em Mestrado Profissional em Matemática em Rede

Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de

Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

1. Caleidociclo. 2. Simetria axial. 3. Simetria

rotacional. 4. Polígonos. 5. Poliedros. 6. Teorema

de Pitágoras. 7. Aplicação da lei dos cossenos.

8. Aplicação da relação fundamental da trigonometria.

I. Zani, Sérgio Luís, orient. II. Título.

Reginaldo Alexandre Da Silva

FINAL VERSION

USP – São CarlosMarch 2017

Dedico este trabalho à todosos meus professores,

desdeo meu primeiro ano escolar atéos atuais,

semelesmuito do queconquistei não seria possível.

AGRADECIM ENTOS

Agradeço primeiramenteàminha esposaAnaMaria, quemedeu muito apoio, principal-

mentenosdeveresdacasa, medando mais tempo paraosestudos; eminhafilhaSofiaquemuitas

vezes tevequeentender que apouca atenção que teve nesse período foi para queeu pudesseme

empenhar mais nesse trabalho.

Também agradeço aos meusamigos de turmado PROFMAT, afinal foram muitas horas

estudando juntosnas aulas regulares, nas dúvidasvia internet, nassemanas intensivasdeestudo

na USP, nos debatesacalorados, até mesmo sem salas de estudos.

Por fim, agradeçoao ICMC pelapossibilidadedeconcluir estetrabalhodaredePROFMAT

nesta unidade.

“ Viver e não ter a vergonha de ser feliz,

Cantar (e cantar e cantar),

A beleza de ser um eterno aprendiz”

(Gonzaguinha)

RESUM O

DA SILVA, R. A.. Caleidociclos. 2017. 113 f. Dissertação (Mestrado em Ciências– Programade Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação(ICMC/USP), São Carlos– SP.

Os caleidociclos têm sido utilizados como formaartísticade apresentação de imagens, pinturas

ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os

mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas

da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações

no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as

possibilidadesde aplicaçõesde conceitos, teoremaserelaçõesmatemáticasestudadasno ensino

básico, o presente trabalho apresentaalgumaspropostasdeatividadesutilizando oscaleidociclos.

As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o

ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e

relação fundamental da trigonometria paraa 1a série e volume e áreade superfície desólidos

geométricospara2a sériedo Ensino Médio; algumas daspropostas apresentam variações parase

adequar ao nível de desenvolvimento em quea turmaseencontra. Todososmoldesutilizados e

outraspossibilidadesdecaleidociclos, incluindo sólidosencaixantesaoscaleidociclos, foram

organizados ao final deste trabalho em um dosapêndices. Há também um apêndice com outros

tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de

aplicação diferenciadadageometriaespacial.

Palavras-chave: Caleidociclo, Simetria axial, Simetria rotacional, Polígonos, Poliedros, Te-

orema de Pitágoras, Aplicação da lei dos cossenos, Aplicação da relação fundamental da

trigonometria.

ABSTRACT

DA SILVA, R. A.. Caleidociclos. 2017. 113 f. Dissertação (Mestrado em Ciências– Programade Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de CiênciasMatemáticase deComputação(ICMC/USP), São Carlos– SP.

Kaleidocycleshavebeen used asan artistic form of presentation of pictures, paintingsor apart of

artworks, especially imageswith symmetries; perhaps thebest known worksare M. C. Escher’s.

The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings

give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom.

In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical

relations, thepresent work proposessome activitiesdealing with kaleidocycles. Theproposals

wereprepared in accordancewith the student’s level of education, i.e., symmetries for the7th

grade, thePythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosinesand the fundamental

relation of trigonometry, volume and surface areaof geometric solids for high school students;

some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is

at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into

kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There

is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same

purpose in different applications of spatial geometry.

Key-words: Kaleidocycles, Symmetry of reflection, Rotational symmetry, Polygon, Polyhedron,

Pythagorean theorem, Application of the law of cosines, Application of the fundamental relation

of trigonometry.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Simetrias na Natureza e nas Construções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 2 – Pontos na reta e fora dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 3 – Eixo de SimetriaAxial e Espelhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 4 – Rotação θ de P a partir de O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 5 – Simetrias Rotacionais do ponto P a partir de O com ângulo θ . . . . . . . . 30

Figura 6 – Simetria Rotacional de 60∘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 7 – Exemplosde polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 8 – Exemplosde polígonossimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 9 – Região interna eângulo interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 10 – Polígonos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 11 – Polígono Convexo e Não-Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 12 – Região Poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 13 – Exemplosde Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 14 – Poliedros convexo e não-convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 15 – Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 16 – Caleidociclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 17 – Caleidociclosfechadosvariadoscom imagensaxial erotacionalmentesimétricas 38

Figura 18 – Exemplo de caleidociclo com seis tetraedrosnão-regulares . . . . . . . . . 38

Figura 19 – Caleidociclo regular deoito tetraedros regulares ecaleidociclo não-regular

de oito tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 20 – Caleidociclo regular de dez tetraedros regulares localizado no espaço . . . . 39

Figura 21 – Caleidociclo deoito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 22 – Oito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 23 – Secção transversal do caleidociclo de oito tetraedros regulares . . . . . . . . 42

Figura 24 – Tentativa de caleidociclo fechado com tetraedros regulares . . . . . . . . . 42

Figura 25 – Corte transversal da tentativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 26 – Hexágono do Corte Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 27 – Caleidociclo fechado com oito tetraedrosnão-regulares . . . . . . . . . . . 44

Figura 28 – Caleidociclo fechado com dez tetraedros não-regulares . . . . . . . . . . . 45

Figura 29 – Sequência da construção da reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 30 – Trabalhosde Simetria Axial em papel A3 realizados por alunos de 7o ano . 49

Figura 31 – Exemplospara criar simetria rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 32 – Simetria Rotacional com e sem Simetria Axial . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 33 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 34 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 35 – Planificação com oito tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 36 – Triângulo isóscelesdebase a e altura l / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 37 – Planificação do caleidociclo fechado com 12 tetraedros (base hexagonal) . . 64

Figura 38 – Sequência da construção da malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 39 – Notações para o triângulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 40 – Metade do triângulo isósceles da Figura 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 41 – Triângulo Isósceles daMalha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 42 – Triângulo Isósceles base para malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 43 – Milagre Shinsei e seuscaleidociclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 44 – Medidas do tetraedro a partir do cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 45 – Planificação de dois tetraedros do Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 46 – Planificação de metade do caleidociclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 47 – Cubo invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 48 – Cubo invertível e suasmedidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 49 – Planificação de metade do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 50 – Os dois caleidociclosdo Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 51 – Milagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 52 – Milagre Shinsei Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 53 – Poliedro com “buraco” interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 54 – Quatro posições com forma de triângulo equiláteros . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 55 – O caleidociclo lembrando um cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 56 – Caleidociclo de SeisTetraedroscom Desenhos . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Figura 57 – Caleidociclo de SeisTetraedrossem Desenhos . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Figura 58 – Caleidociclo Fechado com 12 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Figura 59 – Caleidociclo Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Figura 60 – Raio Do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Figura 61 – Terça Parte do Caleidociclo Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura 62 – Terça Parte do Raio do Cubo Invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 63 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - Metade do Molde . . . . . . . . . . . . . 95

Figura 64 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - Molde com dois tetraedros . . . . . . . . 96

Figura 65 – Caleidociclo Milagrede Shinsei - 4 Moldes com dois tetraedros . . . . . . . 97

Figura 66 – Caleidociclo de 8 Tetraedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 67 – Metade do Caleidociclo de 8 TetraedrosRegulares - Parte 1 . . . . . . . . . 99

Figura 68 – Metade do Caleidociclo de 8 TetraedrosRegulares - Parte 2 . . . . . . . . . 100

Figura 69 – Caleidociclo Fechado de 8 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Figura 70 – Caleidociclo Fechado de 10 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Figura 71 – Cilindro alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Figura 72 – Molde do cilindro alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Figura 73 – Cilindro baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Figura 74 – Modelo do cilindro baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Figura 75 – HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Figura 76 – Molde pequeno do HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Figura 77 – Molde grande do HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

SUM ÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: SIM ETRIAS E OBJETOS GEO-

M ÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Simet ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Simet ria Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.2 Simet ria Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 CALEIDOCICLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Caleidociclos com Tet raedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Caleidociclos Fechados (Tet raedros Não-Regulares) . . . . . . . . . . 42

4 ENSINO DE SIM ETRIAS POR M EIO DOS CALEIDOCICLOS . . . 47

4.1 Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Simet ria axial: proposta de at ividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.2 Simet ria rotacional: proposta de at ividade . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Proposta de At ividade: simet ria com o caleidociclo . . . . . . . . . . 53

5 TEOREM A DE PITÁGORAS, LEI DOS COSSENOS E RELAÇÃO

FUNDAM ENTAL DA TRIGONOM ETRIA: APLICAÇÕES NA CONS-

TRUÇÃO DO CALEIDOCICLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Caleidociclo com Tet raedro Regular: altura de face . . . . . . . . . . 59

5.2 Caleidociclo fechado e as relações das medidas . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Propostas de At ividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1 Ensino Fundamental: 8o e 9o anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.2 Ensino M édio: 1a série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 CALEIDOCICLO: VOLUM E E ÁREA DE SUPERFÍCIE . . . . . . . 71

6.1 O M ilagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Cubo Invert ível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3 Propostas de At ividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 O M ilagre Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.2 Cubo Invert ível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . 83

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

APÊNDICE A M OLDES DOS CALEIDOCICLOS . . . . . . . . . . . 87

APÊNDICE B SÓLIDOS LOUCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B.1 Cilindro Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B.2 Cilindro Baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B.3 HyperQBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

21

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

Nosúltimosanos tem-se falado muito no fracasso do ensino damatemática. No último

relatório divulgado do PISA (Programa para Avaliação Internacional de Estudantes) de 2012, o

Brasil atingiu uma pontuação média de 391,5 em matemática, ficando classificado em nível 1, o

mais baixo da escala de proficiência que vai até nível 6.

