questões q9.1 sua resposta for negativa. explique por que ... · 9.4 as lâminas de um ventilador...
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Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Questões
Q9.1 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é
rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola
é mais rápida no final do rebobinamento?
Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo
deve ser perfeitamente rígido para que todos os pontos do
corpo girem com a mesma velocidade angular e com a
mesma aceleração angular? Explique.
Q9.3 Qual é a diferença entre a aceleração
tangencial e a aceleração radial de um ponto em um
corpo que gira?
Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente
possuem a mesma velocidade escalar linear v. O módulo
da aceleração linear a também é o mesmo para todos os
pontos ao longo da corrente? Qual é a relação existente
entre a aceleração angular das duas rodas dentadas?
Explique.
Q9.5 Na Figura 9.11, qual é a relação entre a
aceleração radial de um ponto sobre o dente de uma das
rodas e a aceleração radial de um ponto sobre o dente da
outra roda dentada? Explique o raciocínio que você usou
para responder a essa pergunta.
Q9.6 Um volante gira com velocidade angular
constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração
tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações
possuem um módulo constante? Possuem direção
constante? Explique o raciocínio usado em cada caso.
Q9.7 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da
máquina de lavar roupa? Explique em termos dos
componentes da aceleração.
Q9.8 Embora a velocidade angular e a aceleração
angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento
angular θ, apesar de possuir módulo e sentido, não é
considerado um vetor. Isso porque o ângulo θ1 não segue
as regras da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l
.4)). Prove essa afirmação do seguinte modo. Coloque um
dicionário apoiado horizontalmente sobre a mesa à sua
frente, com a parte superior voltada para você de modo que
você possa ler o título do dicionário. Gire a aresta mais
afastada de você a 90° em torno de um eixo horizontal.
Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a
aresta esquerda 90° se aproximando de você em torno de
um eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de θ1.
A lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c
você poderá ler as palavras impressas na lombada. Agora
repita as duas rotações de 90°, porém em ordem inversa.
Você obtém o mesmo resultado ou não? Ou seja, θ2 + θ1 é
igual a θ2 + θ1,? Agora repita a experiência porém com um
ângulo de l ° cm vez de 90°. Você acha que um
deslocamento infinitesimal dê obedece à lei comutativa da
adição e, portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua
resposta seja afirmativa, como você relaciona a direção e o
sentido de dê com a direção e o sentido de tu?
Q9.9 Você consegue imaginar um corpo que
possua o mesmo momento de inércia para todos os eixos
possíveis? Em caso afirmativo, forneça um exemplo e, se
sua resposta for negativa. explique por que isso seria
impossível. Você pode imaginar um corpo que possua o
mesmo momento de inércia em relação a todos os eixos
passando em um ponto específico? Caso isso seja possível,
forneça um exemplo e diga onde o ponto deve estar
localizado.
Q9.10 Para maximizar o momento de inércia de
um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma
e como sua massa deve ser distribuída? Explique.
Q9.11 Como você poderia determinar
experimentalmente o momento de inércia de um corpo de
forma irregular em relação a um dado eixo?
Q9.12 Um corpo cilíndrico possui massa M e raio
R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal
modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo
de simetria seja maior do que AW2? Explique.
Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2
poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte
(d).
Q9.14 O momento de inércia I de um corpo rígido
em relação a um eixo que passa em seu centro de massa é
Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I
seja menor do que Icm? Explique.
Q9.15 Para que as relações de / fornecidas nas
partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam válidas, é necessário
que a barra tenha uma seção rota circular? Existe alguma
restrição sobre a área da seção reta para que essas relações
sejam válidas? Explique.
Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da
placa deve ser menor que a para que a expressão de I possa
ser aplicada. Porém, na parte (c), a expressão se aplica para
qualquer espessura da placa. Explique.
Q9.17 Na Figura 5.26a use as expressões
21
2K m v e
21
2K I para calcular a energia
cinética da caixa (considerando-a uma partícula única).
Compare os dois resultados obtidos. Explique esses
resultados.
Q9.18 A Equação (9.18) mostra que devemos
usar ycm para calcular U de um corpo com uma distribuição
de massas contínua. Porém no Exemplo 9.9 (Seção 9.5). y
não foi medido em relação ao centro de massa mas, sim, a
partir do ponto inferior da massa pendurada. Isso está
errado? Explique.
Q9.19 Qualquer unidade de ângulo — radiano,
grau ou revolução — pode ser usada em alguma equação
do Capítulo 9, porém somente ângulos em radianos podem
ser usados em outras. Identifique as equações para as quais
o uso do ângulo em radianos é obrigatório e aquelas para
as quais você pode usar qualquer unidade de ângulo, e diga
o raciocínio que foi usado por você em cada caso.
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SEÇÃO 9.2
VELOCIDADE ANGULAR
ACELERAÇÃO ANGULAR
9.1 (a) Calcule o ângulo em radianos subtendido por
um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma
circunferência de raio igual a 2.50 m. Qual é esse ângulo em
graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende
um ângulo de 128° em um círculo. Qual é o raio da
circunferência desse círculo? (c) E de 0.700 rad o ângulo
entre dois raios de um círculo de raio igual a 1.50 m. Qual é o
comprimento do arco sobre a circunferência desse círculo
compreendido entre esses dois raios?
9.2 A hélice de um avião gira a 1900 rev/min. (a)
Calcule a velocidade angular da hélice em rad/s. (b) Quantos
segundos a hélice leva para girar a 35°?
9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2
(Seção 9.2).
(a) Calcule a aceleração angular instantânea para t =
3.5 s. Explique porque seu resultado é igual à aceleração
angular média para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.
(b) Calcule a velocidade angular instantânea para t =
3.5 s. Explique por que seu resultado não é igual à velocidade
angular média para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5
s corresponda ao valor médio desse intervalo de tempo.
9.4 As lâminas de um ventilador giram com
velocidade angular dada por 2t t , onde =
5.00 rad/s e = 0.800 rad/s2.
(a) Calcule a aceleração angular em função do
tempo,
(b) Calcule a aceleração angular instantânea a para t
= 3.00 s e a aceleração angular média αmed para o intervalo de
tempo t = 0 até t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem
ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são
diferentes?
9.5 Uma criança está empurrando um carrossel. O
deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de
acordo com a relação 3t t t , onde = 0.400
rad/s e = 0.0120 rad/s2.
(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em
função do tempo,
(b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?
(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea
para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o
intervalo de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que med
não é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t
= 5.00 s e explique a razão dessa diferença.
9.6 Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de
corrente contínua (de) é invertida, produzindo um
deslocamento angular do eixo do motor dado por
2 32 3250 20 1.50t rad s t rad s t rad s t .
(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do
motor se anula?
