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8/6/2019 provascripto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

DEPARTAMENTO DE CINCIA DA COMPUTAOUFRJ

Nmeros inteiros e criptografia

S. C. Coutinho

Provas e gabaritos

At a pgina 25 voc encontrar as provas do curso de lgebra para a informticaque era basicamente uma verso anterior do mesmo curso.

Lembre-se: Nas provas no so aceitas respostas sem justificativa. Voc devesaber explicar tudo o que fizer.

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2 DEPARTAMENTO DE CINCIA DA COMPUTAOUFRJ

Prova 1: segundo semestre de 1995

1a Questo. Determine:

(1) o mximo divisor comum d de a = 272828282 e b = 3242 e inteiros e taisque a + b = d.

(2) um fator de 6883901 pelo algoritmo de Fermat.

(3) um fator primo de 23965157 1.(4) as solues de x2 7 (mod 43).(5) o resto da diviso de 3950! por 2251.

(6) uma seqncia de 5646345 inteiros consecutivos que sejam todos compostos.

2a Questo. Chamamos de hexagonais os nmeros definidos pela frmula hn =

1 + 3n(n 1) para n = 1, 2, . . . . O nome vem do fato de que estes nmeros podemser dispostos em hexgonos regulares concntricos.

(1) Calcule a soma dos n primeiros nmeros hexagonais quando n = 1, 2, 3 , 5,6 e 7. Use estes dados numricos para advinhar a frmula da soma dos nprimeiros nmeros hexagonais.

(2) Prove a frmula obtida no item anterior usando o mtodo de induo finita.


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DCCUFRJ 3



(1) Um fator primo de M(37).(2) Dois inteiros positivos que sejam soluo de (n) = 136.

2a Questo. Verifique se 703 :

(1) um nmero de Carmichael;(2) um pseudoprimo forte para a base 7.(3) um pseudoprimo para a base 7;

3a Questo. Trs satlites passaro sobre o Rio esta noite. O primeiro passar 1

hora da madrugada, o segundo s 4 horas e o terceiro s 8 horas da manh. Cadasatlite tem um perodo diferente. O primeiro leva 13 horas para completar umavolta em torno da Terra, o segundo leva 15 horas e o terceiro 19 horas. Determinequantas horas tero que se passar, a partir da meia-noite, at que os trs satlitespassem ao mesmo tempo sobre o Rio.

4a Questo. Seja G um grupo finito provido de uma operao . Suponha que

um primo p divide a ordem de G e considere o subconjunto Hp de G formado peloelemento neutro e pelos elementos de ordem p contidos em G.

(1) Mostre que se G abeliano ento Hp um subgrupo de G.(2) Determine H3 quando G = U(28).(3) D um exemplo de um grupo no abeliano G para o qual H2 no um sub-

grupo de G.


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Prova Final: segundo semestre de 1995


(1) O resto da diviso de 278654 por 137.

(2) O menor inteiro positivo que deixa resto 2 na diviso por 5, resto 4 na divisopor 7 e resto 5 na diviso por 11.

(3) As solues da equao (n) = 22.

(4) O inverso de 137 mdulo 2887.

(5) Todas as solues da equao 8x 9 (mod 37).(6) Se 825265 um nmero de Carmichael.

2a Questo. O objetivo desta questo mostrar que os grupos U(3n) so sempre

cclicos.

(1) Mostre que 2 um gerador de U(9).

(2) Prove por induo em n que se n 2, ento 23n2 3n1 1 (mod 3n).(3) Mostre, usando (2), que U(3n) gerado por 2.


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DCCUFRJ 5

Prova 1: primeiro semestre de 1996

1. Determine:

(1) Um mltiplo de 330 e um mltiplo de 240 cuja soma seja 210.

(2) Um fator primo de 21067 1.(3) Um fator de 13886959 pelo mtodo de Fermat.

(4) todos os possveis algarismos x e y de modo que o nmero cuja representaona base 10 yx5y seja divisvel por 7.

(5) o resto da diviso de 310342

por 1033.

(6) O maior nmero possvel de fatores primos de um inteiro n que no tem

nenhum fator n1/3

.

2. O objetivo desta questo obter e provar uma frmula para a soma dos cubos dosn primeiros inteiros positivos. Seja, ento,

Sn = 13 + 23 + 33 + + n3.

(1) Tabele os valores de Sn para n de 1 a 6 e compare-os com os valores cor-respondentes para a soma dos n primeiros inteiros positivos. Use isto paraadvinhar qual deve ser a frmula para Sn.

(2) Prove a frmula obtida em (1) por induo finita.


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1. Seja n = 15841.

(1) Verifique se n um nmero de Carmichael.(2) Calcule o resto da diviso de 2495 por n pelo teorema chins do resto.(3) Determine se n um pseudoprimo forte para a base 2.

2. Em seu primeiro contato com um planeta com que a Federao deseja estabelecerrelaes diplomticas, os oficiais da Enterprise foram convidados para um banquete.Infelizmente h um grupo dissidente no planeta que deseja apoiar os Klingons eno a Federao. Um espio desta faco instrudo a envenenar um dos oficiaisda Enterprise. O traidor descoberto, mas foge a tempo. Em seu alojamento encontrada a mensagem codificada 24511830 que contm o nome do oficial envenadoe um pedao de papel com os nmeros 5893 e 3827, usados na codificao. Comoo veneno seu prprio antdoto preciso saber exatamente quem foi envenenado.Trabalhando contra o tempo, Spock verificou que se tratava de um cdigo primitivo,utilizado na terra no sculo XX, quando era conhecido por RSA. Quem foi o oficialenvenenado?

Lembretes: no RSA n > (n) > e. A correspondncia entre letras e nmeros

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

3. Determine os subgrupos de ordem 4 de U(21). Indique quais so cclicos e quaisno so.

4. Seja p

= 2 um nmero primo e n = 10p

1. Seja q > 3 um fator primo de n.

(1) Calcule a ordem de 10 em U(q).(2) Mostre que q tem que ser da forma q = 2pk + 1 onde k 1 um inteiro.(3) Use a frmula de (2) para achar todos os fatores primos de

11111 = (105 1)/9.


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DCCUFRJ 7

Prova Final: primeiro semestre de 1996

1. Determine:.

(1) se 41041 nmero de Carmichael;

(2) o resto da diviso de 241045 por 41041;

(3) um fator primo de 222121 1;(4) um fator de 2234047 pelo algoritmo de Fermat;

(5) o mximo divisor comum entre 200! e 283 1.(6) duas solues da equao (n) = 30.

2. Verifique se cada uma das afirmaes abaixo verdadeira ou falsa. Justifiquecuidadosamente suas respostas.

(1) Se p > 31 primo mpar e n = 2p + 1 satisfaz 5p 1 (mod n) ento n primo.

(2) Existem inteiros x e y tais que x2 7y2 = 3.(3) Se juntarmos aos elementos de ordem 2 de D4 o elemento neutro temos um

subgrupo de D4.

(4) Qualquer que seja n 1 inteiro, o nmero 424n+1 + 32(18n2+1) divisvel por13.


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1. Determine:

(1) Inteiros x e y que satisfaam a equao 12435x + 798y = 3.

(2) A maior potncia de 2 que divide 3p 1, onde p um nmero primo. De quemaneira o resultado depende do primo p?

(3) Um fator de 1341671 pelo mtodo de Fermat.

(4) Infinitos inteiros positivos n1, n2, . . . tais que 8n2i + 1 um nmero composto.

(5) O resto da diviso de 1p1 + 2p1 + + (p 1)p1 por p, sabendo-se apenasque p > 2 primo. Verifique que o resultado que voc obteve se aplica aqualquerprimo p > 2.

2. Considere o produto

An =

1 +

1

1

1 +

1

2

1 +

1

3

1 +1

n

.

Tabele os valores de An para n = 1, . . . , 5. Use estes valores para advinhar umafrmula simples para o produto. Prove que a sua frmula verdadeira para qualquern usando induo finita.


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DCCUFRJ 9



(1) se 2465 um nmero de Carmichael;

(2) o resto da diviso de 277 por 2465, usando o teorema chins do resto;

(3) se 2465 um pseudoprimo forte para a base 2;

(4) duas solues de (n) = 216;

(5) um fator primo de M(179);

(6) a fatorao de 13281841, sabendo-se que tem apenas dois fatores primos distin-tos, cada um dos quais tem multiplicidade 1, e que (13281841) = 13274212.

3. O objetivo desta questo mostrar que se n = pq, onde p e q so primos mparesdistintos, ento U(n) no um grupo cclico.

(1) Mostre que se a um inteiro e mdc(a, n) = 1, ento

a(n)/2 1 (mod p),e que a mesma congruncia vale mdulo q.

(2) Mostre, usando (1), que se mdc(a, n) = 1, ento

a(n)/2 1 (mod n).

(3) Qual a maior ordem possvel de um elemento de U(n)?

(4) Use (3) para mostrar que U(n) no pode ser cclico.


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DCCUFRJ 11


1. Determine:

(1) Inteiros x e y que satisfaam a equao 54317x + 1145y = 2.

(2) O resto da diviso de 2p! 1 por 2p+1 1, sabendo-se que p um nmeroprimo. De que maneira o resto depende de p?


(4) O resto da diviso de 2130 por 263.

(5) Todos os primos positivos p para os quais a equao

2x + xp + xp! 1 (mod p)

tem soluo x 0 (mod p).

2. Seja F(k) = 22k

+ 1 e chame de pk o menor fator primo de F(k).

(1) Mostre por induo em k 1 que F(k) 1 igual ao produto dos nmerosde Fermat F(0), . . . , F (k 1).

(2) use 1. para mostrar, por absurdo, que se k < m, ento pk = pm.


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1. Determine:

(1) se 1541 um nmero de Carmichael;(2) o resto da diviso de 3385 por 1541, usando o teorema chins do resto;(3) se 1541 um pseudoprimo forte para a base 3;(4) se 1541 um pseudoprimo para a base 3;(5) um fator primo de M(1541).

2. Agentes de vrios pases vinham sendo assassinados por um fantico cujo esconde-rijo foi finalmente descoberto pela polcia. Infelizmente o fantico j havia partido em

mais uma misso, de modo que se tornava essencial descobrir quem seria a prximavtima. Apesar de ser um calculista mental prodigioso, o fantico habitava um localermo, sem luz eltrica. Por isso, embora houvesse codificado sua lista de vtimasusando um cdigo identificado como sendo o RSA, havia sido obrigado a usar se-nhas pequenas, tornando o cdigo vulnervel. O cdigo utilizado tinha senha pblican = 20413 e e = 13419, e o nome do agente a ser assassinado havia sido codificadocomo

5282 8435.Decodifique a mensagem e descubra quem seria a prxima vtima.

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

3. O objetivo desta questo mostrar que o grupo U(2k3) no cclico se k 2.(1) Mostre por induo em k, que se b no divisvel por 2, nem por 3, e se k 2,

ento b2k1 1 (mod 2k3).

(2) Determine a ordem de U(2k3) e mostre, usando (1), que este grupo no podeser cclico se k 2.

(3) Mostre que o grupo U(2k3) cclico se k = 0 ou k = 1.


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DCCUFRJ 13


1. Determine:

(1) uma soluo para a equao 3452x + 125y = 6;

(2) os dois fatores primos de 999367 pelo algoritmo de Fermat;

(3) o resto da diviso de 5150154 por 999367 pelo algoritmo chins do resto;

(4) se 46657 um nmero de Carmichael;

(5) dois inteiros positivos que satisfaam (n) = 20;

(6) os subgrupos de ordem 6 de U(28) indicando quais so cclicos e quais noso;

(7) o mximo divisor comum entre 2p1 e (p +1)! sabendo-se que p um nmeroprimo.