Vitti (1999, p. 19) afirma que:

O fracasso do ensino de matemáticae as dificuldades que os alunos apresentamem relação a essa disciplina não são um fato novo, poisvárioseducadores jáelencaram elementos que contribuem para que o ensino da matemática sejaassinalado mais por fracassos do que por sucessos.

Esse fracasso, tem alimentado muitas pesquisas sobre os motivos e também, sobre

possibilidades de mudanças dessa situação. Vitti (1999, p. 32) lembra alguns fatores:

A matemática carrega o estigmadeser consideradauma disciplina chata, difí-cil e abstrata. Muitos pais procuram consolar seus filhos quando revelam quetambém tinham dificuldadesem aprender matemática, ou até mesmo queesco-lheram umaáreaparasua formação profissional quenão utilizassematemática.

É muito comum ouvirmoscotidianamentecomentáriosafirmando queaMatemáticaé

chata, inclusivepor colegas professores de outrasáreas. Nas reuniõesde paise mestres, quando

fala o professor de matemática, sempre surge comentários sobre como a disciplina é difícil e

como os pais sempre tiveram dificuldadesnessaárea, ou ainda, duranteconversasparticulares

com paisealunos, ospaiscomentam queconsolam osfilhos falando dadificuldadedadisciplina,

como se isso fosse uma ajuda para o aluno superar as dificuldades, quando na verdade estão

dando motivos para que se conformem com as dificuldadesque apresentam.

Deacordo com Johnson eRising (1972 apud VITTI, 1999, p. 32) “muitaspessoas têm

orgulho em manifestar ignorância em matemática. Poucos adultos admitem que foram fracos

22 Capítulo 1. Introdução

estudantes dehistória mas muitos pais de alunos enunciam o fato dequeeles nunca entenderam

matemática.”

Outros fatores que também são citados na literatura a respeito do fracasso na aprendi-

zagem matemática é, em algunscasos, causadospelos professoresqueutilizam amatemática

como algo punitivo. Vitti (1999, p. 19) ilustra com um exemplo:

Muitos alunos trazem consigo lembranças terríveis de fatosocorridos nas aulasde matemática, como o relatado por uma aluna, cujo professor, na tentativa demanter a disciplina nasala de aula, obrigou-a a fazer 50 cópias da tabuada do 2ao 9. Quem poderá sentir algum prazer em aprender algo que é colocado emformade castigo, depunição, por estar conversando em umaaula?

Diante dessa realidade e com a sugestão apresentada pelo PROFMAT, escolhemos

trabalhar com a elaboração depropostasdeatividadesque apresentem curiosidadesaos alunos

ea partir delas, discutam a matemáticaenvolvidadevárias formas, sejacomo arte, descrição,

classificação, construção, adaptação, definição, etc.

D’Ambrosio (2001, p. 31), quando fala sobre a natureza da matemática e seu ensino,

afirma:

É muito difícil motivar com fatosesituaçõesdo mundo atual uma ciência quefoi criada e desenvolvida em outros tempos em virtude dosproblemasde então,deumarealidade, depercepções, necessidadeseurgênciasquenossão estranha.Do ponto de vistade motivação contextualizada, a matemática que se ensinahoje nas escolas é morta. Poderiaser tratada como um fato histórico.

Entendemos que quando D’Ambrósio diz que amatemáticaensinadanas escola émorta,

do ponto devistade motivação contextualizada, ele se refereao tipo deestímulo que osalunos

são expostos para encontrar significação no estudo. Esse fato pode estar relacionado com

metodologias de ensino em que são apresentados apenas os estímulos históricos da época e

nenhum estímulo atual.

Utilizando o caleidociclo, podemos estimular o aluno a utilizar habilidades matemáticas

já interiorizadaspor elese também desenvolver habilidadesecompetências novas. Ao sedeparar

com umacuriosidade, o aluno despertaavontadedeentender o funcionamento danovidade, e

essa vontadeé urgente, não pode ser para depois. Isso abrea janela para interiorizar habilidades

matemáticasnovas.

Deacordocom Moysés(2006, p. 23-24), Vygotsky modificouarelaçãoestímulo-resposta

daépoca dele, introduzindo um novo elemento quechamou de signo – instrumento psicológico

por excelência– que mediatizavaa relação do estímulo com o estímulo associado.

Moysés (2006, p. 25) ainda exemplifica essa relação citando o hábito de culturas primiti-

vas em fazer marcas nos troncos de árvores e pedras para registrar o número de caças. Nessa

situação, ascaçassão osestímulos, aquantidadedecaças éo estímulo associado (respostaao

23

estímulo) e as marcações são os signos, ou seja, o instrumento mediador para se lembrar da

associação entreas caças eaquantidadedecaças.

Nessesentido, ao falarmosqueprecisamosestimular nossosalunosao estudo matemático,

falamosdeapresentar um estímulo, queno caso desse trabalho, éo caleidociclo. Entendemos

a linguagem matemática como o signo que Vygosty nos apresentou, pois é ela o instrumento

demediatização entreosestímulosvivenciadosno cotidiano com o estímulo associado queéa

abstração. Assim, entendemos a importânciadeapresentar um estímulo semprequepossível nas

aulas de matemática, paraqueo signo seja interiorizado e façasentido nasua realidade.

Borin (2007, p. 9) motivaa introdução de jogosnasaulas dematemáticacomo:

[· · · ] apossibilidadedediminuir osbloqueiosapresentadospor muitosdenossosalunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.Dentro dasituação dejogo, ondeéimpossível umaatitudepassivaeamotivaçãoégrande, notamosque, ao mesmo tempo em queestesalunosfalam matemática,apresentam também um melhor desempenho e atitudesmais positivas frente aseus processos deaprendizagem.

Apesar do caleidociclo não se tratar deum jogo, elecontém a ideia do trabalho matemá-

tico de forma lúdicaassim como no jogo. O caleidociclo também tem achancededesbloquear a

relação do aluno com a matemática ede motivar a interação com ela. Algumas das propostas

apresentadas nesse trabalho também levam em consideração opções de trabalho em conjunto,

dando a oportunidadededesenvolvimento coletivo/social matemático.

Duval (1972 apud BRASIL, 1977, p. 2) alertaque:

Muitas vezes, invoca-se Piaget para afirmar que o domínio excelente da lingua-gem éextrínseco àaprendizagem damatemática. O fato éverdadeiro, namedidaem que Piaget mostrou que a lógica se desenvolve a partir da ação e, portanto,que asmanipulações dosobjetosdevem ter aprioridadesobreo manejo verbal(das operações). Não sedevecansar de repetir isto sempre. Mas, não sedeveesquecer que isso vale, essencialmente, parao estádio das operaçõesconcretas(7 a 11 anos).

Assim, éessencial o uso decuriosidades, jogos, brinquedos eobjetosnosanos iniciais

e na transição para os anos finais do Ensino Fundamental, sempre mediando e estimulando a

generalização das ideias e auxiliando em uma possível formalização. Porém, de acordo com

FraisseePiaget ([19 - - ?] apud BRASIL, 1977, p. 3):

Lá pelos 11/12 anos, com um patamar de equilíbrio aos 14/15 anos, inicia-se uma última fase de construção das operações próprias da infância e daadolescência. Seu caráter mais evidente é queo sujeito não fica mais obrigadoa raciocinar diretamente, apenas, sobre objetos concretos ou suasmanipulações(operaçõesdeclasse, de relações, denúmerose operaçõesespácio-temporais),masdetornar-secapaz dededuzir, operatoriamente, apartir desimpleshipótesesenumeradas verbalmente (lógica das proposições). Como consequência disto, aforma destasnovas estruturas operatóriasdissociam-se de seu conteúdo, dondeapossibilidadede um raciocínio hipotético-dedutivo ou formal.

24 Capítulo 1. Introdução

Com isso, lembramos da importância de, no Ensino Médio, frizarmos a formalização

teórica e utilizar questões paralelas com hipóteses para estimular a abstração e não apenas se

prenderem amanipulação doscaleidociclos, como estão presentesnaspropostasdeatividades

paraestepúblico. Isso não quer dizer quenão há importânciano uso dosobjetos, masquepodem

ser exploradas outras situaçõesabstratas apartir deles.

Por tudo isso équenosmotivamosadesenvolver eapresentar sugestões desequências

didáticascom caleidociclos paraaplicação em algunsdosanos finaisdo Ensino Fundamental

e também da possibilidade do desenvolvimento de atividades para trabalhar habilidades e

competências desejadasparao Ensino Médio.

A simetria é um dos assuntos previstos no Currículo de Matemática das escolas públicas

do Estado de São Paulo para o 7o ano do Ensino Fundamental com o objetivo de identificar

simetrias por meio da leitura; comparar e interpretar imagens simétricas; reconhecer padrões

geométricosem diferentes imagens como formade desenvolver umamelhor apreciação estética

das linguagens do desenho, pintura, arquiteturaetc.

