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INPE-14672-TDI/1225

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DE CAMADA DE MISTURA COMPRESSÍVEL BINÁRIA

Leonardo da Costa Salemi

Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Combustão e Propulsão, orientada pelo Dr. Márcio Teixeira de Mendonça,

aprovada em 12 de dezembro de 2006.

INPE

São José dos Campos 2007

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INPE-14672-TDI/1225

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DE CAMADA DE MISTURA COMPRESSÍVEL BINÁRIA

Leonardo da Costa Salemi

Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Combustão e Propulsão, orientada pelo Dr. Márcio Teixeira de Mendonça,

aprovada em 12 de dezembro de 2006.

INPE

São José dos Campos 2007

541.126 Salemi, L. C. Análise de estabilidade linear de camada de mistura compressível binária / Leonardo da Costa Salemi. – São José dos Campos: INPE, 2006. 215p. ; (INPE-14672-TDI/1225) 1.Estato reatores de combustão supersônica. 2.Estabilidade de escoamento. 3.Camadas cisalhantes. 4.Camadas de mistura (fluidos). 5.Mistura laminar. 6.Misturas binárias. 7.Escoamento de fluido. 8.Escoamento compressível. 9.Efeitos de compressibilidade. I.Título.

“Nenhum conhecimento pode ser preciso, se nao estiver baseado namatematica ou sobre outro conhecimento, que por si esta baseado nas

ciencias matematicas. ”.

Leonardo da Vinci(1425−−1519)

A meu pai, Jarbas, e a minha mãe, Ana Maria, pela educação...

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter saude e determinacao na busca de meus objetivos.

A mim, por ter tido a paciencia e a forca necessaria para enfrentar esse desafio.

A meus pais, Jarbas e Ana Maria Salemi, e a minha irma, Isabella Salemi que mesmo

de longe me incentivaram a perseverar.

Ao Dr. Marcio Teixeira(CTA/IAE), por ter proposto o complexo mas fascinante tema

para a realizacao deste trabalho, que se mostrou um grande desafio, nao so pela di-

ficuldade inerente ao problema como tambem pelo limite de tempo disponıvel para

sua realizacao. Meu sincero agradecimento pela paciencia, compreensao, confianca e

amizade.

Ao Dr. Wladymir Dourado(CTA/IAE), pelos momentos de descontracao, pelas dicas

de Linux e LATEX e pelas palavras de incentivo.

Ao Dr. Jerszy Sielawa, pelo prazer de ter sido seu aluno, pela amizade e interessantes

conversas sobre assuntos cientıficos ou nao.

Aos meus amigos, Israel “Mutante” Salvador e Fabio “Pelego” Nakamura, que me

apoiaram e me aturaram nos momentos de mau humor quando as coisas nao saıam

como esperado.

A minha namorada, Flavia Thaumaturgo, que me apoiou durante os momentos de

dificuldade e sempre acreditou na minha capacidade.

Finalmente, agradeco a todos que estiveram presentes nessa jornada e que de alguma

forma contribuıram para meu sucesso. Toda vez que criamos algo, a porta para um

mundo novo de possibilidades e aberta. Espero que muitos outros se sintam estimulados

a caminhar atraves dela e contribuam para que a tecnologia aeroespacial melhore a

qualidade de vida das pessoas no Brasil.

RESUMO

Os sistemas aeroespaciais em sua maioria , se utilizam da liberacao de energia quımicapara funcionar. Dentre as aplicacoes mais comuns estao os motores de aeronaves (i.e.turbinas a gas) e motores foguete. Ambos precisam que o combustıvel seja misturadocom um oxidante em uma camara de combustao para que reajam e formem gases,que serao expandidos posteriormente em uma tubeira. Entender como o fenomeno damistura ocorre dentro da camara e muito importante no projeto e na previsao do de-sempenho de tais sistemas. Na combustao supersonica esse conhecimento e crucial jaque os tempos de residencia na camara sao muito reduzidos, requerendo que a misturaseja rapida e eficiente. A analise de estabilidade nos auxilia a prever se um padrao deescoamento e estavel, neutro ou instavel, e como este padrao evolui para a transicao emais tarde para a turbulencia. Muitos autores compararam os resultados da analise deestabilidade linear com simulacoes numericas diretas (SND) e com resultados experi-mentais, e concluıram que tais analises fornecem um panorama significativo e preciso dafısica do escoamento a um custo computacional desprezıvel. A analise de estabilidadeja foi aplicada a muitos problemas da mecanica dos fluidos como camadas limite, jatos,esteiras e camadas de mistura, sendo estas o objeto deste trabalho. Camadas de misturaaparecem quando duas correntes de fluido confluem a velocidades diferentes (U1 6= U2).O principal mecanismo atraves do qual a mistura acontece e conhecido como instabil-idade de Kelvin-Helmholtz. Quando os dois fluidos estao a baixas velocidades e naoha reacao quımica (i.e. liberacao de calor), um padrao de instabilidade central, que echamado de “modo central”, domina o processo de mistura. Quando lidamos com gasesa altas velocidades, onde ha o efeito de compressibilidade, outros modos de instabilidadeconhecidos como “modos externos” comecam a ter maior influencia sobre o processo demistura. Pode-se mostrar que a taxa de amplificacao do modo central diminui com oaumento do numero de Mach convectivo (PAPAMOSCHOU; ROSHKO, 1988). A analise deestabilidade comeca com o calculo viscoso compressıvel binario bidimensional dos perfislaminares das variaveis do escoamento utilizando-se a equacao de estado de gas perfeitoe as equacoes de conservacao transformadas para obtencao de uma solucao similar parao caso de uma camada de mistura. De posse das solucoes laminares, as equacoes deconservacao para um escoamento invıscido compressıvel binario tridimensional sujeitoa perturbacoes infinitesimais sao derivadas. Uma solucao por modos normais, que con-siste em inserir uma perturbacao senoidal a um estado base, e proposta. Dessa forma,todas as variaveis do escoamento sao representadas pela soma de um valor laminar euma pequena perturbacao. Essas solucoes ondulatorias sao substituıdas nas equacoesde conservacao adimensionalizadas obtendo-se um problema de autovalor representadopor uma equacao diferencial ordinaria (EDO) para as perturbacoes. Essa EDO e entaointegrada numericamente, resultando nos autovalores e autofuncoes para o campo deescoamento.

LINEAR STABILITY ANALYSIS OF A COMPRESSIBLE BINARYMIXING LAYER

ABSTRACT

Many aerospace systems rely on the release of chemical energy to work properly. Amongthe most usual applications are aircraft engines (i.e. gas turbines) and rocket engines.Both kinds of engines need the fuel to be mixed with an oxidizer on a combustionchamber in order for them to react and form gases, which are later expanded on anozzle. Understanding how the mixing phenomenon occurs inside the chamber is veryimportant on the design and prediction of performance of such propulsion systems. Onsupersonic combustion this knowledge is crucial as the short residence times requireefficient mixing. Through stability analysis, one can predict if some flow pattern isstable, neutral or unstable and how it evolves onto transition and later to turbulence.Many authors have compared linear stability analysis results with direct numericalsimulations(DNS) and experimental results, and concluded that such analysis providesignificant and accurate insight into the flow physics at negligible computational cost.Linear stability analysis has been applied on many problems in fluid mechanics likeboundary layers, jets, plumes and mixing layers, which are the object of this work.Mixing layers occur when two streams of fluids coflow at different velocities (U1 6= U2).The main mechanism through which mixing occurs is known as the Kelvin-Helmholtzinstability . When the fluids are at low speeds and there is no chemical reaction (i.e.heat release), a central pattern of instability, which is called “central mode” domi-nates the mixing process. When we deal with gases at high velocities , other modesof instability known as “outer modes” start to have a greater influence on the mixingprocess. It is shown that the growth rate of the center mode decreases with an increaseof convective Mach number (PAPAMOSCHOU; ROSHKO, 1988). The stability analysisbegins with the two-dimensional viscous compressible binary flow variables’ laminarprofile calculation via the perfect gas state and conservation equations transformed toobtain a similar solution for the mixing layer case. With the laminar solutions, theconservation equations for a three-dimensional inviscid compressible binary laminarflow subjected to infinitesimal disturbances are derived. A normal mode form solution,which consists of introducing a sinusoidal disturbance on a base state, is proposed. Inthis manner, all the flow variables are represented by the sum of a laminar value anda small disturbance. These wave-like solutions are substituted on the non-dimensionalconservation equations leading to an eigenvalue problem represented by an ordinarydifferential equation (ODE)for the disturbances. This ODE is integrated numerically,resulting in eigenvalues and eigenfunctions for the flow field.

SUMARIO

Pag.

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

LISTA DE SIMBOLOS

1 - INTRODUCAO 35

1.1 - Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2 - Camada de Mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.1 - Problema da Terceira Condicao de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2.2 - Similaridade na Camada de Mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.3 - Conceitos Basicos da Analise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.1 - Analise Local por Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.2 - Classificacao de Instabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.3.3 - Teorema de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.4 - Teorema de Fjørtoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.3.5 - Teorema de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.3.6 - Instabilidade de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.3.7 - Modos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4 - Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 -OBJETIVOS 53

3 -REVISAO BIBLIOGRAFICA 55

3.1 - Estudos Consultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 -FORMULACAO DO PROBLEMA 67

4.1 - Propriedades Termodinamicas e Coeficientes de Transporte . . . . . . . . . 67

4.1.1 - Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.2 - Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.3 - Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.4 - Condutividade Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1.5 - Difusividade Massica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.6 - Constante do Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.7 - Calor Especıfico a Pressao Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.8 - Calor Especıfico a Volume Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.9 - Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 - Parametros Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.1 - Razao de Calores Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2 - Fracao massica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.3 - Fracao molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.4 - Numero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.5 - Numero de Mach Convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.6 - Numero de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.7 - Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.8 - Numero de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.9 - Parametro de Chapman-Rubesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3 - Parametros definidos para camada de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 - Equacoes de Conservacao para o Escoamento Laminar Base . . . . . . . . 85

4.4.1 - Equacoes Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4.2 - Equacoes Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 - Equacoes de Conservacao para as Perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.1 - Equacoes Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.2 - Equacoes de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 -METODOLOGIA 95

5.1 - Solucao das Equacoes de Conservacao para o Escoamento Laminar Base . 95

5.1.1 - Codigo Coupled1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2 - Solucao das Equacoes de Conservacao para as Perturbacoes . . . . . . . . 98

5.2.1 - Codigo Stability3A.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2 - Codigo Stability3B.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 - Verificacao dos Codigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.1 - Verificacao do Codigo Coupled1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2 - Verificacao do Codigo Stability3A.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3.3 - Verificacao do Codigo Stability3B.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 -RESULTADOS 107

6.1 - Estudo Parametrico da Camada de Mistura Laminar para Variacoes de C,

Pr e Le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 - Perfil Laminar Base Calculado e Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 - Perfis de Parametros e Variaveis do Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4 - Analise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.4.1 - Resultados para Diferentes Numeros de Mach Convectivo . . . . . . . . . 120

6.4.2 - Obliquidade das Perturbacoes com o Aumento do Numero de Mach Con-

vectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4.3 - Modos de Instabilidade Supersonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.4.4 - Estrutura das Autofuncoes do Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 -CONCLUSOES 151

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 155

A -DERIVACAO DAS EQUACOES DE CONSERVACAO SIM-

ILARES E OUTRAS EXPRESSOES PARA CALCULO DA

SOLUCAO LAMINAR 163

A.1 -Equacao da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.2 -Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . 168

A.3 -Equacao de Conservacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.4 -Equacao de Conservacao das Especies Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . 176

A.5 -Outras Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

B -DERIVACAO DAS EQUACOES PARA ANALISE DE ESTABILI-

DADE LINEAR DE CAMADA CISALHANTE COMPRESSIVEL

BINARIA 183

B.1 -Equacao da Continuidade para Analise de Estabilidade Linear . . . . . . . 185

B.2 -Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao x para

Analise de Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

B.3 -Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao y para


B.4 -Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao z para


B.5 -Equacao de Conservacao da Energia para Analise de Estabilidade Linear . 191

B.6 -Equacao de Conservacao das Especies Quımicas para Analise de Estabili-

dade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B.7 -Equacao de Estado de Gas para Analise de Estabilidade Linear . . . . . . 195

B.8 -Equacao Condensada para Analise de Estabilidade Linear e Calculo das

Autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

C -COMPARACAO DOS METODOS DE CALCULO DOS COEFI-

CIENTES DE TRANSPORTE - VISCOSIDADE E CONDUTIVI-

DADE TERMICA 201

INDICE 213

LISTA DE FIGURAS

Pag.

1.1 Veıculos hipersonicos : a) X-15 b) Space Shuttle . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.2 Programa Hyper-X : a) X-43 b) Perfil de voo do X-43 . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Veıculos demontradores de tecnologia SSTO : a) X-33 b) X-34 . . . . . . . 38

1.4 Desenho esquematico de camada de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5 Desenho esquematico de camada limite com condicoes de contorno associadas 39

1.6 Desenho esquematico de camada de mistura com condicoes de contorno . . 40

1.7 Conceito de similaridade: a) Plano fısico b) Plano transformado . . . . . . 41

1.8 Regioes de interesse em camada de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9 Padroes de estabilidade : a) Estavel b) Neutro c) Instavel . . . . . . . . . . 43

1.10 Enfoques na analise de estabilidade: a) Espacial b) Temporal . . . . . . . . 47

1.11 Exemplos de distribuicoes de velocidade laminares: a) Estavel b) Estavel

c) Necessariamente instavel por Rayleigh d) Necessariamente instavel por

Rayleigh e Fjørtoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.12 Instabilidade de Kelvin-Helmholtz na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.13 Modos externos na camada de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.14 Diferentes modos e perfis de vorticidade ponderada pela densidade: a) Modo

central b) Modos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Representacao grafica da espessura de vorticidade δω . . . . . . . . . . . . 82

5.1 Camada N2 -N2: Solucao analıtica e numerica . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Funcoes similares para camada H2 -N2 e MC = 0.20: a) f b) f ′ c) f ′′ . . . 103



5.5 Analise de estabilidade temporal com perfil de velocidades U(y) = 0.5 [ 1 +

tanh(y) ] - Comparacao com dados de Michalke (1964), Sandham (1990) e

Shin e Ferziger (1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1 Efeito da variacao do numero de Prandtl, Pr, para camada O2 -H2 e MC =

1.00: a) u/U1 b) T/T1 c) Y1 e Y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2 Efeito da variacao do numero de Lewis, Le, para camada O2 -H2 e MC =

1.00: a) u/U1 b) T/T1 c) Y1 e Y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Efeito do parametro de Chapman-Rubesin, C, para camada O2 -H2 e MC =

1.00: a) u/U1 b) T/T1 c) Y1 e Y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.4 Efeito do numero de Prandtl, Pr, nas taxas de amplificacao da camada

N2 -O2 e MC = 1.00: a) Taxas temporais b) Taxas espaciais . . . . . . . . 113

6.5 Efeito do numero de Lewis, Le, nas taxas de amplificacao da camada N2 -O2

e MC = 1.00: a) Taxas temporais b) Taxas espaciais . . . . . . . . . . . . . 114

6.6 Efeito do parametro de Chapman-Rubesin, C, nas taxas de amplificacao da

camada N2 -O2 e MC = 1.00: a) Taxas temporais b) Taxas espaciais . . . . 115

6.7 Diferenca entre o perfil de velocidade laminar base calculado e o perfil

analıtico da forma da Equacao 6.1 para a camada N2 -O2 com βU = 0.5 . . 116

6.8 Diferencas nas taxas de amplificacao da camada N2 -O2 e MC = 0.1 entre

um perfil laminar base calculado e um perfil tangente hiperbolica: a) Taxas

temporais b) Taxas espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.9 Variacao da funcao similar f e suas derivadas para camada N2 -O2 a 300K

e 1 atm: a) f b) f ′ c) f ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.10 Variacao da funcao similar s e sua derivada para camada N2 -O2 a 300K e

1 atm: a) s b) s′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.11 Variacao da funcao similar g e sua derivada para camada N2 -O2 a 300K e

1 atm: a) g b) g′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.12 Variacao da razao de temperatura e de densidade para camada N2 -O2 a

300K e 1 atm: a) βT b) βρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.13 Taxas de amplificacao temporal da camada N2 -O2: a) Todos os numeros

de Mach convectivo b) MC ≥ 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.14 Taxas de amplificacao espacial da camada N2 -O2: a) Todos os numeros de

Mach convectivo b) MC ≥ 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.15 Variacao da taxa de amplificacao temporal para diferentes angulos de propa-

gacao das perturbacoes na camada N2 -O2 a 300K e 1 atm: a) MC = 0.01

b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.16 Variacao da taxa de amplificacao espacial para diferentes angulos de propa-

gacao das perturbacoes na camada N2 -O2 a 300K e 1 atm: a) MC = 0.01

b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.17 Variacao das taxas de amplificacao maxima com o aumento do angulo de

propagacao das perturbacoes tridimensionais na camada N2 -O2: a) Analise

temporal b) Analise espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.18 Taxa de amplificacao maxima das perturbacoes mais amplificadas na ca-

mada N2 -O2 em funcao de MC : a) Temporal b) Espacial . . . . . . . . . . 134

6.19 Variacao do perfil de vorticidade ponderada pela densidade para camada

N2 -O2 a 300K e 1 atm com βU = 0.5, diferentes numeros de Mach convectivo135

6.20 Autofuncao temporal u na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :

a) MC = 0.01 b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude . . 136

6.21 Autofuncao espacial u na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC : a)

MC = 0.01 b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude . . . . 137

6.22 Autofuncao temporal v na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.23 Autofuncao espacial v na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC : a)


6.24 Autofuncao temporal w na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :

a) MC = 0.8 b) MC = 1.2 c) Comparacao da magnitude . . . . . . . . . . 140

6.25 Autofuncao espacial w na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC : a)

MC = 0.8 b) MC = 1.2 c) Comparacao da magnitude . . . . . . . . . . . . 141

6.26 Autofuncao temporal p na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.27 Autofuncao temporal p na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.28 Autofuncao temporal T na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.29 Autofuncao espacial T na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC : a)


6.30 Autofuncao temporal ρ na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.31 Autofuncao espacial ρ na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC : a)


6.32 Autofuncao temporal Y1 na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


6.33 Autofuncao espacial Y1 na camada N2 -O2 para diferentes valores de MC :


C.1 Propriedade reduzida em funcao da pressao e da temperatura reduzida: a)

Viscosidade b) Condutividade termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

C.2 Propriedades de transporte do Argonio em funcao da temperatura: a) Vis-

cosidade b) Condutividade termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

C.3 Propriedades de transporte do Hidrogenio em funcao da temperatura: a)


C.4 Propriedades de transporte do Helio em funcao da temperatura: a) Viscosi-

dade b) Condutividade termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

C.5 Propriedades de transporte do Nitrogenio em funcao da temperatura: a)


C.6 Propriedades de transporte do Neonio em funcao da temperatura: a) Vis-


C.7 Propriedades de transporte do Oxigenio em funcao da temperatura: a) Vis-


LISTA DE TABELAS

Pag.

4.1 Constantes da equacao de Neufeld et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Velocidades do escoamento livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Taxa de amplificacao espacial αi - Comparacao com dados de Lowery (1986)

e Sandham (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1 C, Pr e Le para as camadas O2 -H2 e H2 -O2 a 300K . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Valores de Pr, Le e C no estudo parametrico da camada O2 -H2 a 300K,

1 atm e MC = 1.00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Condicoes de velocidade do escoamento livre e numero de Mach convectivo

para estudo da camada N2 -O2 a 300K e 1 atm . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4 Condicoes calculadas no centro da camada para as funcoes f e s no estudo

da camada N2 -O2 a 300K e 1 atm para os numeros Mach convectivo da

Tabela 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5 Condicoes calculadas no centro da camada para a funcao g no estudo

da camada N2 -O2 a 300K e 1 atm para os numeros Mach convectivo da

Tabela 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.6 Autovalores calculados para iniciar analise de estabilidade temporal da ca-

mada N2 -O2 a 300K e 1 atm com βU = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.7 Autovalores calculados para iniciar analise de estabilidade espacial da ca-

mada N2 -O2 a 300K e 1 atm com βU = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.8 Frequencia angular da taxa de amplificacao espacial maxima ωmaxr - Com-

paracao com dados de Sandham (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.9 Autovalores das perturbacoes com taxa de amplificacao temporal maxima . 132

6.10 Autovalores das perturbacoes com taxa de amplificacao espacial maxima . 132

6.11 Angulos de propagacao das perturbacoes mais amplificadas para a camada

N2 -O2 a 300K e 1 atm de acordo com a relacao proposta por Sandham (1990)133

6.12 Diferenca percentual entre as taxas de amplificacao temporal das pertur-

bacoes bidimensionais e tridimensionais mais amplificadas para a camada

N2 -O2 a 300K e 1 atm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.13 Diferenca percentual entre as taxas de amplificacao espacial das pertur-

bacoes bidimensionais e tridimensionais mais amplificadas para a camada

N2 -O2 a 300K e 1 atm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

C.1 Variacao da pressao e temperatura reduzida para faixa de estudo . . . . . 201

C.2 Parametros de viscosidade para Lei de Potencias e de Sutherland . . . . . 203

C.3 Parametros de condutividade termica para Lei de Potencias e de Sutherland 204

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CEA – Computer Equilibrium with ApplicationsCTA – Centro Tecnico AeroespacialDNS – Direct Numerical SimulationEDO – Equacao Diferencial OrdinariaFORTRAN – Formula TranslationIAE – Instituto de Aeronautica e EspacoINPE – Instituto Nacional de Pesquisas EspaciaisLCP – Laboratorio de Associado Combustao e PropulsaoNASA – National Aeronautics and Space AdministrationODE – Ordinary Differential EquationSCRAMJET – Supersonic Combustion RAMJETSND – Simulacao Numerica DiretaSSTO – Single Stage to Orbit

LISTA DE SIMBOLOS

Alfabetica Latina

a1 – Primeiro coeficiente de polinomio em funcao de Ta2 – Segundo coeficiente de polinomio em funcao de Ta3 – Terceiro coeficiente de polinomio em funcao de Ta4 – Quarto coeficiente de polinomio em funcao de Ta5 – Quinto coeficiente de polinomio em funcao de Ta6 – Sexto coeficiente de polinomio em funcao de Ta7 – Setimo coeficiente de polinomio em funcao de Tagas – Velocidade do som local no gasagas1

– Velocidade do som local no gas da camada superioragas2

– Velocidade do som local no gas da camada inferioramix – Velocidade do som local na mistura binariaAκ – Primeiro coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de condutividade termicaAµ – Primeiro coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de viscosidadeA∗ – Constante A da equacao de Neufeld

A – Unidade em angstromatm – Unidade em atmb1 – Primeira constante de integracao de polinomio em funcao de TBκ – Segundo coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de condutividade termicaBµ – Segundo coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de viscosidadeB∗ – Constante B da equacao de Neufeldc – Velocidade de fasecg – Velocidade de grupocp – Calor especıfico a pressao constantecpgas – Calor especıfico do gas a pressao constantecpmix

– Calor especıfico de uma mistura binaria a pressao constantecp1 – Calor especıfico do gas da camada superior a pressao constantecp2 – Calor especıfico do gas da camada inferior a pressao constantecv – Calor especıfico a volume constantecvgas – Calor especıfico do gas a volume constantecvmix

– Calor especıfico de uma mistura binaria a volume constantecv1 – Calor especıfico do gas da camada superior a volume constantecv2 – Calor especıfico do gas da camada inferior a volume constantecm – Unidade em centımetroC – Parametro de Chapman-Rubesin

Cκ – Terceiro coeficiente do polinomio em funcao de Tpara calculo de condutividade termica

Cµ – Terceiro coeficiente do polinomio em funcao de Tpara calculo de viscosidade

C∗ – Constante C da equacao de NeufeldD12 – Difusividade massica da mistura binariaDκ – Quarto coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de condutividade termicaDµ – Quarto coeficiente do polinomio em funcao de T

para calculo de viscosidadeD∗ – Constante D da equacao de Neufelde – Energia internaE∗ – Constante E da equacao de Neufelderf – Funcao erroerg – Unidade em ergf ′ – Variavel similar para velocidade na direcao xF ∗ – Constante F da equacao de Neufeldg – Unidade em gramag – Variavel similar para entalpia da mistura binariaG∗ – Constante G da equacao de Neufeldh – Entalpiahgas1

– Entalpia do gas da camada superiorhgas2

– Entalpia do gas da camada inferiorhgas – Entalpia do gashmix – Entalpia de uma mistura binariahsens – Entalpia sensıvel do gasH∗ – Constante H da equacao de Neufeldi – Unidade imaginariaJ – Unidade em Joulek – Constante de Boltzmannkg – Unidade em quilogramaK – Unidade em KelvinLegas – Numero de LewisLemix – Numero de Lewis da mistura binariam – Unidade em metromgas – Massa do gas contida na misturammix – Massa total da misturamol – Unidade em molM+ – Parametro de correlacao de compressibilidadeMa1 – Numero de Mach do escoamento do gas da camada superior

no escoamento livreMagas1

– Numero de Mach do escoamento do gas da camada superior

Magas2– Numero de Mach do escoamento do gas da camada inferior

Magas – Numero de Mach do escoamentoMamix – Numero de Mach do escoamento da mistura binariaMC – Numero de Mach convectivo do escoamentoMC1 – Numero de Mach convectivo para a camada superiorMC2 – Numero de Mach convectivo para a camada inferiorM1 – Massa molecular do gas da camada superiorM2 – Massa molecular do gas da camada inferiorMmix – Massa molecular da mistura binariaMgas – Massa molecular do gasnµ – Expoente da lei de potencias da viscosidadenκ – Expoente da lei de potencias da condutividade termicapmix – Pressao da mistura binariap1 – Pressao na camada superiorp2 – Pressao na camada inferiorp – Pressao na camada de misturapc – Pressao no ponto crıticoprmin

– Pressao reduzida na faixa mınimaprmax – Pressao reduzida na faixa maximaPa – Unidade em Pascal [N/m2]Prgas – Numero de Prandtl do gasPrmix – Numero de Prandtl da mistura binariarad – Unidade em radianos< – Parte realRe – Numero de ReynoldsR – Constante do gasRgas – Constante do gasRmix – Constante do gas de uma mistura binariaRgas1

– Constante do gas da camada superiorRgas2

– Constante do gas da camada inferiorRU – Constante universal dos gases igual a 8.314510 [J/mol K]s – Unidade em segundos1 – Variavel similar para fracao massica do gas

da camada superior na mistura binariaSκ – Constante de Sutherland da condutividade termicaSµ – Constante de Sutherland da viscosidadet – TempoT – Temperatura absolutaT0 – Temperatura de referenciaT1 – Temperatura absoluta do escoamento livre para camada superiorT2 – Temperatura absoluta do escoamento livre para camada inferiorTc – Temperatura no ponto crıtico

Tref – Temperatura no estado de referenciaTrmin

– Temperatura reduzida na faixa mınimaTrmax – Temperatura reduzida na faixa maximaT ∗ – Temperatura adimensionalu – Componente de velocidade na direcao xU – Parte laminar da componente de velocidade na direcao xU1 – Parte laminar da componente de velocidade

do escoamento livre na direcao x (camada superior)U2 – Parte laminar da componente de velocidade

do escoamento livre na direcao x (camada inferior)UC – Velocidade de conveccao das perturbacoesUS – Parte laminar da componente de velocidade

na direcao x no ponto de inflexaov – Componente de velocidade na direcao yw – Componente de velocidade na direcao zW – Unidade em Wattx – Direcao longitudinal ao escoamentoXgas – Fracao molar do gasXgas1

– Fracao molar do gas da camada superiorXgas2

– Fracao molar do gas da camada inferiorxpos – Posicao no eixo x onde e calculada a espessura de vorticidadey – Direcao normal ao escoamentoYgas – Fracao massica do gasY1 – Fracao massica do gas da camada superiorYgas1

– Fracao massica do gas da camada superiorYgas2

– Fracao massica do gas da camada inferiorz – Direcao transversal ao escoamento

Alfabetica Grega

α – Numero de onda na direcao xαi – Taxa de amplificacao espacialαmax

i – Taxa de amplificacao espacial maxima|αi|max – Modulo da taxa de amplificacao espacial maxima|αi|max

inc – Modulo da taxa de amplificacao espacial maxima incompressıvelα0

r – Numero de onda do ponto neutroαmax

r – Numero de onda da pertubacao com taxade amplificacao temporal maxima

β – Numero de onda na direcao zβU – Razao de velocidades do escoamento livreβT – Razao de temperaturas do escoamento livreβγ – Razao de razoes de calores especıficos do escoamento livre

βρ – Razao de densidades do escoamento livreδω – Espessura de vorticidade

δω – Taxa de crescimento da espessura de vorticidadeδm – Espessura de quantidade de movimento∆U – Modulo da diferenca de velocidade entre as camadas superior e inferior∆h298.15

f – Entalpia de formacao na temperatura de referencia de 298.15Kε1 – Constante de energia potencial do gas da camada superiorε2 – Constante de energia potencial do gas da camada inferiorε12 – Constante de energia potencial da mistura binariaφ12 – Parametro 12 da aproximacao de Wilkeφ21 – Parametro 21 da aproximacao de Wilkeγ1 – Razao de calores especıficos do gas da camada superior

no escoamento livreγgas – Razao de calores especıficos do gasγmix – Razao de calores especıficos da mistura binariaη – Direcao normal ao escoamento no espaco similarκ0 – Condutividade termica de referenciaκgas1

– Condutividade termica do gas da camada superiorκgas2

– Condutividade termica do gas da camada inferiorκgas – Condutividade termica do gasκmix – Condutividade termica da mistura binariaλ – Comprimento de onda na direcao longitudinal ao escoamentoλU – Parametro de velocidadeµ0 – Viscosidade de referenciaµ1 – Viscosidade do gas da camada superior no escoamento livreµgas1

– Viscosidade do gas da camada superiorµgas2

– Viscosidade do gas da camada inferiorµgas – Viscosidade do gasµ0

mix – Viscosidade da mistura binaria no centro da camada de misturaµmix – Viscosidade da mistura binariaω – Frequencia angularωi – Taxa de amplificacao temporalωmax

i – Taxa de amplificacao temporal maximaωmax

r – Frequencia angular da taxa de amplificacao espacial maximaΩD – Integral de colisao$ – Termo de producao de especies quımicasπ – Numero irracional igual a 3.14159 . . .

θ – Angulo de propagacao da perturbacao

θmax – Angulo de propagacao da perturbacao mais amplificadaρ – Densidadeρ0

mix – Densidade da mistura binaria no centro da camada de misturaρmix – Densidade da mistura binaria

ρgas1– Densidade do gas da camada superior

ρgas2– Densidade do gas da camada inferior

ρ1 – Densidade do gas da camada superior no escoamento livreσ1 – Constante de comprimento potencial do gas da camada superiorσ2 – Constante de comprimento potencial do gas da camada inferiorσ12 – Comprimento caracterısticoτ – Tensao de cisalhamentoχ – Funcao definida por Gropengiesserχ(0+) – Funcao χ calculada na posicao 0 por cimaχ(0−) – Funcao χ calculada na posicao 0 por baixoψ – Funcao correnteΥ12 – Parametro 12 da modificacao de Mason e SaxenaΥ21 – Parametro 21 da modificacao de Mason e Saxenaξ – Direcao longitudinal ao escoamento no espaco similar

Sımbolos Diversos

¯ – Parte laminar de variavel dependenteo – Perturbacao de variavel dependente(0+) – Variavel calculada na posicao 0 por cima(0−) – Variavel calculada na posicao 0 por baixoˆ – Autofuncao de variavel dependente( )? – Variavel adimensionalizada pelo seu valor de

escoamento livre na camada superior( )∞ – Escoamento livre( )1 – Camada superior( )2 – Camada inferior( )i – Parte imaginaria( )r – Parte real[ ] – Dimensao de grandeza

1 INTRODUCAO

A amplificacao das perturbacoes existentes num escoamento sao responsaveis pela tran-

sicao do regime laminar para o turbulento e tem grande importancia nas diversas apli-

cacoes da engenharia aeroespacial (MENDONCA, 2002) como:

• Projeto de asas, palhetas de compressores e turbinas de motores a jato;

• Intensificacao de mistura oxidante/combustıvel em camaras de combustao de

motores foguete;

• Controle de vorticidade de grande escala em cilindros de motores a pistao;

• Combustao supersonica;

No caso da queima a velocidades supersonicas, e necessario entender como a combustao

se desenvolve em tais condicoes. Um dos fatores que merecem destaque e como a mistura

do combustıvel com o oxidante deve ocorrer para que o processo de combustao seja o

mais eficiente possıvel.

O processo de mistura de dois gases em uma camada de mistura (Secao 1.2) se ini-

cia devido a instabilidade conhecida como instabilidade de Kelvin-Helmholtz (Sub-

secao 1.3.6). Entender como esse mecanismo se desenvolve no espaco e no tempo e

primordial para que possamos projetar e desenvolver camaras de combustao mais efi-

cientes. Nesse contexto se insere a analise de estabilidade das camadas de mistura.

A analise de estabilidade linear (Secao 1.3) ja foi aplicada a muitos problemas da

mecanica dos fluidos como camadas limite, jatos, esteiras e camadas de mistura. No

presente trabalho, utiliza-se a analise de estabilidade linear para o estudo das car-

acterısticas de estabilidade de camadas de mistura laminares compressıveis binarias.

Neste capıtulo, sao discutidos a relevancia e aplicabilidade do estudo pretendido e sao

apresentados alguns conceitos fundamentais e necessarios a compreensao do problema

de instabilidade em uma camada de mistura

1.1 Motivacao

Os primeiros artefatos voadores nao conseguiam atingir velocidades nem altitudes muito

grandes. Foi durante o seculo XX que o voo se desenvolveu e o homem passou a bus-

car o aumento cada vez maior das velocidades e das altitudes de voo pelas razoes

mais diversas. Com a busca de velocidades de voo maiores foi necessaria tambem uma

35

evolucao dos motores para tal aplicacao. Os motores a pistao foram suplantados pelos

turbojatos, que foram ultrapassados pelos motores foguete em termos de velocidade e

altitude que podiam ser atingidas. De acordo com William H. Avery, Rene de Lorin,

na Franca em 1913 (HEISER, 1994), foi a primeira pessoa a reconhecer a possibilidade

de se utilizar a pressao dinamica (ram pressure) em sistemas propulsivos. Entretanto,

ele concluiu na epoca, que o desempenho do motor seria inadequado para velocidades

subsonicas onde a pressao dinamica e baixa. Surgia assim o RAMJET.

Com a entrada na era da exploracao espacial, os primeiros veıculos hipersonicos foram

desenvolvidos. Novas tecnologias e novos formatos de veıculos tiveram de ser desen-

volvidos para suportar o intenso aquecimento causado pelo arrasto aerodinamico. Dois

exemplos conhecidos de veıculos que voam no regime hipersonico sao o veıculo pro-

pelido por foguetes X-15 e o onibus espacial (Space Shuttle), que sao mostrados na

Figura 1.1.

(a) (b)

Figura 1.1 - Veıculos hipersonicos : a) X-15 b) Space Shuttle

Fonte: http://www1.dfrc.nasa.gov/Gallery/Photo

Durante a reentrada o onibus espacial passa por todos os regimes de voo. Vai do

hipersonico passando pelo supersonico e toca o solo no regime subsonico.

Com o aumento das velocidades de voo para o regime hipersonico , o RAMJET comeca

a se tornar ineficiente em termos energeticos pois tem de desacelerar o escoamento a

velocidades subsonicas para alimentar a combustao na camara. Surge entao a necessi-

dade de queimar o combustıvel a velocidades supersonicas o que nos leva ao domınio

do SCRAMJET (Supersonic Combustion RAMJET).

Atraves do programa Hyper-X, a NASA desenvolveu o veıculo X-43, mostrado na

36

http://www1.dfrc.nasa.gov/Gallery/Photo

Figura 1.2. Propelido por um motor de combustao supersonica (SCRAMJET) que

aspira ar como oxidante, esse veıculo e lancado de um bombardeiro Boeing B-52 e

acelerado pelo primeiro estagio de um foguete Orbital Sciences Pegasus modificado,

ate uma velocidade maior que Mach 5 (Subsecao 4.2.4), quando o motor SCRAMJET

comeca a funcionar atingindo uma velocidade de ate Mach 10.

(a) (b)

Figura 1.2 - Programa Hyper-X : a) X-43 b) Perfil de voo do X-43

Fonte: http://www.nasa.gov/missions/research/x43-image-feature.html

O projeto de um veıculo que decole no regime subsonico, acelere ate o regime super-

sonico e cruze de maneira eficiente no regime hipersonico, alem de ser um grande desafio

tecnologico, reduz assustadoramente os custos de colocacao de cargas pagas em orbita.