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a
velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.
(c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do
motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o
momento em que a velocidade angular se anulou?
(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor
para t = 0, quando a corrente foi invertida?
(e) Calcule a velocidade angular média no intervalo
de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).
9.7 O ângulo descrito por uma roda de bicicleta
girando é dado por 2 3t a b t c t onde a, b e c são
constante reais são constantes positivas tais que se t for dado
em segundos, θ deve ser medido em radianos.
(a) Calcule a aceleração angular da roda em função
do tempo.
(b) Em que instante a velocidade angular instantânea
da roda não está variando?
SEÇÃO 9.3
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR
CONSTANTE
9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade
angular de 1.50 rad/s.
(a) Se sua aceleração angular é constante e igual a
0.300 rad/s², qual é sua velocidade angular para t = 2.50 s?
(b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t =
t = 2.50 s?
9.9 Um ventilador elétrico é desligado, e sua
velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min
até 200 rev/min em 4.00 s.
(a) Ache a aceleração angular em rev/s²e o número
de revoluções feitas no intervalo de 4.00 s.
(b) Supondo que a aceleração angular calculada no
item (a) permaneça constante. durante quantos segundos a
mais a roda continuará a girar até parar?
9.10 (a) Deduza a Equação (9.12) combinando a
Equação (9.7) com a Equação (9.11) para eliminar t.
(b) A velocidade angular da hélice de um avião
cresce de 12.0 rad/s até 16.0 rad/s quando ela sofre um
deslocamento angular de 7.00 rad. Qual é a aceleração
angularem rad/s²?
9.11 A lâmina rotatória de um misturador gira com
aceleração angular constante igual a 1.50 rad/s².
(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para
atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?
(b) Qual o número de revoluções descritas pela
rotação da lâmina nesse intervalo de tempo?
9.12 Um volante leva 4.00 s para girar através de um
ângulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante
Final é igual a 108 rad/s. Calcule
(a) a velocidade angular no início desse intervalo de
4.00 s;
(b) a aceleração angular constante.
9.13 A roda de uma olaria gira com aceleração
angular constante igual a 2.25 rad/s². Depois de 4.00 s, o
ângulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a
velocidade angular da roda no início do intervalo de 4.00 s?
9.14 A lâmina de uma serra circular de diâmetro
igual a 0.200 m começa a girar a partir do repouso. Em 6.00 s
ela se acelera com velocidade angular constante ate uma
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velocidade angular igual a 140 rad/s. Calcule a aceleração
angular e o deslocamento angular total da lâmina.
9.15 Um dispositivo de segurança faz a lâmina de
uma serra mecânica reduzir sua velocidade angular de um
valor 1 ao repouso, completando 1.00 revolução. Com essa
mesma aceleração constante, quantas revoluções seriam
necessárias para fazer a lâmina parar a partir de uma
velocidade angular 2 sendo 2 = 31 ?
9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro à
periferia de uma roda. Você escurece a sala e usa uma câmara
e uma unidade estroboscópica que emite um flash a cada
0.050 s para fotografar a roda enquanto ela gira em um
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Você dispara o
estroboscópio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre
quando a fita está na horizontal voltada para a direita com
deslocamento angular igual a zero. Para as situações descritas
a seguir, faça um desenho da foto que você obterá para a
exposição no intervalo de tempo para cinco flashes (para t =
0: 0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faça um gráfico de θ
contra t e de a contra t desde t = 0 até t = 0.200 s.
(a) A velocidade angular é constante e igual a 10.0
rev/s.
(b) A roda parte do repouso com uma aceleração
angular de 25.0 rev/s².
(c) A roda está girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia
sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0
rev/s².
9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui
velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma
aceleração angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um
freio é acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira
432 rad à medida que pára com uma aceleração angular
constante,
(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda
desde t = 0 até o instante em que ela parou?
(b) Em que instante ela parou?
(c) Qual foi o módulo da sua aceleração quando ela
diminuía de velocidade?
9.18 (a) Deduza uma expressão para um movimento
com aceleração angular constante que forneça θ – θ0 em
função de de α e de t (não use 0 na equação),
(b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de
um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de
8.0 s ela girou através de um ângulo de 40.0 rad. Use o
resultado da parte (a) para calcular a aceleração angular
constante da engrenagem,
(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem
para t = 0?
SEÇÃO 9.4 RELAÇÕES ENTRE A
CINEMÁTICA ANGULAR LINEAR E A
CINEMÁTICA
9.19 O rotor principal de um helicóptero gira em um
plano horizontal a 90.0 rev/min. A distância entre o eixo do
rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5.00 m. Calcule a
velocidade escalar da extremidade da lâmina através do ar se
(a) o helicóptero está em repouso no solo:
(b) o helicóptero está subindo verticalmente a 4.00
m/s.
9.20 Um CD armazena músicas em uma
configuração codificada constituída por pequenas reentrâncias
com profundidade de 10 m. Essas reentrâncias são agrupadas
ao longo de uma trilha em forma de espiral orientada de
dentro para fora até a periferia do disco; o raio interno da
espiral é igual a 25.0 mm e o raio externo é igual a 58.0 mm.
À medida que o disco gira em um CD player, a trilha é
percorrida com uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.
(a) Qual é a velocidade angular do CD quando a
parte mais interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a
pane mais externa está sendo percorrida?
(b) O tempo máximo para a reprodução do som de
um CD é igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da
trilha desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma
trilha reta?
(c) Qual é a aceleração angular máxima para esse CD
de máxima duração durante o tempo de 74.0 min? Considere
como positivo o sentido da rotação do disco.
9.21 Uma roda gira com velocidade angular
constante de 6.00 rad/s.
(a) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0.500
m do eixo, usando a relação arad = 2r.
(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule
sua aceleração radial pela fórmula arad = v2/r.
9.22 Calcule a velocidade angular necessária (em
rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração radial
de um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto é,
400000 vezes maior do que a aceleração da gravidade).
9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do
repouso e se acelera com aceleração angular constante de
0.600 rad/s2. Calcule o módulo da aceleração tangencial, da
aceleração radial e da aceleração resultante de um ponto da
periferia do volante
(a) no início:
(b) depois de ele ter girado um ângulo de 60.0°;
(c) depois de ele ter girado um ângulo de 120.0°.
9.24 Um ventilador de teto cujas lâminas possuem
diâmetro de 0.750 m está girando em torno de um eixo fixo
com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A
aceleração angular é igual a 0.900 rev/s2.
(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.
(b) Quantas revoluções foram feitas pela lâmina
durante esse intervalo de tempo?
