propagação e radiação de ondas … calcule a potência transmitida na linha. soluções a) v 5e...
TRANSCRIPT
MEEC
Ano Lectivo 2015/2016, 2º Semestre
Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas
(PROE)
(Propagação Guiada) Linhas de Transmissão
Enunciados de Problemas (com Soluções)
Resoluções de Problemas Seleccionados
Enunciados de Provas de Avaliação Anteriores
Edição de Custódio Peixeiro
Março 2016
2/47
Enunciados
de
Problemas (com Soluções)
3/47
Problema LT1 (Resolvido)
I. A figura representa o módulo da tensão ao longo de um cabo coaxial, sem perdas,
com dieléctrico ar e impedância característica Z0=50 , terminado por uma
impedância de carga Zs.
O cabo coaxial está alimentado por um gerador de tensão em vazio 20 V e
impedância interna Zg=50 .
a) Calcule o coeficiente de onda estacionária p, o factor de reflexão na carga Ks e a
frequência de trabalho.
b) Calcule a impedância de carga Zs e a impedância de entrada Z1s do cabo
coaxial.
c) Calcule a potência entregue à carga.
II. Admita agora que o cabo coaxial está terminado por um curto-circuito.
d) Determine os novos valores de Zs, Ks, p e Z1s.
e) Esboce o andamento do módulo da tensão e da corrente ao longo do cabo.
III. Admita agora que o cabo coaxial está terminado pela impedância Zs = jZ0.
f) Calcule e potência à entrada do cabo coaxial.
4/47
Problema LT2
I. Considere uma linha de transmissão sem perdas, de comprimento l e impedância
característica Z0, terminada por uma impedância Zs.
a) Obtenha a relação entre a impedância normalizada num ponto qualquer da linha z(y) e o
factor de reflexão de tensão kV(y) nesse mesmo ponto.
b) Demonstre que a relação entre a admitância normalizada num ponto qualquer da linha
y(y) e o factor de reflexão de corrente kI(y) nesse mesmo ponto é igual à obtida na alínea
anterior.
c) Obtenha a relação entre o factor de reflexão de tensão num ponto da linha kV(y) e o
factor de reflexão de corrente nesse mesmo ponto da linha kI(y).
d) Obtenha as expressões que permitem traçar as curvas que no plano complexo kV (kI)
correspondem a valores constantes da resistência normalizada r (g) e da reactância
normalizada x (b).
e) Trace no plano complexo kV as partes das curvas correspondentes a r=0, ½, 1, 2, 4, 10 e
50 que se encontram no interior do círculo |kV|≤1.
f) Trace no plano complexo kV as partes das curvas correspondentes a x=-50, -10, -4, -2, -
1, -½, 0, ½, 1, 2, 4, 10 e 50 que se encontram no interior do círculo |kV|≤1.
g) Verifique que a Carta de Smith corresponde às representações gráficas que traçou nas
alíneas anteriores.
II. Admita agora que ZS=Z0 + j Z0 e que l=1,2λ. Utilize a Carta de Smith para obter as
respostas correspondentes às alíneas que se seguem.
h) Marque no plano complexo kV o ponto correspondente à impedância de carga
(normalizada à impedância característica) e trace o correspondente vector kV(y=0).
Obtenha o módulo e a fase de kV(y=0), bem como a relação de onda estacionária na
linha.
i) Obtenha o módulo e a fase de kV(y=l). Obtenha a impedância à entrada da linha
(normalizada à impedância característica).
j) Marque no plano complexo kV o vector correspondente à tensão na carga normalizada à
onda incidente de tensão. Obtenha as respectivas amplitude e fase.
k) Repita a alínea anterior agora para o ponto de entrada da linha (y=l).
l) Obtenha a admitância à entrada da linha.
m) Determine a que distâncias da carga (normalizadas a λ) se encontram o primeiro
máximo e o primeiro mínimo de tensão.
5/47
Soluções
a) (y)k1
(y)k1
Z
(y)Z(y)z
V
V
0
b) (y)k1
(y)k1
Y
(y)Y(y)y
I
I
0
c) (y)k(y)k IV
d)
h) 2,62pe5
10)(yk
o63,43j
V
i) 0,838j0,759)(yze5
1)(yk
o80,57j -
V ll
j) o
1
j18,43)
3
1(tanj
i2
e1,265e10
4
V
0)(yV
k) o22,34 j -
i2
e1,160V
)(yV
l
l) 0,655j0,594)(yy l
m) λ0,38814
λyyλ08810,y maxminmax
2
2
oVimaginári
2
Vreal
2
2
oVimaginári
2
Vreal
x
1)
x
1(k1)(k
)r(1
1k)
r1
r(k
6/47
Problema LT3
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento 82.5 ml , terminada por
uma carga de impedância 0 0sZ Z jZ , a trabalhar à frequência 15 MHzf . A linha
é alimentada por um gerador com uma tensão em vazio kV10V0 e impedância
interna 0 600gZ Z .
a) Calcule a tensão incidente na carga i2V .
b) A partir da carta de Smith, determine:
O factor de reflexão na carga;
O coeficiente de onda estacionária;
A tensão de entrada 1V e a tensão na carga 2V ;
O valor máximo e mínimo da tensão e da corrente ao longo da linha;
O andamento aproximado da tensão e da corrente ao longo da linha.
c) Confirme, por via analítica, os resultados obtidos na alínea anterior.
d) Esboce (no mesmo gráfico) o andamento da tensão para 0 ≤ y ≤ λ e t=0, T/8,
T/4, 3T/8, T/2, 5T/8, 3T/4, 7T/8.
e) Calcule a potência transmitida na linha.
Soluções
a) kVe5V π/4ji2
c) 063,4j
s e0,447k , 2,62p , kVe7,071V0j8,13
1 , kVe6,325V
0j26,572
,
kV7,236Vmax , kV2,764Vmin , A12,060Imax , A4,607Imin ,
m1,76ymax
e) kW(6)16,Pt
Zg
V0(t) Z0
I1 I2
Zs V1 V2
z
y = l - z
0
0 l
l
7/47
Problema LT4
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento l=62,5 m, com impedância
característica Z0=200 , a operar à frequência f=15 MHz. A linha é alimentada por
um gerador com uma tensão em vazio V0=10 kV, e uma impedância interna Zg=200
. Medindo a tensão máxima e mínima ao longo da linha obteve-se respectivamente
Vmax=7,5 kV e Vmin=2,5 kV, ocorrendo o primeiro máximo de tensão a 6 m da carga.
