radiação cósmica de fundo, flutuações primordiais...

l. Elcio Abdallaaula 5

Radiação cósmica de fundo, flutuações

primordiais e Inflação

• Review: formação de estrutura

• A radiação cósmica de fundo (RCF)

• A RCF e as flutuações primordiais: o espectro das perturbações

• O mecanismo básico de criação de partículas

• Criação de perturbações pela inflação: formalismo genérico

• O espectro de perturbações da inflação power-law

• Fenomenologia dos modelos inflacionários

l. Elcio Abdallaaula 5 5.1 formação de estruturas: review

História da formação de estruturas

Já aprendemos que:

As perturbações de escala maior que o horizonte (H-1) permanecem sempre constantes: é só quando elas “entram no horizonte” que podem (ou não) começar a crescer e formar estruturas.

Na era da radiação não há formação de estruturas, ou seja, o contraste de densidade δρ/ρ permanece constante em todas as escalas.

Na era da matéria as perturbações de escalas sub-horizonte começam a crescer: o contraste de densidade cresce proporcionalmente ao fator de escala.

Uma das principais consequências disso é que as perturbações em escalas muito grandes têm a mesma amplitude que tinham nos primórdios do universo.

Se observarmos perturbações em larguíssimas escalas, estaremos observando uma inomogeneidade que ficou congelada desde o instante em que foi criada.

l. Elcio Abdallaaula 5 5.2 a radiação cósmica de fundo

A radiação cósmica de fundo

No instante do desacoplamento, as perturbações nos fluidos de radiação e de matéria fria têm a mesma amplitude (seus contrastes de densidade são praticamente iguais).

As perturbações em escalas grandes são aproximadamente constantes.

Fim da era da radiação

Mas, como o desacoplamento ocorre depois do fim da era da radiação, na era da matéria....as escalas pequenas já

haviam começado a crescer.

Então esperamos que as escalas maiores tenham permanecido constantes, enquanto as escalas menores apresentem algumas oscilações, correspondendo ao colapso gravitacional das primeiras estruturas e sua interação com a radiação (que


De fato:

5.2 a radiação cósmica de fundo

Escalas pequenas: oscilações

Escalas grandes: constante

Características das flutuações de temperatura (largas escalas):

01)1( 3 =Δ

=Δ

∫V T

TxdVT

T

10

23

2

10

)(1)2(

−≅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ∫V T

xTxdVT

T

Mas o que isso realmente nos diz a respeito das flutuações de densidade? Como podemos usar a informação contida na RCF para determinar o espectro primordial das flutuações?

l. Elcio Abdallaaula 5 5.3 rcf e espectro de perturbações

A amplitude das flutuações de temperatura em largas escalas dependem de dois fatores:

1) flutuações intrínsecas de densidade (regiões mais densas são regiões mais quentes)

2) os potenciais gravitacionais causados por essas flutuações de densidade (fótons vindo de uma região mais densa têm que emergir de um poço de potencial mais profundo, portanto sofrem maior redshift).

A superposição desses dois efeitos dá o efeito Sachs-Wolfe:

…+Φ=Δ

31

TT

As observações da RCF indicam que ΔT/T e Φ têm um espectro invariante de escala (também conhecido como espectro de Harrison-Zeldovich).

O que isso quer dizer é que a média espacial dos quadrados dessas quantidade é aproximadamente independente do tamanho do volume V:

102

32

3 103

11 −≅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Φ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ∫∫VV

xdVT

TxdV

A RCF e o espectro de perturbações

l. Elcio Abdallaaula 5 5.3 rcf e o espectro de perturbações

O que isso significa, em termos dos modos de Fourier desses campos é:

∫ Φ=Φ ⋅

Vk

xkiekdx!!

3

3

)2()(

π

223

3210 |)(|||

)2()(109

11

kkdkkdx

L

k

V

Φ− ∫∫

−−

≡Φ≈Φ=× δπ

Para que essa média (ou valor esperado) seja independente da escala V~L3, é necessário que o espectro δΦ(k) seja uma função que dependa fracamente de k:

1,)(|)(|2

|),(| 122

32 ≅=Φ= −

Φ sn

k nkCkk sηηπ

ηδ

É fácil ver que se ns<1, a integral é dominada pelo IR; dizemos nesse caso que o espectro é “vermelho”. Por outro lado, se ns >1 a integral tem uma contribuição maior no UV; nesse caso o espectro é “azul”. As últimas observações indicam que:

Em suma, as observações da RCF indicam que o espectro das perturbações é aproximadamente invariante de escala, com amplitude da ordem de 10-10.

