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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas (PG-EAS)

Projeto Integrado de Controle e Conversores de Potência com

aplicação a Industria do Petróleo.

Exame de qualificação submetido à Universidade Federal de Santa Catarina

como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia de Automação e Sistemas.

Martín J. Pomar García

Florianópolis, Agosto de 2007

Agradecimento

Agradeço o apoio financeiro da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP) e da Financiadora de Estudos e Projetos (FINEP), por meio do Programa de Recursos Humanos da ANP para o Setor do Petróleo e Gás PRH-34 ANP/MCT.

Universidade Federal de Santa Catarina

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de

Automacao e Sistemas (PG-EAS)

Projeto Integrado de Controle e

Conversores de Potencia com

aplicacao a Industria do Petroleo.

Exame de qualificacao submetido a

Universidade Federal de Santa Catarina

como parte dos requisitos para a

obtencao do grau de Doutor em Engenharia de Automacao e Sistemas.

Martın J. Pomar Garcıa

Florianopolis, Agosto de 2007.

Projeto Integrado de Controle e Conversores de

Potencia com aplicacao a Industria do Petroleo.

Martın J. Pomar Garcıa

Este Exame de Qualificacao foi julgado adequado, servindo como requisito parcial para

o obtencao do tıtulo de Doutor em Engenharia de Automacao e Sistemas, e aprovada em

sua forma final pelo Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas

da Universidade Federal de Santa Catarina.

Prof. Julio Elias Normey-Rico, Dr. Prof. Cesar de Prada Moraga, Dr.

Orientadores

Prof. Eugenio de Bona Castelan, Dr.

Coordenador do curso de PG-EAS, UFSC.

Banca Examinadora

Prof. Joao Gomes da Silva Jr., Dr. - UFRGS.

Prof. Eduardo Camponogara, Dr. - UFSC

Prof. Alexandre Trofino Neto, Dr. - UFSC

Prof. Max Hering de Queiroz, Dr. - UFSC

Resumo do Exame de Qualificacao apresentado a UFSC como parte dos

requisitos necessarios para obtencao do grau de Doutor em Engenharia de

Automacao e Sistemas.

Projeto Integrado de Controle e Conversoresde Potencia com aplicacao a Industria do

Petroleo.

Martın J. Pomar GarcıaAgosto/2007

Orientadores : Prof. Julio E. Normey-Rico, Dr.

Prof. Cesar de Prada Moraga, Dr.

Palavras-chave : Conversores de Potencia, Conversor Buck-Boost, HVDC

Projeto Integrado, Sınteses de Processos

Sistema Hıbridos, PWA, MLD

CPMI

Numero de Paginas : 163Este trabalho apresenta um introducao a duas areas tematicas dentro da

teoria de Controle e Sistemas: (i) Projeto Integrado e Sınteses de Processos e

Controle, e (ii) Sistemas Hıbridos.

Projeto Integrado e Sınteses, sao areas de concentracao que tem sido inves-

tigadas e desenvolvidas para a industria de processos. Pouca, e em alguns casos

quasi nula extensao a outras areas, como a Eletronica de Potencia, aparecem

na literatura.

Por outro lado, os Sistemas Hıbridos sao uma nova area de investigacao

surgida como necessidade do presente contexto tecnologico. Os Sistemas

Hıbridos podem capturar o comportamento discreto, como por exemplo um

programa de computador, e o comportamento contınuo de processos fısicos.

Os dispositivos que estuda a Eletronica de Potencia em geral sao Sistemas

Hıbridos, e alguns deles sao muito importantes na industria do petroleo e gas,

como e o caso do conversor HVDC que introduziremos neste trabalho.

O presente trabalho assim como a tese de doutorado, pretende extender

conceitos das duas areas tematicas mencionadas acima, para poder serem apli-

cados a conversores de potencia com aplicacao a industria do petroleo e gas.

Sumario

Lista de Abreviaturas 1

1 Introducao 2

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Organizacao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Projeto Integrado e Sıntese 8

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Algumas Medidas de Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Indices de Controlabilidade para sistemas SISO . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Indices de Controlabilidade para sistemas MIMO . . . . . . . . . . 16

2.3 Projeto Integrado de Processos e Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Procedimento Geral de Projeto Integrado . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Exemplo: Projeto Integrado de un CBB e um controlador PID. . . 35

2.3.3 Exemplo: Projeto Integrado de un CBB e um CMD. . . . . . . . . 44

2.4 Sıntese de Processos e Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.1 Sıntese de Processos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.2 Sıntese de Processos e Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.3 Exemplo: Sintese de processos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Modelado de Sistemas Hıbridos 65

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Sistemas Afins a Trocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Sistemas Mistos Logicos Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.1 Calculo Proposicional e Programacao Linear Inteira . . . . . . . . . 74

iv

3.3.1.1 Proposicoes Logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.1.2 Proposicoes Mistas Logicas-Continuas . . . . . . . . . . . 77

3.3.2 Estrutura de Sistemas MLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.3 Sistema MLD bem posto e a tolerancia ε . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.4 Estado estacionario para sistemas MLD . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 Equivalencia entre sistemas MLD e PWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5 Conversao de modelos MLD-PWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Controle Preditivo de Sistemas Hıbridos 95

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Controle Preditivo de Sistemas MLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 Problema de seguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.2 Algoritmos MIQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.3 Controle Preditivo Misto Inteiro do CBB . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Conclusoes e Cronograma 113

5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2 Cronograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A Indices de Controlabilidade para sistemas SISO 117

A.1 Indices de performance no domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.2 Indices de performance no domınio da frequencia . . . . . . . . . . . . . . 118

B Escalamento 123

C Modelado Eficiente de Sistemas MLD 127

C.1 Logica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

C.2 Proposicoes Mistas Logicas-Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

C.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

C.4 The HYbrid Systems DEscription Language HYSDEL . . . . . . . . . . . . 148

Lista de Abreviaturas

CP Conversor de Potencia

HVDC High Voltage Direct Current

SH Sistemas Hıbridos

DC Direct Current

ISE Integral Squared Error

RGA Relative Gain Array

CBB Conversor Buck-Boost

HA Hybrid Automata

PWA Piece Wise Affine

PWL Piece Wise Linear

MLD Mixed Logical Dynamical

LC Linear Complementarity

ELC Extended Linear Complementarity

MMPS Max-Min-Plus-Scaling

LMI Linear Matrix Inequalities

FNC Forma Normal Conjuntiva

FBG Formula Booleana Generalizada

FNCG Forma Normal Conjuntiva Generalizada

HYSDEL Hybrid Systems Description Language

SDP Semi-Definite Programming

LP Linear Programming

QP Quadratic Programming

MILP Mixed Integer Linear Programming

MIQP Mixed Integer Quadratic Programming

SOS Sum-of-Square

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Motivacao

A Eletronica de Potencia e a area da eletronica que se ocupa do condicionamento da

energia eletrica por meio de circuitos eletronicos especializado chamados de Conversores de

Potencia (CP). Alem disso a Eletronica de Potencia lida com o acionamento de maquinas

eletricas e cargas de grande potencia, em corrente direta ou alternada, atraves do uso de

dispositivos semi condutores de alta capacidade.

Esta area da engenharia tem alcancado um lugar muito importante na tecnologia

moderna nos ultimos anos. Ela esta presente em uma grande variedade de produtos de

nosso cotidiano. E difıcil tracar os limites das aplicacoes da eletronica de potencia em

especial com a tendencia atual no desenvolvimento de novos dispositivos semi-condutores

e microprocessadores; o limite superior ainda e indefinido. A Tabela 1.1 mostra algumas

das aplicacoes da Eletronica de Potencia (Rashid 1995).

Na area da industria petroquımica sao inumeras as aplicacoes onde esta presente a

eletronica de potencia. A mais evidente seja talvez o controle da potencia para alimentacao

de grandes motores eletricos usados em bombas ou em grande compressores; substituindo

os rusticos sistemas de variacao de velocidades mecanicos, tais como polias e variadores

hidraulicos, bem como os custosos motores de corrente contınua pelo conjunto motor

assıncrono e inversor, mais barato, de manutencao mais simples e reposicao profusa.

Aplicacoes novas e de muito interesse vem sendo desenvolvidas recentemente e o caso

por exemplo dos High Voltage Direct Current, (HVDC), (Bahrman e Johnson 2007),

Introducao 3

Acondicionamento de Ar AlarmesAmplificadores de Audio Sistemas de partida para turbinas de GasIluminacao CalderasCalefacao Cargador de BateriaComputadores Controles lineares de motores de inducaoCorrente direta de alta voltage (HVDC) EletrodomesticosElevadores Fonte de alimentacao par aeronavesGravacoes magneticas Gruas e tornosFerramentas eletricas Fornos de cimentoIgnicao eletronica LocomotivasMoinhos Processos QuımicosVeıculos eletricos MinerıaControle de Motores Fontes de alimentacaoCompensacao de potencia reativa Perfuracao de pocos de petroleoBombas e Compressores Fontes de alimentacao de energia solarSoldadura Producao de papelTrens Sistemas de partida para maquinas sıncronasRegulacao de tensao Acelerador de partıculas

Tabela 1.1: Aplicacoes da Eletronica de Potencia

utilizados na alimentacao energetica de plataformas em alto mar. A tecnologia HVDC

e uma alternativa ambiental amigavel, mais eficiente, e mais segura, para a alimentacao

energetica de plataformas marıtimas do que a geracao tradicional usando turbinas de gas.

Consegue-se uma eficiencia de transmissao de ∼ 90− 94% e reducao na emissao de CO2,

por exemplo no projeto Troll A, (plataforma de extracao de gas em alto mar na Noruega),

conseguiu-se reduzir a emissao de CO2 em ate 230.000tons/ano. Este tipo de solucoes

demanda muito menos mantimento e pode ser controlado desde o continente o que faz

necessario muito menos pessoal capacitado na plataforma. A vida util das instalacoes

tambem e maior (30 anos). Os riscos de acidente de trabalho e o nıvel de ruıdo na

plataforma sao menores. Em muitos casos e possıvel mostrar os benefıcios economicos de

fornecer energia desde o continente que usando o gas produzido na plataforma (Hyttinen

e Bentzen 2006), (Jones e Stendius 2006). A Figura 1.1, mostra o esquema do conversor

HVDC do Projeto Troll A.

Todos os CP sao dispositivos chaveados o que significa que pelo menos um dos seus

elementos constitutivos e um semi-condutor que vai operar como um interruptor atraves

de un sinal de controle que vai indicar quando ele devera estar em estado de conducao ou

em estado de corte, ou nao conducao. A saıda requerida vai se obter variando o tempo de

conducao e o tempo de corte da chave. Esta peculiaridade faz dos CP sistemas conhecidos

na literatura como sistemas hıbridos (SH), sistemas em cujo modelo coexistem variaveis

Introducao 4

Figura 1.1: Esquema do conversor HVDC do Projeto Troll A

reais ou continuas (ex., tensao e corrente) e variaveis discretas (sinal de controle do tipo

ON-OFF).

O conceito de modelo de um sistema e associado tradicionalmente com as equacoes

diferenciais ou a diferenca, derivadas das leis fısicas que governam a dinamica do sistema

considerado. Consequentemente, a maioria das principais teorias de controle e ferra-

mentas foram desenvolvidas para tais sistemas. Por outro lado, em muitas aplicacoes o

sistema a ser controlado e constituıdo tambem por regras logicas, interruptores ou valvulas

tipo ON-OFF, seletores de velocidade, evolucoes dependentes de regras tipo if-then else.

Frequentemente na pratica, o controle destes sistemas e realizado utilizando esquemas

baseados em regras heurısticas deduzidas da operacao pratica da planta (Bemporad e

Morari 1999).

Nos ultimos anos o estudo de SH ou sistemas hierarquicos, constituıdos por compo-

nentes dinamicos no nıvel inferior e por componentes logicos/discretos no nıvel superior,

tem recebido muita atencao e torno-se uma das principais areas de investigacao no meio

academico (Grossmann et al. 1993) e (Branicky et al. 1998). Desde o comeco e durante

muito tempo a teoria classica de controle preocupou-se principalmente com os sistemas

contınuos e a ciencia da computacao com os sistemas com dinamica discreta, Figura 1.2.

Hoje em dia os sistemas a controlar estao tornando-se mais complexos e a interacao da

dinamica contınua e discreta esta aumentando, o que requer portanto a necessidade de

desenvolver ferramentas novas par analisar e projetar controladores para este tipo de

sistemas (Kerrigan 2000).

Nao obstante, em todos os casos encontrados na literatura, ambos os problemas, o

desenho do CP e o projeto do controle, e considerado independentemente. O circuito e

Introducao 5

Figura 1.2: Sistemas Hıbridos

projetado primeiramente e entao logo apos o engenheiro de controle escolhe a estrategia

do controle e ajusta o controlador. Isto limita o desempenho atingıvel do sistema porque

nenhum aspecto dinamico do comportamento do dispositivo e feito durante a fase de

projeto do sistema (Pomar et al. 2007). Este metodo de projeto tradicional ignora a

ideia que as mudancas no projeto do processo podem fazer o sistema mais controlavel ou

fornecem mais graus de liberdade para aumentar o desempenho (Luyben 1993).

Geralmente falando, o projeto do processo tradicionalmente e centrado em determinar

a estrutura, o tamanho e as condicoes de operacao dos componentes em um ponto de

operacao estacionario de acordo com especificacoes dadas da producao ou da operacao.

Geralmente, nos estagios de projeto, embora a otimizacao seja usada frequentemente

para dimensionar o sistema, nao ha nenhuma consideracao explıcita do comportamento

dinamico do processo e a funcao de custo a otimizar inclui somente os termos associados

aos componentes ou aos custos de operacao.

Uma vez que a planta foi construıda, os engenheiros de controle tentam projetar um

sistema automatico de controle que assegure a operacao correta da planta, mesmo na

presenca de incertezas e de perturbacoes. Esta tarefa e frequentemente difıcil ou mesmo

impossıvel dado que no projeto original nao se teve em conta os requerimentos de controle.

O Funcionamento adequado do processo, junto com seu sistema automatico de controle,

nao depende exclusivamente do tipo de controlador e dos seus parametros, mas tambem

do processo em si proprio (Luyben 1993).

O projeto integrado do processo e do controle e uma tecnica em que as caracterısticas

do controle sao consideradas nos estagios do projeto, permitindo assim considerar especi-

Introducao 6

ficacoes dinamicas para que o sistema assegure uma flexibilidade e facilidade de operacao.

Pode-se considerar o projeto integrado em malha aberta ou em malha fechada. A solucao

obtida ao resolver o problema de projeto em malha aberta sao os parametros fısicos da

planta associada aos valores mınimos da funcao de custo que verifica as restricoes de

projeto do processo e que fornece um comportamento dinamico desejado do sistema em

malha aberta. Neste caso o objetivo e facilitar a tarefa subsequente: o projeto do controle.

Por outro lado, a solucao do problema em malha fechada, alem de fornecer os parametros

fısicos otimos da planta, fornece tambem os parametros do controlador. Isto e, a sıntese

do controlador e incluıda tambem no problema do projeto de planta com o objetivo de

fornecer a solucao de menor custo alem de garantir determinadas especificacoes dinamicas

em malha fechada.

As primeiras ideias para integrar o controle com o projeto de processos foram pro-

postas por Nishida e Ichikawa (1975) e Nishida et al. (1976). Morari (1992) e Perkins

(1989) recolheram alguns dos resultados importantes e dos esforcos precedentes relativos

a interacao entre o projeto e o controle. Morari (1983), Skogestad e Morari (1987), Morari

e Zafiriou (1989), Skogestad e Wolf (1990), Skogestad et al. (1991) fizeram contribuicoes

significativas na analise de controladores e no estudo da adaptabilidade dinamica dos sis-

temas, introduzindo e analisando magnitudes de controle para a interacao das variaveis e a

rejeicao das perturbacoes. Nao obstante, na area dos dispositivos eletronicos de potencia,

as contribuicoes na literatura sao muito escassas.

Este trabalho propoe solucoes para o projeto de SH utilizando tecnicas de projeto

integrado, controle preditivo e controle nao linear aplicadas a CP e a sua utilizacao em

processos da industria do petroleo e gas natural.

1.2 Objetivos

Os objetivos de este trabalho podem agrupar-se em tres diferentes areas tematicas:

Sistemas Hıbridos Definir SH. Estudar as diferentes classes de SH e sua modelagem.

Extender os conceitos de controlabilidade e observabilidade a SH. Aprofundar no

conhecimento de solucoes de controle avancado para SH tendo em conta o problema

da estabilidade e da robustez das diferentes estrategias de controle. Estabelecer

resultados comparativos entre as diferentes controladores, tomando como estudo de

caso um CP de corrente direta em corrente direta, (DC-DC), o conversor Buck-Boost

Introducao 7

(CBB).

Projeto Integrado Estudar as tecnicas de projeto integrado na industria de processos.

Estender estas tecnicas a SH, utilizando como estudo de caso o projeto integrado

de um CBB. Mostrar os benefıcios de realizar o projeto integrado realizando uma

comparacao de desempenho das prestacoes do CBB obtido no projeto integrado e o

da primeira parte.

Conversores de Potencia Definir CP. Estudar as diferentes classes de CP e sua mod-

elagem. Definir HVDC e suas aplicacoes na area de industria do petroleo e gas

natural. Aplicar as diferentes tecnicas de controle mencionadas no comeco a um

HVDC ja construıdo, e finalmente aplicar as tecnicas de projeto integrado para

poder comparar com o HVDC construıdo com as tecnicas tradicionais.

1.3 Organizacao do trabalho

Este trabalho esta organizado da seguinte forma:

No Capıtulo 2 desenvolve-se aspectos teoricos sobre projeto integrados e sıntese de

processos e controle. Mostram-se alguns indices de controlabilidade usados na liter-

atura, e exemplifica-se a metodologia com alguns estudos de caso que tambem mostram

os benefıcios desta abordagem.

No Capıtulo 3 e definido e caracterizado os SH. Apresentam-se duas estrategias de

modelado para SH, a relacao entre ambas e os benefıcios de cada contexto de modelagem

apresentado.

No Capıtulo 4 apresentam-se o controle preditivo de SH num dos marcos de modelagem

apresentado no capıtulo 3, o contexto MLD. Mostra-se atraves de um estudo de caso uma

serie de desafios e questoes em aberto, que apresenta esta forma de controle.

No Capıtulo 5 apresentam-se as conclusoes do trabalho e o cronograma de atividades

durante a duracao do curso de doutorado.

Capıtulo 2

Projeto Integrado e Sıntese

2.1 Introducao

Historicamente, o projeto de um processo e seu controle tem sido realizados de forma

sequencial pelos engenheiros de processo e de controle respectivamente. E bem sabido

que a primeira etapa, o projeto do processo, determina a controlabilidade inerente do

proprio processo e, por conseguinte, as propriedades de interacao entre as variaveis, a

capacidade de rejeitar perturbacoes e a qualidade no seguimento a referencias, tudo isso

com independencia ao regulador colocado na etapa de controle. Assim frequentemente o

engenheiro de controle se enfrenta a plantas pouco controlaveis e o projeto e a sintonia

do sistema de controle torna-se uma tarefa difıcil (Luyben 1993, Luyben e Floudas 1994a,

Luyben e Floudas 1994b, Gutierrez 2000).

No projeto de uma planta sao involucradas duas areas fundamentalmente: a sıntese

do processo e o projeto do processo.

Na sıntese do processo se determina a interconexao otima entre as unidades do

processo como tambem o tipo de desenho das unidades dentro do sistema, para assim

alcancar objetivos de producao especıficados.

O projeto do processo e focado na determinacao das condicoes de operacao de cada

uma das unidades do processo e do dimensionamento que sao requeridos para a producao

de um produto especıfico.

Finalmente o controle de processos estabelece pautas de operacao que asseguram

Projeto Integrado e Sıntese 9

um comportamento estavel do processo satisfazendo un conjunto de especificacoes tran-

sitorias e de regime permanente mesmo considerando a acao de perturbacoes e incertezas

nos modelos usados no projeto do sistema de controle.

A sıntese de processos tem sido levada a cabo tradicionalmente de maneira manual

e intuitiva, uma vez que se propoem diferentes esquemas de diagramas de fluxos, os

engenheiros se centram em escolher o esquema da planta economicamente otima do ponto

de vista de custos de construcao, mas sem ter em conta a sequencia e interconexao otima

entre as unidades que a compoem, e sem considerar as caracterısticas de controlabilidade

em malha aberta ou em malha fechada que teria a planta uma vez projetada.

O modo tradicional de abordar o projeto de processos mostra-se na Figura 2.1. Ini-

cialmente o engenheiro de processos determina a estrutura do diagrama de fluxo, as

condicoes de operacao em estado estacionario que se requerem para alcancar os obje-

tivos de producao e o calculo dos parametros fısicos da planta (tamanho das unidades do

processo). O objetivo principal procurado nesta tarefa tem sido a de otimizar um ındice

economico (minimizar o custo anual de manutencao, maximizar os benefıcios, minimizar

o custo de construcao, etc.), considerando unicamente a operacao da planta em estado

estacionario, avaliando um grande numero de estruturas alternativas, de condicoes de

projeto e parametros que satisfacam os requerimentos de operacao estabelecidos, selecio-

nando finalmente a mais economica tanto em custos de manutencao como de construcao

das mesmas. Nesta etapa se da pouca atencao a controlabilidade dinamica do processo.

Uma vez projetada a planta, o engenheiro de controle se encarrega de estabelecer uma

estrategia de controle que assegure um comportamento dinamico estavel e que satisfaca

as exigencias de qualidade do produto. Estes objetivos devem alcancar-se mesmo na

presenca de grandes perturbacoes, de falhas nos equipamentos, variacoes de carga, etc.

Frequentemente esta e uma tarefa difıcil dado que a controlabilidade do processo, que

deveria ser uma parte integral nas etapas do projeto, nao e tida em conta previamente. Nas

ultimas tres decadas a pressao exercida pelos avancos tecnologicos e a competitividade,

tem feito que a seguranca, os custos de energia e as regulacoes governamentais em geral,

incrementem a complexidade e sensibilidade do processo em aras de conseguir maior

produtividade e qualidade dos produtos. As plantas tem passado a ser mais complexas

em relacao ao fluxo de materiais (configuracoes complexas, re-circulacao de fluxos, etc.)

e ao fluxo de energia (integracao do calor). Estas novas condicoes do processo, fazem que

a tarefa de controle seja frequentemente muito difıcil e que se aposte pelo uso de tecnicas

de controle avancado, como por exemplo o controle preditivo.


Figura 2.1: Projeto tradicional de processos.

A interacao entre estas duas disciplinas (engenharia de processos e controle) surge

devido a que o projeto de processos determina de um modo inerente sua controlabilidade,

o que qualitativamente significa o bem que um processo e capaz de rejeitar perturbacoes,

quao severamente interagem as multiplas variaveis e quao facilmente o sistema move-se

de um ponto de operacao a outro. Um procedimento mais otimo consistiria em integrar

na tarefa do projeto de processos restricoes sobre a controlabilidade do sistema.

Existem duas razoes fundamentais que tem condicionado o uso majoritario das tecnicas

de projeto de processos tradicionais, uma e a falta de ferramentas de projeto assistidas

por computador que permitem o estudo dinamico das plantas (somente nos ultimos anos


tem-se evidenciado um desenvolvimento pronunciado nesta area) e a segunda razao sao as

barreiras historicas e tecnologicas, existente entre o engenheiro de processos e o engenheiro

de controle, (Gutierrez 2000).

Atualmente, a situacao do ponto de vista tecnologico permite realizar o projeto si-

multaneo do processo e do sistema de controle, levando em conta restricoes de operacao,

restricoes do tipo fısico e considerando a controlabilidade do conjunto.

A definicao de controlabilidade nao e unica, como demonstram as diversas definicoes

dadas por Ziegler e Nichols (1943), Kalman et al. (1962), etc. Mais especificamente,

Skogestad et al. (1991) definiu o conceito de controlabilidade como “a melhor qualidade

de resposta que possa se obter atraves de um controlador feedback”, esta definicao geral

proporciona um marco de trabalho conceitual com o qual pode tratar-se o problema de

projeto integrado. Alguns investigadores tem apontado a essa ideia como fundamental,

no que refere a incorporar a controlabilidade como uma magnitude nas etapas de projeto

do processo.

Conceitualmente podem distinguir-se quatro tipo de requerimentos:

Flexibilidade, habilidade que possui um sistema para trabalhar em diferentes pontos de

estado estacionario nao consideradas no projeto.

Permutabilidade, habilidade que possui um sistema para se mover de um ponto de

estado estacionario a outro.

Controlabilidade, capacidade que possui o processo para alcancar e manter um valor

de equilıbrio desejado.

Controlabilidade em malha fechada, se define como o “melhor”comportamento

dinamico do sistema (seguimento de referencias e rejeicao de perturbacoes), que

pode alcancar o sistema em malha fechada. Por definicao esta caracterıstica nao

depende so do controlador, mas tambem da propria planta, ja que a controlabilidade

depende em grande medida da flexibilidade e permutabilidade que sao proporciona-

dos pelo proprio projeto do processo.

Projeto Integrado seria a tecnica de projeto atraves da qual obtem-se os parametros

fısicos da planta que minimizem os custos de operacao e construcao, ao mesmo tempo que

satisfacam caracterısticas de controlabilidade impostas ao processo, como mostra a Figura

2.2. Este problema se traduz matematicamente num problema de otimizacao nao linear


multi-objetivo com restricoes, onde os objetivos que se consideram sao do tipo economico

e de controle, e as restricoes sao os requerimentos fısico e de controlabilidade do processo,

que podem incluir: seguranca, flexibilidade, operabilidade, etc.

Figura 2.2: Projeto tradicional de processos.

A integracao da sıntese do processo e do controle, seria a tecnica que permitiria

selecionar automaticamente a estrutura otima da planta junto com a estrutura do con-

trolador, isto e, obter uma planta cujas unidades estejam conectadas de uma maneira

otima, seu dimensionamento represente o custo mınimo de construcao e permita satis-

fazer os requerimentos para um funcionamento adequado do processo, paralelamente a

isto se obtem os parametros otimos do regulador que proporcionem um comportamento

dinamico do sistema fixado na etapa de projeto.

Na sequencia descrevem-se alguns indices de controlabilidade utilizados na literatura

relacionados ao projeto e sıntese de processos, seguidamente apresenta-se a metodologia

de projeto integrado e a de sıntese de processos exemplificando cada metodo com estudos

de caso.


2.2 Algumas Medidas de Controlabilidade

O desenvolvimento teorico deste capıtulo e realizado sobre modelos lineares, invari-

antes no tempo. No caso mono-variavel considera-se:

y(s) = G(s)u(s) + Gd(s)d(s) (2.1)

onde y e a saıda do sistema, u e a entrada manipulada e d sao as perturbacoes. G e a funcao

de transferencia entrada-saıda da planta e Gd a funcao de transferencia perturbacoes-saıda.

Para sistemas multi-variaveis, G(s) e uma matriz de funcoes de transferencia.

