prop exame 12

Numa escola secundria, relativamente aos alunos do 12

Proposta de Exame de Matemtica A 12. ano

GRUPO I

Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opo correta. Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo escolhida.

1. Considere a sucesso . Qual o valor de ?

(A)

(B) 0

(C)

(D)

2. Quatro rapazes e trs raparigas, todos com alturas diferentes, vo colocar-se numa fila para tirarem uma fotografia.De quantas maneiras se podem colocar na fila de modo que os rapazes fiquem ordenados pela altura?

(A)

(B)

(C)

(D)

3. Considere a funo f definida em por . Qual o valor de ?

(A) 2

(B) 2

(C) 1

(D) 1

4. Seja S o espao de resultados (finito) associado a uma certa experincia aleatria.

Sejam A e B dois acontecimentos ( e ).

Sabe-se que:

Qual o valor de ?

(A) 0,1

(B) 0,2

(C) 0,8

(D) 0,9

5. Na figura 1, est representada, num referencial xOy, parte do grfico de uma funo , segunda derivada de uma funo polinomial h.

Sabe-se que a primeira derivada da funo h nula no ponto 0, ou seja, .

Em qual das opes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo h ?

(A)

(B)

(C)

(D)

6. De uma funo f, par, e de domnio , sabe-se que a reta de equao uma assntota do seu grfico quando x tende para .Qual o valor de ?

(A) 2

(B) 2

(C) 3

(D) 3

7. Sendo n um nmero natural diferente de 1 e a um nmero real positivo, tambm diferente de 1, igual a:(A) 1

(B) 1

(C) n

(D)

8. Considere, num referencial o. n. Oxyz, o plano ( de equao e a reta r definida por .

Qual das afirmaes seguintes verdadeira?(A) A reta r est contida no plano (.

(B) A reta r estritamente paralela ao plano (.

(C) A reta r concorrente e perpendicular ao plano (.

(D) A reta r concorrente e no perpendicular ao plano (.

GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efetuar e todas as justificaes necessrias.

Quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exato.

1. Um saco A tem 4 bolas brancas e 12 bolas pretas numeradas de 1 a 12. Um saco B tem 15 bolas das quais algumas so brancas.

1.1. Ao tirar ao acaso uma bola de cada saco, a probabilidade de sair, no mximo, uma bola branca igual a 95%. Quantas bolas brancas esto no saco B?

1.2. As doze bolas pretas do saco A vo ser distribudas, em partes iguais, por 4 caixas diferentes. De quantas maneiras diferentes podem as bolas ficar colocadas nas caixas?2. Seja o espao de resultados associado a uma certa experiencia aleatria.Sejam A e B dois acontecimentos ( e ). Sabe-se ainda que o acontecimento A possvel mas no certo.

Prove que A e B so independentes se e somente se .

3. Considere a funo f, de domnio , definida por:

3.1. Averigue se a funo f contnua em .3.2. Averigue se o grfico da funo f tem uma assntota oblqua quando x tende para .

4. Seja o conjunto dos nmeros complexos.4.1. Determine o menor valor de , tal que um nmero real positivo.

4.2. Sabe-se que e so razes de ndice n de um nmero complexo z, no nulo. Determine z.

5. Seja f a funo definida em por .5.1. Designando por a funo derivada de f, mostre que e mostre que a funo estritamente crescente em .

5.2. Justifique, aplicando o teorema de Bolzano, que a funo admite pelo menos um zero no intervalo e, de seguida, conclua que esse o nico zero da funo f .5.3. Sendo ( o zero da funo cuja existncia provou nas alneas anteriores, mostre que o mnimo da funo f .5.4. Na figura 2 esto representados, num referencial xOy, parte do grfico da funo f e o tringulo [OAB].Sabe-se que: o ponto B pertence ao eixo Ox;

o ponto A pertence ao grfico de f e tem abcissa ;

a reta AB tangente ao grfico de f no ponto A;

o tringulo [OAB] retngulo em A.Determine a abcissa do ponto A recorrendo calculadora grfica.

Na sua resposta deve:

equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o grfico da funo ou os grficos visualizados, devidamente identificados;

indicar a abcissa de A com arredondamento s centsimas.

6. Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura 3 (o vrtice F no visvel). Os pontos P e Q pertencem s arestas [BC] e [CD], respetivamente. Sabe-se ainda que .

6.1. Prove que os vetores e so perpendiculares.

6.2. Seja amplitude do ngulo CPA.

Sabendo que , determine o valor exato de .6.3. Fixado um referencial ortonormado do espao, so conhecidas as coordenadas de trs vrtices do cubo: , e .

Determine as coordenadas do ponto de interseo da reta BH com o plano xOy.FIM

COTAES

GRUPO I

1. a 8.

(8 5 pontos)

40 pontos

GRUPO II

1.1.1.

10 pontos

1.2.

10 pontos

2.

10 pontos

3.3.1.

10 pontos

3.2.

10 pontos

4.

4.1.

10 pontos

4.2.

10 pontos

5.

5.1.

10 pontos

5.2.

13 pontos

5.3.

14 pontos

5.4.

15 pontos

6.

6.1.

15 pontos

6.2

8 pontos

6.3.

15 pontos

160 pontos

Total

200 pontos

FormulrioGeometriar ( amplitude, em radianos, do ngulo ao centro; r raio)

reas de figuras planas

Losango:

Trapzio:

Polgono regular:

Setor circular: ( amplitude, em radianos, do ngulo ao centro; r raio)

reas de superfcierea lateral de um cone:

rg (r raio da base; g geratriz)

rea de uma superfcie esfrica: 4r2 (r raio)

Volumes

Pirmide:

Cone:

Esfera: (r raio)

Trigonometriasin (a + b) = sin a cos b + sin b cos acos (a + b) = cos a cos b sin a sin b

Complexos( cis )n = n cis (n)

(k {0, , n 1} e n IN)

Probabilidades = p1x1 + + pnxn

Se X N(, ), ento:

P( < X < + ) 0,6827

P( 2 < X < + 2) 0,9545

P( 3 < X < + 3) 0,9973

Regras de derivao

(u + v) = u + v

(uv) = uv + uv

(un) = n un 1u (n IR)

(sin u) = u cos u(cos u) = u sin u

(eu) = u eu(au) = u au ln a (a IR+\{1})

(a IR+\{1})

Limites notveis

(n IN)

(p IR)

EMBED Designer.Drawing.8

Figura 1






Figura 2


Figura 3

Pgina 1

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prop exame 12

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