O teorema de Pitágoras está previsto no Currículo para o final do 8o ano e retomada

no 9o ano. Nessa retomada no 9o ano, recomenda-se trabalhar aplicações do teorema para

desenvolver ahabilidadede reconhecer autilização do teoremaem problemas. Assim, o trabalho

com caleidociclos com centro fechado podeser utilizado paraessefim.

A relação fundamental da trigonometria e a lei dos cossenos estão previstas para a 1a

série do Ensino Médio com objetivo de desenvolver habilidades que possibilitem aos alunos

enfrentar situações-problemaenvolvendo as razões trigonométricasem diferentescontextose

generalizar o Teorema de Pitágoras com a Lei dos Cossenos. Nesse contexto, o cálculo das

medidasnecessáriasparaumaplanificação deum caleidociclo de centro fechado contribui para

perceber autilização tanto da relação fundamental da trigonometriacomo da lei dos cossenos.

Na 2a série do Ensino Médio, o Currículo prevê o desenvolvimento de habilidades

relacionadas à geometria espacial como reconhecer e nomear prismas; relacionar elementos

geométricosealgébricos; sintetizar egeneralizar fatosobtidosdeformasconcretas. Nesseaspecto

os caleidociclos podem ajudar no que se refere ao cálculo de volumes e áreas de superfícies,

inclusiveproporcionando demonstrações de razões de volumes em relação a prismas e também

devolumes constantes quando aáreadesuperfícievaria.

Dessemodo, organizamosadissertação daseguinte forma:

∙ Capítulo 1: Introdução com visão global damatemática, embasamento eespecificação do

problema com asugestão depossibilidadedesolução

∙ Capítulo 2: Conceitosdesimetriaaxial e rotacional e conceitos depolígonos epoliedros.

∙ Capítulo 3: Definição decaleidociclos, exemplos eclassificação.

25

∙ Capítulo 4: Simetrias axial e rotacional com caleidociclos.

∙ Capítulo 5: TeoremadePitágoras, lei doscossenose relação fundamental da trigonometria

com aplicaçõesnaconstrução decaleidociclos decentro aberto e fechado.

∙ Capítulo 6: Volume eáreadesuperfíciedecaleidociclosesua relação com prismas.

∙ Capítulo 7: Conclusão econsiderações finais.

Temos também doisApêndices, o primeiro com moldesdecaleidocicloscitadosneste

trabalho e o segundo com apresentação deoutros trêssólidosmóveisquepodem contribuir com

o desenvolvimento das habilidades ecompetênciasmatemáticascomo os caleidociclos.

Esperamosassim, que essetrabalho venha contribuir no estudo geométrico ealgébrico

de forma diferenciada, mas relacionadadiretamente com oselementos formaisdo estudo dessas

áreas matemáticas.

Por fim, esclarecemosquepara aconstrução de muitasdasfiguraselaboradaspelo autor

foram usadosossoftwares livreGeoGebra 5.0 eGIMPeas imagensdecaleidociclossão fotos

tiradas decaleidociclos construídos e fotografadospelo autor.

27

CAPÍTULO

2CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: SIM ETRIAS

E OBJETOS GEOM ÉTRICOS

Nestecapítulo iremosenunciar conceitosmatemáticosqueserão utilizadosparaabordar

o assunto principal deste trabalho. Caso o leitor jáesteja familiarizado com taisconceitos, poderá

seguir parao capítulo 3 onde iniciaremos adefinição e características dos caleidociclos.

2.1 Simet ria

A ideiadesimetriageralmenteé relacionada com Artee Naturezamais do que com a

Matemática. É natural essa relação já que encontramos simetria facilmente na natureza e de

formaagradável aosolhos.

Figura 1 – Simetrias na Naturezae nas Construções

(a) Rosa dos ventos - Observatório -USP- São Carlos (b) Borboleta

28 Capítulo 2. Conceitos Introdutórios: simetrias e objetos geométricos

(c) Mariposa (d) Flor - Amor Perfeito

Fonte: Elaborada pelo autor.

Vamos utilizar dois tipos principais desimetrianesse trabalho, a simetria axial (ou de

Reflexão) e a rotacional. Para isso, vamosdefini-lase também definir algunsoutroselementos

importantes parao trabalho.

2.1.1 Simet ria Axial

Definição 1. Seja r uma reta no plano Π . A simetria axial em torno da reta r é a função Rr

definidapor

Rr (P) =

(P seP∈ r

P′ seP /∈ r de formaque r sejaamediatriz de PP′,

para todo ponto P∈Π e r échamadaeixo desimetria.

Observeas figuras aseguir

Figura 2 – Pontos na reta e fora dela

(a) P∈ r (b) P /∈ r


2.1. Simetria 29

Definição 2. Uma figura plana se diz ter simetria axial quando podemos traçar uma reta r

dividindo a figura em duas partes de modo que uma das partes é a imagem da outra por uma

simetriaaxial deeixo r.

De maneira menos rigorosa, podemos dizer queuma figurapossui simetriaaxial quando

podemos traçar umareta imaginária (eixo desimetriaaxial) dividindo afiguraem duas partes

em queumadessa partesaparentaser um espelhamento daoutra. Como nafigura:

Figura3 – Eixo de Simetria Axial e Espelhamento

Fonte: Elaboradapelo autor.

2.1.2 Simet ria Rotacional

Definição 3. Seja O um ponto do plano Π . Umarotação a partir deO é uma função Rθ definida

por Rθ (P) = P′ com P um ponto do planoΠ , OP = OP′ , [POP′ = θ . Dizemosentão, queo ponto

P sofreu umarotação θ apartir do ponto O.

Figura4 – Rotação θ deP apartir de O


Definição 4. Seja O e P pontos do plano Π , θ um ângulo divisor de 360∘ e α = k · θ com

k∈ { 1,2, · · · ,360/ θ} , chamamos de simetria rotacional de P a partir de O com rotação θ o


conjunto Sdefinido como

S= { Q∈Π | Rα (P) = Q apartir deO}

e chamamos O decentro desimetria rotacional.

Exemplos de SimetriaRotacional:

Figura 5 – SimetriasRotacionais do ponto P a partir deO com ângulo θ

(a) θ = 22,5∘ (b) θ = 40∘

Definição 5. Umafigura planasediz ter simetria rotacional quando podemosencontrar simetria

rotacional paracadaponto dafiguracom um ângulo θ ecentro desimetria rotacional O fixos.

Demaneiramaisdidática, podemosdizer queem umafigurahásimetria rotacional se,

ao rotacionarmosθ grausapartir deum referencial O, afiguranão aparenta ter sido rotacionada.

Veja:

Figura6 – Simetria Rotacional de 60∘

(a) Original (b) Rotacionada60∘ graus

2.2. Polígonos 31

(c) Ângulo destacado


2.2 Polígonos

Definição 6. Um polígono é uma figura geométrica plana formada por um número finito

de pontos V1,V2,V3, · · · ,Vn(n ≥ 3) e V1 é o consecutivo de Vn e pelos segmentos de reta

V1V2,V2V3,V3V4, · · · ,Vn− 1Vn,VnV1, satisfazendo aseguintepropriedade:

i) Trêsa trêspontos consecutivos não são colineares.

Os pontosV1,V2, · · · ,Vn são chamados vértices do polígono eossegmentosV1V2,V2V3, · · · ,VnV1

são os lados.

Exemplos:

Figura7 – Exemplos de polígonos

(a) Hexágono (b) Pentágono


(c) Quadrilátero


Definição 7. Chamamos depolígono simples todo polígono em quenão haja interseção entreos

lados não consecutivos.

Veja alguns exemplos:

Figura8 – Exemplos de polígonos simples

(a) Hexágono (b) Pentágono


A região do plano limitada e delimitada pelos lados do polígono é chamada região

interna do polígono eo ângulo de cada vérticeque estásobrea região interna échamado ângulo

interno do polígono.

A figura9 ilustraa região internado polígono ABCDE eos ângulos internosα ,β ,γ,δ e

ε.

2.2. Polígonos 33

Figura 9 – Região internae ângulo interno


Definição 8. Um polígono édito polígono regular quando seus lados são congruentes entre si e

seusângulos internos também são congruentesentresi.

Exemplos depolígonos regulares:

Figura 10 – Polígonos Regulares

(a) Quadrado (b) Eneágono


Definição 9. Se toda reta que passa por quaisquer dois vértices consecutivos de um polígono

simples deixa os outros vértices em um mesmo semiplano, dizemos que esse é um polígono

convexo.


Figura 11 – Polígono Convexo e Não-Convexo

(a) Polígono Convexo (b) Polígono Não-Convexo


Definição 10. Uma região poligonal é aunião do polígono com aregião internadeterminada

por ele.

Figura 12 – Região Poligonal

(a) Heptagonal (b) Octogonal


2.3 Poliedros

Definição 11. Um poliedro éumaregião espacial limitadaedelimitada por um número finito de

regiões poligonais, chamadas facesdo poliedro, com as seguintespropriedades:

i) Duas faces se intersectam ou em um vértice, ou em um lado comum, ou não há interseção.

ii) Cada lado de uma faceécomum aexatamenteduas faces.

2.3. Poliedros 35

Figura13 – Exemplos dePoliedros

(a) Hexaedro (b) Pentaedro

(c) Octaedro


Definição 12. Dado um poliedro qualquer, seo plano decada facedeixar as outras faces em um

mesmo semiespaço, dizemosque eleéum poliedro convexo.

