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7/30/2019 quantitativo5

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ANLISE COMBINATRIAProf. Aurimenes

A anlise combinatria a parte da matemtica que estuda os problemas de contagem, isto

, podemos calcular a quantidade de subconjuntos de um dado conjunto finito, sem no

entanto ter que enumerar exaustivamente um a um.

PRICPIO DA MULTIPLICAO:Podemos agora enunciar o princpio da multiplicao ou princpio fundamental da

contagem, segue:

Se um deciso d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a deciso d1, adeciso d2 puder ser tomada de y maneiras ento o nmero de maneiras de se tomarem asdecises d1 e d2 x.y

P1 Uma bandeira formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas

as cores amarelo, branco e cinza, no devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De

quantos modos pode ser colorida a bandeira?

P2 Quantos nmeros naturais de trs algarismos distintos existem?

P3 Quantos nmeros naturais de 4 algarismos, que sejam menores que 5000 e divisveis

por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5 ?

Recomendao : no adie dificuldades!, pois pequenas dificuldades adiadas costumam

gerar GRANDES dificuldades. (Augusto Csar de O. Morgado)

Se alguma deciso mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeirolugar. (Augusto Csar de O. Morgado)

P4 Quantos so os nmeros naturais pares que se escrevem com trs algarismos distintos?

P5 Quantos nmeros de quatro dgitos so maiores que 2400 e:

a) tm todos os dgitos diferentes.b) No tm dgitos iguais a 3, 5 ou 6.c) Tm as propriedades a) e b) simultaneamente.Respostas dos problemas:

P1. 24

P2. 648

P3. 48

P4. 328

P5. a) 3.864 b) 1.567 c) 560


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Fatorial: dado um nmero NATURAL ( ) n , definimos o fatorial de n , e indica-se por !n ,

ao produto: ( )( ). 1 2 .....2.1n n n * 1! = 1

** 0! = 1

1. Permutaes Simples

Dados n objetos distintos2 2

, ,...,n

a a a , de quantos modos possvel orden-los?

Por exemplo, para os objetos 1, 2, 3 h 6 ordenaes: 123, 132, 213, 231,312 e 321. no caso

gral temos n modos de escolher o objeto que ocupar o primeiro lugar, n 1 modos deescolher o que ocupar o segundo lugar, . . . , 1 modo de escolher o objeto que ocupar o

ltimo lugar. Portanto, o nmero de modos de ordenar n objetos distintos

( )1 ...1 !n n n =

Cada ordenao dos n objetos chamada uma permutao simples de n objetos distintos e

representado porn

P !n=

2.Arranjos

Definimos Arranjos de n elementos tomados p a p como sendo:( )

,

!

!n p

nA

n p=

3. Combinao

Definimos combinao de n elementos tomadosp a p como sendo :

( ),

!

!. !n p

nC

n p p

=

Alunos , fundamental estabelecer a diferena entre ARRANJOS e COMBINAES!!!

Questes anteriores do Teste ANPAD

01.Um barco oferecido pelo fabricante em 8 cores diferentes e com 4 diferentes tiposde acabamento. Alm disso, o comprador pode escolher para o barco um dentre 3

diferentes tipos de motor, cada um dos quais, por sua vez, pode ser movido a

gasolina, ou a leo diesel. O nmero total de opes de escolha de um comprador

desse barco :

a) 68b) 86c) 124d) 128e) 19202.Um casal pretende ter trs filhos. As possibilidades, quanto seqncia de sexo dos

filhos, so em nmero de:

a) 3b) 4c) 6d)

7e) 8


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03.As placas dos veculos so formadas por trs letras seguidas de quatro algarismos.O nmero de placas que podem ser formadas com as letras A, B e C e os algarismos

pares sem repetio de algarismos :

a) 144b) 360c) 648d) 720e) 3240

04.Uma empresa usa cinco dgitos para identificar os seus funcionrios. Os doisprimeiros dgitos so ocupados por vogais e os trs ltimos por algarismos. Supondo

proibida a repetio de vogais, o nmero mximo de identidade que esta empresa

pode fornecer :

a) 14.400b) 2.400c) 1.200d) 10.000e) 20.000

05.Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r.Quantos tringulos existem com vrtices em 3 desses 13 pontos?