2. Mostre por induo em n que

(1 + t)(1 + t2)(1 + t4) . . . (1 + t2n1

) =t2

n 1t 1 .

Explicite cada etapa da induo claramente.


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1. Determine:

(1) Mltiplos de 749 e 418 cuja diferena 13.


(3) O resto da diviso de 3104 por 257

(4) O mximo divisor comum entre p2 p + 1 e (p2)! + 1, sabendo-se que p umprimo positivo. De que modo a resposta depende de p ?

(5) O resto da diviso por 7 de

1 + 22! + 33! + 44! + 55! + 66! + 77! + 88! + 99! + 1010!.

2. Seja Sn a soma

Sn =1

1 3 +1

3 5 +1

5 7 +1

7 9 + +1

(2n 1)(2n + 1) .

(1) Tabele Sn para n = 1, 2, 3, 4 e 5, simplifique as fraes obtidas, e use isto paraadvinhar uma frmula simples para Sn.

(2) Prove sua frmula por induo em n. Indique claramente cada etapa dademonstrao por induo.


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DCCUFRJ 15


1. Determine:

(1) se 4371 um nmero de Carmichael;(2) o resto da diviso de 22185 por 4371, usando o teorema chins do resto;(3) se 4371 um pseudoprimo forte para a base 2;(4) se 4371 um pseudoprimo para a base 2;(5) um fator primo de M(131).(6) as solues da equao (n) = 1365.

2. Um dos maiores gnios

No sculo XXIII, todas as informaes conhecidas sobre a histria da humani-dade foram armazenadas em um enorme computador. Segundo seus idealizadores,este computador deveria ser capaz de fornecer respostas exatas sobre quem foram osmaiores personagens da histria em cada poca: o maior filsofo, o maior matem-tico, e assim por diante. Curiosamente, por causa de algum bug em seu softwareextremamente complexo, o computador desenvolveu um estranho senso de humor.Perguntado sobre quem havia sido o mais esperto personagem do final do sculo XX,respondeu:

n = 11413, e = 7467, 6775 9696.Como o computador se recusava a dar maiores explicaes, foi necessrio consultaras empoeiradas bibliotecas, abandonadas muitos sculos antes. L os historiadores

descobriram que a resposta havia sido criptografada usando um mtodo da poca aque se referia a pergunta, e conhecido como RSA. Quebre a mensagem e descubraqual a resposta dada pelo computador.

3. O objetivo desta questo mostrar que o grupo U(3k) cclico se k 3.

(1) Mostre por induo em k, que se k 3 ento 23k2 = 1 + 3k1q, onde q um inteiro que no divisvel por 3. Explicite cada etapa da induo.

(2) Conclua de (1) que 23k1

e 223k2

no so congruentes a 1 mdulo 3k quandok 3. Use ento o teorema de Euler para mostrar que 2 tem ordem exata-mente 2

3k1 em U(3k), quando k

3.

(3) Explique porque (2) implica que o grupo U(3k) cclico, quando k 3.


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1. Determine:

(1) mltiplos de 3189 e 233 cuja diferena seja 5.

(2) os dois fatores primos de 504467 pelo algoritmo de Fermat.

(3) um fator primo de 2609931 1.(4) se 935 um nmero de Carmichael.

(5) o resto da diviso de 211871 por 935 pelo algoritmo chins do resto.

(6) se a equao (n) = 2q tem soluo, sabendo-se que q > 3 um primo mpare que 22q 5 (mod 2q + 1).

(7) um gerador do grupo U(22).

(8) se a equao x3 + 7y8 = 5 tem solues inteiras.

2. Seja Fn o n-simo nmero de Fibonacci. Isto : F1 = F2 = 1 e Fn+1 = Fn + Fn1.Mostre, por induo em n que

F21 + F22 + + F2n = FnFn+1.

Explicite cada etapa da induo claramente.


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DCCUFRJ 17


1. Determine:

(1) inteiros x e y que sejam soluo da equao 2633x + 418y = 3.

(2) um fator de 15693001 pelo mtodo de Fermat.

(3) o resto da diviso de 742053

por 4201.

(4) um fator primo mpar de 525 1.(5) o resto da diviso de d por 3 sabendo-se que p > 3 e d > 0 so inteiros e que

p, p + d e p + 2d so todos trs primos.

2. Mostre, por induo em n, que 24 divide 52n 1 para todo n 1. Indiqueclaramente cada etapa da demonstrao por induo.


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1. Seja n = 109

163

379.

(1) Verifique se n um nmero de Carmichael.(2) Qual a menor base b > 1 para a qual n no um pseudoprimo para a base b?

Justifique sua resposta cuidadosamente.

2. Este um problema do Aryabhatiya, um tratado indiano do sculo 6 d.C.. Useo algoritmo chins do resto para achar o menor nmero que, se dividido por 8 deixaresto 5, se dividido por 9 deixa resto 4, e se dividido por 7 deixa resto 1.

3. Determine todas as possveis solues da equao (n) = 38.

4. Voc sabe quem o maior jovem gnio cientfico do final do sculo XX? Descubra,decodificando a mensagem

5666 1680 8559que foi codificada usando o RSA, com chave pblica n = 14017 e e = 9187.

5. Seja p > 5 um nmero primo, e suponha que q > 2 um fator primo de n = 5p1.(1) Calcule a ordem de 5 em U(q).(2) Mostre que q = 2kp + 1, para algum inteiro k

1.

(3) Use 2. para calcular mdc(541 1, 200!)mas cuidado com as potncias de 2.

Para decodificar a mensagem da questo 2. use a tabela abaixo:

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35


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DCCUFRJ 19


1. Ache o inverso de 12453 mdulo 331.

2. Ache dois fatores de 74483 pelo algoritmo de Fermat.

3. Calcule o resto da diviso de 319! por 307.

4. Determine os dois primos distintos positivos p e q para os quais pq = 351251 e(pq) = 349272.

5. Determine todos os subgrupos de ordem 4 de U(28), indicando quais so cclicos

e quais no so.

6. Determine o menor primo p para o qual 31 61 p um nmero de Carmichael.

7. Lembre-se que o n-simo termo fn da seqncia de Fibonacci definido porf1 = f2 = 1 e fn = fn1 + fn2. Mostre, por induo finita em n, que

fn =n n

5

onde e so as razes da equao quadrtica x2 x 1 = 0. Indique claramentecada etapa da demonstrao por induo.

Sugesto: No esquea que, como raiz de x2 x 1 = 0, ento 2 = + 1, e queo mesmo vale para .


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(1) Ache o inverso de 125 mdulo 5441.

(2) Ache um fator de 95839 pelo algoritmo de Fermat.(3) Ache um fator primo de 2625 1.(4) Ache o resto da diviso de 2416807 por 233.

(5) Sabe-se que a e b so inteiros positivos que satisfazem a3 b2 = 2. Determineos possveis restos da diviso de a por 3. De que modo estes restos dependemde b?

(6) Considere a recorrncia an = an1 + (n + 1)2n, onde a1 = 4.(a) Calcule an/n para alguns valores pequenos de n, compare o resultado

com os valores de n e advinhe uma frmula para an.

(b) Prove que sua frmula verdadeira para todo n 1 usando induo emn. Indique claramente cada etapa do mtodo de induo.


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DCCUFRJ 21


(1) Seja n = 1905.(a) Verifique se n um nmero de Carmichael.(b) Use o algoritmo chins do resto para calcular o resto da diviso de 71904

por n.(c) Verifique se n um pseudoprimo para a base 7.

(2) Determine, se existir, o primo p para o qual 223 um fator primo de 2p 1.(3) Que famoso matemtico francs do sculo XVII inventou uma mquina me-

cnica de calcular para ajudar o pai na contabilidade de seus negcios? Aresposta est contida na mensagem

6531

4695

113

que foi codificada usando o RSA, com chave pblica n = 8383 e e = 5467.

(4) Seja G um grupo finito e seja n um nmero inteiro positivo. Considere oconjunto Sn = {xn : x G}. Isto , os elementos de Sn so as potnciasn-simas de elementos de G.(a) Mostre que se G abeliano ento Sn um subgrupo de G.(b) Calcule S2 no caso em que G = U(14).(c) D exemplo de um grupo finito no abeliano G para o qual S3 no um

subrgupo.

(5) Determine, se existirem, todas as solues da equao (n) = 26.


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(1) Determine mltiplos de 3850 e 1773 cuja diferena seja 5.

(2) Fatore 64777 usando o algoritmo de Fermat.

(3) Calcule o resto da diviso de 2324179 por 41.

(4) Determine um fator primo de 222823 1.(5) Determine, se existir, um primo p > 5 tal que p + 2 tambm primo e

3 p (p + 2) nmero de Carmichael.(6) Determine os subgrupos no-cclicos de ordem 4 de U(36).

(7) Calcule p e q sabendo-se que so primos distintos, que pq = 6011003 e que(pq) = 6006000.

(8) Considere a afirmao: se n 1, ento 6 divide n3 n.(a) Prove a afirmao por induo em n. Identifique, claramente, cada etapa

do processo de induo.(b) Prove a afirmao usando o algoritmo chins do resto.


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DCCUFRJ 23


(1) Ache mltiplos de 625 e 7947 cuja diferena 4.

(2) Ache dois fatores de 95677 pelo algoritmo de Fermat.

(3) Ache o resto da diviso de 256

por 257.

(4) Sejam a e n inteiros positivos. Determine a e n sabendo-se que a e an 1 soprimos, e que 60 n 66.

(5) Determine se (230 + 1)! tem inverso mdulo (1010)! + 1.

(6) Determine qual a maior potncia de 2 que divide 3227 + 1.

(7) Considere a recorrncia

sn = 2 + sn1(sn1

2) onde s0 = 3.

(a) Calcule sn 1 para n = 0, 1, 2, 3 e 4 e compare-os com as potncias de 2.De que forma sn 1 depende de n? Use isto para advinhar uma frmulafechada para sn.

(b) Mostre, por induo finita em n, a frmula que voc obteve em (a).Indique cuidadosamente cada passo da demonstrao por induo.


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(1) Seja n = 1387.(a) Verifique se n um nmero de Carmichael.(b) Use o algoritmo chins do resto para calcular o resto da diviso de 2693

por n.(c) Determine se n um pseudoprimo forte para a base 2.(d) Determine se n um pseudoprimo para a base 2.

(2) Ache todos os inteiros n para os quais (n) = 182.

(3) A primeira pessoa a escrever de maneira detalhada sobre a programao decomputadores foi uma dama da sociedade inglesa do sculo passado. Paradescobrir como ela se chamava, decifre a mensagem

7790 6301que foi codificada usando o sistema RSA com chave pblica n = 8509 ee = 6653.

(4) Considere o primo p = 109 + 21 e seja n = 16p + 1. Sabe-se que 38p 1(mod n) e que 22p 1 (mod n).(a) Mostre que n primo.(b) Ache um gerador para U(n).(c) Qual a ordem de 28 em U(n)?


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DCCUFRJ 25


(1) Calcule, se existir, o inverso de 55 por 514229.

(2) Seja n um inteiro positivo. Calcule o resto da diviso do nmero 411236n 24npor 53. De que maneira o resto depende de n?

(3) Prove, por induo em n, que n! 4n para todo n 9.(4) Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 2 na diviso por 9, resto

3 na diviso por 8 e resto 8 na diviso por 11.

(5) Ache um fator primo de 288711 1.(6) Seja n = 821707.

(a) Calcule (n).(b) Qual o menor valor de d > 0 para o qual o par (n, d) pode servir como

chave secreta para uma implementao do RSA?