Figura 14 – Poliedros convexo enão-convexo

(a) Não-convexo (b) Convexo



Definição 13. Um poliedro convexo édito regular quando suas facessão polígonos regulares

congruentes eseusvérticespossuem o mesmo número de arestasconcorrentes.

Figura 15 – Poliedros Regulares

(a) Tetraedro Regular (b) Cubo

(c) Dodecaedro Regular


37

CAPÍTULO

3CALEIDOCICLOS

Trazemos, nesse capítulo, o significado edefinição de caleidociclo, exemplos e algumas

classificações. Nasseções, detalhamosalgumaspropriedadeserelaçõesmatemáticasencontradas

noscaleidociclosqueserão utilizadas nas propostas de atividades posteriores.

Figura 16 – Caleidociclo


A palavracaleidociclo vem da junção dos termosgregosKálos [bonito] + eîdos [forma]

+ kiklos [ciclo/anel]

38 Capítulo 3. Caleidociclos

Figura17 – Caleidociclos fechados variados com imagens axial e rotacionalmente simétricas


Definição 14. Caleidociclo é um anel tridimensional circular composto por uma cadeia de

tetraedros idênticos com asseguintes propriedades:

i) dois tetraedros estão ligadospor umaúnicaarestaem comum;

ii) cada tetraedro está ligado aexatamentedoisoutros tetraedros por arestas opostas;

Figura 18 – Exemplo de caleidociclo com seis tetraedrosnão-regulares


Umacaracterísticaqueo tornaespecial éapossibilidadede torcê-lo continuadamente

paradentro ou para fora na medidaem quemostradiferentes faces dos tetraedros.

Definição 15. Um caleidociclo échamado caleidociclo regular quando asarestas de ligação de

um tetraedro são ortogonais, caso contrário, é chamado caleidociclo não-regular.

39

Figura19 – Caleidociclo regular de oito tetraedros regulares ecaleidociclo não-regular de oito tetraedros

(a) Caleidociclo Regular (b) Caleidociclo Não-regular


Neste trabalho, serão utilizados apenas os caleidociclos regulares e, por simplicidade,

iremos nos referir apenas como caleidociclos, caso necessário, deixaremos evidente quando não

se tratar deum caleidociclo regular.

Todo caleidociclo regular podeser posicionado no espaço canônico como no exemplo da

figura 20a:

Figura 20 – Caleidociclo regular de dez tetraedros regulares localizado no espaço

(a) Posição neutrano espaço (b) Centro do caleidociclo

(c) Torção de90∘ (d) Intersecção com o plano XY


(e) Secção Transversal

Nestasposições, quechamaremosposição neutra no espaço, asarestasde ligação estarão

paralelas ao eixo Z ou pertencentes ao plano XY. No exemplo 20a, CiDi são as arestas paralelas

ao eixo Z eAiBi são as arestas pertencentesao plano XY.

As retas suportedas arestas que estão contidasno plano XY se intersectam em um ponto

chamado centro do caleidociclo. Nafigura 20b, o centro do caleidociclo é o ponto O que, neste

caso, coincide com a origem do espaço. Na figura 20c, podemos perceber que ao torcer o

caleidociclo em 90∘ háumaalteração no posicionamento das arestasde ligação; as arestas AiBi

estão agoraparalelasao eixo Z eCiDi estão contidas no plano XY e com suas retas suportese

intersectando no ponto O centro do caleidociclo, porém estanovaposição também éumaposição

neutrano espaço.

Nafigura 20d temosa intersecção do plano XY com o caleidociclo naposição neutra;

essa intersecção échamadasecção transversal eestádestacadanafigura 20equeseráutilizada

nadefinição 16.

3.1 Caleidociclos com Tet raedros Regulares

Esse tipo decaleidociclo é regular, composto por oito tetraedros regularesno mínimo e

não há umaquantidade máxima. A impossibilidade decompor um caleidociclo com menos de

oito tetraedros regulares será tratadanaseção 3.2.

3.1. Caleidociclos com TetraedrosRegulares 41

Figura21 – Caleidociclo de oito tetraedros regulares


Percebaquenestecaleidociclo o centro évazado, ou seja, em nenhumaposição detorção,

o centro ficará fechado. Outra observação importante é que o número de tetraedros sempreépar

no caso de serem tetraedros regulares, pois caso sejaum número ímpar, ao tentar fechar a cadeia

decaleidociclosparacompor o anel, teremosextremidadescom arestasperpendiculares, o que

contrariaadefinição decaleidociclo estando ligadosaapenasum ponto (a interseção dasarestas)

enão aarestaem comum.

Vamosdefinir algumasmedidase formas encontradas nos caleidociclos.

Dado um caleidociclo regular deoito tetraedrosem posição neutrano espaço como na

figuraaseguir,

Figura 22 – Oito tetraedros regulares


fazendo-seumasecção transversal, como visto no início destecapítulo nafigura 20d, edefinindo

a a medidadasarestas, h asalturasdas facese l amedida dossegmentosM1M2, M2M3, M3M4,

M4M1, temos


Figura 23 – Secção transversal do caleidociclo de oito tetraedros regulares

(a) Notações nasecção (b) Basedo anel


Assim, definimos:

Definição 16. O quadrado tracejado apresentado nafigura 23b échamado basedo anel.

A relação entrea arestaa, a alturade face h e o lado l da basedo anel iremos trabalhar

no Capítulo 5 utilizando aspropostas deatividades relacionadascom o Teorema de Pitágoras.

3.2 Caleidociclos Fechados (Tet raedros Não-Regulares)

Sequiser fazer um caleidociclo decentro fechado com tetraedros regulares, na tentativa,

iremos descobrir quenão épossível, vejaa imagem:

Figura24 – Tentativa de caleidociclo fechado com tetraedros regulares


Podemos justificar esse fato analisando como deveriaser abasedesseanel. O estudo de

ladrilhamento do plano com figuras geométricasnosdáum caminho. Ao pôr polígonos idênticos

3.2. Caleidociclos Fechados (Tetraedros Não-Regulares) 43

com um vértice comum e sem sobreposição, de forma a recobrir todo o plano ao redor desse

vértice, é necessário queamedida do ângulo dessevérticesejaum divisor de360∘.

Como estamosutilizando tetraedros regulares, o corte transversal, como feito nafigura

23 ficacomo na imagem:

Figura 25 – Corte transversal da tentativa


No corte transversal, vemosqueao redor do vérticecentral aparecem triângulos isósceles

com arestaa ealturah = a√

32 . O vérticecomum do centro do caleidociclo écomposto por um

dosvérticesdesses triângulos dasecção transversal, contendo o ângulo α formado entrea eh.

Pela lei doscossenos, temos

h2 = a2 + h2 − 2ahcosα

2ahcosα = a2

2cosα =ah

cosα =a2h

como

h =a√

32

segueque

cosα =1√

3

cosα =

√3

3

portanto

α ≈ 54,7356


pois0 < α < π/ 2.

Assim, o ânguloα não édivisor de360∘ eportanto não épossível formar um caleidociclo

fechado com seis tetraedros regulares.

Paraconseguirmos fechar o caleidociclo deseis tetraedros, énecessário esticarmos os

tetraedros(alterar asmedidas) deformaaconseguirmosum hexágono regular no corte transversal.

Figura26 – Hexágono do CorteTransversal


Com isso, os tetraedros deixam de ser regulares, as arestas de ligação a ficam com

a mesma medida da altura h das faces triangulares isósceles dos tetraedros e as arestas que

não são de ligação podem ser definidas como b. As relações entre as medidas do tetraedro

serão abordadasno Capítulo 5 ao apresentar formas de se trabalhar o TeoremadePitágorasna

construção do molde/planificação do caleidociclo.

O mesmo acontece com o caleidociclo de oito tetraedros. Para que possamos fechá-lo, é

necessário mudanças nasmedidasdos tetraedros, quedeixam deser regulares. Vejaafigura27:

Figura 27 – Caleidociclo fechado com oito tetraedros não-regulares

(a) Caleidociclo já fechado (b) Corte transversal antesde fechar

3.2. Caleidociclos Fechados (Tetraedros Não-Regulares) 45

(c) Corte transversal após fechar


Vale destacar que, nafigura 27b, amedida h é aaltura do triângulo equilátero, facedo

tetraedro regular, jánafigura 27c, amedidah éaalturado triângulo isóscelesdo tetraedro que

não émais regular. Além disso, aarestaa de ligação éaumentadae asoutras arestas quenão são

de ligação b terão medidas diferentes de a, como visto no comentário abaixo dafigura26.

Maisum exemplo decaleidociclo fechado, agoracom dez tetraedros.

Figura28 – Caleidociclo fechado com dez tetraedros não-regulares

(a) Caleidociclo já fechado (b) Corte transversal antesde fechar


(c) Corte transversal após fechar


Perceba que nesse caso, a base do caleidociclo é um pentágono regular e assim como

na figura 27, a medida h da figura 28b corresponde à altura do triângulo equilátero, face do

tetraedro regular, e nafigura 70, a medidah éaalturado triângulo isósceles do tetraedro que

não émais regular.

47

CAPÍTULO

4ENSINO DE SIM ETRIAS POR M EIO DOS

CALEIDOCICLOS

O currículo do Ensino Fundamental - Anos Finais do Estado de São Paulo sugere o

estudo desimetrias no 7o ano e apresenta umaproposta que exploraas ideias de simetriaaxial e

rotacional em objetos do diaadia, na natureza, em malhasquadriculadas emalhasdepontos.

