Questão 1Questão 1:: Um ônibus com 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago, será acrescentado R$ 1,00 ao preço de cada passagem.

Podemos afirmar que o número de lugares ocupados no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha o maior faturamento possível com a venda de passagens é igual a

(A) 30.(B) 28.(C) 25.(D) 20.(E) 10.

Muitas vezes, a prova da UFRGS apresenta questões envolvendo a determinação das coordenadas do vértice de uma função quadrática. Essas questões podem ser identificadas por expressões como: “... maior valor possível ...”, “... custo mínimo ...”, “... altura máxima ...” , “... área mínima...”, etc.

O faturamento FF depende do número xx de lugares ocupados.

“... maior faturamento possível...”

Cálculo do valor máximovalor máximo de uma função polinomial de 2º grau.

x F

40

39

38

37...

x

40.20

39.(20+1)38.(20+2)37.(20+3)...

x.[20+(40-x)]

F(x) = x.[20+(40-x)]

F(x) = -x2 + 60x

Raízes: -x2 + 60x = 0

x’ = 0 e x’’ = 60

Vértice:

xV = 30

yv= F(30) = -302 + 60.30 = 900

Os 3030 lugares levam ao maior faturamento!

O xv é sempre a média

aritmética entre as raízes!

O yv indica o valor

MÁXIMO da função.

v

v

x =-2

60x - 30

2.(- 1)

ba

F(x) = -x2 + 60x

2vy =F(30)=-30 60.30 900

Questão 2Questão 2: Se o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 3x + m é divisível

por d(x) = x + 1, podemos afirmar que m é igual a

Teorema do Resto

P(x) x – a . ? . - . Resto P(a)

x + 1 = 0 x = – 1

“...é divisível...” resto = 0

P(–1) = (–1)3 – 2.( –1)2 + 3.( –1) + m

P(–1) = – 6 + m

P(–1) = 0 – 1 é raiz de P(x)!

– 6 + m = 0 m = 6

Importante!Importante! Se o resto da divisão fosse 8, teríamos:

P(–1) = 8 P(–1) = (–1)3 – 2.( –1)2 + 3.( –1) + m = 8

– 6 + m = 8 m = 14

Questão 3Questão 3: A curva abaixo representa uma parte do gráfico da

função , com k > 0. Podemos afirmar que o valor da

área da região sombreada é igual a

2( ) log .f x k x

(A) 6.(B) 7.(C) 7,5.(D) 8.(E) 8,5.

AABCDE = AABCF + ACDEF

A B

C

DE

F

AABCF =

ACDEF =

2( ) log .f x k x

2 0 f x( ; ) ( )

2

10 2

2k klog .

2 2

xf x( ) log

2 2

44 4 2 1

2x f ( ) log log

1

2

1 12 2

2 2 4 2

x xy xlog

4 1 4

14 2

24 5

2,

AABCDE = 4 + 4,5 = 8,5

1/2

+

Questão 4Questão 4:: Analisando as funções f, g: IR IR, definidas por f(x)

= 2x 3 e g(x) = x2 2x 3, cujos gráficos estão representados num

mesmo sistema de coordenadas cartesianas, podemos afirmar que a

equação f(x) = g(x)

(A) não possui raízes em IR.

(B) possui uma raiz em (0; 4).

(C) possui duas raízes em (– 1; 4].

(D) possui duas raízes em (– 1; 0].

(E) possui quatro raízes em IR.

Estas questões podem aparecer logo no início da prova, logo depois daquelas que envolvem aritmética e porcentagem...

As raízes são as abscissas dos

pontos de intersecção.

As raízes são 0 e 4.

(0;4)

(4;5)

Y = 2x – 3

Y = x2 – 2x – 3

(A) não possui raízes em IR.(B) possui uma raiz em (0; 4).(C) possui duas raízes em (– 1; 4].(D) possui duas raízes em (– 1; 0].(E) possui quatro raízes em IR.