a) 120b) 140c)

180d) 220

e) 240

06.Permutando os algarismos 2, 4, 5, 8 e 9 so formados nmeros dispostos em ordemcrescente. Ento o lugar que o nmero 58.429 ocupa o :

a) 48b) 60c) 62d) 63e) 65

07.Em uma festa infantil esto presentes 10 meninos usando cala de brim e 10meninos de veludo. Quantos grupos de 5 meninos podemos formar se em cada um

dos grupos deve haver 3 meninos usando cala de brim e dois meninos usando cala

de veludo?

a) 45b) 120c) 165d) 3165e) 5400


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08.Existem sete funcionrios aptos a executar quatro tarefas distintas em umaempresa. Qualquer um deles est habilitado para realizar qualquer dessas tarefas.

Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer quatro dentre os sete

funcionrios e atribuir a cada um deles uma das quatro atividades. O nmero de

possibilidades distintas para essa atribuio :

a) 840b) 625c) 365d) 35e) 2409.O conselho Desportivo de uma escola composto por 2 professores e 3 alunos.

Candidataram-se para constituir esse Conselho 5 professores e 12 alunos. Ento, o

nmero de maneiras diferentes que este Conselho pode ser composto :

a) 360b) 1100c) 2200d) 3260e) 6188

10.Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de nmeros de 3 algarismosdistintos que se podem formar :

a) 120b) 180c) 210d) 216e) 343

11.Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criouuma senha com uma seqncia de 4 algarismos distintos, na qual o ltimo

algarismo o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o nmero mximo de

tentativas diferentes igual a:

a) 90b) 112c) 168d) 224e) 280

12.Um administrador de fundo de um fundo de aes dispe de aes de 12 empresasdistintas para a venda, dentre as quais encontram-se as empresasA, B e C. eledeseja formar carteiras utilizando 8 dessas empresas de modo que as duas regras

abaixo sejam satisfeitas.

I. A empresaA compe a carteira se, e somente se, a empresaB tambm a compe.II. A empresa Ccompe a carteira se, e somente se, a empresaA no a compe.


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Assim, o nmero de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito como:

a)9 , 6 9 , 7

241920A A+ =

b)9 , 6 10 , 8

129C C+ =

c)9 , 6 10 , 8

120C C+ =

d)9 , 6 9 , 8

423360A A+ =

e)12,, 8 9 , 5

369C C =

13. O nmero de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de

modo que as consoantes sejam mantidas em suas respectivas posies, :

a) 120b) 56c) 30d) 20e) 10

14. Um grupo de sete pessoas formado por dois irmos, dois casais e um padre. Esse grupo

deseja tirar uma foto, obedecendo s seguintes regras:

todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados) o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo cada casal deve permanecer junto

Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ou seja,

quantas combinaes de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para

tirar diferentes fotos?

a) 84b) 92c) 96d) 192e) 5040

15. Considere todos os nmeros de quatro algarismos distintos, formados com os dgitos

1, 2 , 3 , ..., 9 . Quantos destes so mpares e maiores que 3.000 ?

a) 672b) 772c) 872d) 1302e) 1402


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16. Listando-se em ordem crescente todos os nmeros de cinco algarismos distintos,

formados com os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o nmero 62417 ocupa o

n-simo lugar. Ento n igual a:

a) 74

b) 75

c) 79

d) 81

e) 92

17. Escrevendo-se em ordem decrescente todos os nmeros de cinco algarismos

distintos formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do nmero 75389 :

a) 54

b) 67

c) 66

d) 55

e) 56

18. . Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os nmeros que se obtm

permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O nmero 75391 ocupa, nessa disposio, o

lugar

a) 21

b) 64

c) 88

d) 92

e) 120

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