Prova  de  Recuperação  de  Física  1  –  FCM  0501    2013  

   

Nome  do  Aluno   Número  USP      

   

                         

       

Boa  Prova!          

A  prova  é  sem  consulta.  As  respostas  finais  devem  ser  escritas  com  caneta.  

Respostas  finais  escritas  a  lápis  não  terão  recorreção.  É  proibido  o  uso  de  calculadoras.  

Há  um  bônus  de  0,5  na  2ª.  questão.  As  questões  1  e  2  serão  corrigidas  pelo  prof.  Onody  e  as  questões  3  e  4  pelo  prof.  Fred    

  Valor  das  Questões  

Nota  

1ª.   a) 1,5  b) 1,0  

 

2ª.   a) 1,25  b) 1,75  

 

3ª.   a) 1,0  b) 0,5  c) 1,0  

 

4ª.   a) 1,0  b) 1,0  c) 0,5  

 

Nota  Final      

1) Uma pessoa parada no alto de um rochedo hemisférico de raio R chuta uma bola (que está inicialmente em repouso no topo da rocha) fornecendo-lhe uma velocidade horizontal 𝑣! (veja figura). a) Qual o valor mínimo de 𝑣!  para que a bola nunca atinja o rochedo depois de chutada? b) Com essa velocidade mínima, a que distância 𝑥! da base do rochedo a bola atinge o solo?

Equações de movimento no sistema de coordenadas acima:

𝑥 𝑡 = 𝑣!𝑡      𝑒    𝑦 𝑡 = 𝑅 −  𝑔𝑡!

2

Equação da trajetória

𝑦 𝑥 = 𝑅 −𝑔𝑥!

2𝑣!!

Equação da circunferência 𝑦 𝑥 = + 𝑅! − 𝑥!

a) Para que a bola nunca cruze o rochedo devemos ter

𝑅 −𝑔𝑥!

2𝑣!!> 𝑅2 − 𝑥2

ou seja, tomando o quadrado dos dois lados

𝑣!! − 𝑅𝑔 +𝑔!𝑥!

4𝑣!!> 0

Como !!!!

!!!! é sempre maior ou igual a zero a menor contribuição vem de 𝑥 = 0, e

desigualdade tem que valer para todo o intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅, portanto, 𝑣!! − 𝑅𝑔 > 0

𝑣! > 𝑅𝑔

b) Tomando 𝑣! = 𝑅𝑔  , teremos,

𝑦 𝑥 = 𝑅 − !!

!!= 0       →      𝑥 = 𝑥! + 𝑅 = 𝑅 2

ou 𝑥! = 𝑅( 2− 1)

R 𝒙𝟎

𝒗𝟎 y

x

2) Um disco homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 desliza sem atrito por uma mesa horizontal com velocidade 𝑣!. Nesta mesma mesa se encontra outro disco homogêneo de massa 2𝑀 e raio 3𝑅 que está inicialmente em repouso. A colisão entre os discos é tal que suas bordas apenas se tocam (colisão tangencial). Suponha que os discos contém uma cola de ação instantânea de sorte que, quando eles se tocam, os dois discos ficam grudados e giram após a colisão. a) Qual é o momento angular do sistema no referencial de Centro de Massa? b) Qual é a velocidade angular de rotação em torno do Centro de Massa?

Como não há forças externas, a velocidade do CM é constante e igual a 𝑣!" = !!!

!!= !!

!

No momento do contacto, usando o centro do disco 2 de massa 2M (o centro do disco 1 de massa M estará a uma distância de 4R) como origem teremos a posição do CM 𝑟!" =!!.!!!.!!

!!= !!

!.

a) Calculemos as velocidades dos discos 1 e 2 no CM.

𝑣! = 𝑣! − 𝑣!" = !!!!

e 𝑣! = 0 − 𝑣!" = − !!!

O momento angular de 1 no CM será em módulo (e perpendicular ao plano horizontal) 𝐿! = 𝑀 !!!

!4𝑅 − 𝑟!" = !"!!!!

!

O momento angular de 2 no CM será em módulo (perpendicular ao plano horizontal e com mesmo sentido de 1)

𝐿! = 2𝑀 !!!𝑟!" = !!!!!

!