(7) Ache todos os subgrupos no cclicos de ordem 4 do grupo U(33).


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Turma MAI2002/1

Gabarito do teste 1

1. Ache mltiplos de 40320 e 29687 cuja diferena 21.

Aplicando o algoritmo euclidiano estendido, temos

Restos Quocientes x

40320 * 1

29687 * 0

10633 1 1

8421 2 2

2212 2 31785 3 11427 1 14

77 4 6742 5 349

35 1 4167 1 765

0 * *

Como 40320 + 29687 = 7 e = 765, ento =

7 40320 76529687

= 1039.Logo

40320 765 29687 1039 = 7,e multiplicando tudo por 3 obtemos

40320 765 3 29687 1039 3 = 21.Portanto, os mltiplos de 40320 e 29687 cuja diferena 21 so

40320 765 3 e 29687 1039 3.

2. Explique porque voc tem confiana de que sua resposta esteja correta.

Porque, ao calcular obtive um nmero inteiro. Se eu houvesse cometido um erro, praticamente certo que o clculo de teria me dado um nmero no inteiro.

3. A soluo encontrada em 1. a nica possvel? Justifique sua resposta.


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Gabarito do teste 3

Considere os nmeros primos p1 < < pr. Seja N = p1 p2 pr o produto destesprimos e

S =N

p1+

N

p2+ + N

pr.

(1) Mostre, por contradio, que S um nmero inteiro que no divisvel pornenhum dos primos p1, p2, , pr.

(2) Use (1) para dar uma demonstrao (por contradio) de que existem infinitosnmeros primos.

(1) Em primeiro lugar, cada pi divide N, ento S inteiro. Por outro lado, se i = jento pi divide N/pj . Portanto, se supusermos, por contradio, que pi divide S,

ento pi tambm divide

S (Np1

+N

p2+

N

pi1+ + N

pi+1+ + N

pr=

N

pi.

Mas N/pi um produto de primos diferentes de pi, de modo que obtivemos umacontradio pelo teorema da fatorao nica. Portanto, pi no pode dividir S.

(2) Suponhamos, por contradio, que haja apenas uma quantidade finita de primos,digamos p1 11 um nmero primo e n = 4p + 1. Tendo aplicado o teste de

Miller a n na base 2, obtivemos a sada inconclusivo. Alm disso, sabe-se que22p

n

1 (mod n). Use esta informao e o teste de Lucas, para mostrar

que n primo.

(1) Vamos procurar por fatores primos comuns a 300! e 241 1. Os fatores primos de241 1 so da forma 2 41 k + 1. Os fatores que forem comuns com 300! satisfaro2 41 k + 1 300, o que d k 3, 6. Portanto, k = 1, 2 ou 3. O fator correspondentea k = 1 83, que primo. Entretanto,

241 (220) 2 372 2 41 2 82 (mod 83).Logo 83 no fator de M(41). Por outro lado, se k = 2 ento 2 41 2 + 1 = 165 ese k = 3 ento 2 41 3 + 1 = 247, ambos compostos (247 mltiplo de 13).

(2) Para aplicar o teste de Lucas a n precisamos calcular 2n1, 2(n1)/2 = 22p e2(n1)/q = 24 mdulo n. Mas o primeiro destes nmeros congruente a 1 porque ndeu inconclusivo para o teste de Miller na base 2. Por outro lado

2(n1)/2 22p n 1 1 (mod n).Finalmente,

2(n1)/q 24 16 (mod n),que menor que n = 4p + 1 > 45 e, portanto, no congruente a 1 mdulo n.Portanto, pelo teste de Lucas, este nmero primo.

Na verdade, n = 149.


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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Cincia da Computao

Nmeros inteiros e criptografia2002

Ateno

Neste semestre houve duas turmas de Nmeros inteiros e criptografia, e oscritrios de avaliao destas turmas foram diferentes. Na turma MAI foi realizadoum teste por semana, na turma MAJ foram realizadas duas provas parciais e umaprova final. Este arquivo contm os testes e as provas das duas turmas e respectivosgabaritos.


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DCCUFRJ 35

Gabarito do teste 1

1. Use a frmula da soma de uma progresso geomtrica para provar a seguintefrmula: se a = b so nmeros reais e n um inteiro positivo, entoan bn = (a b)(an1 + an2b + an3b2 + + a2bn3 + abn2 + bn1).

2. Determine o inteiro n tal que (328

)25 (326)27 igual a 32n.

1. Como a = b, ento um dos dois nmeros diferente de zero. Digamos que a = 0.Ento

S = an1 + an2b + an3b2 + + a2bn3 + abn2 + bn1

a soma de uma PG de primeiro termo a1 = an1, razo q = b/a e ltimo termoan = b

n1. Pela frmula da soma de uma PG temos que

S =a1 anq

1 q =an1 bn1 (b/a)

1 (b/a) =an bn

a b .

Isto , (a b)S = an bn, que a frmula desejada.

2. Como (an)m = anm temos que

(328

)25

= 32825 e (32

6

)27

= 32627.

Mas am an = an+m, logo32

825 = 328+5

= 313 e 32627 = 32

6+7

= 313.

Portanto,

(328

)25 (326)27 = 3213 3213 = 3213+213 = 32213 = 3214.

Assim, n = 14.

Gabarito do teste 2

1. Determine nmeros inteiros x e y que sejam solues da equao 7001x +503y = 2.

2. Mostre que esta equao tem infinitas solues inteiras.


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Restos Quocientes x

7001 * 1

503 * 0

462 13 1

41 1 111 11 12

8 3 373 1 49

2 2 1351 1 184

0 * *

Aplicando o algoritmo euclidiano estendido, temos

Como 7001 + 503 = 1 e = 184, ento

=1 7001 184

503= 2561.

Logo

7001 184 503 2561 = 1,e multiplicando tudo por 2 obtemos

7001

368 + 503

(

5122) = 2.

Portanto, x = 368 e y = 5122 so solues da equao dada.3. Uma famlia infinita de solues dada por:

7001(368 + 503k) + 503(5122 7001k) = 2,onde k um nmero inteiro qualquer.

Gabarito do teste 3

Ache dois fatores de 4819589 pelo algoritmo de fatorao de Fermat.

Calculando a raiz quadrada de n = 4819589, obtemos 2195, 35, que no uminteiro. Portanto o nmero dado no um quadrado perfeito e precisamos calcular atabela do algoritmo:


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DCCUFRJ 37

x

x2 n Inteiro?2196 53, 169 no

2197 84, 970 no

2198 107, 772 no2199 126, 538 no

2200 142, 867 no

2201 157, 518 no

2202 170, 923 no

2203 183, 357 no

2204 195, 005 no

2205 206 sim

De modo que x = 2205 e y = 206. Logo os fatores so

x + y = 2135 + 206 = 2411 e

x y = 2135 206 = 1999.

Para saber se estes nmeros so mesmo fatores de n basta multiplic-los; de fato

2411 1999 = 4819589,portanto o resultado est correto.

Gabarito do teste 4

Seja n 2 um inteiro positivo mpar.

(1) Mostre que se (n 1)! + n primo ento n primo.(2) Mostre se n for primo ento o menor fator primo de (n 1)! + n ser maior

que n.

(1) Se n for composto ento ter um fator k < n 1, j que mdc(n, n 1) = 1. Logok tambm ser um fator de (n 1)!. Assim, k ser um fator de (n 1)! + n.

(2) Seja q for o menor fator primo de (n 1)! + n. Se q n ento temos duaspossibilidades. A primeira que q < n. Neste caso q divide (n 1)!. Portanto, qdivide (n1)!+n(n1)! = n, o que contradiz o fato de q e n serem primos distintos.


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A outra possibilidade que n = q. Neste caso q dividiria (n 1)!+ n n = (n 1)!.Mas isto tambm no possvel porque n primo.

Gabarito do teste 5

(1) Determine todas as potncias distintas de 5 em Z71.(2) Use (1) para calcular o resto da diviso de 5213466876452 por 71.

(1) As potncias distintas de 5 em Z71 so:

50

= 1 51

= 5 52

= 25 53

= 125 = 54 e 54

= 54 5 = 57.Note que 5

5= 1.

(2) Como 5

5

= 1, ento5213466876458

= 5213466876455 53 = 1 54.

Logo o resto que foi pedido 54.

Gabarito do teste 6

Ache todas as solues do seguinte sistema de congruncias:

5x + 2y 1 (mod 18)3x + 15y 3 (mod 18).

O inverso de 5 em Z18 11. Multiplicando a primeira congruncia por 11, obtemos

55x + 22y 11 (mod 18),ou seja x + 4y 11 (mod 18). Portanto, x 11 4y (mod 18). Substituindo nasegunda equao, obtemos

(33 12y) + 15y 3 (mod 18).Isto , 3y 6 (mod 18). Convertendo para a equao de inteiros 3y 6 = 18k.Dividindo tudo por 3, obtemos y = 2 + 6k. Obtemos, assim, as seguintes solues

distintas mdulo 18:

Portanto, as solues do sistema em Z18 so x = 3 e y = 2 ou x = 15 e y = 8.

Gabarito do teste 7


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DCCUFRJ 39

k y (mod 18) x 11 4y (mod 18)0 2 3

1 8 15

2 14 9

Considere a soma Sn = 1 1! + 2 2! + + n n!.

(1) Tabele Sn e (n +1)! para n = 1, 2, 3 e 4, e advinhe uma frmula fechada paraSn.

(2) Prove sua frmula por induo finita. Identifique claramente as vrias etapasda sua demonstrao: a base, o passo de induo e a hiptese de induo.Explicite tambm qual a condio de recorrncia que est sendo utilizada.

(1) Tabelando, temos

n Sn (n + 1)!

1 1 2

2 5 6

3 23 24

4 119 120

Portanto, Sn = (n + 1)! 1.

(2) Queremos provar a seguinte afirmao por induo finita:

A(n) : Sn = (n + 1)! 1.Lembre-se que Sn foi definida como sendo a soma 1 1! + 2 2! + + n n!.

Base da induo: a base o caso n = 1. Temos que S1 = 1 1! = 1, ao passo que(n + 1)! = 2 1 = 1. Logo a frmula vale neste caso.

Passamos ao passo de induo. A hiptese de induo nos diz que, para algum

k 1, Sk = (k + 1)! 1. A condio de recorrncia nos diz queSk+1 = Sk + (k + 1) (k + 1)!.

Logo, utilizando a hiptese de induo, obtemos

Sk+1 = Sk + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! 1 + (k + 1) (k + 1)!


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Pondo (k + 1)! em evidncia, obtemos,

Sk+1 = (k + 1)!(k + 2) 1 = (k + 2)! 1,como queramos mostrar. Portanto, pelo princpio de induo finitaSn = (n +1)!

1

para todo n 1.

Gabarito do teste 8

Sejam p e q dois primos positivos distintos maiores que 102300, e seja n = pq.Sabendo-se que n um pseudoprimo para a base 2, calcule o resto da diviso 2q1

por p. Justifique cada passo dos seus clculos!

Sugesto: Divida n por p 1 e aplique o teorema de Fermat.

Como n um pseudoprimo para a base 2, temos que 2n1 1 (mod n). Masn = pq, de modo que 2n1 1 (mod p). Porm

n 1 = p(q 1) + p 1,de modo que

1 2n1 2p(q1) 2p1 (mod p).Mas, pelo teorema de Fermat 2p1 1 (mod p) e 2p 2 (mod p), donde

1 2p(q1) 2p1 2q1 1 (mod p).

Logo 2q1

1 (mod p) e o resto desejado 1.

Gabarito do teste 9

(1) Determine o resto da diviso de 2251 por 4017, pelo algoritmo chins do resto.(2) Verifique se 4017 ou no um pseudoprimo forte para a base 2.

