Raciocínio em Lógica de Descrições

Menandro Ribeiro Santana

Roteiro

Introdução

Raciocínio em DL

Otimizações em Sistemas de Raciocínio

INTRODUÇÃO

Lógicas de Descrições

Família de formalismos de representação do conhecimento baseados na Lógica Matemática.

– Descrevem o domínio em termos de conceitos, propriedades e indivíduos.

– Possuem semântica formal– Provêem serviços de inferência.

Sintaxe e Semântica das DL’s

Uma interpretação é um par <I, I>, onde: I é o universo de discurso (não-vazio)– I é uma função de interpretação, que mapeia:

• Conceitos para subconjuntos de I

• Papéis para subconjuntos de II

• Instâncias para elementos de I

Sintaxe e Semântica das DL’s

Sintaxe e Semântica das DL’s

S = FL- +AL*+

papéis transitivos– SHIQ

Famílias de DL’s

Base de Conhecimento em DL

Par <TBox, ABox> onde:

– TBox (Terminological Box)• Conhecimento Intensional: conhecimento geral

sobre o domínio do problema.

– ABox (Assertional Box)• Conhecimento Extensional: especifica um problema

particular.

TBox

Conhecimento intensional na forma de terminologia.

Construído através de declarações que descrevem as propriedades gerais dos conceitos.

– Conceito primitivo (base)PessoaFêmea

– Conceito complexoMulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea

As declarações do TBox são representadas como: – Equivalências lógicas (condições necessárias e

suficientes) : ≡

– Inclusão (condições necessárias) :

Características das declarações:– Somente é permitida uma definição para cada nome de

conceito.

– É recomendado que as definições sejam acíclicas, isto é, não podem ser definidas em termos de:

• Elas mesmas

• Outros conceitos que indiretamente se referem a elas.

TBox

TBox - Exemplo

ABox

Conhecimento extensional, que especifica os indivíduos do domínio.

Instanciação da estrutura de conceitos.

Tipos de Declarações no ABox

Declaração de Conceitos : C(a)– Declara que “a” é um indivíduo do conceito C.– Ex : Pessoa(Ana)

Declaração de Papel : R(a,b)– Declara que o indivíduo “a” está relacionado

com o indivíduo “b” através da propriedade R.– Ex : temFilho(Ana,João)

ABox - Exemplo

RACIOCÍNIO EM DL

Raciocínio em DL

SatisfatibilidadeSubsunçãoConseqüência LógicaChecagem de EquivalênciaChecagem de ConsistênciaChecagem de InstânciaConsulta a Ontologia

Um conceito é satisfatível com respeito a um TBox T se existe uma interpretação I de T tal que CI é não vazio. Neste caso dizemos que I é um modelo de T.

Satisfatibilidade

Satisfatibilidade - Exemplo

TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa

Teste de Satisfatibilidade Mãe(a) ≡ Mulher(a) ┌┐ temFilho(a,b) Mãe(a) ≡ (Pessoa(a) ┌┐ Fêmea(a)) ┌┐ temFilho(a,b)

Insatisfatibilidade - ExemploTBox

Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬MulherHermafrodita ≡ Homem ┌┐ Mulher

Teste de SatisfatibilidadeHermafrodita(a) ≡ Homem(a) ┌┐ Mulher(a)Hermafrodita(a) ≡ Pessoa(a) ┌┐ ¬Mulher(a) ┌┐

Mulher(a)

Subsunção

Um conceito C é classificado por um conceito D com respeito a um TBox T se CI DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C T D ou T ╞ C D .

– O conceito D é chamado classificador– O conceito C é chamado classificado.

Subsunção - Exemplo

TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa

Relacionamento entre os conceitos Mãe Mulher Classificador : Mulher Classificado : Mãe

Conseqüência Lógica

Se todo modelo da BC A é também modelo da BC B, então B é Conseqüência Lógica de A

– TBox:teaches.Course Undergrad └┘ Professor

– ABox:• teaches ( john , cs415 ) ; Course ( cs415 ) ;• Undergrad ( john )

– Professor ( john )?

Dois conceitos C e D são equivalentes com respeito a um TBox T se CI = DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C ≡T D ou T ╞ C ≡ D .

Checagem de Equivalência

Checagem de Equivalência - Exemplo

TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher Masculino ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea

Expansão do TBox e Simplificação Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬ Mulher Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬(Pessoa ┌┐ Fêmea) Homem ≡ Pessoa ┌┐ (¬Pessoa └┘ ¬Fêmea) Homem ≡ (Pessoa ┌┐ ¬Pessoa) └┘ (Pessoa ┌┐ ¬Fêmea) Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea

Relacionamento entre os conceitos HomemI = MasculinoI

Checagem de Consistência

Um ABox A é consistente com relação a um TBox T se existe uma interpretação que é modelo de ambos, A e T.