Programas de pesquisa tem sido colocados em pratica no intuito de se desenvolver

tal tecnologia. Dois programas, que apesar de utilizar motores foguetes como propul-

sores, visaram desenvolver plataformas e as tecnologias necessarias ao voo de estagio

unico para orbita (Single Stage to Orbit) sao o X-33 e X-34 da NASA, mostrados na

Figura 1.3.

A maior parte das pesquisas realizadas sobre camada de mistura compressıvel binaria

visando combustao supersonica, foram realizadas em instituicoes fora do paıs. Assim

sendo, o presente estudo foi concebido no intuito de contribuir para o desenvolvimento

da pesquisa da combustao supersonica.

1.2 Camada de Mistura

Uma camada de mistura aparece quando duas camadas de gas fluindo paralelamente,

inicialmente separadas, se encontram formando uma interface. Essa interface se forma

devido aos gradientes de propriedades entre as camadas que se encontram. Pequenas

37

http://www.nasa.gov/missions/research/x43-image-feature.html

http://www.nasa.gov/missions/research/x43-image-feature.html

(a) (b)

Figura 1.3 - Veıculos demontradores de tecnologia SSTO : a) X-33 b) X-34

Fonte: http://www1.dfrc.nasa.gov/Gallery/Photo

perturbacoes(i.e. infinitesimais) geradas por fatores como ondas acusticas, turbulen-

cia residual nos dois escoamentos e rugosidade da placa separadora, se amplificam.

Essa amplificacao causa o aparecimento de grandes estruturas vorticais (WINANT;

BROWAND, 1974; BROWN; ROSHKO, 1974) que evoluem para a transicao e posteri-

ormente a turbulencia. O esquema de uma camada de mistura pode ser visualizado na

Figura 1.4.

Figura 1.4 - Desenho esquematico de camada de mistura

Definimos que do bordo de fuga da placa separadora sai uma linha imaginaria que

divide o escoamento em duas camadas. Tal linha, representa o meio da camada(i.e.

eixo x) e e apenas uma referencia pois os perfis de propriedades do escoamento nao

necessariamente sao simetricos em relacao a esta. Podemos entao denominar U1 de

velocidade do escoamento livre na direcao x para camada superior e U2 de velocidade

do escoamento livre na direcao x para camada inferior. Como pode ser observado na

Figura 1.4, U1 > U2. Portanto, a camada superior, 1, e chamada de camada rapida,

38

http://www1.dfrc.nasa.gov/Gallery/Photo

e a camada inferior, 2, e chamada de camada lenta. Logo, so sao tratados casos em

que U1 > U2. Vale a pena ressaltar tambem que na notacao empregada no presente

estudo da camada de mistura binaria, o gas da camada rapida sempre vem antes do da

camada lenta. Assim, a camada com Hidrogenio, H2, na parte superior e Nitrogenio,

N2, na parte inferior sera tratada por camada H2 -N2. Tais convencoes serao adotadas

ao longo de todo o trabalho aqui desenvolvido.

1.2.1 Problema da Terceira Condicao de Contorno

Quando buscamos uma solucao similar (Subsecao 1.2.2) para o problema da camada

limite, as equacoes de Navier-Stokes com a aproximacao para camada limite (Secao 4.4)

sao transformadas para um sistema de coordenadas similares e se transformam na

equacao de Blasius (CURRIE, 1974). Esta equacao e diferencial ordinaria nao-linear

homogenea de terceira ordem. Portanto, do ponto de vista matematico, a equacao de

Blasius necessita de tres condicoes de contorno para sua solucao. Tais condicoes sao

mostradas na Figura 1.5.

Figura 1.5 - Desenho esquematico de camada limite com condicoes de contorno associadas

No caso da camada limite, o problema e mais simples pois a condicao de nao-

escorregamento e a inexistencia de transferencia de massa pela parede, impoem que

u(0) = v(0) = 0. Ou seja, a terceira condicao e que a velocidade na direcao x, na borda

da camada devera ser igual a velocidade do escoamento livre (u(∞) → U∞).

Buscando uma solucao similar para a equacao da conservacao da quantidade de movi-

mento na camada de mistura, a equacao resultante tambem e de terceira ordem

(Equacao 4.58) e nos deparamos com o fato de que falta uma condicao de contorno.

Temos apenas as condicoes de contorno na borda da camada superior e inferior, dadas

por u(+∞) → U1 e u(−∞) → U2, respectivamente. Esse problema e conhecido como

o problema da terceira condicao de contorno. As condicoes de contorno para o prob-

39

lema da camada de mistura, sem a terceira condicao de contorno sao apresentadas na

Figura 1.6.

Figura 1.6 - Desenho esquematico de camada de mistura com condicoes de contorno

A falta de uma condicao de contorno faz com que o problema admita infinitas solucoes,

como mencionado por Ting (1959). Ou seja, como falta uma condicao para a compo-

nente de velocidade normal, v, o perfil de velocidades fica com sua posicao no espaco

indeterminada e pode ser deslocado para cima ou para baixo na direcao y.

De acordo com Alston e Cohen (1992), Von Karman sugeriu que a condicao preferıvel,

como terceira condicao de contorno, seria assumir que o somatorio de forcas na direcao

normal ao escoamento e igual a zero. Apesar desses autores mostrarem que a condicao

de Von Karman seria mais proxima de sua solucao calculada por expansoes assintoticas,

e de Ting (1959) e Klemp e Acrivos (1972) terem derivado condicoes de contorno para

a camada de mistura baseadas nesta, utiliza-se nesse trabalho a velocidade normal

nula como condicao de contorno(i.e. v(0) = 0). Isso significa que a origem coincide

com o ponto de inflexao do perfil de velocidade. No apendice A, mostra-se que isto se

deve a complicacao matematica que aparece na busca de uma equacao similar quando

tentamos utilizar uma condicao de contorno diferente. E provavel, que este seja o motivo

pelo qual diversos trabalhos sobre solucao similar da camada de mistura, utilizem essa

condicao, como apresentado no Capıtulo 3.

1.2.2 Similaridade na Camada de Mistura

Em geral, a variacao das propriedades do escoamento em uma camada de mistura

bidimensional e funcao tanto de x quanto de y. Isso esta esbocado na Figura 1.7 a),

onde dois perfis de velocidade sao mostrados para diferentes posicoes em x, x1 e x2.

Normalmente, tais perfis sao diferentes, ou seja, u(x1, y) 6= u(x2, y). Entretanto, para

certos casos, por meio de uma transformacao das variaveis independentes de (x, y) para

40

(ξ, η), os perfis se tornam independentes de ξ. Isso e mostrado na Figura 1.7 b). Ou

seja, os mesmos perfis de velocidade existem em diferentes valores de ξ, digamos ξ1 e ξ2.

Logo, no plano transformado o perfil de velocidade e dado por u = u(η), independente

de ξ. A regiao da camada de mistura que exibe tal comportamento e conhecida como

regiao de mistura similar e as suas solucoes sao conhecidas como solucoes similares.

(a) (b)

Figura 1.7 - Conceito de similaridade: a) Plano fısico b) Plano transformado

Fonte: Adaptado de Anderson (2000)

Currie (1974) comenta que solucoes similares sao as unicas que existem para alguns

problemas nao-lineares da teoria de camada limite. Menciona ainda, que as solucoes

similares sao uma classe especial de solucoes que existem para problemas governados

por equacoes diferenciais parciais parabolicas em duas variaveis independentes onde

nao existe uma escala geometrica que limita o problema, que e o caso da regiao de

mistura similar.

Podemos separar o escoamento em uma camada de mistura basicamente em duas

regioes (ALSTON; COHEN, 1992), uma viscosa, onde valem as equacoes de Navier-Stokes,

e outra invıscida, onde valem as equacoes de Euler. A regiao viscosa pode ser subdivi-

dida em tres regioes, que contam com solucoes diferentes, a saber:

a) Regiao inicial de mistura: Valem as equacoes de Navier-Stokes, que sao

equacoes diferenciais parciais nao-lineares de segunda ordem. Por se tratarem

de equacoes elıpticas, precisam de condicoes de contorno em todo o domınio

para que possam ser resolvidas, o que pode ser bastante complicado;

b) Regiao de mistura nao-similar: Valem as equacoes de Navier-Stokes com a

41

aproximacao de camada limite, que tambem sao equacoes diferenciais parciais

nao-lineares de segunda ordem, mas por se tratarem de equacoes hiperbolicas,

precisam apenas de condicoes de contorno no inıcio do domınio para que

possam ser resolvidas;

c) Regiao de mistura similar: Tambem valem as equacoes de Navier-Stokes

com a aproximacao de camada limite, mas atraves de transformacoes de co-

ordenadas, as equacoes de tornam diferenciais ordinarias, mais simples de

solucionar numericamente.

As regioes supracitadas podem ser melhor visualizadas na Figura 1.8 abaixo.

Figura 1.8 - Regioes de interesse em camada de mistura

Fonte: Adaptado de Alston e Cohen (1992)

Como colocado por Alston e Cohen (1992), a solucao similar da camada de mistura

e valida longe do ponto inicial de contato das duas correntes de fluido e independe

dos detalhes do perfil de velocidade neste ponto. Logo, mesmo com a aplicacao da

terceira condicao de contorno(item 1.2.1), o ponto exato onde a mesma se torna similar,

permanece desconhecido. Entretanto, Goebel et al. (1990) mostram que com o aumento

do numero de Mach convectivo(item 4.2.5), a distancia, da placa separadora ate um

ponto onde o perfil de velocidade da camada pode ser considerado similar, diminui. No

entanto, um ponto muito longe do ponto de encontro das duas camadas pode se situar

ja na regiao de transicao ou a regiao turbulenta. Assim sendo, o ponto escolhido para o

calculo deve ser longe o suficiente para que os perfis sejam similares, mas nao tao longe

a ponto de sair da regiao de escoamento laminar.

42

1.3 Conceitos Basicos da Analise de Estabilidade

Os problemas de estabilidade hidrodinamica se originam na diferenciacao entre padroes

estaveis, neutros (i.e. indiferentes) e instaveis de escoamento. Tais padroes podem ser

visualizados em sistemas mecanicos como uma esfera sobre uma superfıcie. A esfera

pode se deslocar da posicao original e pode retornar a mesma, se afastar ainda mais

ou ainda ser indiferente a mudanca de posicao como mostra a Figura 1.9.

(a) (b) (c)

Figura 1.9 - Padroes de estabilidade : a) Estavel b) Neutro c) Instavel

Fonte: Adaptado de Kundu e Cohen (2002)

Segundo Chandrasekhar (1961), instabilidade e a incapacidade de um determinado

padrao ser mantido diante de pequenas perturbacoes a que um sistema fısico esta

sujeito. Escoamentos laminares estao sempre sujeitos as pequenas perturbacoes. Per-

turbacoes aparecem devido a varios fatores, tais como: vibracao estrutural, rugosidade

superficial, ruıdo, turbulencia externa, etc.

Considerando a estabilidade de um sistema hidrodinamico que se encontra em estado

estacionario (regime permanente), isto e, em um estado em que nenhuma das variaveis

que descrevem o sistema e funcao do tempo, buscamos basicamente determinar a re-

sposta desse sistema a pequenas perturbacoes. A pergunta que se faz e se, em um

sistema perturbado, a perturbacao cessara aos poucos ou crescera em amplitude de tal

maneira que o sistema seja progressivamente desviado de seu estado inicial nao mais

retornando a este. No primeiro caso dizemos que o sistema e estavel aquela pertur-

bacao em particular e no segundo caso dizemos que e instavel. O locus que separa as

duas classes de estados, estavel e instavel, define os estados de estabilidade marginal

do sistema. Por definicao, um estado marginal e um estado de estabilidade neutra.

A teoria da estabilidade hidrodinamica investiga como as perturbacoes em um escoa-

mento sao amplificadas ou amortecidas e como a evolucao dessas perturbacoes esta

relacionada ao fenomeno de transicao para o escoamento turbulento.

43

1.3.1 Analise Local por Modos Normais

Ingard (1988) define uma onda como a transmissao de uma perturbacao sobre uma linha

onde determinada informacao se propaga entre dois pontos, no espaco e no tempo. Tal

definicao e reiterada por Kundu e Cohen (2002), que tambem nos apresentam o numero

de onda em [rad/m] na direcao x, definindo-o como:

α =2π

λ, (1.1)

onde λ e o comprimento de onda [m] na direcao x.

Diversos autores (DUNN; LIN, 1955; MICHALKE, 1964; GILL, 1965; LESSEN et al.,

1966; MACK, 1975; JACKSON; GROSCH, 1989; SANDHAM, 1990; PLANCHE, 1993; SHIN;

FERZIGER, 1991; DAY et al., 1998b; FEDIOUN; LARDJANE, 2005) consideram tambem que

existem perturbacoes se propagando na direcao transversal z. Essas perturbacoes sao

conhecidas na literatura como perturbacoes tridimensionais. Assim, pode ser definida

uma relacao entre o numero de onda dessas perturbacoes e α, dada por:

β = tan θ α , (1.2)

onde θ e o angulo de propagacao da perturbacao [rad] e β e o numero de onda na

direcao transversal [rad/m].

A taxa em que a fase de uma perturbacao muda por unidade de tempo, ou a frequencia

angular, e dada por:

ω = α c , (1.3)

onde c e a chamada velocidade de fase [m/s] e representa a velocidade com que picos

ou vales(i.e. linhas de mesma fase) se propagam no caso de ondas nao-dispersivas.1

1Ondas dispersivas sao ondas em que a energia se dissipa conforme a onda se propaga. Assimsendo, a velocidade em que os picos e vales se propagam, muda em funcao do numero de onda(α) e dafrequencia angular(ω) da perturbacao. Assim, faz-se necessario o conceito de velocidade de grupo, cg,dado por ∂ω

∂α , para representar a velocidade da perturbacao(i.e. velocidade de picos e vales). No casode ondas nao-dispersivas a velocidade de grupo e igual a velocidade de fase, cg = c (KUNDU; COHEN,2002).

44

O modelo matematico que descreve a evolucao de pequenas ondas, ou perturbacoes em

um escoamento e baseado na decomposicao das variaveis dependentes do escoamento

em uma parte laminar base mais uma pequena perturbacao, como mostrado para a

velocidade na direcao x na Equacao 1.4.

u(x, y, z, t) = U(y) + uo(x, y, z, t) . (1.4)

As variaveis dependentes decompostas dessa maneira sao substituıdas nas equacoes

de conservacao (Subsecao 4.5.1) resultando em equacoes diferenciais em funcao das

perturbacoes (Subsecao 4.5.2). Desprezando-se os termos nao-lineares, os coeficientes

das equacoes resultantes nao dependem de x, z e t. Pode-se propor a solucao na forma

de modos normais e as perturbacoes sao dadas pela Equacao 1.5.

uo(x, y, z, t) = < u(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (1.5)

Notar que na Equacao 1.5 o termo entre chaves e complexo, sendo este utilizado na

derivacao das equacoes de estabilidade (Subsecao 4.5.2) como mostrado no Apendice B.

Tambem e muito importante ressaltar nesse ponto, que essa decomposicao difere da

analise de escoamentos turbulentos, onde as variaveis dependentes sao decompostas

em componente media mais uma flutuacao e aparece o problema de fechamento com

a necessidade de modelar o tensor de Reynolds (TENNEKES; LUMLEY, 1997). Na

analise de estabilidade considerando-se escoamento paralelo, tanto a parte laminar base

(U) quanto a velocidade instantanea (u) respeitam as equacoes de conservacao (Sub-

secao 4.5.1). Ou seja, fornecida a parte laminar base (U) resolve-se o escoamento para

as perturbacoes (uo). Em escoamentos turbulentos, a flutuacao primeiro e modelada o

que permite o calculo posterior do escoamento medio.

1.3.2 Classificacao de Instabilidades

A modelagem das perturbacoes na analise local por modos normais (Subsecao 1.3.1),

resulta em equacoes derivadas no campo complexo (Subsecao 4.5.2). Tal fato simpli-

fica o tratamento matematico, senao terıamos de trabalhar com senos e cossenos. A

autofuncao u(y), apresentada na Equacao 1.5, e complexa e podemos ter tambem α

complexo ou ω complexo ou ambos complexos. O numero de onda na direcao z (β)

tambem pode ser complexo mas sera considerado real, pois em nossa analise as per-

turbacoes nao serao amplificadas nem atenuadas nessa direcao (Subsecao 1.3.1). Assim

sendo, podemos decompor as perturbacoes em :

45

uo(x, y, z, t) = < [u(y) exp( iαrx− αix+ iβrz − iωrt+ ωit )] . (1.6)

Ou seja,

uo(x, y, z, t) = [ u(y) exp(−αix+ ωit ) ]︸︷︷︸amplitude

[ exp( iαrx+ iβrz − iωrt ) ]︸︷︷︸oscilatorio

, (1.7)

onde o primeiro termo em colchetes representa a amplitude e o segundo termo a os-

cilacao. Os ındices r e i indicam componentes real e imaginaria respectivamente.

Observando a Equacao 1.7 podemos perceber que se β fosse complexo, apareceria no

termo de amplitude a sua parte imaginaria. Como β e real, tal variavel so aparece no

termo oscilatorio. Com isso, as perturbacoes do escoamento so serao amplificadas para

x crescente, e nao na direcao z. Ainda pela analise da Equacao 1.7, percebe-se que

se ω e real (ωi = 0 e ω = ωr) e α complexo, a amplitude da perturbacao cresce na

direcao do escoamento laminar base, ou seja, na direcao x. Dessa forma, a formulacao e

denominada espacial. Se α for real (αi = 0 e α = αr) e ω complexo, a amplitude cresce

no tempo e a formulacao e denominada temporal. As variaveis αi e ωi sao chamadas

de taxa de amplificacao espacial e taxa de amplificacao temporal respectivamente.

Portanto, no caso da camada de mistura podemos fazer dois tipos de analises depen-

dendo se o referencial esta fixo e vendo o escoamento de fora ou se referencial esta

se movendo junto com o escoamento. No primeiro caso, a analise e dita espacial e no

segundo caso e chamada temporal. Como mencionado por Monkewitz e Huerre (1982)

os resultados da analise temporal nao sao diretamente aplicaveis a dados experimen-

tais diferentemente da analise espacial. A diferenca de enfoque, pode ser visualizada na

Figura 1.10.

Assim, temos em caso de analise espacial:

• αi < 0 −→ amplitude crescente - instavel;

• αi > 0 −→ amplitude decrescente - estavel;

• αi = 0 −→ amplitude constante - estabilidade neutra;

E em caso de analise temporal temos:

46

(a) (b)

Figura 1.10 - Enfoques na analise de estabilidade: a) Espacial b) Temporal

Fonte: Adaptado de Sandham (1990)

• ωi > 0 −→ amplitude crescente - instavel;

• ωi < 0 −→ amplitude decrescente - estavel;

• ωi = 0 −→ amplitude constante - estabilidade neutra;

No presente trabalho, os dois tipos de analise serao abordados.

1.3.3 Teorema de Rayleigh

A equacao de Rayleigh e obtida substituindo-se a solucao por modos normais (i.e.

parte entre colchetes da Equacao 1.5) nas equacoes governantes das perturbacoes,

desprezando-se os termos nao-lineares e os termos viscosos (KUNDU; COHEN, 2002).

Para um escoamento localmente paralelo (i.e. v =constante e U(y)) com perturbacoes

tridimensionais, essa equacao e dada por:

α (U − c )

[d 2v

dy 2− (α2 + β2 )v

]− d 2U

dy 2αv = 0 . (1.8)

Sabendo que α e ω podem ser complexos, e se relacionam a velocidade de fase, c, pela

Equacao 1.3, esta pode ser representada como:

c = cr + ici . (1.9)

47

Como apresentado em Drazin e Reid (1982), da equacao de Rayleigh(Equacao 1.8)

pode-se derivar uma condicao necessaria mas nao suficiente para a instabilidade de um

perfil de velocidade laminar base, o que em termos matematicos e representada pela

seguinte equacao integral:

ci

∫ A

B

|v|2

|U − c|2d 2U

dy 2dy = 0 . (1.10)

Assim, quando ci 6= 0 para o resultado ser zero, a integral deve ser nula. Analisando os

termos da mesma, o unico termo que nao e necessariamente positivo em todo domınio

e d 2U/dy 2. Entao a integral acima so sera zero se d 2U/dy 2 for negativo em certas

regioes do domınio e positivo em outras. Logo, d 2U/dy 2 deve ser zero em algum ponto

do domınio. Tal condicao e chamada de teorema do ponto de inflexao de Rayleigh e diz

que para haver instabilidade invısicida e necessario que o perfil de velocidade laminar

base, U(y), tenha um ponto de inflexao.

1.3.4 Teorema de Fjørtoft

O meteorologista sueco Fjørtoft (KUNDU; COHEN, 2002) derivou um segundo teorema

de forma parecida, tomando a equacao de Rayleigh (Equacao 1.8) multiplicada pelo

complexo conjugado de v, o que resulta na inequacao integral apresentada abaixo:

∫ A

B

|v|2

|U − c|2d 2U

dy 2(U − US) dy < 0 . (1.11)

Onde US e a velocidade no ponto de inflexao. Entao e necessario que:

d 2U

dy 2(U − US) < 0 . (1.12)

O teorema de Fjørtoft diz que uma condicao necessaria mas nao suficiente para in-

stabilidade, e que o perfil de velocidade laminar base tenha um ponto de inflexao e

satisfaca a condicao acima. Supondo que U seja uma funcao crescente de y, entao:

y > yS ⇒ U > US ⇒d 2U

dy 2< 0 , (1.13)

48

y < yS ⇒ U < US ⇒d 2U

dy 2> 0 . (1.14)

Onde yS e a posicao onde d 2U/dy 2 muda de sinal. Os teoremas de Rayleigh e Fjørtoft

podem ser melhor compreendidos atraves dos exemplos da Figura 1.11.

(a) (b) (c) (d)

Figura 1.11 - Exemplos de distribuicoes de velocidade laminares: a) Estavel b) Estavel c) Necessariamenteinstavel por Rayleigh d) Necessariamente instavel por Rayleigh e Fjørtoft

Fonte: Adaptado de MENDONCA (2002)

1.3.5 Teorema de Squire

O teorema de Squire mostra analiticamente (DRAZIN; REID, 1982), que um problema

bidimensional incompressıvel monoespecie tera uma taxa de amplificacao maior que o

problema tridimensional equivalente o que pode nos levar a pensar que so e necessario

considerar perturbacoes bidimensionais, pois sao as mais crıticas. Tal conclusao nao vale

para camadas de mistura compressıveis onde as perturbacoes tridimensionais possuem

taxas de amplificacao maiores que as perturbacoes bidimensionais (DUNN; LIN, 1955).

1.3.6 Instabilidade de Kelvin-Helmholtz

Quando duas camadas de fluido em um escoamento incompressıvel estao em movi-

mento relativo horizontal, se a interface e perturbada, existe uma camada de mistura

(Secao 1.2) que e uma lamina de vorticidade de espessura desprezıvel se o comprimento

de onda da perturbacao presente for muito maior que a espessura da camada. Tal per-

turbacao gera uma instabilidade conhecida como instabilidade de Kelvin-Helmholtz. E

relativamente comum encontrar esse tipo de instabilidade na atmosfera como podemos

ver na Figura 1.12.

Como apontado por Chandrasekhar (1961), a fonte de energia para a instabilidade

49

Figura 1.12 - Instabilidade de Kelvin-Helmholtz na atmosfera

Fonte: http://download.hao.ucar.edu/pub/foster/kelvin-helmholtz-feb9/DSC_0325a.JPG

de Kelvin-Helmholtz esta claramente na energia armazenada sob a forma de energia

cinetica do movimento relativo de diferentes camadas. A tendencia de haver mistura

e instabilidade sera tanto maior quanto maior for o cisalhamento dado por dU/dy. A

unica forca contraria amortecendo essa tendencia e derivada da inercia; e enquanto a

inercia puder manter um gradiente de pressao suficiente e evitar a mistura, nao havera

instabilidade. Para o problema da instabilidade de Kelvin-Helmholtz existe solucao

analıtica (MENDONCA, 2002), que fornece a relacao de dispersao f(ω, α) = 0.

Ting (1959) comenta que o processo de mistura laminar e um fenomeno que ocorre

devido a viscosidade e que a mudanca de velocidade de uma camada para outra, se da

em uma regiao de espessura finita, mas pequena se comparada com o comprimento em

que ocorre a mistura. Nesse caso, como a espessura e finita, nao ha solucao analıtica

e torna-se necessario recorrer a solucoes numericas das equacoes de perturbacao(item

4.5) como e feito para uma camada de mistura compressıvel binaria.

1.3.7 Modos Externos

Apesar de Brown e Roshko (1974) terem demonstrado que a camada de mistura in-

compressıvel e controlada por grandes estruturas centrais semelhantes a instabilidade

de Kelvin-Helmholtz (Subsecao 1.3.6), Lessen et al. (1966) e Gropengiesser (1970) en-

tre outros, perceberam o aparecimento de modos adicionais para a camada de mistura

devido aos efeitos de compressibilidade. Esses modos adicionais diminuem a taxa de

mistura entre os gases das duas camadas (KOOCHESFAHANI; DIMOTAKIS, 1986) e foram

chamados de modos externos, pois estao associados a camada rapida ou a camada

lenta. Day et al. (2001) apresentaram uma figura que ilustra bem a fısica do problema

50

http://download.hao.ucar.edu/pub/foster/kelvin-helmholtz-feb9/DSC_0325a.JPG

http://download.hao.ucar.edu/pub/foster/kelvin-helmholtz-feb9/DSC_0325a.JPG

(Figura 1.13).

Figura 1.13 - Modos externos na camada de mistura

Fonte: Adaptado de Day et al. (2001)

Utilizando-se dos teoremas de Rayleigh e Fjørtoft, Shin e Ferziger (1991) utilizaram a

condicao necessaria para instabilidade em camadas de mistura com densidade variavel

proposta por Lees e Lin (1946), dada por

d

dy

(ρdU

dy

)(U − US) < 0 (1.15)

o que significa que d/dy (ρ dU/dy) deve trocar de sinal pelo menos uma vez no domınio

para haver instabilidade. Utilizando esse resultado, pode-se prever quantos modos de

instabilidade aparecerao no escoamento (SHIN; FERZIGER, 1991).

Planche (1993) utilizaram um conceito proximo, chamado de vorticidade ponderada

pela densidade, ρ dU/dy, para estudar a presenca e formacao dos modos externos. Tal

conceito tambem foi utilizado por Day et al. (1998b) e esta ilustrado na Figura 1.14.

Tal conceito sera utilizado neste trabalho como meio de prever a existencia de modos

externos (Subsecao 6.4.3), ja que o escoamento na camada de mistura sempre e instavel

de acordo com os teoremas de Rayleigh e Fjørtoft (KUNDU; COHEN, 2002), pois seu perfil

de velocidade laminar base sempre se assemelha ao apresentado na Figura 1.11 d).

Percebe-se pela Figura 1.14 b), que quando o perfil de ρ dUdy

apresenta uma descon-

51

(a)

(b)

Figura 1.14 - Diferentes modos e perfis de vorticidade ponderada pela densidade: a) Modo central b) Modosexternos

Fonte: Adaptado de Day et al. (1998b)

tinuidade, isto representa a presenca de uma camada paralela de estruturas vorticais.

1.4 Estrutura do Trabalho

No Capıtulo 2 sao apresentados os objetivos do estudo. Sao mostradas as analises

que serao desenvolvidas. Os trabalhos relevantes sobre o assunto camada de mistura e

alguns assuntos correlatos estao descritos no Capıtulo 3. Toda a formulacao utilizada

e apresentada no Capıtulo 4. O Capıtulo 5 mostra como foi feito para que as analises

propostas no Capıtulo 2 fossem realizadas e os resultados sao expostos no Capıtulo 6.

Por fim, o Capıtulo 7 encerra o trabalho com as conclusoes aplicaveis e comentarios para

trabalhos posteriores. Nos elementos pos-textuais o Apendice A apresenta a derivacao

das equacoes de conservacao similares (Subsecao 4.4.2), o Apendice B a derivacao das

equacoes de estabilidade utilizadas (Subsecao 4.5.2) e o Apendice C uma comparacao

dos metodos de calculo da viscosidade e da condutividade termica para diferentes gases.

Passemos entao aos objetivos do trabalho expostos no Capıtulo 2.

52

2 OBJETIVOS

O objetivo do presente trabalho e investigar a estabilidade hidrodinamica de uma ca-

mada de mistura compressıvel binaria, utilizando-se da tecnica de analise de estabili-

dade linear. Sao avaliadas:

a) As diferencas entre o perfil de velocidade laminar base dado por U(η) =

A tanh(D · η) + B e o perfil laminar base calculado por solucao similar

variando-se o numero de Mach convectivo (i.e. efeito de compressibilidade—

Subsecao 4.2.5), onde A, B e D sao constantes;

b) As diferencas nas taxas de amplificacao ao se resolver a equacao das pertur-

bacoes com o perfil U(η) = A tanh(D ·η)+B e o perfil laminar base calculado

por solucao similar;

c) A influencia do parametro de Chapman-Rubesin (Subsecao 4.2.9) e dos

numeros de Prandtl (Subsecao 4.2.6) e Lewis( (Subsecao 4.2.8) diferentes

de 1, nos perfis de velocidade, temperatura e fracao massica, bem como nas

taxas de amplificacao temporal e espacial dos modos instaveis;

d) As taxas de amplificacao temporal e espacial(item 1.3.2) dos modos instaveis

variando-se o numero de Mach convectivo;

e) As taxas de amplificacao de ondas oblıquas dos modos mais instaveis e com-

parar com as taxas de amplificacao temporal e espacial de ondas bidimen-

sionais em diferentes numeros de Mach convectivo;

f) A presenca de modos instaveis adicionais com o aumento do numero de Mach

convectivo;

Definido o escopo do trabalho, podemos prosseguir ao Capıtulo 3 analisando-se alguns

dos trabalhos ja publicados relacionados ao assunto de interesse.

53

3 REVISAO BIBLIOGRAFICA

Neste capıtulo as referencias consultadas relevantes ao assunto em questao sao apresen-

tadas. Como o problema da camada limite esta intimamente relacionado ao estudado,

algumas referencias, que tambem tratam da estabilidade desta, sao apresentados. As-

sim, nao se restringe a revisao apenas a camada de mistura compressıvel binaria. Tam-

bem foram consultados trabalhos sobre jatos e esteiras e ainda sobre a camada de

mistura incompressıvel monoespecie, ja que existem muitos trabalhos publicados em

que os efeitos de compressibilidade e da presenca de gases distintos nao sao levados

em consideracao. Estes estudos sao incluıdos tambem pelo fato de serem a base para

o entendimento de fenomenos mais complexos que ocorrem no caso compressıvel. As

referencias apresentadas seguem a ordem cronologica em que foram escritas.

3.1 Estudos Consultados

Um dos primeiros estudos do efeito da compressibilidade na estabilidade da camada

limite foi publicado por Lees e Lin (1946). Eles investigaram como a estabilidade invıs-

cida e viscosa da camada limite bidimensional e afetada pela compressibilidade e pela

transferencia de calor utilizando a analise local por modos normais (Subsecao 1.3.1)

e metodos de perturbacao(i.e. expansoes assintoticas) para solucionar as equacoes re-

sultantes. Estes autores apontaram para a possibilidade da transferencia de calor para

camada limite desestabilizar a mesma atraves da diminuicao de densidade.

Visto que a solucao do escoamento laminar base e importante no estudo de sua esta-

bilidade (LOCK, 1951), Lock utilizou transformacoes similares nas equacoes de camada

limite e o conceito de espessura de quantidade de movimento para resolver o problema

de uma camada de mistura incompressıvel e viscosa com diferenca de densidade entre

as camadas (i.e fluidos diferentes). Ele obteve perfis de velocidade laminar base para

diversos casos atraves do metodo de expansoes assintoticas. Lock (1951) utilizou como

terceira condicao de contorno v(0) = 0 (Subsecao 1.2.1).

Dunn e Lin (1955) estudaram as caracterısticas de estabilidade da camada limite com-

pressıvel e acabaram por estender e modificar alguns resultados obtidos por Lees e Lin

(1946), mas tambem confirmaram alguns resultados como a desestabilizacao da mesma

atraves da diminuicao de densidade. Eles consideraram perturbacoes tridimensionais ao

inves de bidimensionais e afirmaram que as caracterısticas de estabilidade da camada

limite dependem da perturbacao da temperatura para velocidades de escoamento su-

personicas altas. Tal fato contraria os resultados anteriores de Lees e Lin (1946). Dunn

e Lin (1955) constataram tambem que com o aumento do numero de Mach (Sub-

55

secao 4.2.4) as perturbacoes tridimensionais comecam a se tornar mais importantes

que as bidimensionais e devem ser consideradas.

Ting (1959) utilizou a tecnica de expansoes assintoticas para encontrar a terceira

condicao de contorno para o problema da camada de mistura sob diferentes combi-

nacoes de regime de escoamento como: ambas as camadas supersonicas, ambas sub-

sonicas, ambas incompressıveis e uma supersonica e outra subsonica. Analisou ainda,

se a condicao encontrada, valia para uma regiao de mistura laminar ou turbulenta.

Michalke (1964) estudou o problema da camada de mistura utilizando a equacao

de Rayleigh (Subsecao 1.3.3) da teoria de estabilidade linear invıscida, com pertur-

bacoes bidimensionais e um perfil de velocidade laminar base analıtico, dado por

U(y) = 0.5 [ 1+ tanh(y) ]. Nesse estudo, ele calculou autovalores para tracar a curva de

taxa de amplificacao temporal e as respectivas autofuncoes usando-as para encontrar

diferencas nas distribuicoes de vorticidade entre o escoamento em que as perturbacoes

sao instaveis e neutras. Encontrou para o caso neutro apenas uma estrutura vortical,

enquanto que para o caso instavel encontrou duas emparelhadas. Mencionou tambem,

que no caso da camada de mistura ao contrario da camada limite, a viscosidade tem

papel estabilizador, amortecendo as perturbacoes do escoamento.

Michalke (1965) tambem realizou estudos das taxas de amplificacao espaciais do prob-

lema da camada de mistura da mesma maneira que em seu estudo anterior para o

caso temporal (MICHALKE, 1964). Seu estudo concluiu, que a analise de estabilidade

espacial descreve melhor as propriedades de instabilidade de uma camada de mistura

perturbada, ao menos para baixas frequencias. Michalke (1965) concluiu tambem que

a analise de estabilidade espacial mostra uma concordancia melhor com os resultados

experimentais.

Gill (1965) estudou o problema da estabilidade de jatos e esteiras compressıveis bidi-

mensionais ou axissimetricos, com perfil analıtico de velocidade em forma de cartola

ou “top-hat”, e com perturbacoes tridimensionais. Nesse estudo ele acena para a pre-

senca de modos de instabilidade supersonicos(item 6.4.3) quando o escoamento livre e

supersonico(item 6.4.3) alem dos modos presentes quando o escoamento e subsonico.

Lessen et al. (1966) abordaram o efeito de perturbacoes supersonicas no problema da

camada de mistura compressıvel com analise de estabilidade invıscida. Tambem uti-

lizaram perturbacoes tridimensionais assim como Dunn e Lin (1955), Michalke (1964)

e Gill (1965). Concluıram que as taxas de amplificacao sao menores para perturbacoes

supersonicas e que o aumento da obliquidade das perturbacoes tende a aumentar a

56

taxa de amplificacao das perturbacoes o que aumenta a instabilidade da camada de

mistura.

Libby e Liu (1968) utilizaram a tecnica de quasilinearizacao em expansoes assintoti-

cas para obter solucoes similares (Subsecao 1.2.2) para a equacao de Falkner-Skan da

camada limite laminar compressıvel com gradiente de pressao.

Klemp e Acrivos (1972), assim como Ting (1959), utilizaram o metodo das expansoes

assintoticas para determinar a terceira condicao de contorno para o problema da ca-

mada de mistura. Klemp e Acrivos (1972) fizeram este estudo no intuito de completar

o trabalho de Ting (1959), para o caso em que ambas as camadas sao subsonicas. Eles

mostraram que nesse caso existe uma indeterminacao para a terceira condicao de con-

torno e que tal indeterminacao e uma propriedade fundamental do sistema estudado.