(c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na
extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
(d) Qual é o módulo da aceleração resultante de um
ponto na extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
9.25 Uma propaganda afirma que uma centrífuga
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precisa somente de 0.127 m para produzir uma aceleração
radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessário
dessa centrífuga. A afirmação da propaganda é viável?
9.26 (a) Deduza uma equação para a aceleração
radial que inclua v e mas não inclua r.
(b) Você está projetando um carrossel para o qual um
ponto da periferia possui uma aceleração radial igual a 0.500
m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui
módulo igual a 2.00 m/s. Qual é a velocidade angular
necessária para se atingir esses valores?
9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um
buraco com diâmetro igual a 12.7 mm na madeira, no plástico
ou no alumínio, o manual do fabricante recomenda uma
velocidade de operação igual a 1250 rev/min. Para uma broca
com um diâmetro de 12.7 mm girando com uma velocidade
constante igual a 1250 rev/min, calcule
(a) a velocidade linear máxima de qualquer ponto da
broca;
(b) a aceleração radial máxima de qualquer ponto da
broca.
9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma
roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial
igual a 50.0 m/s quando a roda está freando com uma
aceleração tangencial constante com módulo igual a 10.0
m/s2.
(a) Calcule a aceleração angular constante da roda.
(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e
t = 0.
(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda
entre t = 0 e t = 3.00 s?
(d) Em qual instante a aceleração radial toma-se
igual a g?
9.29 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar
possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640
rev/min. O diâmetro interno do tambor é igual a 0.470 m.
(a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre
a roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força
radial, quando a velocidade angular é mínima?
(b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima
da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a
velocidade angular é mínima?
(c) Calcule, em função de g a velocidade tangencial
máxima da roupa e a aceleração radial máxima.
SEÇÃO 9.5
ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m,
estão presos às extremidades e ao centro de uma barra leve de
comprimento igual a L. Calcule o momento de inércia do
sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando
em um ponto situado a ¼ do comprimento a partir de uma das
extremidades da barra. Despreze o momento de inércia da
barra leve.
9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro
metálico de massa M e comprimento L. Cada extremidade
possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode
ser tratada com precisão como uma partícula neste problema.
Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo
usual de rotação (perpendicular à batuta e passando pelo seu
centro).
9.32 Calcule o momento de inércia em relação a cada
um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de
diâmetro, 1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg.
Use as fórmulas da Tabela 9.2.
(a) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
passando pelo seu centro,
(b) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
passando em uma de suas extremidades,
(c) Em relação a um eixo longitudinal passando pelo
centro da barra.
9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas
massas puntiformes com massa de 0.200 kg, estão dispostas
nos vértices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e
conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento
de inércia do sistema em relação a um eixo
(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu
centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);
(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado
(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);
(c) passando pelo centro da esfera superior da
esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através
do ponto O.
0.400 m 0.200 kg
A B
O
Figura 9.21 – Exercício 9.33.
9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos
todas as dimensões de um objeto por um fator de escala/, sua
massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento
de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que
um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia
cinética relacional de 2,5 J, qual será a energia cinética do
objeto sem nenhuma redução de escala feito com o mesmo
material e girando com a mesma velocidade angular?
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9.35 Uma roda de carroça é feita como indicado na
Figura 9.22. O raio da roda é igual a 0,300 m e o aro possui
massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios,
distribuídos ao longo de diâmetros, possuem comprimento de
0.300 m e massa igual a 0.280 kg. Qual é o momento de
inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano
da roda e passando pelo seu centro? (Use as fórmulas
indicadas na Tabela 9.2.)
FIGURA 9.22 Exercício 9.35.
9.36 Uma hélice de avião possui massa de 117 kg e
comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A
hélice está girando a 2400 rev/min em relação a um eixo que
passa pelo seu centro,
(a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere
a hélice como uma barra delgada,
(b) Supondo que ela não gire, de que altura ela
deveria ser largada em queda livre para que adquirisse a
mesma energia cinética?
9.37 (a) Mostre que as unidades de 21
2I são
equivalentes às unidades de joule. Explique por que a unidade
"rad" não precisa ser incluída nessas unidades,
(b) Geralmente w é expresso em rev/min em vez de
rad/s. Escreva uma expressão para a energia cinética
rotacional de forma que se / for expresso em kg . m2 e for
expresso em rev/min, a energia cinética será expressa em
joules.
9.38 O prato de discos de um fonógrafo antigo
possui energia cinética igual a 0.0250 J quando gira com 45,0
rev/min. Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo
em relação ao eixo de rotação?
9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer
uma energia cinética igual a 500 J quando sua velocidade
angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual é o
momento de inércia necessário'?
9.40 Uma corda leve e flexível é enrolada diversas
vezes em tomo da periferia de uma casca cilíndrica com raio
de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em
tomo de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo
por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O
cilindro está inicialmente em repouso. A extremidade livre da
corda é puxada com uma força constante P até uma distância
de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a
6.00 m/s. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro,
qual é o valor de P?
9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de
70.0 kg que possui forma de um disco maciço uniforme com
raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a aceleração
radial máxima de um ponto na sua periferia é igual a 3500
m/s². Qual é a energia cinética máxima que pode ser
armazenada no volante?
9.42 Suponha que o cilindro maciço do dispositivo
descrito no Exemplo 9.9 (Seção 9.5) seja substituído por uma
casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa
M. O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com
momentos de inércia desprezíveis.
(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no
instante em que ela atinge o solo.
(b) A resposta encontrada no item (a) é igual, maior
ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua
resposta usando conceitos de energia.
9.43 Taxa de perda da energia cinética. Um corpo
rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T
segundos. A velocidade de rotação está diminuindo, de modo
que dT/dt > 0.
(a) Expresse a energia cinética da rotação do corpo
em termos de I e de T.
(b) Expresse a taxa de variação da energia cinética da
rotação do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.
(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m². Qual é a
energia cinética do volante quando o período de rotação é
igual a 1.5 s?
(d). Qual é a taxa de variação da energia cinética do
volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 1.5
s e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?
9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento
e massa igual a 3.00 kg está presa ao teto de um ginásio e a
outra extremidade está quase tocando o solo. Qual é a
variação da energia potencial gravitacional se a corda
terminar esticada sobre o solo (sem espiras)?
9.45 Centro de massa de um objeto com massa
distribuída. Qual é o trabalho realizado por um lutador para
elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg até uma
distância vertical igual a 0.700 m?
SEÇÃO 9.6
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
9.46 Calcule o momento de inércia de um aro (um
anel fino) de raio R e massa M em relação a um eixo
perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.
9.47 Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de
madeira leve possui o mesmo momento de inércia de uma
casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e raio em
relação a um diâmetro?
9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
que os momentos de inércia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2
são coerentes.