Checagem de Consistência - Exemplo

TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher Pai ≡ Homem ┌┐ temFilho. Pessoa

ABox Mulher(Jaguaraci) Pai(Jaguaraci) temFilho(Jaguaraci, Ana) Mulher(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ Fêmea(Jaguaraci) Pai(Jaguaraci) ≡ Homem(Jaguaraci) ┌┐ temFilho(Jaguaraci, Ana) Homem(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ ¬Mulher(Jaguaraci)

Checagem de Instância

Verifica se um dado indivíduo é uma instância de um conceito específico.

Exemplo:TBox

Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaMãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa

ABoxMulher(Maria)temFilho(Maria,Pedro)

Checagem de InstânciaMãe(Maria)Mãe(Maria) ≡ Mulher(Maria) ┌┐ temFilho. Pessoa

Consulta a Ontologia

Encontra os indivíduos na base de conhecimento que são instâncias de um dado conceito.

Exemplo: ABox

Mulher(Maria)

Homem(João)

Homem(Pedro)

Resposta da Consulta

Homem → João, Pedro

Mulher → Maria

Redução

É possível implementar os serviços de raciocínio para o TBox a partir da satisfatibilidade ou da subsunção dependendo da lógica de descrições utilizada.– Interseção (┌┐) e conceito de insatisfatibilidade

(┴) : Redução a Subsunção.

– Interseção (┌┐) e negação (¬) : Redução a Satisfatibilidade.

Redução a Subsunção

Proposição (Redução a Subsunção)

Para conceitos C e D temos:

(i) C é INSAT C ┴ ;(ii) C = D (C D) ┌┐ (D C);

(iii) C e D disjuntos (C ┌┐ D) ┴ .;

Redução a Satisfatibilidade

Proposição ( Redução a Satisfatibilidade )

Para conceitos C e D temos:

(i) C D (C ┌┐ ¬D) ┴ .

(ii) C = D (( C ┌┐ ¬D) ┴) ┌┐ ((¬C ┌┐ D ) ┴);

(iii) C e D disjuntos (C ┌┐ D) ┴

Algoritmo Tableau

Ao invés de testar diretamente a subsunção dos conceitos, este algoritmo usa a negação para reduzir a subsunção a (in)satisfatibilidade dos conceitos.

C D se somente se C ┌┐ ¬D é INSAT

C D se somente se (C ┌┐ ¬D) ┴

C D ≡ C → DC → D ≡ ¬C└┘DPara realizar o algoritmo tableau é

necessário negar a expressão (¬C └┘ D) e chegar a insatisfatibilidade.

¬(¬C └┘ D) ≡ C ┌┐ ¬DC ┌┐ ¬D é insatisfatível

Algoritmo Tableau

Exemplo

Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐

(R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B).

C = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ (¬ R.(A ┌┐ B))

Forma normal de negação:

C0 = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ R.(¬A └┘ ¬B))

Construir uma interpretação finita I tal que C0

I .

– Gerar um indivíduo b tal que b C0I .

– b (R.A)I, b (R.B)I , b R.(¬A └┘ ¬B)I.

– b (R.A)I deve existir um indivíduo c tal que (b,c) RI e c AI .

– b (R.B)I deve existir um indivíduo d tal que (b,d) RI e d BI .

– b R.(¬A └┘ ¬B)I.

– c (¬A └┘ ¬B)I e d (¬A └┘ ¬B)I .

– c (¬A └┘ ¬B)I c (¬A)I ou c (¬B)I .

– d (¬A └┘ ¬B)I d (¬A)I ou d (¬B)I .

Conclusão: (R.A) ┌┐ (R.B) não é subclasse de R.(A ┌┐ B)

As restrições são expressadas como declarações do ABox.

Seja C0 um conceito ALCN na forma de negação normal.

O algoritmo inicia com o ABox A0 = {C0(x0)}.Utilizar as Regras de transformação do algoritmo

de satisfatibilidade, até que nenhuma delas possa ser usada.

ABox Completo – ABox onde todos os ramos possíveis foram expandidos.

