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Reconstrução de Imagens
Prof. Dr. Charlie Antoni Miquelin
Princípios BásicosALGORITMOS!
Conjunto de instruções para gerar um resultado a partir de uma entrada específica.!
Em tomografia computadorizada quase todas as instruções são operações matemáticas.!
TRANSFORMADA DE FOURIER!
A transformada de Fourier é uma ferramenta analítica muito utilizada em matemática, astronomia, química, física e medicina (imagens).!
A compreensão de seu funcionamento tem analogia com a audição.!
Ela pode ser descrita como sendo uma função que descreve a amplitude e as fases de senóides, as quais correspondem a uma freqüência específica. !
Esta função converte um conjunto de dados do domínio espacial para o domínio de frequências.!
A transformada de Fourier divide um sinal em uma série de funções de senos e cossenos de diferentes freqüências e amplitudes.
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Princípios BásicosO perfil de atenuação em Tomografia Computadorizada pode ser colocado em termos de uma função f(x) que por sua vez pode ser expressa em forma de uma Série de Fourier:
f (x) = a02+ (a1 ⋅cos x + b1 ⋅sin x)+ (a2 ⋅cos2x + b2 ⋅sin2x)+ ...+ (an ⋅cosnx + bn ⋅sinnx)
CONVOLUÇÃO!
Técnica para modificar imagens através de filtros. Tais filtros são muitas vezes chamados de kernel.!
O processo envolve a multiplicação de porções sobrepostas do filtro e a curva de resposta do detetor de maneira seletiva para produzir uma terceira função, que é utilizada para a reconstrução das imagens.!
INTERPOLAÇÃO!
É usada principalmente na reconstrução de imagens obtidas por equipamentos helicoidais.!
Técnica matemática para estimar valores de uma função a partir de outros valores conhecidos desta função.
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Reconstrução a partir de projeções
Radon em 1917 desenvolveu soluções matemática para a construção de imagens a partir de projeções em problemas gravitacionais.!
A aplicação na medicina só veio em 1961 na reconstrução de imagens em Medicina Nuclear.!
As primeiras imagens de Hounsfield eram ruidosas devido ao método de reconstrução. Posteriormente outros métodos foram empregados, tendo sido desenvolvidos por Ramachandran e Lakshiminarayanan (1971) e posteriormente usados por Sheep e Logan (1974) para melhorar a qualidade da imagem e o tempo de aquisição.
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O Problema em TCConsidere um objeto O em coordenadas x e y e que os coeficientes de atenuação estão distribuídos no plano (x,y) sendo dados por !(x,y).!
Um feixe tipo lápis dai de Io e chega em I formando uma linha reta, chamada de raio.!
A projeção é dada pela integral de linha de !(x,y):
I = I0e− μ (x,y)
fonte
detetor∑⎡⎣⎢⎤⎦⎥
Tomando o logaritmo negativo a equação anterior pode ser linearizada, onde Tθ(x) é a transmissão no ângulo θ, o qual é a medida da absorção total ao longo da linha reta na figura ao lado.
ln I0I
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = µ(x, y)
fonte
detector
∑
Tθ (x) = lnII0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
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O Problema em TCTθ(x) é a chamado também de soma de raio, que é a integral de !(x,y) ao longo do raio.!
O problema computacional em TC é encontrar os valores de !(x,y) das somas dos raios para uma número suficientemente grande de feixes de localizações conhecidas que passem através do objeto O. A geometria de aquisição assegura que cada ponto do objeto seja irradiado sucessivamente por um grande conjunto de somas de raio Tθ(x).!
Um conjunto de somas de raio é chamada de projeção ou perfil, como visto na figura ao lado, os quais são gerados a cada irradiação do sistema de aquisição de dados. O raio AA’ é igual a x·cosθ+ y·senθ = d . Neste caso a projeção é então dada por: P(θ ,d) = f (x, y)ds
A
A'
∫
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Algoritmos de ReconstruçãoOs algoritmos utilizados para calcular os coeficientes de atenuação de uma amostra de dados. A seguir abordaremos os Algoritmos de Reconstrução mais conhecidos.!
RETRO-PROJEÇÃO!
Também é conhecido como método somatório ou método de superposição linear. É o mais s imples dos métodos de reconstrução.!
Foi utilizado primeiramente por Oldendorf (1961) e Kuhl e Edwards (1963).!
É um método no qual cada projeção obtida é somada as demais em função de seu centro de aquisição.
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Algoritmos de Reconstrução
Considere quatro feixes de raios X passando através de um objeto e produzindo quatro diferentes projeções P1, P2, P3 e P4.!
O problema envolve o uso destes perfis para reconstruir a imagem do objeto desconhecido (buraco) na caixa.!
As projeções são linearmente retroprojetadas em função da direção central em que forma geradas produzindo as imagens BP1, BP2, BP3, BP4.!
A reconstrução por retroprojeção envolve o somatório destas imagens retroprojetadas para formar uma imagem do objeto original.!
Esta técnica não produz imagens com boa definição e detalhamento das estruturas das imagens e por isto não é usado em equipamentos de TC de uso clínico.!
O artefato de padrão de estrela é sempre visível na imagem final neste tipo de reconstrução, isto por que pontos fora do objeto recebem a mesma intensidade retroprojetada que o próprio objeto.!
A retroprojeção também pode ser explicada por meio de uma matriz 2 x 2.
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Algoritmos de ReconstruçãoA partir desta matriz quatro equações são geradas para quatro variáveis desconhecidas, μ1, μ2, μ3,
e μ4.
I1 = I0e−(µ1+µ2 )⋅x
I2 = I0e−(µ3+µ4 )⋅x
I3 = I0e−(µ1+µ3 )⋅x
I4 = I0e−(µ2+µ4 )⋅x
Estas equações podem ser resolvidas fac i lmente por computadores.!
Um exemplo numérico também pode ajudar a entender os cálculos envolvidos.!
Quatro projeções são coletadas em quatro diferentes localizações: 0, 45, 90 e 135o.
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