Além disso, como sabemos que em largas escalas as flutuações são constantes, esse espectro é o espectro primordial. Vamos reproduzi-lo a

05.096.0 ±=snMelchiorri, Bode, Bahcall and Silk, astro-ph/0212276 (12/12/2002).

l. Elcio Abdallaaula 5 5.4 a física da criação de partículas

A física do mecanismo de criação de partículas

Horizonte H-1

A inflação (aceleração) converte pares virtuais em

pares reais

expansão acelerada separa os pares

Parker ‘68-’69, Birrel &

Davies ‘82,

Mukhanov & Chibisov ‘81,

Hawking, Guth

& Pi ‘82


5.5 Perturbações de um campo escalar durante a inflação: formalismo

5.5 perturbações durante a inflação

G16,)()(21 22

24 πκϕϕ

κ µ =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −∂−−= ∫ VRgxdS

)()()( 0 xx δϕηϕϕ +=

)]([)()( 2 xaxgµνµνµν

ψηη += )(/:conforme Tempo

0 tadtddx == η

•Após diagonalização e integração por partes, os termos quadráticos são:

{ } ...)()()'( 2222214

2 +−∇−= ∫ vvvxdS ηµ

0)]([ 22 =++ʹ́⇒ kk vkv ηµ

∫+→

+→ −

)'(')()( : IR

: UV

2

ikηikη

ηη

ηηzdzDzCv

eBeAv

kkk

kkk

)()()(2

ηη

ηµzz ʹ́

−=

•Soluções no ultravioleta (k2>>µ2) e no

infravermelho (k2<<µ2):

l. Elcio Abdallaaula 5 5.5 perturbações durante a inflação

)',()]',(ˆ),,(ˆ[ xxixxv !!!!δηπη =• Quantização:

• Vácuo: ak|0>=0 Porém, )()( 222 ηµηω += kk

ηωηωη kk ik

ik evev −−+ == ,0,0

0 ,:

=> Mistura entre modos com energias positivas e negativas

=> Amplificação da energia de ponto-zero pelo “campo externo” (expansão)

=> Criação de partículas

)](ˆ)(ˆ[),(ˆ ηηη kkk

kk

xki vavaexv +∑ +=!!!

ikvvvvaa kkkkkkkk −=ʹ−ʹ= +++ ,]ˆ,ˆ[ ',*' δ

−++ += ,010

,010

,11 ),(),(: kkkkk vvv ηηβηηαη

•Inflação gera inomogeneidades no “fluido primordial”


. : IR

: UV ikη

Constv

ePv

k

kk

→

→ −

0)]([ 22 =++ʹ́ kk vkv ηµ

222

)()()( Ha

zz

≈ʹ́

−=ηη

ηµ

λphys

t

H-1

Fim da inflação

UVIR

UV

Hoje

5.5 perturbações durante a inflação


O espectro de perturbações dos modelos “power law inflation”

O background ao redor do qual desenvolveremos teoria de perturbações é homogêneo e isotrópico, de curvatura zero, onde o fator de escala é uma lei de potència:

1

))(()1/(

22220

>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−=−−

p

tta

xddadspp

i

p

i ηη

ηη!

1

)1/(1

1 −

−

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ii

p

ii

Hpp

HaaH

η

ηη!

O campo escalar e o potencial que causam essa expansão acelerada são:

)(ln12)(

3116)(

0

2

2

ηκ

ηφ

κφ

φκ

as

eHp

V pi

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−


Tanto a métrica quanto o campo escalar têm flutuações em torno de seus backgrounds. Vamos fixar o gauge longitudinal usado na aula passada:

]))(21()d)(2-(1)[(

)()(2222

0

xdxxads

x!

Φ−+Φ+=

+=

ηη

ϕηφφ

A equação de Einstein 0-i é um vínculo entre a perturbação do campo, ϕ(x), e a perturbação da métrica, Φ(x):

Φ−≡Φ= 12,2 papκ

χκ

ϕ

Substituindo as perturbações na Lagrangeana, expandindo até segunda ordem e eliminando ϕ e Φ por χ, temos a seguinte expressão:

222)2( 1

)1()12(,...

21

ηχχ

−−

+∂=+=pppDDL

Abramo & Woodard, Phys. Rev. D60: 044011

o que evidentemente significa que o campo χ obedece à equação D χ = 0 .