Apresentamos umapropostade atividadeenvolvendo os caleidociclos para que sejam

desenvolvidascompetênciasehabilidades como:

∙ identificação, comparação e interpretação desimetrias;

∙ apreciação das linguagens do desenho, pintura, arquitetura, etc, com base nos padrões

geométricos;

∙ manipulação de formasgeométricas planaseespaciais, e

∙ criação de imagenscom simetriaaxial e rotacional.

4.1 Pré-requisitos

Para trabalhar com asimetriaaxial e rotacional com oscaleidociclos, énecessário queos

alunos tenham visto asnoçõesdo que seja cadaumadelas. Não há anecessidadedequesejaa

definição matemática formal, mas no mínimo as noções básicas como, por exemplo, a forma

como foi citado em Conceitos Introdutórios.

É possível trabalhar com os alunos aconstrução de imagenscom simetria axial e rotacio-

nal antesde lidar com os caleidociclos.

48 Capítulo 4. Ensino de simetrias por meio dos Caleidociclos

4.1.1 Simet ria axial: proposta de at ividade

Material necessário:

∙ uma folha depapel sulfite;

∙ umaréguamilimetrada;

∙ um lápis preto no 2;

∙ umaborrachabrancae

∙ lápis decor (caso queiram colorir).

Fazer margem de 2 cm no papel sulfite e dobrar a folha ao meio na horizontal (ou

vertical sepreferir) para facilitar o traçado deuma linhadividindo aárea dedesenho ao meio.

Aconselha-se fazer essa divisão fraca, pois há a possibilidade dela ser apagada ao terminar a

construção dasimetriae iniciar acoloração.

Para iniciar o desenho em si, peça aos alunos que façam um desenho livre em uma

das metades da folha. Pode sugerir o desenho de metade de alguma imagem conhecida com

simetriaaxial ou não, ou ainda, utilização livrede linhas curvas, retas, etc. Peçaaos alunosque

dêpreferênciaa desenhos com linhasbem definidasesem muito detalhamento, isso facilitaráa

reflexão da imagem.

Apósconcluir o desenho, osalunosdeverão dobrar a folhaao meio fazendo com que o

desenho fiquepor dentro dadobra. Com o lápispreto inclinado, deverão fazer movimentos de

zigue-zaguepor trásdo desenho, pressionando de forma quea imagem fiquemarcada naoutra

metadeda folha. Veja umasequênciana imagem aseguir:

Figura 29 – Sequência da construção da reflexão

(a) Margensedivisão (b) Metadepronto paraa reflexão

4.1. Pré-requisitos 49

(c) Dobraemarcada reflexão (d) Reflexão antesde reforçar

(e) Ampliação da reflexão (f) Pronto paracolorir


Uma outra formapara não dobrar a folha, caso queiram fazer em um painel, é copiar o

desenho feito com uma folha de caderno fina ou folha de papel vegetal, marcando pontos de

referência como os cantos da margem, e virar essa folha sobre a metade sem desenho, como

seestivessevirando uma folhaem um caderno. Feito isso ealinhadosospontosde referência,

devemos fazer os movimentos de zigue-zaguecom o lápis, como citado anteriormente.

Em ambos casos, a reflexão ficacom linhas fracas, quedevem ser reforçadasem seguida.

Seguem algumas imagensde trabalhos realizadosem sala:

Figura 30 – Trabalhos de Simetria Axial em papel A3 realizados por alunos de 7o ano

(a)


(b)

(c) (d)

(e) (f)

4.1. Pré-requisitos 51

(g)


4.1.2 Simet ria rotacional: proposta de at ividade


∙ uma folhadepapel sulfite;

∙ umarégua milimetrada;

∙ um compasso;

∙ um transferidor e

∙ uma folhadepapel vegetal (ou folhadecaderno fina).

É possível a criação da imagem rotacionalmentesimétrica sem autilização do compasso,

poiseleseráutilizado apenaspara criaumabordaparaa imagem. O transferidor também pode

ser substituído por esquadros, ficando limitado aosângulosderotação possíveisdeserem criados

utilizando estes instrumentos.

Para dar início, construir margem de 2 cm emarcar um ponto central na folha, quepode

ser localizado com medidas ou simplesmente traçando asdiagonais da folhade forma fracae

apagando-asassim quemarcar o centro.

Com o compasso, traçar uma circunferência no centro da folha de forma a ocupar o

máximo de espaço dentro da margem. Decidir de quantos graus será o ângulo de simetria

rotacional, lembrando que o valor desejado deve dividir 360∘ em partes iguais. O exemplo a

seguir utilizasimetria rotacional de120∘.


Seguindo com aconstrução, dividir acircunferênciaem seispartes iguaisde60∘ cada.

Essa divisão será para que possamos utilizar duas imagens distintas na rotação, caso deseje

apenas uma imagem, podeser feito apenas em trêspartesde120∘, ou da formaquepreferir.

Nessemomento jáé possível a construção do desenho, que deverá estar sobre umadas

divisões dos setores, queseráa referênciaparaqueseja repetida no ângulo de120∘.

O desenho podeser simétrico axial tendo como eixo desimetriaadivisóriadossetores,

masnão énecessário que seja.

Seguem as imagens quesão utilizadasno exemplo, umacom simetria axial eoutranão.

Figura 31 – Exemplos paracriar simetria rotacional


Para reproduzir a imagem exatana rotação de120∘ bastausar a folhadepapel vegetal,

copiar a imagem incluindo o eixo de referência atéo centro de rotação, pintar de lápis preto no 2

aparte de trásda folha depapel vegetal onde estáacópiado desenho e posicionar no eixo de

rotação 120∘ ondea imagem deveser idêntica.

Caso hajamais imagens aser reproduzidas, bastaseguir o mesmo procedimento, até que

todas elas apareçam idênticasna rotação desejada.

Figura 32 – Simetria Rotacional com e sem SimetriaAxial


4.2. Proposta de Atividade: simetria com o caleidociclo 53

4.2 Proposta de At ividade: simet ria com o caleidociclo


∙ moldedo caleidociclo disponível no Apêndice A figura56

∙ tesoura

∙ cola

∙ lápis decor (ou canetinhas)

A proposta tem variações de acordo com o nível de habilidadesquea turmaseencontra.

Por isso, apresentamosprimeiramenteapropostapara turmas em nível básico quecontemplao

reconhecimento e identificação das simetrias.

Entregue o moldepara cadaum dos alunos epeça paradarem cores ao desenho antes de

iniciar o recorte. Lembre-osquedeverão estar atentospara utilizar asmesmascoresnaspartes

correspondente auma imagem.

Após acoloração, jásepode recortar o contorno do moldee iniciar adobraem todasas

linhas retas. Para facilitar amontagem, dêasugestão dedobrarem paraos dois lados emarcar a

dobracom umarégua (vincar adobra).

Paraconcluir, bastaajustar apeçacomo nafigura33eutilizar cola. Sugerimosautilização

decolabranca, sem excesso e bem espalhada, principalmenteseutilizarem papel sulfite, pois

outros tipos de cola dificultam estaetapa por não colarem direito ou exigirem maior pressão.

Figura33 – Exemplo de como montar o caleidociclo - parte1

(a) (b)


(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)


(m) (n)

(o) (p)

(q) (r)

(s) (t)

(u) (v)


(w) (x)

(y) (z)

Fonte: Brasil (b).

Figura 34 – Exemplo decomo montar o caleidociclo - parte 2

(a) (b)

(c) (d)


(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

(m) (n)

Fonte: Brasil (b).


É possível ver essasequênciano endereço <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/

matematica/condigital2/midias/experimentos/Geometria_e_arte/construindo.html>.

A primeira variação servepara turmas em nível adequado, cujas habilidades sedestacam

na capacidade de identificar e construir simetrias. Para esse grupo sugerimos o molde sem

imagens da figura 57 Apêndice A e que sejam indicadas quais as faces que completam uma

imagem, deixando ao aluno a tarefa de criar as imagens, colori-las e concluir o processo de

montagem.

Umasegundavariação é indicapara turmasem nível avançado em quealém dashabilida-

desanteriores, osalunossão capazesde localizarem asregiõesdo moldequesecompletam, afim

decriarem as imagensqueaparecerão como simetria rotacional (ecom possibilidade de terem

simetria axial localmente também). Nessasituação, incentiva-semais o raciocínio eabstração na

tarefadeprever as faces do moldeque irão se relacionar no caleidociclo.

Caso haja interesse, ainda para o grupo de nível básico, é possível utilizar um molde

sem imagens (ApêndiceA, figura57), montar o caleidociclo e então criar as imagens. Para isso,

aconselha-se o uso de canetinhas, pois não haverá a necessidade de aplicar muita pressão ao

desenhar como teriacom lápisdecor.

59

CAPÍTULO

5TEOREM A DE PITÁGORAS, LEI DOS

COSSENOS E RELAÇÃO FUNDAM ENTAL DA

TRIGONOM ETRIA: APLICAÇÕES NA

CONSTRUÇÃO DO CALEIDOCICLO

Tradicionalmente, as aplicações do TeoremadePitágoras estão relacionadas com alturas

esombras deprédios, portõesdemadeiracom sarrafo nadiagonal, estruturasdemadeirapara

telhados, distância entre três cidades, rampas, escadas e escadarias, entre outras. Saindo um

pouco dessatradição, propomosaconstrução do moldedoscaleidocicloscomo formadeperceber

anecessidadedo conhecimento do teoremaeaplicá-lo nessaconstrução.