9.49 Uma placa metálica fina de massa M tem forma
retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos
para determinar seu momento de inércia em relação a um
eixo perpendicular ao plano da placa passando por um dos
seus vértices.
9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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6
(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inércia em relação a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e paralelo ao eixo indicado na figura,
(b) Ache o momento de inércia da placa em relação a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).
*SEÇÁO 9.7
CÁLCULOS DE MOMENTO DE INÉRCIA
*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e
informações da Tabela 9.2, ache o momento de inércia da
barra delgada de massa M e comprimento L indicado na
Figura 9.18 em relação a um eixo passando pelo ponto O
situado a uma distância arbitrária h de uma de suas
extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no
Exemplo 9.12 (Seção 9.7).
*9.52 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa
M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo seu centro.
*9.53 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L
em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela
sua
extremidade.
*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui
massa por unidade de comprimento variando a partir da
extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx =
x, onde é constante com unidades de kg/m²,
(a) Calcule a massa total da barra em termos de e
de L.
(b) Use a Equação (9.20) para calcular o momento de
inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e
passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação
encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos
de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido
para uma barra delgada uniforme? Explique essa
comparação,
(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo
passando pela extremidade direita da barra. Como seu
resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?
Explique esse resultado.
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7
PROBLEMAS
9.55 Faça um desenho de uma roda situada no plano do
papel e girando no sentido anti-horário. Escolha um ponto
sobre a circunferência e desenhe um vetor r
ligando o centro
com esse ponto,
(a) Qual é a direção e o sentido do vetor
?
(b) Mostre que a velocidade desse ponto é dada por
v r
.
(c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por
rad rada v a r
(Veja o Exercício 9.26.)
9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e
gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular
constante, a aceleração radial de um ponto do objeto é
diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,
(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando
a aceleração resultante fez um ângulo de 36.9° com a direção
radial inicial?
9.57 O rolo de uma impressora gira um ângulo:
2 3t t t
= 3.20 rad/s2 e = 0,500 rad/s
3.
(a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do
tempo,
(b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do
tempo,
(c) Qual é a velocidade angular positiva máxima, e para
qual valor de t isso ocorre?
*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira
com aceleração angular t t , onde = 1.80 rad/s2
e = 0.25 rad/s³. Ela está em repouso para t = 0.
(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular
em função do tempo.
(b) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o
deslocamento angular positivo máximo da roda. {Sugestão:
Veja a Seção 2.7.}
9.59 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o
piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui
massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de
inércia igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento
igual a 15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de
escala do carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de
escala é a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de
escala dado pela razão entre o comprimento de um carro real e
o comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro
real de comprimento igual a 3.0 m.
(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve
ser a velocidade de translação efetiva do carrinho?
(b) Supondo que toda a energia cinética inicialmente
acumulada no volante possa ser convertida em energia cinética
de translação do carrinho, qual foi a energia cinética
inicialmente acumulada no volante?
(c) Qual será a velocidade angular inicial necessária para
que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada
no item (b)?
9.60 Um automóvel clássico Chevrolet Corvette 1957 com
1240 kg parte do repouso e acelera com aceleração tangencial
constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com
raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partícula,
(a) Qual é sua aceleração angular?
(b) Qual é sua velocidade angular 6.00 s depois do início?
(c) Qual é sua aceleração radial nesse instante?
(d) Faça um esboço de uma vista de topo mostrando a pista
circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor
aceleração 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,
(e) Qual é o módulo da aceleração resultante e da força
resultante sobre o carro nesse instante?
(f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro
nesse instante e a aceleração resultante e entre a velocidade e a
força resultante?
9.61 O volante de uma prensa de perfuração possui
momento de inércia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O
volante fornece toda a energia necessária para a rápida
operação de perfuração.
(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a
velocidade do volante se reduz devido a uma repentina
operação de perfuração que necessita de 4000 J de trabalho,
(b) Qual deve ser a potência (em watts) fornecida ao
volante para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00
s?
9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com
massa igual a 40.0 g, está preso à extremidade livre de um fio
de 2.50 m preso ao teto. O bolinho é puxado horizontalmente
até formar um ângulo de 36.9° com a vertical e a seguir é
libertado,
(a) Qual deve ser o módulo, a direção e o sentido da
velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração
angular se anula?
(b) Qual é o segundo instante em que t = 0?
(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual é o
módulo, a direção e o sentido da aceleração radial do bolinho?
(d) Mostre que a resposta da parte (c) não depende do
comprimento do fio.
9.63 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é
enrolada ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma
roda de raio igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o
eixo e a roda é semelhante ao descrito na Figura 9.11
envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta. O
motor faz o eixo girar com 60.0 rev/s e a correia faz a roda
girar, que por sua vez está ligada a um outro eixo que empurra
a sujeira para fora do tapete que está sendo lavado a vácuo.
Suponha que a correia não deslize nem sobre o eixo nem sobre
a roda.
(a) Qual é a velocidade de um ponto sobre a correia?
(b) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s?
9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450
rev/min. Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma
segunda polia com metade do diâmetro através de uma correia
V. Uma serra circular de diâmetro igual a 0.208 m está
montada sobre o mesmo eixo da segunda polia,
(a) O operador não é cuidadoso, e a lâmina lança para trás
um pequeno pedaço de madeira. A velocidade do pedaço de
madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina.
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8
Qual é essa velocidade?
(b) Calcule a aceleração radial nos pontos sobre a periferia
da lâmina para entender por que o pó da madeira serrada não
fica grudado em seus dentes.
9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma
aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um
eixo fixo passando em seu centro,
(a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial
de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo
é igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o
deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do
ponto ao eixo.
(b) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a
uma distância de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0
m/s2 para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad.
Calcule a aceleração tangencial desse ponto,
(c) Mostre que a variação da energia cinética da roda
durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do
momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a
aceleração angular e vezes o deslocamento angular,
(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad
mencionado na parte (b), a energia cinética da roda cresce de
20.0 J para 45.0 J. Qual é o momento de inércia da roda em
relação ao eixo de rotação?
9.66 Os três objetos uniformes indicados na Figura 9.23
possuem a mesma massa m. O objeto A é um cilindro maciço
de raio R. O objeto B é uma casca cilíndrica de raio R objeto C
é um cubo maciço cuja aresta é igual a 2R. O eixo de rotação
de cada objeto é perpendicular à respectiva base e passa pelo
centro de massa do objeto.
(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inércia?
Explique,
(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inércia?
Explique,
(c) Como você compara esses resultados com o momento
de inércia de uma esfera maciça uniforme de massa m e raio R
em relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da
esfera? Explique. 2R
2R
A B
2R
C
Figura 9.23 – Problema 9.66.