Resolva o problema analiticamente e utilizando a Carta de Smith.
a) Calcule o coeficiente de onda estacionária p e o factor de reflexão na carga Ks.
b) Determine a impedância de carga Zs.
c) Calcule a tensão de entrada V1 e a tensão de carga V2.
d) Calcule a potência entregue à carga
e) Calcule a impedância a 5 m e a 10 m da carga.
Soluções
a) π1,2js e
2
1k3,p
b) Ω57,09j72,85Zs
c) kVe3,32VkV,e4,07V00 71,27j
229,81j
1
d) P = 46,875 kW
e) ss
20 Zm)10(yZΩ,266,58j340,15
Z
Zm)5(yZ
Zg
V0(t) Z0
I1 I2
Zs V1 V2
z
y = l - z
0
0 l
l
8/47
Problema LT5
Uma linha aérea com impedância característica 0Z 50 , a operar na frequência
30 MHz,f está terminada por uma impedância sZ 150 100 .j Recorrendo à
Carta de Smith, determine:
a) O factor de reflexão da carga;
b) O factor de onde onda estacionária;
c) A admitância na carga;
d) A localização dos pontos ao longo da linha em que a tensão é máxima e mínima
e os respectivos valores;
e) Os valores da impedância nos pontos de tensão máxima e mínima. Comente o
resultado;
f) A impedância a uma distância de 3 metros da carga;
g) Confirme analiticamente os resultados obtidos nas alíneas anteriores.
Soluções
a) 018,43j
s e0,632k
b) p = 4,442
c) mS3,077j4,615Ys
d) Máximos de tensão: mn50,256ymax
Mínimos de tensão: mn52,756ymin
e) Ω11,26ZΩ,222,08Z minmax
f) Ω7,32j11,51m)3(yZ
9/47
Problema LT6
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento l=45 m, terminada por uma
carga de impedância Zs=3Z0. Admita que a linha pode ser usada em baixa e alta
frequência; f1=10 kHz e f2=10 MHz, respectivamente.
a) Calcule o factor de reflexão na carga.
b) Calcule a desfasagem das ondas incidentes e reflectidas de tensão à entrada e
no fim da linha, para as duas frequências 21 fef .
c) Esboce o andamento aproximado do módulo da tensão ao longo da linha nas
duas frequências de operação.
d) Comente os resultados obtidos nos dois regimes de operação da linha de
transmissão.
Soluções
a) 2
1ks
b) Para a frequência f1: 21
s2i
2rk
V
V
08.1j
212j
s1i
1reek
V
V1 l
Para a frequência f2: 21
s2i
2rk
V
V
1080j
212j
s1i
1reek
V
V2 l
Zg
V0(t) Z0
I1 I2
Zs V1 V2
z
y = l - z
0
0 l
l
10/47
Problema LT7
Considere a linha de transmissão, sem perdas, representada na figura.
a) Escreva as expressões da amplitude complexa da tensão e da corrente ao longo
da linha ( (y)I(y),V ) em função da onda de tensão incidente na carga ( i2V ).
b) Calcule i2V em função de s0g0 Zl,,Z,Z,V , .
c) Calcule i2V quando a linha está adaptada à saída (Zs=Z0). Comente o resultado
obtido.
d) Calcule i2V quando a linha está adaptada à entrada (Zg=Z0). Comente o
resultado obtido.
e) Discuta as consequências da linha estar desadaptada à entrada (Zg≠Z0) e à saída (Zs≠Z0).
Soluções
a) 0s
0ss
yjs
yj
0
2iyjs
yj2i
ZZ
ZZkeke
Z
V)y(IekeV)y(V
b) 0lj0g0s
lj0g0s
00s2i V
e)ZZ()ZZ(e)ZZ()ZZ(
Z)ZZ(V
c) 0lj
0g
02i Ve
ZZ
ZV
d) lj02i e
2
VV
e) 2iV depende da carga. Há uma réplica do onda incidente que chega à carga 2l/c
depois da onda incidente original podendo provocar distorção do sinal recebido.
Zg
V0(t) Z0
I1 I2
Zs V1 V2
z
y = l - z
0
0 l
l
11/47
Problema LT8
Considere um cabo coaxial RG-401, com 20 m de comprimento, constituído por
condutores de cobre prateados e estanhados e dieléctrico PTFE (εr=2,0). Os
diâmetros dos condutores interior e exterior são 1,63 mm e 5,30 mm,
respectivamente.
Um fabricante deste cabo coaxial indica os valores de atenuação contidos na tabela
que se segue.
Frequência 10 MHz 100 MHz 500 MHz 1 GHz 5 GHz 10 GHz
α [dB/100 m] 1,21 4,69 12,4 16,9 49,4 74,4
Na gama de frequências em análise podem-se desprezar as perdas no dieléctrico.
a) Calcule a impedância característica do cabo coaxial (Z0).
b) Calcule os parâmetros distribuídos (R, G, L e C), e as constantes de atenuação (α) e de fase (β), para a frequência 10 MHz.
c) Repita a alínea anterior para a frequência 10 GHz. Comente os resultados obtidos.
d) Represente graficamente o andamento da amplitude da tensão ao longo do cabo, para a frequência 10 MHz, quando este é terminado com cargas de impedância 50 Ω e 75 Ω.
e) Repita a alínea anterior para a frequência 10 GHz. Comente os resultados obtidos.
Soluções
a) Ω50,0Z0
b) 111171 mF109,423CmH102,358L0GmΩ0,1393R
113 mrad0,2962βmNeper101,393αfracasPerdas106,4R
Lω
c) 111171 mF109,423CmH102,358L0GmΩ566,8R
112 mrad,17962βmNeper108,566αfracasPerdas1729,6R
Lω
Verifica-se que a atenuação é mais elevada em 10 GHz e que a condutividade
dos condutores varia com a frequência.
d) e e) 0θ0,2;kou0k)θyβ(2cosk2ekeV
(y)V yα22yα2
i2
12/47
Problema LT9 (Resolvido)
Considere o circuito de alta frequência da figura, constituído por uma linha de
transmissão sem perdas, a operar em 15 MHzf , com um comprimento 60 ml e
impedância característica 0 600ΩZ . A linha está terminada em vazio e tem uma
carga 1Z em paralelo.