Asseçõesaseguir, apresentam casosem queo teoremaseráutilizado naplanificação dos

caleidociclos. Duranteaconstrução, há imagens paraacompanhar o processo, mas os moldesem

si, estão disponíveisno ApêndiceA.

5.1 Caleidociclo com Tet raedro Regular: altura de face

A planificação parao tetraedro regular não tem segredos, pois como as faces dos tetrae-

drossão triângulos equiláteros, bastacriar umamalha com triângulos equiláteros.

O número detriângulosquedevemospor naplanificação, podeser descrito usando linhas

e colunasde triângulosequiláteros. Como visto no Capítulo 3, os caleidociclos com tetraedros

regulares possuem número par de tetraedros sendo no mínimo oito. Assim, o número decolunas

de triângulos da planificação deverá ser nove, uma a mais para usar como aba na colagem; o

mesmo ocorre paraas linhas, como são necessáriosquatro triângulospara fazer um tetraedro,

utilizaremoscinco linhas de triângulos, umaamaispara usar como abadecolagem.

A planificação abaixo édeum caleidociclo com oito tetraedros regulares.

60Capítulo 5. Teorema de Pitágoras, Lei dos Cossenos e Relação Fundamental da trigonometria: aplicações na

construção do caleidociclo

Figura35 – Planificação com oito tetraedros regulares


Como visto na figura 23, temos no corte transversal a aresta a, a altura de face h e a

medida l do lado da base quadrada do anel queestá tracejada. Mostraremosprimeiro a relação

entreaalturade faceea aresta.

Como a alturade um triângulo equilátero o divide em dois triângulos retângulos congru-

entes, usando o teoremadePitágoras, temos

a2 = (a/ 2)2 + h2

h2 = a2 − (a/ 2)2

h2 =4a2 − a2

4

h =

s3a2

4

h =a√

32

.

Relacionando o lado l dabasedo anel com aaresta a

h2 = (l / 2)2 + (a/ 2)2

h2 =l2 + a2

4.

Como h = a√

32

5.2. Caleidociclo fechado e as relações das medidas 61

3a2

4=

l2 + a2

43a2 − a2 = l2

2a2 = l2

a√

2 = l

a =l√

22

.

Maisalgumasmudanças de variáveis, eficamos com h também em função de l .

h =a√

32

h =

l√

2√

322

h =l√

64

.

Apesar de não ser necessário efetuar esses cálculos para a construção do molde dos

caleidociclos de tetraedros regulares, a relação entre aaltura de face, a aresta eo lado dabasedo

anel serve de introdução paraas planificações com tetraedros não regulares.

Para construir a planificação de qualquer outro caleidociclo com tetraedros regulares,

basta acrescentar um número par de colunas na planificação anterior, ou seja, se quiséssemos

fazer um caleidociclo com 14 tetraedros regulares, bastariaacrescentar seiscolunasao molde,

resultando 15 colunas e 5 linhas de triângulos equiláteros. E o raciocínio é o mesmo para

caleidociclos com quantidadesmaiores de tetraedros regulares.

5.2 Caleidociclo fechado e as relações das medidas

Veremos que as relações entre as medidas dos tetraedros e o lado da base do anel são

um pouco diferentes dasvistasnaseção anterior. Um dos fatos que levaaesse raciocínio éque,

paraconseguirmos fechar o caleidociclo, é necessário modificar o tetraedro e assim, modificar o

ângulo dosvértices queseencontram no centro, como visto no capítulo 3, seção 3.2.

Consideraremosinicialmenteo caleidociclo fechado dedez tetraedrospararelacionarmos

as medidas.

Na figura 70, dasecção transversal do caleidociclo, temosa medida l do lado dabase

do anel, aarestaa ealturade faceh. Primeiramente, destacamosum dos triângulosdebasea e

altura l / 2:



Figura 36 – Triângulo isósceles debasea ealtura l / 2


O ângulo α tem medida36∘, pois divideacircunferênciacentral do caleidociclo em 10

partes iguais. A partir da lei dos cossenos, temos

h2 = h2 + a2 − 2ahcos36∘

2ahcos36∘ = a2

h =a2

2acos36∘

h =a

2cos36∘.

Destacando agora, um dos triângulos retângulos formadospelossegmentosa/ 2,h e l / 2,

eutilizando o teorema de Pitágoras, temos

h2 =a2

2+

l2

2

a2cos36∘

2=

a2

4+

l2

4a2

4cos236∘=

a2

4+

l2

4a2

cos236∘= a2 + l2

a2 − a2cos236∘

cos236∘= l2

a2(1− cos236∘) = l2cos236∘

a2 sen236∘ = l2cos236∘

a2 =l2cos236∘

sen236∘

a2 = l2cot236∘

a = l cot36∘.

Paraquepossamosdeixar tudo em função de l , basta fazer mais uma substituição

5.2. Caleidociclo fechado e as relações das medidas 63

h =a

2cos36∘

h =l cot36∘

2cos36∘

h =l

2sen36∘.

Agora, paraconstruir um caleidociclo fechado de dez tetraedros, bastadefinir amedida l

do lado dabasedo anel pentagonal, pois

a = l · cot36∘

h =l

2sen36∘.

Podemos generalizar essas relações. Dado n o número de lados da base do anel, com

n ≥ 3, e l amedidado lado dabase, temos

α =360∘

2n

a = l · cotα

h =l

2senα.

Assim, sequisermos fazer um caleidociclo fechado debase hexagonal de lado l = 5 cm,

teremosasmedidas

α =360∘

2·6= 30∘

a = 5·cot30∘ ≈ 8,66 cm

h =5

2sen30∘= 5 cm.



Figura 37 – Planificação do caleidociclo fechado com 12 tetraedros (base hexagonal)


5.3 Propostas de At ividades

Como nessecapítulo apresentamosconhecimentosmatemáticospresentes no currículo

do 8o e 9o ano do Ensino Fundamental e 1a série do Ensino Médio, apresentamos propostas

diferentespara cadaobjetivo.

5.3.1 Ensino Fundamental: 8o e 9o anos


∙ moldedo caleidociclo deoito tetraedros regulares disponível no ApêndiceA, figura68

∙ lápis, borrachaepapel (paraos cálculos)

∙ régua milimetrada

∙ compasso

Primeiramente, entregueo molde aos alunos, seja individualmenteou em grupos, e peça

para que recorte no contorno e montem o caleidociclo. Caso seja a primeira atividade com

caleidociclo da turma, deve-se ter uma atenção especial para que façam todas as dobras corretas

eafinalização com acolagem.

Depois que os alunos exploraram os movimentos do caleidociclo, o professor deve

apresentar a definição de base do anel do caleidociclo, lembre-se que é possível mostrar a

imagem 23 do corte transversal.

5.3. Propostas de Atividades 65

Após a definição da base do anel, deve-se questionar: “Como podemos garantir que a

basedo anel do caleidociclo tenha10 cm de lado?” .

Caso nenhum aluno tenhasugerido autilização daalturade face do caleidociclo, analise

novamentea imagem 23 atentando paraasmedidasenvolvidas.

Asmedidash ea dostriângulosqueaparecem nasecção transversal, são respectivamente,

daalturade faceedaarestados tetraedros. Também épossível relacionar amedida l do lado da

basedo anel com o triângulo citado.

O professor pode informar a relação daaltura de faceh com aaresta a, que é h =a√

32

visto naseção 5.1, ou orientar oscálculos no triângulo equilátero paradedução dela.

Feito isso, deve-se iniciar o cálculo da relação entrea arestaa e o lado l observadosna

secção.

h2 = (l / 2)2 + (a/ 2)2

h2 =l2 + a2

4.

Como h = a√

32

3a2

4=

l2 + a2

43a2 − a2 = l2

2a2 = l2

a√

2 = l

a =l√

22

.

Portanto, paraqueo lado l da base do anel seja10 cm, énecessário que

a =l√

22

a =10·

√2

2a = 5·

√2

a ≈ 7 cm.

E com ajuda de um compasso, os alunos podem fazer a malha triangular da medida

desejadasempreutilizando apontasecado compasso nas intersecçõesdascircunferências, como

mostram as figuras aseguir.



Figura38 – Sequênciada construção da malha


Dependendo da medida adotada para o lado l da base do anel, a folha A4 poderá ser

pequena para compor uma malha suficiente para o caleidociclo. Sugerimos que utilizem a

folhaA3 paraessescasos ou incentivem os alunos a juntarem duas malhasparacompletarem o

caleidociclo.

5.3.2 Ensino M édio: 1a série


∙ moldedo caleidociclo disponível no ApêndiceA, figuras 68 e69

∙ tesoura

∙ cola

∙ lápis decor (ou canetinhas)

∙ sulfite

∙ régua

∙ compasso

Primeiramente, entregueo molde aos alunos, seja individualmenteou em grupos, e peça

para que recortem no contorno e montem o caleidociclo. Caso seja a primeira atividade com


caleidociclo da turma, deve-se ter uma atenção especial paraque façam todas as dobras corretas

eafinalização com acolagem.

Depoisdos alunosexplorarem oscaleidociclos, provavelmente já terão percebido que,

apesar dos dois terem oito tetraedros, um deles é fechado no centro do anel e o outro não. A

partir dessa constatação, o professor deve aguçar a curiosidade questionando qual deve ser a

relação entreasmedidasdo triângulo damalha, paraqueseja garantido queo caleidociclo seja

decentro fechado.