Winant e Browand (1974) realizaram estudos experimentais da camada de mistura

(Secao 1.2) incompressıvel, utilizando um canal de agua e observaram que as pertur-

bacoes ao serem amplificadas fazem com que o fluido forme estruturas vorticais discretas

bidimensionais defasadas e emparelhadas como as mostradas nos calculos de estabil-

idade realizados por Michalke (1964). Estes vortices emparelhados comecam a rolar

um em volta do outro, coalescendo e formando uma unica grande estrutura vortical

com aproximadamente o dobro do espacamento dos seus vortices formadores. Tal feno-

meno ficou conhecido como emparelhamento de vortices e e caracterıstico na evolucao

de camadas cisalhantes de diversas naturezas. Esse mecanismo domina a formacao da

camada de mistura incompressıvel. Estes autores tambem mostraram atraves de seus

experimentos, que os perfis de velocidade laminar base calculados por Lock (1951)

utilizando solucoes similares, refletem muito bem as medicoes realizadas.

Brown e Roshko (1974) fizeram experimentos de camada de mistura incompressıvel

binaria (i.e. nitrogenio e helio) para avaliar o efeito da diferenca de densidade e con-

cluıram para as razoes de densidade estudadas, que esse escoamento e dominado por

grandes estruturas coerentes, o que ja havia sido mostrado por Winant e Browand

(1974) para o caso incompressıvel monoespecie. Concluıram tambem que a diminuicao

razao de densidade em regime subsonico possui efeito menor na reducao da espessura

de vorticidade do que quando em regime supersonico.

Mack (1975) utilizou a teoria de estabilidade linear em uma camada limite compressıvel

no intuito de investigar, se tal teoria conseguiria confirmar as observacoes de que o

numero de Reynolds (Subsecao 4.2.7) em que ocorre a transicao e alterado com a

mudanca do numero de Mach (Subsecao 4.2.4) e da temperatura da parede. Nesse

57

trabalho, o autor expos a existencia de multiplos modos instaveis, que estao presentes

sempre que existe uma regiao de escoamento supersonico relativo a velocidade de fase

da perturbacao, assim como Gill (1965)havia previsto para jatos e esteiras. Mack (1975)

menciona tambem, que com o aumento do numero de Mach, as perturbacoes oblıquas

comecam a se tornar mais amplificadas que as bidimensionais, como Dunn e Lin (1955)

ja haviam colocado.

Blumen et al. (1975) analisaram a camada de mistura (Secao 1.2) compressıvel, uti-

lizando analise de estabilidade invısicida e considerando apenas perturbacoes bidimen-

sionais. Eles descobriram um segundo modo de instabilidade, que e supersonico e que

decai mais lentamente do que o primeiro modo (i.e. modo subsonico) ao se afastar da

camada de mistura. Blumen et al. (1975) apresentaram para um perfil analıtico, dado

por U(y) = tanh(y), resultados numericos e analıticos comprovando a existencia de

tais modos.

Bogdanoff (1983) sugeriu um parametro de correlacao para os efeitos de compressibili-

dade, que ele chamou de M+ e que depois foi chamado de numero de Mach convectivo

(Subsecao 4.2.5) por Papamoschou e Roshko (1988). Bogdanoff (1983) correlacionou

o crescimento da camada de mistura de trabalhos experimentais anteriores e dos re-

sultados teoricos de Blumen et al. (1975), com esse novo parametro e apresentou tais

dados de crescimento da camada de mistura em funcao da espessura de vorticidade, δω.

Concluiu que os resultados teoricos e experimentais poderiam ser relacionados dessa

forma. Bogdanoff (1983) tambem aponta para o aumento da importancia de pertur-

bacoes oblıquas, com o aumento de M+, fato ja levantado por Dunn e Lin (1955), Mack

(1975) e indiretamente por Blumen et al. (1975), para o aumento do numero de Mach.

Monkewitz e Huerre (1982) analisaram a estabilidade invıscida da camada de mistura

bidimensional incompressıvel para diferentes valores do parametro de velocidade, λU

(Equacao 4.48). Utilizaram a teoria de estabilidade linear com perturbacoes bidimen-

sionais na equacao de Rayleigh, se restringindo a analise espacial, para que pudessem

correlacionar seus resultados teoricos com os experimentais publicados por outros au-

tores. Em seus calculos, utilizaram perfis laminares base calculados e analıticos do tipo

U(y) = 1 + λU tanh(y/2), semelhante ao usado anteriormente por Michalke (1964) e

depois por Blumen et al. (1975). Assim como Lock (1951), utilizaram nos seus calculos

de perfil laminar base, v(0) = 0 como terceira condicao de contorno(Subsecao 1.2.1).

Com esse estudo, Monkewitz e Huerre (1982) concluıram que a taxa de amplificacao

espacial maxima (αmaxi ) e uma funcao linear de λU para perfis laminares base calcula-

dos, mas que isso nao e verdade para perfis do tipo U(y) = tanh(y) e que para λU = 0

58

a analise temporal corresponde a analise espacial.

Em um trabalho posterior, Monkewitz e Huerre (1985) mostraram que para λU < 1.315

camadas de mistura sao convectivamente instaveis e que se λU for maior que esse valor

apenas perturbacoes temporais se desenvolvem e a camada sera absolutamente instavel.

Importante notar que tal fato so e possıvel se houver contrafluxo grande o suficiente

para que λU seja maior que 1.

Chinzei et al. (1986) realizaram experimentos de camada de mistura supersonica e

turbulenta. Conseguiram observar que grandes estruturas vorticais, similares as encon-

tradas inicialmente por Winant e Browand (1974) e depois por Brown e Roshko (1974),

continuavam existindo para um escoamento compressıvel e em numeros de Reynolds

elevados, o que nao se julgava possıvel anteriormente.

Koochesfahani e Dimotakis (1986) analisaram experimentalmente a camada de mistura

turbulenta com reacao quımica em lıquidos enquanto que Masutani e Bowman (1986)

analisaram sua estrutura em gases.

Papamoschou e Roshko (1988) fizeram muitos experimentos para a camada de mistura

turbulenta compressıvel binaria com diferentes combinacoes de gases. Constataram re-

ducao do crescimento da espessura da camada com o aumento da compressibilidade e

confirmaram a existencia de grandes estruturas vorticais em numeros de Mach eleva-

dos, como Chinzei et al. (1986) ja haviam presenciado. Utilizaram o numero de Mach

convectivo, MC (Subsecao 4.2.5), como meio de correlacionar e unificar resultados ex-

perimentais, e perceberam que a taxa de amplificacao espacial se correlaciona com esse

parametro atraves de apenas uma curva, quando a taxa e normalizada por seu valor

incompressıvel a mesma razao de velocidades e densidades.

McMurtry et al. (1989) investigaram a camada de mistura binaria turbulenta e reativa

atraves de simulacoes numericas diretas a fim de compreender os efeitos da liberacao de

calor no desenvolvimento temporal da camada. Encontraram que a liberacao de calor

retarda o desenvolvimento da camada de mistura, assim como ocorre com o aumento da

compressibilidade ja experimentado por Chinzei et al. (1986) e Papamoschou e Roshko

(1988).

Jackson e Grosch (1989) analisaram a estabilidade espacial invıscida de uma camada

de mistura compressıvel com diferenca de velocidade e temperatura entre as camadas.

Utilizaram em suas analises um perfil de velocidade laminar base analıtico, dado por

U(y) = 0.5 [ 1 + tanh(y) ], assim como Michalke (1964), Blumen et al. (1975) e Monke-

59

witz e Huerre (1982). Jackson e Grosch (1989) mostraram que a partir de um deter-

minado numero de Mach (Subsecao 4.2.4) supersonico, sempre existem dois modos

instaveis. A existencia de modos supersonicos adicionais, ja havia sido levantada por

Gill (1965), para jatos e esteiras, e por Mack (1975), para a camada limite. Jackson e

Grosch (1989) notaram que um desses modos adicionais tem velocidade de fase super-

sonica em relacao a camada rapida e o chamaram de modo lento, enquanto que o outro

tem velocidade de fase supersonica em relacao a camada lenta e o chamaram de modo

rapido. Alem disso, mencionam que tais modos adicionais nao sao acusticos, mas modos

de vorticidade. Os autores tambem analisaram perturbacoes tridimensionais alem de

bidimensionais, concluindo que perturbacoes tridimensionais possuem taxas de ampli-

ficacao superiores as perturbacoes bidimensionais com o aumento do numero de Mach

convectivo, assim como apontado por Dunn e Lin (1955), Mack (1975), Blumen et al.

(1975) e Bogdanoff (1983). Sobre a diferenca de temperatura entre as camadas, Jack-

son e Grosch (1989) concluıram que com o aumento das diferencas de temperatura, as

taxas de amplificacao sao reduzidas.

Hermanson e Dimotakis (1989) realizaram experimentos em uma camada de mistura

com reacao quımica (i.e. hidrogenio, H2, e fluor, F2) para estudar os efeitos da liberacao

de calor no processo de mistura de dois gases. Concluıram que a liberacao de calor faz

com que a taxa de crescimento da camada de mistura diminua, apesar da espessura

de deslocamento aumentar consideravelmente com a liberacao de calor. Assim como

Winant e Browand (1974), Brown e Roshko (1974), Chinzei et al. (1986) e Papamoschou

e Roshko (1988) perceberam para outras condicoes, Hermanson e Dimotakis (1989)

constataram que tambem existem grandes estruturas de vorticidade em uma camada

de mistura, quando ha liberacao de calor. Visualizaram ainda que a distancia entre

tais estruturas diminui ligeiramente com o aumento da liberacao de calor. Alem da

liberacao de calor, Hermanson e Dimotakis (1989) tambem impuseram gradientes de

pressao favoraveis para entender seus efeitos sobre a taxa de crescimento da camada

de mistura e na formacao de produtos de reacao, concluindo que gradientes de pressao

favoraveis atrapalham o crescimento da camada e aumentam muito pouco a quantidade

de produtos de reacao formados.

Ragab e Wu (1989) analisaram a estabilidade espacial de uma camada de mistura com-

pressıvel utilizando a teoria de estabilidade linear. Consideraram tanto a estabilidade

invıscida quanto a viscosa, concluindo que a estabilidade invıscida e o limite superior

para as taxas de amplificacao espacial. Apresentaram resultados mostrando que apenas

no caso incompressıvel com valores baixos do parametro de velocidade (λU) a taxa de

amplificacao espacial maxima (αmaxi ) e esse parametro se relacionam linearmente. Tal

60

conclusao confirma o previsto por Monkewitz e Huerre (1982) para camadas de mistura

incompressıveis, de que a relacao linear valeria para qualquer valor de λU . Mostraram

que quando ha diferenca de temperatura entre as camadas, a relacao linear entre λU

e αmaxi tambem nao se confirma e o escoamento pode se estabilizar ou desestabilizar,

dependendo da camada rapida estar mais quente ou mais fria que a camada lenta.

Ragab e Wu (1989), assim como Gill (1965), Mack (1975) e Jackson e Grosch (1989),

tambem apresentaram modos adicionais para numeros de Mach elevados e ainda apre-

sentam uma justificativa para o uso do numero de Mach convectivo (Subsecao 4.2.5),

introduzido por Bogdanoff (1983) e usado por Papamoschou e Roshko (1988).

Papamoschou (1991) realizou experimentos em uma camada de mistura compressıvel

para investigar a estrutura das grandes escalas vorticais ja encontradas por Winant e

Browand (1974), Brown e Roshko (1974), Chinzei et al. (1986), Papamoschou e Roshko

(1988) e Hermanson e Dimotakis (1989). Papamoschou (1991) verificou que o numero

de Mach convectivo para a camada superior, MC1 , e o numero de Mach convectivo para

a camada inferior,MC2 , sao diferentes, o que contraria o modelo proposto anteriormente

por Bogdanoff (1983) e por Papamoschou e Roshko (1988), onde era considerado que

ambos eram iguais ou muito proximos.

Goebel et al. (1990) investigaram a camada de mistura compressıvel turbulenta atraves

de experimentos encontrando que nıveis de turbulencia maiores no escoamento livre,

reduzem a distancia necessaria ao desenvolvimento do perfil de velocidade. Tambem

constataram que quanto maior o numero de Mach convectivo, menor e o crescimento da

camada de mistura em relacao a uma camada incompressıvel nas mesmas condicoes.

Encontraram tambem as grandes estruturas ja visualizadas por Winant e Browand

(1974), Brown e Roshko (1974), Chinzei et al. (1986), Papamoschou e Roshko (1988),

Hermanson e Dimotakis (1989) e Papamoschou (1991).

Jackson e Grosch (1990) em uma continucao de seu trabalho anterior (JACKSON;

GROSCH, 1989), estudaram a estabilidade de uma camada de mistura compressıvel

e reativa utilizando o modelo “flame sheet”. Eles mostraram que o escoamento pode se

tornar absolutamente instavel, caso seja liberado calor suficiente. Concluıram tambem

que mesmo com liberacao de calor, o aumento do numero de Mach convectivo faz a

taxa de amplificacao espacial diminuir, assim como ja haviam constatado Hermanson

e Dimotakis (1989).

Shin e Ferziger (1991) analisaram a camada de mistura reagente utilizando a teoria

de estabilidade linear invıscida e perceberam que a taxa de amplificacao temporal

e a taxa de amplificacao espacial sao sensıveis ao perfil de velocidade laminar base

61

utilizado. Utilizaram lei de potencias para representar a dependencia dos coeficientes

de transporte(i.e. viscosidade, difusividade massica e condutividade termica) com a

temperatura. Tambem encontraram modos adicionais, assim como Gill (1965), Mack

(1975), Jackson e Grosch (1989), Ragab e Wu (1989) e Jackson e Grosch (1990) para

a camada de mistura compressıvel. Constataram que tais modos sao deslocados para a

camada rapida ou para a camada lenta e por isso foram denominados modos externos.

Perceberam que tais modos sao mais amplificados que o modo central, que corresponde

ao modo que aparece quando nao ha liberacao de calor(i.e. instabilidade de Kelvin-

Helmholtz), e que ao contrario da camada de mistura compressıvel, as perturbacoes

bidimensionais sao mais amplificadas que as tridimensionais.

Sandham e Reynolds (1991) investigaram a evolucao das instabilidades em uma ca-

mada de mistura compressıvel atraves de simulacoes numericas diretas tridimensionais

de grandes escalas. Com tal abordagem, esses autores confirmaram as previsoes da

teoria de estabilidade linear de que para numeros de Mach convectivo elevados, as per-

turbacoes oblıquas sao mais amplificadas que as perturbacoes bidimensionais, fato ja

previsto por Dunn e Lin (1955), Mack (1975), Blumen et al. (1975), Bogdanoff (1983)

e Jackson e Grosch (1989).

Alston e Cohen (1992) aplicaram o metodo de expansoes assintoticas ao problema da

camada de mistura incompressıvel a fim de evitar o problema da terceira condicao de

contorno e obter solucoes validas para todas as regioes da camada de mistura (Sub-

secao 1.2.1).

Planche (1993) realizou estudos numericos da camada de mistura compressıvel reativa

com o intuito de determinar a estrutura basica desse tipo de escoamento e examinar

os efeitos de liberacao de calor e compressibilidade nessa estrutura. Para tal, ele uti-

lizou a analise de estabilidade linear e simulacoes numericas diretas. Planche (1993)

identificou o emparelhamento de vortices para a camada de mistura compressıvel e

reativa, fenomeno que ja havia sido descrito por Winant e Browand (1974) para uma

camada de mistura incompressıvel. Planche (1993) tambem encontrou dois modos de

instabilidade adicionais chamados de modos externos. Ele conseguiu associar a analise

de perfis de vorticidade ponderada pela densidade aos modos adicionais e ainda con-

cluiu, que aumentando a liberacao de calor ha uma reducao dos angulos de propagacao

das perturbacoes para numeros de Mach convectivo elevados.

Shin e Ferziger (1993) acrescentaram a compressibilidade a camada de mistura reativa

de seu trabalho anterior (SHIN; FERZIGER, 1991) e concluıram que as taxas de am-

plificacao para um escoamento reativo e compressıvel sao menores do que quando so

62

a compressibilidade esta presente. Afirmaram ainda que mesmo sob o efeito da com-

pressibilidade, havendo liberacao de calor, as perturbacoes bidimensionais sao mais

amplificadas que as tridimensionais. No mesmo trabalho, levantaram tambem a duvida

sobre a aplicabilidade do numero de Mach convectivo para a camada de mistura reativa.

Kennedy e Gatski (1994) analisaram as solucoes similares da camada de mistura lam-

inar compressıvel binaria composta por nitrogenio e hidrogenio. Em seus calculos, as

duas camadas sempre estavam em regime supersonico para que pudessem aplicar a

terceira condicao de contorno derivada por Ting (1959). Verificaram que com o au-

mento da razao de densidade a regiao de maior vorticidade se move para a camada

menos densa e tambem que para as condicoes estudadas o numero de Lewis, o numero

de Prandtl e o parametro de Chapman-Rubesin variam bastante, sendo importante

considerar sua variacao ao longo da camada no calculo da solucao laminar base.

Lu e Lele (1994) analisaram resultados experimentais de camadas de mistura de varios

autores e utilizaram a analise de estabilidade linear para gerar os modulos das taxas

de amplificacao espaciais maximas (|αi|max) nas condicoes dos experimentos. Nor-

malizaram o modulo da taxa de amplificacao espacial maxima pelo modulo da taxa

de amplificacao espacial maxima incompressıvel (|αi|maxinc ) para uma mesma condicao.

Dessa forma, conseguiram filtrar aparentes inconsitencias em dados experimentais.

Kozusko et al. (1996) estudaram a estrutura de uma camada de mistura laminar com-

pressıvel binaria para diversas combinacoes de gases. Solucionaram as equacoes de

conservacao similares (Subsecao 4.4.2) e apresentaram perfis de variacao do numero de

Lewis (Le) e do numero de Prandtl (Pr) para algumas variacoes de razao de velocidade

(βU) e de razao de temperatura (βT ). Apresentaram ainda perfis de velocidade, fracao

massica, temperatura e densidade para misturas binarias representativas e mostraram

que tais perfis sao fortemente dependentes dos gases presentes em cada camada.

Day et al. (1998b) analisaram a estabilidade da camada de mistura compressıvel e

reativa utilizando solucao similar das equacoes de conservacao e analise de estabilidade

linear. Estudaram como a estrutura da camada de mistura e alterada pela compress-

ibilidade, liberacao de calor, razao de densidade, razao de equivalencia e razao de

velocidade. Apresentaram a compressibilidade e a liberacao de calor como causadoras

do aparecimento de modos adicionais, assim como Shin e Ferziger (1993).

Day et al. (1998a) continuando o trabalho anterior (DAY et al., 1998b) avaliaram a

aplicabilidade e a relevancia do parametro de velocidade (λU) para a camada de mis-

tura compressıvel e reativa, como forma de apresentar dados de taxa de amplificacao

63

em condicoes em que a compressibilidade e as variacoes de densidade se tornam im-

portantes. Acrescentaram algumas correcoes ao parametro de velocidade para os casos

em que ha liberacao de calor.

Lardjane et al. (2004) utilizaram a solucao similar das equacoes de conservacao para

gerar condicoes de contorno adequadas a simulacao numerica direta temporal de uma

camada de mistura compressıvel binaria.

Fedioun e Lardjane (2005) investigaram a estabilidade temporal de uma camada de

mistura compressıvel binaria utilizando solucao similar do escoamento laminar base e

resolvendo as equacoes de perturbacao lineares. Deram enfoque para diferencas grandes

na razao de densidade (βρ) e sua influencia na taxa de amplificacao temporal. Perce-

beram que tambem na analise temporal, as taxas de amplificacao sao reduzidas com

o aumento do numero de Mach convectivo e utilizaram os resultados de suas analises

como condicoes de contorno iniciais em simulacoes numericas diretas. Fedioun e Lard-

jane (2005) tambem encontraram modos instaveis adicionais assim como ja haviam

sido reportados nas analises de estabilidade realizadas por Gill (1965), Mack (1975),

Jackson e Grosch (1989), Ragab e Wu (1989), Jackson e Grosch (1990), Shin e Ferziger

(1991), Shin e Ferziger (1993) e Day et al. (1998b).

Conclui-se assim a apresentacao dos estudos consultados durante a elaboracao deste

trabalho. No contexto do que foi apresentado no Capıtulo 2 e no presente capıtulo,

percebe-se que o presente estudo visa pavimentar o caminho para futuros estudos da

camada de mistura compressıvel reativa. Para atingir tal objetivo, o presente estudo

contribui com a avaliacao da influencia da variacao dos parametros adimensionais C,

Pr e Le tanto nos perfis das variaveis similares quanto nas taxas de amplificacao das

perturbacoes presentes no escoamento. Tal avaliacao nao e apresentada em nenhuma

das referencias consultadas. A comparacao das diferencas entre o perfil tangente hiper-

bolica e o perfil laminar base calculado foram feitas por Sandham (1990), mas este nao

apresenta muitos detalhes a respeito e tambem nao utilizou uma camada binaria e sim,

monoespecie. E muito difıcil tambem, encontrar na literatura autovalores tabelados

para serem utilizados como ponto de partida para a analise de estabilidade linear. Tal

dificuldade foi sentida no desenvolvimento deste trabalho. Portanto, tais dados tambem

sao gerados e disponibilizados. Sao geradas tambem as taxas de amplificacao tempo-

rais e espaciais, alem das autofuncoes correspondentes para uma camada binaria. Tais

dados enriquecem os dados ja apresentados por Sandham (1990) para uma camada

monoespecie. Por ultimo, nao pode deixar de ser mencionada a contribuicao feita pelo

desenvolvimento das ferramentas computacionais criadas para que as analises pudessem

64

ser realizadas. Prossegue-se entao, ao Capıtulo 4 onde e discutida a formulacao do prob-

lema.

65

4 FORMULACAO DO PROBLEMA

Como visto anteriormente no Capıtulo 1, a solucao do problema de estabilidade atraves

da analise local por modos normais (Subsecao 1.3.1), precisa da solucao do escomento

laminar base. Obtida a solucao laminar base, utiliza-se essa solucao no calculo das

autofuncoes e dos autovalores correspondentes da analise de estabilidade.

No desenvolvimento do presente estudo, apresentaremos as relacoes utilizadas nos di-

versos calculos efetuados desde a solucao do escoamento laminar base ate a solucao das

perturbacoes. As relacoes serao apresentadas, na medida do possıvel, em uma sequen-

cia logica para facilitar o entendimento do problema e das hipoteses consideradas. O

capıtulo foi dividido em quatro secoes onde e apresentada a formulacao para o calculo

das propriedades termodinamicas e coeficientes de transporte (Secao 4.1), a formulacao

para o calculo dos parametros adimensionais (Secao 4.2), as equacoes de conservacao

para o escoamento laminar base (Secao 4.4) e as equacoes de conservacao para as

perturbacoes (Secao 4.5).

4.1 Propriedades Termodinamicas e Coeficientes de Transporte

Shin e Ferziger (1991) apresentaram resultados para taxa de crescimento espacial da

camada de mistura considerando propriedades variaveis e considerando propriedades

contantes. Constataram que resultados utilizando propriedades contantes sao superes-

timados. Em um estudo posterior, Kennedy e Gatski (1994) mostraram que a variacao

das propriedades dos gases ao longo da camada de mistura pode ser bastante signi-

ficativa. Como apontado por Kozusko et al. (1996), a camada de mistura binaria tem

uma solucao de escoamento laminar base que depende bastante dos gases presentes

na camada. Fedioun e Lardjane (2005), em um estudo recente tambem mostraram as

diferencas nas caracterısticas de estabilidade dependendo dos gases presentes na ca-

mada. Assim, pode-se perceber que o calculo das propriedades termodinamicas e dos

coeficientes de transporte, influencia na solucao do escoamento laminar base, que influ-

enciara os resultados da analise de estabilidade. Entao, torna-se importante o calculo

dessas propridades e coeficientes atraves dos meios mais precisos disponıveis.

Nesse ponto e importante salientar que no presente trabalho os perfis das propriedades

termodinamicas e dos coeficientes de transporte na camada de mistura, sao calculados

a posteriori da solucao similar. Ou seja, nao sao levadas em consideracao variacoes

(i.e derivadas) de tais propriedades durante a solucao das equacoes de conservacao do

escoamento laminar base, como ficara claro na Secao 4.4. Apesar disso, as propriedades

e coeficientes foram calculados utilizando-se de metodos precisos disponıveis na liter-

67

atura especializada, o que nos permite inferir sobre a magnitude de sua variacao como

feito por Kennedy e Gatski (1994). Essa abordagem foi adotada por se tratar de um

trabalho introdutorio na area, visto o andamento das pesquisas em outros centros fora

do paıs. Tambem nos permite medir a sensibilidade do problema a certos parametros e

comparar os resultados aqui apresentados com implementacoes posteriores do calculo

com propriedades variaveis.

4.1.1 Pressao

No problema em questao pmix = p1 = p2 = p. Ou seja, a pressao dos dois gases e

igual a pressao da mistura como no modelo de Amagat (WYLEN et al., 1994). A pressao

no escoamento laminar base e assumida constante ao longo da camada de mistura.

Tal aproximacao respeita a aproximacao de camada limite utilizada nas equacoes de

conservacao do escoamento laminar base (Subsecao 4.4.1), onde ∂p∂y

= 0.

4.1.2 Densidade

Pelo modelo de Amagat, aparece o conceito de volumes parciais e por conseguinte as

densidades parciais (WYLEN et al., 1994). Assim sendo a densidade1 de cada componente

da mistura e calculado por:

ρgas =p

Rgas T, (4.1)

onde ρgas e a densidade do gas em [kg/m3], p e a pressao da mistura em [Pa], Rgas e

a constante do gas em [J/kgK] e T e a temperatura em K.

Assim, ainda de acordo com o modelo de Amagat, calculamos a densidade de uma

mistura como:

ρmix = ρgas1+ ρgas2

, (4.2)

onde ρmix e a densidade da mistura em [kg/m3], ρgas1e a densidade do gas da camada

superior em [kg/m3] e ρgas2e a densidade do gas da camada inferior em [kg/m3].

1Neste trabalho utilizamos o termo densidade para representar o conceito de massa especıfica.

68

4.1.3 Viscosidade

A viscosidade2 de um fluido newtoniano3 esta diretamente relacionada as inter-

acoes moleculares e pode ser considerada uma propriedade termodinamica no sentido

macroscopico, variando com a pressao e com a temperatura (WHITE, 1974). Segundo

Reid et al. (1977), a influencia da pressao na viscosidade dos gases nao e relevante

em temperaturas reduzidas elevadas ou pressoes reduzidas baixas. Tal afirmacao nos

permite desprezar o efeito da pressao no calculo da viscosidade e considerar apenas o

efeito da temperatura em vista do apresentado no Apendice C.

Da comparacao apresentada no Apendice C, escolhemos para utilizar em nossos calcu-

los, as expressoes apresentadas no trabalho de Svehla (1995). Assim sendo, a viscosidade

do gas em funcao da temperatura absoluta e dada pela Equacao 4.3:

µgas = Aµ lnT +Bµ T−1 + Cµ T

−2 +Dµ , (4.3)

onde µgas e a viscosidade do gas em [10−6 g/cms]4, T e a temperatura absoluta em

[K], Aµ, Bµ, Cµ e Dµ sao os coeficientes do polinomio para calculo de viscosidade

apresentados por Svehla (1995).

A Equacao 4.3, a Equacao C.1 e a Equacao C.3 nao servem para o calculo de viscosidade

de uma mistura. Para misturas de gases a viscosidade varia bastante com a concentracao

das especies contidas na mistura. Segundo Reid et al. (1977), a viscosidade de uma

mistura raramente e uma funcao linear de sua composicao. Assim sendo, a teoria de

Chapman-Enskog teve de ser extendida para determinar a viscosidade de mistura de

gases. Para uma mistura binaria a teoria de Chapman-Enskog nos apresenta:

µmix =Xgas1

µgas1

Xgas1+Xgas2

φ12

+Xgas2

µgas2

Xgas2+Xgas1

φ21

, (4.4)

onde µmix e a viscosidade da mistura binaria em [kg/ms], µgas1e a viscosidade do gas

da camada superior em [kg/ms], µgas2e a viscosidade do gas da camada inferior em

[kg/ms], Xgas1e Xgas2

sao as fracoes molares dos gases das camadas superior e inferior

2Viscosidade sera o termo utilizado para designar o primeiro coeficiente de viscosidade ou viscosi-dade dinamica, que aparece na literatura (CURRIE, 1974) e representa a proporcionalidade entre tensaode cisalhamento, τ , e gradiente de velocidade, ∂u

∂y , como dado pela lei do cisalhamento de Newton.3No presente trabalho so serao considerados fluidos newtonianos4O programa Coupled1.f utiliza a viscosidade em [kg/m s]. Assim sendo, o resultado da

Equacao 4.3 precisa ser multiplicado por 10−7 e nao por 10−6.

69

respectivamente. Os parametros φ12 e φ21 sao adimensionais e foram definidos por

Wilke, utilizando o modelo de Sutherland da teoria cinetica, como apontado por Reid

et al. (1977). Ainda segundo Reid et al., a aproximacao de Wilke ja foi extensamente

testada e seus resultados comparados com resultados experimentais mostrando um

desvio medio da ordem de 1%. Entretanto, para misturas contendo hidrogenio, H2,

ou helio, He, essa aproximacao e menos precisa. Apesar disso, ela e relativamente

simples de utilizar e produz resultados razoaveis para maioria das misturas binarias,

o que explica sua ampla utilizacao. O programa CEA da NASA, tambem utiliza a

aproximacao de Wilke, como apresentado por Gordon e McBride (1994). Devido aos

fatos apresentados, utiliza-se no presente trabalho a aproximacao de Wilke onde φ12 e

φ21 foram definidos como:

φ12 =

[1 +

(µgas1

/µgas2

) 12 ( M2/M1 )

14

]2

[ 8 ( 1 + M1/M2 ) ]12

, (4.5)

φ21 = φ12

µgas2

µgas1

M1

M2

, (4.6)

onde µgas1e a viscosidade do gas da camada superior em [kg/ms], µgas2

e a viscosidade

do gas da camada inferior em [kg/ms], M1 e a massa molecular do gas da camada

superior em [kg/mol] e M2 e a massa molecular do gas da camada inferior em [kg/mol].

4.1.4 Condutividade Termica

No Apendice C tambem e feita uma comparacao de metodos de calculo de condutivi-

dade termica, assim como foi feito para a viscosidade (Subsecao 4.1.3). Logo, tambem

escolhemos para utilizar em nossos calculos, as expressoes apresentadas no trabalho de

Svehla (1995). Assim sendo, a condutividade termica do gas em funcao da temperatura

absoluta e dada pela Equacao 4.7:

κgas = Aκ lnT +Bκ T−1 + Cκ T

−2 +Dκ , (4.7)

onde κgas e a condutividade termica em [10−6W/cmK]5, T e a temperatura absoluta

em [K], Aκ, Bκ, Cκ e Dκ sao os coeficientes do polinomio para calculo de condutividade

termica apresentados tambem por Svehla (1995).

5O programa Coupled1.f utiliza a condutividade termica em [W/m K]. Assim sendo, o resultadoda Equacao 4.7 precisa ser multiplicado por 10−4 e nao por 10−6.

70

Assim como acontece para a viscosidade, as equacoes 4.7, C.2 e C.4 nao servem para o

calculo da condutividade termica de uma mistura binaria. Analogamente a Equacao 4.4,

a equacao de Wassiljewa (REID et al., 1977) serve para calcular a condutividade termica

da mistura binaria, sendo dada por:

κmix =Xgas1

κgas1

Xgas1+Xgas2

Υ12

+Xgas2

κgas2

Xgas2+Xgas1

Υ21

, (4.8)

onde κmix e a condutividade termica da mistura binaria em [W/mK], κgas1e a con-

dutividade termica do gas da camada superior em [W/mK], κgas2e a condutividade

termica do gas da camada inferior em [W/mK], Xgas1e Xgas2

sao as fracoes molares

dos gases das camadas superior e inferior respectivamente. Os parametros Υ12 e Υ21

sao adimensionais e foram definidos por Mason e Saxena, como apontado por Reid et

al. (1977). A equacao de Wassiljewa com a definicao desses parametros por Mason e

Saxena ficou conhecida como modificacao de Mason e Saxena, que e dada por:

Υ12 =

[1 +

(κgas1

/κgas2

) 12 ( M2/M1 )

14

]2

[ 8 ( 1 + M1/M2 ) ]12

, (4.9)

Υ21 = Υ12

κgas2

κgas1

M1

M2

, (4.10)

onde κgas1e a condutividade termica do gas da camada superior em [W/mK], κgas2

e a

condutividade termica do gas da camada inferior em [W/mK], M1 e a massa molecular

do gas da camada superior em [kg/mol] e M2 e a massa molecular do gas da camada

inferior em [kg/mol].

4.1.5 Difusividade Massica

Segundo Incropera e DeWitt (1998) a difusao massica tem sua origem na atividade

molecular. Tal atividade e influenciada pela temperatura, pressao, forca de campo (i.e.

gravitacional ou eletromagnetica) ou concentracao de especies. Embora a difusao mas-

sica possa resultar de um gradiente de temperatura, o chamado efeito Soret; de um

gradiente de pressao, o chamado efeito Dufour ou barodifusao; e de uma forca de

campo, no presente trabalho consideraremos tais efeitos muito pequenos nao influen-

ciando na solucao do problema. Apenas gradientes de concentracao serao considerados

como forca motriz a difusao massica na camada de mistura. Logo, a propriedade de

71

transporte relacionada e o coeficiente binario de difusao ou difusividade massica, D12,

entre o gas 1, da camada superior, e o gas 2 da camada inferior.

Segundo Reid et al. (1977), a teoria de difusao em misturas binarias esta bem desen-

volvida para pressoes baixas e moderadas. O trabalho de Chapman e Enskog (KEN-

NARD, 1938) com a equacao de Boltzmann, resultou na seguinte equacao:

D12 = 1.858× 10−7 T32

[ ( M1 + M2 ) /M1M2 ]12

p σ212 ΩD

, (4.11)

onde D12 e a difusividade massica em [m2/s], T e a temperatura absoluta em [K], M1

e a massa molecular do gas da camada superior em [kg/kmol], M2 e a massa molecular

do gas da camada inferior em [kg/kmol]6, p e a pressao da mistura em [atm]7, σ12 e o

comprimento caracterıstico em [A] 8 e ΩD e a integral de colisao, que e adimensional.

O comprimento caracterıstico, σ12, e dado por:

σ12 =σ1 + σ2

2, (4.12)

onde σ1 e a constante de comprimento potencial do gas da camada superior em [A] e

σ2 e a constante de comprimento potencial do gas da camada inferior em [A].

A integral de colisao e dada pela relacao de Neufeld et al., apresentada em Reid et al.

(1977) como sendo:

ΩD =A∗

T ∗B∗ +C∗

exp (D∗T ∗)+

E∗

exp (F ∗T ∗)+

G∗

exp (H∗T ∗), (4.13)

onde ΩD e a integral de colisao adimensional e A∗, B∗, C∗, D∗, E∗, F ∗, G∗ e H∗ sao

constantes tambem adimensionais apresentadas na Tabela 4.1.

A temperatura adimensional, T ∗, e dada por:

T ∗ = kT

ε12, (4.14)

6Na equacao Equacao 4.11 a unidade de massa molecular e [kg/kmol] ao inves de [kg/mol] comonas equacoes ja apresentadas

7Outra peculiaridade e o uso da pressao em [atm] e nao em [Pa]81A= 10−10m

72

Tabela 4.1 - Constantes da equacao de Neufeld et al.

A∗ B∗ C∗ D∗ E∗ F ∗ G∗ H∗

1.06036 0.15610 0.19300 0.47635 1.03587 1.52996 1.76474 3.89411

Fonte: (REID et al., 1977)

onde k e a constante de Boltzmann em [erg/K], T e a temperatura absoluta em [K] e

ε12 e a constante de energia potencial da mistura binaria ou energia de Lennard-Jones

em [erg]9. A constante de energia potencial da mistura binaria, ε12, e dada por

ε12 = ( ε1 ε2 )12 , (4.15)

onde ε1 e a constante de energia potencial do gas da camada superior em [erg] e ε2 e a

constante de energia potencial do gas da camada inferior em [erg].

4.1.6 Constante do Gas

Na equacao de estado de gas perfeito (Equacao 4.57) , a constante de proporcionalidade

entre pressao, p, densidade da mistura, ρmix, e temperatura, T , e a constante do gas

para uma mistura binaria, Rmix. Para calcula-la, precisamos calcular a constante do

gas de cada componente da mistura dada por

Rgas =RU

Mgas

, (4.16)

em unidade de [J/kgK], onde RU e a constante universal dos gases em [J/molK] e

Mgas e a massa molecular em [kg/mol].

Pode-se calcular o valor da constante do gas para uma mistura binaria de gases em

base massica pela Equacao 4.17.