Dados: Gerador: tensão em vazio 0 2 kVV e impedância interna 150ΩgZ ;
1 (900 750)ΩZ j e 1 20 my .
a) Calcule a impedância da linha em 1y y y (com y « λ).
b) Determine a corrente que percorre a impedância 1Z .
c) Esboce o andamento da tensão ao longo da linha.
d) Calcule o valor do coeficiente de onda estacionária no troço de linha entre 1Z e
o gerador ( 1y y ).
Z0 Z1
y
0 l
Zg
0V Z0 sZ
1y
13/47
Problema LT10
Pretende-se adaptar uma linha de transmissão, de impedância característica Z0=500
, a uma carga com Zs=(Z0 + j Z0)/5, interpondo entre a linha e a carga uma malha
de adaptação constituída por um stub em curto-circuito de comprimento stl de
impedância também Z0=500 ,, colocado em paralelo com a carga, à distância 1l
(ver figura).
Resolva o problema analiticamente e utilizando a Carta de Smith.
a) Dimensione stl e 1l de modo a obter a adaptação para a frequência 0 30 MHzf .
b) Uma vez que existe mais do que uma solução para stl e 1l , determine qual é a
solução mais vantajosa em termos da largura de banda da adaptação. Para tal
calcule o factor de onda estacionária na banda 0 3 MHzf f para as duas
primeiras soluções obtidas. (Sugestão: Recorra à Carta de Smith e considere
frequências )3,2,1n(MHznff 0 .
Soluções
a) Solução 1: m331.011 l , m209.41st l Solução 2: m016.412 l , m791.02st l
b) LB1 (p 2) = 3,70 MHz = 12,3%, LB2 (p 2) = 3,00 MHz = 10,0%
Z0
I2
Zs V2
z
y = d - z
0
0 l1
l1 Z0
lst
CC
l1
14/47
Problema LT11
Pretende-se adaptar uma linha de transmissão, de impedância característica
0 100Z , a uma carga com 0 0/ 3 / 3sZ Z jZ , interpondo entre a linha e a carga
uma malha de adaptação constituída por um stub em vazio de comprimento stl de
impedância 0 100Z , colocado em paralelo com a carga, à distância 1l (ver figura).
a) Dimensione stl e 1l de modo a obter a adaptação para a frequência 0 30 MHzf .
b) Uma vez que existe mais do que uma solução para stl e 1l , determine qual é a
solução mais vantajosa em termos da largura de banda da adaptação. Para tal
calcule o factor de onda estacionária na banda 0 3 MHzf f para as duas
primeiras soluções obtidas. (Sugestão: Recorra à Carta de Smith e considere
frequências )3,2,1n(MHznff 0 .
Soluções
a) Solução 1: m358,111 l , m451,11st l Solução 2: m770,412 l , m549,32st l
b) MHzf 31 Solução 1: 1403,011
l, 1499,01st
l, 17,1p
Solução 2: 4929,012
l, 3667,02st
l, 49,1p
MHzf 29 Solução 1: 1313,011
l, 1403,01st
l, 15,1p
Solução 2: 4611,012
l, 3431,02st
l, 64,1p
LB1 (p 2) = 10,11 MHz = 33,7%, LB2 (p 2) = 3,29 MHz = 11,0%
Z0
I2
Zs V2
z
y = d - z
0
0 l1
l1 Z0
lst
vazio
l1
15/47
Problema LT12 (Resolvido)
Adaptou-se a linha principal de comprimento 1l representada na figura, utilizando o
“stub” em curto-circuito de comprimento stl colocado à distância 2l da carga sZ .
Dados: 0ef 2 1 g sV 10V; Zo 75 ; Zo Z 60 ; Z (50 j50 )
Resolva as alíneas a, b, c e d analiticamente e com o auxílio da Carta de Smith.
a) Troço de linha BC: calcule o factor de onda estacionária, o comprimento l2 e a
admitância em y=yB-.
b) Determine o valor eficaz da tensão máxima e da tensão mínima ao longo do
troço de linha e calcule os respectivos valores da impedância da linha. Comente
o resultado.
c) Calcule o comprimento stl .
d) Determine a admitância normalizada (a Y01) em y=yB+ .
e) Esboce o andamento da tensão normalizada entre A e C.
f) Calcule a potência entregue à linha e a potência dissipada em Zs. Comente o
resultado.
By
By
~
A’ B’
A B
Zs Z02 Z01 V0
Zg
0
lst
l2 l1 = 3 /4
C
C´ Z01
16/47
Problema LT13
Pretende-se adaptar uma linha de transmissão com impedância característica
0 100Z , terminada por uma carga de impedância 400sZ , a operar na
frequência de 300 MHz, utilizando um transformador de um quarto de comprimento
de onda (figura).
a) Determine a impedância característica de onda do transformador TZ .
b) Suponha que se pretende transmitir um sinal que ocupa a banda de frequências
:f 200 – 400 MHz. Represente num gráfico a variação do factor de onda
estacionária p na linha em função da frequência.
c) Se admitirmos como valor aceitável para o coeficiente de onda estacionária,
p=1,5, determine a largura de banda do sistema de adaptação.
d) Represente na carta de Smith o andamento da admitância normalizada aos
terminais de entrada do transformador (em yyy A , com y ), na banda
de frequências f .
e) Com base nos resultados obtidos nas alíneas anteriores, comente o
comportamento em frequência da adaptação com o transformador de quarto de
comprimento de onda.
Soluções
a) 200TZ
c) LB (p1,5) = 105,29 MHz
0Z sZ
/ 4
TZ
A
17/47
Problema LT14
Considere o circuito da figura, constituído por uma linha de perdas desprezáveis,
com uma carga em paralelo de admitância YB, terminada por uma carga adaptada.
Dados: Tensão na carga 200 VCV , 0 0.01SY e 00.75BY Y .
a) Determine a admitância à entrada da carga YB (em B
y y ) e à entrada da linha,
em Ay y .
b) Calcule o valor da relação de onda estacionária p , ao longo da linha.
c) Represente graficamente o andamento do módulo da tensão e da corrente ao
longo da linha ( Ayy 0 ).
d) Determine de forma analítica maxI e minI em função do módulo da corrente na
carga, CI . Confirme os resultados utilizando a Carta de Smith.