(1) Fatorando 4017 temos que 4017 = 3 13 103. Vamos calcular 2251 mdulo cadaum dos fatores primos de 4017. Usando o teorema de Fermat, temos

2251 2 (mod 3)2251 211 7 (mod 13)

2251 247 58 (mod 103).


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DCCUFRJ 41

Portanto, se r o resto da diviso de 2251 por 4017, ento

r 2 (mod 3)r

7 (mod 13)

r 58 (mod 103).Resolvendo o sistema pelo teorema chins do resto, tiramos o valor de r na terceiraequao, obtendo r = 58 + 103y e substituindo na segunda equao, obtemos 58 +103y 7 (mod 13). Portanto, 12y 1 (mod 13). Multiplicando esta congrunciapor 1, obtemos

y 12 (mod 13).Logo y = 12 + 13z e assim

r = 58 + 103y = 58 + 103(12 + 13z) = 1294 + 1339z,

substituindo este ltimo valor de r na primeira equao, obtemos z + 1 2 (mod 3),que uma vez resolvida d z 1 (mod 3). Assim z = 1+3w, donde r = 2633+4017w.Logo o resto da diviso procurado 2633.

(2) Para aplicar o teste de Miller a 4017 na base 2 precimos comear fatorando amaior potncia de 2 de 40171 = 4016. Mas 4016 = 24 251. Em seguida precisamoscalcular a seguinte seqncia mdulo 4017:

2251, 22512, 225122

e 225123

.

Mas j sabemos que 2251 2633 (mod 4017). Por outro lado,22512 26332 3364 (mod 4017)22512

2 33642 607 (mod 4017)22512

3 6072 2902 (mod 4017).Como o primeiro elemento da seqncia no congruente a 1, e nenhum elementoda da seqncia congruente a 4016, ento a sada do teste de Miller composto.Portanto, 4017 no pseudoprimo forte para a base 2.

Gabarito do teste 10

(1) Mostre que, se existe um nmero mpar n0 tal que (n0) = 2r e n0 no mltiplo de 3, ento existe um nmero mpar m tal que (m) = 2r+1.

(2) Use isto para achar um nmero mpar m tal que (m) = 25.


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(1) Como 3 no divide n0 e 3 primo, temos que mdc(n0, 3) = 1. Portanto, peloteorema sobre a funo ,

(3n0) = (3)(n0) = 2 2r = 2r+1.Assim, 3n0 soluo mpar de (m) = 2r+1.

(2) Para usar (1) precisamos determinar uma soluo mpar para (n) = 24 = 16.Mas 17 primo, logo (17) = 17 1 = 16. Portanto, por (1), (3 17) = 25. Logo asoluo desejada 51.


A Enterpise NX-01 est visitando um planeta que enfrenta uma brutal guerra ci-vil, quando intercepta uma mensagem criptografada. H indcios de que as forasrebeldes pretendem seqestrar um dos membros da tripulao, e a subcomandanteTPol encarregada de decifrar a mensagem. Ela descobre que se trata de um cdigosemelhante ao usada na Terra do sculo XX, e conhecido como RSA. Sabendo que amensagem interceptada foi

(9047, 7085) 8655 1969 1563decodifique-a e descubra qual o membro da tripulao que os rebeldes pretendemseqestrar.

Fatorando n = 9047 pelo algoritmo de Fermat descobrimos que p = 109 e q = 83.

Portanto, (n) = (p 1)(q 1) = 8856. Calculando o inverso de e = 7085 peloalgoritmo euclidiano estendido, obtemos

Restos Quocientes x

8856 * 1

7085 * 0

1771 1 1

1 4 4

Logo 1 = 8856 (4) + 7085 d, donde d = 5. Finalmente, podemos decodificar amensagem:86555 2930 (mod n), 19695 1220 (mod n) e 15635 1427 (mod n)

Portanto, a mensagem decodificada 293012201427. Trocando os nmeros pelasletras correspondentes, temos TUCKER. Isto , os rebeldes pretendem seqestrar o


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DCCUFRJ 43

comandante Tucker, oficial-chefe da engenharia. Para mais detalhes sobre a srieEnterprise visite www.startrek.com.


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(1) Determine o menor fator primo do nmero de Mersenne M(29) = 229

1 pelo

mtodo de Fermat.(2) Determine os subgrupos no cclicos de ordem 4 de U(44).

(1) Como 29 primo, segue pelo mtodo de Fermat, que os fatores primos de 229 1so da forma 2 29 k + 1 = 58k + 1. Vamos tabelar estes fatores para valores de k 1e calcular o resto da diviso de 229 por q = 58k + 1, quando q primo. Obtemos

k q = 58k + 1 composto? resto de 2p 1 por q1 59 primo 582 117 mltiplo de 3 *3 175 mltiplo de 5 *4 233 primo 1

Logo 229 1 (mod 59) e, portanto, 59 o menor fator primo de M(29).

(2) Para isso precisamos encontrar 3 elementos de ordem 2 em U(44). Um desteselementos 43 = 1. Podemos achar os outros por tentativa. Em primeiro lugar(44) = 20, de modo que U(44) tem 20 elementos, que so os nmeros entre 1 e 43que so mpares e no so primos com 11. Vamos listar estes nmeros at encontrarum cujo quadrado seja congruente a 1 mdulo 44. Alm disso, nenhum nmero menorque 7 pode satisfazer esta condio (porque o seu quadrado menor que 44 e portanto

no pode se reduzir a 1 mdulo 44). Comeamos a lista com 7:72

= 5, 92

= 37, 132

= 37, 152

= 5, 172

= 25, 192

= 9, 212

= 1.

Como2143 = 211 = 21 = 23

ento 23 tambm tem ordem 2, e o subgrupo desejado {1, 21, 23, 43}.


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DCCUFRJ 45

Nmeros inteiros e criptografia2002/1 Primeira ProvaTurma MAJ

No sero aceitas respostas sem justificativa. Explique tudo o que voc fizer.

(1) Determine:(a) o inverso de 71 em Z8635;(b) dois fatores de 10217593 pelo algoritmo de fatorao de Fermat;(c) o resto da diviso de 22

21

por 71;(d) o resto da diviso de 2705 por 2821 pelo algoritmo chins do resto;(e) se 2821 um pseudoprimo forte para a base 2;(f) se 2821 um pseudoprimo para a base 2.

(2) Sejam n e c inteiros positivos e r o resto da diviso de 2c! por n. Considered = mdc(r 1, n). Lembre-se que mdc(0, a) = a, qualquer que seja a.(a) Mostre que se n tem um fator primo p tal que p 1 divide c! ento r = 1

ou p divide d.(b) Explique como isto poderia ser usado para achar um fator de um inteiro

n. Que problemas voc espera encontrar na aplicao deste mtodo?


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Gabarito da Prova

(1)

(a) Aplicando o algoritmo euclidiano estendido a 8635 e 71, obtemos

Restos Quocientes x8635 1

71 044 121 127 1 110 1 37 1 53 1

8

1 2 21

Portanto, 21 8635 + 71y = 1, donde

y =1 21 8635

71= 2554.

Assim, 21 8635 + 71 (2554) = 1, e passando a Z8635, obtemos71 2554 = 1.

Portanto o inverso de 71 em Z8635

2554 = 6081.

(b) Como

10217593 = 3196, 497... no inteiro, precisamos calcular a tabela

x

x2 102175933197 56,70...3198 98,03...3199 126,52...3200 149,68...3201 169,72...3202 187,64...3203 204

Donde conclumos que os fatores so

x y = 3203 204 = 2999 e x + y = 3203 + 204 = 3407


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DCCUFRJ 47

(c) Como 71 primo, podemos usar o teorema de Fermat para calcular o resto dadiviso de 22

21

por 71. Mas, segundo o teorema de Fermat, 270 1 (mod 71). Por-tanto, precisamos determinar o resto da diviso de 221 por 70. Usando a calculadorapara fazer esta conta descobrimos que o resto 22. Assim, pelo teorema de Fermat,

2221 222 (mod 71).

Usando a calculadora mais uma vez, verificamos que o resto da diviso de 222 por 71 50. Logo o resto da diviso de 22

21

por 71 50.

(d) Como 2821 = 7 13 31, vamos calcular 2705 mdulo cada um destes nmeros.Assim, usando o teorema de Fermat para cada um destes fatores primos temos:

2705 2702 23 23 1 (mod 7)2705 2696 29 29 5 (mod 13)2705

2690

215

215

1 (mod 31)

Note que, da primeira e da ltima congruncia conclumos que 2705 1 (mod 217),onde 217 = 7 31. Assim, se r o resto da diviso de 2705 por 2821, ento

r 5 (mod 13)r 1 (mod 217).

Tirando o valor de r da segunda congruncia, obtemos r = 1+217k, que substitudona segunda d: 1 + 217k 5 (mod 13). Isto , 9k 4 (mod 13). Mas 9 4(mod 13), de modo que cancelando 4 na congruncia obtemos

k 1 12 (mod 13).Assim, k = 12 + 13t, donde

r = 1 + 217(12 + 13t) = 2605 + 2821t.

Portanto, o resto da diviso de 2705 por 2821 2605.

(e) Para determinar se 2821 pseudoprimo forte para a base 2 precisamos aplicar oteste de Miller para 2821 na base 2. Para comear temos que

2821 1 = 2820 = 22 705.

Calculando agora a seqncia de potncias de 2 mdulo 2821, obtemos:r1 2705 2605 (mod 2821)

r2 22705 26052 1520 (mod 2821)


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Como r1 = 1, 2820 e r2 = 2820 ento o teste de Miller tem como sada composto.Logo 2821 no um pseudoprimo forte para a base 2.

(f) Para verificar se 2821 pseudoprimo para a base 2 calcular 22820

mdulo 2821.Mas, 2820 = 22 705. Como j sabemos que22705 1520 (mod 2821),

conclumos que24705 15202 1 (mod 2821).

Logo 2821 um pseudoprimo para a base 2.

(2)

(a) Como p

1 divide b!, ento b! = (p

1)k, para algum inteiro k, donde

r 2b! (bp1)k 1 (mod p).Logo r 1 divisvel por p. Assim, se r = 1 ento p um divisor comum entre r 1e n.

(b) O algoritmo o seguinte:

Entrada: inteiros positivos n e b.

Sada: um fator de n ou inconclusivo.

Etapa 1: Calcule o resduo r de 2b! mdulo n.

Etapa 2: Calcule d = mdc(r 1, d). Se d = 1 ou d = 0 a sada inconclusivo.Seno, a sada d.

O algoritmo s funciona se b puder ser escolhido pequeno, do contrrio fica impos-svel calcular 2b!. Portanto, para que o algoritmo tenha sucesso em determinar umfator de n preciso que n tenha um fator primo p tal que p 1 possa ser fatoradocompletamente em termos de primos pequenos. Note que se isto no acontece entoesperamos que o clculo do mximo divisor comum retorne 1.


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Nmeros inteiros e criptografia2002/2 Segunda ProvaTurma MAJ


(1) Determine:(a) o resto da diviso de 3385 por 342, pelo teorema chins do resto;(b) todas as solues de (n) = 92;(c) um subgrupo no cclico de ordem 11 do grupo U(92).

(2) Use o algoritmo do clculo indicial para calcular log10 17 mdulo 23.Sugesto: Tome S = {2, 5}.

(3) A mensagem abaixo foi codificada com o RSA usando como chave pblica

n = 6077 e e = 4733, decodifique-a.5441 4676.

