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12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUlHO DE 2012.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ E WALTER PORTO.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÃO 01 Considere os conjuntos A = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 3} e B = {y ∈ Z / –1 ≤ y ≤ 1}. A representação gráfica do produto cartesiano A × B corresponde a:

01) um retângulo cuja base é maior que a altura 02) um retângulo cuja altura é maior que a base 03) três segmentos de reta horizontais 04) três segmentos de reta verticais 05) um conjunto com apenas doze pares ordenados

RESOLUÇÃO:

O conjunto A = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 3} está representado, na figura ao lado, pela faixa vertical infinita e limitada pelas retas x = 0 e x = 3. O conjunto B = {y ∈ Z / –1 ≤ y ≤ 1} pelas três retas horizontais y = 1, y = 0 e y = - 1. A representação gráfica do produto cartesiano A x B corresponde à interseção das retas com a faixa, isto é, três segmentos de reta horizontais. RESPOSTA: Alternativa 03.

QUESTÃO 02

Quantos termos da PA (29 ; 31 ; 33 ; 35 ; ... ) devem ser somados a fim de que a soma seja igual à soma dos oito primeiros termos

da PG ( 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ... ) ?

01) 14 02) 15 03) 16 04) 17 05) 18

RESOLUÇÃO:

A soma dos termos de uma P.G. finita pode ser calculada pela relação: 1q

1)(qaS

n1

n−

−= , logo, .765

12

1)3(2S

8

8 =−

−=

Numa P.A., ( ) ( ) 17.n765nn287651)nn(29765

2

n1).2(n2929

2

)na(aS n1

n =⇒=+⇒=−+⇒=−++

⇒+

=

RESPOSTA: Alternativa 04.

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QUESTÃO 03 (UEFS) Sobre a função f:R→R representada no gráfico, á correto afirmar:

01) f é injetora e seu conjunto imagem é [0, 2]. 02) f é sobrejetora e o número 3 pertence ao conjunto-imagem. 03) f(–2)<0. 04) f admite função inversa. 05) f não é sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois números reais. RESOLUÇÃO:

01) FALSA. Função injetora é a função, tal que, para todo x ≠ x’, f(x) ≠ f(x’). Na figura ao lado conclui-se que na função dada, a dois valores diferentes de x, a e –a, corresponde um mesmo valor de y.

02) FALSA. Uma função é sobrejetora quando o seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio. A função f:R→R representada no gráfico ao lado tem como imagem o intervalo ]0, 2] ≠ R que é o seu contradomínio.

03) FALSA. Sendo o conjunto imagem, o intervalo ]0, 2], então é falsa a afirmação f(–2)<0. 04) FALSA. Como a função estudada não é injetora nem sobrejetora, não possui inversa. 05) VERDADEIRA. Já foi visto que a função não é sobrejetora, e na figura ao lado conclui-se que 1 é imagem de apenas dois valores diferentes de x.



QUESTÃO 04

Uma mistura com 560 litros é constituída de álcool (20%) e gasolina(80%). Deseja-se acrescentar x litros de álcool a esta mistura

para que a participação do álcool passe para 30%. Calcule x.

01) 40 02) 56 03) 70 04) 80 05) 100

RESOLUÇÃO: A mistura tem 0,2 × 560 litros de álcool, isto é, 112 litros. Acrescentando-se x litros de álcool, a proporção de álcool na nova mistura será:

80x5607x16803x112010x10

3

x560

x112=⇒=⇒+=+⇒=

+

+ .


QUESTÃO 05 (UFES) O coeficiente de eficiência E(x) de um creme protetor é dado por:

xxE

11)( −= , sendo x o fator de proteção solar (FPS) do creme. Lílian quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiência

seja 12% maior do que o de um creme com FPS igual a 8. Ela deve, portanto, adquirir um creme protetor com FPS igual a: 01) 30 02) 35 03) 40 04) 45 05) 50 RESOLUÇÃO:

8

7

8

11)8( =−=E .