Soluções
a) 0BY1,75Y ,
1,75
YY 0
A
b) B–C: p=1 ; A–B: p=1,75
c) B–C: 200 VCV V , 2 ACI I ; A–B: 200 VB
V , 3.5 AB
I , 1.5 ABI ,
350 VAV , 2 AAI
d) |I|1,75|I| cmax , |I|p
1,75|I| cmin
Y0 YB
y
0 yA
Y0 Y0
yB
A B C / 4 / 4
18/47
Problema LT15 (Resolvido)
Considere o circuito formado por uma linha de transmissão (com perdas
desprezáveis) terminado por dois troços de linha: um terminado por uma carga 1R e
outro terminado em vazio com uma carga 2R em paralelo.
a) Troço AC: Escreva as expressões das impedâncias em Dy , D
y e 2Ay .
b) Troço AB: Escreva a expressão da impedância 1Ay .
c) Troço OA: Escreva a expressão da impedância AZ .
d) Calcule 2R e o comprimento l de modo que 0A
Z Z com 0 200Z .
e) Utilize a carta de Smith para demonstrar que o troço AO fica adaptado.
l1=λ
Z0
yA+
ZA+
Z0
B
Z0
Z0
C
C’
l
D’
D
l3=λ/5
yA1
yA2
yD+
yD-
R2
R1=100 Ω
B’
l2=λ/4
A’
A O
O´
19/47
Problema LT16
Considere a configuração representada esquematicamente na figura.
Três troços de linhas de transmissão, sem perdas, com impedância característica
Z0=50 Ω, são utilizados para ligar cargas Z1 e Z2 (Z1=Z2=100 Ω) a um gerador de
tensão em vazio V0 e impedância interna Zg=Z0.
a) Determine o factor de onda estacionária em cada um dos três troços de linha.
b) Calcule a impedância nos pontos A (ZA) e B (ZB).
c) Calcule a relação entre as potências dissipadas nas cargas.
d) Calcule o valor da tensão em vazio do gerador (V0), que conduz a uma potência
de 1 kW à entrada da linha principal.
e) Trace o andamento da amplitude da tensão e da corrente ao longo dos 3 troços
de linha.
Soluções
a) p1=p2=2 pAB=1,6
b) ZA=80 Ω ZB=31,25 Ω
c) P1=P2
d) V0=900 V
V0
Z1
Z2
~ Zg A B
l=3λ/4
l2=3λ/8
l1=λ/8
20/47
e) Problema LT17
Considere um cabo coaxial, sem perdas, de impedância característica 50 ,
terminado por uma carga de impedância 60 – j80 . Pretende-se adaptar o cabo
coaxial, na frequência 2 GHz, usando um “stub” duplo. Os dois “stubs” estão em
curto-circuito, têm impedância característica 50 e estão afastados 1,875 cm. O
primeiro “stub” está colocado sobre a carga.
Resolva o problema usando a Carta de Smith.
f) Calcule o comprimento dos “stubs” (l1a, l2a) que conduzem à adaptação.
g) Calcule uma segunda solução (l1b, l2b) que também conduz à adaptação.
h) Esboce, para ambas as soluções encontradas, o andamento da relação de onda
estacionária (p) em função da frequência (1,7 GHz f 2,3 GHz).
i) Calcule, para ambas as soluções encontradas, a gama de frequências onde a
potência reflectida é inferior a 1/9 da potência incidente. Comente o resultado
obtido.
Soluções
a) l1a=5,94 cm, l2a=6,81 cm
b) l1b=3,48 cm, l2b=1,50 cm
d) LBa(p2) = 45,3 MHz (2,27%), LBb(p2) 321,5 MHz (16,08%)
21/47
Problema LT18
Considere o cabo coaxial, representado esquematicamente na figura, sem perdas,
que utiliza um dieléctrico com r=2,56, e é excitado por um gerador que emite um
impulso rectangular de amplitude 20 V e duração 100 ns. O cabo coaxial tem
impedância característica 75 e comprimento 52,5 m.
Trace o diagrama espaço-tempo e o andamento de Vs(t), para t 1,5 s. Considere
as seguintes situações:
a) Rs = Rg = Z0;
b) Rs = 225 , Rg = Z0;
c) Rs = Rg = 225 ;
d) Rs = Rg = 85 .
Rg
Vg(t) Z0 Rs
Vs
z 0 l
22/47
Problema LT19 (Resolvido)
Considere o cabo coaxial, representado esquematicamente na figura, sem perdas,
que utiliza um dieléctrico com r=2,25. O cabo coaxial tem impedância característica
75 e comprimento 15 m. O gerador emite um sinal periódico com ritmo de
transmissão 5 Mb.s-1, constituído por impulsos rectangulares de duração 100 ns e
amplitude 10 V.
a) Trace o diagrama espaço-tempo e o andamento do sinal recebido na carga Vs(t),
para t 1 s. Considere Rs = Rg = Z0.
b) Considere agora Rg =3Z0 e Rs = Z0/3 e trace novamente o andamento de Vs(t).
Comente o resultado obtido.
c) Discuta o efeito de uma atenuação de 0,01 Nepper.m-1 no sinal recebido na
carga.
Rg
Vg(t) Z0 Rs
Vs
z 0 l
23/47
Problema LT20
I. Considere a linha de placas paralelas, equilibrada, representada na figura,
constituída por dois condutores (0,0,c) de largura W separados por uma camada
de ar de espessura h. Admita W>>h e um regime de perdas fracas (L >> R).
a) Calcule a expressão analítica do potencial escalar do modo TEM.
b) Calcule as expressões analíticas do campo eléctrico e do campo magnético.
c) Calcule as expressões analíticas dos parâmetros distribuídos (L, C, R).
d) Calcule a expressão analítica da impedância característica da linha.
e) Calcule a expressão analítica da constante de atenuação e da constante de fase
da linha.
II. Considere agora um dieléctrico, caracterizado macroscopicamente por (d,0,d),
entre as duas placas condutoras. Considere novamente W>>h e um regime de
perdas fracas (L >> R e C >> G).
f) Discuta a existência do modo TEM na linha.
g) Indique as alterações provocadas pela presença do dieléctrico.