Rmix = Rgas1Ygas1

+Rgas2Ygas2

, (4.17)

onde Rmix e a constante do gas de uma mistura binaria em [J/kgK], Rgas1e a constante

91 erg = 10−7J

73

do gas da camada superior em [J/kgK], Rgas2e a constante do gas da camada inferior

em [J/kgK], Ygas1e a fracao massica dos gases da camada superior e Ygas2

e a fracao

massica da camada inferior.

4.1.7 Calor Especıfico a Pressao Constante

Ao inves de considerarmos que o calor especıfico a pressao constante nao varia com a

temperatura, isto e, considerar um gas caloricamente perfeito, utilizamos os polinomios

do trabalho de Zehe et al. (2002) para o calculo do calor especıfico a pressao constante

em funcao da temperatura. Pode-se dessa maneira, considerar o gas termicamente per-

feito, alem de utilizar uma base de dados reconhecidamente confiavel por se tratar da

mesma base de dados do programa CEA da NASA. Assim sendo o calor especıfico do

gas a pressao constante, cpgas , em funcao da temperatura absoluta, T , e dado por:

cpgas = RU ( a1 T−2 + a2 T

−1 + a3 + a4 T + a5 T2 + a6 T

3 + a7 T4 ) , (4.18)

onde cpgas e o calor especıfico do gas a pressao constante em [J/molK], RU e a constante

universal dos gases em [J/molK], T e a temperatura absoluta em [K] e a1, . . . , a7 sao

os coeficientes do polinomio dados por Zehe et al. (2002).

Os polinomios de Zehe et al. (2002) fornecem o valor de cpgas para cada gas da camada

de mistura. Para termos o valor de cpgas em base massica, [J/kgK], basta dividir seu

valor pela massa molecular do gas, Mgas, em [kg/mol]. Feito isso, pode-se calcular o

valor do calor especıfico a pressao constante para uma mistura binaria de gases em

base massica por:

cpmix= cp1Ygas1

+ cp2Ygas2, (4.19)

onde cpmixe o calor especıfico a pressao constante de uma mistura binaria em [J/kgK],

cp1 e o calor especıfico do gas da camada superior a pressao constante em [J/kgK], cp2

e o calor especıfico do gas da camada inferior a pressao constante em [J/kgK], Ygas1e

a fracao massica dos gases da camada superior e Ygas2e a fracao massica da camada

inferior.

4.1.8 Calor Especıfico a Volume Constante

O calor especıfico a volume constante, cvgas , e calculado a partir do calor especıfico a

pressao constante, cpgas , e da constante do gas, Rgas, cuja relacao e dada por:

74

cvgas = cpgas −Rgas , (4.20)

onde cvgas pode ser dado em base massica ou molar. Como estamos trabalhando em

base massica, cvgas e o calor especıfico do gas a volume constante em [J/kgK], cpgas e

o calor especıfico do gas a pressao constante em [J/kgK] e Rgas e a constante do gas

em [J/kgK].

Assim como feito para o cpgas , o cvgas tambem pode ser calculado para a mistura binaria.

Calcula-se o cvgas para cada gas da camada de mistura pela Equacao 4.20 e utiliza-se:

cvmix= cv1Ygas1

+ cv2Ygas2, (4.21)

onde cvmixe o calor especıfico a volume constante de uma mistura binaria em [J/kgK],

cv1 e o calor especıfico a volume constante da camada superior em [J/kgK], cv2 e o

calor especıfico a volume constante da camada inferior em [J/kgK] e as variaveis Ygas1e

Ygas2sao as fracoes massicas dos gases das camadas superior e inferior respectivamente.

4.1.9 Entalpia

A entalpia de um gas e dada por:

hgas = ∆h298.15f +

∫ T

298.15

cpgasdT , (4.22)

onde hgas e a entalpia do gas em [J/kg], ∆h298.15f e a entalpia de formacao na tem-

peratura de referencia de 298.15K em [J/kg] e a integral∫ T

298.15cpgasdT e a entalpia

sensıvel da temperatura de referencia de 298.15K a T , em [J/kg].

A entalpia de formacao na temperatura de referencia de 298.15K, ∆h298.15f , para gases

no estado de referencia (i.e. Tref = 298.15K e p = 1atm) e em seu estado de ocorrencia

natural e zero. 10

Para podermos calcular a entalpia sensıvel, precisamos saber como o calor especıfico do

gas a pressao constante, cpgas , varia com a temperatura absoluta, T . Para isso, podemos

integrar o polinomio dado por Zehe et al. (2002) (Equacao 4.18) que apresentam essa

integracao como:

10Esse e o caso dos gases contidos no programa Coupled1.f (Subsecao 5.1.1)

75

hsens =RU T

Mgas

(− a1

T 2+a2 (lnT )

T+ a3 +

a4 T

2+

+a5 T

2

3+a6 T

3

4+a7 T

4

5+b1T

), (4.23)

onde hsens e a entalpia sensıvel em [J/kg], RU e a constante universal dos gases em

[J/molK], T e a temperatura absoluta em [K], Mgas e a massa molecular do gas em

[kg/mol], a1, . . . , a7 sao os coeficientes do polinomio e b1 e uma constante de integracao,

ambos dados por Zehe et al. (2002).

Assim como a Equacao 4.18, para o calor especıfico do gas a pressao constante, cpgas ,

a Equacao 4.23 e a Equacao 4.22 servem para calcular a entalpia sensıvel, hsens, e a

entalpia do gas, hgas, respectivamente de cada componente da camada de mistura. Para

calcularmos a entalpia da mistura binaria em base massica utilizamos a Equacao 4.22

e a Equacao 4.23 para cada gas individualmente e depois usamos:

hmix = hgas1Ygas1+ hgas2Ygas2

, (4.24)

onde hmix e a entalpia de uma mistura binaria em [J/kg], hgas1 e a entalpia do gas da

camada superior em [J/kg], hgas2 e a entalpia do gas da camada inferior em [J/kg] e as

variaveis Ygas1e Ygas2

sao as fracoes massicas dos gases das camadas superior e inferior

respectivamente.

4.2 Parametros Adimensionais

Os parametros adimensionais sao importantes para quantificar e comparar os efeitos

que influenciam determinado problema. Nessa secao sao apresentados os parametros

adimensionais relevantes a compreensao do problema da camada de mistura binaria.

4.2.1 Razao de Calores Especıficos

A razao de calores especıficos do gas e um importante parametro adimensional que

aparece na descricao de problemas termodinamicos e de escoamentos compressıveis.

Podemos interpreta-lo como a relacao entre a variacao de entalpia(Subsecao 4.1.9) e a

variacao de energia interna do gas11. A razao de calores especıficos do gas e dada por:

11Importante ressaltar que como γgas e uma relacao entre duas propriedades termodinamicas, tam-bem e uma propriedade termodinamica.

76

γgas =cpgas

cvgas

, (4.25)

onde γgas e a razao de calores especıficos do gas, cpgas e o calor especıfico do gas a

pressao constante em [J/kgK] e cvgas e o calor especıfico do gas a volume constante em

[J/kgK].

Para calcularmos a razao de calores especıficos da mistura binaria temos:

γmix =cpmix

cvmix

, (4.26)

onde γmix e a razao de calores especıficos da mistura binaria, cpmixe o calor especıfico da

mistura binaria a pressao constante em [J/kgK] e cvmixe o calor especıfico da mistura

binaria a volume constante em [J/kgK].

4.2.2 Fracao massica

Como a camada de mistura e binaria, precisamos da definicao da fracao de massa de

cada componente da mistura para podermos calcular as propriedades termodinamicas

e os coeficientes de transporte da mistura ao longo da camada. Como mostrado por

Turns (2000), a fracao massica de cada gas e dada por:

Ygas =mgas

mmix

, (4.27)

onde Ygas e a fracao massica do gas, mgas e a massa do gas contida na mistura em [kg]

e mmix e a massa total da mistura em [kg].

As fracoes massicas dos dois gases da mistura se relacionam atraves de:

Ygas2= 1− Ygas1

, (4.28)

onde Ygas1e Ygas2

sao as fracoes massicas dos gases das camadas superior e inferior

respectivamente. Apesar de a fracao massica tambem ser calculada pela Equacao 4.27,

em nosso estudo a fracao massica do gas da camada superior, Ygas1, e obtida da equacao

da conservacao das especies quımicas (Equacao 4.56). Assim, Ygas2pode entao ser

calculado pela Equacao 4.28.

77

4.2.3 Fracao molar

Como percebido na Equacao 4.4 e na Equacao 4.8, precisamos das fracoes molares dos

gases da camada superior e inferior para o calculo da viscosidade e da condutividade

termica da mistura. Assim sendo, apresentamos a relacao entre a fracao molar de um

gas, Xgas, e sua respectiva fracao massica, Ygas, dada por Turns (2000) como sendo:

Xgas = YgasMmix

Mgas

, (4.29)

onde Xgas e a fracao molar do gas, Ygas e a fracao massica do gas, Mmix e a massa

molecular da mistura binaria em [kg/mol] e Mgas e a massa molecular do gas em

[kg/mol].

A massa molecular de uma mistura binaria, Mmix, e dada por:

Mmix =1

(Ygas1/M1) + (Ygas2

/M2), (4.30)

onde M1 e a massa molecular do gas da camada superior em [kg/mol] e M2 e a massa

molecular do gas da camada inferior em [kg/mol] e Ygas1e Ygas2

sao as fracoes massicas

dos gases das camadas superior e inferior respectivamente.

4.2.4 Numero de Mach

Como colocado por Liepmann e Roshko (2001), a velocidade do som, agas, e a veloci-

dade com que pequenas perturbacoes acusticas se propagam em um fluido compressıvel.

Se dividirmos a velocidade local do escoamento, pela velocidade local do som teremos

o numero de Mach local do escoamento( Magas), que e um importante parametro adi-

mensional utilizado na analise de escoamentos compressıveis. Segundo Fox e McDonald

(1998), o numero de Mach pode ser interpretado como a razao de forcas de inercia e

de compressibilidade do escoamento, ou ainda como a relacao da energia cinetica com

a energia interna do escoamento, como colocado por Anderson (2000).

Como no problema da camada de mistura u v e u w, o numero de Mach e dado

por:

Magas =u

agas

, (4.31)

78

onde Magas e o numero de Mach do escoamento, u e a componente de velocidade na

direcao x em [m/s] e agas e a velocidade do som local no gas em [m/s] dada por:

agas =√γgasRgasT , (4.32)

onde γgas e a razao de calores especıficos do gas, Rgas e a constante do gas em [J/kgK]

e T e a temperatura absoluta em [K].

Se ao inves de utilizarmos as propriedades de um gas puro, utilizarmos as propriedades

de uma mistura binaria, teremos entao o numero de Mach do escoamento baseado nas

propriedades da mistura, Mamix, que analogamente a Equacao 4.31 e dado por:

Mamix =u

amix

, (4.33)

onde Mamix e o numero de Mach do escoamento de uma mistura binaria, u e a com-

ponente de velocidade na direcao x em [m/s] e amix e a velocidade do som local na

mistura em [m/s] dada por:

amix =√γmixRmixT , (4.34)

onde γmix e a razao de calores especıficos da mistura, Rmix e a constante do gas de uma

mistura binaria em [J/kgK] e T e a temperatura absoluta em [K].

4.2.5 Numero de Mach Convectivo

Brown e Roshko (1974) visualizaram pela primeira vez a existencia de grandes estru-

turas vorticais no escoamento de uma camada de mistura incompressıvel. Posterior-

mente, Bogdanoff (1983) propos um parametro para representar o efeito de compress-

ibilidade na camada de mistura compressıvel, M+. Com esse parametro, ele conseguiu

relacionar a reducao da taxa de crescimento da camada de mistura ao aumento do efeito

de compressibilidade do escoamento. Mais tarde, Papamoschou e Roshko (1988) uti-

lizaram esse parametro para apresentar seus resultados experimentais e o denominaram

numero de Mach convectivo, MC .

Mach convectivo e o numero de Mach que vale para um sistema de coordenadas sendo

convectado com a velocidade das grandes estruturas do escoamento que caracterizam

79

a velocidade das perturbacoes do escoamento. A velocidade das perturbacoes esta rela-

cionada a velocidade de fase das perturbacoes, c. Assim sendo, Papamoschou e Roshko

(1988) definiram o numero de Mach convectivo para camada superior, MC1 , como:

MC1 =U1 − UC

agas1

, (4.35)

onde MC1 e o numero de Mach convectivo para camada superior, U1 e a velocidade

do escoamento livre na direcao x para camada superior em [m/s], UC e a velocidade

de conveccao das perturbacoes em [m/s] e agas1e a velocidade do som local no gas da

camada superior em [m/s]. Analogamente, Papamoschou e Roshko (1988) definiram o

numero de Mach convectivo para camada inferior, MC2 , como:

MC2 =UC − U2

agas2

, (4.36)

onde MC2 e o numero de Mach convectivo para camada inferior, U2 e a velocidade do

escoamento livre na direcao x para camada inferior em [m/s], UC e a velocidade de

conveccao das perturbacoes em [m/s] e agas2e a velocidade do som local no gas da

camada inferior em [m/s].

Equalizando-se as pressoes dinamicas entre a camada superior e inferior e assumindo

que nao ha perdas de pressao devido a ondas de choque, tem-se um modelo isentropico

de onde Bogdanoff (1983) deduziu a equacao para o numero de Mach convectivo do

escoamento, MC , dado por:

MC =Magas1

(1− βU)(1 + β

−1/2ρ

)β

1/4γ

, (4.37)

onde MC e o numero de Mach convectivo do escoamento, Magas1e o numero de Mach

do escoamento do gas da camada superior; βU , βρ e βγ sao as razoes entre a camada

inferior e superior para a velocidade, a densidade e para a razao de calores especıficos,

apresentadas na Equacao 4.47, Equacao 4.50 e Equacao 4.51 respectivamente.

4.2.6 Numero de Prandtl

O numero de Prandtl, Prgas, que aparece na adimensionalizacao da equacao da conser-

vacao da energia (Equacao 4.55), e um importante parametro adimensional em proble-

80

mas onde ha transferencia de calor por difusao. Anderson (2000) comenta que o numero

de Prandtl e proporcional a razao de dissipacao de energia por friccao e por conducao

termica. Como colocado por Incropera e DeWitt (1998), o numero de Prandtl relaciona

a difusividade de quantidade de movimento com a difusividade termica, permitindo as-

sim uma comparacao da extensao da camada limite com a extensao da camada limite

termica. Colocando esses conceitos em termos matematicos temos que o numero de

Prandtl, Prgas, e:

Prgas =µgas cpgas

κgas

, (4.38)

onde µgas e a viscosidade do gas em [kg/ms], cpgas e o calor especıfico a pressao con-

stante do gas em [J/kgK] e κgas e a condutividade termica em [W/mK]. Pode-se

perceber que o numero de Prandtl alem de ser um parametro do escoamento, tambem

e uma propriedade do gas.

Utilizando a definicao apresentada na Equacao 4.38, define-se o numero de Prandtl da

mistura binaria, Prmix, por:

Prmix =µmix cpmix

κmix

, (4.39)

onde µmix e a viscosidade da mistura binaria em [kg/ms], cpmixe o calor especıfico

da pressao constante e uma mistura binaria em [J/molK] e κmix e a condutividade

termica da mistura binaria em [W/mK].

4.2.7 Numero de Reynolds

O numero de Reynolds relaciona as forcas de inercia as forcas viscosas do escoamento.

Ou seja, se o numero de Reynolds e alto as forcas de inercia serao mais importantes

que as viscosas, refletindo assim na espessura da camada limite. Para definir o numero

de Reynolds precisamos definir uma escala de comprimento para o escoamento. No

presente trabalho, definimos o numero de Reynolds pela espessura de vorticidade, δω,

como escala de comprimento. Assim o numero de Reynolds, Re, e dado por:

Re =ρ0

mix ∆U δωµ0

mix

, (4.40)

onde Re e adimensional, ρ0mix e a densidade da mistura binaria no centro da camada de

81

Figura 4.1 - Representacao grafica da espessura de vorticidade δω

mistura em [kg/m3], ∆U e o modulo da diferenca de velocidade entre as camadas su-

perior e inferior em [m/s], δω e a espessura de vorticidade em [m] e µ0mix e a viscosidade

da mistura binaria no centro da camada de mistura em [kg/ms].

O modulo da diferenca de velocidade entre as camadas superior e inferior, ∆U , e dado

por:

∆U = ‖U1 − U2‖ , (4.41)

onde U1 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para camada superior em

[m/s] e U2 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para camada inferior em

[m/s].

A espessura de vorticidade, δω, que se relaciona ao gradiente maximo do perfil de

velocidade da camada de mistura, e dada por:

δω =∆U

(∂U/∂y)max

, (4.42)

onde δω e a espessura de vorticidade em [m], ∆U e o modulo da diferenca de velocidade

entre as camadas superior e inferior em [m/s] e (∂U/∂y)max e o gradiente maximo

do perfil de velocidade em [1/s]. A espessura de vorticidade pode ser representada

graficamente como mostrado na Figura 4.1.

82

Da espessura de vorticidade define-se a taxa de crescimento da espessura de vortici-

dade12, δω, dada por:

δω =δωxpos

, (4.43)

onde δω e adimensional e xpos e a posicao no eixo x onde e calculada a espessura de

vorticidade em [m].

4.2.8 Numero de Lewis

O numero de Lewis, Legas, e outro parametro adimensional que aparece tambem na

adimensionalizacao da equacao da conservacao da energia (Equacao 4.55), relacionando

os efeitos do transporte de energia pela difusao de calor e de massa. Tem grande im-

portancia na analise de problemas onde ha reacao quımica ou quando ha a presenca de

diferentes especies quımicas, como e o caso da camada de mistura binaria.

A definicao do numero de Lewis, Legas, aqui adotada e:

Legas =κgas

ρgas cpgas D12

, (4.44)

onde Legas e adimensional, κgas e a condutividade termica em [W/mK], ρgas e a den-

sidade do gas em [kg/m3], cpgas e o calor especıfico a pressao constante do gas em

[J/kgK] e D12 e a difusividade massica em [m2/s].

Interessante mencionar que tal definicao e apresentada por Bejan (1984), Williams

(1985), Incropera e DeWitt (1998), Turns (2000) e Kuo (1986). Sendo que Kuo men-

ciona que o numero de Lewis pode ser definido tambem como o inverso da Equacao 4.45.

Tal definicao pode ser constatada em White (1974), Kays e Crawford (1983) e Anderson

(2000). E importante que essa distincao seja feita pois influenciara nas equacoes gover-

nantes do problema. Kennedy e Gatski (1994) utilizaram a definicao da Equacao 4.45

mas utilizaram as equacoes de conservacao de Anderson (2000), que utilizam a definicao

inversa gerando resultados contraditorios como citado por Kozusko et al. (1996).

Baseado na Equacao 4.45, pode-se definir o numero de Lewis da mistura binaria, Lemix,

dado por:

12Notar que apesar de receber a denominacao de taxa, trata-se de uma relacao do quanto a espessuracresce na direcao transversal y, em relacao a sua posicao na direcao x.

83

Lemix =κmix

ρmix cpmixD12

, (4.45)

onde Lemix e adimensional, κmix e a condutividade termica da mistura binaria em

[W/mK], ρmix e a densidade da mistura binaria em [kg/m3], cpmixe o calor especıfico

a pressao constante de uma mistura binaria em [J/kgK] e D12 e a difusividade massica

em [m2/s].

4.2.9 Parametro de Chapman-Rubesin

No desenvolvimento das equacoes de conservacao similares apresentado no Apendice A,

surge o parametro de Chapman-Rubesin, C, dado por:

C =ρmix µmix

ρgas1µgas1

, (4.46)

onde C e adimensional, ρmix e a densidade da mistura em [kg/m3], µmix e a viscosidade

da mistura binaria em [kg/ms], ρgas1e a densidade do gas da camada superior em

[kg/m3] e µgas1e a viscosidade do gas da camada superior em [kg/ms].

4.3 Parametros definidos para camada de mistura

No estudo do problema da camada de mistura aparecem alguns parametros que de-

finem as condicoes do problema e precisam ser definidos, alem dos ja apresentados nas

secoes anteriores. Importante salientar, que tais parametros sao definidos em funcao

das propriedades do escoamento livre. Por exemplo, no caso das velocidades e onde

U1 → u(+∞) e U2 → u(−∞). Assim sendo, a razao de velocidades do escoamento

livre, βU , e dada por:

βU =U2

U1

, (4.47)

onde βU e adimensional, U1 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para

camada superior em [m/s] e U2 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para

camada inferior em [m/s].

O parametro de velocidade, λU , e dado por

84

λU =U1 − U2

U1 + U2

, (4.48)

onde λU e adimensional.

Pode-se definir a razao de temperaturas do escoamento livre, βT , como:

βT =T2

T1

, (4.49)

onde βT e adimensional, T1 e a temperatura absoluta do escoamento livre para camada

superior em [K] e T2 e a temperatura absoluta do escoamento livre para camada inferior

em [K].

A razao de densidades do escoamento livre, βρ, e dada por:

βρ =ρgas2

ρgas1

, (4.50)

onde βρ e adimensional, ρgas1e a densidade do escoamento livre do gas da camada

superior em [kg/m3] e ρgas2e a densidade do escoamento livre do gas da camada

inferior em [kg/m3].

Tambem apresenta-se a razao das razoes de calores especıficos do escoamento livre, βγ,

dada por:

βγ =γgas2

γgas1

, (4.51)

onde βγ e adimensional, γgas1e a razao de calores especıficos do gas no escoamento

livre da camada superior e γgas2e a razao de calores especıficos do gas no escoamento

livre da camada inferior.

4.4 Equacoes de Conservacao para o Escoamento Laminar Base

Como mostrado na Equacao 1.4, a analise local por modos normais precisa do calculo

das solucoes laminares das variaveis dependentes do problema. As solucoes laminares

sao as solucoes das equacoes de conservacao para o escoamento da camada de mistura.

85

4.4.1 Equacoes Basicas

As equacoes de conservacao para o problema da camada de mistura (Secao 1.2) re-

speitam as seguintes hipoteses:

a) Equacao da continuidade: Escoamento laminar, bidimensional, com-

pressıvel e em regime permanente;

b) Equacao da conservacao da quantidade de movimento na direcao

x: Escoamento laminar, viscoso, bidimensional, compressıvel, sem forcas

de campo, em regime permanente e sem gradiente de tensao normal(i.e.

∂τxx/∂x);

c) Equacao da conservacao da quantidade de movimento na direcao

y: Escoamento laminar, viscoso, bidimensional, compressıvel, sem forcas de

campo, em regime permanente e sem gradiente de tensao normal(i.e. ∂τyy/∂y);

d) Equacao da conservacao da energia: Escoamento laminar, viscoso, bidi-

mensional, compressıvel, sem forcas de campo, em regime permanente, sem

gradientes de tensoes normais(i.e. ∂τxx/∂x e ∂τyy/∂y), sem transferencia de

calor por radiacao e sem difusao de calor nas direcoes longitudinal (x) e

transversal (z);

e) Equacao da conservacao das especies quımicas: Escoamento laminar,

viscoso, bidimensional, compressıvel, sem forcas de campo e em regime per-

manente;

f) Equacao de estado de gas: Gas termicamente perfeito;

As equacoes de conservacao com as hipoteses enumeradas acima, sao feitas tambem

as consideracoes da aproximacao de camada limite (CURRIE, 1974; ANDERSON, 2000).

Assim as equacoes basicas do problema ficam:

∂ (ρmix u)

∂x+∂ (ρmix v)

∂y= 0 , (4.52)

ρmix u∂u

∂x+ ρmix v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

∂

∂y

(µmix

∂u

∂y

), (4.53)

∂p

∂y= 0 , (4.54)

86

ρmix u∂hmix

∂x+ ρmix v

∂hmix

∂y=

∂

∂y

[ρmix D12

(hgas1

∂Ygas1

∂y+ hgas2

∂Ygas2

∂y

)]+

+∂

∂y

(κmix

∂T

∂y

)+ u

∂p

∂x+ µmix

(∂u

∂y

)2

, (4.55)

ρmix u∂Ygas1

∂x+ ρmix v

∂Ygas1

∂y=

∂

∂y

(ρmix D12

∂Ygas1

∂y

)+ $ , (4.56)

p = ρmixRmix T , (4.57)

onde a Equacao 4.52 e a equacao da continuidade, a Equacao 4.53 e a equacao da

conservacao da quantidade de movimento na direcao x, a Equacao 4.54 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao y, a Equacao 4.55 e a equacao

da conservacao da energia, a Equacao 4.56 e a equacao da conservacao das especies

quımicas e a Equacao 4.57 e a equacao de estado de gas perfeito. Importante notar que

as equacoes 4.52, 4.53, 4.54, 4.55, 4.56 e 4.57 sao dimensionais.

Nas equacoes basicas de conservacao acima aplica-se a transformacao de Lees-

Dorodnitsyn(Equacao A.1 e Equacao A.2) e apos alguma algebra tem-se as equacoes

de conservacao no espaco similar (Subsecao 4.4.2).

4.4.2 Equacoes Similares

A obtencao das equacoes similares segue o procedimento apresentado em Anderson

(2000) e esta mostrada em detalhes no Apendice A. As equacoes similares sao resolvidas

numericamente seguindo a metodologia apresentada na Secao 5.1. Apresentamos entao

as equacoes de conservacao similares para o problema da camada de mistura laminar

compressıvel binaria dadas por:

f ′′′ +f f ′′

C= 0 , (4.58)

g′′ +Prmix

Cf g′ +

Prmix U21

h1

(f ′′)2 = 0 , (4.59)

87

s′′ +Lemix Prmix

Cf s′ = 0 , (4.60)

onde ′ representa o operador diferencial d/dη, sendo que η e a coordenada normal

no espaco similar definida pela transformacao η = U1/√

2 ξ∫ y

0ρ dy. A Equacao 4.58

e a equacao da conservacao da quantidade de movimento similar, a Equacao 4.59 e a

equacao da conservacao da energia similar e a Equacao 4.60 e a equacao da conservacao

das especies quımicas similar. As variaveis f , g e s das equacoes acima, estao definidas

no Apendice A.

As condicoes de contorno para as equacoes 4.58, 4.59 e 4.60 sao:

f(0) = 0 f ′(+∞) → 1 f ′(−∞) → βU , (4.61)

g(+∞) → 1 g(−∞) → βh , (4.62)

s(+∞) → 1 s(−∞) → 0 . (4.63)

4.5 Equacoes de Conservacao para as Perturbacoes

As solucoes das equacoes similares(Subsecao 4.4.2) sao transformadas do espaco similar,

(ξ, η), para o espaco fısico, (x, y), e adimensionalizadas pelo valor das variaveis corre-

spondentes no escoamento livre da camada superior. Assume-se que as variaveis do es-

coamento instantaneo sao decompostas em uma componente laminar base mais pertur-

bacao, onde a parte laminar base vem da solucao similar. As variaveis decompostas sao

entao substituıdas nas equacoes de conservacao adimensionalizadas (Subsecao 4.5.1).

A partir dessas equacoes de conservacao, que nao possuem as mesmas hipoteses

das equacoes de conservacao geradoras das equacoes similares (Subsecao 4.4.1), sao

derivadas as equacoes de conservacao das perturbacoes. Destas, assumindo-se o escoa-

mento paralelo e solucao por modos normais tem-se as equacoes de estabilidade (Sub-

secao 4.5.2). Os detalhes de derivacao das equacoes estao mostrados no Apendice B.

4.5.1 Equacoes Basicas

As equacoes de conservacao para a analise de estabilidade (Secao 1.3) respeitam as

seguintes hipoteses:

88

a) Equacao da continuidade: Escoamento laminar, tridimensional e com-

pressıvel;

b) Equacao da conservacao da quantidade de movimento na direcao x:

Escoamento laminar, invısicido, tridimensional, compressıvel e sem forcas de

campo;

c) Equacao da conservacao da quantidade de movimento na direcao y:


campo;

d) Equacao da conservacao da quantidade de movimento na direcao z:


campo;

e) Equacao da conservacao da energia: Escoamento laminar, invısicido,

tridimensional, compressıvel, sem forcas de campo e sem transferencia de

calor por radiacao;

f) Equacao da conservacao das especies quımicas: Escoamento laminar,

invısicido, tridimensional e compressıvel;

g) Equacao de estado de gas: Gas termicamente perfeito;

Com as hipoteses acima, as equacoes basicas do problema sao as chamadas equacoes

de Euler. Interessante notar que enquanto as equacoes de conservacao utilizadas para

solucionar o escoamento laminar base (Subsecao 4.4.1) sao bidimensionais, as utilizadas

calcular as perturbacoes no escoamento sao tridimensionais. Como mencionado no

Apendice B, essas equacoes foram adimensionalizadas pelo valor das variaveis do es-

coamento livre na camada superior, assim como feito por Planche (1993). Assim, as

equacoes de conservacao para a analise de estabilidade sao dadas por:

∂ (ρ?mix)

∂t?+∂ (ρ?

mix u?)

∂x?+∂ (ρ?

mix v?)

∂y?+∂ (ρ?

mixw?)

∂z?= 0 , (4.64)

ρ?mix

∂u?

∂t?+ ρ?

mix u? ∂u

?

∂x?+ ρ?

mix v? ∂u

?

∂y?+ ρ?

mixw? ∂u

?

∂z?= − 1

γ1Ma21

∂p?

∂x?, (4.65)

ρ?mix

∂v?

∂t?+ ρ?

mix u? ∂v

?

∂x?+ ρ?

mix v? ∂v

?

∂y?+ ρ?

mixw? ∂v

?

∂z?= − 1

γ1Ma21

∂p?

∂y?, (4.66)

89

ρ?mix

∂w?

∂t?+ ρ?

mix u? ∂w

?

∂x?+ ρ?

mix v? ∂w

?

∂y?+ ρ?

mixw? ∂w

?

∂z?= − 1

γ1Ma21

∂p?

∂z?, (4.67)

ρ?mix

∂T ?

∂t?+ ρ?

mix u? ∂T

?

∂x?+ ρ?

mix v? ∂T

?

∂y?+ ρ?

mixw? ∂T

?

∂z?=

=−p? (γmix − 1)

R?mix

(∂u?

∂x?+∂v?

∂y?+∂w?

∂z?

), (4.68)

ρ?mix

∂Ygas1

∂t?+ ρ?

mix u? ∂Ygas1

∂x?+ ρ?

mix v? ∂Ygas1

∂y?+ ρ?

mixw? ∂Ygas1

∂z?= 0 , (4.69)

p? = ρ?mixR

?mix T

? , (4.70)

onde a Equacao 4.64 e a equacao da continuidade, a Equacao 4.65 e a equacao da

conservacao da quantidade de movimento na direcao x, a Equacao 4.66 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao y, a Equacao 4.67 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao z, a Equacao 4.68 e a equacao

da conservacao da energia, a Equacao 4.69 e a equacao da conservacao das especies

quımicas e a Equacao 4.70 e a equacao de estado de gas perfeito.

4.5.2 Equacoes de Estabilidade

As equacoes de estabilidade sao derivadas das equacoes de conservacao (Subsecao 4.5.1)

substituindo-se as variaveis dependentes por uma parte laminar base mais uma pertur-

bacao na forma da mostrada na Equacao 1.5. Desprezando-se os termos nao-lineares

e assumindo-se uma solucao por modos normais para as perturbacoes das variaveis

dependentes do escoamento na forma:

Φo(x, y, z, t) = <

Φ(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ], (4.71)

onde Φo e a perturbacao de uma variavel dependente e Φ e sua autofuncao, tem-se as

equacoes de estabilidade.

As equacoes de estabilidade para uma camada de mistura laminar compressıvel binaria

sao dadas por:

90

ρmix i (αu− ω) + vdρmix

dy+ ρmix

[i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 , (4.72)

ρmix

[i (αu− ω) u+ v

du

dy

]= − iαp

γ1Ma21

, (4.73)

ρmix i (αu− ω) v = − 1

γ1Ma21

dp

dy, (4.74)

ρmix i (αu− ω) w = − iβp

γ1Ma21

, (4.75)

ρmix

[i (αu− ω) T + v

dT

dy

]= − (γmix − 1)

Rmix

[i (αu+ βw) +

dv

dy

], (4.76)

ρmix

[i (αu− ω) Y1 + v

dY 1

dy

]= 0 , (4.77)

p = ρmixRmix T + ρmixRmix T . (4.78)

Com alguma algebra, pode-se transformar o sistema composto pelas equacoes 4.72,

4.73, 4.74, 4.75, 4.76, 4.77 e 4.78 em um sistema de duas equacoes dadas por:

(αu− ω)dv

dy− α v

du

dy=

iα2Gp

γ1Ma21

, (4.79)

ρmix i (αu− ω) v = − 1

γ1Ma21

dp

dy, (4.80)

onde a funcao G e definida como:

G =α2 + β2

ρmix α2−Ma2

1

γ1

γmix

(αu− ω)2

α2. (4.81)

Pode-se perceber que a Equacao 4.80 e a equacao da conservacao da quantidade de

91

movimento na direcao y para as perturbacoes. Ou seja, e a mesma que a Equacao 4.74

e foi repetida por conveniencia para facilitar o entendimento do leitor.

Utilizando a transformacao de variaveis proposta por Gropengiesser (1970), que definiu

a funcao χ como:

χ =iαp

γ1Ma21 v

, (4.82)

pode-se condensar o sistema de duas equacoes, 4.79 e 4.80, em apenas uma equacao

dada por:

dχ

dy=α2 (u− ω/α)

RmixT− χ

[χG+ (du/dy)

(u− ω/α)

]. (4.83)

Como descrito por Sandham (1990), as condicoes de contorno para Equacao 4.83 sao

derivadas a partir do fato que quando y → ±∞ temos que χ = const., dχ/dy = 0,

du/dy = 0 e dρmix/dy = 0. Assim temos as seguintes condicoes de contorno para

y → ±∞:

χ (y → ±∞) = ∓ α (u− ω/α)√GRmix T

. (4.84)

Ao resolver a Equacao 4.83, a funcao χ e a funcao G sao calculadas junto com os

autovalores α ou ω do problema. Manipulam-se as equacoes 4.79 e 4.80 e integram-se

as equacoes resultantes a fim de calcular a autofuncao da velocidade normal, v, e a

autofuncao da pressao, p. As equacoes manipuladas sao dadas por:

dp

dy= − γ1Ma2

1 ρmix i (αu− ω) v , (4.85)

dv

dy=

iα2Gp

γ1Ma21 (αu− ω)

+α v

(αu− ω)

du

dy. (4.86)

As condicoes de contorno para integrar as equacoes 4.85 e 4.86 sao apresentadas por

Sandham (1990) respectivamente como:

92

p(0) =χ(0) γ1Ma2

1

i α, (4.87)

v(0) = 1 . (4.88)

A partir do calculo de v e p, calculam-se as outras autofuncoes do escoamento a partir

das equacoes 4.72, 4.73, 4.75, 4.76, 4.77 e 4.78.

Da Equacao 4.72, calcula-se a autofuncao da densidade, ρmix, dada por:

ρmix = − v

i (αu− ω)

dρmix

dy− ρmix αu

(αu− ω)− ρmix βw

(αu− ω)− ρmix

i (αu− ω)

dv

dy. (4.89)

Da Equacao 4.73, calcula-se a autofuncao da velocidade longitudinal, u, dada por:

u = − αp

γ1Ma21 ρmix (αu− ω)

− v

i (αu− ω)

du

dy. (4.90)

Da Equacao 4.75, calcula-se a autofuncao da velocidade transversal, w, dada por:

w = − βp

γ1Ma21 ρmix (αu− ω)

. (4.91)

A autofuncao da temperatura, T , pode ser calculada atraves da Equacao 4.76 por:

T = − (γmix − 1)αu

Rmix ρmix (αu− ω)− (γmix − 1) βw

Rmix ρmix (αu− ω)−

− (γmix − 1)

Rmix ρmix i (αu− ω)

dv

dy− v

i (αu− ω)

dT

dy, (4.92)

ou pela Equacao 4.78 por

T =p

Rmix ρmix

− ρmix T

ρmix

. (4.93)

93

Fazer o calculo atraves das duas expressoes serve para checar se todas as autofuncoes

estao sendo calculadas corretamente, ja que as equacoes de estabilidade sao acopladas.

Da Equacao 4.77, calcula-se a autofuncao da fracao massica, Y1, dada por

Y1 = − v

i (αu− ω)

dY 1

dy. (4.94)

94

5 METODOLOGIA

Para o estudo da estabilidade hidrodinamica da camada de mistura precisamos solu-

cionar o escoamento laminar base atraves das equacoes similares (Subsecao 4.4.2) para

depois resolver as equacoes de estabilidade (Subsecao 4.5.2). Das equacoes de estabili-

dade surge um problema de autovalor onde se buscam os autovalores α ou ω, que nos

fornecerao as taxas de amplificacao das perturbacoes. Tais equacoes fornecem ainda

as autofuncoes, que mostram a amplitude e a fase das perturbacoes e podem ser uti-

lizadas como condicoes de entrada e para comparar com os resultados de uma simulacao

numerica direta (SND).