Logo, o momento angular no CM será

𝐿 = 𝐿! + 𝐿! =8𝑀𝑣!𝑅3

b) O momento de inércia de um disco homogêneo de massa M e raio R em relação a um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao seu plano 𝐼 = !!!

!. Usaremos o

teorema dos eixos paralelos 𝐼 = 𝐼!" +𝑀𝑑!, onde d é a distância do eixo ao CM. Para o disco 1, o momento de inércia de rotação do disco 1 em relação ao CM do sistema

𝐼! = 𝐼!",! +𝑀(4𝑅 − 𝑟!")! =𝑀𝑅!

2+64𝑀𝑅!

9=137𝑀𝑅!

18

Para o disco 2, o momento de inércia de rotação do disco 2 em relação ao CM do sistema

𝐼! = 𝐼!",! + 2𝑀(𝑟!")! =2𝑀(3𝑅)!

2+2𝑀. 16𝑅!

9=113𝑀𝑅!

9

Logo, o momento de inércia total do sistema I em relação ao CM do sistema será

𝐼 = 𝐼! + 𝐼! =1216𝑀𝑅!

Como, 𝐿 = 𝐼𝜔     →       !!!!!!

=   !"!!𝑀𝑅!𝜔      

𝜔 =16121

𝑣!𝑅

3) Dois caminhões A e B trafegam num trecho reto de uma estrada sob neblina, deslocando-se na mesma direção com velocidades vA = 20 m/s e vB = 10 m/s, respectivamente, como mostra a figura. Quando a distância entre os veículos é de L = 16 m, o motorista do caminhão A aciona os freios, tentando evitar a colisão. Ao frear as rodas travam e o caminhão passa a deslizar. O coeficiente de atrito cinético entre o solo e as rodas é µc = 0,20. (considere a aceleração da gravidade 10 m/s2)

a) Calcule a coordenada x do ponto onde ocorre a colisão, adotando o referencial indicado na figura.

b) Calcule a velocidade do caminhão A imediatamente antes da colisão. c) Considerando mB= 2mA e que o choque é perfeitamente inelástico, determine a

velocidade dos veículos imediatamente após o choque. Despreze os efeitos de frenagem do caminhão A durante a colisão.

a) Ao frear, o caminhão A é submetido a uma aceleração dada por: As equações horárias do caminhões são dadas por Na colisão tem-se xA=xB: Assim, a colisão ocorre em t=2s. b) c) Como foi dito para se desprezar os efeitos da frenagem durante a colisão, não há força externa atuando no sistema da direção do movimento. Assim, a componente do vetor momento linear ao longo do movimento se conserva na colisão. Assim, imediatamente antes e após a colisão tem-se que

A B

ANTES DEPOIS

v/2vm m

M, R

~FR = m~a ) ma = �µcN = �µcmAg ) a = �2m/s2

xA(t) = 20t� 1

2⇥ 2t2

xB(t) = 16 + 10t

20t� t2 = 16 + 10t ! t2 � 10t+ 16 ! t = 2s ou t = 8s

) xA(2) = xB(2) = 36m

vA

(t) = vAo

+ a(t� t0) = 20� 2⇥ 2 ) vA

(2) = 16m/s

pix

= pfx

) mA

vA

+mB

vB

= (mA

+mB

)vf

) vf =mA(vA + 2vB)

3mA=

16 + 2⇥ 10

3= 12m/s

4) Uma mola ideal, de constante elástica k, é comprimida de uma distância d e colocada (sem ser presa) entre dois blocos idênticos, de massa m cada, que estão ligados por meio de um fio ideal. Todo o sistema move-se com velocidade inicial v0 = v0 î sobre uma superfície horizontal sem atrito, como mostra a figura. Considere que a mola e o fio têm massas desprezíveis. (Deixe a sua resposta em termos de k, d, m e v0)

a) Qual é a energia mecânica do sistema? b) Suponha que, em dado instante, o fio se parta. Determine as velocidades finais

de cada bloco após a mola voltar a sua posição de equilíbrio (compressão nula). c) Determine a velocidade do centro de massa do sistema, na situação do item b).

a) b) Sistema conservativo: energia mecânica se conserva.