Comentario 2.1 Vamos adotar a seguinte notacao neste trabalho: quando a letra que

representa a funcao de transferencia estiver em negrito entao trata-se de um sistema

multi-variavel e por tanto estaremos representando uma matriz de transferencia, no caso

contrario tratara-se de um sistema mono-variavel e estaremos representando uma funcao

de transferencia.

A funcao de transferencia G(s) serao funcoes racionais da forma:

G =bnzs

nz + . . . + b1s + b0

sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0

(2.2)

onde n e a ordem do denominador e e chamado de ordem do sistema; nz e a ordem do

numerador. n− nz e chamado de ordem relativo do sistema.

Definicao 2.1

• O sistema G(s) e estritamente proprio se lims→∞

G(s) = 0.

• O sistema G(s) e semi-proprio se lims→∞

G(s) = D 6= 0.

• O sistema G(s) que e estritamente proprio ou semi-proprio e proprio.

• O sistema G(s) e improprio se lims→∞

G(s) = ∞.

Para os sistemas proprios, com n ≥ nz, podemos fazer uma descricao no espaco de

estados, x = Ax + Bu, y = Cx + Du, do sistema (2.2) da seguinte forma:

G(s) = C(sI − A)−1B + D (2.3)


Comentario 2.2 Todo sistema real tem ganho zero a uma frequencia suficientemente

grande, e por tanto e estritamente proprio.

A equacao (2.1) e um modelo incremental do sistema, onde os sinais: u(s), d(s) e y(s),

geralmente sao variaveis que representam o desvio do sinais verdadeiros respeito de um

ponto de equilıbrio ou referencia, pois geralmente o modelo (2.1) e obtido a partir de uma

linearizacao de um modelo nao-linear do sistema.

A seguir mostram-se os principais ındices de controlabilidade para sistemas uma en-

trada uma saıda (SISO), e logo apos para sistemas de multiplas entradas e multiplas

saıdas (MIMO).

2.2.1 Indices de Controlabilidade para sistemas SISO

Performance no domınio do tempo

Uma forma tradicional de avaliar a performance de um sistema SISO e simular sua

resposta a um degrau unitario na entrada de referencia e avaliar indices como:

• Tempo de subida (tr).

• Tempo de 5% ou tempo de assentamento (ts).

• Sobre-sinal (Mp).

• Fator de reducao (quociente entre o segundo e o primeiro pico do sinal de saıda).

• Erro em estado estacionario (es→∞).

Os dois primeiros indices medem a velocidade de resposta, no entanto os ultimos tres

medem a qualidade da resposta. Para o leitor que nao estiver familiarizado com estes

indices, sua definicao encontram-se no apendice A.

Comentario 2.3 Estes indices sao validos quando usamos um modelo incremental do

processo onde y(0) = 0


Outra forma de quantificar a performance no domınio do tempo e em termos de alguma

norma do sinal de erro: e(t) = y(t) − r(t). Por exemplo podemos usar a integral do

quadrado do erro (Integral Squared Error - ISE), ou a raiz quadrada, que e a norma-

2 do sinal de erro, ‖e(t)‖2 =√∫∞

0|e(τ)|2dτ . Observe que neste caso varios objetivos

relacionados com ambas, a velocidade e a qualidade da resposta, sao combinados em um

unico numero. Outra vantagem da norma-2 e que o problema resultante de otimizacao e

numericamente facil de resolver. Alem do mais podemos tomar em conta as magnitude

de entrada considerando, por exemplo, J =√∫∞

0(Q|e(t)|2 + R|u(t)|2dt, onde Q e R sao

constantes positivas. Isto e similar ao control quadratico otimo (LQ), mas no controle LQ

normalmente consideramos o impulso em lugar do degrau em r(t).

Performance no domınio da frequencia

Substituindo s por jw na funcao de transferencia G(s) de um sistema estavel, obtemos

a chamada descricao da resposta em frequencia. A resposta em frequencia pode ser usada

para descrever: (i) a resposta de um sistema estavel a uma sinusoide de frequencia variavel,

(ii) o conteudo harmonico de um sinal determinıstico via Transformada de Fourier, (iii) a

Distribuicao Harmonica de um sinal estocatsico via a Funcao de Densidade Espectral de

Potencia.

A grande vantagem da analise no domınio da frequencia comparado com a analise da

resposta ao degrau, e justamente que ela considera uma ampla classe de sinais (sinusoides

de qualquer frequencia). Isto facilita a caracterizacao das propriedades de realimentacao,

e em particular o comportamento do sistema na regiao proximas a frequencia de corte

(largura de banda).

Alguns dos principais indices no domınio da frequencia, para sistemas SISO, sao:

• Margem de Fase (PM) e Margem de Ganho (GM).

• Maximo Pico.

• Largura de Banda e Frequencia de Corte.

O leitor que nao estiver familiarizado com estes indices no domınio da frequencia,

pode achar a definicao assim como um desenvolvimento mais detalhado dos mesmos no

apendice A.


2.2.2 Indices de Controlabilidade para sistemas MIMO

Considere-se uma planta MIMO com m entradas e l saıdas. Assim o modelo basico de

funcao de transferencia e y(s) = G(s)u(s), onde y e um vetor l × 1, u e um vetor m× 1

e G(s) e uma matriz de funcoes de transferencias l ×m.

A principal diferenca entre os sistemas SISO e MIMO e a aparicao de direcoes. Direcoes

sao relevantes para vetores e matrices mas nao para escalares. No entanto, apesar da

complicacao do fator da direcao muitas das ideias apresentadas na secao anterior para

sistemas SISO podem ser estendidas para sistemas MIMO. A decomposicao em valores

singulares (SVD) e uma forma util de quantificar a direcionalidade, e vamos ver que

muitos dos resultados envolvendo valores absolutos (magnitude) para sistemas mono-

variaveis podem ser generalizados para sistemas multi-variaveis considerando o maximo

valor singular.

Analise da resposta em frequencia multi-variavel

O domınio da frequencia e ideal para o estudo das direcoes em sistemas multi-variaveis.

Considere o sistema G(s) mostrado na Figura 2.3 com entrada d(s) e saıda y(s).

Figura 2.3: Sistema G(s) com entrada d e saıda y.

y(s) = G(s)d(s) (2.4)

(Vamos chamar aqui a entrada de d em lugar de u para evitar confusoes com a matriz

U usada mais adiante na decomposicao de valores singulares). Na Secao 2.2.1 foi men-

cionado que a resposta em frequencia de um sistema SISO estavel pode ser interpretada

fisicamente como a resposta do sistema a uma entrada sinusoidal de frequencia w. Esta

interpretacao da resposta em frequencia pode ser generalizada a sistemas MIMO con-

siderando os elementos gij(jw) da matriz G como a resposta do sistema na saıda i a uma

entrada sinusoidal na entrada j.

Mais especificamente isto quer dicer que, aplicando no canal de entrada j um sinal escalar


sinusoidal persistente (ou seja ele e aplicado desde t = −∞):

dj = dj0 sin(wt + αj) (2.5)

obtemos no canal de saıda i o sinal persistente:

yi = yi0 sin(wt + βi) (2.6)

onde a amplificacao (ganho) e o corrimento de fase, podem ser obtidos a partir do numero

complexo gij(jw) como segue:

yi0

dj0

= |gij(jw)|, βi − αj = ∠gij(jw) (2.7)

A resposta total do sistema a entradas simultaneas nos canais de entrada e, pelo principio

de superposicao de sistemas lineares, igual a soma das respostas individuais, ou seja:

yi(w) = gi1(jw)d1(w) + gi2(jw)d2(w) + . . . =∑

j

gij(jw)dj(w) (2.8)

Para sistemas SISO, y = Gd, o ganho a uma dada frequencia e simplesmente:

|y(w)||d(w)| =

|G(jw)d(w)||d(w)| = |G(jw)|

O ganho depende da frequencia w, mas como o sistema e linear nao depende da magnitude

de entrada |d(w)|.

Para aplicar este conceitos em sistemas MIMO, onde os sinais de entrada e saıda

sao ambos vetores, e necessario usar normas especıficas. Por exemplo, se escolhemos a

norma-2, entao a uma frequencia dada w a magnitude do vetor de entrada e:

‖d(w)‖2 =

√∑j

|dj(w)|2 =√

d210 + d2

20 + · · · (2.9)

e a magnitude do vetor de saıda e:

‖y(w)‖2 =

√∑i

|yi(w)|2 =√

y210 + y2

20 + · · · (2.10)


O ganho do sistema G(s) para uma sinal de entrada particular d(w) e dado por:

‖y(w)‖2

‖d(w)‖2

=‖G(jw)d(w)‖2

‖d(w)‖2

=

√y2

10 + y220 + · · ·√

d210 + d2

20 + · · · (2.11)

Novamente o ganho depende da frequencia w e e independente da magnitude de entrada

‖d(w)‖2. No entanto par sistemas MIMO existem graus de liberdade adicionais e o ganho

depende da direcao da entrada d.

Exemplo 2.1 Para um sistema com duas entradas, d =

[d10

d20

], o ganho e em geral

diferente para as seguintes 5 entradas:

d1 =

[1

0

], d2 =

[0

1

], d3 =

[0.707

0.707

], d4 =

[0.707

−0.707

], d5 =

[0.6

−0.8

]

(observe que todas as entradas tem a mesma magnitude ‖d‖2 = 1, mas tem diferentes

direcoes). Por exemplo, para o sistema 2× 2:

G1 =

[5 4

3 2

](2.12)

(matriz constante) podemos calcular para as 5 entradas dj os seguintes vetores de saıda:

y1 =

[5

3

], y2 =

[4

2

], y3 =

[6.36

3.54

], y4 =

[0.707

0.707

], y5 =

[−0.2

0.2

]

e a norma-2 destas 5 saıdas e:

‖y1‖2 = 5.83, ‖y2‖2 = 4.47, ‖y3‖2 = 7.30, ‖y4‖2 = 1.00, ‖y5‖2 = 0.28

Esta dependencia do ganho em relacao a direcao de entrada e mostrada na Figura 2.4 onde

usamos d20

d10como variavel independente para representar a direcao de entrada. Vemos que,

dependendo de d20

d10, o ganho varia entre 0.27 e 7.34.

O maximo valor do ganho em 2.11 e o maximo valor singular de G

maxd6=0

‖Gd‖2

‖d‖2

= max‖d‖2=1

‖Gd‖2 = σ(G) (2.13)


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

d20

d10

‖y‖2

‖d‖2

σ(G1) = 7.34

σ(G1) = 0.27

Figura 2.4: Ganho ‖G1d‖2‖d‖2 como funcao de d20

d10para G1 em 2.12.

e o ganho mınimo e o mınimo valor singular de G,

mind6=0

‖Gd‖2

‖d‖2

= min‖d‖2=1

‖Gd‖2 = σ(G) (2.14)

A primeira igualdade em (2.13) e (2.14) sao validas porque o ganho e independente da

magnitude de entrada para sistemas lineares.

Para achar uma generalizacao util de |G| para o caso em que G e uma matriz, neces-

sitamos do conceito de norma de um matriz: ‖G‖.

Decomposicao em Valores Singulares

Definicao 2.2 Matriz Unitaria.

A matriz (complexa) U e untaria se

UH = U−1 (2.15)

onde UH e a matriz conjugada transposta (Hermıtica) de U e U−1 e a inversa de U .

Todos os autovalores da matriz unitaria tem valor absoluto igual a 1, e todos seus

valores singulares sao iguais a 1.


Definicao 2.3 Decomposicao em Valores Singulares (SVD).

Qualquer matriz complexa A, l × m, pode ser fatorizada na decomposicao em valor

singular:

A = UΣV H (2.16)

onde a matriz U , l× l, e a matriz V , m×m, sao unitarias, e a matriz Σ, l×m, contem

a matriz diagonal Σ1 com os valores singulares reais nao negativos, σi, arrumados em

ordem descendente como em:

Σ =

[Σ1

0

]; l ≥ m (2.17)

ou

Σ =[

Σ1 0]; l ≤ m (2.18)

onde

Σ1 = diagσ1, σ2, . . . , σk; k = min(l, m) (2.19)

e

σ ≡ σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σk ≡ σ (2.20)

Os valores singulares sao as raızes quadradas positivas dos k = min(l, m) maiores

autovalores de ambas matrices AAH e AHA. Ou seja:

σi(A) =√

λi(AHA) =√

λi(AAH) (2.21)

Definida a SVD, vejamos como usar este conceito na resposta em frequencia de um

sistema MIMO G(s) com m entradas e l saıdas.

Considere uma frequencia fixa w onde G(jw) e uma matriz complexa constante l×m,

por simplicidade anotemos G(jw) por G. Qualquer matriz G pode ser decomposta em

uma SVD, ou seja podemos fazer:

G = UΣV H (2.22)

Direcoes de entrada e saıda Os vetores colunas de U , (ui), representam as direcoes de

saıda da planta. Estes vetores sao ortogonais e de tamanho igual a 1 (ortonormais),

isto e:

‖ui‖2 =√|ui1|2 + |ui2|2 + . . . |uil|2 = 1 (2.23)

uHi ui = 1, uH

i uj = 0, i 6= j (2.24)


Assim mesmo, os vetores colunas de V , (vi), representam as direcoes de entrada da

planta, tambem estes vetores sao ortogonais e de tamanho igual a 1 (ortonormais).

Estas entradas e saıdas estao relacionadas atraves dos valores singulares. Para ver

isto note que como V e unitaria temos que V HV = I, por tanto (2.22) pode ser

escrita como GV = UΣ para a qual a coluna i torna-se:

Gvi = σiui (2.25)

onde vi e ui sao vetores e σi um escalar. Isto e, se consideramos uma entrada na

direcao vi, entao a saıda e na direcao ui. Alem disso, como ‖vi‖2 = 1 e ‖ui‖2 = 1

vemos que o i-esimo valor singular σi da diretamente o ganho da matriz G nessa

direcao. Em outras palavras:

σi(G) = ‖Gvi‖2 =‖Gvi‖2

‖vi‖2

(2.26)

Algumas vantagens da decomposicao SVD em relacao aos autovalores para analisar

ganhos e direcoes de plantas multi-variaveis sao:

1. Os valores singulares dao melhor informacao sobre o ganho da planta.

2. As direcoes da planta obtidas do SVD sao ortogonais

3. SVD pode ser aplicado diretamente a plantas nao quadradas.

Valores singulares maximo e mınimo Como ja determinado, e possıvel mostrar que

o maior ganho para qualquer direcao de entrada e igual ao valor singular maximo,

σ(G) ≡ σ1(G) = maxd6=0

‖Gd‖2

‖d‖2

=‖Gv1‖2

‖v1‖2

(2.27)

e que o menor ganho para qualquer direcao de entrada e igual ao valor singular

mınimo,

σ(G) ≡ σk(G) = mind6=0

‖Gd‖2

‖d‖2

=‖Gvk‖2

‖vk‖2

(2.28)

onde k = minl,m. Assim, para qualquer vetor d temos que:

σ(G) ≤ ‖Gd‖2

‖d‖2

≤ σ(G) (2.29)


Exemplo 2.2 Considere novamente o sistema (2.12) do exemplo (2.1)

G1 =

[5 4

3 2

](2.30)

A decomposicao em valores singulares SVD de G1 e:

G1 =

[0.872 0.490

0.490 −0.872

]

︸︷︷︸U

[7.343 0

0 0.272

]

︸︷︷︸Σ

[0.794 −0.608

0.608 0.794

]H

︸︷︷︸V H

O maior ganho 7.343 e para uma entrada na direcao v =

[0.794

0.608

], e o menor ganho

0.272 e para uma entrada na direcao v =

[−0.608

0.794

]. Isto confirma o achado no

exemplo (2.1).

Como em (2.30) ambas entradas afetam ambas saıdas, diremos que o sistema e

interativo. Alem disso o sistema e mal condicionado, isto e, algumas combinacoes

das entradas tem um forte efeito nas saıdas, no entanto outras combinacoes tem

um efeito fraco. Isto pode ser quantificado pelo numero de condicao, o quociente

entre os ganhos na direcao forte e fraca:

γ(G) =σ(G)

σ(G)(2.31)

Para o sistema (2.30) e:

γ(G) =σ(G)

σ(G)=

7.343

0.272= 27.0 (2.32)

Exemplo 2.3 Considere o sistema mostrado na Figura 2.5, o qual consiste numa

coluna de destilacao da qual devemos extrair 2 produtos com distinta composicao. O

produto no topo da coluna deve ter uma composicao yD = 0.99 (saıda y1), no entanto

que o produto da parte inferior de coluna deve ter uma composicao xB = 0.01 (saıda

y2), para isso contamos com 2 magnitude a manipular: o refluxo L (entrada u1) e

o vapor no intercambiador de calor V (entrada u2)


Figura 2.5: Sistema columna de destilacao.

O modelo em estado estacionario do sistema e,

G =

[87.8 −86.4

108.2 −109.6

](2.33)

As variaveis foram escaladas como discutido no apendice B. (O conceito, a jus-

tificativa e a metodologia de escalamento de um sistema, encontra-se no apendice

B).

A decomposicao em valores singulares SVD de G e:

G =

[0.625 −0.781

0.781 0.625

]

︸︷︷︸U

[197.2 0

0 1.39

]

︸︷︷︸Σ

[0.707 −0.708

−0.708 −0.707

]H

︸︷︷︸V H

Do primeiro vetor singular de entrada, υ = [0.707 − 0.708]T , vemos que o

ganho e 197.2 quando incrementamos uma entrada e decrementamos a outra en-

trada na mesma quantidade. Por outro lado, do segundo vetor singular de entrada,

υ = [−0.708 − 0.707]T , vemos que se incrementamos ambas entradas na mesma

proporcao entao o ganho e somente 1.39. A motivo disto e que a planta e tal que

as duas entradas se contra-restam entre elas. Isto porque o processo de destilacao

e mal condicionado ao menos em estado estacionario, e o numero de condicao e


γ(G) = 197.21.39

= 141.7

Para sistemas dinamicos os valores singulares e suas direcoes associadas variam com

a frequencia. Para proposito de controle e a variacao dos valores singulares no

intervalo de frequencia correspondente a largura de banda em malha fechada que e

de interesse principal.

Para o sistema da coluna de destilacao cuja matriz de transferencia e:

G(s) =1

75s + 1

[87.8 −86.4

108.2 −109.6

]

os valores singulares do sistema em funcao da frequencia sao mostrados na Figura

2.6

10−4

10−3

10−2

10−1

100

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

σ*(G(jw))

σ*(G(jw))

σ*(G(0))

σ*(G(0))

MATLAB:sys=tf([87.8],[−86.4];[108.8],[−109.6],[75.1,1],[75.1,1];[75.1,1],[75.1,1])sigma(sys)

Figura 2.6: Valores singulares columna de destilacao.

Plantas nao-quadradas O SVD e tambem util para plantas nao quadradas. Por ex-

emplo, considere uma planta com 2 entradas e 3 saıdas. Neste caso o terceiro vetor

singular de saıda, u3, nos diz em qual direcao de saıda a planta nao pode ser contro-

lada. Similarmente, para plantas com mais entradas que saıdas, os vetores singulares

de entrada adicionais nos dizem em que direcoes as entradas nao tem efeito.


Uso do valor singular mınimo da planta O valor singular mınimo da planta,

σ(G(jw)), avaliado como funcao da frequencia, e uma medida util para avaliar

a factibilidade de alcancar um controle aceitavel. Se as entradas e saıdas foram

escaladas como mostrado no apendice B, entao com uma entrada manipulada de

magnitude unitaria (medida atraves da norma-2), podemos alcancar uma magnitude

de saıda de pelo menos σ(G) em qualquer direcao de saıda. Geralmente desejamos

que σ(G) seja o maior possıvel.

Valores Singulares para performance

O valor singular maximo da planta e muito util para analisar a performance e a

robustez do sistema no domınio da frequencia.

Considere um sistema cuja estrutura mostra-se na Figura 2.7, o qual apresenta um

laco de realimentacao negativa e tem um grau de liberdade (K).

Figura 2.7: Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada.

A entrada ao controlador K(s) e r− ym onde ym = y + n e a medida da saıda e n e o

ruido de medida. Por tanto a entrada a planta e:

u = K(s)(r − y − n) (2.34)

O objetivo do controle e manipular u (projetar (K)) tal que o erro e se mantenha


dentro das especificacoes a pesar da perturbacao d. O sinal erro e definido como:

e = y − r (2.35)

onde r denota o valor de referencia para a saıda.

O modelo matematico da planta pode ser escrito como:

y = G(s)u + Gd(s)d (2.36)

e para um controlador de um grau de liberdade a substituicao de 2.34 em 2.36 da como

resultado:

y = GK(r − y − n) + Gdd

ou

(I + GK)y = GKr + Gdd−GKn (2.37)

por tanto a resposta em malha fechada e:

y = (I + GK)−1GK︸︷︷︸T

r + (I + GK)−1

︸︷︷︸S

Gdd− (I + GK)−1GK︸︷︷︸T

n (2.38)

O erro e:

e = y − r = −Sr + SGdd− Tn (2.39)

onde e usado o fato que I − T = S. O correspondente sinal de entrada a planta e:

u = KSr −KSGdd−KSn (2.40)

A seguinte notacao e terminologia sera usada:

L = GK Func~ao de Laco

S = (I + GK)−1 = (I + L)−1 Func~ao de Sensibilidade

T = (I + GK)−1GK = (I + L)−1L Func~ao de Sensibilidade Complementaria

S e a funcao de transferencia em malha fechada da saıda respeito a perturbacao, no

entanto T e a funcao de transferencia em malha fechada da saıda respeito a referencia.

S + T = I (2.41)


Para os sistemas SISO |S(jw)| avaliada como funcao da frequencia da informacao util

sobre a efetividade do controle por realimentacao. Por exemplo, e o ganho entre uma

entrada sinusoidal de referencia e o erro de controle, |e(w)|/|r(w)| = |S(jw)|

Para sistemas MIMO uma generalizacao muito util pode ser feita se considerarmos o

quociente ‖e(w)‖2/‖r(w)‖2, onde r e o vetor de referencia na entrada, e e o vetor do erro

de controle, e ‖ · ‖ e a norma-2 de um vetor. Como vamos explicar a seguir este ganho

depende da direcao de r(w) e sabemos por (2.29) que dito ganho esta delimitado pelos

valores singulares maximo e mınimo de S.

σ(S(jw)) ≤ ‖e(w)‖2

‖r(w)‖2

≤ σ(S(jw)) (2.42)

Em termos da performance, e razoavel requerer que o ganho ‖e(w)‖2/‖r(w)‖2 se man-

tenha pequeno para qualquer direcao de r(w), incluindo a direcao do pior caso cujo ganho

e σ(S(jw)). Seja 1/|wP (jw)| (inversa da funcao peso de desempenho) o valor que rep-

resenta a maxima magnitude permitida de ‖e‖2/‖r‖2 a cada frequencia. Isto resulta no

seguinte requerimento de performance:

σ(S(jw)) < 1/|wP (jw)| ⇔ σ(wP S) < 1, ∀w⇔ ‖wP S‖∞ < 1 (2.43)

onde a norma H∞ e definida como o pico do valor singular maximo da resposta em

frequencia.

‖M(s)‖∞ , maxw

σ(M(jw)) (2.44)

Tipicamente a funcao peso de desempenho wP pode ser da forma:

wP (s) =s/M + w∗

B

s + w∗BA

(2.45)

1/|wP (jw)| representa a cota superior de |S(jw)|.

Os valores singulares de S(jw) podem ser tracados em funcao da frequencia. Tipi-

camente, o grafico sera pequeno em baixas frequencias onde a realimentacao e efetiva e

aproximam-se a 1 em altas frequencias dado que qualquer sistema real e estritamente

proprio:

w →∞ : L(jw) → 0 ⇒ S(jw) → I (2.46)


10−2

10−1

100

101

102

10−2

10−1

100

Freqüência[rad/s]

Mag

nitu

de

M

A

w∗B

Figura 2.8: Inversa da funcao peso de desempenho. Grafico exato e assintotico de|1/wP (jw)|

.

O valor singular maximo, σ(S(jw)), usualmente possui um pico maior que 1 entorno

da frequencia de corte. Este pico e indesejado mas inevitavel para sistemas reais.

Como para sistemas SISO definimos a largura de banda como a frequencia ate onde

a realimentacao e efetiva (veja apendice A). Para sistemas MIMO a largura de banda

depende das direcoes, vamos ter uma regiao de largura de banda entre a menor frequencia

onde o valor singular maximo, σ(S), alcanca 0.7 (o menor ganho ou a direcao do pior caso),

e a maior frequencia onde o valor singular mınimo, σ(S), alcanca 0.7 (o maior ganho ou

a melhor direcao). Se desejamos associar uma unica frequencia de largura de banda a

o sistema multi-variavel, entao consideramos a direcao do pior caso (menor ganho), e

definimos

• Largura de banda, wB: a frequencia onde σ(S) cruza 1√2

= 0.7 por baixo.

Entao e entendido que a largura de banda e ao menos wB para qualquer direcao do

sinal de entrada (referencia ou perturbacao).


Numero de condicao e RGA

Dois medidas usadas para quantificar o grau de direcionalidade e o nıvel de interacao

entre as variaveis em um sistema MIMO, sao o numero de condicao e a matriz de ganhos

relativos (RGA), respectivamente.

Numero de condicao

Definimos o numero de condicao de uma matriz como u quociente entre o maximo e o

mınimo valor singular,

γ(G) , σ(G)

σ(G)(2.47)

A matriz com um numero de condicao grande e dita mal condicionada. Para uma matriz

nao singular (quadrada) σ(G) = 1/σ(G−1), entao γ(G) = σ(G)σ(G−1). Por tanto o

numero de condicao sera grande se ambas G e G−1 possuem elementos grandes.

O numero de condicao depende fortemente do escalamentos, (o conceito, justificativa

e a metodologia de escalamento de um sistema encontra-se no apendice B), das entradas

e saıdas. Sendo mais especifico, se D1 e D2 sao matrices diagonais escaladas, entao o

numero de condicao das matrices G e D1GD2 podem ser arbitrariamente longe entre si.

Em geral, a matriz G devera ser escalada em base a magnitudes fısicas, por exemplo,

dividindo cada entrada e saıda pelo maior valor esperado ou desejado como discutido no

apendice B.

Mas tambem podemos considerar minimizar o numero de condicao sobre todos os

possıveis escalamentos. Para achar o numero de condicao otimo devemos resolver o

seguinte problema de minimizacao,

γ∗(G) = minD1,D2

γ(D1GD2) (2.48)

O numero de condicao pode ser usado como uma medida da controlabilidade entrada-

saıda, e em particular pode ser postulado que um numero de condicao grande indica

sensibilidade as incertezas. Isto nao e verdade em geral, mas o contrario sim; se o numero

de condicao e pequeno, entao o efeito multi-variavel das incerteza nao sao severas.