A relao entre letras e nmeros neste caso dada porA B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

(4) Seja p > 0 um primo e c um inteiro positivo. Mostre que se 2c! 1 (mod p)e se 2 um gerador do grupo U(p) ento todos os fatores primos de p

1 so

menores que c.


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Gabarito da Prova

(1)

(a) Como 342 = 2 32

19, ento podemos quebrar a conta nas potncias de primos.Aplicando o teorema de Fermat, teremos3385 1 (mod 2)3385 37 2 (mod 19),

ao passo que 3385 0 (mod 9). Isto nos d o sistema:x 1 (mod 2)x 0 (mod 9)x 2 (mod 19).

Da ltima equao tiramos x = 2+ 19y. Substituindo na segunda equao chegamosa y 7 (mod 9). Portanto, y = 7 + 9t, donde x = 135 + 171t. Substituindo naprimeira equao chegamos a t 0 (mod 2). Logo t = 2u e x = 135 + 342u. Assim,o resto desejado 135.

(b) Temos que 92 = 22 23. Mas se p um fator primo de n ento p 1 divisor de(n). Tabelando os divisores pares de 92 (e o 1) temos

Possveis fatores Divisores de 92primos de n

2 13 25 4 = 22

47 46 = 2 2393 92 = 22 23

Como 93 composto, podemos descart-lo. Logo n = 2i 3j 5k 47m. Passamos analisar os vrios casos possveis. Se m = 0, ento

(n) = (2i 3j 5k) 47m1 46.Para que isto d 92 precisamos ter que m = 1 e que (2i

3j

5k) = 2. Mas esta

ltima igualdade s pode acontecer se 2i 3j 5k 3, 4 ou 6; como vimos em sala deaula. Portanto, devemos ter que n = 3 47 ou n = 4 47 ou n = 6 47.

Por outro lado, se m = 0 ento

(n) = (2i 3j 5k),


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cujos fatores primos so 2, 3 e 5; j que 2 1, 3 1 e 5 1 no produzem novosfatores. Entretanto, 23 primo e no podemos escrev-lo a partir de 2, 3 e 5. Logoa equao (2i 3j 5k) = 92 no tem soluo.

Portanto as nicas solues do problema so 141, 188 e 282.

(c) Como 92 = 22 23, temos que(92) = (22)(23) = 2 22 = 44.

Logo 11 divide 44 e possvel que o grupo U(92) tenha um subgrupo de ordem 11.Entretanto, 11 primo, e todo grupo cuja ordem um nmero primo tem que sercclico. Portanto, no h subgrupos no cclicos de ordem 11 em U(92).

(2) Queremos achar a tal que 10a

= 17 em U(23). Para isso vamos usar o algoritmo

do clculo indicial. Comeamos escolhendo S = {2, 5} e fatorando potncias de 10em termos de 2 e 5. Assim, temos em U(23), que10 = 25

102

= 23.

Portanto,

1 log 2 + log 5 (mod 22)2 3 log 2 (mod 22).

Tirando o valor de log2 da segunda equao, obtemos

log2 15 2 8 (mod 22).Donde

log5 1 log2 1 8 15 (mod 22).

Finalmente,

174 10 = 2 em U(23).

Logo,log 17 + 6 log 2 + log 5 15 + 8 1 (mod 22).

Donde, log 17

17 (mod 22).

(3) Aplicando o algoritmo de fatorao de Fermat descobrimos em dois passos quen = 6077 = 59 103. Portanto,

(6077) = (59 1)(103 1) = 5916.


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Aplicando o algoritmo euclidiano estendido a 5916 e e = 4733, obtemos o inverso dee mdulo (n), que 5. Decodificando a mensagem, temos as seguintes congrunciasmdulo 6077:

5441

5

213046763 2110.

Assim, a mensagem decodificada 2130 2110 que transliterada d LULA.

(4) Suponhamos que 2 um gerador do grupo U(p), onde p um primo positivo.Como U(p) tem ordem (p) = p 1, e 2 um gerador de U(p), ento 2 tem ordem

p 1. Como 2c! 1 (mod p), segue pelo lema chave, que a ordem de 2 deve dividirc!. Portanto, p 1 divide c!. Em particular cada fator primo de p 1 divide c!.Mas todos os fatores de c! so menores que c, donde conclumos que todos os fatoresprimos de p 1 so menores que c.


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Nmeros inteiros e criptografia2002/2 Prova FinalTurma MAJ


(1) Determine:(a) mdc(a, c) sabendo-se que a, b e c so inteiros maiores que 2200! e que c

divide a + b e mdc(a, b) = 1;(b) dois fatores de 53897891 pelo algoritmo de Fermat;(c) o resto da diviso de 2185 por 741;(d) se 741 um pseudoprimo forte para a base 2;(e) o menor fator primo, maior que 11200, de 297 1.

(2) A mensagem abaixo foi codificada com o RSA usando como chave pblican = 7597 e e = 4947, decodifique-a.

7272 7295 5789.A relao entre letras e nmeros neste caso dada por

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

(3) Seja G um grupo cclico finito gerado por um elemento a.

(a) Mostre que se S um subgrupo de G e se m o menor inteiro positivotal que am S, ento am gera S.(b) D um exemplo de um grupo G que no cclico, mas cujos subgrupos

prprios so todos cclicos.


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Gabarito da Prova

(1)

(a) Como a + b = ck, temos que a = ck b e pelo resultado auxiliar usado paraprovar o algoritmo euclidiano, segue que mdc(a, c) = mdc(a, b). Mas mdc(a, b) = 1por hiptese. Logo mdc(a, c) = 1.

(b) Como a raiz quadrada de 53897891 7341, 51..., que no inteira, devemosmontar a tabela

x

x2 102175937342 84,10...7343 147,50...7344 190,90...

7345 226,12...7346 256,56...7347 283,75...7348 308,56...7349 331,52...7350 353

Donde conclumos que os fatores so

x y = 7350 353 = 6997 e x + y = 7350 + 353 = 7703.

(c) Como 741 = 3 1319, ento vamos calcular 2185 mdulo 3, mdulo 13 e mdulo 19e colar o resultado usando o teorema chins do resto. Mas, pelo teorema de Fermat:2185 2 (mod 3)2185 25 6 (mod 13)2185 25 13 (mod 19)

Portanto, precisamos resolver o sistema:

x 2 (mod 3)x

6 (mod 13)

x 13 (mod 19)

pelo teorema chins do resto. Mas da ltima equao x = 13 + 19t. Substituindo nasegunda equao, obtemos 13 + 19t 6 (mod 13), ou seja 6t 6 (mod 13). Como


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(b) Um exemplo D6, j que os subgrupos prprios tm ordens 1, 2 ou 3. Como 2 e3 so primos estes subgrupos tm que ser todos cclicos.


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2003/1Testes e Gabaritos

Teste 1

Seja n > 2100! um nmero inteiro. Determine mdc(6n + 1, 6n! + (n 1)! + 6n 3).

Soluo

Como 6n! + (n 1)! + 6n 3 > 6n + 1, vamos dividir o primeiro pelo segundo,como no algoritmo euclidiano estendido. Obtemos 6n! + (n 1)! + 6n 3 = (6n +1)(n 1)! + 6n 3. Portanto, pelo resultado auxiliar,

mdc(6n + 1, 6n! + (n 1)! + 6n 3) = mdc(6n + 1, 6n 3).Como 6n + 1 = 6n 3 + 4, segue pelo resultado auxiliar mais uma vez que mdc(6n +1, 6n 3) = mdc(6n 3, 4). Mas 6n 3 = 3(2n 1), que um nmero mpar. Como4 uma potncia de 2, no pode haver nenhum fator maior que 1 comum a 6n 3 e4. Logo mdc(6n + 1, 6n 3) = 1.

Outra maneira de calcular mdc(6n 3, 4) (baseada na soluo de Moyses AfonsoAssad Cohen). Podemos considerar dois casos. No primeiro caso n par e podemosescrev-lo na forma n = 2k. Neste caso, precisamos calcular mdc(12k 3, 4). Mas,dividindo 12k 3 por 4, obtemos

12k 3 = 4 4k 3

de modo que, pelo resultado auxiliar visto em aula,mdc(12k 3, 4) = mdc(3, 4) = mdc(3, 4) = 1.

No segundo caso n mpar, de modo que n = 2k + 1. Ento, precisamos calcularmdc(12k + 3, 4). Mas repetindo um argumento semelhante ao anterior, verificamosque

mdc(12k + 3, 4) = mdc(3, 4),

de modo que mdc(12k + 3, 4) = 1. Portanto, independente de n ser par ou mpar,temos que

mdc(6n 3, 4) = 1.

Teste 2

Ache dois fatores de 70362379 pelo algoritmo de fatorao de Fermat.


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Calculando a raiz quadrada de n = 70362379, encontramos 8388, 228, que no uminteiro. Portanto o nmero dado no um quadrado perfeito e precisamos calcular atabela do algoritmo:

x x2 n Inteiro?8389 113, 76 no

8390 172, 39 no

8391 215, 64 no

8392 251, 56 no

8393 282, 96 no

8394 311, 21 no

8395 337, 11 no

8396 361, 16 no

8397 383, 70 no

8398 405 sim


x + y = 8398 + 405 = 8803 e

x y = 8398 405 = 7993.


8803

7993 = 70362379,

portanto o resultado est correto.

Teste 3

Seja n > 3564231 um nmero inteiro. Mostre que se n composto ento n divide(n 1)!

Esta a minha soluo original. Ela complicada e usa vrios resultados

do Captulo 2:

Se n for composto, podemos usar o teorema da fatorao nica para escrev-lo naforma

n = pe11 pett ,onde p1 < < pt so primos e os expoentes e1, . . . , et so todos positivos.


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Vou supor primeiro que t 2; quer dizer, que na fatorao de n h, pelo menos,dois fatores primos distintos. Neste caso,

pejj < n,

para j = 1, . . . , t. Assim, pejj n 1, de modo que pejj divide (n 1)!. Como ospj so primos distintos (e, portanto, primos entre si) segue do resultado auxiliar (2)provado em sala que o produto pe11 pett divide (n 1)!. Como este produto iguala n, provamos o que queramos.

Suponhamos, agora, que n = pe, onde p um primo e e > 1 (pois n tem que sercomposto). Neste caso, tanto pe1 quanto 2p so menores que n 1 = pe 1, demodo que

2n = 2p pe1divide (n 1)!, como desejvamos mostrar. Mas cuidado: este argumento falso sen = 4 (por qu?).

Esta a soluo garimpada do que os alunos fizeram:

Se n composto, ento existem a e b inteiros, tais que

n = ab e 1 < a < n e 1 < b < n.

Como a e b so menores que n, ento a e b so menores ou iguais a n 1. Assim,se a

= b ento tanto a quanto b so nmeros que aparecem multiplicados quando

calculamos (n 1)!. Mas isto significa que n = ab divide (n 1)!. Resta discutiro caso a = b. Neste caso precisamos fazer aparecer dois as entre 1 e n 1 paraque a2 = n divida (n 1)!. Mas o menor mltiplo de a que no igual a a 2a.Portanto, se 2a n 1 ento a e 2a aparecem multiplicados quando calculamos(n 1)!, de modo que n = a2 divide (n 1)!. Falta, apenas, saber quando que2a n 1 = a2 1. Contudo, 2a a2 1 d a2 2a 1 0. Fazendo o grfico dafuno quadrtica vemos que isto acontece quando a 1 2 ou a 1 + 2. Comos os as positivos nos interessam, podemos descartar a 1 2. Por outro lado, onico inteiro que no satisfaz a 1 + 2 a = 2. Conclumos que 2a n 1 s novale se n = 4, que no ocorre por causa da restrio ao n dada no problema.

Teste 4

Seja n > 3564231 um nmero inteiro mpar.