Algoritmo Tableau

R1=H ┌┐ G R2=H └┘ G R3=HG

H

G H G H G

R4=HG R5=H R6=(H ┌┐ G)

H

H┌┐G H┌┐G H G

R7=(H └┘ G) R8=(HG) R9=(HG)

H H

G G H┌┐G H┌┐G

Regras – Lógica Proposicional

R1=(H ┌┐ G)(x) R2=(H └┘ G)(x)

H(x)

G(x) H(x) G(x)

R3= (R.C)(x)

C(y)

R(x,y)

R4= (R.C)(x) e R(x,y)

C(y)

Regras – DL (ALC)

onde y é um nome de indivíduo que não ocorre em A

R6= (nR)(x) R7= (nR)(x)

R(x,z1) R(x,z1)

R(x,z2) R(x,z2)

: :

R(x,zn) R(x, zn)

R(x, zn+1)

zi≠zj não está em KB (com i≠j)

zi=zj

Regras – DL (N)

R8= (R.C)(x) e R+

C(y)

(R.C)(x) onde C não é atômico

Problema

- Regra gera recursividade

Solução

- Bloqueio, após perceber que nada de novo está sendo gerado

Regras – DL (R+)

Regras – DL (R+)

Regras – DL (R+)

Regras – DL (R+)

Algoritmo Tableau

Um conceito C é insatisfatível sse

KB ┌┐ C = ┴ em todas as interpretações – Cada ramo do Abox contém uma contradição (clash) de

um dos seguintes tipos:

1. {┴ (x)} KB para algum nome de indivíduo x;

2. {A(x), ¬A(x)} KB para algum nome de indivíduo x e algum nome de conceito A;

3. (nR)(x) R(x,yi) | 1 i n+1} {yi yj | 1 i j n+1} KB para nomes de indivíduos x, y1,..., yn+1 , um inteiro não negativo n e um nome de papel R.

Aplicação do Tableau : Exemplo 1

Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B).

– C = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ (¬ R.(A ┌┐ B))

Forma normal de negação:

– C0 = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ R.(¬A └┘ ¬B))

Aplicação do Tableau : Exemplo 2

Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ 1 R é subclasse de R.(A ┌┐ B).

– C = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐(¬ R.(A┌┐ B))

Forma normal de negação:

– C0 = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐R.(¬A└┘ ¬B))

Aplicação do Tableau : Exemplo 3

Seja a BC– Conference progChair.Person progChair.T Event– Conference (eswc)

Provar – Event(eswc)– Verificar se Conference (eswc) ┌┐ ¬Event(eswc)

é insatisfatível

Aplicação do Tableau : Exemplo 3

OTIMIZAÇÕES EM SISTEMAS DE RACIOCÍNIO

Expansão do TBox - Unfold

Pode-se reduzir os problemas de raciocínio com relação a um TBox acíclico T para problemas com respeito ao TBox vazio.– TBox vazio: TBox no qual todos os conceitos

complexos são definidos apenas com a utilização de conceitos primitivos.

– Necessário expandir as definições de conceitos armazenados no TBox.

– Permite encontrar mais facilmente as semelhanças entre conceitos, contradições, etc.

Cada definição está na forma A ≡ D onde D contém somente símbolos base.– OBS: A D pode ser substituído por A ≡ Ā ┌┐ D ,

sendo que Ā é um novo símbolo base.

Para cada conceito C, definimos a expansão de C com respeito a T como o conceito C’ que é obtido de C pela substituição de cada ocorrência de um nome de símbolo A em C pelo conceito D.

Expansão do TBox

Expansão do TBox - Exemplo

Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬MulherMãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. PessoaPai ≡ Homem ┌┐ temFilho. PessoaPais ≡ Pai └┘ Mãe

Expansão do TBox - Exemplo

Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)Mãe ≡ (Pessoa ┌┐ Fêmea) ┌┐ temFilho.

PessoaPai ≡ (Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)) ┌┐

temFilho. PessoaPais ≡ ((Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)) ┌┐

temFilho. Pessoa) └┘ ((Pessoa ┌┐ Fêmea) ┌┐ temFilho. Pessoa)

Otimizações de pré-processamento

Normalização

Absorção

NormalizaçãoSimplificação da BC identificando :

– Equivalências sintáticas– Contradições e – Tautologias

Todos os conceitos devem ser modificados para se adequar a um formato padrão– Utiliza apenas o conjunto completo de

conectivos ¬ e ┌┐.

Normalização

Exemplos:(¬D └┘ ¬C) é transformado em ¬(D ┌┐ C).

∃ R. é simplificado para .⊥ ⊥

Absorção

Eliminação de axiomas gerais aumentando a definição destes axiomas.– Axiomas gerais na forma C D,⊆

• C é um conceito não atômico

• São manipulados até chegar em A D’, onde A é ⊆atômico.