Soluções
a) h
yV)y,x( 0
b)
120Zˆee
hZ
V)z,y,x(ˆee
h
V)z,y,x(
0
0TEM
zjz
TEM
0zjz0 xHyE
c) c
0s
s00 R
W
R2R
h
WC
W
hL
d) W
hZ
C
LZ TEM0
e) 0
00TEM
s
0c
cCL
Zh
R
Z2
R
f) A introdução do dieléctrico torna o guia dielectricamente não homogéneo e como
tal não pode suportar um modo TEM. No entanto para W>>h, existe um modo
quase TEM.
g) Considera-se d, em vez de 0, e perdas no dieléctrico.
V0/2
-V0/2 X
Y
W
h
2
Z
2
ZG TEMd0d
24/47
Problema LT21 (Resolvido)
I. Considere um cabo coaxial constituído por condutores e dieléctrico caracterizados
macroscopicamente por (0,0,c) e (d,0,d), respectivamente. Admita um regime
de perdas fracas (L >> R e C >> G).
a) Calcule a expressão analítica do potencial escalar do modo TEM. Admita que os
condutores interior e exterior estão a potenciais V0 e 0, respectivamente.
b) Calcule a expressão analítica do campo eléctrico e do campo magnético.
c) Calcule a expressão analítica da potência transportada pelo cabo coaxial.
d) Calcule as expressões analíticas dos parâmetros distribuídos (L, C, R, G) do
cabo coaxial.
e) Calcule a expressão analítica da impedância característica do cabo coaxial.
f) Calcule a expressão analítica da constante de atenuação e da constante de fase
do cabo coaxial.
II. Considere agora que o dieléctrico do cabo coaxial é ar (d=0, d=0), que os
condutores são de cobre (c=5,8x107 S.m-1), que o condutor exterior tem 6 mm de
diâmetro e que a frequência é 500 MHz.
g) Calcule a expressão analítica e represente graficamente a constante de
atenuação em função da impedância característica. Calcule o valor da
impedância característica que minimiza a atenuação.
h) Calcule a potência máxima que o cabo coaxial pode transportar (campo máximo
de 30 kV.cm-1) e represente-a graficamente em função da impedância
característica. Calcule o valor da impedância característica que maximiza a
potência transportada.
i) Face aos resultados obtidos nas duas alíneas anteriores justifique a utilização
generalizada de cabos coaxiais com impedâncias características 75 e 50 .
III. Admita agora que o dieléctrico é um plástico (d=1,30, d=10-4 S.m-1), que os
condutores são de cobre e têm diâmetros 5,0 e 1,2 mm.
j) Calcule a impedância característica do cabo coaxial.
k) Calcule a constante de atenuação (em dB.m-1) e represente-a graficamente em
função da frequência (de 0 a 30 GHz).
l) Calcule a frequência mínima para se poder considerar o regime de perdas fracas.
Comente o resultado obtido.
m) Estime a frequência de corte do segundo modo (TE11). Comente o resultado.
25/47
Resoluções
de
Problemas Seleccionados
26/47
Resolução do Problema LT1
a) 2
πj
θjsmax1
min
max e5
3ekk
2
π)z(l
λ
π4θ
5
3
1p
1pk4
4
16
|V|
|V|p
GHz3,75λ
cfcm8λcm459zz
2
λmax2max1
b) Ω44,12j23,5334
30j16Z
k1
k1ZZ 0
s
s0s
2
π2ππ2,5l
λ
π2βl
l)(senZjl)(cosZ
l)(senZjl)(cosZZl)(yZ
s0
0s0
Ω44,12j23,5334
30j16Z
Z
Zl)(yZZ 0
s
20
1s
c) Numa linha sem perdas a potência é igual em qualquer ponto.
W0,64Zp2
|V|
Zp
VVRe
2
1IVRe
2
1IVRe
2
1P
0
2max
0
*max
max*minmax
*
d)
k1
k1pe1
ZZ
ZZk0Z πj
0s
0sss
s
20
1sZ
Zl)(yZZ
y)(βsenV2jeeVekeV(y)V i2yβjyβj
i2yβj
syβj
i2
lβj0i20g e
2
VVZZ
|y)(sen2||V|
|(y)V|
i2
|y)(cos2||I|
|(y)I|
i2
e) 2
πj
00
00
0s
0ss ej
ZZj
ZZj
ZZ
ZZk
4
π3j
0
4
πj
s
ss
4
πj
2
πj
si2s e5
2
Zj
e210
Z
VIe210j)(1e10)k(1VV
0)e4(Re2
1e
5
2e210Re
2
1P 2
πj
4
π3j
4
πj
s
27/47
Resolução do Problema LT9
a) y1 = 20 m =
Z (y = y1 + y) = Z1//Z(y = y1 - y) = Z1// =Z1=900 – j 750
b) l – y1 = 40 m = 2
l)(yI)y(yI 1 o35,54j
1g
0 e1,55ZZ
VI
c) o4,27j
01sg
1s1 e1815,85V
ZZ
ZV
m60ym200,7266)y/5(πcos0,96330,23211299,69
m20y0|/10)y(πcos|1815,85|(y)V|
d) 2,859|k|1
|k|1p
1
1
28/47
Resolução do Problema LT12
a) o94,764j
02s
02sθjs e
5,8
1
5050)j(50
5050)j(50
ZZ
ZZekk
2,420
k1
k1p
A admitância YB- deve ser tal que a sua soma com Ystub conduza à adaptação.
stubBBstubB01BBj)Bj(GYY0jYY
Bstub
0101B
BB
Z
1YG
θ)lβ(2cosk2k1
θ)lβ(2senkjk1
Z
1
ek1
ek1
Z
1
)l(yV
)l(yIY
22
22
02lβ2j
s
lβ2js
022
2B 2
2
0,61454k2
k1)k(1Z
Z
θ)lβ(2cosZ
1
θ)lβ(2cosk2k1
k1
Z
1
22
02
01
2012
2
2
02
A menor solução é l2 = 0,046. Para este valor temos
0,01319B
S0,01(6)YG
B
01B
0,9895j1,2500Y
Yy
02
BB
b) Admitindo que a linha já está adaptada.
