Prova de Introducao a Probabilidade – 16/09/2010

Resolva as questoes 1, 2 e 3 e escolha duas das outras questoes para resolver em sala.

Questao 1) Sejam Ak, k ∈ N, tais que P(Ak) = 1, mostre que P(∩kAk) = 1.

Questao 2) Uma caixa contem n bolas: k brancas e n − k pretas. Retiram-se asbolas da caixa sucessivamente, sem reposicao. Qual e a probabilidade da terceirabola retirada ser branca? Qual e a probabilidade da terceira bola retirada ser branca,dado que a primeira bola retirada foi preta?

Questao 3) Suponha que A e B sejam eventos independentes, mostre que Ac e Bc

sao independentes.

Questao 4) Imagine que existam duas estradas entre quaiquer de tres cidades C1, C2,C3. Cada estrada esta transitavel com probabilidade p independentemente uma dasoutras. Determine a probabilidade de haver um caminho transitavel entre C1 e C2.

Questao 5) Considere que N dados iguais e justos sao lancados, com P(N = k) =pk−1(1 − p), para k ≥ 1. Seja S a soma das faces dos dados lancados. Determine aprobabilidade de que N = 2 dado que S = 6.

Questao 6) Suponha que a funcao de distribuicao de uma v.a. X seja FX(t). De-termine a funcao de distribuicao de X+ ≡ max{0, X}.

Questao 7) Considere as v.a. independentes com distribuicao binomial X ∼bin(n, p) e Y ∼ bin(m, p). Determine, para L ∈ N, P(X + Y = L). (Dica, lembre-sedo curso de Analise Combinatoria que

∑k

(nk

)(m

L−k

)=

(n+m

L

))

Questao 8) Considere uma sequencia de v.a. independentes X1, X2, . . . , Xn tais queXk ∼ Ber(p), ou seja, P(Xk = 1) = p = 1− P(Xk = 0). Seja Bn o numero de blocosde 1′s consecutivos (isso e uma v.a.). Calcule E(Bn). (Para ilustracao, a sequencia0010111001100100111, o numero de blocos e 5, e a dica e usar funcoes indicadoras)

Para terca-feira 21/09 Resolva por escrito as 3 questoes acima que nao foram feitasem sala. Resolva os exercıcios 3.11.13, 3.2.3 e 3.2.4 da terceira edicao do livro queestamos usando.