9.67 A Terra, que não é uma esfera uniforme, possui
momento de inércia igual a 0.3308MR2 em relação a um eixo
ligando o pólo norte ao pólo sul. O tempo para a Terra
completar um giro é igual a 86164 s. Use o Apêndice F para
calcular
(a) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
de rotação em tomo desse eixo e
(b) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
orbital da Terra em tomo do Sol.
(c) Explique como o valor do momento de inércia da
Terra nos informa que a massa da Terra está mais concentrada
perto do seu centro.
9.68 Um disco maciço uniforme de massa m e raio R
está apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.
Um pequeno objeto de massa w está colado na periferia do
disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno
objeto situado na extremidade de um raio horizontal, ache a
velocidade angular quando o pequeno objeto estiver
verticalmente embaixo do eixo.
9.69 Uma régua de um metro e massa igual a 0.160 kg
possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela
pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A régua é
mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada.
Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule
(a) a variação da energia potencial gravitacional
ocorrida;
(b) a velocidade angular da régua;
(c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta
ao eixo.
(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade
de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do
repouso.
9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexível de
massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme
maciço de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em
tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das
extremidades da corda está presa ao cilindro. O cilindro
começa a girar com velocidade angular . Depois de uma
revolução, a corda se desenrolou e nesse instante ela está
pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a
velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da
extremidade inferior da corda nesse instante. Despreze a
espessura da corda. {Sugestão: Use a Equação (9.18).}
9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e
momento de inércia I. A corda não desliza sobre a polia e esta
gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cinético
entre o bloco A e o topo da mesa é C. O sistema é libertado a
partir do repouso, e o bloco B começa a descer. O bloco A
possui massa mA e o bloco B possui massa mB. Use métodos de
conservação da energia para calcular a velocidade do bloco B
em função da distância d que ele desceu.
FIGURA 9.24 - Problema 9.71.
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9
9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160
m e momento de inércia 0.480 kg.m2. A corda não desliza
sobre a periferia da polia. Use métodos de conservação da
energia para calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no
momento em que ele atinge o solo.
4,00 kg
5,00 m
2.00 kg
FIGURA 9.25 - Problema 9.72.
9.73 Você pendura um aro fino de raio R em um prego
na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo
a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual
é sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de
equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)
9.74 Um ônibus de passageiro em Zurique, na Suíça,
usa sua potência motora oriunda da energia acumulada em um
volante grande. Utilizando-se de energia da rede elétrica, a roda
é colocada em movimento periodicamente quando o ônibus
para em uma estação. O volante é um cilindro maciço de massa
igual a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular
máxima é igual a 3000 rev/min.
(a) Para essa velocidade angular, qual é a energia
cinética do volante?
(b) Se a potência média necessária para operar o
ônibus for igual a 1.86.104 W, qual é a distância máxima que
ele pode se mover entre duas paradas?
9.75 Dois discos metálicos, um com raio R1 = 2.50 cm
e massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa
M2 = 1.60 kg, são soldados juntos e montados em um eixo sem
atrito passando pelo centro comum (Figura 9.26).
(a) Qual é o momento de inércia dos dois discos?
(b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco
menor, e um bloco de l ,50 kg é suspenso pela extremidade
livre do fio. Se o bloco é libertado do repouso a uma distância
de 2.00 m acima do solo, qual é sua velocidade quando ele
atinge o solo?
(c) Repita o cálculo da parte (b), agora supondo que o
fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois
casos a velocidade do bloco é maior? Explique por que isso
deve ser assim.
9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9
(Seção 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de
borracha, de modo que nenhuma energia mecânica é perdida
quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro não
estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do
repouso a uma altura h acima do solo, até que altura essa massa
atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois
de colidir com o solo?
(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta
da parte (a) é menor do que h.
9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.
Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um
ponto situado a uma distância RH do centro do disco,
(a) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em de inércia do disco que foi retirado do disco
maciço.)
(b) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo centro do buraco.
9.78 Um pêndulo é constituído por uma esfera
uniforme maciça com massa M e raio R suspensa pela
extremidade de uma haste leve. A distância entre o ponto de
suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera
é igual a L. O momento de inércia do pêndulo 1^ para uma
rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente
aproximado como ML2,
(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
que se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezível, Ip
será somente 0.1 % maior do que ML2.
(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de
L, qual será a razão entre Ihaste em relação a um eixo passando
pelo pivô e ML2?
9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere
um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma
arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e
imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no
exterior do corpo. Seja Ix, o momento de inércia em relação ao
eixo Ox, Iy o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I0 o
momento de inércia do corpo em relação a um eixo
perpendicular ao plano e passando pelo ponto 0.
(a) Considerando elementos de massa mi, com
coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relação é o
teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O não
precisa ser o centro de massa,
(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1,
e raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para
achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no
plano da arruela e que passa através de seu centro. Você pode
usar as informações da Tabela 9.2.
(c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o
momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e
lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e
que passa através de seu centro é igual a ML2/12. Você pode
usar as informações da Tabela 9.2.
9.80 Uma haste uniforme fina é dobrada em forma de
um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o
momento de inércia em relação a um eixo situado no plano do
quadrado e que passa através de seu centro. (Sugestão: Use o
teorema dos eixos paralelos.)
*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma
densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, = r,
onde uma constante positiva, a) Calcule o momento de
inércia do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa
através de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta é
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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10
maior ou menor do que o momento de inércia de um cilindro
com mesma massa e mesmo raio porém com densidade
constante? Explique qualitativamente por que esse resultado
faz sentido.
9.82 Estrelas de nêutrons e restos de supemovas. A
nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que
possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância
aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).
São os restos de uma explosão de uma supernova, observada da
Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta
energia com uma taxa aproximada de
R2
R1
m = 1.50 kg
FIGURA 9.26 - Problema 9.75.
PROBLEMAS DESAFIADORES
Figura 9.27 – Problema 9.82
R
9.83 O momento de inércia de uma esfera com
densidade constante em relação a um eixo que passa através de
seu centro é dado por 2MR2/5 = 0.400MR
2. Observações feitas
por satélites mostram que o momento de inércia da Terra é
dado por 0.3308MR2. Os dados geofísicos sugerem que a Terra
é constituída basicamente de cinco regiões: o núcleo central
(de r = 0 a r= 1220 km) com densidade média igual a 12.900
kg/m³ o núcleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com
densidade média igual a 10900 kg/m³ , o manto inferior (de r =
3480 km a r = 5700 km) com densidade média igual a 4900
kg/m³ o manto superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com
densidade média igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos
(de r = 6350 km a r = 6370 km) com densidade média igual a
2400 kg/m³.