– Este axioma pode então ser fundido dentro de uma definição primitiva existente A C’, para ⊆resultar em A C’ ⊆ ┌┐ D’.

Regras de Absorção

A ┌┐ B D, A atômico ⊆A D ⊆ └┘ ¬ B.

A └┘ B D, A atômico ⊆

A D ⊆ ┌┐ ¬ B.

Absorção

Exemplo:

(Homem ┌┐ temFilho.Pessoa Pai) resulta em∃ ⊆(Homem Pai ⊆ └┘ ¬ temFilho.Pessoa)∃

Homem ¬ Mulher⊆Absorção:Homem ¬ Mulher ⊆ ┌┐ (Pai └┘ ¬ temFilho.Pessoa)∃

Otimizações de Classificação

Hierarquia de conceitos representada por um grafo acíclico direto– Nós são rotulados com os nomes dos conceitos– Arcos correspondem a relações de classificação

Um conceito A classifica um conceito B se:– Ambos A e B estão no rótulo do mesmo nó x– A está no rótulo de algum nó x, e existe um

arco (x,y) no grafo e um conceito (s) no rótulo do nó y, que classifica B.

Otimizações de Classificação

Hierarquia de conceitos representada por um grafo acíclico direto– Nós são rotulados com os nomes dos conceitos– Arcos correspondem a relações de classificação

Um conceito A classifica um conceito B se:– Ambos A e B estão no rótulo do mesmo nó x– A está no rótulo de algum nó x, e existe um arco

(x,y) no grafo e um conceito (s) no rótulo do nó y, que classifica B.

Otimizações de Classificação

Minimização do número de testes de classificação através de algoritmos de busca que percorrem o grafo:– Da base para o topo: encontra conceitos

classificados– Do topo para a base: encontra conceitos

classificadores.

São encontradas as classificações óbvias, diminuindo o custo de processamento causado pelo teste de classificação.

Otimizações de Classificação

Transitividade da relação de subsunção: – Se A não é subclasse de B, então ele não pode

ser subclasse de nenhum outro conceito que seja subclasse de B.

• Busca do topo: testa se A classifica B somente quando se sabe que B é subclasse de todos os conceitos que classificam A.

• Busca da base: testa se A classifica B somente quando se sabe que A classifica todos os conceitos que são subclasse de B.

Otimizações do Teste de Subsunção

Detecta não-classificações óbvias.Baseia-se no armazenamento das árvores de

expansão construídas anteriormente para evitar repetições futuras.

Exemplo:A ≡ C ┌┐ R1C1 ┌┐ R2C2

B ≡ ¬D └┘ R3C3.

Provar que A não é subclasse de BA┌┐¬B é satisfatível

Otimizações do Teste de Subsunção

Otimizações do Teste de Satisfatibilidade

Teste realizado após a execução de todas as otimizações.– Diminuição de custo computacional.

Algoritmo Tableau– Padrão: Ramos Sintáticos– Otimizado: Ramos Semânticos

Ramos Semânticos

Ramos sintáticos– Ao expandir um nó do grafo (árvore), escolhe-se

uma disjunção não expandida e inicia-se a busca pelos diferentes modelos gerados pela adição de cada um dos membros da disjunção.

– Não há uma prevenção de recorrência de um conceito insatisfatível em ramos diferentes.

– Alto custo dependendo da dificuldade encontrada para provar a insatisfatibilidade deste conceito disjunto.

Ramos Semânticos

Ramos semânticos:– Ao expandir um nó do grafo (árvore), escolhe-

se um dos membros isolados da disjunção não expandida e gerasse dois novos ramos, adicionando em um ramo o conceito escolhido e no outro a sua negação.

– Não ocorrem buscas desnecessárias como na busca por ramos sintáticos, pois os ramos são estritamente disjuntos.

Ramos SemânticosBusca Sintática de Ramos

Busca Semântica de Ramos

Bibliografia

NARDI, D.; BRACHMAN, R. “An Introduction to Description Logics”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.

BAADER, F.; NUTT, W. “Basic Description Logics”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.

BAADER, F. “Description Logic Terminology”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.

Bibliografia

HORROCKS, I. “Implementation and Optimisation Techniques”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003a.

VIEIRA, R.; ABDALLA, D.; SILVA, D. M.; SANTANA, M. R. “Web Semântica: Ontologias, Lógicas de Descrições e Inferências”. In: Web e Multimídia: Desafios e Soluções. PUC Minas, 2005.