O professor podeapresentar o cálculo utilizado paradefinir a forma geral dasmedidas,

mostrando autilização da lei dos cossenos.

Seja n, o número de lados da base do anel; l , a medida do lado da base do anel; a, a

aresta comum adois tetraedros do caleidociclo; h, a altura de facedos tetraedros com basea; α ,

éo ângulo formado entreh ea.

Figura 39 – Notações parao triângulo isósceles


Usando asnotações daFigura39 e utilizando a lei dos cossenos, temos:

h2 = h2 + a2 − 2ahcosα

2ahcosα = a2

h =a2

2acosα

h =a

2cosα. (I)

Agora, por meio do triângulo retângulo



Figura40 – Metade do triângulo isósceles daFigura 39


eutilizando o teorema de Pitágoras, temos:

h2 =a2

2+

l2

2

. (II)

Substituindo I em II, temos:

a2cosα

2=

a2

2+

l2

2

a2

4cos2α=

a2

4+

l2

4a2

cos2α− a2 = l2

a2 − a2cos2αcos2α

= l2

a2(1− cos2α )cos2α

= l2

eutilizando a relação fundamental da trigonometria, obtemos:

a2 sen2αcos2α

= l2

a2 sen2α = l2cos2α

a2 =l2cos2α

sen2αa2 = l2cot2α

a = l cotα .

Deixando h em função de l , temos:


h =l cotα2cosα

h = l ·cosαsenα

·1

2cosα

h =l

2senα.

Assim, a malha a ser construída deve ser de triângulos isósceles de base a = l cotα ,

hm =l

2senαeα =

3602n

.

Figura 41 – Triângulo Isósceles daMalha


Com basenessesdados, definidoso número n de ladose amedida l do lado do anel do

caleidociclo, peçaaosalunosparacalcularem osvaloresdeα ,a eh.

Por exemplo, sen = 6 e l = 3 cm, temos:

α = 30∘

a ≈ 5,2 cm

hm = 3 cm.

E o triângulo basepara amalhaé

Figura42 – Triângulo Isósceles basepara malha




De forma semelhante à proposta feita anteriormente para os 8o e 9o anos do Ensino

Fundamental, o professor pode entregar a folha de sulfite e deixar que eles criem uma malha,

utilizando a réguaecompasso, com as medidas quequiserem ou que forem eleitas pela turma.

Existeapossibilidadedo professor ir induzindo a turma achegar nas relaçõesdescritas

acima, porém, isso dependemuito do nível deaprendizagem da turmaqueapenaso professor

poderá avaliar edecidir o que for melhor, paraque aatividadenão se tornedesinteressante.

71

CAPÍTULO

6CALEIDOCICLO: VOLUM E E ÁREA DE

SUPERFÍCIE

Ashabilidades matemáticasenvolvidasnos cálculos devolumeeáreadesuperfícieestão

presentes no currículo da2a sériedo Ensino Médio do Estado deSão Paulo. Nele, apresenta-seo

cálculo do volumeeáreadeprismas, pirâmides ecilindros.

Apresentamos alguns caleidociclos que podem ser usados para trabalhar com essas

habilidades.

6.1 O M ilagre Shinsei

Figura 43 – MilagreShinsei eseus caleidociclos


É composto por dois caleidociclos abertos cadaum contendo doze tetraedros não regula-

res. Juntos, esses caleidociclos podem formar um cubo. A partir do cubo formado por eles, é

possível calcular uma aproximação do volumedo caleidociclo. O tetraedro utilizado éespecial,

pois três desuas faces são triângulos retângulos.

72 Capítulo 6. Caleidociclo: Volumee área de superfície

As medidas necessárias para a construção do tetraedro desse caleidociclo, podem ser

retiradasa partir do cubo quesedeseja formar com os dois caleidociclos.

Figura44 – Medidas do tetraedro apartir do cubo


a = arestado cubo

d = diagonal do quadrado (facedo cubo)

D = diagonal do cubo

Dadaamedida a da aresta, podemoscalcular as medidasnecessáriasparaseconstruir

umaplanificação parao caleidociclo. Pois

d = a√

2

D = a√

3.

Figura 45 – Planificação dedois tetraedros do MilagreShinsei


Um molde que pode ser usado é a planificação de metade de um dos caleidociclos

(Figura46), sendo assim necessário quatro dessesmoldesparaconstruir osdoiscaleidociclos

quecompõem o MilagreShinsei.

6.2. Cubo Invertível 73

Figura 46 – Planificação de metadedo caleidociclo


Nessemolde, devemosficar atentosaosdoissegmentos pontilhadosque indicam corte

no molde além do corte no contorno. Sugerimos também quesejaunida asduasmetadesantes

de ir fechando os tetraedros.

6.2 Cubo Invert ível

Estecaleidociclo é formado por seis tetraedrosde faces idênticas. Cada face tem formato

de triângulo retângulo eem doisdesses triângulosocorrem queum doscatetos tem metadeda

medidado outro cateto.

Figura 47 – Cubo invertível

(a) Cubo Invertível 01 (b) Cubo Invertível 02


(c) Cubo Invertível 03


O nome dele vem do fato de lembrar a formadeum cubo em uma determinadaposição

de sua torção. Além disso, ele pode formar um cubo ao completar o espaço com outras duas

peçaschamadas raio do cubo invertível que também estádisponibilizadano ApêndiceA figura

60.

As medidaspara aconstrução daplanificação destecaleidociclo, pode ser feitaa partir

do cubo no qual eleestá contido como mostram asfigurasaseguir.

Figura48 – Cubo invertível e suas medidas

(a) Tetraedro dentro do cubo (b) Tetraedro destacado

6.2. Cubo Invertível 75

(c)


As medidas foram calculadas utilizando o TeoremadePitágoras. Nos triângulos retângu-

los pertencentes as facesdo cubo, denotando por h1 a hipotenusa, temos:

h21 =

a2

2+ a2

h21 =

a2

4+ a2

h1 =

s5a2

4

h1 =a√

52

.

Para os triângulos retângulos do tetraedro que estão no interior do cubo e, denotando por

h2 ahipotenusadeles, temos:

h22 =

a2

2+

a√

52

! 2

h22 =

a2

4+

5a2

4

h2 =

s6a2

4

h2 =a√

62

.

Apresentamos metadedo moldepara quesepossa verificar umapossível montagem.


Figura49 – Planificação de metade do Cubo Invertível


Lembramosque todos os moldesutilizados estão disponíveis no ApêndiceA.

6.3 Propostas de At ividades

Dividimos estaseção em duaspartesparaquepossamosanalisar oscasos para cadaum

dos caleidociclos apresentadosnasseções 6.1 e6.2.

6.3.1 O M ilagre Shinsei


∙ moldedo MilagreShinsei disponível no ApêndiceA figura63

∙ tesoura

∙ cola

O professor devedistribuir um moldeparacadaaluno, pedir quemonteo moldeeauxiliar

nesta tarefaparaqueo caleidociclo fique o melhor possível. Há apossibilidade dedeixar que

cada aluno faça seusdoiscaleidociclos ou quecadaaluno faça um deles edepois formem duplas

para compor o cubo, ou ainda, em casos de necessidade de reduzir ao máximo o tempo da

construção, em quartetos, em quecadaaluno recortaráedobrarámetadedeum doscaleidociclos.

Assim, a cada doisalunoshaveráum caleidociclo eacada quatro alunos serápossível compor

um cubo.


Figura50 – Os dois caleidociclos do MilagreShinsei


Feitos os caleidociclos, peça aos alunos que tentem formar um cubo utilizando dois

caleidociclos. Provavelmentealguns irão descobrir apossibilidadede formar outros poliedros

nessa tentativa, isso será interessante para as próximas etapas, mas o professor deverá insistir

queconcluam aetapadaconstrução do cubo.

Figura 51 – MilagreShinsei


Asmedidasdo moldepodevariar durantea impressão dosmesmos, por isso é importante

que não seapeguem asmedidas reais nos poliedros, mas sim a medida da arestaquedeveser

adotadaparaoscálculosdasáreas. A adoção damedidapodeser feitapelo professor ou sugerida

pelosalunos.

Apósaconstrução do cubo eadotadaamedidadaaresta, peçaaos alunos quecalculem

o volumeeaáreado cubo. Incentive-os aconcluir queum caleidociclo possui volume igual a

metade do volume do cubo equecada tetraedro dos caleidociclos possui124

do volume do cubo.

Feito isso, é hora de modificar o poliedro. Peça a eles que formem outro poliedro

utilizando os dois caleidociclos. Abaixo temos alguns poliedros que podem aparecer.


Figura52 – Milagre Shinsei Modificado

(a) (b)

(c)


Seo professor desejar, poderárelembrar asdefiniçõesdepoliedro convexo enão-convexo

conformeeles forem formando ospoliedros.

Apóscompletarem algum poliedro, explorea ideiado volumedessespoliedrosserem

iguais ao do cubo, independentedo formato, atentando apenas para quenão hajanenhum espaço

interno ao novo poliedro quenão contenha tetraedros. Vejaum exemplo não desejado:


Figura 53 – Poliedro com “buraco” interno

(a) Aparentementecorreto (b) Aberto, com “buracos”


Agora, questione sobreaáreadesuperfíciedos poliedros. Peçaquecalculem as áreas e

analisem se confere com a respostadada anteriormente. É nessemomento que deveficar claro

quemesmo tendo volume constante, aáreadesuperfíciepodevariar deacordo com o poliedro

formado.