Matriz de ganho relativos (RGA)

A matriz de ganhos relativos (RGA) de uma matriz quadrada nao-singular e uma

matriz quadrada definida como,

RGA(G) = Λ(G) , G× (G−1)T (2.49)

onde × indica o produto elemento a elemento (produto de Schur ou Hadamard).

Bristol (1966) originalmente introduz a matriz RGA como uma medida em estado

estacionario da interacao para um controle descentralizado. Infelizmente, por causa da

definicao original, muitas pessoas descartaram a RGA pois so era util para w = 0. Mas,

em muitos casos o valor da RGA a frequencias perto da frequencia de corte e muito

importante.

A RGA possui numerosas propriedades algebricas interessantes, as quais as mais im-

portantes sao:

1. E independente do escalamento das entradas e saıdas.

2. A soma das colunas e filas e igual a 1.

3. A norma-soma (‖A‖soma =∑ |aij|) da matriz RGA, ‖Λ‖soma, e muito proxima ao

numero de condicao γ∗ (equacao 2.48). Isto significa que uma planta com grandes

elementos na RGA e sempre mal condicionada (com um valor grande de γ(G)), mas

a inversa nao e valida (isto e uma planta com um grande γ(G) pode ter uma RGA

com elementos pequenos)

4. Uma mudanca relativa num elemento de G semelhante ao inverso negativo de seu

correspondente elementos-RGA produz uma singularidade.

5. A RGA e a matriz identidade se G e triangular superior ou inferior.

Da ultima propriedade segue que a RGA (o mais precisamente Λ(G) − I) da uma

medida da interacao entrada-saıda.

A definicao da RGA pode ser generalizada a matrices nao quadradas usando a pseudo-

inversa, (a pseudo-inversa de G e (GTG)−1).

Alem das propriedades algebricas mencionadas anteriormente, a matriz RGA possui

numerosas propriedades de controle uteis:


1. RGA e um bom indicador da sensibilidade as incertezas:

(a) Incertezas no canal de entrada. Plantas com elementos grandes na RGA ao

redor da frequencia de corte sao fundamentalmente difıceis de controlar pela

sensibilidade as incertezas de entrada (por exemplo causada pelas incertezas

ou omissao da dinamica do atuador)

(b) Elementos incertos. Como implicado pela propriedade algebrica 4 acima, um

elemento grande na RGA implica sensibilidade a incerteza elemento a ele-

mento. Entretanto, este tipo da incerteza nao pode ocorrer na pratica devido

aos acoplamentos fısicos entre os elementos da funcao de transferencia. Con-

sequentemente, a incerteza diagonal da entrada (que esta sempre presente) e

geralmente de mais interesse para plantas com elementos-RGA grandes.

2. RGA e zeros no semi-plano direito. Se o signo de um elemento-RGA muda de s = 0

a s = ∞, entao existe um zero no semi-plano direito em G ou em algum sub-sistema

de G.

3. Plantas nao-quadradas. Entradas extras: se a soma dos elementos na coluna da RGA

e pequeno (<< 1), entao se pode considerar suprimir a entrada correspondente.

Saıdas extras: se todos os elementos de um fila de uma RGA sao pequenos (<< 1),

entao a correspondente saıda nao pode ser controlada.

4. Dominancia diagonal. A RGA pode ser usada para medir a dominancia diagonal

pela simples quantidade:

RGA− number = ‖Λ(G)− I‖sum (2.50)

Para um controle descentralizado prefere-se emparelhamentos para a qual o numero

RGA na frequencia de corte seja proximo a 1.

5. RGA e controle descentralizado.

(a) Integridade: para plantas estaveis evitar emparelhamentos entrada-saıda

com elementos-RGA de estado estacionario negativos. Se nao, se os sub-

controladores sao projetados independentemente cada um com acao integral,

entao as interacoes causarao instabilidade ainda quando toda as malhas sejam

fechadas, ou quando a malha correspondente ao ganho relativo negativo torna-

se inativo (por exemplo por causa da saturacao). Interessante, este e o unico

uso da RGA relacionado diretamente a definicao original de Bristol.


(b) Estabilidade: Preferir os emparelhamentos que correspondam a um numero-

RGA perto de 0 nas frequencias de corte.

Exemplo 2.4 Considere a planta diagonal G, calcule a RGA e o numero de condicao,

G =

[100 0

0 1

], Λ(G) = I, γ(G) =

σ(G)

σ(G)=

100

1= 100, γ∗(G) = 1 (2.51)

Aqui o numero de condicao e grande o que significa que o ganho da planta depende forte-

mente das direcoes de entrada. No entanto, dado que planta e diagonal nao a interacao

por tanto Λ(G) = I e γ∗(G) = 1, e normalmente nao e esperado sensibilidade as in-

certezas.

Exemplo 2.5 Considere novamente o processo de destilacao mostrado no exemplo 2.3,

para a qual temos a matriz de ganhos em estado estacionario,

G =

[87.8 −86.4

108.2 −109.6

](2.52)

G−1 =

[0.399 −0.315

0.394 −0.320

](2.53)

Λ(G) =

[35.1 −34.1

−34.1 35.1

](2.54)

Neste caso γ(G) = 197.2/1.391 = 141.7 e somente ligeiramente maior que γ∗(G) =

138.268. A magnitude da soma dos elementos da matriz RGA e ‖Λ‖sum = 138.275. O

numero de condicao e grande, mas como o valor singular mınimo σ(G) = 1.391 e maior

que 1 isto por si nao implica um problema de controle. Entretanto, os elementos-RGA

grandes indicam problemas no controle, e problemas fundamentais do controle esperam-

se se a analise mostrar que G(jw) tem elementos-RGA tambem na regiao de frequencia

perto da frequencia de corte.

2.3 Projeto Integrado de Processos e Controle

Na tarefa de Projeto Integrado se consideram simultaneamente objetivos de controle

e objetivos economicos, que podem traduzir-se em encontrar os parametros fısicos da


planta e um ponto em estado estacionario que minimize o custo de construcao e operacao

ao mesmo tempo que satisfaca certas caracterısticas de controlabilidade. O problema

pode formular-se da seguinte maneira, (Luyben 1993):

“Dada varias configuracoes da planta concebida para a realizacao de um conjunto

de tarefas (reacoes, separacao, aquecimento, etc) e dado um conjunto de variaveis con-

troladas, manipuladas e de perturbacao, que estao relacionas atraves de um modelo

matematico, o objetivo fundamental e determinar a configuracao otima ou de melhor

compromisso do processo entre os objetivos economicos e de controle.”

Esta formulacao nao especifica qual e o objetivo particular do controle ou como pode

obter-se a melhor solucao de compromisso, o problema de projeto integrado pode formular-

se como um problema de otimizacao multi objetivo que facilita a liberdade de estabelecer

um certo numero o tipo de objetivos, este nao so tem que ter em conta a controlabilidade,

podem envolver objetivos de seguranca ou meio ambientais por exemplo.

A determinacao da melhor solucao de compromisso recai no usuario, quem deve escol-

her em dependencia as suas prioridades qual e a que ele considera a melhor solucao.

Se as caracterısticas de controlabilidade que se estabelecem na etapa de projeto con-

sideram o comportamento do sistema em malha aberta, o problema e dirigido a encontrar

a configuracao otima, tendo em conta aquela estrutura que resulte mais economica. Se

o que se persegue fixar e o comportamento do sistema em malha fechada, o problema

conduz a determinar a estrutura de menor custo e os parametros otimos do regulador que

cumpram com os requerimentos estabelecidos.

2.3.1 Procedimento Geral de Projeto Integrado

O procedimento de Projeto Integrado e executado seguindo os passos que se apresen-

tam a continuacao:

1. Proposta de diferentes estruturas alternativas

Se propoem diferentes estruturas do processo e se determinam os objetivos

economicos e de controle que sejam de interesse.

2. Modelado das estruturas

Formula-se um modelo matematico de conhecimento de todas as estruturas pro-


postas e expressam-se as magnitudes de controlabilidade (em malha aberta ou malha

fechada) em funcao das variaveis de projeto desconhecidas a partir dos modelos lin-

earizados de cada planta.

3. Obtencao dos parametros fısicos da planta

A solucao do problema que se apresenta conduz a solucao de um problema de

otimizacao multi objetivo nao linear com restricoes que formula-se da seguinte

maneira:

minx

U [f1(x), f2(x), . . .]

sujeito a : h(x) = 0

g(x) ≤ 0

x ∈ X

Onde:

U : representa o ındice a minimizar e que relaciona os diferentes objetivos.

f1(x), f2(x), . . .: representam os objetivos de controle, economicos e outros.

h(x): representa as equacoes de balancos e equilibrios do processo.

g(x): representa as restricoes do processo, fısicas e de controle.

x: representa os parametros de dimensionamento e fısicos das unidades, a com-

posicao, temperaturas, etc.

4. Obtencao da melhor solucao de compromisso

A melhor solucao a um problema com multiplos objetivos, consiste de aquelas

solucoes onde um objetivo pode ser melhorado unicamente a expensas dos out-

ros objetivos. Existem algoritmos de otimizacao multi objetivos (MOP), que acham

de maneira automatica a melhor solucao de compromisso.

No caso de projeto integrado em malha aberta, os objetivos de controle e economicos

que podem impor-se podem ser por exemplo:

• minimizar o custo de operacao e construcao,

• minimizar o numero de condicao de perturbacao,

• minimizar a distancia a 1 dos elementos positivos da RGA

• incluir dentro das restricoes outras magnitudes de interesse relacionadas com

a operabilidade e flexibilidade das plantas.


No caso de projeto integrado onde considera-se o sistema em malha fechada, os

objetivos que podem impor-se, podem ser por exemplo:

• minimizar o custo de construcao da planta,

• minimizar o numero de condicao da perturbacao,

• minimizar o ganho da matriz de transferencia em malha fechada respeito a

matriz de transferencia em malha aberta,

• incluir nas restricoes localizacao dos polos da matriz de transferencia em malha

fechada.

A seguir mostram-se dois exemplos de projeto integrado que permitem ilustrar as van-

tagens que podem obter-se com esta metodologia. Os dois exemplo sao uma contribuicao

deste trabalho preliminar, trata-se do projeto integrado de um conversor de potencia, o

CBB.

2.3.2 Exemplo: Projeto Integrado de un CBB e um controlador

PID.

A Figura 2.9 mostra o circuito de um CBB ideal.

R

S D

C L Vo

-

+

V CC

Figura 2.9: Diagrama do CBB.

O CBB e um conversor DC-DC tıpico, normalmente usado como fonte de alimentacao.

A principal propriedade deste conversor e que sua tensao de saıda (V0) e ajustavel po-

dendo ser maior ou menor que a tensao continua primaria (Vcc). Do ponto de vista do

controle o objetivo deste sistema e fornecer uma tensao de saıda que possa seguir uma

referencia desejada de tensao e rejeitar as perturbacoes causadas pelas variacoes de carga

representadas na Figura 2.9 pela resistencia R. Para faze-lo, uma adequada estrategia de

controle deve ser definida para atuar no interruptor S.


O CBB pode operar em dois modos diferentes. Se a corrente no inductor L nao e zero

o CBB opera no modo de conducao contınuo. Se nao o modo descontınuo de operacao e

considerado.

Tipicamente, dois modelos de CBB sao usados na literatura. O modelo instantaneo

que considera todos os fenomenos dinamicos relacionado a operacao de interruptor.

E o modelo medio que nao considera as dinamicas de interruptor mas so o com-

portamento dominante causado pelos outros elementos do circuito, (Middlebrook e

Cuk 1976, Vorperian 1990, Kassakian et al. 1991).

Modelo Instantaneo.

Para obter o modelo instantaneo do CBB, e definido q como um sinal que caracteriza

o comportamento dinamico do interruptor:

S :

q = 0, se a chave esta aberta

q = 1, se a chave esta fechada

Assim, dois conjuntos de equacoes diferenciais descrevem o comportamento do CBB.

Se q = 0:

diLdt

=1

LvC (2.55)

dvC

dt=

1

C(−iL − vC

R) (2.56)

V0 = −vC (2.57)

e se q = 1:

diLdt

=1

LVi (2.58)

dvC

dt= − 1

C

vC

R(2.59)

V0 = −vC (2.60)


Combinando estes dois sub-sistemas o modelo instantaneo do CBB e obtido:

diLdt

=1

L(qVi + (1− q)vC) (2.61)

dvC

dt= − 1

C(vC

R+ (1− q)iL) (2.62)

V0 = −vC (2.63)

que e um modelo com variaveis reais (iL, vC) e inteiras (q).

Modelo Medio.

O modelo medio e obtido usando o modelo instantaneo e algumas hipoteses de simpli-

ficacao. Assumindo que a frequencia de comutacao do interruptor e muito maior que as

frequencias associadas a transferencia de energia dos elementos passivos do circuito (R,

L, e C) e possıvel substituir o sinal instantaneo de controle q(t) pelo sinal d(t) que da,

em cada instante de tempo t, o valor medio de q(t) num perıodo de comutacao. Usando

esta aproximacao, o modelo pode ser representado pelo seguinte conjunto de equacoes

(Borges 2002):

diLdt

=1

L(dVi + (1− d)vC) (2.64)

dvC

dt= − 1

C(vC

R+ (1− d)iL) (2.65)

V0 = −vC (2.66)

Projeto Inicial.

O projeto tradicional de um CBB como o da Figura 2.9, comeca com um conjunto

dado de especificacoes tal como:

• Fonte de tensao Vcc = Vi

• Intervalo da tensao de saıda em que deve operar o CBB, V0 ∈ [V0min, V0max], e

• Intervalo de carga a qual sera submetido o CBB, R ∈ [Rmin, Rmax].

e finaliza na determinacao dos valores dos componentes do circuito, isto e: indutancia L,

capacitancia C e o perıodo T do modulator de largura de pulso (PWM) conectado entre


o controle e o interruptor (S), tal que os seguintes requisitos de estado estacionario sejam

totalmente cumpridos:

• O CBB deve trabalhar em modo contınuo de conducao, isto e, iL(t) ≥ 0, ∀t. Entao,

idealmente, igualando a energia entregada pela fonte primaria a energia consumida

pelo carga R:

E(fonte) = E(carga)

ViiS =V 2

0

R

ViVid

2T

2L≥ V 2

0

R

Portanto

V 20 −

1

2

V 2i R

LTd2 ≥ 0 (2.67)

Onde iS e a corrente media pelo interruptor no limite de modo de conducao contınua

e pode ser calculada como:

iS =Vid

2T

2L

sendo d a fracao de T que corresponde a posicao fechada do interruptor S.

• A ondulacao da corrente pelo inductor deve ser menos que 5%, isto e, 4iL ≤ 5%,

entao:Vi

LTd ≤ 0.05iL (2.68)

Porque, 4iL = Vi

LTd, pode ser obtida integrando a equacao (2.58).

• A ondulacao de tensao no capacitor deve ser menos que 5%, 4vC ≤ 5%, entao:

(1− d)T

C[iL − Vi

R] ≤ 0.05vC (2.69)

Para calcular (2.69) supusemos que se q = 0, entao a corrente do capacitor e a

diferenca entre a corrente pelo inductor L e a corrente na carga R,

iL − IR

C

Sendo esta corrente responsavel pelas ondulacao de tensao. Uma aproximacao de

primeira ordem leva a:

4vC =(1− d)T

C[iL − Vi

R]


portanto a (2.69)

Todos estes requisitos devem ser cumpridos ∀V0 ∈ [V0min, V0max] e ∀R ∈ [Rmin, Rmax].

Um estudo do pior caso permite escolher um conjunto de valores que satisfazem as

especificacoes acima citadas. Um exemplo de tal conjunto e dado na Tabela 2.1. Op-

cionalmente, um procedimento de otimizacao sob o modelo e restricoes de especificacao

podem ser usados para escolher tal conjunto com um criterio economico.

Elemento ValorTensao da fonte (Vi) 48VResistencia (valor min) (Rmin) 40ΩResistencia (valor max) (Rmax) 120ΩTensao de saıda (valor min) (VoMin) 12VTensao de saıda (valor max) (VoMax) 100VIndutancia (H) 5.2 ∗ 10−3HyCapacitancia (C) 2.6355 ∗ 10−6FFrequencia de chaveamento (T ) 3.3823 ∗ 10−6s

Tabela 2.1: Parametros do CBB.

Uma vez o CBB foi projetado, um controlador de baixo de custo, como por exemplo

um PID com uma lei de controle da forma:

d = KP +KI

s+

KD

1N

s + 1(2.70)

pode ser sintonizado para manter a tensao de saıda num valor desejado apesar das mu-

dancas na carga. Mas isto nao e facil dado que o CBB e um dispositivo nao-linear com

um vasto leque de condicoes operativas e que pode ser submetido a mudancas significa-

tivas na carga. Entao o procedimento de sintonizacao do controlador PID realizado foi o

seguinte: linearizou-se o modelo do CBB no meio do intervalo de operacao e para com este

modelo sintonizou-se o PID. Em seguida comprovou-se o desempenho do CBB operando

em malha fechada para todo o intervalo de operacao desejado. O conjunto de parametros

do PID obtido para o ponto de operacao V0 = 56V e R = 80Ω, correspondente ao CBB

de tabela 2.1, e dado na tabela 2.2. Onde N e a constante de tempo do filtro da acao

derivativa.


Element ValueKP −6.8688 ∗ 10−4

KI 0.7004KD 1.3188 ∗ 10−6

N 446.0379

Tabela 2.2: Parametros do PID.

Projeto Integrado.

No projeto da planta analisada na secao anterior, a dinamica e as caracterısticas de

controle nao sao levadas em conta. So uma vez a planta foi projetada, a tarefa de achar

os melhores parametros para o controlador e que comeca, restritos pelos limites imposto

pelo projeto do CBB.

Um alternativa e integrar ambas fases calculando simultaneamente o valor dos compo-

nentes do CBB e a sintonia do controlador PID satisfazendo as restricoes operacionais e de

controle. Alem do mais, para garantir um desempenho adequado em todo o intervalo de

operacao, uma metodologia de projeto chamada: projeto multi-ponto, sera introduzida.

Os elementos chave da metodologia proposta de projeto integrado sao:

1. Uma estrutura do processo do sistema a ser projetado primeiramente e proposto.

Pode ser uma ja fixada, tal como a estrutura mostrada na Figura 2.9, ou a mesma

sujeita a modificacoes. Por simplicidade, nao consideraremos a ultima possibilidade.

2. Um modelo matematico do processo e formulado. Em nosso caso corresponde ao

conjunto de equacoes ( 2.64,2.65,2.66).

3. A estrutura de controle e definida e o modelo matematico e aumentado com as

equacoes do controlador, em nosso caso (2.70). O resultante modelo de malha

fechada e uma funcao dos ainda desconhecidos parametros do processo e do controle.

4. As especificacoes e restricoes de operabilidade, concernentes ambas ao estado esta-

cionario do processo e a resposta dinamica do sistema, sao adicionadas e formuladas

como um conjunto de pontos de operacao a ser escolhidos cobrindo o intervalo

de funcionamento desejado. Exemplos das restricoes em estado estacionario sao

(2.67,2.68,2.69). Se necessario, algumas caracterısticas dinamicas podem ser im-

postas sob as magnitudes obtidas dos modelos linearizados calculados em cada um

dos pontos de operacao.


5. A selecao dos parametros do processo e controle e feito por otimizacao de um funcao

custo F (x) que reflete objetivos economico e de desempenho, em relacao a variavel

de decisao x, que inclui os parametros desconhecidos de projeto, sob as restricoes

do modelo e as especificacoes descritas anteriormente, tanto em forma de igualdade

ou forma de desigualdade:

P : Minimize F (x)

x

Subject to:

g(x) ≤ 0

h(x) = 0

x ∈ R

Em nosso caso, por simplicidade, a funcao custo F (x) inclui somente termos de de-

sempenho que correspondem aos erros quadraticos acumulados em quatro experimentos

representativas cobrindo as piores situacoes extremas de operacao:

F (x) =

∫e21dt +

∫e22dt

∫e23dt

∫e24dt (2.71)

Os erros ei sao definidos como as diferencas entre o set-point (tensao de saıda desejada) e a

real calculada atraves do modelo em malha fechada. Desta forma F (x) inclui uma medida

de respostas dinamicas relevantes. Como a caracterıstica principal de um conversor de

potencia e dada por sua capacidade de rejeitar perturbacoes, isto e, mudancas na carga,

e em nosso caso tem que operar entre 12V e 100V , os quatro experimentos selecionadas

foram:

• com uma tensao de referencia de 12V , o carga R foi mudada de 40Ω a 120Ω.




O F (x) foi calculado simulando quatro vezes o sistema em malha fechada. Cada sim-

ulacao corresponde a um valor dado da variavel de decisao x = [L C T KP KI KD N ]T .

As restricoes (2.67, 2.68, 2.69) tambem sao avaliadas em cada um dos quatro estados esta-

cionarios dado na tabela 2.3 correspondente com as quatro experiencias.


i V0 R1 12 1202 12 403 100 1204 100 40

Tabela 2.3: Pontos de Operacao.

Finalmente, um conjunto de restricoes dinamicas adicionais sao impostas para garantir

estabilidade e o tipo de resposta em malha fechada. Estas restricoes correspondem aos

polos em malha fechada do sistema, os quais deveram estar contidos na regiao mostrada na

Figura 2.10. O calculo dos polos e feito atraves do modelo linearizado em malha fechada

Figura 2.10: Regiao permitida para os autovalores em malha fechada.

em cada um dos quatro pontos de operacao selecionados.

Note que, neste caso, o ponto de operacao sera escolhido pelo operador dentro do

intervalo especificado, por tanto, a tensao de saıda nao e dada pelo projeto. Em outros

casos de projeto integrado, o objetivo pode ser especificado em termos de custos dos

componentes e especificacoes tal como consumo de energia. Entao o melhor ponto de

operacao pode ser selecionado pela otimizacao, cumprindo as restricoes.


Resultado.

O projeto integrado entao e formulado como a solucao do problema nao linear de

programacao:

Minimize F (x)

x

Subject to:

[2.61][2.62][2.63] ∀t[2.64][2.65][2.66] ∀t[2.67] i = 1, 2, 3, 4

[2.68] i = 1, 2, 3, 4

[2.69] i = 1, 2, 3, 4

poles(Ai, Bi, Ci) ∈ C i = 1, 2, 3, 4

x ∈ Rn

Onde:

x = [L C T KP KI KD N ]T

F (x) =∫

e21dt +

∫e22dt

∫e23dt

∫e24dt

n = 7

Ai(x), Bi(x), Ci(x), corresponde aos modelos linearizados em cada um dos quatro pon-

tos selecionados.

O algoritmo de programacao quadratica sequencial (SQP) implementado em Matlabr

foi usado para resolver o problema. Os parametros otimos de projeto sao dados na tabela

2.4.

Respostas comparativas das solucoes com e sem projeto integrado sao mostrados na

Figuras 2.11 e 2.12 para as quatro experiencias.

Como podemos ver, o CBB projetado levando em conta a dinamica em malha fechada,

mostra desempenho superior que o CBB projetado pelo metodo tradicional.


Parametros ValorL 5.2 ∗ 10−3HC 3.2220 ∗ 10−4FT 3.3334 ∗ 10−6

KP 4.7158 ∗ 10−4

KI 1.0158KD 1.8806 ∗ 10−5

N 824.7588

Tabela 2.4: Solucao

Os problemas de projeto integrado, incorporando caracterısticas de controle tanto

em malha aberta como fechada, sao complexos. Isto a devido, fundamentalmente, ao

tamanho do problema em si e as nao-linearidades das equacoes que devem-se resolver.

As tecnicas matematicas de programacao nao sempre garantem uma solucao global ao

problema. Alem do mais, o tempo de calculo pode ser significativo. Mas neste sentido,

devemos salientar que o projeto e feito fora de linha, por tanto o tempo de calculo nao

e um fator importante na hora de aplicar esta metodologia de projeto. Outro ponto a

mencionar e que tecnicas de programacao estocasticas podem ser usadas na procura do

otimo global como uma alternativa.

2.3.3 Exemplo: Projeto Integrado de un CBB e um CMD.

Seja o mesmo conversor elevador-redutor do exemplo anterior, onde foi considerado,

fazendo certas suposicoes, o seu correspondente modelo medio para realizar o projeto. A

seguir, vamos a realizar o projeto do CBB mas agora considerando o mesmo como um

sistema hıbrido, ou seja um sistema que mistura variaveis continuas (tensao e corrente)

e variaveis discretas (sinal de controle sobre a chave 0, 1), e por tanto vamos realizar o

projeto em base a seu modelo instantaneo.

Para isso primeiro vamos ter que definir uma nova estrutura para o controlador que

permita levar em conta a caracterıstica hıbrida do sistema, e por tanto atue diretamente

sobre a chave e nao mais sobre o PWM que facia as vezes de “conversor de sinal contınuo-

discreto”.


0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.210

20

40

60

80

100

120

Time(s)

R(Ω

)

Vref

= 12V

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21−1

−0.5

0

0.5

1

Time(s)

e(V

)

Initial DesignIntegrated design

Figura 2.11: Resposta comparativa nas experiencias 1 e 2.

Controle por Modos Deslizantes (CMD)

O controle por modos deslizantes (CMD) e uma tecnica de controle nao-linear ampli-

amente estudada na literatura e tem sido aplicada com bons resultados nos sistema de

estrutura variavel, (Borges 2002), sistemas que apresenta descontinuidades nas equacoes

que o modelam. Devido a essas descontinuidades a maioria das ferramentas matematicas

desenvolvidas para equacoes diferenciais e sistemas dinamicos nao sao aplicaveis pois

pressupoem a continuidade das equacoes, (Itkis 1976) (Utkin 1974 (English Translation

1978)).

Essencialmente a lei de controle para sistemas de estrutura variavel atua direcionando

as trajetorias do sistema a una variedade do plano de fase chamada superfıcie de desliza-

mento ou de comutacao e uma vez nela se mantem confinada a essa variedade dando

origem a que se conhece como modo deslizante.

A trajetoria de um modo deslizante nao verifica a equacao diferencial ordinaria (EDO)


0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.210

20

40

60

80

100

120

Time(s)

R(Ω

)

Vref

= 100V

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21

−10

−5

0

5

10

Time(s)

e(V

)

Initial DesignIntegrated Design


de nenhuma das estruturas, mas ela existe como solucao global do problema.

As superficies de comutacao sao projetadas de tal maneira que o movimento dos es-

tados do sistema confinados a mesma exibam o comportamento desejado de regulacao o

tracking.

Consideremos o seguinte sistema ao qual devemos projetar un controlador por modos

deslizantes, (Mattavelli et al. 1993):

x = f(x, t, u) (2.72)

onde:

x ∈ D ⊆ Rn e o vetor de estados.

f : D × Rn → Rn e uma funcao vectorial.

u e a entrada de controle.