Precisamos entao resolver dois problemas. O primeiro e a solucao do escoamento base e

depois, soluciona-se o problema de estabilidade atraves do enfoque temporal ou espacial

(Subsecao 1.3.2). Para tal, foram desenvolvidos tres codigos em linguagem FORTRAN1

a saber:

a) Coupled1.f: Codigo que resolve o escoamento laminar base da camada de

mistura bidimensional, binaria e compressıvel atraves das equacoes de con-

servacao similares;

b) Stability3A.f: Codigo para analise de estabilidade linear temporal de uma

camada de mistura binaria e compressıvel com perturbacoes tridimensionais;

c) Stability3B.f: Codigo para analise de estabilidade linear espacial de uma

camada de mistura binaria e compressıvel com perturbacoes tridimensionais.

Nesse capıtulo sao apresentados os metodos utilizados nos codigos, bem como suas

estruturas para solucao, tanto do escoamento laminar base quanto do problema de

estabilidade temporal e espacial. E mostrada tambem a verificacao dos codigos com os

resultados de outros autores.

5.1 Solucao das Equacoes de Conservacao para o Escoamento Laminar

Base

A solucao do escoamento laminar base e feita resolvendo-se numericamente o sistema de

equacoes similares acopladas apresentadas na Subsecao 4.4.2. Tal sistema e integrado

do meio (η = 0) para as bordas da camada de mistura onde as condicoes de contorno

1O compilador FORTRAN utilizado foi o Compaq Visual Fortran c© Professional Edition 6.6.0.instalado em uma maquina com processador AMD Athlon c© XP2600 2.0GHz e 512Mb de RAM esistema operacional Windows c© XP Service Pack2.

95

tem de convergir para as expressoes 4.61, 4.62 e 4.63. Dessa maneira, tem-se a solucao

laminar base das variaveis dependentes do escoamento. Essa tarefa e realizada pelo

programa Coupled1.f desenvolvido pelo autor. Na busca da solucao laminar base foram

utilizados 2000 pontos igualmente espacados no domınio similar −20 ≤ η ≤ +20, assim

como feito por Lowery (1986).

5.1.1 Codigo Coupled1.f

O codigo comeca com a leitura dos um arquivos de entrada, onde estao as informacoes

necessarias ao calculo das condicoes do escoamento livre que servirao de condicao de

contorno a solucao do problema. Devido as caracterısticas assintoticas das condicoes

de contorno mostradas nas expressoes 4.61, 4.62 e 4.63, seria complicado solucionar

o problema atraves da integracao no sentido de fora para dentro (±∞ ⇒ 0), pois

as derivadas de ordem superior teriam valores menores que a precisao de maquina e

o calculo nao seria possıvel de ser implementado. Kennedy e Gatski (1994) apresen-

taram uma forma de contornar esse problema utilizando expansoes assintoticas, mas foi

percebido no desenvolvimento do codigo, que para integracao no sentido de baixo para

cima, existe crescimento exponencial de algumas solucoes nao-fısicas antes mesmo de se

chegar a η = 0, o que impede de encontrar uma solucao. E curioso notar que, Kennedy

e Gatski (1994) apesar de aparentemente terem resolvido esse problema integrando

nesse sentido, reportam nao ter encontrado crescimento parasıtico de alguma solucao.

Mas tambem nao comentam se utilizaram, algum metodo para evitar tal crescimento,

como os apresentados por Garg (1980). Quando integrado no sentido de baixo para

cima e utilizado o metodo de Newton-Raphson da maneira implementada por Hatori

e Filho (), o problema se mostra muito rıgido para as equacoes adicionais necessarias

ao calculo das derivadas do metodo.

Pelas razoes acima preferiu-se utilizar um metodo de busca das condicoes de contorno

baseado no trabalho de Monkewitz e Huerre (1982) e posteriormente utilizado por

Sandham (1990) e Planche (1993). O metodo consiste em chutar uma condicao de

contorno no meio da camada de mistura (η = 0), integrar o sistema de equacoes ate as

bordas (0 ⇒ ±∞) e repetir o calculo ate que as condicoes de contorno em ±∞ para

as equacoes similares (Subsecao 4.4.2) sejam respeitadas. O metodo pode ser descrito

passo a passo como:

a) Impoe-se f(0) = 0 e chuta-se f ′(0) e f ′′(0) para Equacao 4.58, g(0) e g′(0)

para Equacao 4.59 e Y (0) e Y ′(0) para Equacao 4.60;

b) Utilizam-se as condicoes de contorno chutadas para integrar o sistema de

96

equacoes similares ate η = +20;

c) Com f ′′(0), g′(0) e Y ′(0) fixas modificam-se as condicoes f ′(0+), g(0+) e Y (0+)

utilizando iteracoes do metodo da secante e repetindo-se a integracao para

η = +20, ate as condicoes de contorno na borda superior serem respeitadas;

d) Utilizam-se as condicoes chutadas para integrar o sistema de equacoes simi-

lares ate η = −20;

e) Com f ′′(0), g′(0) e Y ′(0) fixas modificam-se as condicoes f ′(0−), g(0−) e Y (0−)

utilizando iteracoes do metodo da secante e repetindo-se a integracao para

η = −20, ate as condicoes de contorno na borda inferior serem respeitadas;

f) Repete-se os procedimentos b), c), d) e e) com f ′′(0), g′(0) e Y ′(0) diferentes

dos chutados utilizando iteracoes do metodo da secante, ate f ′(0+) = f ′(0−),

g(0+) = g(0−) e Y (0+) = Y (0−).

Na integracao das equacoes similares e usado o metodo de Runge-Kutta semi implıcito

com controle de passo adaptativo, conhecido como metodo de Rosenbrock (PRESS et

al., 1997). Segundo Press et al., este e um metodo de quarta ordem com estimativa de

erro para o controle de passo utilizando as equacoes de quinta ordem. Tal metodo foi

escolhido por ser indicado na solucao de sistemas de equacoes rıgidas pois ha citacoes

em referencias, como em Kozusko et al. (1996), de que o sistema a ser resolvido e

extremente rıgido. A implementacao utilizada desse metodo e de Press et al. (1997)

atraves das rotinas stiff.f e odeint.f adaptadas pelo autor.

Para a busca das condicoes de contorno utilizou-se o metodo da secante ao inves do

metodo de Newton-Raphson, que necessita do calculo das derivadas das funcoes de

iteracao (PRESS et al., 1997). Na implementacao do metodo da secante utilizou-se a

rotina rtsec.f de Press et al. (1997) adaptada pelo autor com precisao de 10−8 para

as variaveis similares (i.e. f , f ′, f ′′, g, g′, s e s′).

Apos o calculo das condicoes de contorno corretas em η = 0, tem-se os perfis de todas as

variaveis dependentes do escoamento (u, v, T , h, Y1, ρ e etc.) em funcao de η (espaco

similar) e em funcao de y/δω (espaco fısico). Com isso calcula-se ainda, os perfis de

propriedades termodinamicas, coeficientes de transporte e parametros adimensionais

ao longo da camada de mistura. As grandezas necessarias ao calculo de estabilidade

tambem sao variaveis de saıda desse calculo.

97

5.2 Solucao das Equacoes de Conservacao para as Perturbacoes

A solucao das equacoes de estabilidade (Subsecao 4.5.2) e realizada integrando-se nu-

mericamente a Equacao 4.83. Tal equacao e integrada das bordas (±∞) para o meio

(y/δω = 0) usando as condicoes de contorno apresentadas pela Equacao 4.84. No centro

da camada de mistura a solucao para χ calculada por cima, χ(0+), e a calculada por

baixo, χ(0−), tem de ser iguais. Caso nao sejam, o autovalor, ω no caso temporal e α

no caso espacial, e variado ate que isso ocorra. Essa tarefa e realizada pelo programa

Stability3A.f, para analise temporal e pelo programa Stability3B.f, para analise

espacial. Ambos tambem desenvolvidos pelo autor.

Nos estudos de estabilidade a malha inicialmente utilizada foi de 1000 pontos, resul-

tando em 1000 pares (α, ω), mas com o aumento do numero de Mach convectivo torna-

se cada vez mais difıcil a convergencia para autovalores validos. Assim sendo, com o

aumento de MC necessita-se aumentar o numero de pontos para obter a covergencia.

Interessante notar que o numero de pontos necessarios para se obter a convergencia

na analise temporal difere do da analise espacial. Para os casos estudados, chegou-se a

utilizar 20000 pontos na analise temporal e 4000 pontos na analise espacial.

5.2.1 Codigo Stability3A.f

O codigo comeca com a leitura dos arquivos de entrada, onde estao as informacoes

necessarias ao calculo da solucao do problema. Um dos arquivos, coupled_stab.out, e

o arquivo que contem as informacoes do escoamento laminar base necessarias ao calculo

de estabilidade. Esse arquivo e um dos arquivos de saıda do programa Coupled1.f. O

calculo inicia com a busca do autovalor, ω, para um determinado numero de onda,

α, e angulo de propagacao da perturbacao, θ, pois a analise e temporal. A busca do

autovalor ω e feita integrando-se a Equacao 4.83 das bordas (±∞ ⇒ 0) para o centro

imaginario da camada de mistura (y/δω = 0) da seguinte maneira:

a) Chuta-se ω para α e θ dados;

b) Integra-se a Equacao 4.83 de y/δω correspondente a η = +20 ate y/δω = 0;

c) Integra-se a Equacao 4.83 de y/δω correspondente a η = −20 ate y/δω = 0;

d) Compara-se o valor de χ calculado por cima, χ(0+), e o calculado por baixo,

χ(0−);

e) Repete-se os procedimentos anteriores com ω diferente do chutado utilizando

iteracoes do metodo da secante, ate que χ(0+) = χ(0−).

98

Feito isso, os autovalores ja estao prontos para serem usados no calculo das autofuncoes.

Da definicao da funcao χ (Equacao 4.82) e integrando numericamente as equacoes 4.85

e 4.86 do centro (y/δω = 0) para as bordas (±∞) com as condicoes de contorno dadas

pelas equacoes 4.87 e 4.88, tem-se as autofuncoes p e v respectivamente. As outras

autofuncoes do escoamento, ρ, u, w, T , e Y1, sao calculadas a partir das equacoes 4.89,

4.90, 4.91, 4.92 e 4.94, respectivamente.

Na integracao da Equacao 4.83 para o calculo da funcao χ e das equacoes 4.85 e 4.86

para o calculo das autofuncoes p e v, e usado o metodo de Runge-Kutta de quarta

ordem com passo fixo, onde o tamanho do passo e dado pelo refinamento da malha na

direcao normal, η, do calculo da solucao similar. A implementacao utilizada do metodo

e de Press et al. (1997) atraves das rotinas rkdumb.f e rk4.f adaptadas pelo autor.

A busca dos autovalores tambem e feita pelo metodo da secante ao inves do metodo de

Newton-Raphson, que necessita do calculo das derivadas das funcoes de iteracao (PRESS

et al., 1997). Na implementacao do metodo da secante utilizou-se a rotina rtsec.f

de Press et al. (1997) adaptada pelo autor com precisao de 10−8 para o calculo dos

autovalores (i.e. α ou ω).

5.2.2 Codigo Stability3B.f

O codigo Stability3B.f e inteiramente analogo ao Stability3A.f, com a diferenca

que a busca e do autovalor α, para uma determinada frequencia angular ω, e angulo

de propagacao da perturbacao θ, pois a analise e espacial. Assim sendo, a busca do

autovalor α tambem e feita integrando-se a Equacao 4.83 das bordas (±∞ ⇒ 0) para

o centro imaginario da camada de mistura (y/δω = 0) da seguinte maneira:

a) Chuta-se α para ω e θ dados;

b) Integra-se a Equacao 4.83 de y/δω correspondente a η = +20 ate y/δω = 0;

c) Integra-se a Equacao 4.83 de y/δω correspondente a η = −20 ate y/δω = 0;

d) Compara-se o valor de χ calculado por cima, χ(0+), e o calculado por baixo,

χ(0−);

e) Repete-se os procedimentos anteriores com α diferente do chutado utilizando

iteracoes do metodo da secante, ate que χ(0+) = χ(0−).

Importante notar que como β depende de α e θ, β e calculado a partir destes antes

de integrar-se a equacao de estabilidade (Equacao 4.83). Apos ter sido encontrado o

99

autovalor α correto, calcula-se tambem o β correto.

5.3 Verificacao dos Codigos

Normalmente, a verificacao de um codigo e feita comparando-se valores calculados com

dados de outras referencias. No trabalho aqui desenvolvido, compara-se com dados ja

publicados por outros autores (Capıtulo 3) calculando os casos em condicoes analogas.

A verificacao sera feita para os codigos desenvolvidos para o estudo da estabilidade da

camada de mistura laminar compressıvel binaria, da seguinte maneira:

a) Coupled1.f: Validar solucao similar com uma comparacao do perfil de veloci-

dade longitudinal, u, calculado para o caso incompressıvel com o apresentado

por Lardjane et al. (2004) e uma comparacao das funcoes f , f ′ e f ′′ calculadas

para numeros de Mach convectivo maiores, com os dados apresentados por

Kennedy e Gatski (1994);

b) Stability3A.f: Validar calculo de estabilidade temporal com os resultados de

taxa de amplificacao temporal obtidos por Michalke (1964), Sandham (1990)

e Shin e Ferziger (1991);

c) Stability3B.f: Validar calculo de estabilidade espacial com os resultados de

taxa de amplificacao espacial obtidos por Lowery (1986) e Sandham (1990);

5.3.1 Verificacao do Codigo Coupled1.f

Lardjane et al. (2004) apresentaram uma relacao analıtica que fornece o valor da ve-

locidade longitudinal, u, em funcao da coordenada normal adimensionalizada no espaco

fısico, y/δω, para uma camada de mistura mono-especie isotermica e incompressıvel, o

que e um caso particular da nossa analise. A relacao e dada pela Equacao 5.1

u =∆U

2erf

(√πy

δω

)(5.1)

onde erf e a funcao erro. Tal relacao foi utilizada para uma camada N2 -N2 a pressao

de 1 atm e temperaturas T1 = T2 = 300K. Os dados de velocidade do escoamento livre

das camadas sao U1 = 30m/s, U2 = 10m/s e MC = 0.028. Assim obteve-se a solucao

apresentada na Figura 5.1.

Pode-se perceber que os dados calculados pelo codigo Coupled1.f para o caso incom-

pressıvel, comparados com os calculados pela Equacao 5.1 dada por Lardjane et al.

100

(a)

Figura 5.1 - Camada N2 - N2: Solucao analıtica e numerica

(2004) validam muito bem a solucao similar.

Para numeros de Mach convectivo maiores, compararemos os dados apresentados por

Kennedy e Gatski (1994) para a camada H2 -N2 a pressao de 49000Pa e temperaturas

T1 = 215K e T2 = 334K. Os dados de velocidade do escoamento livre das camadas,

U1 e U2, e de numero de Mach convectivo estao apresentados na Tabela 5.1.

Tabela 5.1 - Velocidades do escoamento livre

MC 0.20 0.70 1.20

U1 [m/s] 1275 1500 2240U2 [m/s] 975 450 450

Fonte: Adaptado de Kennedy e Gatski (1994)

Rodando os casos da Tabela 5.1 obtemos os resultados para as funcoes f , f ′ e f ′′

da solucao similar e os resultados foram plotados com os obtidos da digitalizacao dos

graficos de Kennedy e Gatski (1994). Os resultados dessas rodadas estao mostradas nas

figuras 5.2, 5.3 e 5.4.

Podemos dizer que os resultados para as funcoes similares sao considerados bons

levando-se em conta que os graficos de Kennedy e Gatski (1994) tiveram de ser digi-

101

talizados. Kennedy e Gatski tambem nao usaram v(0) = 0 como terceira condicao de

contorno o que resulta em uma translacao das funcoes f , f ′ e f ′′ na direcao η, que

tem de ser corrigida na apresentacao dos dados. Observando as figuras 5.2, 5.3 e 5.4,

constatamos que a funcao f apresenta praticamente os mesmos resultados, a funcao

f ′ perde um pouco a aderencia na regiao da camada lenta e f ′′ na predicao do ponto

de maximo e tambem na regiao da camada lenta. Esses efeitos em f ′ e f ′′ podem ser

atribuıdos ao fato de Kennedy e Gatski (1994) utilizarem uma formulacao com C, Pr

e Le variaveis, enquanto utilizamos esses parametros constantes ou iguais a 1.

5.3.2 Verificacao do Codigo Stability3A.f

Como apresentado no Capıtulo 3, Michalke (1964) calculou dados para analise de

estabilidade temporal com um perfil de velocidade laminar base analıtico, dado por

U(y) = 0.5 [ 1 + tanh(y) ]. Shin e Ferziger (1991) utilizaram estes dados na verificacao

de seu metodo, assim como Sandham (1990). Assim sendo, para validar o metodo de

solucao do codigo Stability3A.f foi feita uma analise temporal com o perfil analıtico

de velocidade, U(y) = 0.5 [ 1 + tanh(y) ], e resolvendo-se a Equacao 1.8 (Equacao de

Rayleigh), que e um caso particular da Equacao 4.83. O resultado calculado com a

equacao de Rayleigh e perfil analıtico e comparado com os dados de Michalke (1964)

e de Shin e Ferziger (1991) na Figura 5.5. Pode-se perceber pela analise desta, que

o metodo utilizado no codigo Stability3A.f produz resultados satisfatorios para a

equacao de Rayleigh com o perfil U(y) = 0.5 [ 1 + tanh(y) ].

5.3.3 Verificacao do Codigo Stability3B.f

Sandham (1990) utilizou o perfil U(y) = 0.5 [ (1/λU) + tanh(2y) ] com a equacao de

Rayleigh (Equacao 1.8) comparando seus resultados com os de Lowery (1986) para

validar seus metodos. Assim sendo, para validar o metodo de solucao do codigo Sta-

bility3B.f foi realizada uma analise espacial com o perfil analıtico de velocidade,

U(y) = 0.5 [ (1/λU)+tanh(2y) ], e resolvendo-se a a equacao de Rayleigh (Equacao 1.8).

O resultado e comparado com os dados de Lowery (1986) e Sandham (1990) na

Tabela 5.2 onde percebe-se que os resultados sao praticamente os mesmos.

Tabela 5.2 - Taxa de amplificacao espacial αi - Comparacao com dados de Lowery (1986) e Sandham(1990)

ωr Lowery Sandham Stability3B.f

4/3 0.88869,−0.12850i 0.88891,−0.12850i 0.888917,−0.128501i2/3 0.43110,−0.09913i 0.43110,−0.09913i 0.431095,−0.099128i1/3 0.20908,−0.05860i 0.20908,−0.05860i 0.209076,−0.058601i

102

(a)

(b)

(c)

Figura 5.2 - Funcoes similares para camada H2 - N2 e MC = 0.20: a) f b) f ′ c) f ′′

103

(a)

(b)

(c)


104

(a)

(b)

(c)


105

Figura 5.5 - Analise de estabilidade temporal com perfil de velocidades U(y) = 0.5 [ 1 + tanh(y) ] - Com-paracao com dados de Michalke (1964), Sandham (1990) e Shin e Ferziger (1991)

106

6 RESULTADOS

Uma das combinacoes de gases mais promissoras para aplicacoes em propulsao, visando

a combustao supersonica sao as camadas O2 -H2 e H2 -O2, como colocado por Heiser

(1994). Kozusko et al. (1996) estudaram 30 combinacoes diferentes dos gases Ar, H2,

He,N2,Ne e O2 utilizando a tecnica de solucao similar. Em um estudo recente, Fedioun

e Lardjane (2005) estudaram a estabilidade das camadas N2 -O2 e H2 -O2.

O presente capıtulo apresenta as analises listadas nos objetivos do Capıtulo 2. Inicia-se

na Secao 6.1 com uma analise parametrica da influencia da variacao dos parametros

Pr, Le e C nos perfis de velocidade, temperatura e fracao massica laminares base. Essa

avaliacao foi feita para uma camada O2 -H2 congelando-se dois dos parametros iguais a

1 e variando-se o outro em um intervalo pre-definido. Ainda na Secao 6.1 e apresentada

uma analise da influencia dos perfis laminares base com Pr, Le e C diferentes, nas taxas

de amplificacao temporais e espaciais para uma camada N2 -O2.

Na Secao 6.2 e apresentada a comparacao entre o perfil de velocidade laminar base

calculado para uma camada N2 -O2 com Pr, Le e C iguais a 1, com um perfil analıtico

dado por uma tangente hiperbolica. Tambem sao avaliadas as taxas de amplificacao

temporais e espaciais para ambos os perfis. Em seguida, na Secao 6.3 e apresentado

um estudo dos perfis das variaveis similares e das razoes de temperatura e densidade,

em uma camada N2 -O2 com Pr, Le e C iguais a 1, variando-se o numero de Mach

convectivo.

A Secao 6.4 mostra as analises de estabilidade temporais e espaciais feitas para a ca-

mada N2 -O2 a 300K e 1 atm com βU = 0.5 variando-se o numero de Mach convectivo

ate MC = 1.6. Na Subsecao 6.4.1 sao apresentadas como as taxas de amplificacao tem-

porais e espaciais sao alteradas com o aumento de MC . Na Subsecao 6.4.2 e mostrado

o aumento de importancia das ondas oblıquas com o aumento do numero de Mach

convectivo e como as taxas de amplificacao variam com o angulo de propagacao das

perturbacoes. Mais adiante na Subsecao 6.4.3 e mostrada uma analise do perfil de vor-

ticidade ponderada pela densidade e algumas consideracoes a respeito da existencia de

modos adicionais sao feitas. Por fim, na Subsecao 6.4.4 apresenta-se as autofuncoes dos

modos mais amplificados para camada estudada.

107

6.1 Estudo Parametrico da Camada de Mistura Laminar para Variacoes

de C, Pr e Le

Iniciaremos nossas analises com um estudo parametrico da influencia do parametro de

Chapman-Rubesin (Subsecao 4.2.9) e dos numeros de Prandtl (Subsecao 4.2.6) e Lewis

(Subsecao 4.2.8) diferentes de 1, nos perfis de velocidade, temperatura e fracao massica

laminares base.

Para as camadas O2 -H2 e H2 -O2 a 300K temos os seguintes valores para C, Pr e Le

no escoamento livre:

Tabela 6.1 - C, Pr e Le para as camadas O2 - H2 e H2 - O2 a 300K

Parametro O2 -H2 H2 -O2

Pr 0.716/0.684 0.684/0.716Le 0.283/2.033 2.033/0.283C 1.000/0.027 36.691/1.000

Pode-se perceber pela Tabela 6.1 que o numero de Prandtl nao varia tanto quanto o

parametro de Chapman-Rubesin ou o numero de Lewis. Mas, no interior da camada de

mistura Kozusko et al. (1996) encontraram valores do numero de Prandtl de ate 0.4.

Por isso mostraremos os dados de um estudo parametrico para Pr, Le e C variando

conforme os dados da tabela Tabela 6.2.

O estudo foi feito a temperatura constante de 300K, pressao de 1 atm, U1 = 1846m/s,

U2 = 200m/s e MC = 1.00 para camada O2 -H2, congelando-se dois parametros no

valor 1 e variando-se o outro no intervalo desejado. E importante deixar claro que

para camada O2 -H2 os valores desses parametros nao variam tanto quanto as faixas

propostas, sendo que os limites foram escolhidos baseados nos valores atingidos em

outras combinacoes de gases apresentadas em Kozusko et al. (1996). Apesar disso, o

estudo e feito para ganhar sensibilidade sobre a variacao de tais parametros e sua

influencia na solucao similar.

Tabela 6.2 - Valores de Pr, Le e C no estudo parametrico da camada O2 - H2 a 300K, 1 atm e MC = 1.00

Pr 0.4 0.7 1.0 1.3Le 0.3 0.7 1.0 2.3C 0.01 1.0 5.0 30.0

108

Iniciaremos o estudo parametrico pelo numero de Prandtl, Pr. Os resultados estao

apresentados na Figura 6.1. Pode-se perceber que a variacao no numero de Prandtl

nao influencia a espessura da camada de mistura de velocidade como era de se esperar

pela analise da Equacao 4.58. Ja a camada de mistura termica e alterada, assim como

a camada de mistura de concentracao, o que tambem era esperado pela analise das

equacoes 4.59 e 4.60. Percebe-se pela Figura 6.1 b), que com o aumento do numero

de Prandtl a camada de mistura termica diminui, o que significa que o calor esta

se difundindo menos que a quantidade de movimento. Em consequencia, com difusao

termica menor e com a mesma friccao, a temperatura aumenta no interior da camada

de mistura. A diferenca de temperatura em relacao ao caso com Pr = 1.0, chega a ser

quase 2 % maior no caso de Pr = 1.3 e quase 5 % menor no caso com Pr = 0.4. No

caso da camada de mistura de concentracao, observa-se tambem uma diminuicao da

mesma com o aumento do numero de Prandtl para ambos os gases.

O segundo parametro a ser variado e o numero de Lewis, Le. Os valores usados desse

parametro estao apresentados na Tabela 6.2. A Figura 6.2 nos mostra que a variacao no

numero de Lewis tambem nao influencia e espessura da camada de mistura de veloci-

dade, mas as camadas de mistura termica e de concentracao sao alteradas. Percebe-se

pela Figura 6.2 b), que com o aumento do numero de Lewis a camada de mistura

termica diminui, o que tambem faz a temperatura aumentar aparecendo um efeito adi-

cional de deslocamento do pico de temperatura em direcao a camada rapida. Nota-se

que a camada de mistura de concentracao tambem diminui com o aumento do numero

de Lewis para ambos os gases e pode-se perceber que para os numeros de Lewis es-

tudados, com valores abaixo de 1 a camada alonga-se em direcao a camada lenta. A

diferenca de temperatura em relacao ao caso com Le = 1.0, chega a ser quase 11 %

maior no caso de Le = 2.3 e quase 1.5 % menor no caso com Le = 0.3.

O ultimo parametro a ser avaliado e o parametro de Chapman-Rubesin, C. Variando-se

o parametro de Chapman-Rubesin nota-se que a camada de mistura de velocidade au-

menta com o aumento deste, em direcao a camada lenta. Interessante notar que quando

esse parametro e igual a 0.01, a camada de mistura de velocidade e termica tornam-

se muito delgadas. Outro aspecto interessante e o espalhamento e o deslocamento em

direcao a camada rapida, que acontece com a camada de mistura termica. Apesar do

pico de temperatura manter sua magnitude, o perfil se difunde pela camada rapida e

pela camada lenta. A camada limite de concentracao tambem fica mais difusa com o

aumento do parametro de Chapman-Rubesin.

Mostrada a influencia do parametro de Chapman-Rubesin e dos numeros de Prandtl e

109

(a) (b)

(c)

Figura 6.1 - Efeito da variacao do numero de Prandtl, Pr, para camada O2 - H2 e MC = 1.00: a) u/U1

b) T/T1 c) Y1 e Y2

Lewis diferentes de 1, nos perfis de velocidade, temperatura e fracao massica, passare-

mos a sua influencia nas taxas de amplificacao temporal e espacial.

Este estudo foi feito da mesma maneira que o estudo da influencia desses parametros na

camada de mistura O2 -H2, so que para uma camada N2 -O2. As condicoes da camada

sao temperatura constante de 300K, pressao de 1 atm, U1 = 1370m/s, U2 = 685m/s

e MC = 1.00. Apesar de nao ser apresentado, para MC = 0.10 o efeito da variacao

desses parametros nas taxas de amplificacao foi calculado e considerado desprezıvel.

Entretanto, com o aumento de MC o efeito torna-se perceptıvel. Os valores de Pr, Le

e C utilizados sao os mesmos da Tabela 6.2.

110

(a) (b)

(c)

Figura 6.2 - Efeito da variacao do numero de Lewis, Le, para camada O2 - H2 e MC = 1.00: a) u/U1 b)T/T1 c) Y1 e Y2

Analisando o efeito da variacao do numero de Prandtl na taxa de amplificacao temporal

(ωi) temos que com o aumento de Pr a taxa de amplificacao temporal maxima (ωmaxi )

cai, assim como as taxas de amplificacao para outros numeros de onda. Tal fato e

mostrado na Figura 6.4 a). Apesar do numero de onda do ponto neutro (α0r) nao

ter sido calculado a extrapolacao dos resultados da Figura 6.4 a) mostra que com o

aumento de Pr, α0r diminui. Mas para Pr > 1, α0

r parece aumentar, aumentando a

faixa de numeros de ondas instaveis.

Na analise espacial o aumento de Pr tambem causa diminuicao da taxa de amplificacao

espacial maxima (−αmaxi ) como mostrado na Figura 6.4 b). E possıvel perceber para

111

(a) (b)

(c)

Figura 6.3 - Efeito do parametro de Chapman-Rubesin, C, para camada O2 - H2 e MC = 1.00: a) u/U1 b)T/T1 c) Y1 e Y2

os valores estudados do numero de Prandtl que a faixa de frequencia angular (ωr)

abrangida cai ate Pr = 0.7, passando a aumentar a partir desse valor. Portanto e de se

esperar que a frequencia angular das perturbacoes neutras caia ate Pr = 0.7 e aumente

para valores maiores desse parametro.

Na analise temporal, para numeros de onda maiores que o numero de onda da per-

tubacao com taxa de amplificacao maxima (αmaxr ), o aumento do numero de Lewis faz

com que as taxas de amplificacao caiam. Entre os valores estudados, para Le > 1 as

taxas voltam a subir. Interessante notar que para numeros de onda menores que αmaxr ,

as taxas de amplificacao temporais praticamente nao sao alteradas e ωmaxi e pratica-

112

(a)

(b)

Figura 6.4 - Efeito do numero de Prandtl, Pr, nas taxas de amplificacao da camada N2 - O2 e MC = 1.00:a) Taxas temporais b) Taxas espaciais

mente constante na faixa pesquisada. Para a analise espacial a faixa de frequencias

angulares das perturbacoes estreita-se ate Le = 0.7 aumentando abaixo esse valor. Im-

portante notar que a taxa de amplificacao maxima cresce com o aumento de Le sendo

maior na faixa pesquisada para Le = 2.3. Os resultados de taxas de amplificacao para

a variacao do numero Lewis estao apresentados na Figura 6.5.

Por ultimo, avaliamos o efeito da variacao do parametro de Chapman-Rubesin nas taxas

113

(a)

(b)

Figura 6.5 - Efeito do numero de Lewis, Le, nas taxas de amplificacao da camada N2 - O2 e MC = 1.00:a) Taxas temporais b) Taxas espaciais

de amplificacao. Na analise temporal, exceto para C = 0.01, as taxas de amplificacao

aumentam para todos os numeros de onda. As faixas de numero de onda instaveis

permanecem praticamente inalteradas. Percebe-se ainda que para C = 5.0 e C = 30.0,

as taxas aumentam menos do que de 1 para 5. Para analise espacial, o comportamento

das taxas de amplificacao espaciais e semelhante ao caso temporal, mas a partir da

frequencia angular onde a taxa de amplificacao e maxima (ωmaxr ), aparece uma regiao

onde a situacao se inverte que se apresenta como um vinco na curva. Os resultados

114

para a variacao das taxas de amplificacao com C estao apresentados na Figura 6.6.

(a)

(b)

Figura 6.6 - Efeito do parametro de Chapman-Rubesin, C, nas taxas de amplificacao da camada N2 - O2 eMC = 1.00: a) Taxas temporais b) Taxas espaciais

6.2 Perfil Laminar Base Calculado e Analıtico

Nesta secao sao comparados o perfil laminar base calculado com o analıtico dado por

uma tangente hiperbolica da forma

115

Figura 6.7 - Diferenca entre o perfil de velocidade laminar base calculado e o perfil analıtico da forma daEquacao 6.1 para a camada N2 - O2 com βU = 0.5

U(η) = A tanh(D · η) +B, (6.1)

onde A, B e D sao constantes iguais a 0.25, 0.765 e 1 respectivamente, e η e a direcao

normal ao escoamento no espaco similar.

Para uma camada de mistura com mesma razao de velocidades (βU), temos que os perfis

de velocidade sao identicos independente do numero de Mach convectivo (MC), como

sera mostrado na Secao 6.3. Assim, para uma camada N2 -O2 com βU = 0.5 calculamos

o perfil laminar base atraves da solucao similar do escoamento e o confrontamos com

um perfil analıtico da forma da Equacao 6.1 com mesma razao de velocidade, βU . O

resultado e mostrado na Figura 6.7.

Atraves da analise da Figura 6.7 podemos perceber que para a mesma razao de veloci-

dades os perfis sao um tanto diferentes. Isso indica que o perfil tangente hiperbolica

devera ter caracterısticas de estabilidade diferentes do perfil laminar base calculado. O

perfil representado pela tangente hiperbolica e mais cheio do lado rapido da camada do

que o perfil laminar base calculado, o que segundo Sandham (1990) e estabilizante. En-

tretanto, o perfil laminar base calculado possui maior penetracao na camada lenta o que

segundo Sandham (1990) tambem e estabilizante. Pode-se notar ainda pela Figura 6.7

que o perfil laminar base para o mesmo ∆U , possui maior espessura de vorticidade (

δω) que o perfil tangente hiperbolica.

116

Para averiguar qual dos perfis seria mais estavel, procedeu-se a analise de estabilidade

temporal e espacial. Tais analises confirmaram que para a mesma razao de velocidades

o perfil tangente hiperbolica possui taxas de amplificacao temporais e espaciais menores

que as do perfil laminar base calculado pelas equacoes de conservacao. Ou seja, o perfil

tangente hiperbolica e mais estavel. Tal fato ja havia sido mostrado por por Shin e

Ferziger (1991). Os resultados dessas analises sao mostrados na Figura 6.8.

(a)

(b)

Figura 6.8 - Diferencas nas taxas de amplificacao da camada N2 - O2 e MC = 0.1 entre um perfil laminarbase calculado e um perfil tangente hiperbolica: a) Taxas temporais b) Taxas espaciais

117

6.3 Perfis de Parametros e Variaveis do Escoamento

Nesta secao apresentamos os perfis das variaveis similares do escoamento e das razoes

de temperaturas e densidades com a variacao do numero de Mach convectivo (MC)

para a mesma razao de velocidades (βU). O estudo foi feito para camada N2 -O2 a

temperatura constante de 300K, pressao de 1 atm e Pr, Le e C iguais a 1. As condicoes

estudadas estao apresentadas na Tabela 6.3.

Tabela 6.3 - Condicoes de velocidade do escoamento livre e numero de Mach convectivo para estudo dacamada N2 - O2 a 300K e 1 atm

MC 0.01 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

U1 [m/s] 14.0 140.0 700.0 1370.0 2050.0 2730.0 3400.0 4100.0U2 [m/s] 7.0 70.0 350.0 685.0 1025.0 1365.0 1700.0 2050.0

Apresentaremos primeiro os resultados para as funcoes similares f e s. Como a solucao

foi calculada para a mesma razao de velocidades, e curioso notar que o perfil dessas

funcoes e o mesmo independente do numero de Mach convectivo escolhido (Figura 6.9 e

Figura 6.10). Tal caracterıstica nao havia sido percebida pelo autor antes da realizacao

deste estudo. Deve ser ressaltado que os resultados de Kennedy e Gatski (1994) para

as velocidades apresentadas na Tabela 5.1, utilizam razoes de velocidade diferentes

apresentando portanto perfis bem diferentes para as funcoes f e s com a mudanca do

numero de Mach convectivo.

Ja a funcao g apresenta contornos diferentes para cada numero de Mach convectivo

(Figura 6.11), pois reflete a mudanca de entalpia da camada de mistura. Com o aumento

do numero de Mach convectivo um dos efeitos da compressibilidade e o aumento da

dissipacao viscosa resultando em um aumento da entalpia e reducao da densidade na

regiao interna a camada. A entalpia chega a aumentar quase 275 vezes o que e melhor

percebido pelo aumento de temperatura de aproximadamente 2.7 vezes (Figura 6.12

a)). Com isso a densidade no interior da camada de mistura chega a cair cerca de 60%

em relacao a densidade da camada rapida (Figura 6.12 b)). Essa queda na densidade

reflete na mudanca do padrao de instabilidade (i.e. modos adicionais) que aparece na

camada de mistura, como colocado por Day et al. (1998b).

As condicoes calculadas no centro da camada para os casos apresentados na Tabela 6.3

sao mostradas nas tabelas 6.4 e 6.5.