(a) Mostre que o momento de inércia de uma esfera
oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante
é dado por:
5 5
2 1
8
15I R R
(Sugestão: Forme a esfera oca pela superposição de
uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com
densidade -).
(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa
da Terra,
(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento
de inércia da Terra em termos de MR2.
*9.84 Determine o momento de inércia de um cone
maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de
seu centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O
raio do círculo da sua base é igual a R.
h
Eixo
Figura 9.28 – Problema 9.84
9.85 Em um CD, a música é codificada em uma
configuração de minúsculas reentrâncias dispostas ao longo de
uma trilha que avança formando uma espiral do interior à
periferia do disco. À medida que o disco gira no interior de um
CD player, a trilha é varrida com velocidade linear constante
= 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta à medida
que o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar
quando o CD está girando. (Veja o Exercício 9.20.) Vamos ver
qual é a aceleração angular necessária para manter v constante.
A equação de uma espiral é dada por:
0r r
, onde r0 é o raio da espiral para = 0 e uma constante. Em
um CD, r0 é o raio interno da trilha espiral. Considerando
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
como positivo o sentido da rotação do CD, deve ser
positivo, de modo que r e acrescem à medida que o disco gira.
(a) Quando o disco gira através de um pequeno
ângulo d, a distância varrida ao longo da trilha é ds = r d.
Usando a expressão anterior para r(), integre ds para calcular
a distância total s varrida ao longo da trilha em função do
ângulo total descrito pela rotação do disco.
(b) Como a trilha é varrida com velocidade linear
constante v, a distância total s encontrada na parte (a) é igual a
vt. Use esse resultado para achar 0em função do tempo.
Existem duas soluções para ; escolha a positiva e explique
por que devemos escolher essa solução.
c) Use essa expressão de (t) para determinar a
velocidade angular e a aceleração angular em função do
tempo. O valor de é constante?
(d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 25.0
mm, o raio da trilha cresce 1.55m em cada volta e o tempo de
duração é igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de ache
o número total de voltas feitas durante o tempo total da
reprodução do som.
(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),
faça um gráfico de (em rad/s) contra t e um gráfico de (em
rad/s2) contra t desde t = 0 até t = 74.0 min.
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Gabarito – Exercícios Ímpares
Exercício Gabarito
9.1 (a) 0.600rad (b) 6.27 cm (c) 1.05 m
9.3 (a) 42 rad/s² (b) 74 rad/s
9.5 (a) 2( ) 0.4 0.036t t (b) 0.4
rad/s (c) = 1.30 rad/s, rad = 0.700
rad/s
9.7 (a) α(t) = 2b-6ct (b) b/3c
9.9 (a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev
(b) 2.67 s.
9.11 (a) 24s (b) 68.8rev
9.13 10.5rad/s
9.15 9.00 rev
9.17 (a) 540 rad
(b) 12.3s
(c) -8.17 rad/s²
9.19 (a) 3.60m s (b) 43.7m s
9.21
(a) 218.0rada m s
(b) 23.00 , 18.0radv m s a m s
9.23
(a) 2 20.180 ,0,0.180m s m s
(b) 2 2 20.180 ,0.377 ,0.418m s m s m s
(c) 2 2 20.180 ,0.754 ,0.775m s m s m s
9.25 10.7 cm; não
9.27
(a) 0.831m s (b) 109 m/s²
9.29
(a) 2.29
(b) 1.51
(c) 3 215.7 ,1.06 10 108m s m s g .
9.31 (M/12+m/2)L2
9.33
(a) 20.064kg m
(b) 20.032kg m
(c) 20.032kg m
9.35 20.193kg m
9.37 (b) K = π²I²/1800
9.39 20.600kg m
9.41 47.35 10 J
9.43
(a) 2 22K I T
(b) 2 34dK dt I T dT dt
(c) 70J
(d) 0.56 J s
9.45 75 kg
9.47 Um eixo paralelo e a uma distância
2 15 R do centro da esfera
Exercício Gabarito
9.49
2 21
3M a b
9.51
2 213 3
3M L Lh h
9.53 21
3ML
9.57 (a) 26.4 1.5t t (b) 6.4 3 t
(c) 6.83 para 2.13máx rad s t s
9.59 (a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652
rad/s
9.61 (a) 211 rev/s. (b) 800 W
9.63 (a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s
9.65 (b) 2.00 m/s² (d) 0.208 kg.m²
9.67 (a) 292.14 10 J
(b) 332.66 10 J
9.69
(a) 0.784J (b) 5.42rad s
(c) 5.42m s (d) velocidade da partícula:
4.43m s
9.71 22 B C A A Bgd m m m m I R
9.73 1 cosg R
9.75 (a) 3 22.25 10 kg m (b) 3.40m s
(c) 4.95m s
9.77 (a) 2247 512 MR (b)
2383 512 MR
9.79 (b) 2 21
1 24M R R
9.81 (a) 23
5MR (b)maior.
9.83 (b) 245.97 10 kg (b)
20.334MR
9.85
(a)
2
02
s r
(b) 2
0 0
12r v t r
(c)
2
322 20
0
2 2
v v
r v t r v t
(d) 4
0 2.50 , 0.247 ,2.13 10r cm m rad rev
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Gabarito – Exercícios Pares resolvidos
Cortesia: Editora Pearson
9-2: (a)./199
60
min12
min1900 srad
srev
radx
rev
(b)(35º x rad/180º)/(199 rad/s) = 3.07 x 10-3
s.
9-4: (a) .)/60.1(2)( 3 tsradtdt
dwt
(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s
2
,/40.20.3
/00.5/20.2
0.3
)0()0.3( 2srads
sradsrad
s
save
o qual é tão grande (em, módulo) quanto a aceleração para
t = 3.0 s.
9-6: =(250 rad/s) – (40.0 rad/s2)t – (4.50 rad/s
3)t
2, = -(40.0
rad/s2) – (9.00 rad/s
3)t.
(a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equação quadrática em t;
o único valor de tempo positivo para o qual = 0 é t = 4.23 s.
(b) At t = 4.23 s, = -78.1 rad/s2.
(c) At t = 4.23 s, = 586 rad = 93.3 rev.
(d) At t = 0, = 250 rad/s.
(e)ave = ./13823.4
586srad
s
rad
9-8: (a) 0 t
21.50 / (0.300 / )(2.50 ) 2.25 /rad s rad s s rad s
(b) 2
0 1/ 2t t
2 21(1.50 / )(2.50 ) (0.300 / )(2.50 )
2rad s s rad s s
4.69rad
9-10: (a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:
.0
t
Reescrevendo a Eq. (9-11) como:
)
2
1(
00tt
e substituindo t
encontramos:
,2
1
2)(
1
)(2
1
2
0
2
0
0
00
0
0
a qual quando re-agrupada resulta na Eq. (9-
12).