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(1) Determine um inteiro positivo r tal que

2n + 1 = 2M(r) + 3.

(2) Use (1) e os resultados sobre nmeros de Mersenne que estudamos para mos-

trar que 2n + 1 mltiplo de 3.

Resoluo

(1) Como n mpar, podemos escrev-lo na forma n = 2q + 1, para algum inteiropositivo q. Ento

2n + 1 = 22q+1 + 1 = 22q+1 2 + 3 = 2(22q 1) + 3 = 2M(2q) + 3.

(2) Sabemos que se d divide n ento 2d

1 divide 2n

1. Como 2 divide 2q, segue

que 22 1 = 3 divide 22q 1. Portanto, 22q 1 = 3k, para algum inteiro positivo k.Substituindo em (1):

2n + 1 = 2M(2q) + 3 = 2 3k + 3 = 3(2k + 1),de modo que 3 divide 2n + 1.


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Teste 5

(1) Determine as potncias distintas de 9 em Z55.

(2) Use (1) para calcular o resto de 923456789 por 55.

Resoluo

(1) As potncias so as seguintes:

90

= 1

91

= 9

92

= 81 = 26

93 = 981 = 729 = 14

94

= 914 = 126 = 16

95

= 916 = 144 = 34

96

= 934 = 306 = 31

97

= 931 = 279 = 4

98

= 94 = 36 = 36

99

= 936 = 324 = 49

910

= 949 = 441 = 1

onde todos estes clculos foram realizados em Z55.

(2) Queremos achar 0 r 54 tal que 920000 = r em Z55. Mas,923456789

= (910

)2345678 99 = (1)2345678 49 = 49.Portanto, o resto da diviso de 923456789 por 55 49.


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DCCUFRJ 63

Teste 7

Prove, por induo finita, que qualquer conjunto com n elementos tem n(n

1)/2

subconjuntos de 2 elementos. Explicite claramente cada etapa da demonstrao: abase, a hiptese de induo e o passo de induo.

Resoluo

A base da induo consiste em mostrar que o resultado vale para um conjuntocom 1 elemento. Neste caso no h subconjuntos de 2 elementos. Por outro lado,tomando n = 1 em n(n 1)/2, obtemos 0, que o valor correto.

Suponha, agora, que um conjunto de k

1 elementos tem k(k

1)/2 subconjuntos

de 2 elementos. Esta a hiptese de induo. Queremos mostrar que uma frmulasemelhante vale para um conjunto com k + 1 elementos, que o passo de induo.

Mas um conjunto de k+1 elementos constitudo por um conjunto com k elementosSao qual se juntou um elemento a. Os subconjuntos de 2 elementos de S{a} so dedois tipos: os que contm a, e os que no contm a. Mas um subconjunto de S{a}que no contm a subconjunto de S e, pela hiptese de induo, temos k(k 1)/2destes. Por outro lado, os subconjuntos de S{a} que contm a so da forma {a, b},onde b um elemento de S. Como S tem k elementos, h k subconjuntos deste tipo.Com isto temos um total de

k(k 1)2

+ k =k2 k + 2k

2=

k(k + 1)

2,

subconjuntos de S {a}. Mas isto corresponde a fazer n = k + 1 na frmula dada,o que completa o passo de induo. Portanto, pelo princpio de induo finita, todoconjunto de n elementos tem n(n 1)/2 subconjuntos de 2 elementos, qualquer queseja n 1.

Teste 8

Seja n = 697. Sabe-se que 4287 83 (mod n). Determine:(1) se n um pseudoprimo forte para a base 42;(2) se n um pseudoprimo para a base 42.

Resoluo


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(1) Precisamos aplicar o teste de Miller a n = 697. Fatorando a maior potncia de 2de n 1 = 696, obtemos: 696 = 23 87. Devemos, agora, calcular a seqncia

4287, 42287 e 422287,

mdulo 697. J sabemos que 4287 83 (mod n). Disto conclumos que42287 832 616 (mod 697)

e que422

287 6162 288 (mod 697).Como o primeiro elemento da seqncia no congruente a 1, e nenhum elementoda seqncia congruente a 696 1 (mod 697), conclumos que este nmero no um pseudoprimo forte para a base 42.

(2) Para verificar se 697 um pseudoprimo para a base 42, devemos calcular 42696

mdulo 697. Contudo, 696 = 23 87, e j sabemos que 4222

87 288 (mod 697).Logo,

42696 422387 (422287)2 2882 1 (mod 697).Portanto, 697 um pseudoprimo para a base 42.

Teste 9

Determine o resto da diviso de 32584 por 1581, usando o algoritmo chins do resto.

Resoluo

Fatorando 1581 temos que 1581 = 3 17 31. Vamos determinar o resto de 32584por 3, por 17 e por 31 e colar o resultado usando o algoritmo chins do resto. Mas

32584 0 (mod 3)32584 (316)161 38 38 16 (mod 17)32584 (330)86 34 34 19 (mod 31)

Portanto, para determinar o resto da diviso de 32584 por 1581, precisamos resolver

o sistemar 0 (mod 3)

r 16 (mod 17)r 19 (mod 31)


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DCCUFRJ 65

pelo algoritmo chins do resto. Para isto tiramos o valor de r da terceira equao,que r = 19 + 31y e substitumos na segunda, obtendo 19+31y 16 (mod 17). Istod 14y 14 (mod 17). Como 14 e 17 so primos entre si, ento podemos cancelar14 da equao, obtendo y

1 (mod 17). Da y = 1 + 17t, donde

r = 19 + 31y = 19 + 31 (1 + 17t) = 50 + 527t.Substituindo isto na primeira equao, obtemos 50 + 527t 0 (mod 3); ou seja,2t 2 (mod 3). Como o mdc entre 2 e 3 1, podemos cancelar 2 mdulo 3obtendo t 1 (mod 3); ou ainda t 2 (mod 3). Assim, t = 2 + 3w, de modo que

r = 50 + 527t = 50 + 527 (2 + 3w) = 1104 + 1581w.Portanto, o resto da diviso de 32584 por 1581 1104.

Teste 7b

Prove, por induo em n que

12 22 + 32 42 + + (1)n1n2 = (1)n1n(n + 1)

2,

para todo n 1. Sua demonstrao deve explicitar a base, a hiptese de induo, opasso de induo e a recoorncia que est sendo usada para provar a frmula acima.

Resoluo

Para facilitar a notao, seja

Sn = 12 22 + 32 42 + + (1)n1n2.

A base da induo consiste em mostrar que o resultado vale para n = 1 elemento.Neste caso, Sn = 1 e

(1)n1n(n + 1)2

=(1)111(2)

2= 1,

de modo que a frmula est correta para n = 1 e a base verdadeira.

Suponha, agora, que

Sk = 12 22 + 32 42 + + (1)k1k2 = (1)

k1k(k + 1)

2,

para algum k 1. Esta a hiptese de induo.


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Para provar o passo de induo, precisamos de uma recorrncia que, neste caso,ser

Sk+1 = Sk + (1)k(k + 1)2.

Portanto,Sk+1 = Sk + (1)kk2 (pela recorrncia)

=(1)k1k(k + 1)

2+ (1)k(k + 1)2 (pela hiptese de induo).

Efetuando as contas, obtemos,

(1)k1k(k + 1)2

+(1)k(k+1)2 = (1)k(k + 1)(2(k + 1) k)

2=

(1)k(k + 1)(k + 2)2

.

Logo,

Sk+1

=(

1)k(k + 1)(k + 2)

2.

Mas isto corresponde a fazer n = k + 1 na frmula dada, o que completa o passo deinduo. Portanto, pelo princpio de induo finita,

12 22 + 32 42 + + (1)n1n2 = (1)n1n(n + 1)

2,

qualquer que seja n 1.

Teste 10

(1) Determine dois subgrupos no cclicos de ordem 4 em U(40).(2) Em sua viagem pelo Quadrante Delta a nave da Federao Voyager fez contato

com uma civilizao cujo nvel cultural era equivalente ao da Terra no inciodo sculo XX. Infelizmente um outro povo deste Quadrante j havia chegadoao local, e o grupo avanado que desceu ao planeta foi capturado. Tendoconseguido fugir, mas estando sem seu comunicador, o oficial de seguranaTuvok usou um dos rdios locais para enviar uma mensagem Voyager sobreo perigo na superfcie. Para evitar que a mensagem fosse lida pelo inimigo,e sem ter acesso a nenhum computador, Tuvok codificou a mensagem moutilizando um velho cdigo terrestre, o RSA. A mensagem enviada por Tuvokfoi:

(6667, 4331) 581026763692

Decodifique-a e descubra qual o povo que havia invadido o planeta.

Resoluo


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DCCUFRJ 67

(1) Um grupo no cclico de ordem 4 tem o elemento neutro alm de trs elementosde ordem 2. Para comear (40) = (8)(5) = 4 4 = 16, que divisvel por 4.Portanto, pelo teorema de Lagrange, U(36) pode ter subgrupos de ordem 4. Paradeterminar estes subgrupos precisamos achar os elementos de ordem 2. Para isso

basta procurar os elementos cujo quadrado igual a 1 mdulo 40. Estes elementosso: 9, 11, 19, 21, 29, 31 e 39. Mas nem toda combinao de trs destes elementos coma identidade produzir um subgrupo. A maneira mais simples de achar os subgrupos escolher dois dos elementos, multiplic-los e assim achar quem o terceiro. Porexemplo, escolhendo 9 e 11, vemos que 9 11 = 19, de modo que {1, 9, 11, 19}, umdos subgrupos possveis. Outro subgrupo possvel {1, 9, 39, 31}.

(2) Fatorando n = 6667 pelo algoritmo de Fermat, descobrimos que p = 59 e q = 113.Portanto,

(n) = (6667) = (59)(113) = 58 112 = 6496.Usando o algoritmo euclidiano estendido para inverter e = 4331 mdulo (n) = 6496,obtemos que d = 3. Finalmente, podemos decodificar a mensagem:

58103 2010 (mod 6667)26763 352 (mod 6667)36923 423 (mod 6667)

Mas 2010352423 = KAZON. Portanto, foram os Kazon que invadiram o planeta antesda chegada da Voyager.

Teste 11

(1) Seja p > 2 um primo. Sabe-se que o mximo divisor comum entre 2p 1 e1000! o nmero primo 431. Determine p.

(2) Sabe-se que 1361 primo e que 31361 3093 (mod 8167). Use isto e o testede Lucas para provar que 8167 um nmero primo.Sugesto: 1361 fator de 8166.

Resoluo

(1) Os fatores primos de 2p 1 so todos da forma 2kp + 1. Logo, se 431 fator de2p 1, ento tem que ser desta forma. Assim, 2kp = 430 = 2 5 43. Portanto, ppode ser 2, 5 ou 43. Mas, p > 2, por hiptese e se p fosse 5 ento 25 1 = 31 < 431.Temos, ento, que p = 43.


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(2) Seja n = 8167. Fatorando n 1, obtemos 8166 = 2 3 1361. Portanto, paraaplicar o teste de Lucas para a base 3, precisamos calcular 3n1, 3(n1)/1361, 3(n1)/2

e 3(n1)/3. Mas sabemos que 31361 3093 (mod 8167). Logo,

3(n1)/3

(31361

)2

(3093)2

3092 (mod 8167),e, de modo semelhante,

3(n1)/2 (31361)3 (3093)2 3093 3092 3093 8166 1 (mod 8167).Alm disso,

3(n1)/1361 36 729 (mod 8167).Portanto, 3(n1)/1361, 3(n1)/2 e 3(n1)/3 no so congruentes a 1 mdulo 8167. Final-mente,

3(n1) (3(n1)/2)2 (1)2 1 (mod 8167),de modo que provamos, pelo teste de Lucas, que 8167 primo.