Seja σ(x, t) : D×R→ R uma funcao continua com gradiente nao nulo em D, a partir

da qual definimos a seguinte superfıcie:

S = (x, t) ∈ D × R, σ(x, t) = 0 (2.73)

que chamamos de superfıcie de comutacao e sera projetada de forma tal que a lei de

controle:

u(x, t) =

u+(x, t) se σ(x, t) > 0

u−(x, t) se σ(x, t) < 0(2.74)

direcione as trajetorias do sistema em direcao a mesma e que contenha o ponto de

equilıbrio que desejamos alcancar em estado estacionario. A funcao f vai apresentar

entao, uma descontinuidade em S devido a essa acao de controle:

f(x, t, u) =

f+(x, t, u+) se σ(x, t) → 0+

f−(x, t, u−) se σ(x, t) → 0−(2.75)

Para que um modo deslizante exista as trajetorias do sistema das duas sub-estruturas,

correspondentes aos dois diferentes valores do vetor funcao f , devem estar direcionados a

superfıcie de deslizamento o de comutacao. Entao:

limσ→0+

f+i < 0 ⇒ lim

σ→0+∇σ.f+ < 0

limσ→0−

f−i > 0 ⇒ limσ→0−

∇σ.f− > 0

(2.76)

i representa os componentes do vetor x, e ∇σ e o gradiente de funcao σ.

Como:dσ

dt=

n∑i=1

∂σ

∂xi

dxi

dt= ∇σ.f (2.77)

entao a condicao de existencia dos modos deslizantes pode formular-se nos seguintes ter-

mos:lim

σ→0+

dσdt

< 0

⇒ limσ→0

σ dσdt

< 0

limσ→0−

dσdt

> 0

(2.78)


A regiao do espaco de estados:

Ω = (x, t) ∈ D × R, σ(x, t)σ(x, t) < 0 (2.79)

define a regiao de existencia dos modos deslizantes.

Por tanto o domınio dos modos deslizantes queda definido em:

ψ = S ∩ Ω (2.80)

Modos deslizantes puros aparecem apenas quando x ∈ S, ∀t > 0 na regiao Ω, o que

demanda uma frequencia de comutacao infinitamente alta, nao alcancavel em sistemas

reais. A limitacao em frequencia resulta em um movimento dentro da vizinhanca da

superfıcie de comutacao, chamada de fenomeno de chattering. Em sistemas reais o controle

apresenta um comportamento de histerese.

Na figura 2.13 mostra-se o esquema basico de controle por modos deslizantes.

Figura 2.13: Esquema basico de controle.

A curva de comutacao e uma combinacao linear das variaveis de estado, isto resulta

numa implementacao muito simples do controle real:

S = (x, t) ∈ D × R, σ(x, t) = k(iL − iLe) + (vC − vCe) = 0 (2.81)

onde:


(iLe, vCe), e o ponto de equilıbrio que desejamos alcancar em estado estacionario.

k, e um parametro de projeto.

A lei de controle comutado e:

q(t) =

0 si σ(x, t) > +β

1 si σ(x, t) < −β(2.82)

Em uma implementacao real o erro da corrente no inductor, (iL − iLe), calcula-se

atraves de um filtro passa alto (HPF), o que faz que necessariamente o valor medio em

estado estacionario deste erro seja 0. Se a funcao de comutacao S devido a histerese

no controle nao tem valor medio nulo, entao aparecera um erro em estado estacionario

na tensao de saıda. Este problema resolve-se colocando un controle PI na funcao de

deslizamento S. A acao integral so atua quando o sistema esta sobre a superfıcie de

deslizamento e desta forma nao afeta o comportamento do sistema durante o transitorio.

Outros refinamentos aplicados no controle em um esquema real sao: limitar a corrente

maxima pelo inductor e eliminar a dependencia da frequencia de chaveamento com o

ponto de operacao.

A figura 2.14 mostra o esquema real de controle por modos deslizantes para o CBB.

Neste trabalho por simplicidade o esquema de controle a ser usado em simulacao e o

que mostra-se na Figura 2.15

Onde:K τ

−4.1025 1e− 3

O ganho K determinou-se a partir de imposicao das condicoes de existencia dos modos

deslizantes e a constante de tempo do filtro se determinou usando a regra pratica que

indica que esse tempo deve ter um valor proximo a constante de tempo natural do sistema.

Projeto Integrado tomando em conta requisitos de controle.

Na secao anterior, o projeto do circuito do CBB e do sistema de controle foram exe-

cutados em dois passo independentes. So depois que o circuito do CBB foi projetado a

tarefa de achar os melhores parametros para o controlador foi comecada, restringido pelos


Figura 2.14: Esquema real de controle.

limites imposto do projeto do CBB.

Uma alternativa e integrar ambas tarefas calculando simultaneamente os valores dos

componentes do CBB e os parametros do controlador, satisfazendo ambos, restricoes

operacionais e de controle. A seguir mostra-se o desenvolvimento desta alternativa.

Os elementos chave da metodologia proposta de projeto integrado sao as mesmas que

apontadas no exemplo anterior.

Uma estrutura do processo do sistema a ser projetado primeiramente e proposto,

(Figura 2.9). Um modelo matematico do processo e formulado. Em nosso caso corre-

sponde ao conjunto de equacoes (2.61, 2.62, 2.63). A estrutura de controle e definida.

As especificacoes e restricoes de operabilidade, concernentes ambas ao estado estacionario

do processo e a resposta dinamica do sistema, sao adicionados e formuladas como um

conjunto de pontos de operacao a serem escolhidos cobrindo o intervalo de funcionamento

desejado. A selecao dos parametros do processo e controle e feito por otimizacao de um

funcao custo F (x) que reflete objetivos economico e de desempenho, em relacao a variavel

de decisao x, que inclui os parametros desconhecidos de projeto, sob as restricoes do mod-


Figura 2.15: Esquema simulado.

elo e as especificacoes descritas anteriormente, tanto em forma de igualdade ou forma de

desigualdade:

P : Minimize F (x)

x

Sujeito a:

g(x) ≤ 0

h(x) = 0

x ∈ R

Neste exemplo sera usada a mesma funcao de custo do exemplo anterior, para o caso do

PID, a qual inclui somente termos de desempenho que correspondem aos erros quadraticos

acumulados em quatro experimentos representativos, (os mesmos do exemplo anterior),

cobrindo as situacoes extremas de operacao:

F (x) =

∫e21dt +

∫e22dt

∫e23dt

∫e24dt (2.83)

Os erros ei sao definidos como as diferencas entre a referencia (tensao de saıda desejada)

e a real calculada atraves do modelo em malha fechada.

O F (x) foi calculado simulando quatro vezes o sistema em malha fechada. Cada

simulacao coincide a um valor dado da variavel de decisao x = [L C K τ ]T . As restricoes


(2.67, 2.68, 2.69) tambem sao avaliadas em cada um dos quatro estados estacionarios dados

na tabela 2.3 correspondentes com as quatro experiencias.

Note que, como o ponto de operacao sera escolhido pelo operador dentro de um inter-

valo especificado, a tensao de saıda nao e dada pelo projeto. Em vez disso, um projeto

global “multiponto”foi escolhido para tratar com a variabilidade do ponto de operacao e da

perturbacao (carga), fornecendo um desempenho robusto ao conjunto CBB-controlador.

Resultado.

Os parametros otimos de projeto obtidos sao mostrados na tabela 2.5.

Parametro ValorL 1.47 ∗ 10−3HC 2.94 ∗ 10−4FK −4τ 1 ∗ 10−4

Tabela 2.5: Solucao obtida com o projeto integrado

Respostas comparativas da solucao inicial e do projeto integrado sao mostrados nas

Figuras 2.16 e 2.19 para as quatro experiencias.

Como podemos ver novamente, o CBB projetado levando em conta a dinamica em

malha fechada, mostra desempenho superior que o CBB projetado pelo metodo tradi-

cional.

2.4 Sıntese de Processos e Controle

Anteriormente, partindo de uma estrutura da planta ja dada, obtem-se o custo mınimo

da mesma, satisfazendo certas caracterısticas de controlabilidade impostas. O problema

abordado nesta secao, difere do anterior, em que trata-se de obter a estrutura otima da

planta, junto com os parametros fısicos que minimizem seu custo, e os parametros otimos

do controlador que verifiquem com as condicoes de controlabilidade fixadas previamente

de forma simultanea, este problema se resolve no contexto da Otimizacao Nao-Linear

Mista-Inteira.


0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.1510.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

tempo(s)

VO

(V)

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Detalhe A Detalhe B


0.0495 0.05 0.0505 0.051 0.0515 0.052

11.8

11.9

12

12.1

12.2

12.3

tempo(s)

VO

(V)

Detalhe A

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Figura 2.17: Detalhe A.

0.099 0.0995 0.1 0.1005 0.101 0.101511.5

11.6

11.7

11.8

11.9

12

12.1

12.2

tempo(s)

VO

(V)

Detalhe B

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Figura 2.18: Detalhe B.

2.4.1 Sıntese de Processos

Nishida et al. (1974), definiu: “a sıntese de processos e um ato de determinar a inter-

conexao otima entre as unidades do processo como tambem o tipo, o numero e o desenho

das unidades dentro do sistema de processos, isto implica selecionar um sistema particular

dentro de um sistema geral que contenha o comportamento especificado”.

O problema de sıntese de processos pode estabelecer-se como segue: dada as especi-

ficacoes de entrada e as especificacoes de saıda, obter um diagrama de fluxos do processo

que transforme as entradas dadas a um produto desejado, levando em conta os custes

de construcao e exploracao, a qualidade do produto, requerimentos meio ambientais, se-


0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.1570

80

90

100

110

120

130

tempo(s)

VO

(V)

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Detalhe A Detalhe B


0.0495 0.05 0.0505 0.051 0.0515 0.052 0.0525 0.053 0.0535

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

tempo(s)

VO

(V)

Detalhe A

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Figura 2.20: Detalhe A.

0.0995 0.1 0.1005 0.101 0.1015 0.102 0.1025 0.103 0.1035 0.104 0.104592

94

96

98

100

102

104

tempo(s)

VO

(V)

Detalhe B

V

ref

VO

com Proj. Integrado

VO

sem Proj. Integrado

Figura 2.21: Detalhe B.

guranca e operabilidade. Isto conduz a solucao de tres problemas fundamentalmente,

(Floudas 1995):

1. ¿Quais sao as unidades do processo que devem ser incluıdas no processo?

2. ¿Como devem ser interligadas as unidades do processo?

3. ¿Que condicao de operacao e dimensoes devem ter as unidades do processo?

O uso da otimizacao na sıntese de processos tem-se desenvolvido e focado na solucao

destes problemas. A mesma involucra tres passos:


1. A representacao das estruturas alternativas do processo a traves de uma super-

estrutura do processo.

2. O modelo matematico da super-estrutura.

3. O desenvolvimento e utilizacao de um algoritmo para a solucao do modelo

matematico.

Cada uma das tres etapas e crucial para a determinacao da estrutura otima do dia-

grama de fluxos do processo.

A super-estrutura e, um super-conjunto de todos os projetos de interesse alternativos

ao processo. A representacao dos processos alternativos baseia-se conceitualmente na

ideia da teoria dos grafos. Os nodos utilizam-se para representar as entradas, as saıdas

e cada unidade da super-estrutura. As flechas em uma direcao representam as conexoes

desde as entradas das unidades do processo, e as conexoes da saıda, as flechas de dupla

direcao representam as interconexoes de realimentacao entre as unidades do processo,

(Floudas 1995), veja um exemplo na figura 2.22.

Figura 2.22: Representacao da super-estrutura.

Uma vez definida a arvore e necessario construir um modelo matematico da mesma

utilizando variaveis contınuas e binarias, as variaveis binarias sao utilizadas para indicar a

existencia ou nao dos nodos dentro da rede e as variaveis contınuas representam os nıveis


dos valores a traves das flechas. A formulacao resultante e um Problema de Programacao

Nao Linear Mista Inteira (MINLP), que se mostra a continuacao:

minx,y

f(x, y)

sujeito a : h(x, y) = 0

g(x, y) ≤ 0 (2.84)

x ∈ X ⊆ Rn

y ∈ Y ⊆ 0, 1m

onde:

x: e um vetor de n variaveis contınuas que representam os fluxos, as composicoes,

temperaturas, pressoes, e tamanhos das unidades do processo.

y: e um vetor de m variaveis binarias que representam as alternativas do processo.

f(x, y): e uma funcao de um objetivo que representa o criterio de projeto.

h(x, y) = 0: sao q restricoes de igualdade que representam os balancos de massa e

energia, e as expressoes de equilıbrio do processo.

g(x, y) ≤ 0: sao as p restricoes de desigualdade que representam as especificacoes de

projeto e as restricoes logicas.

O passo final da otimizacao e o desenvolvimento e aplicacao de um algoritmo de

otimizacao que de solucao ao modelo matematico.

2.4.2 Sıntese de Processos e Controle

Para resolver os problemas de sıntese de processos, as tecnicas tradicionais

concentraram-se em determinar a configuracao economicamente otima do processo dentro

de um conjunto de alternativas possıveis que satisfazem os requerimentos de operacao.

As magnitudes de controlabilidade geralmente nao sao consideradas. As tecnicas tradi-

cionais de controle de processos uma vez dada a configuracao do mesmo analisam o modo

de achar a melhor selecao de pares de variaveis manipuladas e controladas assim como os

parametros do regulador que permitem o melhor comportamento do sistema em malha

fechada.


Nas ultimas decadas, tem se apreciado um auge na evolucao do desenvolvimento de

ferramentas matematicas que permitem resolver o problema de sıntese de processos in-

corporando a controlabilidade como um dos objetivos dentro do projeto.

O problema de interacao entre o projeto e a controlabilidade no marco da sıntese de

processos requer de, (Schweiger e Floudas 1997):

• Uma super-estrutura do processo que englobe todas as alternativas possıveis.

• Um modelo matematico que descreva a super-estrutura do processo.

• Os conjuntos de variaveis manipuladas e controladas

• Valores desejados da saıda do processo.

• Conjunto de estruturas de controle alternativas.

• Conjunto de variaveis de perturbacao.

• Restricoes.

• Custos.

• Horizonte finito de tempo.

O objetivo e determinar a estrutura do processo, a condicoes de operacao, a estrutura

do controlador e seus parametros de ajuste que otimizem tanto a controlabilidade do

processo como os custes e que garantam uma operacao factıvel da planta.

No problema de sıntese do processo, e muito complexo e numericamente caro a uti-

lizacao de modelos lineares, devido que requer-se apresentar e formular o modelo linear

na forma MINLP, ao mesmo tempo que se incluam de igual maneira as magnitudes de

controlabilidade expostas neste trabalho, isto nos obriga a trabalhar com modelos nao

lineares. E evidente a deficiencia de magnitudes de controlabilidade para sistemas nao

lineares. Uma possıvel magnitude usada tradicionalmente e a integral do quadrado do

erro (ISE):

J =

∫(yref − y)2dt (2.85)

onde: erro = yref − y

Esta magnitude apresenta varios inconvenientes, primeiro que somente reflete a

dinamica das variaveis medidas e omite a dinamica das variaveis de estado nao medidas.


este inconveniente pode se solucionar incorporando restricoes de trajetoria na formulacao

do problema.

Outro problema referente ao uso da ISE como magnitude de controlabilidade e selecao

da estrutura de controle tem a ver com a selecao dos parametros do controlador, ja que

busca dos parametros otimos do controlador baseado na ISE, traiz consigo multiplos

otimos locais, alem do que nao existe uma correspondencia um a um entre a estrutura de

controle e a ISE.

A pesar dos problemas associados a esta magnitude, seu uso tem alguns aspectos

positivos, primeiro e facil de calcular e pode-se determinar diretamente com uma parte do

modelo do processo, segundo reflete o comportamento dinamico do processo em termos

da variavel de saıda.

Os projetos que apresentam caracterısticas dinamicas “pobres”, tem um valor muito

grande da ISE, no entanto os melhores projetos terao um valor mais pequeno de esta

magnitude. Finalmente podemos acrescentar que a ISE e uma funcao diferenciavel e

facilita seu uso em metodos baseados em gradiente.

A formulacao matematica deste problema caracteriza-se por diferentes tipos de

variaveis e restricoes. Igual que no problema anterior, as variaveis se dividem em duas

categorias: contınuas e inteiras. A diferenca vem dada pela introducao de dinamica no

projeto, (Schweiger e Floudas 1997), que faz que as variaveis contınuas possam ser:

v : variaveis de projeto ou variaveis de decisao invariantes no tempo,

z(t) variaveis dinamicas,

u(t) variaveis de controle ou variaveis de decisao variantes no tempo.

A formulacao do problema de interacao entre o projeto e o controle no marco da sıntese de

processos consta primeiramente do indice a minimizar (maximizar) U , este ındice por sua

vez se compoe dos objetivos de controle e os objetivos economicos, J1 e J2, que dependeram

das variaveis dinamicas (z), as variaveis de controle (u) e as variaveis inteiras (y). ou seja,

dependeram de:

min U(J1(z1(ti), z1(ti), z2(ti), u(ti), v, y), J2(z1(ti), z1(ti), z2(ti), u(ti), v, y)) (2.86)

onde z1(t) e um vetor de n variaveis dinamicas cujas derivadas no tempo z1(t) aparecem


explicitamente, e z2(t) e um vetor de m variaveis dinamicas cujas derivadas nao aparecem

explicitamente. Note-se que ti e o instante de tempo.

Sujeito a um conjunto de restricoes que podem classificar-se e descrever da seguinte

maneira:

1. O modelo dinamico que representa a estrutura do processo e modela-se utilizando

um sistema de equacoes algebricas e diferenciais (DAE):

f1(z1(t), z1(t), z2(t), u(t), v, y, t) = 0

f2(z1(t), z2(t), u(t), v, y, t) = 0(2.87)

Onde f1 representa n equacoes diferenciais, e f2, m equacoes algebricas dinamicas.

As variaveis v e y, sao parametros para o sistema DAE e variaveis para a otimizacao,

v e um vetor de p variaveis contınuas invariantes no tempo, e y e um vetor de q

variaveis binarias. As variaveis de controle representadas por u(t) e um vetor de r

variaveis. O tempo t e uma variavel independente para o sistema dinamico e t0 e o

tempo inicial.

2. As condicoes iniciais para o sistema dinamico tambem constituem restricoes ao

problema

z1(t0) = z01

z2(t0) = z02

(2.88)

3. Restricoes pontuais que involucram as variaveis dinamicas num instante de tempo

especıfico:

h′(z1(ti), z1(ti), z2(ti), u(ti), v, y) = 0

g′(z1(ti), z1(ti), z2(ti), u(ti), v, y) ≤ 0(2.89)

Onde ti e o instante de tempo onde deve verificar-se a restricao, o ındice i pode

tomar valores desde 0 ate N , onde N e o numero de instantes de tempo que e

necessario no problema e tN e o tempo final.

4. Restricoes que involucram unicamente as variaveis invariantes no tempo:

h′′(v, y) = 0

g′′(v, y) ≤ 0(2.90)

5. Selecao da estrutura de controle. A lei de controle pode ser por exemplo um PI, cuja

lei de controle e facil de implementar. Por tanto ao problema tambem adiciona-se


a selecao da estrutura do regulador, que significa determinar os pares de variaveis

manipuladas e controladas, correspondentes a estrutura otima da planta obtida,

assim como os valores de ajuste dos parametros do regulador, para qual utilizam-se

tambem variaveis binarias. Este problema se adiciona como restricao e se formula

da seguinte maneira:

uf (t)−u0,f−∑

s ∈ S

krs

[(zmed,s(t)− zset,s) +

1

τrs

∫ t

0

(zmed,s(t)− zset,s)

]= 0,∀r ∈ R

(2.91)

Onde uf (t) e o conjunto de variaveis manipuladas, zmed,s e o conjunto de variaveis

medidas, zset,s representa o conjunto de consignas das variaveis controladas, krs, τrs

sao os parametros do regulador (o ganho e o tempo integral respectivamente), R e

S, representam o conjunto de variaveis manipuladas e controladas respectivamente.

6. Restricoes adicionais:

KLrsyrs ≤ Krs ≤ KU

rsyrs ∀r ∈ R, ∀s ∈ S

τLrsyrs ≤ τrs ≤ τU

rsyrs ∀r ∈ R, ∀s ∈ S∑s ∈ Syrs ≤ 1 ∀r ∈ R∑r ∈ Ryrs ≤ 1 ∀s ∈ S

(2.92)

Onde yrs sao as variaveis binarias que indicam a existencia dos pares entre as

variaveis manipuladas r e as controladas s. As dois primeiras desigualdades fixam

o intervalo em que encontram-se os parametros do regulador em caso de existencia

(limites inferior e superior), no entanto que as ultimas desigualdades logicas, garan-

tem que pelo menos exista uma malha de controle (um par para cada variavel

manipulada e controlada). Tudo isso sujeito as restricoes de pertenca:

v ∈ ν ⊆ Rp

y ∈ 0, 1q

ti ∈ [t0, tN ]

i = 0 . . . N

(2.93)

O problema que obtem-se e um problema de Otimizacao Multi-Objetivo Mista Inteira

de Controle Otimo.

O problema de controle otimo resolve-se parametrizando o problema de programacao

de dimensao infinita a um problema de programacao de dimensao finita, para o qual

aplica-se uma lei de controle como por exemplo PI.


O problema multi-objetivo, pode-se resolver se convertemos J2 (o J1) em uma restricao

de contorno o pontual, e se inclui no conjunto das restricoes h′, com a qual o problema

que se obtem e um problema de programacao com um so objetivo. A notacao matematica

desta formulacao pode se simplificar se combinamos no conjunto das variaveis x, todas as

variaveis invariantes no tempo (os parametros do regulador, os volumes, areas, etc.). A

parametrizacao do controle obtem-se da conversao das variaveis de controle em variaveis de

estado, daı que o conjunto de variaveis dinamicas se acrescentem as variaveis de controle:

z2 = z2(t), u(t). As equacoes de parametrizacao do controle, ψ(w, z(t)), sao equacoes

algebricas que se acrescentam ao sistema DAE e podem ser incluıdas no conjunto de

equacoes f2. As variaveis binarias y, que sao usadas para selecionar a estrutura de controle

se agrupam no conjunto original das variaveis binarias. Ja que as restricoes de selecao

da estrutura de controle envolvem os parametros do controlador e as variaveis binarias,

podem ser incluıdas nas restricoes do tipo g′′(x, y).

Aplicando esta notacao obtem-se o seguinte problema MINLP/DAE

minx,y

J(z1(ti), z1(ti), z2(ti), x, y)

sujeito a :

f1(z1(t), z1(t), z2(t), x, y, t) = 0

f2(z1(t), z2(t), x, y, t) = 0

z1(t0) = z01

z2(t0) = z02

h′(z1(ti), z1(ti), z2(ti), x, y) = 0

g′(z1(ti), z1(ti), z2(ti), x, y) ≤ 0 (2.94)

h′′(x, y) = 0

g′′(v, y) ≤ 0

x ∈ Xti ∈ [t0, tN ]

i = 0 . . . N

2.4.3 Exemplo: Sintese de processos.

Desejamos produzir o produto C a partir dos produtos A e B, atraves dos processos I,

II e III. O produto C pode ser produzido somente atraves do processo I, os processos I e


Processo RelacaoI C = 0.9BII B = ln(1 + A)III B = 1.2 ln(1 + A)

Tabela 2.6: Conversoes

Processo Capacidade max.I 2ton/h de CII 5ton/h de BIII 4ton/h de B

Tabela 2.7: Capacidades maximas

III e os processos I e II. Os processos II e III nao podem realizar-se simultaneamente.

Figura 2.23: Diagrama de fluxo do problema.

Os dados do problema sao os mostrados nas tabelas 2.6, 2.7, 2.8 e 2.9.

A demanda do produto C e de 1ton/h maximo.


Produto PrecoA 1.800$/tonB 7.000$/tonC 13.000$/ton

Tabela 2.8: Precos

Processo Custo Fixo Custo VariavelI 3.5 ∗ 103$/ton 2.0 ∗ 103$/tonII 1.0 ∗ 103$/ton 1.0 ∗ 103$/tonIII 1.5 ∗ 103$/ton 1.2 ∗ 103$/ton

Tabela 2.9: Custe da Inversao

A formulacao do problema e a seguinte:

max PR = 13C − 1.8A2 − 1.8A3 − 7B1 − 3.5y1 − 2C − 1.0y2 − 1B2 − 1.5y3 − 1.2B3

Sujeito a

PI C − 0.9(B1 + B2 + B3) = 0

PII B2 − ln(1 + A2) = 0

PIII B3 − 1.2 ln(1 + A3) = 0

B1 = B2 + B3

C ≤ 1

C ≤ 2y1

B2 ≤ 4y1

B3 ≤ 5y3

y1 + y2 + y3 = 0, 1

n~ao negatividade

2.5 Conclusoes

Neste capıtulo foram desenvolvido aspectos teoricos relacionados com o Projeto Inte-

grado de Processos e Controle assim como de Sınteses de Processos.

Foi exemplificada a metodologia de Projeto Integrado atraves de dois estudos de caso.

No primeiro projetou-se un conversor de potencia, o CBB, com um controle tipo PID. No

segundo exemplo considerou-se o modelo hıbrido do CBB e projetou-se o conversor com

um controlador por modos deslizantes. A aplicacao da metodologia de projeto integrado

a sistemas de potencia sao uma contribuicao deste trabalho preliminar.


Sera objetivo da tese extender o leque de aplicacao dos indices de controlabilidade

vistos neste capıtulo a SH, assim como procurar novos indices que permitam caracterizar

aspectos relacionados a controlabilidade de esta classe de sistemas.

Tambem foi mostrado a forma de apresentar um problema de sıntese de processo

atraves de um exemplo simples mas que exemplifica a metodologia.

Os conceitos de projeto integrado e sıntese aparecerao e desenvolverao no ambito de

processos. A extensao da metodologia a area da Eletronica de Potencia pretende ser uma

contribuicao da tese de doutorado.

Capıtulo 3

Modelado de Sistemas Hıbridos

3.1 Introducao

Um modelo e uma representacao simplificada do mundo real, que tem um grau su-

ficiente de complexidade para permitir a descricao do comportamento que interessa ser

estudado. Ao mesmo tempo um modelo deve excluir todas as caracterısticas que nao

sao relevantes para a pesquisa e possam obstaculizar uma solucao eficiente de tarefas

especificadas.

Cada area da ciencia e da engenharia desenvolveram seus proprios formalismos para

obter modelos que permitissem resolver os problemas de interesse nas areas correspon-

dentes. Na teoria de controle e sistemas a atencao esta voltada para a manipulacao das

variaveis do sistema que permitam alcancar metas como estabilizacao, rejeicao a per-

turbacoes e robustez. A ideia chave e o uso de estruturas realimentadas, onde a evolucao

de algumas variaveis monitoradas determina a acao atual e futura sobre o sistema. Con-

sequentemente o conceito de modelo de um sistema, e tradicionalmente associado com as

equacoes diferenciais ou a diferencas que descrevem a evolucao do sistema. Um modelo

e derivado tipicamente das leis fısicas que governam a dinamica do sistema, ou pela es-

timacao de sequencias experimentais de dados coletados com a finalidade de modelar a

planta (Mignone 2002).