5.6 espectro dos modelos power-law


Podemos agora proceder à quantização do campo χ. Primeiro, escrevemos o campo em termos de operadores de criação e aniquilação:

[ ]∫+⋅−⋅ += kk

xkikk

xki aeaekd

x !!!

!!!

ˆ)(ˆ)()2(

)( *3

3

ηχηχπ

χ

Os operadores ak e a+K obedecem as relações de comutação usuais:

[ ] )'(ˆ,ˆ )3( kkaa kk

!!!! −=+ δ

e os modos são normalizados pelo Wronskiano:

ikkkk −=− '' ** χχχχ

Os quanta de energia negativa são associados com modos de frequências negativas e com os operadores ak .

No caso de power-law inflation, os modos têm soluções exatas:

)()(

)()(,0)(1)1()12(

)2,1(

2/122

2

ηη

ηηηχηχη

ν kHkh

khAppp

kkk

=

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+∂



As funções de Hankel oscilam no limite UV kη<<1, mas são as funções de Hankel do segundo tipo, H(2), que têm frequência negativa e portanto estão associados aos modos χk e aos operadores de aniquilação. Portanto, escrevemos:

)()(

)()()1(2/1**

)2(2/1

ηηηχ

ηηηχ

ν

ν

kHA

kHA

kk

kk

=

=

onde as constantes Ak são determinadas pelo Wronskiano. Usando as relações de comutação das funções de Hankel:

πνννν

izHzzHzHzzH zz4)()()()( )1()1()2()2( =∂−∂

obtemos que o Wronskiano é:

2**

||4''

kkkkk A

ii πχχχχ −=−=−

kik

k

eA

A

θπ

π

2

4|| 2

=⇒

=⇒

E portanto os modos já normalizados têm a seguinte expressão:

)(2

)( )2( ηπη

ηχ νθ kHe ki

k =



Lembre-se de que o campo χ é o mesmo que o potencial newtoniano Φ, a menos de uma normalização:

)()(12

)( ηχη

κη kk ap −

=Φ

e que, portanto, o potencial newtoniano já normalizado tem a seguinte expressão:

11

23,)(

)(14)( )2(

−+=

−=Φ

pkHe

apki

k νηη

πηκη ν

θ

Agora podemos calcular o espectro de perturbações da inflação power-law. Estamos interessados no limite IR do espectro (kη <<1) – ou seja, a região do espectro que de fato sofreu amplificação da energia de ponto zero.A função de Hankel tem a seguinte forma assintótica: ...2)()()2,1( +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ=

ν

ν πν

zizH

e portanto o espectro é:

)1/(222

3

222

2

32

1)(2

32|)(|

2|)(|

−−

Φ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−Γ

=Φ≡p

i

ik H

kp

Hkk νπ

κη

πδ

ν


l. Elcio Abdallaaula 5 5.6 espectro dos modelos power-law

Vamos repetir o resultado obtido quantizando um campo escalar/gravitacional: )1/(2

)1(32)(2222

3

22

|)(|−−

−

ΓΦ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

p

ipi H

kHkπ

νν

κδ

e comparar com aquilo que esperamos analisando os dados observacionais:

⎩⎨⎧

±=

×≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

Φ 05.096.0105.0

,|)(|101

0

2

s

n

Obs nC

kkCk

s

δ

1. A amplitude das perturbações C fixa o parâmetro livre Hi que fixa a escala do potencial:

2. O “índice escalar” ns no modelo power-law é portanto:

κ2 = 16π G

φκ

κφ pi eH

pV

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

3116)( 10

2

222 10−≈=

Pl

ii M

mHκ

05.096.01

21 ±=−

−=p

ns 21≥⇒ p


O Futuro

As possibilidades para aplicações de física teórica em cosmologia são ilimitadas: hoje em dia a qualidade das observações é tal que podemos seriamente fazer com precisão matemática.

Os limites do universo observável estão sendo levados rapidamente à frente. Novos fatos estão sendo adicionados dia a dia. Novas observações estão à nossa espera.

Há uma grande multiplicidade de “modelos cosmológicos”; apesar disso, o “modelo padrão inflacionário” tem se mantido como a teoria mais consistente e bem testada.

O estudo das perturbações é a principal chave para se testar modelos cosmológicos. As perturbações não só explicam alguns dos porquês da história do universo, como revelam até mecanismos quânticos que podem ter sido a chave para o aparecimento das estruturas do universo.

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