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DCCUFRJ 69

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Cincia da Computao

Nmeros inteiros e criptografia2003/2

Ateno

Neste semestre houve duas turmas de Nmeros inteiros e criptografia. Emambas as turmas foi realizado um teste com 2 questes a cada 15 dias, alm daprova final. Este arquivo contm os testes e as provas das duas turmas e respectivosgabaritos. Os testes sem gabaritos foram preparados para serem feitos usando umsistema de computao algbrica. Neste semestre o sistema usado foi o YACAS.


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2003/2 Turma MAITeste 1

1. Seja n > 2100! um nmero inteiro. Use o algoritmo euclidiano estendido paracalcular d = mdc(5n+3, 3n+2) e dois inteiros e tais que d = (5n+3)+(3n+2).

2. Use o algoritmo de fatorao de Fermat para determinar dois fatores de 1212779.

Resoluo

1. Vamos aplicar o algoritmo euclidiano estendido a estes dois nmeros. Observandoque 5n + 3 > 3n + 2, temos

Restos Quocientes x y5n + 3 * 1 03n + 2 * 0 12n + 1 1 1 1n + 1 1 1 2

n 1 2 31 1 3 5

Portanto, mdc(5n + 3, 3n + 2) = 1, ao passo que = 3 e = 5. Para provar queo resultado est certo basta calcular

3(5n + 3) + 5(3n + 2) = 15n 9 + 15n + 10 = 1.

2. Calculando a raiz quadrada de n = 1212779, encontramos 1101, 262457, que no um inteiro. Portanto o nmero dado no um quadrado perfeito e precisamoscalcular a tabela do algoritmo:


x + y = 1110 + 139 = 1249 e

x y = 1110 139 = 971.




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DCCUFRJ 71

x

x2 n Inteiro?1102 40, 311 no

1103 61, 886 no

1104 77, 698 no1105 90, 807 no

1106 102, 259 no

1107 112, 561 no

1108 122, 004 no

1109 130, 774 no

1110 139 sim

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografia2003/2Turma MAITeste 2

1. O objetivo desta questo dar uma outra demonstrao de que existem infinitosnmeros primos. Para isso, suponha que exista um nmero finito de primos, que sotodos menores que um nmero inteiro positivo n 3.

(1) Mostre mdc(n! 1, n!) deve ser diferente de 1.(2) Mostre que (1) leva a uma contradio, e use isto para provar que existem

infinitos nmeros primos.

2. Determine o resto da diviso de 2987657

+ 5

15

mdulo 65.Resoluo

1. (1) Suponha que haja um nmero finito de primos, todos menores que n 3.Ento n! 2 e n! 1 3. Portanto, ambos so inteiros maiores ou iguais a 2, e peloTeorema da Fatorao nica ambos tm fatores primos. Entretanto, como todos osprimos so menores que n, ento todos so fatores de n!. Portanto, qualquer que sejao fator primo de n! 1, ele ter que dividir n!. Em particular, n! e n! 1 tm umfator comum, de modo que seu mximo divisor comum no pode ser igual a 1.

1. (2) Como mdc(n!, n! 1) divide n! e n! 1, ento deve dividir n! (n! 1) = 1.Mas isto implica que mdc(n!, n! 1) = 1, contradizendo (1). isto significa que ahiptese feita, no incio da questo, de que todos os primos so menores que n temque estar errada. Portanto, no existe nenhum inteiro n 3 que seja maior que todosos primos. Mas isto s pode acontecer se houver infinitos nmeros primos.


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2. Por um lado,26 64 1 (mod 65),

por outro, as potncias de 5 mdulo 65 so

51 5 (mod 65)52 25 (mod 65)53 60 (mod 65)54 40 (mod 65)55 5 (mod 65).

Portanto,

2987657 + 515 2987654 23 + (55)3 (26)164609 (23) + 53 8 + 60 52 (mod 65).


1. Considere a soma

Sn =1

1 2 +1

2 3 +1

3 4 + +1

n (n + 1) .

(1) Tabele Sn para alguns valores pequenos de n (n = 1, 2, 3 e 4, por exemplo) e

advinhe uma frmula fechada Fn para Sn.(2) Prove, por induo em n, que Sn = Fn para todo inteiro n 1. Explicite a

base da induo, a hiptese de induo, a recurso que est sendo usada e opasso de induo.

2. Sabe-se que 701 primo. Determine todos os valores inteiros de n para os quaisn701 + 699n + 1 deixa resto zero na diviso por 701.

Resoluo

1. (1) Tabelando Sn contra n temos

Logo, a frmula parece ser Fn = n/(n + 1).

Queremos provar por induo que Sn = Fn para qualquer n 1.


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DCCUFRJ 73

n Sn1 1/22 2/3

3 3/44 4/5

Base da induo: A base corresponde a mostrar que a afirmao vale quandon = 1. Mas, S1 = 1/2 pela tabela e F1 = 1/2 por um clculo direto. Logo S1 = F1 ea base da induo verdadeira.

Hiptese de induo: Para algum k 1 temos que Sk = Fk.Recurso: Sk+1 = Sk + 1/(k + 1)(k + 2).

Passo de induo: Temos que

Sk+1 = Sk + 1(k + 1)(k + 2)

(recurso)

= Fk +1

(k + 1)(k + 2)(hiptese de induo)

=k

(k + 1)+

1

(k + 1)(k + 2)

=1

(k + 1)

k +

1

(k + 2)

=

1

(k + 1) k(k + 2) + 1

(k + 2) =

1

(k + 1) (k + 1)

2

(k + 2)(produto notvel)

=(k + 1)

(k + 2),

o que mostra que Sk = Fk implica que Sk+1 = Fk+1. Portanto, pelo Princpio deinduo finita temos que Sn = Fn para todo n 1.

2. Pelo teorema de Fermat,

n701 + 699n + 1

n + 699n + 1

700n + 1

n + 1 (mod 701).

Mas, n + 1 0 (mod 701) s acontece se n 1 (mod 701). Portanto, a soluo dacongruncia n = 1 + 701k, qualquer que seja k inteiro.


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Seja n = 4123.

(1) Determine se n um nmero de Carmichael.(2) Calcule, pelo algoritmo chins do resto, o resto da diviso de 52061 por n.(3) Determine se n um pseudoprimo forte para a base 5.(4) Determine se n um pseudoprimo para a base 5.

Resoluo

(1) Vamos usar o teorema de Korselt. Cada primo tem multiplicidade um na fatoraode n = 7

19

31. Porm, n

13

1 (mod 30), de modo que n no um nmero de

Carmichael.

(2) Usando o teorema de Fermat, temos que:

52061 53 6 (mod 7)52061 59 1 (mod 19)

52061 521 (54)5 5 55 1 (mod 31).Isto nos d o sistema de congruncias

r

6 (mod 7)

r 1 (mod 19)r 1 (mod 31).

Pela unicidade do teorema chins do resto, temos que as duas ltimas congrunciasse tornam r 1 (mod 589). De modo que basta resolver o sistema

r 6 (mod 7)r 1 (mod 589).

Tirando o valor de r da ltima congruncia, obtemos r = 1 + 589t. Substituindo naprimeira

1 + 589t 6 (mod 7),que equivalente a t 5 (mod 7). Assim,

r = 1 + 589(5 + 7y) = 2946 + 4123y.

Logo o resto desejado 2946.


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DCCUFRJ 75

(3) Precisamos aplicar o teste forte de composio a 4123 na base 5. Mas n 1 =2 2061. Como

52061 2946 1, 4122 (mod 4123),conclumos que o teste tem sada composto para base 5. Portanto, 4123 no umpseudoprimo forte para a base 5.

(4) Para verificar se o nmero pseudoprimo para a base 5, precisamos calcular 54122

mdulo 4123. Contudo,

54122 522061 (52061)2 29462 1 (mod 4123).Portanto, 4123 um pseudoprimo para a base 5.

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAI2003/2Teste 5

O premiado carneiro Garoto Lanoso estar em exposio na Feira do Estado. Comohouve vrias ameaas sua segurana, o grande xerife Pepe Legal e seu fiel ajudanteBabaloo foram contratados para proteg-lo. Decifre a mensagem abaixo e descubrao nome do vilo que deseja raptar o Garoto Lanoso para transform-lo em churrasco.

(10127333, 6069773) 2179193 - 7703087 - 2527011 - 6115153 - 6385721

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Espao = 99.

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAI2003/2Teste 6

(1) Determine todos os valores possveis de n para os quais (n) = 164.(2) Seja G um grupo abeliano e sejam S1 = S2 subgrupos de ordem p de G, onde

p um nmero primo. Prove que S1 S2 consiste apenas do elemento neutrode G.


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(3) Seja p > 10500 um nmero primo. Calcule mdc(2p 1, p!). De que forma esteresultado depende de p?

(4) Considere o nmero n = 22 1063+1. Sabe-se que 21063 561 (mod n). Useo teste de Lucas para provar que n primo.

Resoluo

1. Em primeiro lugar, 164 = 22 41. Por outro lado, se p um primo que divide n,ento p 1 divide (n) = 164. Portanto, De modo que os possveis fatores primos de

p 1 p1 22 34 5

82 83

164 165

n so 2, 3, 5 e 83. Isto , n = 2e 3f 5g 83h. Vamos analisar as escolhas de expoentescaso a caso.

Caso 1: h > 0.

Neste caso,

(n) = (2e 3f 5g)(83h)= (2e 3f 5g)83h182.

Para que isto seja igual a 164 = 2 82, devemos ter que h = 1 e que(2e 3f 5g) = 2.

Mas esta ltima condio implica que 2e 3f 5g 3, 4 ou 6. Temos assim que n 3 83 = 249 ou 4 83 = 332 ou 6 83 = 498.

Portanto, de agora em diante, podemos supor que h = 0.

Caso 2: h = 0.

Neste caso n = 2e 3f 5g, de modo que os nicos fatores primos possveis para(n) so 2, 3 e 5 (j que 2 1 = 1, 3 1 = 2 e 5 1 = 4). Assim, (n) = 164 = 4 41no pode ter soluo j que 41 primo e no pode ser fator de (n).

2. Como S1 tem ordem p, ento um subgrupo cclico, e cada um de seus elementosdiferentes de e (o elemento neutro) gera todo o S1. O mesmo vale para S2. Portanto,se S1 S2 tivesse um elemento em comum, diferente de e, ento este elemento seria


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DCCUFRJ 77

tanto um gerador de S1, quanto de S2, de maneira que teramos S1 = S2. Como osdois subgrupos so distintos, resta apenas a possibilidade de S1 S2 = {e}.

3. Segundo a frmula geral, todos os fatores primos de 2p

1 so da forma 2pk + 1 e,portanto, maiores que p. Mas p! s tem fatores primos menores que p. Logo, mesmoque 2p 1 seja composto, no pode ter nenhum fator em comum com p!. Assim,mdc(2p 1, p!) = 1, e este resultado independente do valor de p.

4. Para aplicar o teste de Lucas a n, precisamos fatorar n 1 e mostrar quebn1 1 (mod n),

e que, para cada fator primo p de n 1 valeb(n1)/p 1 (mod n).

Como n = 22

1063+1, e como 1063 primo, ento os fatores primos de n

1 so 2

e 1063. Por outro lado, 21063 561 (mod n) implica que221063 (21063)2 5612 4252 (mod n)

e tambm que,241063 (221063)2 42522 1 (mod n).

Portanto,

2n1 241063 1 (mod n),2(n1)/2 221063 4252 1 (mod n),

2(n1)/1063 24 16 1 (mod n),de modo que n primo pelo teste de Lucas.