O computador e programas logicos, estao cada vez mais envolvidos em aplicacoes de

controle numa extensa classe de sistemas por causa de sua confiabilidade e pelo baixo

custo de fabricacao de dispositivos eletronicos. Isto trouxe duas consequencias; primeiro,

Modelado de Sistemas Hıbridos 66

aumento-se as capacidades funcionais avancadas de muitos dispositivos de uso comum,

como por exemplo os “sistemas eletronicos embutidos”nos carros modernos para melhorar

a habilidade do condutor de dirigir o carro sob circunstancias adversas (Balluchi et al.

2000); em segundo, apareceram novos desafios nas areas das pesquisas teoricas de controle

e ciencias da computacao. Com o fim de abordar estes desafios, novas classes de modelos

foram definidos, os sistemas hıbridos (SH). Os SH podem capturar o comportamento

discreto de programas de computador e o comportamento contınuo de processos fısicos

(Torrisi 2003).

Desde uma perspectiva historica, o termo hıbrido foi introduzido dado que nenhum

unico modelo conhecido era capaz de capturar a dinamica discreta e contınua ao mesmo

tempo. Era entao necessario combinar as potencialidades de diferentes estruturas de

modelagem para descrever o comportamento de fenomenos hıbridos.

Muitos fenomenos fısicos admitem uma descricao hıbrida, por exemplo, circuitos que

integram reles ou diodos (Pomar et al. 2007), redes biomoleculares (Alur et al. 1999), e

redes TCP/IP (Hespanha et al. 2001).

Os modelos hıbridos sao necessarios para poder atacar numerosos problemas em di-

versos processos, como o calculo das trajetorias do sistema, analise de estabilidade e de

alcanzabilidade, controle, estimacao de estados, etc. (Torrisi 2003).

Como ainda nao estao disponıveis metodos trataveis para analisar sistemas hıbridos

em geral, diversos autores tem focalizado sua atencao em subclasses especiais de sistemas

dinamicos hıbridos para os quais tecnicas de analise e/ou projeto estao sendo atualmente

desenvolvidas.

Alguns exemplos de tais subclasses sao: os Automatos Hıbridos (Hybrid Automata

(HA)) (Schaft e Schumacher 1999), Sistemas Afins a Trocos (Piece Wise Affine (PWA)

systems) (Sontag 1981), Sistemas Mixtos Logicos Dinamicos (Mixed Logical Dynamical

(MLD) systems) (Bemporad e Morari 1999), Sistemas Lineares Complementarios (Lin-

ear Complementarity (LC) systems) (Heemels et al. 2000), Sistemas Lineares Comple-

mentarios Extendidos (Extended Linear Complementarity (ELC) systems (Schutter e

Moor 1999)), e os Max-Min-Plus-Scaling (MMPS) systems (Schutter e Boom 2001).

Em Heemels et al. (2001) a equivalencia entre subclasses de sistema e abordada. E

mostrado que sob algumas condicoes tecnicas, as ultimas cinco subclasses de modelos

mencionadas sao equivalentes.


Tarefa ModeloControle MLD, PWA, MMPSEstabilidade PWAVerificacao PWAIdentificacao PWADeteccao de Faltas MLDEstimacao MLD

Tabela 3.1: Modelo sugerido para cada tarefa

Cada sub-classe tem suas vantagens. A equivalencia entre as diferentes subclasses

permite facilmente transferir as propriedades teoricas (por exemplo: estabilidade, contro-

labilidade, observabilidade, etc.) e ferramentas de uma sub-classe a outra.

A tabela 3.1 sugere o modelo recomendado para algumas das tarefas mais tıpicas da

engenharia de controle. Por causa de sua generalidade nao implica que alguns problemas

especıficos nao possam ser resolvidos de uma maneira mais eficiente usando um contexto

de modelado diferente (Torrisi 2003).

Nas seguintes secoes desenvolvera-se as duas subclasses de SH mais estudadas na

literatura, os sistemas PWA e MLD, exemplificando cada uma delas com o Conversor de

Potencia Buck-Boost (CBB).

3.2 Sistemas Afins a Trocos

Entre as varias estruturas usadas para modelar sistemas hıbridos em tempo discreto a

mais estudada no meio academico e a estrutura Afim a Trocos (Piece Wise Affine systems,

(PWA)) (Sontag 1981).

Os sistemas PWA sao capazes de modelar um grande numero de processos fısicos, tais

como sistemas com nao-linearidades estaticas (por exemplo: saturacao do acionador),

aproximar dinamicas nao-lineares com exatidao arbitraria via multiplas linearizacoes em

diferentes pontos de operacao (Torrisi 2003), sistemas chaveados onde o comportamento

dinamico e descrito por um numero finito de modelos lineares junto com um conjunto de

regras logica para trocar entre estes modelos (Borrelli 2002), etc.

Os sistemas PWA sao definidos particionando o espaco de estado e de entrada em

regioes poliedricas, e associando a cada regiao uma equacao afim de atualizacao de estados

diferente, isto e:


x(t + 1) = Aix(t) + Biu(t) + fi

y(t) = Cix(t) + gi

para

[x(t)u(t)

]∈ Ci (3.1)

onde:

• x sao os estados contınuos e binarios:

x =

[xc

xl

], xc ∈ Rnc , xl ∈ 0, 1nl , n , nc + nl

• y sao as saıdas contınuas e binarias:

y =

[yc

yl

], yc ∈ Rpc , yl ∈ 0, 1pl , p , pc + pl

• u sao as entradas contınuas e binarias:

u =

[uc

ul

], uc ∈ Rmc , ul ∈ 0, 1ml , m , mc + ml

• Cis−1i=0 e uma particao poliedrica do espaco dos conjuntos de estados e entradas,

Ci ⊆ Rn+m, n , nc + nl, m , mc + ml

• as matrizes Ai, Bi, Ci, fi, gi sao constantes e tem dimensoes adequadas.

Comentario 3.1 Os sub-indices c e l nas equacoes anteriores denotam os componentes

contınuos e logicos (ou binarios) de cada vetor respectivamente. Assim nc e a quantidade

de elementos contınuos e nl a quantidade de elementos binarios que possui o vetor de

estados. O mesmo para os demais vetores.

Cada subsistema definido pelo conjunto (Ai, Bi, Ci, fi, gi), e denominado de compo-

nente do sistema PWA (3.1). Se fi e gi sao nulos, o sistema (3.1) e chamados de linear a

trocos (Piece Wise Linear (PWL) system).

3.2.1 Exemplo

Exemplo 3.1 Modelo PWA do Conversor Buck-Boost (CBB)


Como foi visto no capıtulo 2, o CBB pode operar em dois modos diferentes. Se a

corrente pelo inductor L nao e zero o CBB opera no modo de conducao contınua (MCC).

Se nao o modo de operacao descontınua (MCD) e considerado.

O sinal de controle do sistema e q ∈ 0, 1, (sinal sobre o interruptor S), e os estados

do sistema sao a corrente pelo inductor iL ∈ R e a tensao sobre o capacitor vC ∈ R,

como observa-se o sistema mistura sinais contınuos e discretos (binarios) por tanto e

claramente um sistema hıbrido.

Se o interruptor estiver fechado (q = 1) entao o conjunto de equacoes que descreve o

comportamento do sistema e:

˙iL =1

LVcc (3.2)

vC = − 1

C

vC

R(3.3)

V0 = −vC (3.4)

onde L C e R sao a indutancia, capacitancia e resistencia respectivamente, VO e a tensao

de saıda.

Se o interruptor estiver aberto (q = 0) entao o conjunto de equacoes que descrevem

o comportamento do sistema depende da corrente pelo inductor L. Se iL > 0, (MCC),

entao:

˙iL =1

LvC (3.5)

vC =1

C(−iL − vC

R) (3.6)

V0 = −vC (3.7)

mas se iL = 0, (MCD), o conjunto de equacoes que descreve o comportamento do sistema

sera:

˙iL = 0 (3.8)

vC = − 1

C

vC

R(3.9)

V0 = −vC (3.10)

Discretizando a dinamica contınua com um tempo de amostragem igual a Ts, temos


entao:

(q = 1) ⇒

iL(t + 1) = iL(t) + Ts

LVcc

vC(t + 1) =(1− Ts

RC

)vC(t)

(3.11)

(q = 0) ⇒ (iL > 0) ⇒

iL(t + 1) = iL(t) + Ts

LvC(t)

vC(t + 1) = −Ts

CiL(t)+(

1− Ts

RC

)vC(t)

(3.12)

(iL = 0) ⇒

iL(t + 1) = iL(t)

vC(t + 1) =(1− Ts

RC

)vC(t)

(3.13)

O conjunto de equacoes (3.11, 3.12 e 3.13) representam a descricao PWA do CBB.

Apesar do fato que modelos PWA sao uma composicao de sistemas dinamicos lineares

invariantes no tempo (componentes), suas propriedades estruturais tais como estabilidade,

controlabilidade e observabilidade, sao complexas e articuladas como tıpicas de sistemas

nao-lineares (Borrelli 2002).

No que diz respeito a estabilidade, alem dos resultados simples mas muito conser-

vadores, tais como achar uma funcao quadratica comum de Lyapunov para todos os com-

ponentes, pesquisadores comecaram a desenvolver ferramentas de analise e sıntese para

sistemas PWA so recentemente (Johannson e Rantzer 1998, Mignone et al. 2000, Ferrari-

Trecate et al. 2002b). Adotando funcoes de Lyapunov quadraticas a trocos, um enfoque

computacional baseados em Desigualdades Matriciais Lineares (Linear Matrix Inequalities

(LMI)) foi proposto em Hassibi e Boyd (1998) e Johannson e Rantzer (1998) para analise

de estabilidade e sıntese do controlador. A construcao de funcoes de Lyapunov para sis-

temas chaveados tambem foi abordado em Wicks e Peleties (1994). Para a classe mais

geral de sistemas chaveados da forma x = fi(x), i = 1, ..., s, Branicky (1994) e Branicky

(1998) fizeram uma extensao do criterio de Lyapunov baseado em multiplas funcoes de

Lyapunov. Em seu recente artigo, Blondel e Tsitsiklis (1999) mostraram que a verificacao

da estabilidade de sistemas autonomos PWA e NP-hard (isto e, em geral a estabilidade

de sistemas PWA nao pode ser avaliada por um algoritmo em tempo polinomial, a menos

que P = NP), ate mesmo para sistemas PWA simples com so dois componentes. Varias

propriedades globais (tais como convergencia global e estabilidade assintotica) de sistemas

PWA foram mostradas recentemente undecidable em Blondel et al. (1999).

A pesquisa sobre criterios de estabilidade para sistemas PWA foi motivada pelo fato

que a estabilidade de cada sub-sistema componente nao e suficiente para garantir a esta-


bilidade do sistema PWA (e vice versa). Em Branicky (1998), se da um exemplo onde sub-

sistemas estaveis, mas convenientemente combinados, geram um sistema PWA instavel.

Sistemas estaveis construıdo de subsistemas instaveis sao mostrados em Utkin (1977).

Estes exemplos salientam sobre as restricoes que devem ser impostas no chaveamento

para garantir que uma composicao de componentes estaveis se mantenha estavel.

Exemplo 3.2 Considere o sistema autonomo:

[x1

x2

]= Ap(t)

[x1

x2

]

onde as matrices componentes do sistema sao:

A1 =

[−1 −100

10 −1

]A2 =

[−1 10

−100 −1

]

Ambas dinamicas sao estaveis e com os mesmos autovalores: −1± j√

1000

A lei de comutacao e:

p(t+) =

1 se p(t) = 2 e se x2(t) = −x1(t)

k

2 se p(t) = 1 e se x2(t) = kx1(t)

Esta lei de comutacao conduz a um sistema instavel para k = −0.2 como mostra a Figura

3.1

Figura 3.1: Trajetoria do sistema no espaco de estados


Exemplo 3.3 Considere o sistema autonomo:

[x1

x2

]= Ap(t)

[x1

x2

]

onde as matrices componentes do sistema sao:

A1 =

[0 10

0 0

]A2 =

[1.5 2

−2 −0.5

]

Ambas dinamicas sao instaveis e com os mesmos autovalores: 0.5± j√

3

A lei de comutacao e:

p(t+) =

1 se p(t) = 2 e se x2(t) = −kx1(t)

2

2 se p(t) = 1 e se x2(t) = kx1(t)

Esta lei de comutacao conduz a um sistema estavel para k = 0.5 como mostra a Figura

3.2

Figura 3.2: Trajetoria do sistema no espaco de estados

Muito pouca pesquisa tem focalizado a atencao nas propriedades de observabilidade

e controlabilidade de sistemas hıbridos alem de contribuicoes limitadas no campo dos

Timed Automatas (Alur et al. 1993, T.A. Henzinger e Varaiya 1995, Kesten et al. 1993)

e o trabalho precursor de Sontag (1981) para sistemas PWA. Desnecessario dizer, que

estes conceitos sao fundamentais para entender se um observador de estado e um contro-

lador para um sistema hıbrido, podem ser projetados e quao bom sera sua performance.

Por exemplo, em Ferrari-Trecate et al. (2000), propriedades de observabilidade foram di-


retamente exploradas para projetar estimadores de estados convergentes para sistemas

hıbridos .

As propriedades de controlabilidade e observabilidade foram investigadas em Ezzine e

Haddad (1989) e Goshen-Meskin e Bar-Itzhack (1992) para sistemas lineares variantes no

tempo, e em particular para a classe de sistemas assim chamado de constantes a trocos

(onde as matrizes na representacao de espaco de estados sao funcoes do tempo constantes

a trocos). Embora em princıpio aplicavel, estes resultados nao permitem capturar as

peculiaridades dos sistemas PWA.

Questoes gerais de NP-hardness sobre a avaliacao de controlabilidade de sistemas

nao-linear foram abordadas por Sontag (1988). Seguindo seus resultados anteriores

(Sontag 1981, Sontag 1985), Sontag (1996) analisa a complexidade computacional da ob-

servabilidade e controlabilidade de sistemas PWA atraves de argumentos baseado na lin-

guagem de algebra linear a trocos. O autor prova que a observabilidade/controlabilidade

e NP-Completa sobre o tempo finito, e e undecidable sobre o tempo infinito (isto e, em

geral nao pode ser resolvido em tempo finito por meio de qualquer algoritmo). Usando

um raciocınio diferente, o mesmo resultado foi derivado em Blondel e Tsitsiklis (1999).

Em Bemporad, Ferrari-Trecate e Morari (2000) os autores fornecem duas importantes

contribuicoes a analise da controlabilidade e observabilidade de sistemas hıbrido e PWA:

(i) mostram ao leitor que a observabilidade e a controlabilidade podem ser muito com-

plexas; apresentam numerosos contra-exemplos que descartam conjeturas obvias sobre

herdar propriedades de observabilidade/controlabilidade dos subsistemas lineares compo-

nentes do sistema; (ii) fornecem testes de observabilidade e controlabilidade baseadas em

Programacao Linear (LP) e Mista Inteira Linear (MILP).

A motivacao principal para concentrar-nos em modelos em tempo-discreto vem da ne-

cessidade de analisar estes sistemas e resolver problemas de otimizacao, tal como o controle

otimo ou problemas de sequenciamento, para a qual a contra parte em tempo contınuo

nao e facil o calculo. Por esta razao necessitamos um meio para descrever sistemas PWA

em tempo-discreto numa forma conveniente para transformar problemas de analise-sıntese

em problema mais compacto de otimizacao. A estrutura MLD descrita na seguinte secao

foi desenvolvida para tal proposito. Em particular, sera provado que modelos MLD sao

bem sucedido para transformar problemas de otimizacao com dinamica hıbrida em pro-

gramas misto inteiro lineares e quadraticos, solucionaveis via tecnicas Branch and Bound

por exemplo (Nemhauser e Wolsey 1988), (Borrelli 2002).


3.3 Sistemas Mistos Logicos Dinamicos

Os Sistemas Mistos Logicos Dinamicos (Mixed Logical Dynamical systems, (MLD))

sao um marco para modelar e controlar aqueles sistemas descritos por leis fısicas, regras

logicas, e restricoes de operacao, interdependentes.

Sua caracterıstica fundamental e permitir uma formulacao e resolucao sistematica de

varios problemas de analise e sıntese usando tecnicas matematicas de otimizacao.

De acordo com as tecnicas descritas por exemplo em Williams (1993), Cavalier et al.

(1990) e Raman e Grossmann (1992), a logica proposicional e transformada em desigual-

dades lineares que envolvem variaveis inteiras e variaveis contınuas, o que permite chegar

no sistema MLD, sistemas descritos por equacoes dinamicas lineares sujeitas a inequacoes

lineares, mistas inteiras, isto e equacoes e inequacoes envolvendo variaveis contınuas e

binarias (ou logicas, ou 0, 1).

Os sistemas MLD generalizam um amplo conjunto de modelos entre os quais estao os

sistemas hıbridos lineares, a maquina de estado finita, alguma classe de sistemas a eventos

discretos, sistemas lineares com restricoes, e sistemas nao lineares cujas nao linearidades

podem ser expressas por funcoes lineares a trocos.

3.3.1 Calculo Proposicional e Programacao Linear Inteira

3.3.1.1 Proposicoes Logicas

Seguindo a notacao padrao (Williams 1977, Cavalier et al. 1990, Williams 1993), vamos

adotar as letras maiusculas Xi para representar proposicoes, por exemplo “x ≥ 0”ou “a

temperatura esta quente”. O literal Xi pode ser verdadeiro (V) ou falso (F). A Algebra

Booleana permite-nos combinar proposicoes simples em proposicoes compostas por meios

de operadores. Estes sao:

∧ operador AND

∨ operador OR

· operador NOT (complemento)

→ implicancia

↔ se e somente se

⊕ OR exclusivo


Um tratamento mais detalhado da algebra booleana pode ser encontrada em textos

de projeto de circuitos digitais, como por exemplo Christiansen (1997) e Hayes (1993).

Para uma exposicao rigorosa veja por exemplo Mendelson (1964).

Os operadores logicos satisfazem diversas propriedades (Christiansen 1997) que podem

ser usadas para transformar proposicoes compostas em proposicoes compostas equiva-

lentes envolvendo operadores diferentes, simplificando proposicoes complexas. E sabido

que todos os operadores logicos podem ser definidos nos termos de um subconjunto deles

o qual e dito ser um conjunto completo dos operadores.

Exemplo 3.4 O conjunto de operadores ∨, · e um conjunto completo de operadores,

pois os outros operadores podem ser expressos em termos de estes aplicando equivalencias

logicas, por exemplo:

X1 → X2 equivalente a X1 ∨X2 (3.14)

X1 → X2 equivalente a X2 → X1 (3.15)

X1 ↔ X2 equivalente a (X1 → X2) ∧ (X2 → X1) (3.16)

X1 ∧X2 equivalente a X1 ∨X2 (3.17)

A uma proposicao Xi pode associar-se uma variavel logica δi ∈ 0, 1 a qual tera um

valor igual a um 1 se Xi = V , ou 0 se Xi = F .

Um problema de logica proposicional onde a proposicao X1 deve ser provada verdadeira

dado un conjunto de proposicoes (compostas) envolvendo proposicoes X2, ..., Xn, podem

de fato ser resolvidos apropriadamente por meio de programacao linear inteira traduzindo

as proposicoes compostas originais em desigualdades lineares que envolvem as variaveis

binarias δi. Estes desigualdades sao denominados desigualdades lineares inteiras.

De fato, e facil ver que as proposicoes e restricoes lineares mostradas na tabela 3.2 sao

equivalentes.

Existem metodos e formulacoes alternativos para transformar problemas de logica

proposicional em problemas de programacao matematica inteira equivalentes, e nenhum

metodo e uniformemente melhor do que o outro. Em Cavalier et al. (1990) conclui-se

que a eleicao de uma abordagem de modelado eficiente depende da forma das proposicoes

logicas. Esta claro que um pre-processo procurando uma reducao no problema de logica

proposicional tras grandes benefıcios na solucao numerica quando resolvermos o problema


relacao proposicao logica (des)igualdade mista inteira

AND (∧)X1 ∧X2

[δ1 = 1] ∧ [δ2 = 1]δ1 = 1δ2 = 1

X3 ↔ (X1 ∧X2) [δ3 = 1] ↔ [δ1 = 1] ∧ [δ2 = 1]−δ1 + δ3 ≤ 0−δ2 + δ3 ≤ 0

δ1 + δ2 − δ3 ≤ 1

OR (∨)X1 ∨X2

[δ1 = 1] ∨ [δ2 = 1] δ1 + δ2 ≥ 1

X3 ↔ (X1 ∨X2) [δ3 = 1] ↔ [δ1 = 1] ∨ [δ2 = 1]δ1 − δ3 ≤ 0δ2 − δ3 ≤ 0

−δ1 − δ2 + δ3 ≤ 0

NOT (.)X1

[δ1 = 1] δ1 = 0

XOR (⊕)X1 ⊕X2

[δ1 = 1]⊕ [δ2 = 1] δ1 + δ2 = 1

X3 ↔ (X1 ⊕X2) [δ3 = 1] ↔ [δ1 = 1]⊕ [δ2 = 1]

−δ1 − δ2 + δ3 ≤ 0−δ1 + δ2 − δ3 ≤ 0δ1 − δ2 − δ3 ≤ 0δ1 + δ2 + δ3 ≤ 2

IMPLY (→)X1 → X2

[δ1 = 1] → [δ2 = 1] δ1 − δ2 ≤ 1

IFF (↔)X1 ↔ X2

[δ1 = 1] ↔ [δ2 = 1] δ1 − δ2 = 0

Tabela 3.2: Conversao de relacoes logicas basicas em desigualdades inteiras


de programacao mista inteira. O problema de encontrar a forma mınima, e bem conhecido

no ambito de projeto de redes digitais. Existe uma variedade de metodos para executar

esta tarefa. Para uma exposicao detalhada o leitor pode consultar Hayes (1993).

3.3.1.2 Proposicoes Mistas Logicas-Continuas

Com a tecnica de deducao computacional, mostrada na secao anterior, podemos entao

modelar a parte logica do processo (chaves ON/OFF, mecanismos discretos, redes com-

binatorias e sequenciais) e o conhecimento heurıstico de operacao da planta atraves de

desigualdades lineares inteiras. Mas como estamos interessados em sistemas que nao so

tenham parte logica mas tambem dinamica, devemos estabelecer um laco entre estes dois

mundos. Em particular necessitamos estabelecer uma metodologia de como construir

proposicoes de eventos operacionais respeito a dinamica continua. A ideia chave e usar

desigualdades lineares mistas inteiras, isto e desigualdades envolvendo variaveis contin-

uas, x ∈ Rn, e variaveis logicas, δ ∈ 0, 1. Em Raman e Grossmann (1991) e Raman e

Grossmann (1992) a ideia de introduzir o conhecimento qualitativo na sınteses do processo

usando logica proposicional e apresentada. Uma aplicacao mais recente de alocacao de

recursos e sequenciamento e descrito em Glover (1975). Na tabela 3.3 mostra-se uma lista

de equivalencias, que permite realizar a traducao de algumas proposicoes mistas logicas-

continuas num conjunto de desigualdades a ser usado como restricoes nos problemas de

otimizacao matematica. Uma lista extensiva de tais transformacoes e dada em Mignone

(2001). Notar que as relacoes que envolvem a forma [δ = 0] em vez de [δ = 1] nas tabelas

3.2 e 3.3 podem ser obtidos substituindo δ por (1− δ) nas desigualdades correspondentes.

Exemplo 3.5 Como mostra-se na tabela 3.3, consideremos por exemplo a proposicao

X , [f(x) ≤ 0] (3.18)

onde f : R 7→ R e linear, supoe-se que x ∈ X , onde X e um conjunto delimitado dado, e

define-se:

M , maxx∈X

f(x) (3.19)

m , minx∈X

f(x) (3.20)


relacao proposicao logica (des)igualdade mista inteira

IMPLY (→)[f(x) ≤ 0] → X

[f(x) ≤ 0] → [δ = 1] f(x) ≥ ε + (m− ε)δ

X → [f(x) ≤ 0] [δ = 1] → [f(x) ≤ 0] f(x) ≥ M −Mδ

IFF (↔)[f(x) ≤ 0] ↔ X

[f(x) ≤ 0] ↔ [δ = 1]f(x) ≤ M(1− δ)f(x) ≥ ε + (m− ε)δ

ProductIF X THEN z = f(x)

ELSE z = 0z = δ.f(x)

z ≤ Mδ−z ≤ −mδz ≤ f(x)−m(1− δ)−z ≤ −f(x) + M(1− δ)

Tabela 3.3: Conversao de relacoes mistas logicas continuas basicas em desigualdadesmistas inteiras. M , m em R sao as cotas superior e inferior da funcao linear f(x) parax ∈ X , ε > 0 e uma tolerancia pequena, geralmente a precisao da maquina

Teoricamente, uma sobre-estimacao (sub-estimacao) de M(m) e suficiente para nosso

proposito. Entretanto, estimativas mais realısticas fornecem benefıcios computacionais

(Williams 1993).

Associando a variavel binaria δ com a proposicao X, e possıvel transformar 3.18 nas

seguintes desigualdades mistas inteiras:

f(x) ≤ M −Mδ (3.21)

f(x) ≥ ε + (m− ε)δ (3.22)

onde ε e uma pequena tolerancia (tipicamente a precisao da maquina) alem da qual a

restricao e considerado como violada. Para verificar a equivalencias entre a proposicao

logica e o conjunto de desigualdades (3.21, 3.22), pode verificar-se que 3.21 e 3.22 se

reduzem as quatro restricoes da coluna “implicacao resultante”da Tabela C.1, contanto

que as suposicoes adicionais correspondentes da coluna “quantidade fixa”sejam feitas.

quantidade fixa desigualdade 3.21 desigualdade 3.22 implicacao resultanteδ = 0 f(x) ≤ M (inativa) f(x) ≥ ε f(x) ≥ εδ = 1 f(x) ≤ 0 f(x) ≥ m (inativa) f(x) ≤ 0

f(x) ≤ 0 δ ∈ 0, 1 (inativa) δ = 1 δ = 1f(x) ≥ ε δ = 0 δ ∈ 0, 1 (inativa) δ = 0

Tabela 3.4: Implicacoes de 3.21 e 3.22

Observar que de acordo como a coluna “quantidade fixa”da tabela C.1, uma das de-

sigualdade de 3.21 e 3.22 torna-se inativa no sentido que sempre se cumpre, supondo 3.19,


3.20 e δ ∈ 0, 1.

