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Raízes de Equações não Lineares

Computação – 2º Semestre 2016/2017

Caso de Estudo

Efeito de Estufa

27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares 2

Efeito de Estufa

Tem-se observado ao longo dos anos um aumento da

pressão parcial do dióxido de carbono na atmosfera

327 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares

Efeito de Estufa

Esta tendência pode ser aproximada por um polinómio:

em que representa a pressão parcial de (ppm)

entre 1958 e 2008 aumentou de 315 para 386 ppm (≈22%)

Problema:

Quais as consequências do aumento do no pH da água da chuva?

4

38309.342)1983(418542.1)1983(012226.0 2

2 ttpCO

2COp2CO

2COp

2COp


Efeito de Estufa

O tem uma importância determinante no pH da chuva

O pH é uma medida da actividade dos iões de hidrogénio

que indica a sua acidez ou alcalinidade:

em que [H+] é a concentração molar dos iões de hidrogénio

5

][HlogpH 10

2CO


Efeito de Estufa

A química da água pode ser modelada pelo seguinte conjunto de equações:

em que:

KH é a constante de Henry

K1, K2 e Kw são coeficientes de equilíbrio

cT (carbono total inorgânico), (bicarbonato),

(carbonato), (ião de hidrogénio) e (ião hidroxilo) são as 5 incógnitas.

6

2

][HCO][H10

-

36

1

COH pKK

][HCO

][CO][H-

3

-2

32

K ][OH][H -wK

][CO][HCO10

2-

3

-

36

2 COH

T

pKc ][H][OH][CO2][HCO0 --2

3

-

3

][HCO-

3

][CO-2

3 ][H ][OH


Efeito de Estufa

Problema:

Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014

Comparar os resultados em 1958 em que com os de

2008 em que

Os valores de pH[2,12] só podem ser medidos com 2 decimais

Solução:

7

3152COp

3862COp

2

][HCO][H10

-

36

1

COH pKK

2][H10

][HCO6

1-

3 COH pKK

][HCO

][CO][H-

3

-2

32

K][H

][HCO][CO

-

322-

3

K

226

-

3212-

3][H10

][HCO][CO COH pK

KK

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que


Solução:

Calcular o valor de pH que é a raiz da equação

Como apenas estamos interessados em obter 2 decimais correctas:

Iterações com o método da bissecção:

8

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H

005.0tE

ntol

ab

2log


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que


Solução:

Calcular o valor de pH que é a raiz da equação

Como o pH varia entre 2 e 12 podemos calcular o número de

iterações que garante a precisão desejada:

>> n = log2((12-2)/0.005)

n = 10.9659

9

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H

(número iterações = 11)


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que

Solução:

Traduzindo a função para MATLAB:function f = fpH(pH,pCO2)

K1=10^-6.3;K2=10^-10.3;Kw=10^-14;

KH=10^-1.46;

H=10^-pH;

f=K1/(1e6*H)*KH*pCO2+2*K2*K1/(1e6*H^2)*KH*pCO2+Kw/H-H;

end

10

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que

Solução:

Podemos calcular o pH em 1958:>> [pH1958 fx ea iter]=bisect(@fpH,2,12,1e-8,11,315)

pH1958 = 5.6279

fx = -2.7163e-008

ea = 0.08676

iter = 11

11

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H

(número iterações = 11)

(muito pequeno)

5.63 (2 decimais correctas)


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que

Solução:

Podemos calcular o pH em 1958:>> [pH2008 fx ea iter]=bisect(@fpH,2,12,1e-8,11,386)

pH2008 = 5.5889

fx = 2.9653e-008

ea = 0.0874

iter = 11

12

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H

5.59 (2 decimais correctas)


Efeito de Estufa

Problema:



2008 em que

Solução:

1958 :

2008 :

13

3152COp

3862COp

][H][H][H10

2][H10

022 26

12

6

1

w

COHCOH

KpK

KKpK

K

][HlogpH 10

pH10][H

3152COp 63.5pH

3862COp 59.5pH

%5.22 %78.0


Caso de Estudo

Atrito de um fluido

27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares 14

Atrito de um fluido

A determinação do atrito de um fluido quando passa num tubo é um problema importante em muitas áreas de ciência e engenharia:

Passagem de líquidos ou gases em canalizações

Corrente sanguínea

A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de atrito f:

onde: → rugosidade (m); D→ diâmetro (m)

→ nº de Reynold

→ densidade do fluido (kg/m3);

V → velocidade (m/s); → viscosidade (Ns/m2);

15

fDf Re

51.2

7.3log0.2

10

VDRe


Atrito de um fluido

A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de

atrito f:

Neste estudo: passagem do ar num tubo estreito

= 1.23 kg/m3; = 1.7910-5Ns/m2; D= 0.005 m; V = 40 m/s; = 0.0015(mm);

Os valores de f estão entre 0.008 e 0.08

Pode ser calculada uma estimativa aproximada de f com a equação

de Swamee-Jain:

16

fDf Re

51.2

7.3log0.2

10

VDRe

2

9.0Re

74.5

7.3ln

325.1

D

f


Atrito de um fluido

Solução:

Antes de resolver fazemos o plot>> rho=1.23;mu=1.79e-5;D=0.005;V=40;e=0.0015/1000;

>> Re=rho*V*D/mu;

>> g=@(f) 1/sqrt(f)+2*log10(e/(3.7*D)+2.51/(Re*sqrt(f)));

>> fplot(g,[0.008 0.08]),grid,xlabel('f'),ylabel('g(f)')

17

743.131079.1

005.0)40(23.1Re

5

VD

fffg

743.13

51.2

)005.0(7.3

0000015.0log0.2

1)(


Atrito de um fluido

A solução é 0.03

Método de Newton-Raphson:>> dg=@(f) -2/log(10)*1.255/Re*f^(-3/2)/(e/D/3.7 ...

+2.51/Re/sqrt(f))-0.5/f^(3/2);

>> [f ea it]=newtraph(g,dg,0.008)

f =

0.02896781017144

ea =

6.870124190058040e-006

it =

6

>> [f ea iter]=newtraph(g,dg,0.08)

f =

NaN + NaNi


Atrito de um fluido

O método de Newton-Raphson é muito eficiente mas

requer boas estimativas iniciais.

Sabendo a equação de Swamee-Jain:>> fSJ=1.325/log(e/(3.7*D)+5.74/Re^0.9)^2

fSJ =

0.02903099711265

>> [f ea iter]=newtraph(g,dg,fSJ)

f =

0.02896781017144

ea =

8.510189472800060e-010

iter =

3


Atrito de um fluido

Se usarmos a função fzero também podemos ter problemas:>> fzero(g,0.008)

Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign

change because complex function value encountered during search.

(Function value at -0.0028 is -4.92028-20.2423i.)

Check function or try again with a different starting value.

ans =

NaN

>> fzero(g,0.08)

ans =

0.02896781017144


Atrito de um fluido

Este problema também pode ser resolvido pelo método das

substituições sucessivas:

21

21

Re

51.2

7.3log

25.0

i

i

fD

f


Problemas

27 Março 2017 22Raízes de Equações não Lineares

Problemas

1. Considere a seguinte função:

a) Use o gráfico da função para identificar um intervalo inicial onde estão

todas a raízes da função.

b) Use o método da bissecção para calcular a primeira raiz da função

com a garantia de correcção 4 casas decimais.

c) Use o método de pesquisa incremental para localizar automaticamente

todas as raízes da função.

d) Defina uma função que combine os métodos anteriores para calcular

todos os zeros da função com 4 casas decimais correctas.

(baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas)

23Raízes de Equações não Lineares

12211875.2)( 23 xxxxf

27 Março 2017

Problemas

2. Considere a seguinte função:

a) Use o gráfico da função para identificar uma boa estimativa inicial para

a raíz da função.

b) Use o método das substituições sucessivas para calcular a raiz da

função com um erro aproximado inferior a 0.001%.

c) Use o método de Newton-Raphson para calcular a raiz da função com

um erro relativo inferior ou igual a 10-8.

d) Use a função fzero para calcular a raiz da função com um erro

relativo inferior ou igual a 10-8.

(baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas)

24Raízes de Equações não Lineares

xxxf )sin()(

27 Março 2017

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