22
i2θ)yβ(2j
i2 ly0θ)y(2cosk2k1|V||)ek(1V||(y)V|
V6,145θ)l(2cosk2k1
|V|ZZ
Z
|V|
22
ef0g01
01
efi2
Ω181,51Z2,4201ZpZV8,697k)(1|V||V| 0202maxefi2efmax
Ω30,99Z0,4132p
ZZV3,593k)(1|V||V| 02
02minefi2efmin
λ0,3681)(ny2
λn
π4
θλy maxmax
λ0,118y4
λyy minmaxmin
29/47
Notar que ymax e ymin são ambos maiores que l2, o que significa não ser atingido
nenhum dos valores limites da tensão.
c) “Stub” em curto-circuito
Bst01stub Bj)l(βcotanYjY λ0,1434
B
Ytan
2π
λl
B
011st
d) 0j1Y
Yy0jYYYY
01
BB01stubBB
e)
211212
efi2
1ef0g01
01
ef
llzlθz])l[(lβ2cosk2k1|V|
lz0|V|ZZ
Z
|(z)V|
f) mW(6)416,Z4
|V|)IV(Re
2
1P
01
2ef0*
enenen
mW(6)416,Z
1Re|V|)IV(Re
2
1P
*s
2efs
*sss
Numa linha sem perdas a potência é igual em todos os pontos da linha.
30/47
31/47
Resolução do Problema LT15
a) l)(βcotanZj)Z(y 0D
l)(βcotanZjR
l)(βcotanZRj)(yZ//R)(yZ
02
02D2D
)l(sen)(yZj)l(cosZ
)l(senZj)l(cos)(yZZ)(yZ
3D30
303D0A2
b) Ω400R
Z)(yZ
1
20
A1
c) )(yZ)(yZ
)(yZ)(yZ)(yZ//)(yZZ
21
21
21
AA
AA
AAA
d) )l(sen)(yZj)l(cosZ
)l(senZj)l(cos)(yZZ)(yZ
3D30
303D0A2
400
Separando em parte real e parte imaginária, igualando a parte real a 400 e a parte imaginária a 0, obtêm-se equações que resolvidas conduzem a
R2 = 128,65 Ω, l=0,4044λ
e) 0,5y
1)(yy2
R
Zy
1A
1
01 1
0,5)(yy0,69j1,55)(yy0,69j)(yy2ADD
1)(yy)(yy)(yy21 AAA
32/47
33/47
Resolução do Problema LT19
a) ns75102
15
c
ltΔsm102
ε
cc0
ZR
ZRk0
ZR
ZRk
8
18
r
0
0s
0ss
0g
0gg
Podemos traçar o diagrama espaço-tempo para cada impulso a partir da diferença
de dois escalões afastados a duração do impulso (100 ns).
V100)](tU(t)U[10(t)Vg
0
100
400
200
300
600
700
800
500
900
1000
15 z [m]
t [ns]
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
0 t [ns]
Vg(t)
[v] 10
100
-10
34/47
b) 2
1
ZR
ZRk
2
1
ZR
ZRk
0s
0ss
0g
0gg
Calcula-se o andamento de Vs(t) originado pelo primeiro impulso e depois
sobrepõem-se as contribuições de todos os outros impulsos que são idênticas à do
primeiro atrasadas da diferença de tempo na partida.
As desadaptações à entrada e à saída provocam uma diminuição da amplitude
do sinal recebido na carga. As sucessivas reflexões provocam interferência. No
entanto, neste caso, mesmo com factores de reflexão elevados (|kg|=|ks|=0,5), só
a primeira reflexão à entrada tem amplitude significativa, e a interferência não é
muito severa.
c) A atenuação introduz perdas nos sinais (incidentes e reflectidos). Há diminuição
da onda incidente recebida (0,15 Neper = 1,30 dB). Há diminuição da
interferência dos sinais reflectidos no gerador porque o percurso é duplo e como
tal a atenuação é o dobro (0,30 Neper = 2,61 dB).
35/47
Resolução do Problema LT21
a) 0)(1
0come,scilíndricascoordenadaem02t
0)b(eV)a(cnfàssujeita,ClnC)(égeralsoluçãoA 021
)a/b(ln
)/b(lnV)( 0
b)
ˆ
)a/b(lnZ
V
Z
ˆˆ
)a/b(ln
Vˆ
)(
TEM
0
TEM
0t
EzHρρE
c) )a/b(lnZ
VddzHE
2
1P
TEM
20
2
0
b
a
*
d) )a/b(lnZ
V
I
2dd
IL
2TEM
2
0
20
d2
0
*b
a20
d
HH
)a/b(ln2
L)a/b(lnZ
V2da)a(HI d
TEM
02
00
)a/b(ln
2dd
VC d
2
0
*b
a20
d
EE
b
1
a
1
2
Rdb)b()b(da)a()a(
I
RR s
2
0
2
020
s HHHH
)a/b(ln
2dd
VC d
2
0
*b
a20
d
EE
e) )a/b(ln2
Z
I
VZ TEM
0
00
f) 2
Z
b
1
a
1
)a/b(lnZ2
R
)a/b(ln
Z
b
1
a
1
Z4
R
2
ZG
Z2
R TEMd
TEM
sd0
0
s0
0dc
rr
0d
ddd
cc
cCL
g) TEM
0
Z
Z2
TEM0 eba)a/b(ln
2
ZZ
1ebZ4
RTEM
0
Z
Z2
0
s
36/47
Rs(f=500 MHz) = 5,83x10-3 .m ZTEM = 120 b = 3 mm
A atenuação é mínima para Z0 76,7 .
h) )a/b(lnaEVaparamáximoéE)a/b(ln
VE
maxmax0
0
2
Z
Z2
TEM
max0max
TEM
0
eZ
EbZ2P
A potência é máxima para Z0 = 30 Ohm.
i) Quando a atenuação é mais crítica utilizam-se sobretudo cabo coaxiais com 75
Ohm de impedância característica. Os cabos com impedância característica 50
Ohm são um compromisso entre baixa atenuação e grande capacidade de
potência. A média geométrica de 76,7 e 30 é cerca de 48.
j)
1,75Z64,330
120Z)a/b(ln
2
ZZ 0
rdd
dTEM
TEM0
37/47
k) 2
Z
b
1
a
1
)a/b(lnZ2
R TEMd
TEM
sdc
l)
MHz4,1f
kHz3,2f
GC
RL
O regime de pequenas perdas é válido desde frequências relativamente baixas (f
20 MHz).
m) A equação característica do modo TE10 tem como solução aproximada
a/b1
2akc
GHz02,27)a/b1(a
cf
rd
0c
O segundo modo (TE10) só tem condições de propagação em frequências onde a
atenuação é tão elevada que torna qualquer aplicação inviável.