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAI2003/2Prova Final

(1) Determine dois fatores de 925417 pelo algoritmo de Fermat.

(2) Resolva a congruncia 3421x 23 (mod 139).(3) D exemplo de um inteiro n > 10 para o qual mdc(2n 1, n!) = 1.(4) Prove, por induo em n, que 3n < n! para todo n > 6. Identifique claramente

a base da induo, a hiptese de induo e o passo de induo.

(5) Seja n = 1387 = 19 73.(a) Determine o resto da diviso de 2693 por n, pelo algoritmo chins do resto.(b) Use isto para verificar se n um pseudoprimo para a base 2.


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(6) Seja G um grupo abeliano provido de uma operao , e sejam a e b elementosde G de ordem 3. Suponha que a / b.(a) Mostre que ab tem ordem 3.(b) Qual a ordem do menor subgrupo de G que contm a e b?

(7) Uma implementao do RSA usa como chave pblica o par n = 600079 ee = 3. Determine d sabendo-se que (n) = 598384.


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DCCUFRJ 79

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografia2003/2Turma MAJTeste 1

1. Ache mltiplos de 155019 e 1389 cuja diferena seja 12

2. Sejam 2 < p < q dois primos mpares e seja n = pq.

(1) Determine x e y (em funo de p e q) tais que n = x2 y2.(2) Use (1) para determinar o nmero de tentativas para achar x que o algoritmo

de fatorao de Fermat ter que fazer at obter um fator prprio de n.

Resoluo

1. Vamos aplicar o algoritmo euclidiano estendido a estes dois nmeros. Observando

que 155019 > 1389, temos

Restos Quocientes x155019 * 1

1389 * 0840 111 1549 1 1291 1 2258 1 333 1 527 7

38

6 1 433 4 210

Portanto, mdc(155019, 1389) = 3, ao passo que = 210 e

=3 155019 (210)

1389= 23437.

Logo,

155019 210 + 1389 23437 = 3,

e multiplicando tudo por 4:4 155019 210 + 4 1389 23437 = 12.Assim, os mltiplos desejados so

4 155019 210 e 4 1389 23437.


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2. (1) Comparando n = x2 y2 com n = pq, temos que(x y)(x + y) = pq,

donde x

y = p e x + y = q, j que p < q. Resolvendo os dois sistemas lineares,

obtemosx =

q + p

2e y =

q p2

.

(2) Como o algoritmo inicia o clculo da tabela a partir de [

n]+1, ento o nmerode x que precisa tentar at fatorar n igual a

[

n] + 1 q + p2

.


1. Determine um fator primo mpar de 326302677 1.

2. Mostre, usando congruncias, que 32n+1 + 2n+2 divisvel por 7, qualquer que sejan 1 inteiro.

Resoluo

1. Usando a identidade

3km 1 = (3k 1)(3k(m1) + 3k(m2) + + 32 + 3k,e o fato de que 26302677 divisvel por 3, temos que 31 = 2 13 divide 326302677 1.Logo, um fator primo de 326302677 1 13.

2. Como32n+1 + 2n+2 = (32)n 3 + 2n 22 = 9n 3 + 2n 4,

obtemos, usando congruncia mdulo 7,

32n+1 + 2n+2 9n 3 + 2n 4 2n 3 + 2n 4 (mod 7).Pondo 2n em evidncia

32n+1 + 2n+2 2n(3 + 4) 2n 7 0 (mod 7).Portanto, 32n+1 + 2n+2 divisvel por 7, qualquer que seja n 1.


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DCCUFRJ 81


1.

(1) Determine, por tentativa, para que valores de n vale a desigualdade 2n + 3 2n?

(2) Prove que a resposta obtiva em (1) est correta usando o Princpio de InduoFinita. Explicite a base da induo, a hiptese de induo e o passo deinduo.

2. Seja p > 102000 um nmero primo. Determine o resto da diviso de

1p + 2p + 3p + + (p 1)ppor p.

Resoluo

1. A desigualdade vale para todo n 4. Vou provar isto por induo em n.Base da induo: Para n = 4 temos que 2n + 3 = 2 4 + 3 = 11 ao passo que

24 = 16, de modo que 2n + 3 2n neste caso.

Hiptese de induo: 2k + 3 2k para algum k 4.

Passo de induo: Temos que2(k + 1) + 3 = 2k + 3 + 2

= 2k + 2 (hiptese de induo)

2 2k (pois 2 2k) 2k+1

o que mostra que 2k + 3 2k implica que 2(k + 1) + 3 2k+1. Portanto, peloPrincpio de induo finita temos que 2n + 3 2n para todo n 1.

2. Pelo teorema de Fermat ap

a (mod p). Portanto,

1p + 2p + 3p + + (p 1)p 1 + 2 + 3 + + (p 1) (mod p).Contudo, pela frmula da soma de uma PA,

1 + 2 + 3 + + (p 1) = (p 1)p2

.


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Observe que se trata de um nmero inteiro, j que p mpar e, portanto, 2 dividep 1. Mas isto significa que p divide a soma, donde

1p + 2p + 3p + + (p 1)p 1 + 2 + 3 + + (p 1) 0 (mod p).Logo, o resto 0.


1. Seja n = 340561.

(1) Determine se n um nmero de Carmichael.

(2) Determine se n um pseudoprimo forte para a base 7.(3) Determine o menor inteiro positivo b para o qual n no um pseudoprimopara a base b.

2. Use o algoritmo chins do resto para achar o menor nmero que, se dividido por9 deixa resto 3, se dividido por 11 deixa resto 4, e se dividido por 5 deixa resto 2.

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAJ2003/1Teste 5A

Em uma festa embalada ao som dos Impossveis um criminoso de helicptero roubouuma tiara de um milho de dlares. Avisados pelo Grande Chefe, Os Impossveissaram caa do criminoso. Decifre a mensagem abaixo e descubra quem foi o ladroda tiara.

(14371121, 3916391) 6112117 -10286021 - 7213824.

A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Espao = 99.


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DCCUFRJ 83

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAJ2003/2Teste 6

(1) Determine todos os valores de n > 1 para os quais (n2) = n.

(2) Quais so os subgrupos de ordem 4 de U(563)?(3) Seja p > 2 um nmero primo. Prove que, se 2p 1 composto, ento seu

menor fator primo no pode dividir o nmero de Fermat F(p).(4) Use o Teste de Primalidade para provar que 79 um nmero primo.

Resoluo

1. Seja n = pe11 pekk a fatorao de n em primos p1 < < pk, onde ej > 0 paraj = 1, . . . , k. Ento,

(n2) = (p2e11

p2ekk )

= p2e111 p2ek1k (p1 1) (pk 1)= (pe11 pekk )pe111 pek1k (p1 1) (pk 1)= n(n).

Assim, (n2) = n(n) = n implica que (n) = 1, o que s pode ocorrer se n = 2.

2. O grupo U(563) tem ordem (563) = 562 = 2 281, que no divisvel por 4.Logo, pelo Teorema de Lagrange, este grupo no tem nenhum subgrupo de ordem 4.

3. Seja q o menor fator primo de 2p

1, e suponhamos que q divide F(p). Nestecaso, deveremos ter que q = 2p+1 + 1, para algum 1. Como q o menor fator de2p 1, ento q 2p 1 2p/2, donde

2p+1 + 1 2p/2,que implica

2p/2 1

2p+1< 1,

que uma contradio. Logo q no pode dividir F(p).

4. Temos que n = 79. Fatorando n

1 = 78 = 2

3

13. Escolhendo 2 como base,

para comear, temos que2(n1)/13 26 64 (mod 79) e 2(n1)/3 226 23 (mod 64),

contudo, 2(n1)/2 239 1 (mod 79). Como2n1 278 (239)2 1 (mod 79),


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a base 2 serve para os primos 13 e 3, mas no para 2. Vamos tentar a base 3 para oprimo 2, obtemos

3(n1)/2 339 78 (mod 79),alm disso, evidentemente,

3(n1) (339)2 782 1 (mod 79),de modo que 3 serve como base para o primo 2. Isto mostra que 79 primo peloTeste de Primalidade.

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografiaMAJ2003/2Prova Final

(1) Seja n = 1043957 uma chave pblica do RSA. Fatore n pelo algoritmo de

Fermat e determine o menor valor possvel para o parmetro de codificao e.(2) Resolva a congruncia 4547x + 87 23 (mod 8779).(3) Seja p um fator primo de um nmero mpar n. Prove que se

mdc(p, (n 1

2)!) = 1,

ento n primo.

(4) Sabe-se que 6361 fator primo de um nmero de Mersenne 2p 1, onde p > 1 primo. Determine p.

(5) Seja n = 49141 = 157 313.(a) Determine o resto da diviso de 2

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por n, pelo algoritmo chins doresto.(b) Use isto para verificar se n um pseudoprimo forte para a base 2.

(6) Sabe-se que 269 primo e que 13269 1454 (mod p), onde p = 8 269 + 1.Determine dois geradores de U(p).

(7) Sabe-se que p > 1 um primo e que 32p + 2p1 + 1 0 (mod p). Determinep.

(8) Prove, por induo em n que 9 divide n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 para todo n 1.


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DCCUFRJ 85

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografia2004/1Gabarito do Teste 1

1. Seja n > 2100!

um nmero inteiro. Use o algoritmo euclidiano estendido paracalcular d = mdc(32n+2, 3n+1) e dois inteiros e tais que d = (32n+2)+(3n+1).

2. Use o algoritmo de fatorao de Fermat para determinar dois fatores de 1062097.

Resoluo

1. Vamos aplicar o algoritmo euclidiano estendido. Note que, para dividir 32n + 2por 3n + 1, usamos o produto notvel

32n 1 = (3n + 1)(3n 1),

de modo que 32n + 2 = (3n + 1)(3n 1) + 3.Logo, o resto da diviso de 32n + 2 por 3n + 1 3. A prxima diviso ser de 3n + 1por 3, que d resto 1 e quociente 3n1. Organizando tudo na tabela do algoritmoestendido, obtemos

Restos Quocientes x y32n + 2 * 1 03n + 1 * 0 1

3 3n 1 1 1 3n1 3n1

3n1 1

3n1(1

3n)

Logo mdc(32n + 2, 3n + 1) = 1. Alm disso, como

1 3n1(1 3n) = 32n1 3n1 + 1,conclumos que

= 3n1 e que = 32n1 3n1 + 1.No custa verificar que no cometemos nenhum erro, calculando (32n+2)+(3n+1),que d

(3n1)(32n + 2) + (32n1 3n1 + 1)(3n + 1)multiplicando tudo, obtemos

33n1 2 3n1 + 33n1 32n1 + 3n + 32n1 3n1 + 1e depois de cancelar os termos comuns sobra

3 3n1 + 3n + 1 = 1,como espervamos.


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2. Calculando a raiz quadrada de n = 1062097, encontramos 1030.580904, que no um inteiro. Portanto o nmero dado no um quadrado perfeito e precisamoscalcular a tabela do algoritmo:

x x2 n Inteiro?1031 54.10175598 no

1032 54.10175598 no

1033 70.65408693 no

1034 84.01785525 no

1035 95.54056730 no

1036 105.8253278 no

1037 115.2041666 no

1038 123.8830093 no

1039 132.0000000 sim


x + y = 1039 + 132 = 1171 e

x y = 1039 132 = 907.




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DCCUFRJ 87

DCC-UFRJNmeros inteiros e criptografia2004/1Gabarito do Teste 2

1. Considere o seguinte fato:

Se a um inteiro e p um fator primo mpar de a2 + 1 ento p 1(mod 4).

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