Na secao seguinte sao apresentadas as analises de estabilidade dos perfis laminares base

118

Tabela 6.4 - Condicoes calculadas no centro da camada para as funcoes f e s no estudo da camada N2 - O2

a 300K e 1 atm para os numeros Mach convectivo da Tabela 6.3

f(0) f ′(0) f ′′(0) s(0) s′(0)

0.0 0.7650500718 0.1728250618 0.5301001435 0.3456501236

Tabela 6.5 - Condicoes calculadas no centro da camada para a funcao g no estudo da camada N2 - O2 a300K e 1 atm para os numeros Mach convectivo da Tabela 6.3

MC 0.01 0.1 0.5 1.0

g(0) 0.9482937564 1.2624141325 8.877453472 31.3291925640g′(0) 0.0401031097 0.0138628495 −0.6222646907 −2.4977861240MC 1.5 2.0 2.5 3.0

g(0) 68.9770146319 121.5959004460 188.0834176523 273.0726960563g′(0) −5.6427227804 −10.0382775224 −15.5923579066 −22.6919956114

para diferentes numeros de Mach convectivos.

6.4 Analise de Estabilidade

Os estudos de Kozusko et al. (1996) mostraram grandes variacoes dos parametros Pr e

Le para algumas combinacoes de gases. A diferenca do parametro C para uma camada

isotermica a 300K pode chegar a quase 36 : 1 para uma camadaH2 -O2. Para a camada

N2 -O2, pelo fato dos dois gases possuırem propriedades termodinamicas e coeficientes

de transporte com valores proximos nos possibilita utilizar a hipotese de Pr, Le e Cconstantes. Utilizamos entao Pr, Le e C iguais a 1 para o calculo dos perfis laminares

base usados nas analises de estabilidade.

As analises de estabilidade temporal e espacial foram realizadas para a camada N2 -O2

a 300K e 1 atm com βU = 0.5 variando-se o numero de Mach convectivo. Os calculos

foram realizados ate MC = 1.6 pois apos esse valor a busca por autovalores comecou a

se tornar bastante difıcil. Como o objetivo era mostrar como as taxas de amplificacao

temporal e espacial variam com o numero de Mach convectivo (MC) e com os angulos

de propagacao das perturbacoes (θ), julgou-se suficiente parar os calculos nesse valor

de Mach convectivo.

Uma das maiores dificuldades da analise de estabilidade linear tanto temporal quanto

espacial, reside no fato de conseguir numeros proximos aos autovalores, que nao con-

hecemos a priori, pois caso contrario o calculo nao converge. Uma tecnica que auxiliou

o autor em seus calculos foi utilizar os autovalores calculados pela equacao de Rayleigh

119

(Equacao 1.8) como chute inicial e depois de calculado os autovalores para um de-

terminado MC , utiliza-se o valor calculado para MC mais alto. Ou seja, na falta de

informacao pode-se utilizar o valor incompressıvel como chute inicial. Apresentamos

na Tabela 6.6 os autovalores iniciais calculados para perturbacoes bidimensionais nas

analises temporais e na Tabela 6.7 os calculados nas analises espaciais para varios val-

ores de MC . Tais autovalores podem ser utilizados para analises posteriores facilitando

inclusive a analise de outras combinacoes de gases que nao sejam as aqui estudadas e

de perturbacoes tridimensionais.

Tabela 6.6 - Autovalores calculados para iniciar analise de estabilidade temporal da camada N2 - O2 a 300Ke 1 atm com βU = 0.5

MC αr ωr ωi

0.01 0.00100 0.000733 0.0002480.1 0.00100 0.000734 0.0002450.2 0.00100 0.000735 0.0002380.3 0.00100 0.000736 0.0002270.4 0.00100 0.000737 0.0002140.5 0.00100 0.000738 0.0001990.6 0.00100 0.000739 0.0001830.7 0.00100 0.000740 0.0001670.8 0.00100 0.000741 0.0001500.9 0.00100 0.000742 0.0001361.0 0.00100 0.000742 0.0001181.1 0.00100 0.000743 0.0001001.2 0.00100 0.000742 0.0000751.3 0.00100 0.000734 0.0000471.4 0.00100 0.000715 0.0000311.5 0.00100 0.000705 0.0000171.6 0.00086 0.000690 0.000005

6.4.1 Resultados para Diferentes Numeros de Mach Convectivo

Para os numeros de Mach convectivo apresentados nas tabelas 6.6 e 6.7 foram realizadas

analises temporais e espaciais a fim de mostrar a variacao das taxas de amplificacao

com o aumento deMC considerando-se perturbacoes bidimensionais. Os resultados para

tais numeros de Mach convectivo mostram que tanto a taxa de amplificacao tempo-

ral, quanto a taxa de amplificacao espacial, caem com o aumento do numero de Mach

convectivo (Figura 6.13 e Figura 6.14). Esse e um dos efeitos negativos da compress-

ibilidade pois resulta em uma transicao mais demorada ao escoamento turbulento o

que nao e interessante no caso de um motor a combustao supersonica. Esse fato ja e

120

Tabela 6.7 - Autovalores calculados para iniciar analise de estabilidade espacial da camada N2 - O2 a 300Ke 1 atm com βU = 0.5

MC ωr αr αi

0.01 0.01 0.012275 −0.0041070.1 0.01 0.012296 −0.0040710.2 0.01 0.012354 −0.0039650.3 0.01 0.012440 −0.0038040.4 0.01 0.012544 −0.0036020.5 0.01 0.012656 −0.0033740.6 0.01 0.012769 −0.0031260.7 0.01 0.012879 −0.0028630.8 0.01 0.012985 −0.0025860.9 0.01 0.013065 −0.0023571.0 0.01 0.013162 −0.0020451.1 0.01 0.013251 −0.0017201.2 0.01 0.013370 −0.0012511.3 0.01 0.013741 −0.0007901.4 0.01 0.014113 −0.0005771.5 0.01 0.014392 −0.0003471.6 0.01 0.014604 −0.000052

conhecido tendo sido mostrado por varios autores. Curioso notar que tanto na analise

temporal quanto na espacial as curvas a partir de MC = 0.9 ate MC = 1.1 apresen-

tam dois pontos de maximo. Interessante esse fenomeno acontecer justo nessa faixa

de Mach convectivo, permitindo ate uma analogia a aerodinamica e utilizar o termo

Mach convectivo transonico. E nessa faixa tambem, que as faixas de numero de onda

(αr) e frequencia angular (ωr) instaveis param de cair com a diminuicao das taxas de

amplificacao temporal e espacial respectivamente. A partir de MC = 1.5 foi notado

que apesar da taxa de amplificacao maxima em ambos os casos comecar a cair, a faixa

de numeros de onda instaveis na analise temporal e a faixa de frequencias angulares

instaveis na analise espacial, se tornam mais abrangentes. Tais fatos merecem uma

investigacao posterior com mais detalhes.

121

(a)

(b)

(c)

Figura 6.9 - Variacao da funcao similar f e suas derivadas para camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a) f b)f ′ c) f ′′

122

(a)

(b)

Figura 6.10 - Variacao da funcao similar s e sua derivada para camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a) s b) s′

123

(a)

(b)

Figura 6.11 - Variacao da funcao similar g e sua derivada para camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a) g b)g′

124

(a)

(b)

Figura 6.12 - Variacao da razao de temperatura e de densidade para camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a)βT b) βρ

125

(a)

(b)

Figura 6.13 - Taxas de amplificacao temporal da camada N2 - O2: a) Todos os numeros de Mach convectivob) MC ≥ 1.0

126

(a)

(b)

Figura 6.14 - Taxas de amplificacao espacial da camada N2 - O2: a) Todos os numeros de Mach convectivob) MC ≥ 1.0

6.4.2 Obliquidade das Perturbacoes com o Aumento do Numero de Mach

Convectivo

Com o aumento do numero de Mach convectivo as perturbacoes tridimensionais

comecam a se tornar mais amplificadas que as bidimensionais. Esse fenomeno comeca

a aparecer a partir de MC = 0.6, como constatado por Sandham (1990). Para confir-

mar essa tendencia, escolheu-se analisar os mesmos casos apresentados por Sandham

127

(1990) para a camada de mistura compressıvel monoespecie, que sao os numeros de

Mach convectivo iguais a 0.01, 0.8 e 1.2. Os angulos de propagacao das perturbacoes

(θ) analisados sao 0, 30 e 60. Foram feitas analises espaciais e temporais, que con-

firmaram a mesma tendencia dos resultados encontrados por Sandham (1990). Para

MC = 0.01 que esta no regime incompressıvel, a perturbacao mais amplificada e bidi-

mensional o que e mostrado atraves das taxas de amplificacao maiores para θ = 0,

tanto no caso espacial quanto no temporal. Quando o numero de Mach convectivo au-

menta para MC = 0.8 percebe-se que dentre os angulos de propagacao analisados, a

taxa de amplificacao maxima nao mais ocorre para θ = 0 mas em θ = 30. Adiante e

mostrado que θmax esta em torno de θ = 41.4 para esse numero de Mach convectivo.

No caso em que MC = 1.2 a maxima taxa de amplificacao ocorre para θ = 60. Com

esses resultados a hipotese de que as perturbacoes mais amplificadas se tornam tridi-

mensionais, e confirmada. As curvas de taxa de amplificacao temporal e espacial para

os casos estudados estao apresentadas na Figura 6.15 e Figura 6.16.

A fim de elucidar melhor o aspecto do aumento da obliquidade das perturbacoes mais

amplificadas quando o numero de Mach convectivo aumenta, calculou-se a taxa de am-

plificacao maxima variando-se o angulo de propagacao da perturbacao tridimensional

para MC igual a 0.01, 0.8 e 1.2 assim como feito por Sandham (1990). Ja que os pro-

gramas Stability3A.f e Stability3B.f nao estavam preparados para realizar este

tipo de analise automaticamente, variou-se o angulo de propagacao da perturbacao

manualmente em passos de 10 na maior parte do domınio e passos de 5 nas regioes

mais interessantes apontadas pelos graficos de Sandham (1990). Os resultados para a

camada N2 -O2 estao apresentados na Figura 6.17 e apresentam o mesmo comporta-

mento dos dados de Fedioun e Lardjane (2005), que fizeram uma analise semelhante

para camada O2 -H2.

Em relacao aos resultados de Sandham (1990), os resultados encontrados diferem em

relacao ao angulo com taxa de amplificacao nula. Nos resultados do presente trabalho

e nos resultados de Fedioun e Lardjane (2005) o angulo com taxa de amplificacao

nula sempre tende a 90, o que tem sua razao de ser pelo fato das perturbacoes nao

se propagarem na direcao z, transversal ao escoamento. Ja no trabalho de Sandham

(1990) apesar de tambem utilizar essa hipotese, o angulo com taxa de amplificacao nula

aumenta com o aumento do numero de Mach convectivo. Observando os resultados de

Fedioun e Lardjane (2005) percebe-se que o comportamento dos dados aqui calculados

segue a mesma tendencia dos denominados modos primarios por esses autores, enquanto

que os dados apresentados por Sandham (1990) seguem a tendencia dos modos chama-

dos secundarios por Fedioun e Lardjane (2005). A possibilidade de haverem diferentes

128

(a) (b)

(c)

Figura 6.15 - Variacao da taxa de amplificacao temporal para diferentes angulos de propagacao das per-turbacoes na camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a) MC = 0.01 b) MC = 0.8 c) MC = 1.2

modos e discutida na Subsecao 6.4.3. Os resultados para uma camada N2 -O2 a 300K

e 1 atm com βU = 0.5 se comparados com os apresentados por Sandham (1990) para

uma camada compressıvel monoespecie, mostram uma concordancia boa para as fre-

quencias angulares em que ocorrem as taxas de amplificacao espaciais maximas (ωmaxr ),

como mostra a Tabela 6.8. Deve ser levado em conta ainda o fato que a discretizacao

do domınio em relacao ao angulo de perturbacao nao ter sido feita automaticamente,

o que reduz a precisao do calculo.

Os dados calculados com MC igual a 0.01, 0.8 e 1.2 para as perturbacoes com taxa de

amplificacao maxima nas analises temporal e espacial, sao apresentados na Tabela 6.9

129

(a) (b)

(c)

Figura 6.16 - Variacao da taxa de amplificacao espacial para diferentes angulos de propagacao das pertur-bacoes na camada N2 - O2 a 300K e 1 atm: a) MC = 0.01 b) MC = 0.8 c) MC = 1.2

e na Tabela 6.10 respectivamente.

Sandham (1990) nos fornece uma relacao aproximada dada por MC cos θ ≈ 0.6 para

encontrar em qual angulo ocorrem as perturbacoes mais instaveis. Apesar dessa re-

lacao nao ter sido derivada para camadas binarias utilizamos a mesma para calcular

onde estariam as perturbacoes mais amplificadas. Para os numeros de Mach convectivo

maiores que 0.6 estudados os resultados sao apresentados na Tabela 6.11.

Os codigos Stability3A.f e Stability3B.f nao executam a busca do θmax automati-

camente. Assim sendo, os valores da Tabela 6.11 foram utilizados como referencia na

busca dos valores de taxa de amplificacao maxima. Devido a quantidade de casos a

130

(a)

(b)

Figura 6.17 - Variacao das taxas de amplificacao maxima com o aumento do angulo de propagacao dasperturbacoes tridimensionais na camada N2 - O2: a) Analise temporal b) Analise espacial

serem rodados e observando o comportamento das curvas de taxa de amplificacao (−αi

e ωi) em funcao do angulo de propagacao da perturbacao (θ) apresentadas por Sand-

ham (1990) e por Fedioun e Lardjane (2005), assumiram-se os valores da Tabela 6.11

como maximos e variou-se o angulo de propagacao da perturbacao em ±10 com pas-

sos de 5. Dessa maneira foi possıvel tracar as curvas de taxa de amplificacao maxima

temporal e espacial em funcao no numero de Mach convectivo. Os resultados sao ap-

resentados na Figura 6.18. O comportamento das mesmas e similar ao encontrado por

131

Tabela 6.8 - Frequencia angular da taxa de amplificacao espacial maxima ωmaxr - Comparacao com dados

de Sandham (1990)

MC ωmaxr - Sandham ωmax

r - Stability3B.f ∆ %

0.01 0.64000 0.63200 1.27%0.8 0.35000 0.34000 2.94%1.2 0.21300 0.20500 3.90%

Tabela 6.9 - Autovalores das perturbacoes com taxa de amplificacao temporal maxima

MC αr ωr ωi θ

0.01 0.85700 0.63495 0.09481 0.00.8 0.45850 0.34042 0.04002 41.41.2 0.27600 0.20492 0.02501 60.0

Tabela 6.10 - Autovalores das perturbacoes com taxa de amplificacao espacial maxima

MC ωr αr αi θ

0.01 0.63200 0.85290 −0.12967 0.00.8 0.34000 0.45839 −0.05443 41.41.2 0.20500 0.27653 −0.03421 60.0

Sandham (1990) onde a partir de MC = 0.6 as perturbacoes mais amplificadas sao

tridimensionais.

Atraves da analise da Figura 6.18 percebe-se que emMC = 1.1 a diferenca entre as taxas

de amplificacao bidimensionais tridimensionais e maxima, tendendo a estabilizar apos

esse valor. Interessante notar que justo apos esse valor de Mach convectivo as taxas de

amplificacao bidimensionais nao mais apresentam os dois pontos de maximo descritos

na Subsecao 6.4.1. Fedioun e Lardjane (2005) encontraram modos temporais adicionais

para camadas O2 -H2 a partir deMC = 1.1, enquanto que Sandham (1990) so encontrou

modos espaciais adicionais para MC > 1.9 para camadas monoespecie. As diferencas

percentuais calculadas entre as taxas de amplificacao das perturbacoes bidimensionais

e tridimensionais mais amplificadas foram calculadas para o caso temporal e espacial

sendo apresentadas na Tabela 6.12 e na Tabela 6.13. Para MC > 1.5 os valores de taxa

de amplificacao utilizando perturbacoes tridimensionais nao foram calculados.

6.4.3 Modos de Instabilidade Supersonicos

Apesar de terem sido utilizados variaveis de precisao dupla, nao foi possıvel gerar dados

com o numero de Mach convectivo maior que 1.6. A quantidade de pontos necessaria

132

Tabela 6.11 - Angulos de propagacao das perturbacoes mais amplificadas para a camada N2 - O2 a 300Ke 1 atm de acordo com a relacao proposta por Sandham (1990)

MC 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

θmax 31.0027 41.4096 48.1897 53.1301 56.9443MC 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

θmax 60.0000 62.5136 64.6231 66.4218 67.9757

Tabela 6.12 - Diferenca percentual entre as taxas de amplificacao temporal das perturbacoes bidimensionaise tridimensionais mais amplificadas para a camada N2 - O2 a 300K e 1 atm

MC 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

% 7.50 26.37 57.42 137.94 271.29MC 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

% 224.21 230.91 238.79 243.81 n.d.

Tabela 6.13 - Diferenca percentual entre as taxas de amplificacao espacial das perturbacoes bidimensionaise tridimensionais mais amplificadas para a camada N2 - O2 a 300K e 1 atm

MC 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

% 7.48 26.49 57.98 138.87 319.39MC 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

% 182.56 184.42 187.27 188.18 n.d.

a integracao comeca a ficar muito grande o que inviabiliza a busca pelos modos de

instabilidade supersonicos. Alem disso, os codigos Stability3A.f e Stability3B.f

nao dispoem de um metodo de busca de autovalores automatico, caso o chute inicial

nao seja bom o bastante, o que dificulta mais a busca por modos adicionais. Alia-se a

esses dois fatores, o problema da reducao das taxas de amplificacao com o aumento do

numero de Mach convectivo o que significa ter de lidar com numeros cada vez menores,

aumentando as dificuldades numericas envolvidas. Entretanto, baseado no que ja foi

publicado no assunto podemos inferir sobre a presenca de tais modos, utilizando-se

da analise do perfil de vorticidade ponderada pela densidade (ρ (dU/dy))(DAY et al.,

1998b). Como colocado por Day et al., o perfil desta grandeza pode ser utilizado para

o estudo da fısica do problema em questao por ser uma maneira de entender os efeitos

associados a compressibilidade. Com o aumento do numero de Mach convectivo o cisal-

hamento na camada tende a aumentar o que resulta no aumento das temperaturas no

interior da camada e diminuicao da densidade como ja foi visto na Secao 6.3. Obser-

vando como o perfil de vorticidade ponderada pela densidade para a camada N2 -O2

a 300K e 1 atm varia com o aumento do numero de Mach convectivo na Figura 6.19,

133

(a)

(b)

Figura 6.18 - Taxa de amplificacao maxima das perturbacoes mais amplificadas na camada N2 - O2 emfuncao de MC : a) Temporal b) Espacial

percebe-se que a partir de MC = 1.8 a diminuicao de densidade e tao grande que

comeca a ocorrer um achatamento no topo da curva. Para MC = 3.0 uma grande reen-

trancia aparece na mesma. Essa alteracao sugere a existencia de modos de instabilidade

adicionais como mencionado por Day et al. (1998b). Apesar de nao estar explıcito no

presente trabalho, o aumento de temperatura e a diminuicao de densidade resultam no

aparecimento de pontos de inflexao na derivada do perfil de vorticidade ponderada pela

densidade. Tais pontos de inflexao podem ser interpretados como os modos adicionais

134

Figura 6.19 - Variacao do perfil de vorticidade ponderada pela densidade para camada N2 - O2 a 300K e1 atm com βU = 0.5, diferentes numeros de Mach convectivo

(SHIN; FERZIGER, 1991). E importante notar tambem que Sandham (1990) encontrou

modos de instabilidade supersonicos, justamente para MC > 1.8. Portanto, podemos

intuir que a partir de MC > 1.8, existe a possibilidade de serem encontrados modos

supersonicos de estabilidade para a camada N2 -O2 estudada.

6.4.4 Estrutura das Autofuncoes do Escoamento

Diversos autores, dentre eles Sandham (1990), Sandham e Reynolds (1991) e Fedioun

e Lardjane (2005), utilizaram as autofuncoes obtidas atraves da analise de estabilidade

linear como condicoes de contorno iniciais para simulacoes numericas diretas. Entre-

tanto, tais autofuncoes nos permitem observar algumas caracterısticas importantes da

fısica do escoamento em estudo como colocado por Sandham (1990).

As autofuncoes do escoamento foram geradas para camada N2 -O2 a temperatura con-

stante de 300K e pressao de 1 atm, com MC igual a 0.01, 0.8 e 1.2. Sao apresentadas as

autofuncoes dos modos mais amplificados encontrados podendo ser bidimensionais ou

tridimensionais. Tais autofuncoes foram normalizadas pelo valor de u em y/δω = 0 para

cada caso. Os autovalores das perturbacoes mais amplificadas, assim como seus angulos

de perturbacao nas analises temporal e espacial, estao apresentados na Tabela 6.9 e na

Tabela 6.10 respectivamente.

A autofuncao u e mostrada na Figura 6.20 e na Figura 6.21 para o caso temporal

135

e espacial respectivamente. Observa-se que tanto no caso temporal quanto espacial o

aumento do numero de Mach convectivo resulta em uma diminuicao da magnitude

da autofuncao fora da regiao mais interna da camada, resultando em uma aparencia

menos dispersa o que parece estar relacionado com o aumento do cisalhamento no

interior da camada. Observa-se tambem que com o aumento de MC a parte imaginaria

da autofuncao sofre uma alteracao bastante significativa na camada rapida.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.20 - Autofuncao temporal u na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

Para a autofuncao v, observa-se que tanto no caso temporal quanto espacial o aumento

136

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.21 - Autofuncao espacial u na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

do numero de Mach convectivo resulta em uma reducao da magnitude da autofuncao

em toda a camada. Observa-se tambem que com a diminuicao de MC a autofuncao

temporal v apresenta um aumento de magnitude do lado rapido da camada, enquanto

que no caso espacial a sua magnitude e praticamente simetrica. A parte imaginaria da

autofuncao v nao sofre nenhuma alteracao qualitativa. A autofuncao v e mostrada na

Figura 6.22 e na Figura 6.23 para o caso temporal e espacial respectivamente.

No caso da autofuncao w, observa-se que tal autofuncao nao e apresentada para

MC = 0.01 pois as perturbacoes mais amplificadas sao bidimensionais nesse caso. Mas

137

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.22 - Autofuncao temporal v na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

para MC = 0.8 e MC = 1.2 tanto no caso temporal quanto espacial, o aumento do

numero de Mach convectivo resulta em uma reducao da magnitude da autofuncao em

toda a camada sendo que sua magnitude cai de aproximadamente 50% para 35% da

magnitude de u. A parte imaginaria da autofuncao w tambem nao sofre nenhuma al-

teracao qualitativa. A autofuncao w e mostrada na Figura 6.24 e na Figura 6.25 para

o caso temporal e espacial respectivamente.

138

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.23 - Autofuncao espacial v na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

139

(a) (b)

(c)

Figura 6.24 - Autofuncao temporal w na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.8 b)MC = 1.2 c) Comparacao da magnitude

140

(a) (b)

(c)

Figura 6.25 - Autofuncao espacial w na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.8 b)MC = 1.2 c) Comparacao da magnitude

A autofuncao p apresenta um comportamento curioso em relacao as outras autofuncoes.

Tanto no caso temporal quanto no espacial, o aumento do numero de Mach convectivo

resulta em uma aumento da magnitude da autofuncao de MC = 0.01 ate MC = 0.8

sendo que para MC = 1.2 sua magnitude diminui. Ou seja, a sua importancia no

escoamento em questao aumenta ate deteminado ponto e depois passa a diminuir. A

parte imaginaria da autofuncao p se torna cada vez mais plana com o aumento de MC .

A autofuncao p e mostrada na Figura 6.26 e na Figura 6.27 para o caso temporal e

espacial respectivamente.

141

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.26 - Autofuncao temporal p na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

Como colocado por Sandham (1990), um dos principais efeitos da compressibilidade

no comportamento das autofuncoes e o aumento da magnitude das autofuncoes T e

ρ em relacao a autofuncao u. Ambas apresentaram comportamento parecido com o

apresentado por Sandham (1990), sendo que em relacao a y/δω = 0 sao ligeiramente

assimetricas. Tal fato e provavelmente um efeito da diferenca de gases entre as camadas,

ja que Sandham (1990) utilizou o mesmo gas em suas analises.

A autofuncao T para o caso temporal e espacial e mostrada na Figura 6.28 e na

Figura 6.29 respectivamente. Percebe-se que tanto no caso espacial quanto no temporal

142

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.27 - Autofuncao temporal p na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

o aumento de MC representa aumento de magnitude da autofuncao. A autofuncao T

espacial possui um maior pico de temperatura do lado lento da camada, enquanto que

para o caso temporal os dois picos sao mais simetricos, mas tambem sao pouco maiores

na camada lenta. Observando-se a Figura 6.12 a) percebe-se tambem que o pico de

temperatura e ligeiramente deslocado para o lado lento da camada, o que provavel-

mente resulta nessa assimetria da autofuncao. Em MC = 0.01 a parte imaginaria de T

sofre uma inversao completa no meio da camada, sendo que com o aumento de MC a

situacao se altera para duas oscilacoes praticamente simetricas.

143

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.28 - Autofuncao temporal T na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

No caso temporal e espacial a autofuncao ρ aumenta sua magnitude comMC , formando-

se um pico do lado rapido e outro do lado lento da camada. Em ambos os casos, o pico

e maior do lado lento da camada, sendo que no caso espacial e maior ainda. Olhando-se

a Figura 6.12 b) percebe-se que a densidade do lado do O2 e maior, o que explica a

razao de aparecer um pico maior do lado lento da camada N2 -O2. Como a densidade

cai no cento da camada com o aumento de MC , a autofuncao ρ apresenta um vale para

y/δω = 0. A parte imaginaria de ρ apresenta comportamento analogo ao da autofuncao

T . A autofuncao ρ para o caso temporal e espacial e mostrada na Figura 6.30 e na

144

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.29 - Autofuncao espacial T na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

Figura 6.31 respectivamente.

A autofuncao Y1 e bastante comportada e apresenta uma diminuicao de magnitude

com o aumento do numero de Mach convectivo, para os casos temporal e espacial

como mostrado por Planche (1993). O unico pico formado e ligeiramente deslocado

para a camada lenta sendo que sua parte imaginaria apresenta inversao em y/δω = 0.

A autofuncao Y1 para o caso temporal e espacial e mostrada na Figura 6.32 e na

Figura 6.33 respectivamente.

145

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.30 - Autofuncao temporal ρ na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

146

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.31 - Autofuncao espacial ρ na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

147

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.32 - Autofuncao temporal Y1 na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01b) MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

148

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.33 - Autofuncao espacial Y1 na camada N2 - O2 para diferentes valores de MC : a) MC = 0.01 b)MC = 0.8 c) MC = 1.2 d) Comparacao da magnitude

149

7 CONCLUSOES

A analise de estabilidade linear e uma tecnica que tem se mostrado util a compreensao

de problemas complexos da mecanica dos fluidos. No presente trabalho, esta foi apli-

cada ao estudo do problema da camada de mistura laminar compressıvel binaria, onde

foi possıvel identificar algumas tendencias e caracterısticas do escoamento ao variar-se

parametros relevantes ao problema. Foram resolvidas as equacoes de conservacao sim-

ilares para o escoamento da camada de mistura laminar compressıvel binaria e seus

resultados usados nas equacoes de estabilidade lineares aplicaveis para obtencao dos

autovalores e das autofuncoes do problema. O estudo tem aplicacoes no estudo da

combustao supersonica, podendo ser utilizado como referencia para futuros trabalhos

utilizando uma abordagem reativa aliada a formulacao compressıvel binaria ja imple-

mentada.

Foi possıvel criar tres ferramentas para o estudo numerico da camada de mistura lam-

inar binaria compressıvel e sua estabilidade. Com tais ferramentas computacionais

avaliou-se a influencia das variacoes de C, Pr e Le tanto nos perfis das variaveis simi-

lares quanto nas taxas de amplificacao das perturbacoes presentes no escoamento. Tais

avaliacoes mostraram que a utilizacao desses parametros iguais a 1, que e a hipotese

mais utilizada, produz diferencas consideraveis tanto na fısica da camada de mistura,

quanto em suas caracterısticas de estabilidade. Tal influencia ja havia sido percebida

por Shin e Ferziger (1991), mas o assunto nao havia sido muito explorado, nem haviam

dados disponıveis.

As diferencas de utilizarmos um perfil de velocidades dado analiticamente por U(η) =

A tanh(D · η) + B e o perfil calculado pela solucao similar tambem foram exploradas,

concluindo que apesar dos perfis de velocidade para uma camada com mesma razao

de velocidade serem ligeiramente diferentes, produzem taxas de amplificacao espaciais

e temporais bem distintas. Para a condicao estudada da camada N2 -O2 o perfil tan-

gente hiperbolica apresentou taxas de amplificacao bem menores, o que nos leva a crer

que e mais estavel que o laminar base calculado. Sandham (1990) menciona que para

camadas com densidades iguais o perfil tangente hiperbolica pode ser utilizado para

computar os efeitos fundamentais da compressibilidade. Tal fato tambem e verdadeiro

para camadas com densidades diferentes mas as taxas de amplificacao apresentadas sao

bem diferentes.

Foram gerados resultados de taxa de amplificacao temporal e espacial para numeros

de Mach convectivo variando de 0.01 ate 1.6 confirmando a tendencia apresentada por

diversos autores, de reducao das taxas de amplificacao com o aumento de MC . Os

151

autovalores calculados para iniciar as analises de estabilidade tambem foram apresen-

tados podendo ser utilizados para facilitar analises temporais e espaciais para outras

combinacoes de gases.

Analisaram-se as alteracoes que aparecem nas taxas maximas de amplificacao com o

aumento do numero de Mach convectivo confirmando a sua reducao e o aumento da

importancia das ondas oblıquas a partir de MC = 0.6 para a camada N2 -O2. Tal fato

mostra a importancia de serem consideradas perturbacoes tridimensionais nas analises

de estabilidade da camada de mistura laminar compressıvel binaria.

Nao foram encontrados modos adicionais de instabilidade para numeros de Mach con-

vectivo elevados devido as dificuldades envolvidas no processo de calculo utilizado para

a busca dos autovalores. Mas foram apresentadas evidencias da possıvel presenca de

tais modos utilizando-se a analise do perfil de vorticidade ponderada pela densidade,

tecnica que tambem foi utilizada por Day et al. (1998b).

As autofuncoes temporais e espaciais do escoamento em estudo, foram apresentadas

e analisadas. O efeito mais notavel do aumento da compressibilidade e o aumento da

magnitude das autofuncoes T e ρ, fato este ja mencionado por Sandham (SANDHAM,

1990). O fato da autofuncao p apresentar um aumento de sua magnitude de MC = 0.01

ate MC = 0.8 sendo que para MC = 1.2 apresenta diminuicao, tambem e interessante.

Possivelmente, ocorre devido a alguma mudanca de padrao dos modos presentes no

escoamento na faixa de MC = 0.8 a MC = 1.2.

Em virtude do apresentado comentam-se alguns pontos relevantes. Ainda hoje, o prob-

lema da camada de mistura possui questoes importantes passıveis de estudo, como e

o problema da terceira condicao de contorno. Ao acrescentarmos os efeitos de com-

pressibilidade e utilizarmos gases distintos, a analise do problema se torna ainda mais

complexa com diversas questoes ainda por resolver, como por exemplo a importancia

e influencia dos modos adicionais que aparecem sob determinadas condicoes de com-

pressibilidade. Devido a enormidade de variaveis para serem analisadas, o trabalho por

hora apresentado representa apenas os primeiros passos, pois para caracterizar com-

pletamente o comportamento da camada de mistura laminar compressıvel binaria e

necessario avaliar outros aspectos como as diferentes razoes de velocidade, temperatura

e densidade. Tais aspectos nao foram avaliados a fundo no presente estudo. Sugere-se

entao outras avaliacoes dos efeitos desses parametros na estabilidade da camada de

mistura compressıvel binaria, antes de proceder a analise da camada de mistura lam-

inar compressıvel e reativa. As ferramentas desenvolvidas se mostraram satisfatorias

para a analise do escoamento da camada de mistura e de suas taxas de amplificacao e

152

autofuncoes, mas precisam de melhorias para busca automatica das taxas mais ampli-

ficadas de ondas oblıquas. Para a busca dos autovalores podem ser utilizados metodos

mais sofisticados o que torna viavel a procura dos modos adicionais de instabilidade.

153

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161

A DERIVACAO DAS EQUACOES DE CONSERVACAO SIMILARES E

OUTRAS EXPRESSOES PARA CALCULO DA SOLUCAO LAMINAR

A analise de estabilidade hidrodinamica da camada de mistura comeca pela solucao do

escoamento laminar em questao, pois a analise local por modos normais(Subsecao 1.3.1)

precisa do valor laminar das variaveis do escoamento.

A tecnica escolhida para solucionar o escoamento e a busca de solucoes simi-

lares(Subsecao 1.2.2) para as equacoes de conservacao atraves de transformacoes in-

tegrais de coordenadas. A transformacao utilizada para tanto, e a transformacao de

Lees-Dorodnitsyn1(ANDERSON, 2000), dada por:

ξ =

∫ x

0

ρ1U1µ1 dx , (A.1)

η =U1√2 ξ

∫ y

0

ρ dy , (A.2)

onde ξ e a direcao longitudinal no espaco similar em [kg2/m2 · s2], η e adimensional e

a direcao normal no espaco similar, x e a direcao longitudinal no espaco fısico em [m],

y e a direcao normal no espaco fısico em [m], ρ e a densidade da mistura binaria em

[kg/m3], ρ1 e a densidade do gas da camada superior no escoamento livre em [kg/m3],

U1 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para camada superior em [m/s] e

µ1 e a viscosidade do gas da camada superior no escoamento livre em [kg/m · s]. Com

as equacoes A.1 e A.2 acima, transforma-se o espaco fısico, (x, y), em espaco similar,

(ξ, η).

No processo de transformacao de coordenadas, utiliza-se tambem a funcao corrente, ψ,

que para o escoamento compressıvel e dada por:

∂ψ

∂x= −ρ v , (A.3)

∂ψ

∂y= ρ u . (A.4)

1A fim de simplificar a notacao, na derivacao das equacoes de conservacao similares as variaveis como ındice 1 se referem as condicoes do escoamento livre(i.e. borda) da camada superior e as propriedadestermodinamicas, coeficientes de transporte e variaveis do escoamento sem ındice se referem a misturabinaria. Ou seja, sao funcoes de η.

163

Da regra da cadeia do calculo diferencial, tem-se que as derivadas das variaveis depen-

dentes do escoamento sao dadas por:

∂

∂x=

(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂x

), (A.5)

∂

∂y=

(∂

∂ξ

)(∂ξ

∂y

)+

(∂

∂η

)(∂η

∂y

). (A.6)

Lembrando que ξ = ξ(x) somente, temos as derivadas de ξ e η em funcao de x e y

dadas por:

∂ξ

∂x= ρ1U1µ1 , (A.7)

∂ξ

∂y= 0 , (A.8)

∂η

∂y=U1 ρ√

2 ξ. (A.9)

No desenvolvimento das equacoes transformadas ficara claro que o calculo de (∂η/∂x)

e desnecessario, assim como apontado por Anderson (2000). Para o calculo da compo-

nente normal de velocidade v, este termo torna-se necessario. Apesar disso, O calculo

desse termo e mais complexo e nao sera mostrado no presente trabalho sendo apresen-

tada somente a expressao final para o calculo de v. Para uma consulta de como calcular

tal termo, o leitor deve consultar o trabalho de Pruett (1993).

Substituindo as expressoes A.7, A.8 e A.9 nas equacoes A.5 e A.6 tem-se que:

∂

∂x= ρ1U1µ1

(∂

∂ξ

)+

(∂η

∂x

)(∂

∂η

), (A.10)

∂

∂y=U1 ρ√

2 ξ

(∂

∂η

). (A.11)

Nesse ponto definiremos tres variaveis para o escoamento dadas por:

164

∂f

∂η=

u

U1

≡ f ′ , (A.12)

g =h

h1

, (A.13)

s1 = Y1 . (A.14)

Onde f ′ e adimensional e variavel similar para velocidade na direcao x, g e adimensional

e variavel similar para entalpia da mistura binaria e s e adimensional e variavel similar

para fracao massica do gas da camada superior na mistura binaria.