38/47
Enunciados
de
Provas de Avaliação Anteriores
39/47
Teste de 1 de Novembro de 2013
Numa linha de transmissão bifilar aérea, sem perdas, o máximo de tensão mais próximo da carga está localizado a 2,88 m da carga e a tensão e corrente nesse ponto valem 4 kV e 2 A, respectivamente. A linha tem impedância característica
Z0=500 , 42 m de comprimento, e é excitada por um gerador de impedância interna Zg=Z0 e frequência f=10 MHz.
Nota: Utilize a Carta de Smith na resolução das alíneas a), b) e c).
a) Calcule a impedância de carga da linha e a tensão em vazio do gerador.
b) Esboce o andamento da tensão e da corrente ao longo da linha.
c) Vai-se adaptar a linha utilizando um “stub” em curto-circuito, em paralelo, de impedância característica Z0. Calcule a que distância da carga se deve inserir o “stub” e qual o seu comprimento. Se houver mais que uma solução, escolha a mais vantajosa e indique o(s) critério(s) utilizado(s).
d) Calcule a potência entregue à carga antes e depois da introdução do sistema de adaptação. Compare e comente os resultados obtidos.
Teste de 12 de Abril de 2013
Uma linha de transmissão com dieléctrico ar, sem perdas, com impedância
característica Z0=100 , é excitada por um gerador de tensão em vazio Voef= 500 V, impedância interna Zg=Z0 e frequência f=100 MHz.
Nota: Utilize a Carta de Smith (em anexo no final) na resolução das 4 alíneas.
a) Com a linha em vazio (Zsa=), mediu-se a impedância à entrada da linha e
obteve-se Z1a=0 + j80 . Calcule o comprimento da linha. Indique outras soluções possíveis.
b) Com a linha terminada com uma impedância desconhecida (Zsb), mediu-se a
impedância à entrada da linha e obteve-se Z1b=30 + j40 . Calcule Zsb.
c) Calcule o valor eficaz da amplitude da tensão na carga Zsb.
d) Esboce o andamento das amplitudes da tensão e da corrente ao longo da linha (com carga Zsb).
40/47
Exame de 17 de Janeiro de 2013
I. Considere uma linha de transmissão bifilar, sem perdas, com l=22 cm de
comprimento e impedância característica Z0=250 . A linha está terminada com uma
admitância Ys=0,5+j0,5 mS e o comprimento de onda é =5 cm.
Nota: Utilize a Carta de Smith na resolução do problema.
a) Calcule o factor de reflexão na carga Ks e o factor de onda estacionária na linha p.
b) Calcule a impedância de entrada na linha Z1s e a posição do mínimo de tensão mais próximo da carga ymin1.
II. Pretende-se adaptar a linha colocando um stub (em circuito aberto e com a mesma impedância característica da linha) em paralelo com a carga e um troço de transformador de quarto de comprimento de onda em série.
c) Calcule o comprimento do stub ls. Justifique a necessidade de utilizar o stub.
d) Calcule o comprimento do transformador lT e a respectiva impedância característica ZT.
Teste de 9 de Novembro de 2012
Uma linha bifilar aérea, sem perdas, com 97,5 m de comprimento e impedância
característica 500 , é utilizada para ligar um emissor a uma antena rômbica. O
emissor é caracterizado por uma tensão em vazio 10 kV, impedância interna 500 , e frequência 10 MHz.
Mediu-se a impedância à entrada da linha e obteve-se 200 + j 300 .
a) Calcule a impedância de entrada da antena e a relação de onda estacionária na linha.
b) Pretende-se adaptar a linha colocando um “stub”, terminado em curto-circuito (de
impedância característica 500 ), em paralelo. Calcule a que distância da antena se deve colocar o “stub” e qual o seu comprimento. Dado que existe mais do que uma solução, justifique a sua escolha.
c) Indique se é possível adaptar a linha usando um transformador de quarto de comprimento de onda. No caso afirmativo calcule a que distância da antena o colocaria, qual o seu comprimento (em Metro), e qual a sua impedância característica.
Nota: Utilize a Carta de Smith na resolução das 3 alíneas.
41/47
Exame de 18 de Janeiro de 1012
Considere uma linha sem perdas com impedância característica 3000Z ,
terminada por uma impedância de carga Zs. O andamento da amplitude da tensão ao longo da linha apresenta um primeiro máximo à distância de 2,64 m da carga e o primeiro mínimo ocorre a 7,5 m do máximo de tensão anterior. A relação de amplitudes entre máximo e mínimo é Vmax/Vmin=2,7.
a) Calcule a frequência de trabalho f0 e o factor de reflexão de tensão na carga.
b) Determine a impedância de carga (Zs) e as impedâncias num mínimo (Zmin) e num máximo (Zmax) de tensão. Comente os resultados.
c) Marque na Carta de Smith os valores calculados na alínea b) e a circunferência que traduz a evolução da impedância ao longo da linha de transmissão. Assinale na circunferência os pontos correspondentes a Zmin e Zmax. (Valores alternativos: f0=15 MHz e Zs=300 – j 150 Ω.)
d) Admita que pretende adaptar a linha à carga utilizando um transformador de λ/4. Indique em que ponto da linha o colocaria, justificando a sua escolha e determine a impedância característica do transformador.
Teste de 31 de Outubro de 2011
Considere uma linha de transmissão com impedância característica 500Z ,
terminada por uma carga )80100( jZS . A linha opera na gama de frequências 1
a 3 GHz e deve estar adaptada para a frequência f0 = 2 GHz.
Adapte a linha à carga, utilizando um stub em aberto, de impedância 500Z e
comprimento stl , colocado em série com a carga, à distância l.
a) Marque na Carta de Smith a impedância de carga normalizada Sz e obtenha na
Carta duas soluções para a distância da carga a que o stub deve ser colocado,
1l e l2 , respectivamente.
42/47
Nota: Considere nas alíneas seguintes apenas a solução correspondente à
distância mais curta (longa) 1l ( l2).
b) Determine o valor da impedância normalizada em Ayy e dimensione a
impedância normalizada do stub Tz , que conduz à adaptação.
c) Calcule o comprimento Tl do stub de adaptação.