Vamos esboçar os gráficos solicitados...

(D) (E)

Questão 5Questão 5:: Considerando a função definida por f(x) = x.|x| – 3x + 2, assinale, entre os gráficos apresentados nas alternativas, aquele que pode representar a função f. (C) (A) (B)

Alternativas (C) e (E) descartadas!

(C) (A)

(D) (E)

(B)

(E)

f(0) = 0.|0| – 3.0 + 2 = 2

f(1) = 1.|1| – 3.1 + 2 = 0 Alternativa (B) descartada! f(–1) = –1.|–1| – 3.(–1) + 2 = 4 Alternativa (A) descartada!

Alternativa correta!

f(x) = x.|x| – 3x + 2

Nesse caso, os gráficos estão prontos; basta relacioná-los com a lei da função...

Questão 6Questão 6: Internet Archive – IA (http://www.archive.org) é uma organização sem fins lucrativos que, desde 1996, tem catalogado e armazenado arquivos de texto, imagem e som, fotos e filmes, bem como páginas publicadas na Internet. Todos esses dados estão disponíveis para pesquisa. Atualmente, os arquivos do IA são gerenciados por cerca de 800 PC´s, totalizando cerca de 3 petabytes de capacidade de armazenamento.

Admitindo que um DVD comum é capaz de armazenar 4 gigabytes, então o número mínimo de DVD´s necessários para se armazenar 3 petabytes é

(A) menor que 217 e maior que 216.

(B) menor que 218 e maior que 217.

(C) menor que 219 e maior que 218.

(D) menor que 220 e maior que 219.

(E) maior que 220.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Petabyte

Ao analisarmos a tabela ao lado, verificamos que:

1 Pbyte = 250 bytes e 1Gbyte = 230 bytes.

A capacidade de armazenamento do IA são 3 Pbytes, logo:

3 Pbytes = 3.250 bytes.

A capacidade de armazenamento de um DVD são 4 Gbytes, logo:

4 Gbytes = 4.230 bytes= 232 bytes.

Dessa forma, a quantidade mínima de DVD’s necessários é dada por:

150

3283 Pbytes 3.2 bytes

4 Gbytes 2 bytes3.2 DVD's

(A) menor que 217 e maior que 216.

(B) menor que 218 e maior que 217.

(C) menor que 219 e maior que 218.

(D) menor que 220 e maior que 219.

(E) maior que 220.

218 < 219 < 220

1.218 < 2.218 < 4.218

1.218 < 2.218 < 3.218 < 4.218

219 < 3.218 < 220

2005 4

. 501

-

1 O resto !!!!

Questão 7Questão 7: Calcule o valor de i2005.

Potências de i

0

n r

1

2

3

i =1i =i

i =ir é o resto da

i =- 1divisão de n por 4.

i =- i

i2005 = i1= i

Lembretes !!!

i1234567898765432123 = i23 = i3 = -i

- 100100 0i1 1 1

= = = =1i i 1

Questão 8Questão 8: Qual é a forma trigonométrica de

2z= ?

1- i

Resolvendo a divisão, temos:

2 2

2 1+i 2.(1+i) 2.(1+i)z= . = = =1+i

1- i 1+i 1 +i 2

Calculando o módulo e o argumento, temos:

2 2z= 1 +1 = 2

o1 2 1 2 πsen θ= = e cos θ= = θ=45 = rad

2 2 42 2

Assim,

π πz= 2. cos +i.sen

4 4.

Questão 9Questão 9: O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.

Raízes:Raízes: 1, 2 e –1 (Observe que -1 é dupla.)

Termo Termo independente:independente: P(0) =

– 4Forma Fatorada de um

Polinômio

P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )

P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2)

P(0) = a.2 = – 4 a = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4

A soma dos coeficientes também pode ser dada por

P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0, pois 1 é uma raiz de P(x).