Podemos entao definir as derivadas de u, h e Y1, lembrando que U1 e h1 sao funcoes de

ξ apenas. Tais derivadas sao como se segue:

∂u

∂ξ= f ′

(∂U1

∂ξ

)+ U1

(∂f ′

∂ξ

), (A.15)

∂u

∂η= U1f

′′ , (A.16)

∂h

∂ξ= g

(∂h1

∂ξ

)+ h1

(∂g

∂ξ

), (A.17)

∂h

∂η= h1 g

′ , (A.18)

∂Y1

∂ξ=∂s1

∂ξ, (A.19)

∂Y1

∂η= s′1 . (A.20)

Importante notar que para uma mistura binaria, da Equacao 4.28 temos que:

165

s2 = 1− s1 , (A.21)

assim tem-se:

∂Y2

∂η= −∂Y1

∂η, (A.22)

ou

s′2 = −s′1 . (A.23)

A partir da definicao de f ′, podemos apresentar uma expressao para funcao corrente,

ψ. Aplicando a Equacao A.11 na Equacao A.4 tem-se que:

(∂ψ

∂η

)(U1 ρ√

2 ξ

)= ρ f ′ U1 ,

logo

∂ψ

∂η=

√2 ξ f ′ . (A.24)

Portanto, podemos integrar a Equacao A.24 em relacao a η para obter uma relacao

explıcita para ψ. Logo:

ψ =√

2 ξ f + F(ξ) , (A.25)

onde F(ξ) e uma funcao arbitraria de ξ. Usando a aproximacao de que nao ha fluxo

de massa pela linha de corrente localizada no centro imaginario da camada de mis-

tura(Secao 1.2), ou seja, em η = 0, o valor da funcao corrente sera nulo(ψ(ξ, 0) = 0).

Entretanto, a unica maneira de garantir que ψ seja nulo e fazendo que f(0) = 0 e

F(ξ) = 0. Isso explica porque a terceira condicao de contorno utilizada e v(0) = 0 e

nao alguma das condicoes apresentadas por Ting (1959). Tal condicao corresponde a

f(0) = 0 e calcular uma terceira condicao de contorno, que nao seja esta, implica em

conhecer F(ξ). Logo, a funcao corrente, ψ, e dada por:

166

ψ =√

2 ξ f . (A.26)

Como ja temos a Equacao A.24 para o calculo de (∂ψ/∂η) podemos derivar a

Equacao A.26 para obter a derivada de ψ em funcao de ξ. Assim temos:

∂ψ

∂ξ=

√2 ξ

∂f

∂ξ+

f√2 ξ

. (A.27)

Com essas definicoes preliminares, podemos apresentar as equacoes que serao transfor-

madas. Tais equacoes sao as equacoes de conservacao com as hipoteses apresentadas

na Subsecao 4.4.1. Como apresentado em Anderson (2000), as equacoes basicas sao:

∂ (ρ u)

∂x+∂ (ρ v)

∂y= 0 , (A.28)

ρ u∂u

∂x+ ρ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

∂

∂y

(µ∂u

∂y

), (A.29)

∂p

∂y= 0 , (A.30)

ρ u∂h

∂x+ ρ v

∂h

∂y=

∂

∂y

[ρD12

(h1∂Y1

∂y+ h2

∂Y2

∂y

)]+

+∂

∂y

(κ∂T

∂y

)+ u

∂p

∂x+ µ

(∂u

∂y

)2

, (A.31)

ρ u∂Y1

∂x+ ρ v

∂Y1

∂y=

∂

∂y

(ρD12

∂Y1

∂y

)+ $ , (A.32)

p = ρRT , (A.33)

onde a Equacao A.28 e a equacao da continuidade, a Equacao A.29 e a equacao da

conservacao da quantidade de movimento na direcao x, a Equacao A.30 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao y, a Equacao A.31 e a equacao

167

da conservacao da energia, a Equacao A.32 e a equacao da conservacao das especies

quımicas e a Equacao A.33 e a equacao de estado de gas perfeito. Importante notar

que as equacoes A.28, A.29, A.30, A.31, A.32 e A.33 sao dimensionais.

A.1 Equacao da Continuidade

Tomando a Equacao A.28 e fazendo as substiuicoes correspondentes para funcao cor-

rente, ψ, apresentada nas equacoes A.3 e A.4 temos que:

∂

∂x

(∂ψ

∂y

)=

∂

∂y

(∂ψ

∂x

). (A.34)

A.2 Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento

Substituindo as equacoes A.3 e A.4 na Equacao A.29 temos:

(∂ψ

∂y

)(∂u

∂x

)−

(∂ψ

∂x

)(∂u

∂y

)= − ∂p

∂x+

∂

∂y

(µ∂u

∂y

). (A.35)

Usando as equacoes A.5 e A.6 na Equacao A.35 e assumindo que p = p(ξ), tem-se:

(∂ψ

∂η

)(U1 ρ√

2 ξ

) [(∂u

∂ξ

)ρ1U1µ1 +

(∂u

∂η

)(∂η

∂x

)]−

−(∂u

∂η

)(U1 ρ√

2 ξ

) [(∂ψ

∂ξ

)ρ1U1µ1 +

(∂ψ

∂η

)(∂η

∂x

)]=

= −[ρ1U1µ1

(∂p

∂ξ

)+

= 0︷︸︸︷(∂p

∂η

)(∂η

∂x

) ]+

(U1 ρ√

2 ξ

)∂

∂η

[µ

(U1 ρ√

2 ξ

) (∂u

∂η

)]. (A.36)

Multiplicando a Equacao A.36 por (√

2 ξ/U1 ρ) tem-se:

(∂ψ

∂η

)[(∂u

∂ξ

)ρ1U1µ1 +

(∂u

∂η

)(∂η

∂x

)]−

(∂u

∂η

)[(∂ψ

∂ξ

)ρ1U1µ1 +

(∂ψ

∂η

)(∂η

∂x

)]=

168

= −ρ1µ1

√2 ξ

ρ

(∂p

∂ξ

)+

∂

∂η

[µ

(U1 ρ√

2 ξ

) (∂u

∂η

)], (A.37)

logo,

(∂ψ

∂η

)(∂u

∂ξ

)ρ1U1µ1 +

(∂ψ

∂η

)(∂u

∂η

)(∂η

∂x

)︸︷︷︸

2

−(∂u

∂η

)(∂ψ

∂ξ

)ρ1U1µ1 −

(∂u

∂η

)(∂ψ

∂η

)(∂η

∂x

)︸︷︷︸

4

=

= −ρ1µ1

√2 ξ

ρ

(∂p

∂ξ

)+

∂

∂η

[µ

(U1 ρ√

2 ξ

) (∂u

∂η

)]. (A.38)

Observando-se o 2 e o 4 termos do lado esquerdo da Equacao A.38, percebe-se que

nao foi necessario calcular (∂η/∂x) pois tais termos se cancelam.

Como apontado por Anderson (2000), temos da equacao de Euler para a borda da

parte superior da camada de mistura a seguinte relacao:

∂p = −ρ1 U1 ∂U1 . (A.39)

Derivando a Equacao A.39 em relacao a ξ tem-se:

∂p

∂ξ= −ρ1 U1

∂U1

∂ξ. (A.40)

Nesse ponto podemos substituir na Equacao A.38 as derivadas de u e de ψ em relacao

a ξ e η, dadas pelas equacoes A.15, A.16, A.24 e A.27 resultando:

√2 ξ f ′

[f ′

(∂U1

∂ξ

)+ U1

(∂f ′

∂ξ

)]ρ1U1µ1 − U1f

′′[√

2 ξ∂f

∂ξ+

f√2 ξ

]ρ1U1µ1 =

= −ρ1µ1

√2 ξ

ρ

(∂p

∂ξ

)+

∂

∂η

[µ

(U1 ρ√

2 ξ

)U1f

′′], (A.41)

substituindo a Equacao A.40 na Equacao A.41 e desenvolvendo tem-se

169

√2 ξ (f ′)

2ρ1U1µ1

(∂U1

∂ξ

)+

√2 ξ f ′ U1

(∂f ′

∂ξ

)ρ1U1µ1 − ρ1U

21µ1f

′′√

2 ξ∂f

∂ξ−

− ρ1U21µ1f

′′ f√2 ξ

= ρ1µ1

√2 ξ

ρρ1 U1

∂U1

∂ξ+

∂

∂η

[µ

(U1 ρ√

2 ξ

)U1f

′′]. (A.42)

Multiplicando a Equacao A.42 por (1/√

2 ξ ρ1U21µ1) tem-se:

(f ′)2

U1

(∂U1

∂ξ

)+ f ′

(∂f ′

∂ξ

)− f ′′

∂f

∂ξ− f ′′

f

2 ξ=

ρ1

ρU1

∂U1

∂ξ+

∂

∂η

(ρ µ

ρ1 µ1

f ′′

2 ξ

). (A.43)

Multiplicando a Equacao A.43 por 2 ξ, e sabendo que o parametro de Chapman-

Rubesin, C, e dado por ρ µ/ρ1 µ1 tem-se:

(C f ′′)′ + f ′′ f =2 ξ

U1

[(f ′)

2 − ρ1

ρ

]∂U1

∂ξ+ 2 ξ

(f ′∂f ′

∂ξ− f ′′

∂f

∂ξ

). (A.44)

A Equacao A.44 e a equacao de conservacao da quantidade de movimento similar na

direcao x.

Como apresentado por Anderson (2000), se for assumido que f nao e funcao de ξ e a

Equacao A.44 deixar de ser uma equacao diferencial parcial para se tornar uma equacao

diferencial ordinaria, entao nossa hipotese de independencia de ξ estara correta. Tal

hipotese significa que teremos escoamento paralelo, o que e aproximadamente verdade

para a camada de mistura (TENNEKES; LUMLEY, 1997). Assumindo que f(η) apenas,

podemos perceber que a Equacao A.44 se torna uma equacao diferencial ordinaria sem

dependencia em ξ da forma:

(C f ′′)′ + f ′′ f = 0 , (A.45)

onde assumindo que C e constante temos:

f ′′′ +f f ′′

C= 0 , (A.46)

170

que e identica a Equacao 4.58.

Utilizando-se a Equacao A.11, a equacao da conservacao da quantidade de movimento

na direcao y dada pela Equacao A.30 no espaco similar, se transforma em:

∂p

∂η= 0 . (A.47)

A.3 Equacao de Conservacao da Energia


(∂ψ

∂y

)(∂h

∂x

)−

(∂ψ

∂x

)(∂h

∂y

)=

∂

∂y

(κ∂T

∂y

)+ u

∂p

∂x+

+ µ

(∂u

∂y

)2

+∂

∂y

[ρD12

(h1∂Y1

∂y+ h2

∂Y2

∂y

)]. (A.48)

Utilizando as equacoes A.5 e A.6 na Equacao A.48 e assumindo que p = p(ξ), tem-se:

(∂ψ

∂y

)[(∂h

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂h

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

1

−(∂ψ

∂x

)[(∂h

∂η

)(∂η

∂y

)]︸︷︷︸

2

=

=

(∂η

∂y

)∂

∂η

[κ

(∂T

∂η

)(∂η

∂y

)]+ u

[(∂p

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

= 0︷︸︸︷(∂p

∂η

)(∂η

∂x

) ]+

+ µ

[(∂u

∂η

)(∂η

∂y

)]2

+

(∂η

∂y

)∂

∂η

[ρD12

(∂η

∂y

) (h1∂Y1

∂η+ h2

∂Y2

∂η

)]. (A.49)

Devido a extensao do 1 e 2 termos envolvidos na Equacao A.49, analisaremos cada

termo separadamente realizando algumas simplificacoes. Analisando separadamente o

1 termo da Equacao A.49 e aplicando a Equacao A.6 em ψ tem-se:

(∂ψ

∂y

)[(∂h

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂h

∂η

)(∂η

∂x

)],

171

logo

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂h

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)]︸︷︷︸

1

+

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂h

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

2

. (A.50)

O 2 termo da Equacao A.49 com a Equacao A.5 aplicada em ψ fica:

−(∂ψ

∂x

)[(∂h

∂η

)(∂η

∂y

)],

logo

−[(

∂ψ

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)(∂h

∂η

)(∂η

∂y

)]︸︷︷︸

1

−[(

∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂h

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

2

. (A.51)

Pode-se perceber que o 2 termo da Equacao A.50 e o 2 termo da Equacao A.51 se

cancelam. Assim a Equacao A.49 fica:

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂h

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)]−

[(∂ψ

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)(∂h

∂η

)(∂η

∂y

)]=

=

(∂η

∂y

)∂

∂η

[κ

(∂T

∂η

)(∂η

∂y

)]+ u

[(∂p

∂ξ

)(∂ξ

∂x

) ]+

+ µ

[(∂u

∂η

)(∂η

∂y

)]2

+

(∂η

∂y

)∂

∂η

[ρD12

(∂η

∂y

) (h1∂Y1

∂η+ h2

∂Y2

∂η

)]. (A.52)

Substituindo as derivadas da Equacao A.52 pelas equacoes A.7, A.9, A.16, A.17, A.18,

A.20, A.23, A.24, A.27 e A.40 tem-se:

(√2 ξ f ′

)(U1 ρ√

2 ξ

)[g

(∂h1

∂ξ

)+ h1

(∂g

∂ξ

)](ρ1U1µ1)

−

−[(√

2 ξ∂f

∂ξ+

f√2 ξ

)(ρ1U1µ1) (h1 g

′)

(U1 ρ√

2 ξ

)]=

172

=

(U1 ρ√

2 ξ

)∂

∂η

[κ

(∂T

∂η

)(U1 ρ√

2 ξ

)]+ u

[(−ρ1 U1

∂U1

∂ξ

)(ρ1U1µ1)

]+

+ µ

[(U1f

′′)

(U1 ρ√

2 ξ

)]2

+

(U1 ρ√

2 ξ

)∂

∂η

[ρD12

(U1 ρ√

2 ξ

)(h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.53)

Manipulando-se a Equacao A.53:

f ′ U2

1 ρ ρ1µ1

[g

(∂h1

∂ξ

)+ h1

(∂g

∂ξ

)]−

[(√2 ξ

∂f

∂ξ+

f√2 ξ

)ρ1U

21µ1h1 g

′ ρ√2 ξ

]=

=

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ κ

(∂T

∂η

)]−

(U1 f

′ ρ21 µ1 U

21

∂U1

∂ξ

)+

+ µ

(U1f

′′ U1 ρ√2 ξ

)2

+

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.54)

Assim, da Equacao A.54 temos:

U2

1 ρ ρ1 µ1 h1

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)]−

[(g′∂f

∂ξ+f g′

2 ξ

)U2

1 ρ ρ1 µ1 h1

]=

=

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ κ

(∂T

∂η

)]−

(U1 f

′ ρ21 µ1 U

21

∂U1

∂ξ

)+

+ µ

(f ′′U2

1 ρ√2 ξ

)2

+

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

], (A.55)

logo

U21 ρ ρ1 µ1 h1

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)− g′

∂f

∂ξ− f g′

2 ξ

]+

(U1 f

′ ρ21 µ1 U

21

∂U1

∂ξ

)=

173

=

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ κ

(∂T

∂η

)]+ ρ µ (f ′′)

2 U41 ρ

2 ξ+

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

].

(A.56)

Multiplicando a Equacao A.56 por (2 ξ/ρU21 ) tem-se que:

2 ξ ρ1 µ1 h1

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)− g′

∂f

∂ξ− f g′

2 ξ

]+

2 ξ

ρU1 f

′ ρ21 µ1

∂U1

∂ξ=

=∂

∂η

[ρ κ

(∂T

∂η

)]+ ρ µ (f ′′)

2U2

1 +∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.57)

Podemos multiplicar a Equacao A.57 por (1/ρ1 µ1 h1) resultando em:

2 ξ

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)− g′

∂f

∂ξ+ρ1 U1

ρ h1

f ′∂U1

∂ξ

]−f g′ =

1

ρ1 µ1 h1

∂

∂η

[ρ κ

(∂T

∂η

)]+

+ρ µ

ρ1 µ1

U21

h1

(f ′′)2+

1

ρ1 µ1 h1

∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.58)

Rearranjando a Equacao A.58 tem-se:

∂

∂η

[1

ρ1 µ1 h1

ρ κ

(∂T

∂η

)]︸︷︷︸

1

+f g′ +1

ρ1 µ1 h1

∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

]︸︷︷︸

3

=

= 2 ξ

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)− g′

∂f

∂ξ+ρ1 U1

ρ h1

f ′∂U1

∂ξ

]− ρ µ

ρ1 µ1

U21

h1

(f ′′)2. (A.59)

Manipulando-se a parte entre colchetes do 1 termo da Equacao A.59 tem-se:

1

ρ1 µ1

1

h1

ρ κ

(∂T

∂η

)∴

1

ρ1 µ1

1

h1

ρ κµ cpµ cp

(∂T

∂η

)∴

ρ µ

ρ1 µ1

1

h1

κ

µ cpcp

(∂T

∂η

). (A.60)

174

Para um gas termicamente perfeito temos que cp = f(T ). Pela definicao de cp tem-se

que:

cp =∂h

∂T≡

(∂h

∂η

)(∂η

∂T

). (A.61)

Assim, substituindo a Equacao A.18 na Equacao A.61 e manipulando temos:

cp∂T

∂η= g′ h1 . (A.62)

Manipulando-se o 3 termo da Equacao A.59 tem-se

1

ρ1 µ1 h1

∂

∂η

[ρ2 D12 (h1 s

′1 − h2 s

′1)

]∴

1

h1

∂

∂η

[ρ

ρ1 µ1

ρD12 (h1 s′1 − h2 s

′1)

], (A.63)

1

h1

∂

∂η

[ρ µ

ρ1 µ1

ρD12

µ(h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.64)

Utilizando-se da definicao do numero de Prandtl, Pr (Equacao 4.38) e do numero de

Lewis, Le (Equacao 4.45), percebe-se que:

ρD12

µ≡ 1

LePr. (A.65)

Usando a Equacao A.65 e a definicao do parametro de Chapman-Rubesin, C(Equacao 4.46), substituıdas na Equacao A.64 resulta em:

1

h1

∂

∂η

[C

LePr(h1 s

′1 − h2 s

′1)

]. (A.66)

Substituindo a Equacao A.89, junto com a definicao do parametro de Chapman-

Rubesin, e a Equacao A.66 na Equacao A.60, a Equacao A.59 fica:

(CPr

g′)′

+ f g′ +1

h1

[C

LePr(h1 s

′1 − h2 s

′1)

]′=

175

= 2 ξ

[f ′ g

h1

(∂h1

∂ξ

)+ f ′

(∂g

∂ξ

)− g′

∂f

∂ξ+ +

ρ1 U1

ρ h1

f ′∂U1

∂ξ

]− C U

21

h1

(f ′′)2. (A.67)

A Equacao A.67 e a equacao de conservacao da energia similar.

Como apresentado na Secao A.2 para a equacao da conservacao da quantidade de

movimento similar, assumindo que f e g nao sao funcoes de ξ temos:

(CPr

g′)′

+ f g′ = −C U21

h1

(f ′′)2 − 1

h1

[C

LePr(h1 s

′1 − h2 s

′1)

]′, (A.68)

onde assumindo que C, Pr e Le sao constantes temos:

g′′ +Pr

Cf g′ = −Pr U

21

h1

(f ′′)2 − 1

h1 Le(h1 s

′1 − h2 s

′1)′︸︷︷︸

Termode difusao demassa

. (A.69)

Desprezando-se o termo de difusao de massa, tem-se:

g′′ +Pr

Cf g′ + Pr

U21

h1

(f ′′)2

= 0 , (A.70)


A.4 Equacao de Conservacao das Especies Quımicas


(∂ψ

∂y

)(∂Y1

∂x

)−

(∂ψ

∂x

)(∂Y1

∂y

)=

∂

∂y

(ρD12

∂Y1

∂y

)+ $ . (A.71)

Utilizando as equacoes A.5 e A.6 na Equacao A.71 e lembrando que (∂ξ/∂y) = 0

(Equacao A.8), tem-se:

(∂ψ

∂y

)[(∂Y1

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂Y1

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

1

−(∂ψ

∂x

)[(∂Y1

∂η

)(∂η

∂y

)]︸︷︷︸

2

=

176

=

(∂η

∂y

)∂

∂η

[ρD12

(∂η

∂y

)(∂Y1

∂η

)]+ $ . (A.72)

Devido a extensao do 1 e 2 termos envolvidos na Equacao A.72, analisaremos cada

termo separadamente realizando algumas simplificacoes algebricas. Analisando sepa-

radamente o 1 termo da Equacao A.72 e aplicando a Equacao A.6 em ψ tem-se:

(∂ψ

∂y

)[(∂Y1

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)+

(∂Y1

∂η

)(∂η

∂x

)],

logo

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂Y1

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)]︸︷︷︸

1

+

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂Y1

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

2

. (A.73)

O 2 termo da Equacao A.72 com a Equacao A.5 aplicada em ψ fica:

−(∂ψ

∂x

)[(∂Y1

∂η

)(∂η

∂y

)],

logo

−[(

∂ψ

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)(∂Y1

∂η

)(∂η

∂y

)]︸︷︷︸

1

−[(

∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂Y1

∂η

)(∂η

∂x

)]︸︷︷︸

2

. (A.74)

Pode-se perceber que o 2 termo da Equacao A.73 e o 2 termo da Equacao A.74 se

cancelam. Assim a Equacao A.72 fica:

[(∂ψ

∂η

)(∂η

∂y

)(∂Y1

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)]︸︷︷︸

1

−[(

∂ψ

∂ξ

)(∂ξ

∂x

)(∂Y1

∂η

)(∂η

∂y

)]︸︷︷︸

2

=

=

(∂η

∂y

)∂

∂η

[ρD12

(∂η

∂y

) (∂Y1

∂η

)]+ $ . (A.75)

Substituindo as derivadas da Equacao A.75 pelas equacoes A.7, A.9, A.19, A.20, A.24,

177

A.27 tem-se:

[(√2 ξ f ′

)(U1 ρ√

2 ξ

)(∂s1

∂ξ

)(ρ1U1µ1)

]−

[(√2 ξ

∂f

∂ξ+

f√2 ξ

)(ρ1U1µ1)(s

′1)

(U1 ρ√

2 ξ

)]=

=

(U1 ρ√

2 ξ

)∂

∂η

[ρD12

(U1 ρ√

2 ξ

)(s′1)

]+ $ . (A.76)

Manipulando-se a Equacao A.76 temos:

[f ′ U2

1 ρ ρ1 µ1

(∂s1

∂ξ

)]−

[(∂f

∂ξ+

f

2 ξ

)s′1 U

21 ρ ρ1 µ1

]=

(U2

1 ρ

2 ξ

)∂

∂η

(ρ2 D12 s

′1

)+ $ . (A.77)

Multiplicando a Equacao A.77 por (2 ξ/U21 ρ ρ1 µ1) resulta em:

[2 ξ f ′

(∂s1

∂ξ

)]−

[(2 ξ

∂f

∂ξ+ f

)s′1

]=

(1

ρ1 µ1

)∂

∂η

(ρ2 D12 s

′1

)+

2 ξ $

U21 ρ ρ1 µ1

. (A.78)

Manipulando a Equacao A.78 temos:

(1

ρ1 µ1

)∂

∂η

(ρ2 D12 s

′1

)︸︷︷︸

1

+f s′1 = 2 ξ

(f ′∂s1

∂ξ− s′1

∂f

∂ξ

)− 2 ξ $

U21 ρ ρ1 µ1

. (A.79)

O 1 termo da Equacao A.79 pode ser manipulado como:

∂

∂η

(ρ

ρ1 µ1

ρD12 s′1

), (A.80)

∂

∂η

(ρ µ

ρ1 µ1

ρD12

µs′1

). (A.81)

Usando a Equacao A.65 e a definicao do parametro de Chapman-Rubesin, C(Equacao 4.46), na Equacao A.81 e substituindo esta na Equacao A.79 nos da:

178

(C

LePrs′1

)′

+ f s′1 = 2 ξ

(f ′∂s1

∂ξ− s′1

∂f

∂ξ

)− 2 ξ $

U21 ρ ρ1 µ1

. (A.82)

A Equacao A.82 e a equacao de conservacao das especies quımicas similar.

Como apresentado na Secao A.2 e na Secao A.3, assumindo que f e s1 nao sao funcoes

de ξ e que nao ha producao de especies quımicas (i.e. $ = 0) temos:

(C

LePrs′1

)′

+ f s′1 = 0 , (A.83)

onde assumindo que C, Pr e Le sao constantes temos:

s′′1 +LePr

Cf s′1 = 0 , (A.84)


A.5 Outras Expressoes

Apos o calculo do escoamento atraves de solucao similar utilizando-se as equacoes A.34,

A.46, A.47, A.69 e A.84, podemos calcular outras grandezas que serao necessarias a

analise do escoamento da camada de mistura e de sua estabilidade.

A velocidade normal a camada de mistura, v, e calculada pela seguinte expressao

fornecida por Kennedy e Gatski (1994):

v(η) =U1µ1√

2 ξ

(−f ρ1

ρ+ f ′

∫ η

0

ρ1

ρdη

), (A.85)

onde v e a velocidade normal em [m/s], ξ e a direcao longitudinal no espaco similar em

[kg2/m2 ·s2], η e adimensional e a direcao normal no espaco similar, ρ e a densidade da

mistura binaria em [kg/m3], ρ1 e a densidade do gas da camada superior no escoamento

livre em [kg/m3], U1 e a velocidade do escoamento livre na direcao x para camada

superior em [m/s], µ1 e a viscosidade do gas da camada superior no escoamento livre

em [kg/m · s], f e f ′ sao adimensionais. A velocidade normal e util para analisarmos

o deslocamento da borda da camada em relacao ao seu centro imaginario posicionado

em η = 0.

179

No calculo de estabilidade o sistema de coordenada passa do similar, (ξ, η), para o fısico,

(x, y). Portanto as derivadas das variaveis do escoamento u, h, T , ρ e Y1 nao mais sao

calculadas em relacao a η, mas em relacao a y. Ainda no calculo de estabilidade, as

variaveis de escoamento sao adimensionalizadas pelas propriedades de escoamento livre

da camada superior 1 e a escala de comprimento utilizada e a espessura de vorticidade,

δω. Assim, as derivadas das variaveis do escoamento em relacao a y calculadas apos a

solucao similar tem de ser adimensionalizadas para serem usadas.

A derivada da velocidade u em relacao a y e dada por:

∂u

∂y=

(∂u

∂η

)(∂η

∂y

). (A.86)

Das equacoes A.9 e A.16 tem-se que

∂u

∂y= f ′′

U21 ρ√2 ξ

, (A.87)

que adimensionalizada nos da:

∂u?

∂y?=δωU1

f ′′U2

1 ρ√2 ξ

. (A.88)

Para um gas termicamente perfeito temos que cp = f(T ). Pode-se usar a definicao de

cp e a regra da cadeia do calculo diferencial resultando em:

cp =∂h

∂T≡

(∂h

∂y

)(∂y

∂T

). (A.89)

Mas (∂h/∂y) , usando a regra da cadeia, pode ser dada por:

∂h

∂y=

(∂h

∂η

)(∂η

∂y

). (A.90)

Assim, substituindo a Equacao A.9 e a Equacao A.18 na Equacao A.90 temos:

∂h

∂y= h1 g

′ U1 ρ√2 ξ

, (A.91)

180


∂h?

∂y?=δωh1

h1 g′ U1 ρ√

2 ξ. (A.92)

Manipulando a Equacao A.89 temos:

∂T

∂y=

1

cp

∂h

∂y, (A.93)

logo, substituindo a Equacao A.91 temos:

∂T

∂y=h1 g

′

cp

U1 ρ√2 ξ

, (A.94)


∂T ?

∂y?=δωT1

h1 g′

cp

U1 ρ√2 ξ

. (A.95)

Da definicao termodinamica de entalpia (WYLEN et al., 1994), h, temos que:

h = e+p

ρ, (A.96)

que derivando em relacao a T nos da:

∂h

∂T=∂e

∂T+

1

ρ

∂p

∂T− p

ρ2

∂ρ

∂T. (A.97)

Da regra da cadeia e da equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao

y (Equacao A.30) considerando que (∂T/∂x) e desprezıvel temos:

∂h

∂T=∂e

∂T+

1

ρ

∂p

∂y︸︷︷︸= 0

∂y

∂T− p

ρ2

∂ρ

∂T, (A.98)

e aplicando as definicoes de cp = (∂h/∂T ) e cv = (∂e/∂T ) temos:

181

cp − cv = − p

ρ2

∂ρ

∂T. (A.99)

Usando a Equacao 4.20 e a regra da cadeia temos:

R = − p

ρ2

∂ρ

∂y

∂y

∂T, (A.100)

que manipulando resulta em:

∂ρ

∂y= −ρ

2R

p

∂T

∂y. (A.101)

Assim sendo, substituindo a Equacao A.33 e a Equacao A.94 na Equacao A.101 temos:

∂ρ

∂y= −ρ h1 g

′

T cp

U1 ρ√2 ξ

, (A.102)

que adimensionalizando da:

∂ρ

∂y= −δω

ρ1

ρ h1 g′

T cp

U1 ρ√2 ξ

. (A.103)

A derivada da fracao massica Y1 em relacao a y e dada pela regra da cadeia como:

∂Y1

∂y=

(∂Y1

∂η

)(∂η

∂y

). (A.104)

Assim, podemos substituir a Equacao A.9 e a Equacao A.20 na Equacao A.104 resul-

tando em:

∂Y1

∂y= s′1

U1 ρ√2 ξ

. (A.105)

que adimensionalizando e igual a:

∂Y1

∂y=δωY1

s′1U1 ρ√

2 ξ. (A.106)

182

B DERIVACAO DAS EQUACOES PARA ANALISE DE ESTABILIDADE

LINEAR DE CAMADA CISALHANTE COMPRESSIVEL BINARIA

A instabilidade na camada de mistura e primariamente invıscida (MACK, 1984) e as

tensoes viscosas tem um papel estabilizador. Alem disso, como apontado por Ragab e

Wu (1989) a estabilidade invıscida e o caso limite, produzindo taxas de amplificacao

espaciais maiores que as viscosas para uma mesma condicao. Assim sendo, utilizaremos

a teoria de estabilidade linear invıscida em nossos calculos, o que diminui o custo das

analises, mas que possui dificuldades numericas associadas, no caso em que se esta

procurando nao os modos instaveis mas os modos neutros ou os amortecidos (RAGAB;

WU, 1989). Mas como estamos procurando os modos instaveis tais dificuldades sao

contornadas.

Com a hipotese acima, as equacoes basicas do problema sao as chamadas equacoes de

Euler. Essas equacoes foram adimensionalizadas pelo valor das variaveis do escoamento

livre na camada superior como feito por Planche (1993), da seguinte maneira:

u? =u

U1

v? =v

U1

w? =w

U1

ρ? =ρ

ρ1

T ? =T

T1

p? =p

p1

, (B.1)

R? =R

R1

x? =x

δωy? =

y

δωz? =

z

δωt? =

t U1

δω. (B.2)

A fim de simplificar a notacao na derivacao das equacoes de conservacao para as pertur-

bacoes, nao sera utilizado o sımbolo ? para identificar uma variavel adimensionalizada.

Como feito no Apendice A, a ausencia de ındice tambem se refere a mistura binaria.

Assim, as equacoes de conservacao para a analise de estabilidade sao dadas por:

∂ρ

∂t+∂ (ρ u)

∂x+∂ (ρ v)

∂y+∂ (ρw)

∂z= 0 , (B.3)

ρ∂u

∂t+ ρ u

∂u

∂x+ ρ v

∂u

∂y+ ρw

∂u

∂z= − 1

γ1Ma21

∂p

∂x, (B.4)

ρ∂v

∂t+ ρ u

∂v

∂x+ ρ v

∂v

∂y+ ρw

∂v

∂z= − 1

γ1Ma21

∂p

∂y, (B.5)

183

ρ∂w

∂t+ ρ u

∂w

∂x+ ρ v

∂w

∂y+ ρw

∂w

∂z= − 1

γ1Ma21

∂p

∂z, (B.6)

ρ∂T

∂t+ ρ u

∂T

∂x+ ρ v

∂T

∂y+ ρw

∂T

∂z=−p (γ − 1)

R

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

), (B.7)

ρ∂Y1

∂t+ ρ u

∂Y1

∂x+ ρ v

∂Y1

∂y+ ρw

∂Y1

∂z= 0 , (B.8)

p = ρRT , (B.9)

onde a Equacao B.3 e a equacao da continuidade, a Equacao B.4 e a equacao da

conservacao da quantidade de movimento na direcao x, a Equacao B.5 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao y, a Equacao B.6 e a equacao

da conservacao da quantidade de movimento na direcao z, a Equacao B.7 e a equacao

da conservacao da energia, a Equacao B.8 e a equacao da conservacao das especies

quımicas e a Equacao B.9 e a equacao de estado de gas perfeito. Importante frisar que

as equacoes B.3, B.4, B.5, B.6, B.7, B.8 e B.9 sao adimensionais.

Como apresentado na Subsecao 1.3.1, podemos decompor as variaveis dependentes do

escoamento em uma parte laminar mais uma pequena perturbacao. Assim, para a ca-

mada de mistura compressıvel binaria considerando o escoamento localmente paralelo,

sem componente de velocidade laminar nas direcoes y e z, e com pressao uniforme

temos:

u(x, y, z, t) = u(y) + uo(x, y, z, t) , (B.10)

v(x, y, z, t) = vo(x, y, z, t) , (B.11)

w(x, y, z, t) = wo(x, y, z, t) , (B.12)

ρ(x, y, z, t) = ρ(y) + ρo(x, y, z, t) , (B.13)

184

T (x, y, z, t) = T (y) + T o(x, y, z, t) , (B.14)

p(x, y, z, t) = 1 + po(x, y, z, t) , (B.15)

Y1(x, y, z, t) = Y1(y) + Y1o(x, y, z, t) . (B.16)

Propondo-se a solucao na forma de modos normais para as perturbacoes temos que:

uo(x, y, z, t) = <u(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.17)

vo(x, y, z, t) = <v(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.18)

wo(x, y, z, t) = <w(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.19)

ρo(x, y, z, t) = <ρ(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.20)

T o(x, y, z, t) = <T (y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ]

, (B.21)

po(x, y, z, t) = <p(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.22)

Y1o(x, y, z, t) = <

Y1(y) exp [ i (αx+ βz − ωt ) ]

. (B.23)

B.1 Equacao da Continuidade para Analise de Estabilidade Linear

Substituindo as equacoes B.10, B.11, B.12 e B.13, na Equacao B.3 temos:

185

∂ρ

∂t+∂ρo

∂t+

(u+ uo

)(∂ρ∂x

+∂ρo

∂x

)+ vo

(∂ρ

∂y+∂ρo

∂y

)+ wo

(∂ρ

∂z+∂ρo

∂z

)+

+(ρ+ ρo

)(∂u∂x

+∂uo

∂x

)+

(ρ+ ρo

) ∂vo

∂y+

(ρ+ ρo

) ∂wo

∂z= 0 . (B.24)

Lembrando que u = u(y) e ρ = ρ(y), manipula-se a Equacao B.24 resultando em:

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x+ ρ

∂u

∂x︸︷︷︸eq. cons. laminar

+uo∂ρ

∂x+ ρo

∂u

∂x+ wo∂ρ

∂z︸︷︷︸= 0

+

+uo∂ρo

∂x+ vo

∂ρo

∂y+ wo∂ρ

o

∂z+ ρo

∂uo

∂x+ ρo

∂vo

∂y+ ρo

∂wo

∂z︸︷︷︸Termos nao−lineares

+

+∂ρo

∂t+ u

∂ρo

∂x+ vo

∂ρ

∂y+ ρ

∂uo

∂x+ ρ

∂vo

∂y+ ρ

∂wo

∂z= 0 . (B.25)

Reconhecendo que o 1 termo e a equacao da continuidade para o escoamento laminar

e desprezando os termos nao-lineares na Equacao B.25, temos entao:

∂ρo

∂t+ u

∂ρo

∂x+ vo

∂ρ

∂y+ ρ

∂uo

∂x+ ρ

∂vo

∂y+ ρ

∂wo

∂z= 0 , (B.26)

que e a equacao da continuidade para as perturbacoes na analise de estabilidade linear.

Substituindo as equacoes B.17, B.18, B.19 e B.20 em sua forma complexa na

Equacao B.26 temos seus termos dados por:

∂ρo

∂t= −ρ i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.27)

u∂ρo

∂x= ρ i α u exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.28)

vo∂ρ

∂y= v

∂ρ

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.29)

186

ρ∂uo

∂x= u i α ρ exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.30)

ρ∂vo

∂y= ρ

∂v

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.31)

ρ∂wo

∂z= w i β ρ exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.32)

dividindo todos os termos por exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] e manipulando, chegamos a:

ρ i (αu− ω) + vdρ

dy+ ρ

[i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 . (B.33)

que e a equacao da continuidade para analise de estabilidade linear e e identica a

Equacao 4.72.