Parte B - O gráfico abaixo representa o módulo do factor de reflexão k na linha
principal de comprimento L em função da frequência de operação, para as duas
soluções possíveis de adaptação, uma correspondendo ao stub estar colocado à
distância 1l da carga e outra à distância l2 .
d) Discuta as duas soluções 1l e l2 em termos da largura de banda da adaptação de
impedância.
43/47
Teste de 5 de Abril de 2011
Considere o sistema de linhas de transmissão representado na figura.
Dados: f = 200 MHz, l1 = /4, Z01 = 200 , Z02 = 100 , V0 = 10 V, Zg = 100 ,
Zs = 80 – j 30 .
a) Determine a impedância da linha ZA, em y = yA.
b) Calcule o menor valor de l2 que conduz a uma impedância real de entrada da
linha e determine o correspondente valor ZB.
c) Obtenha as relações de onda estacionária p1 e p2, em cada um dos troços da
linha l1 e l2, e calcule os factores de reflexão de tensão na carga, ks e em y = yA,
kA. Comente o resultado.
d) Marque na Carta de Smith o lugar geométrico das impedâncias ao longo do troço
l1 e assinale nela a impedância de carga Zs e a impedância ZA.
e) Esboce o andamento da tensão ao longo dos dois troços de linha, 0 < y < yB.
44/47
0
2
4
6
8
10
0153045607590105120135150
|V(y
)| [
Vo
lt]
y [cm]
Teste de 31 de Janeiro de 2011
A figura representa a amplitude da tensão ao longo de um cabo coaxial, sem perdas, com dieléctrico ar e impedância característica Z0 = 75 Ω. O cabo é alimentado por um gerador com tensão em vazio V0 = 10 V e impedância interna Zg = 75 Ω.
a) Calcule o comprimento de onda, a frequência, o comprimento eléctrico do cabo, a relação de onda estacionária, p, e o factor de reflexão (de tensão) na carga, ks=kejθ.
b) Utilize a carta de Smith para calcular a impedância de carga Zs e a impedância de entrada Z1s do cabo coaxial.
c) Calcule a potência entregue à carga. Se não resolveu b) considere Z1s=30-j60 Ω.
d) Calcule a impedância do cabo nos máximos e nos mínimos de tensão. Comente.
e) Vai-se adaptar o cabo coaxial inserindo um transformador de quarto de comprimento de onda em y = 45 cm. O transformador é constituído por um troço de cabo coaxial idêntico ao da linha principal mas com preenchimento dieléctrico
(r, tan=0). Calcule r e o comprimento (físico) do transformador.
45/47
Teste de 13 de Dezembro de 2010
Considere o circuito de alta-frequência representado na figura, constituído por uma
linha de transmissão suposta sem perdas, de comprimento l e impedância
característica 0 600ΩZ , a operar na frequência 15 MHzf . A linha está terminada
por uma impedância de carga Zs, constituída por uma carga Z2 em paralelo com uma
outra carga 1Z , colocada à distância l1.
Z0
0ly
l1
V0Z2 Z1Z0
lZg
Dados: 0 2 kVV , 6000ZgZ , 1 (900 750)ΩZ j , 02 ZZ , l1 =5 m e l =20 m.
Nota: Quando aplicável, pode resolver as questões por via analítica ou através da
Carta de Smith.
a) Calcule a impedância de carga da linha Zs.
b) Calcule o factor de reflexão na carga (ks), o factor de onda estacionária (p) na
linha de transmissão (de comprimento l) e esboce o andamento da tensão ao
longo da linha.
c) Marque na Carta de Smith ks e a impedância normalizada de carga, Zs/Z0 .
Localize na carta os pontos com impedância real e obtenha o valor da respectiva
impedância e a sua localização na linha (coordenada y).
d) Calcule a potência transmitida à carga Zs e compare-a com a potência que seria
transmitida no caso da linha estar adaptada. Comente o resultado.
e) Se pretendesse adaptar a linha de transmissão terminada pela carga Zs
utilizando um transformador de λ/4, em que ponto y da linha é que o colocaria e
qual seria a sua impedância característica ZT.
46/47
Teste 8 de Janeiro de 2010
I. Considere uma linha de transmissão em cabo coaxial com dieléctrico ar,
impedância característica Z0=75 , de comprimento l = 1,4 e terminada por uma
carga Zs=140 , a operar na frequência f0= 100 MHz.
a) Calcule o factor de reflexão ks e a impedância de entrada. Marque estes valores
na carta de Smith.
b) Determine a localização do máximo de corrente mais próximo da carga.
c) Esboce o andamento da corrente (normalizada) ao longo da linha.
II. Pretende-se adaptar a linha de transmissão à carga e para tal dispõe-se de:
(i) um troço de cabo coaxial idêntico ao da linha principal terminado em curto
circuito (“stub”);
(ii) um condensador.
d) Determine o ponto da linha mais próximo da carga onde deverá ser colocado o
“stub” ou o condensador, de modo a promover a adaptação.
e) Calcule os respectivos valores do comprimento do stub lstub e da capacidade do
condensador que conduzem à adaptação.
f) Determine qual dos dois métodos de adaptação (stub ou condensador) apresenta
uma maior largura de banda.
(Sugestão: calcule os valores do factor de onda estacionária às frequências f1= f0 –
0,1 f0 e f2= f0 + 0,1 f0).
47/47
Teste de 11 de Julho de 2008
Considere o circuito da figura constituído por 3 troços de linha com perdas
desprezáveis e impedância característica Z0.
Dados: 0 200Z , 1 100R , 1 40 cml , 1ml e 0 150 MHzf .
a) Determine a impedância A
Z e a admitância 1
A
A
YZ
.
b) Escolha 2R de tal forma que se tenha 0Re A
Y Y , com 0
0
1Y
Z . [Nota: Se não
conseguiu resolver a alínea anterior, considere (0.00269 0.00118) SA
Y j ]
c) Determine o comprimento l2, de modo que 0AY Y .
d) Nas condições da alínea anterior, trace o andamento da tensão 0/
iV V ao longo
dos troços de linha com comprimentos, respectivamente, l e l1.
e) Em face dos resultados obtidos, justifique as funções da resistência R2 e do troço de linha em curto-circuito.
0Z
l1 l
0Z
0Z
l2
1R 2R
A
AZ
c.c.
AZ