O professor pode avaliar a participação dos alunos ou ainda pedir que respondam as

perguntasem umafolhapara registro deatividadeavaliativa, assim como podeser registrado as

imagenscom câmera fotográficaepublicá-lasnosmurais, blog, jornal ou páginadaescola. O

material aindapodeser aproveitado em possíveis feiras deciências.

6.3.2 Cubo Invert ível


∙ moldedo Cubo Invertível disponível no ApêndiceA figura 59

∙ tesoura

∙ cola

Assim que distribuir o molde para todos os alunos, peça para recortarem e colarem

formando o caleidociclo. É possível, assim como na proposta anterior, que se faça em duplas

paradiminuir o tempo gasto namontagem.

O professor podepedir queosalunosmovimentem o caleidociclo deformaaencontrarem

o formato de triângulosequiláteros em quatro formasdiferentes, sejavazado ou preenchido.


Figura 54 – Quatro posições com forma de triângulo equiláteros

(a) (b) (c)

(d)


Depois de manipular o caleidociclo com a atividade anterior, peça aos alunos que

movimentem o caleidociclo atéencontrarem umaposição que lembreum cubo; éaconselhável

quefiqueclaro queo caleidociclo sozinho não irá formar um cubo, masque, em determinada

posição eleaparentapartedeum cubo.

Figura 55 – O caleidociclo lembrando um cubo



Antes de calcular o volume do caleidociclo, é interessante propor aos alunos uma

estimativa aproximada do volume em relação ao volume do cubo aparente. Feito isso, defina

uma medida da aresta e cobre o cálculo do volume do caleidociclo a partir do volume de um

dos tetraedros, lembrando que as medidas do tetraedro, em relação àaresta do cubo, podem ser

encontradas naseção 6.2.

Por fim, peça que mostrem queo volume do caleidociclo é um terço do volume do cubo.

Assim como napropostaanterior, o professor podeutilizar essas atividades como avalia-

ções.

83

CAPÍTULO

7CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo principal deste trabalho foi alcançado, ou seja, apresentamos propostas de

atividades com caleidociclos diferenciados que possam contribuir com a aprendizagem de

habilidadesecompetênciasmatemáticas. Aspropostasvariaram conformeo nível deensino e

ano, além devariações deacordo com o nível deaprendizado das turmas.

Durante a sistematização de atividades já aplicadas anteriormente por nós, surgiram

novas ideias que foram elaboradase apresentadasneste trabalho, outraspossibilidades se mos-

traram durante algumas demonstraçõesegeneralizações, como por exemplo a utilização da lei

dos cossenos para generalizar medidas necessárias na construção de malhas de caleidociclos

fechados.

Deixamosevidentequeháumanecessidadedeaprofundamento dasrelaçõesmatemáticas

presentesnos caleidociclosepossíveis demonstraçõesem afirmações relacionadas ao número

de tetraedrosnecessário parase formar um caleidociclo, ou definir eexplorar oscaleidociclos

cujo centro sealternaentre fechado eaberto, ou aindadefinir eexplorar caleidociclos com anel

retorcido.

O estudo dessasvariaçõesdoscaleidociclos, além do valor científico matemático, pode

trazer novasaplicaçõesdehabilidadesecompetênciaspossíveisdeserem trabalhadasnosEnsinos

Fundamental eMédio.

85

REFERÊNCIAS

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TINOCO, M. J. Isometr ias. Dissertação (Mestrado) — Departamento deMatemática, FaculdadedeCiências daUniversidade do Porto, Porto, 2012. Nenhumacitação no texto.

VITTI, C. M. Matemática com prazer, a par tir da histór ia eda geometr ia. 2a. ed. Piracicaba:EditoraUNIMEP, 1999. 103 p. Citado 2 vezesnas páginas21 e22.

VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dosprocessospsicológicossuperiores. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991. 168 p. (Coleção Psicologia e Pedagogia).Nenhumacitação no texto.

VYGOTSKY, L. S.; LURIA, A. R.; LEONTIEV, A. N. L inguagem, desenvolvimento eapren-dizagem. 13. ed. São Paulo: Icone, 2014. 228 p. (Coleção Educação Crítica). Nenhuma citaçãono texto.

WALKER, W.; SCHATTSCHNEIDER, D. CaleidociclosdeM. C. Escher . São Paulo: TaschenEditora, 1997. 40 p. Nenhumacitação no texto.

WEYL, H. Symmetry. 5. ed. Princeton, New Jersey: Princenton University Press, 1952. 168 p.Nenhumacitação no texto.

87

APÊNDICE

AMOLDES DOS CALEIDOCICLOS

Os moldes dos caleidociclos usados neste trabalho estão aseguir. Existem muitos outros

moldesou sitesem quesepossaencontrar outrosmoldes. Nasreferênciasexistem alguns links

onde poderão ser encontradasmaisopções.

88 APÊNDICE A. Moldes dos caleidociclos

Figura56 – Caleidociclo deSeis Tetraedros com Desenhos


89

Figura57 – Caleidociclo deSeis Tetraedrossem Desenhos



Figura 58 – Caleidociclo Fechado com 12 Tetraedros


91

Figura 59 – Caleidociclo Cubo Invertível



Figura60 – Raio Do Cubo Invertível


93

Figura61 – Terça Parte do Caleidociclo Cubo Invertível



Figura 62 – Terça Parte do Raio do Cubo Invertível


95

Figura 63 – Caleidociclo MilagredeShinsei - Metade do Molde



Figura 64 – Caleidociclo Milagre de Shinsei - Moldecom dois tetraedros


97

Figura 65 – Caleidociclo Milagre deShinsei - 4 Moldes com dois tetraedros



Figura 66 – Caleidociclo de8 Tetraedros Regulares


99

Figura67 – Metade do Caleidociclo de8 Tetraedros Regulares - Parte 1



Figura 68 – Metadedo Caleidociclo de 8 Tetraedros Regulares - Parte2


101

Figura 69 – Caleidociclo Fechado de 8 Tetraedros



Figura 70 – Caleidociclo Fechado de 10 Tetraedros


103

APÊNDICE

BSÓLIDOS LOUCOS

Sólidos loucos são figuras geométricasespaciais com asseguintescaracterísticas:

∙ compostos desólidosmenores;

∙ oscomponentes estão ligados por arestas;

∙ oscomponentes podem ser movimentados formando outros sólidos.

Os sólidos loucos podem ser construídos facilmente com papel. No meio digital, é

conhecido como crazy paper ... ondeo nomefinal varia. Osmais comuns são cylinder ecube.

Essessólidospodem ser utilizadospara atividades com alunosdesde6o ano do Ensino

Fundamental para trabalhar com figuras tridimensionais até o final do Ensino Médio para

relacionar volumeeáreadesuperfície. Não éobrigatório encaixar suaconstrução com algum

conteúdo específico, pois alguns alunos não tiveram a oportunidadede ver algo diferente nos

anosqueseriam mais indicadosepor isso trazem o lúdico enovaperspectivado conhecimento

matemático aqualquer momento davidaescolar ou depoisdela.

Oficinaspodem ser desenvolvidasem programasde interação da escolacom acomuni-

dadecomo, por exemplo, o programaEscoladaFamília, no estado de São Paulo.

Seguem moldese imagensdealgunsdos sólidos loucos encontradosno meio digital.

B.1 Cilindro Alto

Estecilindro ésubdividido em oito sólidos iguais. Cadasólido está ligado aoutrosdoise

cada ligação ocorrepor meio deumaaresta comum.

104 APÊNDICE B. Sólidos Loucos

Figura 71 – Cilindro alto

(a) Posição inicial (b) Metadeshorizontais

(c) Metades Verticais (d) Metades VerticaisOpostas

(e) Cubo vazado (f) Arestasde ligação


B.1. Cilindro Alto 105

Figura72 – Molde do cilindro alto



B.2 Cilindro Baixo

Cilindro subdividido em oito sólidos iguais. Cada sólido está ligado a outros dois e a

ligação entredoisdeles épor meio deumaaresta. Estecilindro émaisbaixo queo anterior enão

tem sobreposição departes naposição inicial.

B.2. Cilindro Baixo 107

Figura 73 – Cilindro baixo

(a) Posição inicial (b) Metadessobrepostas

(c) Quartossobrepostos (d) Oitavos

(e) Arestasde ligação 1 (f) Arestasde ligação 2



Figura 74 – Modelo do cilindro baixo


B.3. HyperQBS 109

B.3 HyperQBS

HyperQBSé um cubo dividido em 12 tetraedros com base em metade da face do cubo e

vérticedapirâmideno centro do cubo. Cada tetraedro está ligado aoutrosdoispor umaaresta

comum.

Vejaalgumas imagens depossibilidadesde formascom o hyperQBSeem seguidadois

moldes.


Figura 75 – HyperQBS

(a) Cubo (b) Cubo - perfil

(c) Trio de losangos (d) Cubo em canto

(e) Cubo em canto - perfil (f) Pirâmidecom cortecúbido

B.3. HyperQBS 111

(g) Pirâmide (h) Contorno Hexagonal

(i) Arestasde ligação



Figura76 – Molde pequeno do HyperQBS


B.3. HyperQBS 113

Figura 77 – Molde grandedo HyperQBS


reginaldo alexandre da silva - usp · 2017. 4. 12. · reginaldo alexandre da silva versÃo...

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