De um ponto de vista semantico, notar que o intervalo de δ na coluna direita da tabela

3.3 e entendida como um subconjunto dos numeros reais. Mesmo que estejamos falando

sobre δ como uma variavel logica ou discreta, quando fazemos a transformacao para as

desigualdades, a suposicao inerente e que:

δ ∈ 0, 1 ⊂ R (3.23)

A traducao de proposicoes logicas ou declaracoes mistas logicas-continuas em desigual-

dades, vistas na secao 3.3.1, e um passo que determina criticamente o tamanho do modelo

MLD resultante em termos do numero de variaveis. E importante achar modelos que ten-

ham um numero pequeno de variaveis binarias, pois isto permite melhorar a velocidade

de resolucao dos problemas matematicos de otimizacao, necessarios para analise, sıntese

e supervisao de sistemas hıbridos. No apendice C propoe-se metodos eficientemente para

a traducao de proposicoes logicas em desigualdades diminuindo o numero de variaveis

auxiliares necessarias. Os metodos sao aplicaveis quando as proposicoes logicas sao mais

complexas que as mostradas na Tabela 3.2, envolvendo combinacoes arbitrarias de oper-

adores.

3.3.2 Estrutura de Sistemas MLD

Os modelos MLD para sistemas hıbridos se baseiam na combinacao de tres ideias e

observacoes apresentadas isoladamente na literatura (Mignone 2002). Estas ideias sao:

1. Representacao de proposicoes logicas como desigualdades lineares que envolvem

variaveis binarias.

2. Representacao de proposicoes que acoplam relacoes logicas as variaveis contınuas

como desigualdades lineares que envolvem variaveis contınuas e binarias.

3. A inclusao de variaveis binarias e restricoes lineares na descricao de sistemas esti-

mados contınuos.

Os primeiros dois pontos foram considerados na secao 3.3.1. O ultimo ponto combina

todas as desigualdades que sao construıdas a partir dos metodos da secao 3.3.1 num


conjunto de restricoes. Para permitir uma formulacao computacionalmente tratavel dos

problemas de analise e sıntese do sistema, um modelo linear em tempo discreto e escolhido

para descrever a evolucao dos estados. Como os componentes logicos influenciam na

dinamica contınua, e necessario introduzir variaveis binarias na descricao do sistema. Um

dos primeiros trabalhos usando esta ideia, e publicado em Witsenhausen (1966), onde um

modelo linear e escolhido, permitindo-se haver estados e entradas tanto contınuas como

discretas.

A forma geral de um sistema MLD e dado pelas seguintes expressoes:

x(k + 1) = Ax(k) + B1u(k) + B2δ(k) + B3z(k) (3.24)

y(k) = Cx(k) + D1u(k) + D2δ(k) + D3z(k) (3.25)

E2δ(k) + E3z(k) ≤ E1u(k) + E4x(k) + E5 (3.26)

A equacao (3.24) e a funcao de atualizacao dos estados. (3.25) e a funcao de saıda e o

conjunto de desigualdades em (3.26) coleta as restricoes inerentes do sistema assim como

as traducoes das proposicoes logicas como indicado nas tabelas 3.2 e 3.3. O significado

das variaveis e o seguinte:

• x sao os estados contınuos e binarios:

x =

[xc

xl

], xc ∈ Rnc , xl ∈ 0, 1nl , n , nc + nl

• y sao as saıdas contınuas e binarias:

y =

[yc

yl

], yc ∈ Rpc , yl ∈ 0, 1pl , p , pc + pl

• u sao as entradas contınuas e binarias:

u =

[uc

ul

], uc ∈ Rmc , ul ∈ 0, 1ml , m , mc + ml

• δ ∈ 0, 1rl sao as variaveis auxiliares binarias

• z ∈ Rrc sao as variaveis auxiliares contınuas


Observe que removendo a equacao (3.26) e fazendo δ e z iguais a 0, as equacoes (3.24)

e (3.25) reduzem-se a um sistema linear sem restricoes em tempo discreto no espaco de

estados. As varaveis δ e z sao introduzidas quando traduzimos as proposicoes logicas

em desigualdades lineares. Todas as restricoes estao contidas na desigualdade (3.26). A

descricao (3.24, 3.25, 3.26) so aparenta ser linear dado que as variaveis δ, xl, yl e ul sao

binarias. Veremos o procedimento de modelado na forma MLD na secao 3.3.5.

O sistema (3.24, 3.25, 3.26) e suposto ser “completamente bem posto”(Bemporad e

Morari 1999). Isto significa que dado o estado x(k) e a entrada u(k) a desigualdade (3.26)

tem uma unica solucao para δ(k) e z(k). Em outras palavras, em cada instante de tempo,

o mapeamento (x(k), u(k)) 7→ δ(k) e (x(k), u(k)) 7→ z(k) resultam em um unico valor.

Consequentemente, x(k + 1) e unicamente definido, permitindo encontrar uma trajetoria

unica do estado x(.) dado um estado inicial x(0) e uma sequencia de entrada u(0)...u(N).

E condicao para realizar uma correta simulacao de um sistema MLD que este seja “bem

posto”.

Algoritmo 3.1 Simulacao de um sistema MLD:

1. Faca k = k0 e escolha x(k).

2. Dado x(k) e u(k), obtenha δ(k) e z(k) que verifique (3.26).

3. Determine x(k + 1) de (3.24)

4. Faca k = k + 1 e va ao passo 2.

E possıvel determinar δ(k) e z(k) no passo 2 atraves de um Teste de Factibilidade

Misto Inteiro (Mixed Integer Feasibility Test (MIFT)), (Mignone 2002). A assuncao que o

sistema seja bem posto e usualmente nao restritiva na pratica. Mesmo que seja facil definir

sistemas MLD que nao sejam bem postos, estes casos sao frequentemente de interesse

somente no ambito academico, e surgem se o sistema nao for precisamente modelado.

Para a simulacao de grandes sistemas, algoritmos computacionais mais eficientes do que

o algoritmo 3.1 podem ser realizados (Torrisi 2003).

As matrices A, B1, B2, B3, C,D1, D2, D3, E1, ..., E5 sao reais e de dimensoes apropri-

adas. Se bem as matrizes A,B1, B3 sao matrices genericas, algumas entradas tem que

ser excluıdas, se estados binarios estao presentes em x. Mais precisamente, o compo-

nente logico xl do estado nao pode depender diretamente das variaveis continuas xc, uc,


z atraves de 3.24. As correspondentes entradas em A, B1, B3 devem ser zero para um

modelo MLD valido (Torrisi 2003, Ferrari-Trecate et al. 2002a). Por exemplo, a matriz

A devera ter a forma:

A =

[Acc Acd

0nlxnc Add

]

3.3.3 Sistema MLD bem posto e a tolerancia ε

Para a traducao de algumas proposicoes logicas em desigualdades, e necessario intro-

duzir pequenas tolerancias (ε > 0), como pode ser visto na Tabela 3.3. A justificacao

principal para estas variaveis e a capacidade de expressar as desigualdades como nao-

estritas, antes que como desigualdades estritas. Isto permite sua inclusao como restricoes

em problemas de otimizacao.

Esta secao descreve um par de consequencias desta aproximacao para as restricoes

assim obtidas e mostra, como depende da escolha de ε que o sistema seja bem posto.

Exemplo 3.6 Considere por exemplo a proposicao:

[δ = 1] ↔ [f(x) ≤ 0] (3.27)

e sua traducao

f(x) ≤ M −Mδ (3.28)

f(x) ≥ ε + (m− ε)δ (3.29)

E facil de verificar que as desigualdades (3.28) e (3.29) definem as relacoes:

[δ = 1] ↔ [m ≤ f(x) ≤ 0] (3.30)

[δ = 0] ↔ [ε ≤ f(x) ≤ M ] (3.31)

Se f(x) toma valores entre

0 < f(x) < ε (3.32)

A variavel δ permanece indefinida e as desigualdades (3.28) e (3.29) sao infactıveis para

qualquer par (δ, f(x)) ∈ 0, 1 × (0, ε). De fato, se por exemplo f(x) = ε2, entao (3.28) e


(3.29) tornam-se

ε

2≤ M −Mδ (3.33)

− ε

2≥ (m− ε)δ (3.34)

Aqui, (3.33) e factıvel para δ = 0 somente, no entanto que (3.34) so pode ser satisfeita com

δ = 1. Note que se (3.32) nunca ocorrer, nenhum problema de factibilidade e esperado.

Neste caso ε pode ser escolhido como a precisao representavel da maquina.

Com uma interpretacao geometrica podemos visualizar, se ha alternativas para repre-

sentar (3.27), alem de (3.28) e (3.29). Graficando o conjunto de pontos validos no plano

(δ, y), onde y = f(x), como se mostra na Figura 3.3.

Figura 3.3: Conjunto de pontos validos de 3.27 no plano (δ, y) representado como as linhasmarcadas

Da Figura 3.3, vemos que o ponto (δ, y) = (0, 0) e um elemento do fecho convexo de

pontos validos, mesmo que ele mesmo e invalido. Note que estendendo o espaco com

variaveis binarias adicionais nao ajuda neste caso, ja que o conjunto de pontos validos e

um conjunto aberto. Isto nao satisfaz a suposicao de conjunto compacto no Teorema C.5.

Para qualquer extensao do domınio do espaco (δ, y) com variaveis auxiliares, o conjunto

de pontos validos e um conjunto nao-convexo.

Um meio de representar esta relacao como desigualdades e sacrificar a propriedade

que o modelo seja bem posto. A solucao (3.28) e (3.29) modifica o conjunto de pontos

validos, tal que ha uma lacuna, em que δ e indefinido, como se mostra em Figura 3.4.

Isto significa que estritamente falando o sistema nao e completamente bem posto, ja

que para y ∈ (0, ε) nenhum δ e definido. Se estamos dispostos a sacrificar que o modelo

deja bem posto, podemos propor uma traducao alternativa, como se mostra na Figura

3.5.


Figura 3.4: Conjunto de pontos validos de 3.27 no plano (δ, y) usando a abordagem ε. Ospontos validos sao representado como as linhas marcadas

Figura 3.5: Conjunto de pontos validos de 3.27 no plano (δ, y) sem ser o sistema bemposto. Os pontos validos sao representado como as linhas marcadas

Aqui nos nao temos zonas da variavel contınua y, onde a variavel binaria δ e indefinida,

mas temos ambos possıveis valores de δ, se y = 0. As desigualdades neste caso sao obtidas

colocando ε ≤ 0 em (3.28) e (3.29).

3.3.4 Estado estacionario para sistemas MLD

Os sistemas MLD podem exibir varias propriedades que sao tıpicas de sistemas nao-

lineares, como multiplos pontos de equilıbrios isolados ou ciclos limites. Propriedades

como deadlocks ou livelocks, tipicamente encontradas em sistemas a eventos discretos,

podem ser achados tambem em modelos MLD.

O valor de estado estacionario xf de um sistema MLD pode ser determinado resolvendo

o seguinte problema de programacao mista inteira

minxf ,uf ,δf ,zf

(‖yf − r‖ρy + ‖xf‖ρ4 + ‖uf‖ρ1 + ‖zf‖ρ3 + ‖δf‖ρ2 (3.35)


Sujeito a:

xf = Axf + B1uf + B2δf + B3zf (3.36)

yf = Cxf + D1uf + D2δf + D3zf (3.37)

E2δf + E3zf ≤ E1uf + E4xf + E5 (3.38)

Aqui ‖ · ‖ e uma norma arbitraria, o vetor r e a referencia constante, ρi = ρTi e uma

matriz de ponderacao nao-negativa. Em general, o conjunto completo de todos os estados

estacionarios e definido pelos pontos factıveis que satisfazem (3.36-3.38). No entanto,

como a solucao xf , uf , δf , zf tipicamente e usada para propositos de controle, estamos

interessados numa solucao de (3.35-3.38), onde ρy À ρj, (j = 1...4) isto e um estado

estacionario que produz uma saıda perto da referencia.

Devido a grande variedade de comportamentos que podem apresentar sistemas MLD,

o resultado (xf , uf , δf , zf ) de (3.35-3.38) devem ser melhor analisados antes de seu uso

num esquema de controle. Algumas dificuldades que podem surgir sao listadas a seguir:

Estado estacionario inalcansavel O estado constante obtido com (3.35-3.38) pode ser

inalcansavel. Chamamos um estado xe inalcansavel, se existe um estado inicial x0,

para o qual nenhuma entrada factıvel [u(0), u(1), ..., u(N)] de tamanho N (N ≥ 1)

existe, tal que x(N) = xe para todo N .

Multiplicidade de estados estacionarios Mesmo que todas as ponderacoes ρi em

(3.35) sao escolhidos diferentes de zero, os estados estacionarios obtidos com (3.35

-3.38) podem ser nao-unicos por causa da presenca das variaveis binarias. Um

exemplo simples deste fenomeno e um sistema PWA, onde o estado estacionario

correspondente a dinamica afim da regiao Xi permanece em Xi para todo i. Sis-

temas podem ser achados, com estados estacionarios que dao o mesmo valor de

(3.35) para todos os estados estacionarios dos subsistemas.

Ciclos Limites Considere o problema de estabilizar um sistema MLD a uma referencia

constante r. Ao procurar por um estado que forneca uma saıda y que permaneca

perto de r, (3.35-3.38) pode dar uma solucao unica e alcancavel. No entanto, em

alguns casos o equilıbrio assim obtido e distante da referencia. Deve-se observar que

o erro acumulado sobre um horizonte finito de comprimento M

M∑

k=1

‖yf (k)− r‖


pode ser menor, por exemplo, quando y segue um ciclo de estados em vez de se

manter num valor constante. O tal ciclo e gerado pelo chaveamento periodico dos

componentes discretos do sistema. Em outras palavras, o sistema vai por meio de

um ciclo de estados permanecer perto da referencia, em vez de convergir a um estado

constante.

Para sistemas que exibam ciclos limite, em vez de achar um unico estado esta-

cionario, podem-se procurar por sequencias inteiras de estados. A otimizacao entao

e dada por:

minxf ,uf ,δf ,zf

(‖yf− r‖ρy + ‖xf‖ρ4 + ‖uf‖ρ1 + ‖zf‖ρ3 + ‖δf‖ρ2 (3.39)

Sujeito a:

xf (1) = Axf (0) + B1uf (0) + B2δf (0) + B3zf (0)

xf (2) = Axf (1) + B1uf (1) + B2δf (1) + B3zf (1)...

xf (N) = Axf (N − 1) + B1uf (N − 1) + B2δf (N − 1) + B3zf (N − 1)

xf (0) = Axf (N) + B1uf (N) + B2δf (N) + B3zf (N)

E2δf (0) + E3zf (0) ≤ E1uf (0) + E4xf (0) + E5

...

E2δf (N) + E3zf (N) ≤ E1uf (N) + E4xf (N) + E5

As variaveis xf , uf , δf , zf em (3.39) sao sequencias das variaveis correspondentes

xf , uf , δf , zf de comprimento N , isto e

xf =

xf (0)...

xf (N)

uf =

uf (0)...

uf (N)

δf =

δf (0)...

δf (N)

zf =

zf (0)...

zf (N)

r =

r...

r

r e o vetor constante de referencia. Em general o comprimento N da sequencia nao e

sabido previamente e deve ser achado iterativamente. Se um ciclo curto e requerido,

resolvemos o problema de otimizacao

minN∈N

minyf (0),...,yf (N)

‖yf− r‖ρ + γ(N)


Onde γ(·) : R+0 → R+

0 e uma funcao monotona crescente estrita, nao-negativa que

penaliza o uso de ciclos longos de comprimento N .

3.3.5 Exemplos

Exemplo 3.7 Conversor Buck-Boost (CBB)

Para um melhor entendimento da metodologia de transformacao das equacoes diferen-

ciais que descrevem a dinamica do sistema a um modelo no contexto MLD, vamos supor

que o CBB somente trabalha no MCC.

Para obter o modelo MLD (3.24-3.26) a partir das equacoes dinamicas do CBB

((3.2-3.4) e (3.5-3.7)), em primeiro lugar e necessario associar a proposicao “chave

fechada”uma variavel auxiliar, por tanto:

[q = 1] ↔ [chave fechada]

Entao temos que:

˙iL =1

LVccq +

1

LvC (3.40)

vC = − 1

RCvC − 1

CiL(1− q) (3.41)

V0 = −vC (3.42)

onde L C e R sao a indutancia, capacitancia e resistencia respectivamente, VO e a tensao

de saıda.

Discretizando as equacoes anteriores com um perıodo de amostragem Ts:

iL(k + 1) =TsVcc

LVccq(k) +

Ts

LvC(k)(1− q(k)) + iL(k) (3.43)

vC(k + 1) = − Ts

RCvC(k)− Ts

CiL(k)(1− q(k)) + vC(k) (3.44)

V0 = −vC (3.45)

onde k denota o tempo discreto o qual fazendo abuso da notacao vamos omitir daqui para

frente.

Como se observa nas equacoes anteriores a corrente pelo inductor iL e a tensao sobre o

capacitor aparecem multiplicadas por a variavel binaria auxiliar q. E necessario introduzir


por tanto duas variaveis auxiliares como indica a tabela 3.3:

z1 = iLq

z1 ≤ MIq

z1 ≥ mIq

z1 ≤ iL −mI(1− q)

z1 ≥ iL −MI(1− q)

onde:

MI , max iL

mI , min iL

z2 = vCq

z2 ≤ MV q

z2 ≥ mV q

z2 ≤ vC −mV (1− q)

z2 ≥ vC −MV (1− q)

onde:

MV , max vC

mV , min vC

As transformacoes acima podem resumir-se na seguinte representacao MLD do CBB:

[i+Lv+

C

]=

[1 Ts

L

−Ts

C1− Ts

RC

][iL

vC

]+

[TsVCC

L

0

]q +

[0 −Ts

LTs

C0

] [z1

z2

](3.46)

−MI

mI

−mI

MI

−MV

mV

−mV

MV

q +

1 0

−1 0

1 0

−1 0

0 1

0 −1

0 1

0 −1

[z1

z2

]≤

0 0

0 0

1 0

−1 0

0 0

0 0

0 1

0 −1

[x1

x2

]+

0

0

−mI

MI

0

0

−mV

MV

(3.47)

onde: i+L = iL(k + 1) e v+C = vC(k + 1).

Exemplo 3.8 Sistema de Controle de Temperatura

O exemplo que vamos desenvolver nesta secao e reportado em Bemporad, Ferrari-

Trecate e Morari (2000). A temperatura xc de uma sala e controlada por um termostato,

que liga ou desliga um aquecedor de acordo com a temperatura medida. Quando o aquece-

dor esta desligado, xc diminui de acordo com a dinamica de primeiro-ordem xc = −Kxc;

quando o aquecedor esta ligado, xc = −K(u − xc), onde u e proporcional a potencia do

aquecedor, mu ≤ u ≤ Mu. O automato hıbrido que modela o sistema de controle de

temperatura e mostrado na Figura 3.6.


Figura 3.6: Sistema de controle de temperatura

Para traduzir o automato na forma MLD (3.24-3.26), vamos discretizar a dinamica

contınua com tempo de amostragem igual a Ts, temos entao

xc(t + 1) =

λxc(t), se aquecedor desligado

λxc(t) + (1− λ)u(t), se aquecedor ligado(3.48)

onde λ , e−KTs. Entao, introduzimos as variaveis binarias auxiliares

[δ1(t) = 1] ↔ [xc(t) ≥ M ] (3.49)

[δ2(t) = 1] ↔ [xc(t) ≥ m] (3.50)

Que toma em conta o cruzamento das linhas de guarda (obviamente, m < M). As

equacoes (3.49,3.50) podem ser transformadas em desigualdades lineares mistas inteiras

usando a tabela 3.2, (vamos supor que os limites inferior mx e superior Mx sobre xc sao

conhecidos).

O estado logico xl(t+1) e necessitado para armazenar o estado do aquecedor, e evolu-

ciona de acordo com a equacao

xl(t + 1) = δ3(t) (3.51)

onde

[δ1(t) = 1] → [δ3(t) = 0] (3.52)

[δ2(t) = 1] → [δ3(t) = 1] (3.53)

[δ1(t) = 0] ∧ [δ2(t) = 0] → [δ3(t) = δ4(t)] (3.54)


e

δ4(t) = xl(t) (3.55)

Como δ1 e δ2 nao podem ser 1 ao mesmo tempo, incluımos a restricao

δ1(t) + δ2(t) ≤ 1 (3.56)

As equacoes (3.52) e (3.53) sao traduzidas em desigualdades de acordo com a tabela

3.2. A equacao (3.54) e equivalente a

δ1(t) + δ2(t) ≤ δ3(t)− δ4(t) ≤ δ1(t) + δ2(t) (3.57)

Embora (3.57) pode ser imediatamente verificada por inspecao, ela foi obtida aplicando a

tecnica da FNC.

A dinamica (3.48) pode ser reescrita equivalentemente como

xc(t + 1) = λxc(t) + xl(t)(1− λ)u(t) (3.58)

Por causa do produto envolvendo xl e u(t), introduzimos a variavel contınua auxiliar

z(t) = xlu(t) = δ4(t)u(t), que pode ser transformada em desigualdades lineares mistas

inteiras, de acordo com a Tabela 3.3.

As transformacoes acima podem resumir-se na seguinte representacao MLD do sistema

de controle de temperatura:

x(t + 1) =

[λ 0

0 0

]x(t) +

[0 0 0 0

0 0 1 0

]δ(t) +

[1− λ

0

]z(t) (3.59)


0 Mx −m 0 0

0 mx −m− ε 0 0

M −mx 0 0 0

M −Mx − ε 0 0 0

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

−1 −1 1 −1

−1 −1 −1 1

0 0 0 −1

0 0 0 1

0 0 0 −Mu

0 0 0 mu

0 0 0 −mu

0 0 0 Mu

δ(t) +

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

−1

1

−1

z(t) ≤

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

−1

u(t)

+

−1 0

1 0

1 0

−1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 −1

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

x(t) +

Mx

−m− ε

−mx

M − ε

1

0

1

0

0

0

0

0

0

−mu

Mu

(3.60)

onde δ ,[

δ1 δ2 δ3 δ4

]T

e x ,[

xc xl

]T

.


3.4 Equivalencia entre sistemas MLD e PWA

Definicao 3.1 (Bemporad 2004) Sejam∑

1 e∑

2 sistemas hıbridos no espaco de estados,

com iguais dimensoes nos estados, entradas, e saıdas.∑

1 e∑

2 sao ditos equivalentes se

para todo x1(k) = x2(k) e u1(k) = u2(k), entao o estado sucessor x1(k+1) = x2(k+1) e as

saıdas y1(k) = y2(k), onde k ∈ Z≥0 e Z≥0 e o conjunto de numeros inteiros nao-negativos.

Note que se as trajetorias sao persistentes, isto e, definidas para todo k ∈ Z≥0 entao

a Definicao 3.1 implica que comecando do mesmo estado inicial e aplicando a mesma

sequencia de entrada, o estado e trajetorias de saıda dos dois sistemas equivalentes sao

identicos.

O seguinte resultado e proposto em Bemporad, Ferrari-Trecate e Morari (2000) e e

uma extensao facil do resultado correspondente proposto em Bemporad e Morari (1999)

para sistemas lineares a trocos (PWL) (isto e, sistemas PWA com fi = gi = 0).

Proposicao 3.1 (Bemporad 2004) Considere o sistema bem posto PWA (3.1) e seja o

conjunto Ω de estados e entradas factıveis acotado. Entao, existe um sistema MLD (3.24-

3.26) tal que (3.1) e (3.24-3.26) sao equivalentes.

Comentario 3.2 Como os modelos MLD so permitem que desigualdades nao-estritas

sejam incluıdas em (3.26), ao reescrever um sistema PWA descontınuo como um modelo

MLD desigualdades estritas como x(k) < 0 devem ser aproximadas por x(k) ≤ −ε para

algum ε > 0 (tipicamente a precisao de maquina), com o suposicao que −ε < x(k) < 0

nao pode ocorrer devido ao numero finito de bits usado para representar numeros reais

(nenhum problema existe quando o PWA e contınuo, onde a desigualdade estrita pode

ser reescrita equivalentemente como nao-estrita, ou ε = 0); veja (Heemels et al. 2001)

e (Bemporad e Morari 1999) para mais detalhes. De um ponto de vista estritamente

teorico, a proposicao feita na proposicao 3.1 e, portanto, nao exata para sistemas PWA

descontınuos. Como discutido previamente, um meio de iludir tal inexatidao e permitir

que parte das desigualdades em (3.26) sejam estritas, ou evitar desigualdades estritas na

definicao das dinamicas PWA. Por outro lado, de um ponto de vista numerico esta questao

nao e relevante.

A proposicao inversa de 3.1 foi estabelecida em Bemporad, Ferrari-Trecate e Morari

(2000) sob a condicao que o sistema MLD seja completamente bem posto. Uma prova

mais geral e levemente diferente e mostrada a seguir.


Definicao 3.2 (Bemporad 2004) O conjunto de estado+entradas factıveis Ω ⊆ Rnc ×0, 1nl ×Rmc ×0, 1ml e o conjunto de pares estados+entradas (x(k), u(k)) para a qual

(3.26) tem uma solucao para algum δ(k) ∈ Rrl, z(k) ∈ Rrc.

Proposicao 3.2 (Bemporad 2004) Para cada sistema completamente bem posto MLD

(3.24-3.26) existe um sistema bem posto PWA (3.1), isto e, o conjunto factıvel de

estados+entradas de (3.24-3.26) Ω podem ser particionados numa colecao de poliedros

convexos Ωisi=1, Ω =

⋃si=1 Ωi, e existem 5 tuplas (Ai, Bi, Ci, fi, gi), i = 1, ..., s, tal que

todas as trajetorias x(k), u(k), y(k) do sistema MLD (3.24-3.26) tambem satisfazem (3.1).

Prova (Bemporad 2004)

3.5 Conversao de modelos MLD-PWA

Os sistemas PWA podem ser representados na forma MLD (3.24−3.26). A traducao

consiste em definir variaveis logicas δi [δi = 1] ↔ [[

x

u

]∈ Ci] e impondo a condicao de

OR-exclusivo⊕s

i=1 [δi = 1]. Para mais detalhes, o leitor pode consultar (Bemporad e

Morari 1999).

Embora tecnicas de controle e estimacao de estados baseadas em otimizacao mista

inteira online ou programacao mista inteira multiparametrica offline foram propostas para

modelos MLD (Bemporad e Morari 1999, Bemporad, Ferrari-Trecate e Morari 2000), a

maioria das outras tecnicas hıbridas exigem uma formulacao PWA, tal como: criterios de

estabilidade (DeCarlo et al. 2000, Johannson e Rantzer 1998, Ferrari-Trecate et al. 2002b),

sıntese do controlador otimo afim a trocos (Bemporad et al. 2002, Kerrigan e Mayne

2002, Mayne e Rakovic 2002), e verificacao de propriedades de seguranca via analise de

alcanzabilidade (Asarin et al. 2000, Chutinan e Krogh 1999, Bemporad, Ferrari-Trecate

e Morari 2000). Alem do mais, as simulacoes de sistemas hıbridos sao muito mais faceis

para sistemas PWA (avaliacao de um funcao PWA por cada passo de tempo), que para

sistema MLD (um teste de factibilidade mista inteira por cada passo de tempo (Bemporad

e Morari 1999)).