(b) = (1/2)(1/∆)(2 - )2
0 = (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0
rad/s)2 – (12.0 rad/s)
2) = 8 rad/s
2.
9-12: (a) A velocidade angular média é:
,/5.4000.4
162srad
s
rad
e portanto a velocidade angular inicial é:
./27,2002
sradave
(b) ./8.3300.4
)/27(/108 2srads
sradsrad
t
9-14: Da Eq. (9-7), com
./33.2300.6
/140,0 2
0srad
s
srad
t
O ângulo é mais facilmente encontrado de :
.420)00.6)(/70( radssradtave
9-16: A seguinte tabela dá as revoluções e o ângulo
através dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e
em três situações distintas:
Os gráficos de e são os seguintes:
(a)
(b)
(c)
9-18: (a) A Equação (9-7) é resolvida para 0 = - t,
resultando em:
.2
1,
2
2
0ttort
ave
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(b) ./125.02 2
2srad
tt
(c) ./5.5 sradt
9-20: (a)
,/55.21100.58
25.1,/0.50
100.25
/25.133
sradmx
msrad
mx
sm
ou 21.6 rad/s , para três algarismos significativos.
(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.
(c)./1041.6
min)/60min)(0.74(
/55.21/0.50 23 sradxs
sradsrad
9-22: De ,2rrad
,/1025.11050.2
/80.9000,400 4
2
2
sradxmx
smx
r
qual é(1.25 x 104 rad/s)
.min/1020.160min/1
2/1 5 revxs
radrev
9-24: (a) = 0 +t = 0.250 rev/s + (0.900
rev/s2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e são
dados em termos das revoluções, não é necessário converter
para radianos).
(b) onda∆t = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev.
(c) Aqui, a conversão para radianos deve ser realizada para que
se possa utilizar a Eq. (9-13), então
./01.1)/2/430.0(2
750.0smrevradxsrev
mrv
(d) Combinando as Equações (9-14) e (9-15),
./46.3
))375.0)(/2/900.0((
))375.0()/2/430.0((
)()(
2
2
122
24
2222
tan
2
sm
mrevradxsrev
mrevradxsrev
rrrad
9-26: (a) Combinando as Equações (9-13) e (9-15),
.22 vv
rrad
(b) Do resultado da parte (a), temos:
./250.0/00.2
/500.0 2
sradsm
sm
v
rad
9-28: (a) 2
2
tan /0.50200.0
/0.10srad
m
sm
r
(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e ,/250
200.0
/0.50srad
sm
r
v
e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 – 3.00 s) = 80.0 m/s,
então = 400 rad/s.
(c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.
(d) ./40.1)200.0)(/80.9( 2 smmsmrvrad
Esta
velocidade será alcançada em um tempo de:
ssm
smsm86.4
/0.10
/40.1/0.502
após t = 3.00 s, ou para t = 7.86
s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes
cálculos )
9-30: A distância das massas relativo ao eixo são: 3
, ,4 4 4
L L Le e portanto da Eq. (9-16), o momento de inércia é:
.16
11
4
3
44
2
222
mLL
mL
mL
mI
9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes
maior que a sua largura, então a mesma pode ser considerada
como sendo uma vara fina
(a) Da Tabela (9-2(a)),
.1088.7)50.1)(042.0(12
1
12
1 2322 mkgxmkgMLI
(b) Da Tabela (9-2(b)),
.1015.3)50.1)(042.0(3
1
3
1 2222 mkgxmkgMLI
(b) Para esta vara fina o momento de inércia relativo ao seu
eixo é obtido considerando-a como um cilindro sólido e, da
Tabela (9-2(f)),
.1073.4)105.1)(042.0(2
1
2
1 28232 mkgxmxkgMRI
9-34: (a) Na expressão da Eq. (9-16), cad termo terá a massa
multiplicada por f 3 e a distância multiplicada por f, e então o
momento de inércia é multiplicado por f 3(f)
2 = f
5.
(b) (2.5)(48)5 = 6.37 x 10
8.
9-36: (a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),
.103.1min/60
/2
min2400)08.2)(117(
24
1
12
1
2
1 6
2
222 Jxs
revradx
revmkgmLK
(b) De mgy = K,
.16.11016.1)/80.9)(117(
)103.1( 3
2
6
kmmxsmkg
Jx
mg
Ky
9-38: Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:
.1025.2
)min/
/
60
2min/45(
)025.0(22 23
22
mkgx
rev
sradxrev
JKI
9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro é PL, onde L é o
comprimento da corda.Combinando as Equações (9-17), (9-13)
e a expressão para I , ver Tabela (9-2(g)), temos: 2 2
2
2
1 1 (40.0 )(6.00 / )14.7 .
2 2 2(9.80 / )(5.00 )
w w v N m sPL v P N
g g L m s m
9-42: (a) Com I = MR2, a expressão para v é:
./1
2
mM
ghv
Esta expressão é menor que aquela para um cilindro sólido. A
maior parte da massa está concentrada na sua borda, então,
para uma dada velocidade, a energia cinética do cilindro é
maior. Uma grande parte da energia potencial é convertida
para energia cinética do cilindro, e portanto, uma quantidade
menor está disponível para a massa em queda .
9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da
corda, então a variação na energia potencial gravitacional é:
.147)0.10)(/80.9)(00.3(2
1
2
1 2 JmsmkgmgL
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R
2 , então IP = 2MR
2.
9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se
encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao
eixo através de sua extremidade e perpendicular a corda,
temos:
.3212
2
2
22 LML
MLM
MdIIcmP
9-50: (a) 2
12
1MaI
(b) 2
12
1MbI
9-52: A análise é idêntica aquela do Exemplo 9-13, com o
limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo
igual a R, e a massa .2LpRM O resultado é:
,2
1 2NRI o que está de acordo com a Tabela (9-2(f)).
9-54: Para estes caso temos dm = dx.
(a) .22
2
0
2
0
LxdxxdmM
LL
(b) 2
4
0
4
2
0 244)( L
MLxdxxxI
LL
Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme
de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de
massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo
dele .
(c)
.6
12
432
2
)2(
)(
2
4
0
432
2
322
0
2
0
LM
L
xxL
xL
dxxLxxL
xdxxLI
L
L
L
Este é um terço do resultado encontrado na parte (b), refletindo
o fato de que mais a massa está concentrada no final .
