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Raízes de uma função
Laura Goulart
UESB
14 de Março de 2019
Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 14 de Março de 2019 1 / 17
Aproximação de uma raíz
Dado uma precisão ε > 0, diremos que um ponto c ∈ R é umaaproximação para uma raíz α ∈ R da equação f (x) = 0 quando uma dasseguintes condições forem satisfeitas:
i) |f (c)| < ε
ii) |c − α| < ε
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fases
O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases:
Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] quecontém uma raiz.
Re�namento: Partindo de uma aproximação inicial, utilizamos osmétodos númericos, com precisão pré-�xada e re�namos a solução atéque certos critérios sejam satisfeitos.
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fases
O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases:
Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] quecontém uma raiz.
Re�namento: Partindo de uma aproximação inicial, utilizamos osmétodos númericos, com precisão pré-�xada e re�namos a solução atéque certos critérios sejam satisfeitos.
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fases
O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases:
Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] quecontém uma raiz.
Re�namento: Partindo de uma aproximação inicial, utilizamos osmétodos númericos, com precisão pré-�xada e re�namos a solução atéque certos critérios sejam satisfeitos.
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Isolamento das raízes
O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e quecontenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duasestratégias: análise grá�ca e tabelamento da função.
1 Análise Grá�ca.2 Tabelamento da função.
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Isolamento das raízes
O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e quecontenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duasestratégias: análise grá�ca e tabelamento da função.
1 Análise Grá�ca.
2 Tabelamento da função.
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Isolamento das raízes
O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e quecontenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duasestratégias: análise grá�ca e tabelamento da função.
1 Análise Grá�ca.2 Tabelamento da função.
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Teorema de Bolzano
Teorema
Se f (x) é uma função contínua em [a,b] e f (a) · f (b) < 0 então existepelo menos um ponto α ∈ [a, b] tal que f (α) = 0. Além disso, se aderivada da função preservar o sinal dentro do intervalo( ie, se a função forestritamente crescente ou estritamente decrescente) então a raiz é única.
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Re�namento
Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b]; passa-se a calcular a raiz atravésde métodos numéricos. Para isso, estes métodos devem fornecer umasequência numérica (xn) de aproximações cujo o limite é a raiz exata.
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Métodos estudados
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição;
Método do Ponto Fixo;
Método de Newton-Raphson.
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Métodos estudados
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição;
Método do Ponto Fixo;
Método de Newton-Raphson.
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Métodos estudados
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição;
Método do Ponto Fixo;
Método de Newton-Raphson.
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Métodos estudados
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição;
Método do Ponto Fixo;
Método de Newton-Raphson.
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Métodos estudados
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição;
Método do Ponto Fixo;
Método de Newton-Raphson.
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Método da Bisseção
Seja f (x) uma função contínua em [a,b] e α uma raiz isolada da funçãoneste intervalo.A principal idéia do Método da Bisseção é reduzir o comprimento dointervalo que contém a raíz, de maneira sistemática. Ele é baseado nademonstração do Teorema de Bolzano no qual trabalha com o ponto médiodo intervalo.
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Método da Bisseção
Ou seja, tomemos xk =ak−1 + bk−1
2o ponto médio do intervalo
[ak−1, bk−1]; obtido na iteração anterior. Assim, teremos que α podeencontrar-se no intervalo [ak−1, bk ] ou no intervalo [xk , bk−1]. Isso éfacilmente determinado calculando-se f (xk) e aplicando-se o Teorema deBolzano.
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Critério de parada
No Método da Bisseção, o erro na estimativa será a metade do
comprimento do intervalo em estudo, ie,|ak − bk |
2< ε(ε dado ).
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Exemplo
Determine uma raiz de f (x) = x3 + 3x − 1 pelo método da bisseção comε = 0, 01.
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Convergência do método
O método da bisseção sempre converge,ie, a sequência de aproximaçõesconverge para a raiz α em [a,b].
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Estimativa do número de iterações
O método da bisseção é o único em que é possível estimar o número deiterações.
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Estimativa do número de iterações
k >ln |a0 − b0| − ln ε
ln 2− 1.
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Vantagens
As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
A convergência é sempre garantida;
É possível estimar o número de iterações.
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Vantagens
As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
A convergência é sempre garantida;
É possível estimar o número de iterações.
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Vantagens
As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
A convergência é sempre garantida;
É possível estimar o número de iterações.
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Vantagens
As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
A convergência é sempre garantida;
É possível estimar o número de iterações.
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Desvantagens
O método converge muito devagar;
Deve ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz.
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Desvantagens
O método converge muito devagar;
Deve ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz.
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Desvantagens
O método converge muito devagar;
Deve ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz.
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