Lílian quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiência seja 12% maior do que 8

7)8( =E , logo,

⇒==×= 98,08

7,84

8

712,1)(xE 50.x10,02x0,98x1x0,98

x

11 =⇒=⇒=−⇒=−

RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 06 (UFBA-2008/Adaptada) A figura representa a circunferência com centro no ponto O e diâmetro AC medindo 168cm. Sabendo que o ângulo BÔC mede 60º, determine a medida, em centímetros, do raio da circunferência de centro P ∈ AC que tangencia o segmento AB e passa pelo ponto O.

01) 14 02) 21 03) 28 04) 35 05) 42


RESOLUÇÃO:

AC = 2R = 168 cm ⇒ R = 84cm.

Sendo um arco de 60°, BÂC mede 30°.

Considerando T o ponto de tangência entre a corda AB e a circunferência de centro

em P, PT ⊥ AB . No triângulo retângulo ATP, tem-se:

28rr842rr84

r

2

1

r84

rsen30 =⇒−=⇒

−=⇒

−=° .

Finalmente r = 28cm RESPOSTA: Alternativa 03.

QUESTÃO 07 (UFPR)

Considere as seguintes afirmativas a respeito da função RD :f → definida por x1

x)x(f

−= :

I. O ponto x = 1 não pertence ao conjunto D.

II. 1x

1

x

1f

−=

III. 1)x(f −≠ , qualquer que seja Rx ∈

IV. A função inversa de f é x

1x)x(f 1 +

=−

Assinale a alternativa correta. 01) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 02) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 03) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 04) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 05) Todas as afirmativas são verdadeiras.

RESOLUÇÃO: I. VERDADEIRA.

O conjunto D, domínio da função x1

xf(x)

−= , é o conjunto dos valores reais de x, tais que,

x – 1 ≠ 0, isto é, x ≠ 1 II. VERDADEIRA.

1x

1

x

1xx

1

x

11

x

1

x

1f

−=

−=

−

=

.

III. VERDADEIRA.

solução) 1(sem0xx1x1x1

x=⇒=−⇒−=

−, logo 1)x(f −≠ , qualquer que seja Rx ∈ .

IV. FALSA.

Para determinar a função inversa de x1

x)x(f

−= , faça-se ⇒

−=

y1

yx

1x

x(x)f

1x

xyxxyyyxyx 1

+=⇒

+=⇒=+⇒=− − .



QUESTÃO 08 Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de lado 10 e os arcos AD, AB, BC e CD são semi-circunferências. Determine a área da região hachurada. Obs.: Use π = 3,14.

01) 39 u.a. 02) 43 u.a. 03) 57 u.a. 04) 61 u.a. 05) 65 u.a.

RESOLUÇÃO:

Na figura ao lado, o arco de raio EB = 5cm, mede 90°.

A área do segmento circular determinado por esse arco e pela corda BO tem como área:

4

28,5

4

5078,5

2

55

4

253,14S

4

5πS BEO

2

=−

=×

−×

=−×

= .

Então a área da região hachurada é:

5728,524

28,58 =×=× .


QUESTÃO 09(FGV-Modificada) Sorteados ao acaso 3 dentre os 9 pontos marcados no plano cartesiano indicado na figura, a probabilidade de que eles não estejam (os três) sobre uma mesma reta é

01) 21

20 02)

21

19 03)

14

13

04) 7

6 05)

7

5

RESOLUÇÃO:

Existem 84123

789C9,3 =

××

××= maneiras diferentes de combinar os 9 pontos 3 a 3.

Em 8 dessas 84 maneiras, os 3 pontos estão sobre uma mesma reta, conforme figura ao lado. Logo a probabilidade de que eles não estejam (os três) sobre uma mesma reta é:

21

19

84

76

84

884==

−.