9-56: (a) Para uma aceleração angular constante, temos: 2
2 2 .2
rad r r
(b) Denotando como o ângulo que o vetor aceleração faz
com a direção radial, e utilizando as Equações (9-14) e (9-15),
,2
1
2tan
2
tan
r
r
r
r
rad
então .666.09.36tan2
1
tan2
1rad
o
9-58: (a) Por integrações sucessivas das Equações (9-
5) e (9-3),
.)/042.0()/90.0(62
.)/125.0()/80.1(2
332232
2322
tsradtsradtt
tsradtsradtt
(b) A velocidade angular positiva máxima ocorre quando =
0, ou t = ;
a velocidade angular para este tempo é:
./48.6)/25.0(
)/80.1(
2
1
2
1
2 3
2222
sradsrad
srad
O deslocamento angular máximo ocorre quando ,0 para o
tempo
2t (t = 0 é um ponto de inflexão e (0) não é um
máximo ) e o deslocamento angular para este tempo é:
.2.62)/25.0(
)/80.1(
3
2
3
22
6
2
2 3
32
2
332
radsrad
srad
9-60: (a) ./050.00.60
/00.3 2
2
tan sradm
sm
r
(b) ./300.0)00.6)(/05.0( 2 sradssradt
(c) ./40.5)0.60()/300.0( 222 smmsradrrad
(d)
(e)
,/18.6)/00.3()/40.5( 222222
tan
2 smsmsmrad
e o módulo da força é :
F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.
(f) arctan .9.60
00.3
40.5arctan
tan
orad
9-62: (a) A aceleração angular será zero quando a
velocidade for um máximo, o que ocorre na parte inferior do
circulo . De considerações de energia, a velocidade é:
v = ,)cos1(22 gRgh onde é o
ângulo entre a vertical, livre, e
2(1 cos )
v g
R R
22(9.80 / )(1 cos36.9 ) 1.25 / .
(2.50 )
om srad s
m
(b) será novamente igual a 0 quando a almôndega passa
através do ponto mais baixo.
(c)rad é direcionada em direção ao centro, isto é:
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2
rad R
2 2(1.25 / ) (2.50 ) 3.93 / .rad rad s m m s
(d) rad = 2R = (2g/R)(1- cos )R = (2g)(1 – cos ),
independente de R.
9-64: A segunda polia, com metade do diâmetro da
primeira, deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta é a
velocidade angular da lâmina da serra
(a) (2(3450 rev/min))
./1.752
208.0
min/
/
30sm
m
rev
srad
(b) 2
rad r
2
4 2/ 0.2082(3450 / min) 5.43 10 / ,
30 / min 2rad
rad s mrev x m s
rev
então a força segurando a serragem sobre a lâmina deveria ser
aproximadamente 500 vezes tão forte quanto a gravidade .
9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:
.3
2,
2
1 222 MRIandMRIMRICBA
(a) O objeto A possui o menor momento de inércia, pois, dos
três objetos dados sua massa é a mais concentrada próxima ao
eixo.
(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o
mais distante do eixo.
(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como
possuindo o menor quantidade de momento de inércia .
9-68: Utilizando considerações de energia, o sistema
adquire tanto energia cinética quanto ocorre a perda em sua
energia potencial , mgR. A energia cinética é:
.)(2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1 222222 mRIRmImvIK
Utilizando 2
2
1mRI e resolvendo para , obtemos:
.3
4,
3
42
R
ge
R
g
9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia
potencial gravitacional como estando no eixo, a energia
potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculos tendo o
eixo como centro ). Quando a corda é desenrolada seu centro
de massa está a uma distância de R abaixo do eixo. O
comprimento da corda é 2R e metade desta distância é a
posição do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda
está se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda é
desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , então
a velocidade da corda é R (a parte superior final da corda
possui a mesma velocidade tangencial que a borda do
cilindro). Da conservação de energia, e utilizando I = (1/2)MR2
para um cilindro uniforme , temos:
.2424
222
0
2 RmgRmM
RmM
Resolvendo para , temos:
,)2(
)/4(2
0
mM
Rmg
e a velocidade em qualquer parte da corda é:
v = R.
9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou
em energia cinética é:
K = (4.00 kg – 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J.
Em termos da velocidade comum dos blocos, a
energia cinética do sistema é:
.4.12)160.0(
)480.0(00.200.4
2
1
2
1)(
2
1
2
2
2
2
2
2
21
kgvm
mkgkgkgv
R
vIvmmK
Resolvendo para v, temos:
./81.24.12
0.98sm
kg
Jv
9-74: (a)
.1000.2
min/
/
60
2min/3000)90.0)(1000(
2
1
2
1
2
1
7
2
2
2
Jx
rev
sradxrevmkg
IK
(b) ,1075
1086.1
1000.24
7
sWx
Jx
P
K
ave
o qual é aproximadamente 18 min.
9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia é perdida, a
altura de recuo h está relacionada com a velocidade v por:
h = ,2
2
g
v e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,
h = .2/1 mM
h
(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da
energia potencial inicial da massa transformou-se em energia
cinética do cilindro. Considerando apenas a massa, a tensão na
corda realizou trabalho sobre a massa, então sua energia total
não é conservada .
9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de
inércia é:Ip = (2/5)MR2 ML
2, e
.
5
21
2
2
L
R
ML
IP
Se R = (0.05) L, a diferença é (2/5)(0.05)2 = 0.001.
(b) (Irod/ML2) = (mrod/3M), o qual é 0.33% quando
mrod = (0.01) M.
9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa ,4
M e
o momento de inércia de cada lado, relativo a um eixo
perpendicular ao lado e através do seu centro é:
.48412
1 2
2 Maa
M
Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inércia de
cada lado relativo ao eixo através do centro do quadrado é:
.32448
222 MaaMMa
9-82: (a) Do Exercício 9-43, a taxa de perda de energia é:
;4
3
2
dt
dT
T
I resolvendo para o momento de
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inércia I em termos da potência P, temos: 3
2
1
4 /
PTI
dT dt
31 338 2
2 13
(5 10 )(0.0331 ) 11.09 10 .
4 4.22 10
x W s sI x kg m
x s
(b)5
2
IR
M
38 23
30
5(1.08 10 )9.9 10 10 .
2(1.4)(1.99) 10 )
x kg mR x m km
x kg
(c) .103.6/109.1)0331.0(
)109.9(22 36
3
cxsmxs
mx
T
R
(d) ,/109.6)3/4(
317
3mkgx
R
M
V
M
o qual é muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14
ordens de grandeza, sendo comparável a densidade de massa
nuclear .
9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo
9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo
vertical ), temos:
.2
,)( 4
4
4
2
2
2
dzzh
RdIanddzz
h
Rdm
h
Rzzr
Então,
.10
1][
102
4
0
5
4
4
4
04
4
hRzh
Rdzz
h
RdII hh
O volume de um cone circular é :
,3
1 2hRV e sua massa é : ,
3
1 2hR e portanto:
.10
3
310
3 22
2
MRRhR
I