A transformacao inversa de MLD a PWA descrita em Bemporad, Ferrari-Trecate e

Morari (2000) exige a enumeracao de todas as possıveis combinacoes das variaveis binarias

contida no modelo MLD. Em Bemporad (2004) se fornece um algoritmo eficiente que evita


tal enumeracao e calcula muito eficientemente a forma equivalente PWA de um sistema

dado MLD.

A traducao eficiente de um modelo MLD a PWA permite estender o uso de ferramentas

desenvolvidas para sistemas PWA, a muitos problemas hıbridos nao-triviais da vida real,

como os que podem ser descritos na linguagem de modelado HYSDEL por exemplo,

(Bemporad 2004). Uma implementacao de Matlab deste algoritmo esta disponıvel em

http://www.dii.unisi.it/~bemporad/tools.html e sao incluıdos em Hybrid Toolbox

for Matlab (Bemporad 2003). Para mais detalhes, o leitor pode consultar (Bemporad

2004).

3.6 Conclusoes

Neste capıtulo foi introduzido o conceito de Sistema Hıbrido, o qual surge desde uma

perspectiva historica dado que nenhum unico modelo conhecido era capaz de capturar a

dinamica discreta e contınua ao mesmo tempo.

Ainda nao existem metodos para analisar sistemas hıbridos em geral, por tanto di-

versos autores tem focalizado sua atencao em subclasses especiais de sistemas dinamicos

hıbridos. Muitas de estas subclasses sao equivalentes fazendo certas hipoteses e por tanto,

propriedades e ferramentas de um contexto podem ser trasladados a outro contexto. Neste

capıtulo foram desenvolvido aspectos teoricos relacionados com duas destas subclasses ou

contextos de modelagem.

A primeira subclasse vista foi a PWA. Este contexto de modelagem tem recebido

muita atencao no meio academico devido a que e nesse contexto, onde e possıvel analisar

propriedades importantes tais como controlabilidade, observabilidade e estabilidade mais

facilmente. Foi mostrado um exemplo de esta subclasse: o CBB.

A segundo contexto visto foi o MLD. Esta subclasse permite o modelado de forma

sistematica de uma quantidade grande de diferentes tipos de SH, dai sua importancia. A

metodologia de modelagem neste contexto foi mostrada atraves de dois estudos de caso:

(i) o CBB, (ii) Sistema de controle de temperatura.

Capıtulo 4

Controle Preditivo de Sistemas

Hıbridos

4.1 Introducao

O enfoque tradicional para projetar controladores embutidos e baseado no desenvolvi-

mento de regras apoiadas na heurıstica, ou no conhecimento da planta pelos operarios.

Tais regras frequentemente sao baseadas no “sentido comum”e tomam em conta cenarios

especıficos da planta. Contudo a analise da planta controlada total para todos os possıveis

cenarios e normalmente uma tarefa dura, que tipicamente e resolvida na industria execu-

tando um grande numero de simulacoes ou experimentos sobre o proprio controlador.

Esforcos recentes de pesquisa tem produzido tecnicas que permitem a sıntese direta de

controladores para sistemas hıbridos. O objetivo deste capıtulo e expor alguma de estas

tecnicas de controle.

Os principais metodos ou tecnicas de controle disponıveis hoje em dia sao:

• Controle preditivo de sistemas MLD usando otimizacao mista inteira on-line

(Bemporad e Morari 1999).

• Realimentacao de estados linear a trocos, para o sistema equivalente PWA (Mignone

et al. 2000, Mayne e Rakovic 2003, Pena et al. 2005).

• Obter a forma explıcita do controlador preditivo atraves de tecnicas de otimizacao

multiparametrica (Bemporad, Borrelli e Morari 2000).

Controle Preditivo de Sistemas Hıbridos 96

• Controle preditivo nao linear obtido a partir de uma parametrizacao das variaveis

inteiras em variaveis reais e usando otimizacao nao linear on-line (Sarabia et al.

2007).

O primeiro metodo e aplicado diretamente a sistemas hıbridos no contexto MLD e sera

objeto de estudo na seguinte secao. O segundo e o terceiro metodo e aplicado ao modelo

equivalente PWA, no segundo metodo a lei de controle e achada on-line no entanto que

no terceiro metodo a lei explicita de controle e achada off-line. A quarta tecnica pode ser

aplicada a sistemas a trocos mas gerais como os Sistemas Nao-Lineares a Trocos (Piece

Wise Non Linear (PWNL) Systems), a acao de controle em cada passo de tempo e achada

on-line.

4.2 Controle Preditivo de Sistemas MLD

Como ja foi dito no capıtulo 3, uma grande quantidade de processos hıbridos podem ser

modelados pela estrutura MLD. Entao, e interessante do ponto de vista pratico e teorico

saber se um sistema MLD pode ser estabilizado em um estado de equilıbrio ou pode

seguir uma trajetoria desejada de referencia, via controle por realimentacao. A seguir

veremos como o Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM), fornece ferramentas

bem sucedidas para executar estas tarefas.

O CPBM e uma forma de controle por realimentacao, onde o valor atual das variaveis

manipuladas e determinado on-line como a solucao de um problema de controle otimo

sobre um horizonte de comprimento dado. O comportamento do sistema sobre o horizonte

e predito com um modelo onde o estado atual da planta e o estado inicial para esta

predicao. Mesmo que um conjunto talvez grande de acoes de controle e calculado, so o

primeiro e implementado. Quando uma informacao atualizada sobre o estado da planta

esta disponıvel no seguinte instante de amostragem, a otimizacao e repetida sobre o

horizonte deslocado. A capacidade de incluir sistematicamente restricoes e a possibilidade

de manipular plantas com multiplas entradas e saıdas fizeram do CPBM uma tecnica

atraente na industria de processo (Lee e Cooley 1997, Mayne 1997, Qin e Badgewell

1997, Mayne et al. 2000). Para uma apresentacao ampla de CPBM classico o leitor pode

consultar: Maciejowski (2002) e Camacho e Bordons (2005).

No presente contexto, devido a presenca de variaveis inteiras, o procedimento de

otimizacao e um problema de Programacao Mista Inteira. Uma primeira tentativa em


usar Programacao Mista Inteira on-line para controlar sistemas dinamicos submetidos a

restricoes logicas apareceu em Tyler e Morari (1995). Outros trabalhos apontando em

combinar CPBM a controle hıbrido apareceram em Slupphaug e Foss (1997) e Slupphau-

gand et al. (1997).

A aplicacao dos conceitos de CPBM a sistemas MLD foi proposta em Bemporad e

Morari (1999). Supondo uma funcao de custo quadratica e dado o estado inicial x0, a

otimizacao no tempo t = 0, para um sistema MLD, tem a seguinte forma:

minvT−10

J(vT−10 , x0) ,

T−1∑

k=0

‖v(k)− ue‖2Q1

+ ‖δ(k|t)− δe‖2Q2

+‖z(k|t)− ze‖2Q3

+ ‖x(k|t)− xe‖2Q4

+‖y(k|t)− ye‖2Q5

(4.1)

sujeito a :

x(T |t) = xe

x(k + 1|t) = Ax(k|t) + B1v(k) + B2δ(k|t) + B3z(k|t)y(k|t) = Cx(k|t) + D1v(k) + D2δ(k|t) + D3z(k|t)E2δ(k|t) + E3z(k|t) ≤ E1v(k) + E4x(k|t) + E5 (4.2)

onde ‖ ¦ ‖Q = ¦T Q¦; Q1 = QT1 > 0 e Qi = QT

i ≥ 0, i = 2, . . . , 5, sao matrices de

ponderacao dadas; xe, ue, δe, ze e ye sao um ponto de equilıbrio dado que satisfazem as

equacoes (3.25, 3.26), para a qual lembramos podem aparecer as possıveis dificuldades

mostradas na secao 3.3.4. vT−10 = [v(0|0), v(1|0), . . . , v(T − 1|0)] ∈ Rnv×T e a sequencia

de variaveis manipuladas sobre um horizonte de T passos de tempo calculada no tempo

t = 0; vk−10 e a sequencia vT−1

0 truncada nos primeiros k valores. x(k|t) e o estado do

sistema no tempo t+ k calculado a partir do estado inicial x0 com a sequencia de entrada

vk−10 ou seja x(k|t) , x(t + k, x0, v

k−10 ); δ(k), z(k), y(k) sao similarmente definidas. As

matrizes de ponderacao nas variaveis auxiliares δ e z permitem formular o problema de

otimizacao com uma funcao de custo definida positiva. Para uma aplicacao pratica no

entanto, os pesos Q1, Q2, Q5 sao mais importante, dado que determinam a compensacao

entre o esforco da acao de controle e a exatidao do seguimento a referencia.

Assumamos por momento que a solucao otima v∗t (k)k=0,...,T−1 existe. De acordo com

a filosofia de horizonte deslizante mencionada acima, estabelecemos que a acao de controle

sobre a planta sera:

u(t) = v∗t (0) (4.3)


e descartamos as subsequentes entradas otimas v∗t (1), . . . , v∗t (T − 1), enseguida repete-se

todo o procedimento de otimizacao no tempo t + 1. A lei de controle (4.1,4.2) e chamada

na literatura como lei de Controle Preditivo Mista Inteira (CPMI).

Varias formulacoes de controladores preditivos para sistemas MLD poderiam ser pro-

postos. Por exemplo, o numero de graus de liberdade do controle pode ser reduzido

a Nu < T impondo que u(k) ≡ u(Nu − 1), ∀k = Nu, . . . , T . No entanto, enquanto

em outros contextos isto reduz enormemente o tamanho do problema de otimizacao ao

custo geralmente de uma menor performance, aqui o ganho computacional e somente

parcial dado que durante todo T as variaveis δ(k) e z(k) permanecem na otimizacao.

Formulacoes de horizonte infinito sao improprias por razoes tanto praticas e teoricas. De

fato, aproximar o horizonte infinito com um T grande e computacionalmente proibitivo,

dado que o numero de variaveis 0, 1 envolvidas no problema de programacao mista

inteira quadratica (MIQP) depende linearmente de T .

Um resultado importante do ponto de vista teorico no que tem a ver com a estabilidade

do sistema resultante em malha fechada (sistema MLD + lei de controle CPBM) se mostra

no seguinte teorema:

Teorema 4.1 Seja (xe, ue, δe, ze) um ponto de equilıbrio. Suponha que o estado inicial

x(0) e tal que existe uma solucao factıvel do problema (4.1, 4.2) em t = 0. Entao ∀Q1 =

QT1 > 0, Q2 = QT

2 ≥ 0, Q3 = QT3 ≥ 0, Q4 = QT

4 ≥ 0, e , Q5 = QT5 ≥ 0, a lei MIPC (4.1,

4.2) estabiliza o sistema, que equivale a:

limt→∞

x(t) = xe

limt→∞

u(t) = ue

limt→∞

‖δ(t)− δe‖Q2 = 0

limt→∞

‖z(t)− ze‖Q3 = 0

limt→∞

‖y(t)− ye‖Q5 = 0

Verificando as restricoes (3.26).

Prova (Bemporad e Morari 1999)

Comentario 4.1 O teorema anterior tem pouca aplicacao pratica, pois ele se baseia sobre


a hipotese da existencia da solucao, coisa que e impossıvel conhecer a priori. A restricao

imposta ao problema de otimizacao: x(T |t) = xe, pode fazer o problema infactıvel e por

tanto sem solucao.

Definamos o vetor ν(k) como:

ν(k|t) =

v(k)

δ(k|t)z(k|t)

(4.4)

Usando a definicao (4.4), a funcao custo (4.1) pode ser expressa como:

minνT−10

J(νT−10 , x0) ,

T−1∑

k=0

‖ν(k|t)− νe‖2Qν

+ ‖x(k|t)− xe‖2Q4

+ ‖y(k|t)− ye‖2Q5

(4.5)

onde:

Qν =

Q1 0 0

0 Q2 0

0 0 Q3

(4.6)

Expressando a equacao (4.5) na forma matricial, temos que:

minV

J(V ) , ‖V − Ve‖2Qν

+ ‖X −Xe‖2Q4

+ ‖Y − Ye‖2Q5

(4.7)

onde:

V =

ν(0)...

ν(T − 1)

, e o vetor a ser calculado pelo algoritmo do otimizacao.

X =

x(1)...

x(T )

, e o vetor composto pelos vetores de estado preditos nos instantes de

tempo: k = 1 . . . T − 1.

Y =

y(1)...

y(T )

, e o vetor composto pelos vetores saıda preditos nos instantes de tempo:

k = 1 . . . T − 1.


Ve, Xe e Ye, sao similarmente definidos a partir de: νe = [ve, δe, ze]T , xe e ye respecti-

vamente.

A relacao entre V e X pode obter-se desenvolvendo a equacao (3.24) tendo em conta

a definicao (4.4):

x(k + 1) = Ax(k) + Bν(k) (4.8)

onde:

B =

B1 0 0

0 B2 0

0 0 B3

(4.9)

por tanto:

x(1) = Ax(0) + Bν(0)

x(2) = Ax(1) + Bν(1) = A2x(0) + ABν(0) + Bν(1)... =

...

x(T ) = AT x(0) + AT−1Bν(0) + . . . + Bν(T − 1)

Em forma matricial:

x(1)

x(2)...

x(T )

=

A

A2

...

AT

x(0) +

B 0 0 0

AB B 0 0...

.... . .

...

AT−1 · · · AB B

ν(0)

ν(1)...

ν(T − 1)

(4.10)

Definindo:

Λ =

A

A2

...

AT

e Φ =

B 0 0 0

AB B 0 0...

.... . .

...

AT−1 · · · AB B

(4.11)

temos entao que:

X = Λx(0) + ΦV (4.12)

Fazendo o mesmo para achar a relacao entre V e Y :

y(k) = Cx(k) (4.13)


por tanto:

y(1) = Cx(1) = C(Ax(0) + Bν(0)) = CAx(0) + CBν(0)

y(2) = CA2x(0) + CABν(0) + CBν(1)... =

...

y(T ) = CAT x(0) + CAT−1Bν(0) + . . . + CBν(T − 1)

Em forma matricial:

y(1)

y(2)...

y(T )

=

CA

CA2

...

CAT

x(0) +

CB 0 0 0

CAB CB 0 0...

.... . .

...

CAT−1B · · · CAB CB

ν(0)

ν(1)...

ν(T − 1)

(4.14)

Definindo:

Ω =

CA

CA2

...

CAT

e Ψ =

CB 0 0 0

CAB CB 0 0...

.... . .

...

CAT−1B · · · CAB CB

(4.15)

temos entao que:

Y = Ωx(0) + ΨV (4.16)

Desenvolvendo a equacao (4.7) tendo em conta as equacoes (4.12) e (4.16), chegamos

a seguinte expressao:

minV

J(V ) , 1

2V T HV + cT V + f (4.17)

que e a forma classica como se apresenta a funcao custo em problemas quadraticos mistos

inteiros (Mixed Integer Quadratic Program - MIQP), onde:

H = 2[ΨT Q5Ψ + ΦT Q4Φ + Qν

](4.18)

cT = 2[(Ωx(0)− Ye)

T Q5Ψ + (Λx(0)−Xe)T Q4Φ− V T

e Qν

](4.19)

f = (Ωx(0)− Ye)T Q5(Ωx(0)− Ye) + (Λx(0)−Xe)

T Q4(Λx(0)−Xe) (4.20)

+V Te QνVe (4.21)


O mesmo desenvolvimento podemos fazer com as restricoes do problema MIQP (4.1,

4.2). Como ja foi dito, por questoes praticas a primeira restricao de (4.2): x(T |t) = xe

sera suprimida pois pode fazer o problema infactıvel, a segunda e terceira restricoes sao de

igualdade, e ja foram tidas em conta na solucao do problema atraves do desenvolvimento

anterior, onde sao introduzidas na funcao custo (4.1). Por tanto fica so o desenvolvimento

da desigualdade:

E2δ(k|t) + E3z(k|t) ≤ E1v(k) + E4x(k|t) + E5 (4.22)

a qual podemos por na seguinte forma:

− E4x(k|t) + Eνν(k) ≤ E5 (4.23)

onde:

Eν =

−E1 0 0

0 E2 0

0 0 E3

(4.24)

−E4x(0) + Eνν(0) ≤ E5

−E4x(1) + Eνν(1) = −E4Ax(0)− E4Bν(0) + Eνν(1) ≤ E5

... ≤ ...

−E4AT−1x(0)− E4A

T−2Bν(0)− . . .− E4Bν(T − 2) + Eνν(T − 1) ≤ E5

Em forma matricial:

−

E4

E4A...

E4AT−1

x(0) +

Eν 0 0 0

−E4B Eν 0 0...

.... . .

...

−E4AT−2B · · · −E4B Eν

ν(0)

ν(1)...

ν(T − 1)

(4.25)

Definindo:

Ξ = −

E4

E4A...

E4AT−1

e Γ =

Eν 0 0 0

−E4B Eν 0 0...

.... . .

...

−E4AT−2B · · · −E4B Eν

(4.26)


temos entao que:

Ξx(0) + ΓV ≤ U (4.27)

onde: U e uma matriz composta por T matrices E5 na forma: U = [E5 . . . E5]T

Com todo o desenvolvimento anterior obtemos a seguinte expressao do problema MIQP

(4.1-4.2):

minV

J(V ) , 1

2V T HV + cT V + f (4.28)

sujeito a :

Ξx(0) + ΓV ≤ U (4.29)

Passando as matrices e vetores: H, cT , f , Ξ, Γ e U a algum algoritmo de otimizacao

MIQP, se existir a solucao o algoritmo resolvera o problema dando como resultado um

certo V ∗, do qual tomaremos somente o primeiro elemento para aplicar na planta de

acordo com a filosofia do CPBM.

Comentario 4.2 Apesar do fato que existem metodos muito eficientes para calcular a

solucao otima (global) do problema MIQP (4.28-4.29), no pior caso o tempo de solucao

depende exponencialmente do numero de variaveis inteiras. Em princıpio, isto talvez

limite o alcance de aplicacao deste metodo somente a sistemas muito lentos, desde que

para a implementacao em tempo-real o perıodo de amostragem deve ser suficientemente

grande para permitir o calculo do pior caso. No entanto, a prova do teorema anterior nao

exige que a sequencias de controle avaliada U∗t ∞t=0, (U∗t denota a sequencia otima de

controle ou seja: v∗t (0), . . . , v∗t (T − 1)), seja o otimo global. De fato, somente se requer

que:

J(U∗t+1, x(t + 1)) ≤ J(U∗1 , x(t + 1)) (4.30)

A sequencia U1 esta disponıvel do calculo previo (realizado no tempo t), e pode ser us-

ada para iniciar o algoritmo MIQP em t+1. A otimizacao entao pode ser interrompida em

qualquer passo intermediario para obter a solucao suboptima U∗t+1 que satisfaz (4.30). Por

exemplo, quando e usado o metodo Branch and Bound para resolver o problema MIQP,

a nova sequencia de controle U∗t pode ser selecionada como a solucao do subproblema QP

que e factıvel inteiro e tem o valor mais baixo. Obviamente neste caso o desempenho de

seguimento se ve deteriorado, pois nao estamos aplicando na planta a solucao otima do

problema MIQP.


4.2.1 Problema de seguimento

Para problemas de seguimento, o objetivo e que a saıda y(t) siga uma trajetoria de

referencia r(t). Para cada passo de tempo t, os valores de ye, xe, ue, δe, e ze, da equacao

(4.1) correspondendo a r(t) podem ser calculados resolvendo o seguinte problema MIQP:

minxe,ue,δe,ze

‖ye − r(t)‖2Q5

+ ρ(‖xe‖2 + ‖ue‖2 + ‖δe‖2 + ‖ze‖2) (4.31)

s.a.

xe = Axe + B1ue + B2δe + B3ze

E2δe + E3ze ≤ E1ue + E4xe + E5 (4.32)

onde ye = Cxe + D1ue + D2δe + D3ze. O parametro ρ > 0 e qualquer numero positivo

(pequeno) e e necessario para assegurar a convexidade estrita do valor da funcao (4.31).

Este procedimento permite definir un ponto estacionario ye o mais proximo possıvel a r(t)

compatıvel com as restricoes.

4.2.2 Algoritmos MIQP

Nesta secao mencionaremos alguns dos algoritmos existentes para resolver problemas

de Programacao Matematica Mista Inteira.

Nao e o objetivo deste trabalho realizar um aprofundamento teorico de cada algoritmo

em particular, somente quer-se mostrar as ferramentas existentes, quando melhor sua

aplicacao, e suas vantagens frente as outras.

Com a excecao de estruturas particulares, problemas de programacao mista inteira

envolvendo variaveis 0, 1 sao classificados como NP−completos, o que significa que

no pior caso, o tempo de solucao cresce exponencialmente com o tamanho do problema

(Raman e Grossmann 1991). Apesar desta natureza combinatoria, varios enfoques al-

goritmicos foram propostos e foram aplicadas com exito a problemas de meio e grande

tamanho (Floudas 1995), os quatro mais importantes sao:

Metodo dos Planos de Corte , onde uma nova restricao (ou “corte”) sao gerados e

adicionadas para reduzir o domınio factıvel ate que uma solucao 0, 1 otima seja

achada.

Metodo de Decomposicao , onde a estrutura matematica dos modelos e explorado via


particao de variaveis, dualidade, e metodos de relaxacao.

Metodos Logicos , onde restricoes disjuntivas ou tecnicas simbolicas de inferencia sao

utilizadas as quais podem ser expressadas em termos de variaveis binarias.

Metodo de Ramificacao e Corte (Branch and Bound) , onde as combinacoes

0, 1 sao exploradas a traves de uma arvore binaria, a regiao factıvel e particionada

em sub-domınios sistematicamente, e limites inferiores e superiores validos sao ger-

ados em diferentes nıveis da arvore binaria.

Varios autores concordam no fato que os metodos de Branch and Bound sao os melhor

sucedidos para resolver problems de programacao mista inteira. Fletcher e Leyffer (1995)

mostra um estudo numerico que compara diferentes enfoques, e o metodo Branch and

Bound mostrou ser superior em ordem de magnitude.

O algoritmo Branch and Bound consiste em resolver e gerar novos problemas QP a

traves de uma arvore de procura, onde os nos da arvore correspondem a sub-problemas QP.

A ramificacao e obtida gerando nos-filhos de nos-pais de acordo com regras de ramificacao,

que podem ser baseadas, por exemplo, em prioridades especificadas previamente sobre as

variaveis inteiras, ou na quantia que as restricoes de integralidade sao transgredidas. Os

nos sao marcados como pendente, se o problema correspondente QP nao foi resolvido, se

o no ja foi plenamente explorado e marcado como explorado. O algoritmo para quando

todos os nos foram explorados. O exito do algoritmo Branch and Bound baseia-se no

fato que sub-arvores inteiras podem ser excluıdas da exploracao. Isto acontece se o sub-

problema correspondente QP e infactivel ou uma solucao inteira e achada. No segundo

caso, o valor correspondente da funcao de custo serve como limite superior na solucao

ideal do problema MIQP, e e usado para explorar outros nos tendo valor otimo maior ou

limite inferior.

4.2.3 Controle Preditivo Misto Inteiro do CBB

Esta secao apresenta o estudo do CPMI para o CBB analisado nos capıtulos anteriores.

O objetivo deste exemplo e apresentar diversos problemas relacionados com a definicao

da estrategia, o projeto do controlador, a otimizacao, a estabilidade e as limitacoes rela-

cionadas com a propria estrutura do problema. Mostraremos que, a pesar de que o CBB

e um sistema de baixa ordem, o projeto do CPMI apresenta varios desafios, varios destes


considerados temas abertos na pesquisa de controle preditivo hıbrido. Assim, o exemplo

e um elemento motivador dos estudos que serao realizados nesta tese.

O primeiro passo para projetar um CPMI e formular um modelo do processo para

poder realizar o calculo das predicoes. Neste estudo de caso este primeiro passo ja foi

dado no capıtulo 3 onde o modelo MLD do CBB foi obtido:

[i+Lv+

C

]=

[1 Ts

L

−Ts

C1− Ts

RC

][iL

vC

]+

[TsVCC

L

0

]q +

[0 −Ts

LTs

C0

] [z1

z2

](4.33)

−MI

mI

−mI

MI

−MV

mV

−mV

MV

q +

1 0

−1 0

1 0

−1 0

0 1

0 −1

0 1

0 −1

[z1

z2

]≤

0 0

0 0

1 0

−1 0

0 0

0 0

0 1

0 −1

[x1

x2

]+

0

0

−mI

MI

0

0

−mV

MV

(4.34)

O segundo passo no projeto do CPMI e a escolha da funcao custo a ser minimizada.

Como o objetivo de controle e que o CBB siga referencias de tensao constantes num

intervalo entre [12V, 100V ], poderıamos considerar, em principio, a seguinte funcao de

custo:

J(νT−10 , x0) ,

T−1∑

k=0

‖y(k|t)− ye‖2Q5

(4.35)

onde foi excluıdo o termo ‖ν(k|t)− νe‖2Qν

pois como o sinal de controle e do tipo binario

0, 1, nao tem sentido falar sobre a ponderacao do sinal de controle. Em sistemas

contınuos o parametro Qν e escolhido de foram tal de evitar a saturacao do atuador

ou acoes de controle muito fortes, mas para sistema hıbrido onde o sinal de controle e so-

mente binario nao tem sentido falar sobre saturacao ou acoes de controle fortes, o controle

e 1 ou 0.

Definida a funcao custo, surge o primeiro problema de aplicacao direta da metodologia

tradicional de CPMI visto nas secoes anteriores. ¿Como definir ye quando o sistema possui

sinal de control puramente binario?. Si escolhemos ye em cada perıodo de amostragem

como mostrado na secao 4.2.1, entao em estado estacionario o sinal de controle poderia

tomar o valor 0, e por tanto a corrente no inductor assim como a tensao no capacitor


iriam para 0, ou o valor 1 e entao a corrente pelo inductor iria para infinito (caso ideal) e

a tensao no capacitor para 0. Em regime permanente, o valor do sinal de controle achado

se repetiria indefinidamente de acordo com a filosofia do CPBM. Ou seja qualquer que

seja o valor de referencia que colocarmos no problema (4.31) a tensao de saıda do CBB

em estado estacionario iria para 0.

A solucao achada foi colocar diretamente o valor da referencia que deseja-se alcancar

em vez de ye na funcao custo:

J(νT−10 , x0) ,

T−1∑

k=0

‖y(k|t)− r(k)‖2Q5

(4.36)

onde r(k) e o valor da referencia conhecida no instante de tempo t + k. Isto faz, como

veremos nos resultados de simulacao a seguir, que em estado estacionario se repita uma

sequencia de 0 e 1 no sinal de controle e nao mais um unico valor (0 ou 1). Por tanto

o sinal de controle sera periodico e de perıodo desconhecido. Como o sinal de controle

e periodico tambem o sinal de saıda sera um sinal periodico com valor medio o valor da

referencia, pelo menos isso e o que se esperaria.

O termo ‖x(k|t) − xe‖2Q4

tambem foi omitido, dado que o unico objetivo de controle

que interessa em principio, e que a saıda y(t) do CBB siga uma referencia constante r(t).