B.2 Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao x

para Analise de Estabilidade Linear

Substituindo as equacoes B.10, B.11, B.12, B.13 e B.15 na Equacao B.4 temos:

(ρ+ ρo

)(∂u∂t

+∂uo

∂t

)+

(ρ+ ρo

)(u+ uo

)(∂u∂x

+∂uo

∂x

)+

(ρ+ ρo

)vo

(∂u

∂y+∂uo

∂y

)+

+(ρ+ ρo

)wo

(∂u

∂z+∂uo

∂z

)= − 1

γ1Ma21

∂po

∂x. (B.34)

Lembrando que u = u(y), manipula-se a Equacao B.34 resultando em:

ρ∂u

∂t+ ρ u

∂u


+ ρo∂u

∂t+ ρ uo

∂u

∂x+ ρo u

∂u

∂x+ ρo uo

∂u

∂x+ ρ wo ∂u

∂z+ ρowo ∂u

∂z︸︷︷︸=0

+

187

+ ρo∂uo

∂t+ ρ uo

∂uo

∂x+ ρo u

∂uo

∂x+ ρo uo

∂uo

∂x+ ρ vo

∂uo

∂y+ ρo vo

∂u

∂y+ ρo vo

∂uo

∂y+ ρ wo ∂u

o

∂z+ ρowo ∂u

o


+

+ ρ∂uo

∂t+ ρ u

∂uo

∂x+ ρ vo

∂u

∂y= − 1

γ1Ma21

∂po

∂x. (B.35)

Reconhecendo que o 1 termo e a equacao de conservacao da quantidade de movi-

mento na direcao x para o escoamento laminar e desprezando os termos nao-lineares

na Equacao B.35, temos entao:

ρ∂uo

∂t+ ρ u

∂uo

∂x+ ρ vo

∂u

∂y= − 1

γ1Ma21

∂po

∂x, (B.36)

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao x para as

perturbacoes na analise de estabilidade linear.

Substituindo as equacoes B.17, B.18, B.19, B.20 e B.22 em sua forma complexa na


ρ∂uo

∂t= − ρ u i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.37)

ρ u∂uo

∂x= ρ u u i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.38)

ρ vo∂u

∂y= ρ v

∂u

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.39)

− 1

γ1Ma21

∂po

∂x= − 1

γ1Ma21

p i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.40)

Dividindo todos os termos por exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] e manipulando, chegamos a:

ρ

[i (αu− ω) u+ v

du

dy

]= − iαp

γ1Ma21

. (B.41)

188

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao x para analise

de estabilidade linear e e identica a Equacao 4.73.

B.3 Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao y



(ρ+ ρo

)(∂vo∂t

)+

(ρ+ ρo

)(u+ uo

)(∂vo∂x

)+

(ρ+ ρo

)vo

(∂vo

∂y

)+

+(ρ+ ρo

)wo

(∂vo

∂z

)= − 1

γ1Ma21

∂po

∂y. (B.42)

Manipulando-se a Equacao B.42 resulta em:

ρo∂vo

∂t+ ρ uo

∂vo

∂x+ ρo u

∂vo

∂x+ ρo uo

∂vo

∂x+ ρ vo

∂vo

∂y+ ρo vo

∂vo

∂y+ ρ wo ∂v

o

∂z+ ρowo ∂v

o


+

+ ρ∂vo

∂t+ ρ u

∂vo

∂x= − 1

γ1Ma21

∂po

∂y. (B.43)

Desprezando os termos nao-lineares na Equacao B.43, temos entao:

ρ∂vo

∂t+ ρ u

∂vo

∂x= − 1

γ1Ma21

∂po

∂y, (B.44)

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao y para as




ρ∂vo

∂t= − ρ v i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.45)

189

ρ u∂uo

∂x= ρ u v i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.46)

− 1

γ1Ma21

∂po

∂y= − 1

γ1Ma21

∂p

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.47)


ρ i (αu− ω) v = − 1

γ1Ma21

dp

dy(B.48)

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao y para analise


B.4 Equacao de Conservacao da Quantidade de Movimento na direcao z



(ρ+ ρo

)(∂wo

∂t

)+

(ρ+ ρo

)(u+ uo

)(∂wo

∂x

)+

(ρ+ ρo

)vo

(∂wo

∂y

)+

+(ρ+ ρo

)wo

(∂wo

∂z

)= − 1

γ1Ma21

∂po

∂z. (B.49)

Manipulando-se a Equacao B.49 resulta em:

ρo∂wo

∂t+ ρ uo

∂wo

∂x+ ρo u

∂wo

∂x+ ρo uo

∂wo

∂x+ ρ vo

∂wo

∂y+ ρo vo

∂wo

∂y+ ρ wo ∂w

o

∂z+ ρowo ∂w

o


+

+ ρ∂wo

∂t+ ρ u

∂wo

∂x= − 1

γ1Ma21

∂po

∂z. (B.50)

Desprezando os termos nao-lineares na Equacao B.50, temos entao:

190

ρ∂wo

∂t+ ρ u

∂wo

∂x= − 1

γ1Ma21

∂po

∂z, (B.51)

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao z para as




ρ∂wo

∂t= − ρ w i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.52)

ρ u∂wo

∂x= ρ u w i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.53)

− 1

γ1Ma21

∂po

∂z= − 1

γ1Ma21

i β p exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.54)

Dividindo todos os termos por exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] e manipulando, chegamos a

ρ i (αu− ω) w = − iβp

γ1Ma21

, (B.55)

que e a equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao z para analise


B.5 Equacao de Conservacao da Energia para Analise de Estabilidade Lin-

ear

Substituindo as equacoes B.10, B.11, B.12, B.13, B.14 e B.15 na Equacao B.7 temos:

(ρ+ ρo

)(∂T∂t

+∂T o

∂t

)+

(ρ+ ρo

)(u+ uo

)(∂T∂x

+∂T o

∂x

)+

(ρ+ ρo

)vo

(∂T

∂y+∂T o

∂y

)+

+(ρ+ ρo

)wo

(∂T

∂z+∂T o

∂z

)= −

(1 + po

) (γ − 1)

R

(∂u

∂x+∂uo

∂x+∂vo

∂y+∂wo

∂z

). (B.56)

191

Lembrando que u = u(y) e T = T (y), manipula-se a Equacao B.56 resultando em:

ρ∂T

∂t+ ρ u

∂T

∂x+

(γ − 1)

R

∂u


+

+ ρo∂T

∂t+ ρ uo

∂T

∂x+ ρo u

∂T

∂x+ ρo uo

∂T

∂x+ ρ wo ∂T

∂z+ ρowo ∂T

∂z+po (γ − 1)

R

∂u

∂x︸︷︷︸= 0

+

+ ρo∂T o

∂t+ ρ uo

∂T o

∂x+ ρo u

∂T o

∂x+ ρo uo

∂T o

∂x+ ρ vo

∂T o

∂y+ ρo vo

∂T

∂y+ ρo vo

∂T o

∂y︸︷︷︸Termos nao−lineares

+

+ ρ wo ∂To

∂z+ ρowo ∂T

o

∂z+po (γ − 1)

R

∂uo

∂x+po (γ − 1)

R

∂vo

∂y+po (γ − 1)

R

∂wo


+

+ ρ∂T o

∂t+ ρ u

∂T o

∂x+ ρ vo

∂T

∂y= − (γ − 1)

R

∂uo

∂x− (γ − 1)

R

∂vo

∂y− (γ − 1)

R

∂wo

∂z. (B.57)

Reconhecendo que o 1 termo e a equacao de conservacao da energia para o escoamento

laminar e desprezando os termos nao-lineares na Equacao B.57, temos entao:

ρ∂T o

∂t+ ρ u

∂T o

∂x+ ρ vo

∂T

∂y= − (γ − 1)

R

∂uo

∂x− (γ − 1)

R

∂vo

∂y− (γ − 1)

R

∂wo

∂z, (B.58)

que e a equacao de conservacao da energia para as perturbacoes na analise de estabili-

dade linear.

Substituindo as equacoes B.17, B.18, B.19, B.20, B.21 e B.22 em sua forma complexa

na Equacao B.58 temos seus termos dados por:

192

ρ∂T o

∂t= − ρ T i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.59)

ρ u∂T o

∂x= ρ u T i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.60)

ρ vo∂T

∂y= ρ

∂T

∂yv exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.61)

− (γ − 1)

R

∂uo

∂x= − (γ − 1)

Riα u exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.62)

− (γ − 1)

R

∂vo

∂y= − (γ − 1)

R

∂v

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.63)

− (γ − 1)

R

∂wo

∂z= − (γ − 1)

Ri β w exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.64)


ρ

[i (αu− ω) T + v

dT

dy

]= − (γ − 1)

R

[i (αu+ βw) +

dv

dy

]. (B.65)

que e a equacao de conservacao da energia para analise de estabilidade linear e e identica

a Equacao 4.76.

B.6 Equacao de Conservacao das Especies Quımicas para Analise de Es-

tabilidade Linear


(ρ+ ρo

)(∂Y1

∂t+∂Y1

o

∂t

)+

(ρ+ ρo

)(u+ uo

)(∂Y1

∂x+∂Y1

o

∂x

)+

+(ρ+ ρo

)vo

(∂Y1

∂y+∂Y1

o

∂y

)+

(ρ+ ρo

)wo

(∂Y1

∂z+∂Y1

o

∂z

)= 0 . (B.66)

193

Lembrando que Y1 = Y1(y), manipula-se a Equacao B.66 resultando em:

ρ∂Y1

∂t+ ρ u

∂Y1


+ ρo∂Y1

∂t+ ρ uo

∂Y1

∂x+ ρo u

∂Y1

∂x+ ρo uo

∂Y1

∂x+ ρ wo ∂Y1

∂z+ ρowo ∂Y1

∂z︸︷︷︸= 0

+

+ ρo∂Y1

o

∂t+ ρ uo

∂Y1o

∂x+ ρo u

∂Y1o

∂x+ ρo uo

∂Y1o

∂x+ ρ vo

∂Y1o

∂y+ ρo vo

∂Y1

∂y+ ρo vo

∂Y1o

∂y+ ρ wo ∂Y1

o

∂z+ ρowo ∂Y1

o


+

+ ρ∂Y1

o

∂t+ ρ u

∂Y1o

∂x+ ρ vo

∂Y1

∂y= 0 . (B.67)

Reconhecendo que o 1 termo e a equacao de conservacao das especies quımicas para

o escoamento laminar e desprezando os termos nao lineares na Equacao B.67, temos

entao:

ρ∂Y1

o

∂t+ ρ u

∂Y1o

∂x+ ρ vo

∂Y1

∂y= 0 , (B.68)

que e a equacao de conservacao das especies quımicas para as perturbacoes na analise

de estabilidade linear.



ρ∂Y1

o

∂t= − ρ Y1 i ω exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.69)

ρ u∂Y1

o

∂x= ρ u Y1 i α exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.70)

ρ vo∂Y1

∂y= ρ v

∂Y1

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.71)

194


ρ

[i (αu− ω) Y1 + v

dY 1

dy

]= 0 , (B.72)

que e a equacao de conservacao das especies quımicas para analise de estabilidade linear

e e identica a Equacao 4.77.

B.7 Equacao de Estado de Gas para Analise de Estabilidade Linear

Substituindo as equacoes B.13, B.14 e B.15, na Equacao B.9 temos:

1 + po =(ρ+ ρo

)R

(T + T o) . (B.73)

Manipulando-se a Equacao B.73 resultando em:

1 + po = ρ R T︸︷︷︸=1

+ ρoRT o︸︷︷︸Nao−linear

+ρ R T o + ρoRT . (B.74)

Reconhecendo que o 1 termo do lado direito da Equacao B.74 e a equacao de estado

de gas perfeito para o escoamento laminar, e desprezando o termo nao-linear temos:

po = ρ R T o + ρoRT , (B.75)

que e a equacao de estado de gas perfeito para as perturbacoes na analise de estabilidade

linear.

Substituindo as equacoes B.20, B.21 e B.22 em sua forma complexa na Equacao B.75

temos seus termos dados por:

po = p exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.76)

ρ R T o = ρ R T exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.77)

195

ρoRT = ρ R T exp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.78)


p = ρ R T + ρ R T , (B.79)

que e a equacao de estado de gas perfeito para analise de estabilidade linear e e identica

a Equacao 4.78.

B.8 Equacao Condensada para Analise de Estabilidade Linear e Calculo

das Autofuncoes

Ao inves de resolver o sistema acoplado composto pelas equacoes B.33, B.41, B.48,

B.55, B.65, B.72 e B.79, vamos condensa-lo em uma equacao mais simples, assim como

feito por Planche (1993).

Diferenciando a Equacao B.9 em relacao a y temos:

∂p

∂y= RT

∂ρ

∂y+ ρ T

∂R

∂y+ ρR

∂T

∂y. (B.80)

Substituindo as equacoes B.13, B.14 e B.15, na Equacao B.80 temos:

∂po

∂y=

(∂ρ

∂y+∂ρo

∂y

)R

(T + T o) +

(ρ+ ρo

) (T + T o) ∂R

∂y+

(ρ+ ρo

)R

(∂T

∂y+∂T o

∂y

). (B.81)

Manipulando a Equacao B.81 tem-se:

∂po

∂y− R

∂ρ

∂yT o − R

∂ρo

∂yT − ρ T o ∂R

∂y− ρo T

∂R

∂y− ρ R

∂T o

∂y− ρoR

∂T

∂y=

= RT∂ρ

∂y+ ρ T

∂R

∂y+ ρ R

∂T

∂y. (B.82)

Derivando as equacoes B.20, B.21 e B.22 na sua forma complexa em relacao a y temos:

196

∂ρo

∂y=∂ρ

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.83)

∂T o

∂y=∂T

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] , (B.84)

∂po

∂y=∂p

∂yexp [ i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.85)

Substituindo as equacoes B.20 e B.21 na sua forma complexa, B.83, B.84 e B.85 na

Equacao B.82 temos:

∂p

∂y− R

∂ρ

∂yT − R

∂ρ

∂yT − ρ T

∂R

∂y− ρ T

∂R

∂y− ρ R

∂T

∂y− ρ R

∂T

∂y=

=

(RT

∂ρ

∂y+ ρ T

∂R

∂y+ ρ R

∂T

∂y

)exp [− i (αx+ βz − ωt ) ] . (B.86)

Derivando a Equacao B.79 em relacao a y temos:

dp

dy− R

dρ

dyT − R

dρ

dyT − ρ T

dR

dy− ρ T

dR

dy− ρ R

dT

dy− ρ R

dT

dy= 0 , (B.87)

que e o lado esquerdo da Equacao B.86. Como exp [− i (αx+ βz − ωt ) ] nao pode ser

igual a 0, concluımos que:

RTdρ

dy+ ρ T

dR

dy+ ρ R

dT

dy= 0 . (B.88)

Multiplicando a equacao da continuidade para analise de estabilidade linear

(Equacao B.33) por T tem-se:

ρ T i (αu− ω) + T vdρ

dy+ ρ T

[i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 , (B.89)

197

e somando com a equacao de conservacao da energia para analise de estabilidade linear

(Equacao B.65) temos:

(ρ T + ρ T

)i (αu− ω) + v

(Tdρ

dy+ ρ

dT

dy

)+

+

[ρ T +

(γ − 1)

R

][i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 . (B.90)

Multiplicando a Equacao B.90 por R temos:

(ρ R T + ρ R T

)i (αu− ω) + v

(RT

dρ

dy+R ρ

dT

dy

)+

+[ρ R T + (γ − 1)

][i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 . (B.91)

Substituindo a Equacao B.79 manipulada e a Equacao B.88 manipulada com (dR/dy) =

0, e reconhecendo que ρ R T = 1, pois e a equacao de estado de gas perfeito laminar,

temos:

p i (αu− ω) + γ

[i (αu+ βw) +

dv

dy

]= 0 . (B.92)

Da equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao x para analise de

estabilidade linear (Equacao B.41), temos que a autofuncao u e dada por:

u = − αp

γ1Ma21 ρ (αu− ω)

− v

i (αu− ω)

du

dy. (B.93)

Da equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao z para analise de

estabilidade linear (Equacao B.55), temos que a autofuncao w e dada por:

w = − βp

γ1Ma21 ρ (αu− ω)

. (B.94)

Substituindo as equacoes B.93 e B.94 na Equacao B.92 e manipulando temos:

198

(αu− ω)dv

dy− α v

du

dy=

iα2p

γ1Ma21

[α2 + β2

ρ α2−Ma2

1

γ1

γ

(αu− ω)2

α2

]. (B.95)

Chamando a parte entre colchetes de G, temos:

(αu− ω)dv

dy− α v

du

dy=

iα2Gp

γ1Ma21

. (B.96)

Utilizando a transformacao de variaveis proposta por Gropengiesser (1970), que definiu

a funcao χ como:

χ =iαp

γ1Ma21 v

, (B.97)

e derivando χ em relacao a y temos:

dχ

dy=

i α

v γ1Ma21

dp

dy− i α p

v2 γ1Ma21

dv

dy. (B.98)

Da equacao de conservacao da quantidade de movimento na direcao y para analise de

estabilidade linear (Equacao B.48), manipulada e multiplicada por α temos:

ρ α (αu− ω) =i α

v γ1Ma21

dp

dy. (B.99)

Manipulando-se a Equacao B.96 temos:

(αu− ω)dv

dy= α v

du

dy+ αG v

iα p

v γ1Ma21

. (B.100)

Assim,

dv

dy=

[α v (du/dy) + αG v χ]

(αu− ω). (B.101)

Substituindo as equacoes B.99 e B.101 na Equacao B.98 temos o sistema composto

pelas equacoes B.33, B.41, B.48, B.55, B.65, B.72 e B.79, condensado em uma unica

199

equacao dada por:

dχ

dy=α2 (u− ω/α)

RT− χ

[χG+ (du/dy)

(u− ω/α)

]. (B.102)

200

C COMPARACAO DOS METODOS DE CALCULO DOS COEFI-

CIENTES DE TRANSPORTE - VISCOSIDADE E CONDUTIVIDADE

TERMICA

Existem muitas maneiras diferentes de calcular os coeficientes de transporte ou coefi-

cientes de difusao. Reid et al. (1977) apresenta diversas teorias a respeito de cada coe-

ficiente. Apresentaremos aqui apenas as mais utilizadas, pois os autores das referencias

consultadas (Capıtulo 3) nao apresentam as diferencas entre os metodos disponıveis,

na maioria das vezes nao explicitam qual o modelo utilizado e ainda, se tal escolha e

capaz de alterar os resultados das analises. Apresentaremos uma tentativa de resposta

as duas primeiras questoes ja que a resposta da ultima e uma consequencia, alem do

que na Secao 4.1 ja sao apresentados alguns argumentos da importancia do assunto no

problema estudado.

Iniciaremos pelo princıpio dos estados correspondentes (REID et al., 1977), onde uma

propriedade adimensionalizada pelo seu valor no ponto crıtico, ou propriedade re-

duzida1, e funcao da pressao, pc, e da temperatura, Tc, no ponto crıtico. Esse princıpio

e apresentado graficamente na Figura C.1 (a) para a viscosidade e na Figura C.1 (b)

para a condutividade termica.

Para o calculo da viscosidade e da condutividade termica, precisamos saber se na faixa

onde iremos calcular tais propriedades, o gas esta no limite de densidade baixa ou se e

um gas denso. No problema da camada de mistura, aqui considerado, podemos estimar

uma faixa util de estudo de 1 atm ate 10 atm para pressao, e de 200K ate 5000K

para temperatura.2 Calculando as pressoes e as temperaturas reduzidas para os gases

incluıdos no programa Coupled1.f (Subsecao 5.1.1), para as faixas de interesse temos

Tabela C.1 - Variacao da pressao e temperatura reduzida para faixa de estudo

Gas Tc [K] pc [atm] Trmin[K] prmin

[atm] Trmax [K] prmax [atm]

Ar 150.80 48.10 1.326 0.021 33.156 0.208H2 33.20 12.80 6.024 0.078 150.602 0.781He 5.19 2.24 38.536 0.446 963.391 4.464N2 126.20 33.50 1.585 0.030 39.620 0.299Ne 44.40 27.20 4.505 0.037 112.613 0.368O2 154.60 49.80 1.294 0.020 32.342 0.201

1Propriedades reduzidas sao obtidas dividindo-se o valor no estado correspondente, pelo valor dapropriedade no ponto crıtico (REID et al., 1977)

2As faixas foram escolhidas porque existem dados experimentais para camada de mistura nessafaixa (BROWN; ROSHKO, 1974) e tambem para possibilitar a inclusao de combustao posteriormente.

201

(a) (b)

Figura C.1 - Propriedade reduzida em funcao da pressao e da temperatura reduzida: a) Viscosidade b)Condutividade termica

Fonte: Adaptada de White (1974), Reid et al. (1977)

o que atraves da analise conjunta com a Figura C.1, nos mostra que todos os gases

estarao no limite de densidade baixa.

E comum na literatura, assumir que a viscosidade se relaciona com a temperatura

atraves de uma lei de potencias. Shin e Ferziger (1991), Shin e Ferziger (1993), uti-

lizaram a lei de potencias em seu trabalho de analise de estabilidade da camada de

mistura nao so para o calculo da viscosidade e da condutividade termica, mas tambem

da difusividade massica. A lei de potencias da viscosidade e dada por:

µgas = µ0

(T

T0

)nµ

, (C.1)

onde µgas e a viscosidade do gas em [kg/ms], µ0 e a viscosidade de referencia em

[kg/ms], T e a temperatura absoluta em [K], T0 e a temperatura de referencia em [K]

e nµ e o expoente da lei de potencias da viscosidade, que e funcao do gas. Os parametros

202

da lei de potencias da viscosidade, para os gases presentes no programa Coupled1.f

sao apresentados na Tabela C.2.

Tabela C.2 - Parametros de viscosidade para Lei de Potencias e de Sutherland

Gas T0 [K] µ0 [kg/ms] nµ Sµ [K]

Ar 273.11 2.1250E − 05 0.72 144.44H2 273.11 8.4110E − 06 0.68 96.67He n.d. n.d. n.d. n.d.N2 273.11 1.6630E − 05 0.67 106.67Ne n.d. n.d. n.d. n.d.O2 273.11 1.9190E − 05 0.69 138.89

Fonte: Adaptado de White (1974)

Para a condutividade termica, a lei de potencias tem uma forma muito semelhante a

apresentada para a viscosidade. A lei de potencias da condutividade termica e dada

pela Equacao C.2:

κgas = κ0

(T

T0

)nκ

, (C.2)

onde κgas e a condutividade termica do gas em [W/mK], κ0 e a condutividade termica

de referencia em [W/mK], T e a temperatura absoluta em [K], T0 e a temperatura de

referencia em [K] e nκ e o expoente da lei de potencias da condutividade termica, que

e funcao do gas. Os parametros da lei de potencias da condutividade termica, para os

gases presentes no programa Coupled1.f sao apresentados na Tabela C.3.

E importante notar que os expoentes, para um mesmo gas, sao distintos no calculo de

viscosidade e de condutividade termica, como podemos perceber pela Tabela C.2 e pela

Tabela C.3.

Outra aproximacao utilizada na literatura (HATORI; FILHO, ; ANDERSON, 2000) para

o calculo da viscosidade e da condutividade termica e a lei de Sutherland, derivada da

teoria cinetica dos gases. A forma da Lei de Sutherland para a viscosidade e dada por:

µgas = µ0

(T

T0

) 32

(T0 + Sµ

T + Sµ

), (C.3)

203

Tabela C.3 - Parametros de condutividade termica para Lei de Potencias e de Sutherland

Gas T0 [K] κ0 [W/mK] nκ Sκ [K]

Ar 273.11 1.6345E − 02 0.73 150.00H2 273.11 1.6269E − 01 0.85 166.67He n.d. n.d. n.d. n.d.N2 273.11 2.4230E − 02 0.76 166.67Ne n.d. n.d. n.d. n.d.O2 273.11 2.4559E − 02 0.86 222.22

Fonte: Adaptado de White (1974)

onde µgas e a viscosidade do gas em [kg/ms], µ0 e a viscosidade de referencia em

[kg/ms], T e a temperatura absoluta em [K], T0 e a temperatura de referencia em

[K] e Sµ e a constante de Sutherland da viscosidade em [K], que e funcao do gas. Os

parametros da lei de Sutherland da viscosidade, para os gases presentes no programa

Coupled1.f sao apresentados na Tabela C.2.

Assim como a lei de potencias, a lei de Sutherland da condutividade termica tambem

possui forma semelhante a da viscosidade. A lei de Sutherland da condutividade termica

e dada pela Equacao C.4:

κgas = κ0

(T

T0

) 32

(T0 + Sκ

T + Sκ

), (C.4)

onde κgas e a condutividade termica do gas em [W/mK], κ0 e a condutividade termica

de referencia em [W/mK], T e a temperatura absoluta em [K], T0 e a temperatura de

referencia em [K] e Sκ e a constante de Sutherland da condutividade termica em [K],

que tambem e funcao do gas como no caso da viscosidade.

Na falta de dados para utilizar a lei de potencias ou a lei de Sutherland, tambem pode-se

recorrer a teoria de Chapman-Enskog derivada da teoria cinetica dos gases (KENNARD,

1938; PRESENT, 1958), mas nao a apresentaremos aqui. Svehla (1995) apresenta em

seu trabalho uma extensa base de dados, que e uma compilacao de dados de medicoes

experimentais combinado com o uso da teoria de Chapman-Enskog. Seus dados sao

utilizados no programa CEA3 da NASA e as equacoes utilizadas nos calculos sao a

3Trata-se de uma evolucao do programa descrito no relatorio NASA SP-273 (GORDON; MCBRIDE,1971). Para uma visita a historia do CEA, recomenda-se visitar a pagina do NASA Glenn Research

204

Equacao 4.3, para a viscosidade e a Equacao 4.7, para a condutividade termica, ja

apresentadas na Subsecao 4.1.3 e na Subsecao 4.1.4 respectivamente.

Utilizando-se a lei de potencias, a lei de Sutherland e os polinomios de Svehla (1995)

podemos calcular a viscosidade e a condutividade termica para a faixa de temperatura

de 200K ate 5000K, para os gases incluıdos no programa Coupled1.f. Nas figuras

C.2, C.3, C.4, C.5, C.6 e C.7 sao apresentados os resultados desses calculos4. Pode-se

perceber atraves da analise dos resultados, que o tres metodos produzem resultados

bem proximos entre si ate 1000K para o argonio, Ar, hidrogenio, H2, e nitrogenio,

N2, tanto para a viscosidade quanto para a condutividade termica, sendo que para o

oxigenio, O2, a lei de potencias produz diferencas maiores na condutividade termica. A

partir de 1000K a lei de Sutherland comeca a divergir bastante da lei de potencias e

dos polinomios de Svehla (1995) o que levanta duvidas sobre sua aplicabilidade a partir

dessa temperatura. Curioso, que para a viscosidade do oxigenio a lei de potencias e os

polinomios de Svehla (1995) produzem resultados cuja diferenca nao ultrapassa 5% em

toda faixa de temperatura estudada. Para temperaturas elevadas a lei de potencias e os

polinomios de Svehla (1995) produzem as menores diferencas entre si, sendo portanto

mais indicados para o uso. Os polinomios de Svehla (1995) tem a seu favor o fato de

serem utilizados em aplicacoes conhecidas e de renome na comunidade de combustao

e de propulsao, como o programa CEA da NASA, alem da extensa base de dados

com formato conhecido, o que facilita a inclusao de novas especies nos codigos aqui

desenvolvidos, pelo fato do formato utilizado nas tabelas ser o mesmo. Portanto, no

presente estudo foram escolhidos os polinomios de Svehla (1995) para o calculo das

propriedades de transporte, viscosidade e condutividade termica.

Center na internet http://www.grc.nasa.gov/WWW/CEAWeb/ceaHistory.htm4Para o Helio, He, e para o Neonio, Ne, os calculos so foram feitos pelos polinomios de Svehla (1995)

, pois como mostram as tabelas C.2 e C.3, os dados para o uso da lei de potencias e de Sutherlandnao estavam disponıveis para esses gases.

205

http://www.grc.nasa.gov/WWW/CEAWeb/ceaHistory.htm

(a)

(b)

Figura C.2 - Propriedades de transporte do Argonio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Condu-tividade termica

206

(a)

(b)

Figura C.3 - Propriedades de transporte do Hidrogenio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Con-dutividade termica

207

(a)

(b)

Figura C.4 - Propriedades de transporte do Helio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Condutivi-dade termica

208

(a)

(b)

Figura C.5 - Propriedades de transporte do Nitrogenio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Con-dutividade termica

209

(a)

(b)

Figura C.6 - Propriedades de transporte do Neonio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Condu-tividade termica

210

(a)

(b)

Figura C.7 - Propriedades de transporte do Oxigenio em funcao da temperatura: a) Viscosidade b) Con-dutividade termica

211

INDICE

Angulo de propagacao da perturbacao,

44

Coupled1.f, 201

Stability3A.f, 98

Stability3B.f, 99

Amplitude, 95

Analise de estabilidade hidrodinamica,

163

Analise de estabilidade linear, 35, 53

Analise de estabilidade temporal, 102

Analise espacial, 58, 98

Analise local por modos normais, 45, 67,

85

Analise temporal, 98

Aproximacao de camada limite, 42

Aproximacao de Wilke, 70

Autovalor, 95, 98, 99

Autovalores, 98

Barodifusao, 71

Base massica, 74

Calor especıfico a pressao constante, 74

Camada de mistura, 35, 37, 39, 49, 50,

55–59, 63, 68, 74, 76, 78, 79, 97,

179

Camada de mistura de concentracao,

109

Camada de mistura de velocidade, 109

Camada de mistura termica, 109

Camada lenta, 39, 50, 60–62

Camada limite, 55, 81

Camada rapida, 38, 50, 60–62

CEA, 74, 204

Chapman, 72

Coeficientes de difusao, 201

Coeficientes de Transporte, 201

Coeficientes de transporte, 62, 67

Comprimento de onda, 44

Condicao de nao-escorregamento, 39

Condicao de Von Karman, 40

Conducao Termica, 81

Condutividade Termica, 201

Condutividade termica, 78, 201, 205

Constante de Boltzmann, 73

Constante de Sutherland da condutivi-

dade termica, 204

Constante de Sutherland da viscosidade,

204

Coordenadas similares, 39

Crescimento parasıtico, 96

Densidades parciais, 68

Difusao massica, 71

Difusividade de quantidade de movi-

mento, 81

Difusividade massica, 202

Difusividade termica, 81

Efeito de compressibilidade, 79

Efeito Dufour, 71

Efeito Soret, 71

Emparelhamento de vortices, 57

Energia de Lennard-Jones, 73

Energia interna, 76

Enskog, 72

Entalpia, 75, 76

Entalpia de formacao, 75

Entalpia sensıvel, 75

Equacao da conservacao da energia, 80,

83

Equacao de Blasius, 39

Equacao de Boltzmann, 72

213

Equacao de conservacao da energia sim-

ilar, 176

Equacao de conservacao da quantidade

de movimento similar, 170

Equacao de conservacao das especies

quımicas similar, 179

Equacao de estado de gas perfeito, 73

Equacao de Euler, 169

Equacao de Falkner-Skan, 57

Equacao de Rayleigh, 47, 56, 58, 102,

119

Equacao de Wassiljewa, 71

Equacao diferencial ordinaria, 170

Equacao diferencial parcial, 170

Equacoes de conservacao similares, 84

Equacoes de Euler, 41, 89, 183

Equacoes de Navier-Stokes, 39, 41

Equacoes elıpticas, 41

Equacoes hiperbolicas, 42

Equacoes rıgidas, 97

Equacoes similares, 87, 88

Espessura de deslocamento, 60

Espessura de quantidade de movimento,

55

Espessura de vorticidade, 57, 81, 180

Estabilidade hidrodinamica, 53, 95

Estabilidade invıscida, 60

Estabilidade marginal, 43

Estado de referencia, 75

Estruturas vorticais discretas, 57

Fase, 95

Flame sheet, 61

Fluidos newtonianos, 69

Forca de campo, 71

Forcas de compressibilidade, 78

Forcas de inercia, 78

FORTRAN, 95

Fracao massica, 63

Frequencia angular, 44, 99

Funcao erro, 100

Gas caloricamente perfeito, 74

Gas denso, 201

Gas termicamente perfeito, 74, 86, 89,

175, 180

Gradiente maximo do perfil de veloci-

dade, 82

Gradientes de tensoes normais, 86

Grandes escalas vorticais, 61

Grandes estruturas, 38, 50, 59–61, 79

Hyper-X, 36

Instabilidade, 43, 51

Instabilidade de Kelvin-Helmholtz, 35,

49, 50, 62

Lei de potencias, 202, 205

Lei de Sutherland, 203, 205

Lei do cisalhamento de Newton, 69

Limite de densidade baixa, 201

Locus, 43

Metodo da secante, 97, 99

Metodo de expansoes assintoticas, 62

Metodo de Newton-Raphson, 96, 97, 99

Metodo de Rosenbrock, 97

Metodo de Runge-Kutta, 97, 99

Metodos de perturbacao, 55

Modulo da taxa de amplificacao espacial

maxima, 63

Modulo da taxa de amplificacao espacial

maxima incompressıvel, 63

Mach convectivo transonico, 121

Mason, 71

Modelo de Amagat, 68

214

Modelo de Sutherland da teoria cinetica,

70

Modelo isentropico, 80

Modificacao de Mason e Saxena, 71

Modo central, 62

Modo lento, 60

Modo rapido, 60

Modos de instabilidade supersonicos, 56

Modos externos, 50, 62

Numero de Lewis, 53, 63, 83, 108–110,

112, 175

numero de Lewis, 109

Numero de Lewis da mistura binaria, 83

Numero de Mach, 55, 57, 58, 60, 78

Numero de Mach convectivo, 42, 53, 58–

61, 63, 64, 79, 80, 98, 101, 118,

119, 127, 132

Numero de onda, 44, 45, 98

Numero de onda do ponto neutro, 111

Numero de Prandtl, 53, 63, 81, 108, 109,

111, 175

Numero de Prandtl da mistura binaria,

81

Numero de Reynolds, 57, 81

NASA, 204

odeint.f, 97

Ondas nao-dispersivas, 44

Ondas oblıquas, 53

Parametro de Chapman-Rubesin, 53,

84, 108, 109, 113, 170, 175, 178

Parametro de velocidade, 58, 64

Parametros adimensionais, 67

Perfil de velocidade laminar, 51

Polinomios de Svehla, 205

Pressao, 68

Pressao da mistura, 68

Primeiro coeficiente de viscosidade, 69

Problema de fechamento, 45

Processo de mistura laminar, 50

Propriedade reduzida, 201

Propriedades termodinamicas, 67

Ram pressure, 36

Ramjet, 36

Razao de calores especıficos, 76

Razao de densidade, 63, 64

Razao de equivalencia, 63

Razao de temperatura, 63

Razao de velocidade, 63

Regiao de mistura, 56

Regiao de mistura nao-similar, 41

Regiao de mistura similar, 42

Regiao inicial de mistura, 41

Regra da cadeia, 181

Relacao de dispersao, 50

rk4.f, 99

rkdumb.f, 99

rtsec.f, 97, 99

Saxena, 71

Scramjet, 36, 37

Simulacao numerica direta, 64, 95

Simulacoes numericas diretas, 59, 62

Single stage to orbit, 37

Solucao laminar, 67

Solucao similar, 63, 64, 107

Solucoes laminares, 85

Solucoes similares, 163

Space Shuttle, 36

Stability3B.f, 98

stiff.f, 97

Taxa de amplificacao espacial, 46, 53,

58, 100

215

Taxa de amplificacao temporal, 46, 53,

56, 64, 100, 111

Taxa de crescimento da camada de mis-

tura, 60, 79

Tensao de cisalhamento, 69

Tensor de Reynolds, 45

Teorema de Fjørtoft, 48

Teorema de Squire, 49

Teorema do ponto de inflexao de

Rayleigh, 48

Teoria cinetica dos gases, 203, 204

Teoria da estabilidade hidrodinamica,

43

Teoria de camada limite, 41

Teoria de Chapman-Enskog, 69, 204

Teoria de estabilidade linear, 56, 58, 60,

61

Terceira condicao de contorno, 39, 56,

58, 62, 166

Transformacao de Lees-Dorodnitsyn, 87

Transformacoes integrais, 163

Von Karman, 40

Velocidade de fase, 44, 47, 60

Velocidade do escoamento livre, 100,

101

Velocidade do som, 78

Velocidade no ponto de inflexao, 48

Velocidade normal, 179

Viscosidade, 69–71, 78, 201, 205

Viscosidade de mistura, 69

Viscosidade dinamica, 69

Volumes parciais, 68

Vorticidade ponderada pela densidade,

51, 133

Wilke, 70

X-15, 36

X-33, 37

X-34, 37

X-43, 36

216

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Teses e Dissertações (TDI)

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