Como não há força externa atuando na direção do movimento, a componente do momento linear ao longo desta direção se conservará. Deste modo

Substituindo v1 na equação obtida pela conservação da energia mecânica: Se v1 representa a velocidade do bloco da esquerda, devemos ter v1 < v2 uma vez que a mola empurra o bloco da direita no sentido de v0 e o da esquerda no sentido oposto. Tem-se então c)

EM = T + U =mv202

+mv202

+kd2

2) EM = mv20 +

kd2

2

Ei

= Ef

) mv2o

+kd2

2=

mv212

+mv222

pix

= pfx

) mv0 +mv0 = mv1 +mv2 ) v1 = 2v0 � v2

mv2o

+kd2

2=

m(2v0 � v2)2

2+

mv222

) kd2

2= v22 � 2v0v2 + v0 = (v2 � v0)

2

) v2 � v0 = ±r

kd2

2) v2 = v0 ±

rkd2

2) v1 = v0 ⌥

rkd2

2

~vcm =m~v1 +m~v2

2m) ~vcm

1

2(v1 + v2)i ) ~vcm = v0i

Universidade Federal de PernambucoCCEN - Departamento de Fısica

Segunda Chamada - Fısica Geral I (2007/1)Data: 10/08/2007

Nome: Turma: CPF:

Justificar TODAS as respostas; NAO e permitido o uso de calculadoras

Questao 1: A figura 1 mostra uma caixa, cheia de tamaras secas, que possui uma massa tal, que aforca gravitacional, atuando sobre ela, tem modulo de 180 N. O coeficiente de atrito estatico entre a caixacontendo o acepipe e o piso e µe = 0, 420. Uma pessoa gulosa tenta surrupiar a caixa, puxando-a comuma corda amarrada a ela.

a) (1,0) Se µ = 45±, qual e o modulo da forca°!F que o larapio deve exercer sobre a corda para colocar

a caixa na iminencia de movimento?b) (1,0) Escreva uma expressao para o modulo F da forca necessaria para colocar a caixa na iminencia

de movimento em funcao do angulo µ.c) (1,0) Determine o valor de µ para o qual F e um mınimo, Fmin.

Questao 2: Uma mola ideal, de constante elastica k, e comprimida de uma distancia d e colocada(sem ser presa) entre dois blocos identicos, de massa m cada, que estao ligados por meio de um fio ideal.Todo o sistema move-se com velocidade inicial ~v0 = v0ı sobre uma superfıcie horizontal sem atrito, comomostra a figura 2. Considere que a mola e o fio tem massas desprezıveis.

a) (1,0) Qual e a energia mecanica do sistema?b) (1,5) Suponha que, em dado instante, o fio se parta. Determine as velocidades finais de cada bloco,

apos a mola voltar a sua posicao de equilıbrio (compressao nula).c) (1,0) Determine a velocidade do centro de massa do sistema, na situacao do item b).

!Tâmaras�Secas

Produto�da Turquia

Figura 1:

xm m

v0

v0

fio

Figura 2:

1v

2v

O

L

d

mFigura 3:

Questao 3: Uma porta, feita de um material muito leve, tem massa M = 3, 0 kg, largura L = 1, 0m e espessura desprezıvel. Ela pode girar sem atrito sobre um eixo vertical que passa pelo ponto O,conforme a figura, e encontra-se inicialmente em repouso. Uma bala de canhao, de massa m = 0, 50 kg, eentao disparada com velocidade v1 = 10, 0 m/s e colide perpendicularmente com a porta, a uma distanciad = 0, 80 m do eixo O. A bala atravessa a porta e emerge do outro lado com velocidade v2 = 5, 0 m/s. Omomento de inercia da porta em relacao a um eixo que passa pelo seu centro de massa, paralelamente aoeixo que passa pelo ponto O, e ICM = ML2/12.

a) (0,5) Calcule o momento de inercia da porta em relacao ao eixo que passa pelo ponto O.b) (1,5) Calcule a velocidade angular adquirida pela porta apos ser atingida pela bala. Despreze

qualquer perda de massa que a porta possa ter sofrido.c) (1,5) Calcule a variacao de energia mecanica devida a colisao da bala com a porta.

v1 = v0 �r

kd2

2e v2 = v0 +

rkd2

2