QUESTÃO 10 (Fuvest-2010) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta

OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede π/3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale

01) 8

a 2

02) 4

a 2

03) 2

a 2

04) 4

3a 2

05) 2a

RESOLUÇÃO:

Como BCA é um ângulo inscrito cujos lados determinam no círculo um arco AB que mede π/3 radianos, então a sua medida é π/6 radianos, e a área do triângulo isósceles ABC é:

S = 4

aa

2

1

2

1aa

6

πsen

2

1 22 =××=××

×


QUESTÃO 11 (UNIOESTE)

A equação 0

1111

24010

2507,5

1/10x0x2

=

−

possui duas raízes. A respeito destas raízes pode-se afirmar que

01) uma delas é nula. 02) sua soma é 1. 03) seu produto é 1. 04) sua soma é –1. 05) seu produto é –1.

RESOLUÇÃO:

12

2'''.025201585203100

2410

255,7

1,0x

0

1111

24010

2507,5

1/10x0x

222

22

==⇒=++⇒=−−++−⇒=

−

⇒=

−

xxxxxxxx

x

.



QUESTÃO 12 (Fuvest-2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o

ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence

à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

01) 25

63 02)

5

12 03)

25

58

04) 25

56 05)

5

11

RESOLUÇÃO: Sendo o triângulo ABC retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4, então a

sua hipotenusa AC mede 5.

Como DE = 1,5 e BC // DE , então FC = 1,5 e AF = 3,5.

A área do triângulo ABC é igual a u.a.62

43S =

×=

Os triângulos retângulos ABC, ADF e DBE são semelhantes, então vale as relações:

2

ABC

ADF

AC

AF

S

S

= e

2

ABC

DBF

AC

DE

S

S

= ⇒

50

147

25

73,5S

5

3,5

6

SADF

2

ADF ==⇒

=

e 50

27

25

5,13S

5

1,5

6

SDBF

2

DBF ==⇒

=

Logo a área de DECF é: u.a.25

63

50

126

50

174300

50

27

50

1476 ==

−=

+−


QUESTÃO 13 (UEPB)

Em relação ao sistema linear nas variáveis

+=−+

=+

p12)y(ppx

4y2xy x, , podemos afirmar que a única alternativa correta é:

01) O sistema admite solução qualquer que seja “p” real 02) Se p = 4, o sistema tem infinitas soluções 03) O sistema não admite solução para p ≠ 4 04) Se p = 4, o sistema não tem solução 05) O sistema admite solução única se p = 4

RESOLUÇÃO:

4p∆p42p∆2pp

12∆

p12)y(ppx

4y2x −=⇒−−=⇒

−=⇒

+=−+

=+.

93p∆1p84p∆2pp1

14∆ xxx −=⇒−−−=⇒

−+= .

Se p = 4, ∆ = 0 e ∆x = 3 ⇒ o sistema não tem solução. RESPOSTA: Alternativa 04.


QUESTÃO 14

No triângulo retângulo da figura ao lado, T é o ponto médio do lado AB. Sabendo que o triângulo PQT é equilátero de lado x e que AB = 4, então calcule x2 – 2 .

01) 01

02) 02

03) 03

04) 04

05) 05

RESOLUÇÃO:

Na figura ao lado, o ângulo QTA é externo ao triângulo BQT, logo,

60° + β = α + 60° ⇒ α = β. Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo BQT:

senαx

3senβ

3

2x

senβ

2

sen60

x

senβ

2==⇒=⇒

°= (I)

No triângulo retângulo PAT, 4xPA 2 −= ex

4xsenα

2 −= (II)

De (I) e (II): 52x7x34x34xx

3

x

4x 22222

=−⇒=⇒=−⇒=−⇒=−

.


QUESTÃO 15 Sejam as matrizes

−−=

2t162

1z241

1y81

0x41

A ,

−−=

t242

z161

y121

x011

B com x, y, z e t números reais. Sabendo que

det A = – 20, então det (2B–1) é um número N tal que:

01) N < –5 02) –5 < N < –1 03) –1 < N < 1 04) 1 < N < 5 05) N > 5 RESOLUÇÃO:

5

242

161

121

011

20

242

161

121

011

4

2162

1241

181

041

det −=−−

⇒−=−−

⇒−−

=

t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

A

Como .2,35

12)2det(

5

1det5det)5(det

242

161

121

011

411 =×=⇒=⇒=⇒−−=⇒

−−= −−

BBBB

t

z

y

x

B


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