Escolhendo um horizonte de predicao T = 3, frequencia de amostragem fs = 150kHz

e o valor da referencia r(t) = 12V , obtemos a resposta em malha fechada mostrada na

Figura 4.1. Ampliando a Figura na regiao do estado estacionario, (Figura 4.2), e possıvel

observar o comportamento periodico do sinal de saıda causado pela natureza binaria do

sinal de controle.

Se aumentarmos a frequencia de amostragem para fs = 200kHz, podemos observar

da Figura 4.3 que o sistema em malha fechada perde a estabilidade. Esta e outra pecu-

liaridade que apresenta o sistema por ter um controle do tipo binario.

Em Pomar (2005) foi projetada uma lei de controle preditivo para o mesmo CBB visto

neste estudo de caso com a mesma funcao de custo (equacao (4.36)), mas usou-se o modelo

medio do CBB, por tanto a lei obtida era contınua. O sinal de controle u(t) era um numero

real pertencente ao intervalo [0, 1]. A pesar do sistema possuir um modo instavel (quando

a posicao da chave estiver fechada, q = 1), a lei de controle contınua permitia estabilizar o

sistema qualquer que fosse o perıodo de amostragem escolhido adequadamente. Isto nao

acontece no caso do CPMI, devido novamente a natureza binaria da lei de controle.


0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−3

0

5

10

15

tempo(s)

v O(V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−3

0

0.5

tempo(s)

i L(A)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−3

0

0.5

1

tempo(s)

Con

trol

e

vO

vref

Figura 4.1: Resposta do sistema em malha fechada: CBB + CPMI

Utilizando a seguinte funcao de custo, podemos resolver o problema da estabilidade:

minνT−10

J(νT−10 , x0) ,

T−1∑

k=0

‖x(k|t)− rx(k)‖2Q4

(4.37)

onde rx(k) e o valor da referencia conhecida para os estados do sistema no instante de

tempo t + k. A Figura 4.4 mostra a resposta do sistema em malha fechada para uma

frequencia de amostragem fs = 200kHz, T = 3 e com a funcao custo (4.37).

Esta nova estrategia considera na otimizacao tanto a corrente como a tensao e por isso

evita que o controle da corrente seja perdido por causa da natureza hıbrida do sinal de

controle.

Quando fecha-se a chave, q = 1, o inductor armazena energia, e o capacitor descarrega-

se atraves da carga R, a tensao de saıda diminui; ao abrir-se a chave, q = 0, entao o

inductor entrega parte da energia armazenada, carregando o capacitor C, a tensao de

saıda aumenta. Ocorre, se nao considerarmos a corrente na estrategia de controle, que

dado um certo conjunto de valores dos parametros L, C, R e Ts, que o inductor pode

carregar-se tanto (nao a controle de corrente), que o controlador pode preferir manter a


9 9.2 9.4 9.6 9.8 10

x 10−3

11.88

11.9

11.92

11.94

11.96

11.98

12

12.02

12.04

12.06

tempo(s)

v O(V

)

Figura 4.2: Resposta do sistema em estado estacionario.

chave fechada e que a tensao de saıda diminua, que abrir a chave e carregar o capacitor

com uma tensao muito alta, (a tensao de saıda aumentaria mais colocando q = 1 do que

diminuiria colocando q = 0). Mas isto provoca que o inductor siga carregando-se e assim

sucessivamente. O sistema torna-se instavel.

Se tratarmos de seguir uma referencia constante de 100V na saıda, com um horizonte

de predicao T = 3, frequencia de amostragem fs = 50kHz, e usando a funcao custo

(4.37), observamos que o sistema no consegue alcancar em regime permanente o valor

de referencia, (Figura 4.5), aumentando-se o horizonte de predicao T o valor do erro em

regime permanente diminui, mas como ja foi colocado nas secoes anteriores isto aumenta

significativamente a complexidade computacional do problema. A Figura 4.5 mostra

diferentes respostas do sistema em malha fechada para diferentes valores do horizonte de

predicao.

O estudo de caso apresentado nesta secao deixa uma serie de questionamentos e prob-

lemas em aberto que serao estudados ao longo da tese. Um sistema hıbrido pode apresen-

tar sinais de controle contınuos unicamente, contınuos e discretos ou puramente discretos

como o caso do CBB. As propriedades de controlabilidade, observabilidade e estabilidade

nao estao definidas de forma geral para qualquer tipo de sistema hıbrido, e como ja vimos


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

5

10

15

tempo(s)

v O

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

50

100

tempo(s)

i L(A)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

0.5

1

tempo(s)

cont

role

vO

vref

Figura 4.3: Resposta do sistema para fs = 200kHz.

no capitulo anterior e uma questao teorica em aberto. Assim surgem questoes como: dado

um conjunto de possıveis condicoes iniciais para o sistema hıbrido, ¿existe alguma lei de

controle que permita atingir um valor de referencia desejado em regime permanente?. No

caso do CPMI, qual e a relacao entre o valor do horizonte de predicao T e o erro em

regime permanente. Que T seria necessario, por exemplo, no caso do CBB para alcancar

uma tensao de referencia de 100V . Se existir ese valor de horizonte de predicao T e ele

for um valor muito grande, ¿nao haveria uma forma, atraves de uma penalizacao terminal

ou restricao terminal no CPMI, de alcancar ese valor de referencia com um T menor?.

Da mesma forma, ¿como poderia-se garantir a estabilidade do sistema em malha fechada

com uma lei do tipo CPMI?.

4.3 Conclusoes

Neste capıtulo foram desenvolvidos aspectos teoricos e praticos do CPMI, e ficaram

explicitadas algumas questoes em aberto, que serao objeto de estudo desta tese.

A importancia fundamental do CPMI reside em que, como o contexto MLD permite


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

5

10

15

tempo(s)

v O(V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

0.2

0.4

tempo(s)

i L(A)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

0.5

1

tempo(s)

cont

role

vref

vO

Figura 4.4: Resposta do sistema para fs = 200kHz, N = 3 e funcao de custo (4.37).

a modelagem de uma grande quantidade de processos hıbridos e interessante do ponto de

vista pratico e teorico saber como projetar uma lei de controle preditivo nesse contexto.

O CPMI e similar ao ja conhecido CPBM classico, mas devido a presenca de variaveis

inteiras, o procedimento de otimizacao e um problema de Programacao Mista Inteira.

Todo modelo MLD tem um equivalente PWA e viceversa. Se bem como ja foi dito o

contexto MLD permite a modelagem de uma grande quantidade de processos hıbridos,

propriedades como controlabilidade, observabilidade e estabilidade se estudam melhor no

contexto PWA. Por tanto o passo a seguir desta tese e o estudo destas propriedades no

contexto PWA assim como tecnicas de controle preditivo.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

50

100

tempo(s)

v O(V

)

T=3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

50

100

tempo(s)

v O(V

)

T=6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

50

100

tempo(s)

v O(V

)

T=9

vO

vref

vO

vref

vO

vref

Figura 4.5: Resposta do sistema para fs = 50kHz, T = 3, T = 6 e T = 9.

Capıtulo 5

Conclusoes e Cronograma

5.1 Conclusoes

O trabalho final da tese, sera orientado principalmente ao projeto integrado de controle

e sistemas hıbridos em particular a conversores de potencia com aplicacao a Industria do

Petroleo. Com este fim nesta etapa previa iniciou-se o estudo teorico da metodologia de

projeto integrado para processos, e aplicou-se os conhecimentos adquiridos a un conversor

de potencia DC-DC, o conversor Buck-Boost. Tambem estudou-se diferentes formas de

modelagem de sistemas hıbridos, em particular desenvolveu-se o contexto MLD de mod-

elagem por ser este um marco que permite a modelagem de uma grande quantidade de

processos hıbridos. Tambem mostrou-se neste trabalho previo como projetar uma lei de

controle preditivo no contexto MLD. Para exemplificar a tecnica de modelado MLD de

um sistema hıbrido forma realizado dois estudos de caso: (i) Sistema de Controle de Tem-

peratura, (ii) Conversor Buck-Boost. Para exemplificar a metodologia do projeto da lei

de controle CPMI, projetou-se um controlador CPMI para o CBB. Ficaram uma serie de

questoes em aberto a ser investigadas na tese. Sera tambem objetivo de investigacao desta

tese o estudo e a aplicacao de diferentes tecnicas de projeto de controladores preditivo no

contexto de modelagem PWA.

Finalmente e como objetivo principal desta tese realizara-se o projeto integrado de

um conversor de potencia HVDC e a sua lei de controle preditivo. Os conversores HVDC

sao uma nova alternativa para alimentacao energetica de plataformas de extracao de gas

em alto mar, e oferecem uma serie de benefıcios em comparacao aos geradores a turbinas

a gas usados tradicionalmente nas plataformas. A tecnologia HVDC e uma alterna-

Conclusoes e Cronograma 114

tiva ambiental amigavel, mais eficiente, e mais segura, este tipo de solucoes demanda

muito menos mantenimento y pode ser controlado desde o continente o que faz necessario

muito menos pessoal capacitado na plataforma, em muitos casos e possıvel mostrar os

benefıcios economicos de fornecer energia desde o continente que usando o gas produzido

na plataforma.

As principais contribuicoes preliminares sao:

1. O projeto integrado do processo e do controle e uma tecnica aplicada fundamental-

mente no ambito de processos. Uma contribuicao preliminar deste trabalho foi a

aplicacao desta tecnica no ambito da eletronica de potencia.

2. A aplicacao das tecnicas de projeto integrado a sistema hıbridos tambem e outra

contribuicao deste trabalho preliminar.

3. Tambem a aplicacao do contexto MLD de modelado a conversores de potencia as-

sim como o projeto da lei de controle MIPC e uma contribuicao preliminar deste

trabalho.

5.2 Cronograma

Atividades ja realizadas:

• (A) Realizacao dos creditos em disciplinas.

• (B) Revisao bibliografica sobre projeto integrado de processos e controle.

• (C) Revisao bibliografica sobre modelado de sistemas hıbrido e controle preditivo

de sistemas no contexto MLD.

• (D) Realizacao de estudo de caso: Conversor Buck-Boost.

Atividades a serem realizadas:

• (E) Estudo das propriedades de controlabilidade e estabilidade para sistema hıbridos

no contexto PWA. Tratara-se de achar respostas as questoes abertas quando

projetou-se a lei de controle CPMI ao CBB.


• (F) Estudo de tecnicas de controle preditivo no contexto PWA.

• (G) Extensao das tecnicas de projeto integrado e controle a sistemas hıbridos, tendo

em conta propriedades de controlabilidade e estabilidade especifica para este tipo

de sistemas.

• (H) Realizacao do estudo se caso: Projeto Integrado de um conversor HVDC e uma

lei preditiva hıbrida.

• (I) Defesa da Tese de Doutorado.

Foi realizado um estagio no exterior como parte do curso de Doutorado, no Departa-

mento de Ingenierıa de Sistemas da Universidad de Valladolid, Espanha.

As atividades realizadas no estagio de doutorado realizado no exterior foram:

• (B)

• (C)

• (D) Comecou-se o estudo de caso.

Atividades a serem realizadas no Brasil:

• (A)

• (D) Finalizacao do estudo de caso.

• (E)

• (F)

• (G)

• (H)

• (I) Defesa da Tese de doutorado.


Figura 5.1: Cronograma.

Apendice A

Indices de Controlabilidade para

sistemas SISO

A.1 Indices de performance no domınio do tempo

• tempo de subida (tr), tempo que leva o sinal de saıda para alcancar 90% do seu

valor final. Usualmente requer-se que este tempo seja pequeno.

• tempo de 5% ou tempo de assentamento (ts), tempo depois da qual o sinal de saıda

mantem-se em ±5% do seu valor final. Usualmente requer-se que este tempo seja

pequeno.

• Sobre-sinal, valor de pico do sinal de saıda dividido pelo valor final. Tipicamente

este valor deve ser 1, 2 (20%) ou menor.

• Fator de reducao, o quociente entre o segundo e o primeiro pico do sinal de saıda.

Tipicamente este valor deve ser 0, 3 ou menor.

• Erro em estado estacionario, a diferenca entre o valor final da saıda e o valor final

desejado. Usualmente requer-se que eta diferenca seja pequena ou nula.

Os indices que caracterizam a resposta do sistema no domınio do tempo podem ver-se

na Figura A.1.

Indices de Controlabilidade para sistemas SISO 118

0

0

0.9 0.951

1.05

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

A

B

Sobre−sinal = AFator de redução = B/A

tr t

s

Figura A.1: Caracterısticas da resposta em malha fechada a um degrau na referencia.

A.2 Indices de performance no domınio da

frequencia

Margens de Fase e Ganho

A margem de ganho e definida como:

GM =1

|L(jw180)| (A.1)

onde w180 e a frequencia onde a curva L(jw) no plano complexo, corta o eixo real negativo

entre −1 e 0, isto e:

∠L(jw180) = −180o (A.2)

Se a mais de um corte o maior valor de |L(jw180)| e considerado. O MG e o fator em que

|L(jw)| pode aumentar antes de que o sistema em malha fechada se torne instavel.

O MG e diretamente uma salvaguarda contra a incerteza do ganho em estado esta-

cionario (erro). Tipicamente requer-se que MG > 2. Se o grafico de (L) corta o eixo real


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

w = +∞1 −

1

GM

L(jw180)

PM

L(jwc)L(jw)

Figura A.2: Grafico de L(jw) par uma planta estavel.

negativo entre −1 e −∞ entao um margem de reducao de ganho pode ser similarmente

definido tomando o menor valor do corte de |L(jw180)| no eixo real.

A margem de fase e definida como:

PM = ∠L(jwc) + 180o (A.3)

onde wc e a frequencia onde:

|L(jw)| = 1 (A.4)

A PM nos proporciona o valor da fase negativa que podemos adicionar a L(s) na frequencia

wc antes que a fase a essa frequencia seja −180o o que corresponde a um sistema instavel

em malha fechada. Tipicamente requer-se que o PM seja maior que 30o. A PM e di-

retamente uma salvaguarda contra a incerteza no tempo de retardo ou tempo morto do

sistema.


Maximo Pico

O pico maximo da funcao de sensibilidade e sensibilidade complementaria sao definidos

como:

MS = maxw|S(jw)|; MT = max

w|T (jw)| (A.5)

(Note que MS = ‖S(jw)‖∞ e MT = ‖T (jw)‖∞ em termos da norma H∞). Tipicamente

requer-se que MS < 2(6dB) e MT < 1, 25(2dB). Um valor grande de MS ou MT (maior

que 4) indica uma pobre performance do sistema assim como uma pobre robustez. Dado

que S + T = 1 entao para qualquer frequencia

||S| − |T || ≤ |S + T | = 1

e por tanto MS e MT diferem como maximo em 1. Um valor grande de MS por tanto

ocorre se e somente se MT e grande. O limite superior de MT e uma especificacao classica

no projeto de controladores.

Vamos dar agora uma justificativa de por que delimitar o valor de MS. Sem controle

(u = 0), temos que e = y − r = Gdd− r, e com controle por realimentacao e = S(Gdd−r). Por tanto o controle por realimentacao melhora a performance reduzindo |e| para

toda a frequencia onde |S| < 1. Usualmente, |S| e pequeno a baixas frequencias, por

exemplo, |S(0)| = 0 para sistemas com acao integral. Mas como todos os sistemas reais

sao estritamente proprios, temos que a altas frequencias L → 0 ou equivalentemente

S → 1. Nas frequencias intermedias nao e possıvel evitar na pratica valores de pico,

MS, maiores que 1. Entao ha uma regiao de frequencias intermedias onde o controle por

realimentacao degrada a performance, e o valor de MS e uma medida do pior caso desta

degradacao. Podemos ver MS como uma medida de robustez. Para manter a estabilidade

em malha fechada o numero de vezes que L(jw) rodeia o ponto crıtico −1 nao deve mudar,

por tanto desejamos que L se mantenha longe deste ponto. A menor distancia entre L(jw)

e o ponto −1 e M−1S , e por tanto para a robustez, um pequeno valor de MS, e melhor. Em

resumo tanto como para a estabilidade como para a robustez e desejavel que MS esteja

perto de 1.

O pico maximo e os margens de ganho e fase estao relacionados. Especificamente,

para um MS dado, podemos garantir que:

GM ≥ MS

MS − 1; PM ≥ 2 arcsin

(1

2MS

)≥ 1

MS

[rad] (A.6)


Por exemplo, com MS = 2 garantimos que GM ≥ 2 e PM ≥ 29.0o. Similarmente para

um valor dado de MT podemos garantir que:

GM ≥ 1 +1

MT

; PM ≥ 2 arcsin

(1

2MT

)>

1

MT

[rad] (A.7)

e por tanto com MT = 2 temos que GM ≥ 1.5 e PM ≥ 29.0o

Prova (Skogestad e Postlethwaite 1997)

Em conclusao vemos que as especificacoes de maximo pico de |S(jw)| ou |T (jw)| (MS

ou MT ), podem facer as especificacoes nos margens de ganho e fase nao necessarias. Por

exemplo exigindo que MS < 2 implica na comum regra geral GM > 2 e PM > 30o.

Tambem existe uma correlacao entre os picos no domınio da frequencia e do tempo, o

leitor interessado pode leer sobre este topico em (Skogestad e Postlethwaite 1997).

Largura de Banda e Frequencia de Corte

O conceito de largura de banda e muito importante para entender os benefıcios e o

compromisso performance-robustez do controle por realimentacao. Acima analisamos os

picos da funcao de transferencia em malha fechada, os quais estao relacionados com a

qualidade da resposta do sistema. No entanto, para a performance devemos considerar a

velocidade da resposta e isto conduz a considerar a largura de banda do sistema. Em geral

uma grande largura de banda corresponde a um sistema com tr pequeno, dado que sinais

de alta frequencia passam mais facilmente na saıda. Mas tambem indicam um sistema

mais sensıvel aos ruıdos e as variacoes nos parametros. Se o sistema tiver uma largura de

banda pequena entao ele sera em geral mais lento mas mais robusto.

Definicao A.1 A largura de banda (em malha fechada) wB, e a frequencia onde |S(jw)|cruza para abaixo por primeira vez 1√

2= 0.707(≈ −3dB).

Uma definicao alternativa, tradicionalmente usada para definir largura de banda m

sistemas de controle e a seguinte: A largura de banda em termos de T , wBT , e a maior

frequencia onde |T (jw)| cruza para cima 1√2

= 0.707(≈ −3dB).

Definicao A.2 A frequencia de corte wc, e definida como a frequencia onde |L(jwc)|cruza por cima por 1 pela primeira ves.


Possui a vantagem de ser facil de calcular, e usualmente da um valor entre wB e wBT

Especificamente para sistemas com PM < 90o temos que:

wB < wc < wBT (A.8)

wB (a qual e definida em termos de |S|) e wc (em termos de |L|) sao bons indicadores de

performance em malha fechada, no entanto wBT (em termos de |T |) pode ser ora erroneos

em alguns casos. O motivo e que desejamos um T ≈ 1 para ter uma boa performance, e

nao e suficiente que |T | ≈ 1, devemos considerar a fase. Por outro lado, para uma boa

performance desejamos que S esteja perto de zero, e este sera o caso se |S| ≈ 0 sem ter

em conta a fase de S.

Apendice B

Escalamento

Quando se precisa utilizar tecnicas de analise e controle baseadas em indices de

otimizacao que ponderam diversas variaveis do sistema com magnitudes diferentes, o

escalamento e muito importante. O escalamento faz as tarefas de analise do modelo e

projeto do controlador muito mais faceis. A tarefa de escalamento requer que o engen-

heiro crie certos criterios no comeco do processo do projeto sobre os requerimentos de

performance do sistema. Para fazer isso devem ser tomadas decisoes sobre a magnitude

esperada das perturbacoes e mudancas na referencia, as magnitudes permitidas para cada

sinal de entrada, e as magnitudes permitidas para a desviacao dos sinais de saıda.

Seja o modelo linear incremental nao escalado:

y = Gu + Gdd; e = y − r (B.1)

onde () e usado para descrever as variaveis nao escaladas. A ideia do escalamento e

fazer as variaveis menores que 1 em magnitude. Isto e feito dividindo cada variavel por

seu maior valor esperado ou mudanca permitida. Para as perturbacoes e as variaveis de

entrada, usamos as variaveis escaladas:

d =d

dmax

, u =u

umax

(B.2)

onde dmax e a variacao esperada maxima na perturbacao, e umax e a mudanca permitida

maxima da entrada.

As variaveis y, e e r tem as mesmas unidades, por tanto o mesmo fator de escalamento

Escalamento 124

pode ser aplicado a cada uma delas. Duas alternativas sao possıveis:

• emax maximo erro permitido.

• rmax maxima mudanca esperada no valor da referencia.

Como o maior objetivo do controle e minimizar o erro e, vamos usualmente escolher para

o escalamento emax, por tanto:

y =y

emax

, r =r

emax

, e =e

emax

(B.3)

Para formalizar o procedimento de escalamento se introduzem os fatores de escala-

mento:

De = emax, Du = umax, Dd = dmax, Dr = rmax (B.4)

Para sistemas de multiplas entradas e multiplas saıdas (MIMO) cada variavel dos

vetores d, r, u e e tem valores maximos diferentes, en dito caso Dd, Dr, Du e De se

transformam em matrices de escalamento diagonal.

As variaveis escaladas correspondentes, para usar com o proposito de controle, sao por

tanto:

d = D−1d d, u = D−1

u u, y = D−1e y, e = D−1

e e, r = D−1e r (B.5)

Substituindo (B.5) em (B.1) temos que:

Dey = GDuu + GdDdd; Dee = Dey −Der (B.6)

e introduzindo as funcoes de transferencia escaladas:

G = D−1e GDu, Gd = D−1

e GdDd (B.7)

chegamos no seguinte modelo em termos das variaveis escaladas:

y = Gu + Gdd, e = y − r (B.8)

Aqui u e d sao menores a 1 em magnitude. E util tambem em alguns casos introduzir a

referencia escalada r, menor que 1 em magnitude. Isto e feito dividindo a referencia pelo

Escalamento 125

valor da mudanca maxima esperada:

r =r

rmax

= D−1r r (B.9)

temos entao que:

r = Rr (B.10)

onde R , D−1e Dr = rmax

emax

O diagrama de blocos do sistema com as variaveis escaladas mostra-se na Figura B.1;

podemos agora expressar o objetivo de controle, para dito sistema, da seguinte forma:

em termos das variaveis escaladas |d(t)| ≤ 1 e r(t) ≤ 1, sera nosso objetivo de controle

manipular u, com |u(t)| ≤ 1, tal que |e(t)| = |y(t)− r(t)| ≤ 1 durante todo o tempo.

Figura B.1: Modelo em termos das variaveis escaladas.

Comentario B.1

• Muitas das interpretacoes dos indices de controlabilidade mostrados a seguir depen-

dem criticamente de um correto escalamento.

• Com o escalamento mostrado anteriormente, o pior comportamento do sistema e

analisado considerando a perturbacao d com magnitude 1, e a referencia r com

magnitude 1.

• O escalamento da saıda em (B.3) em termos do erro e usado quando se analisa

uma planta dada. No entanto se o objetivo e selecionar quais saıdas serao contro-

ladas, entao podemos escalar a saıda respeito de sua variacao esperada, (usualmente

similar a rmax).

Escalamento 126

• Se a variacao esperada ou permitida de uma variavel arredor de 0 e nao simetrica,

entao a maior variacao deve ser usada para dmax e a menor variacao para umax e

emax

Apendice C

Modelado Eficiente de Sistemas

MLD

A traducao de proposicoes logicas ou declaracoes mistas logicas/continuas em de-

sigualdades, vistas na secao 3.3.1, e um passo que determina criticamente o tamanho do

modelo MLD resultante em termos do numero de variaveis. E importante achar modelos

que tenham um numero pequeno de variaveis binarias, pois isto permite melhorar a ve-

locidade de resolucao dos problemas matematicos de otimizacao, necessarios para analise,

sıntese e supervisao de sistemas hıbridos. Nesta apendice propoe-se metodos eficiente-

mente para a traducao de proposicoes logicas em desigualdades diminuindo o numero de

variaveis auxiliares necessarias. Os metodos sao aplicaveis quando as proposicoes logicas

sao mais complexas que as mostradas na Tabela 3.2, envolvendo combinacoes arbitrarias

de operadores.

C.1 Logica Proposicional

Observacoes Gerais

Suponha que Xi e uma variavel booleana. A formula booleana F

F (X1, ..., Xn) (C.1)

Modelado Eficiente de Sistemas MLD 128

e uma combinacao arbitraria de vaiaveis Xi por meio de operadores logicos (.,∨,∧,⊕,←,→,↔). A formula booleana F e uma Forma Normal Conjuntiva (FNC) ou Produto de

Sumas, se e escrita na seguinte forma:

F =n∧

i=1

ψi (C.2)

onde

ψi =n∨

i=1

Xij (C.3)

A formula booleana ψi e chamada termos do produto ou maxterms, e Xij termos da suma.

E bem sabido que qualquer formula booleana pode ser transformada numa FNC, usando as

leis distributivas, negacao e De Morgan. A FNC e mınima si ela possui o mınimo numero

de maxterms e cada maxterms tem o numero mınimo de termos da suma. Esta definicao

de minimalidade vem do campo de desenho de circuitos logicos onde cada operador logico

da FNC e implementado usando uma comporta logica ou tendo entradas adicionais em

comportas com multi-entradas. Toda formula booleana pode ser reescrita como uma FNC

mınima (Kohavi 1978)

A formula booleana f e chamada de funcao booleana se, apos renomear os literais,

esta e usada para definir o literal Xn como funcao de (X1, ..., Xn−1):

Xn ↔ f(X1, ..., Xn−1) (C.4)

que tambem pode ser escrita como Xn = f(X1, ..., Xn−1), onde f e uma funcao booleana

arbitraria. De forma mais geral, podemos definir relacoes entre variaveis booleanas

X1, ..., Xn com uma relacao booleana:

F (X1, ..., Xn) = T (C.5)

onde F e uma formula booleana. Observar que cada funcao booleana e tambem uma

relacao booleana, mas u oposto nao e verdade. O problema de satisfazer uma relacao

booleana e o problema de determinar se existe uma designacao de F, T a seus literais tal

que a correspondente formula booleana seja avaliada como verdadeira. Uma designacao

verdadeira de uma formula booleana e chamada de ponto valido. A ideia de resolver

estes problemas de inferencias logicas com metodos de otimizacao conta con ferramentas

da area da programacao inteira (Chandru e Hooker 1999, Nemhauser e Wolsey 1988,

Schrijver 1986). Observar que:


• Cada funcao booleana tem exatamente 2n−1 pontos validos

• A formula booleana com exatamente 2n−1 pontos validos nao precisa ser uma funcao

booleana.

Associando variaveis binarias δi ∈ 0, 1 com cada variavel booleana Xi ∈ F, T, um

ponto valido da formula booleana pode ser descrito equivalentemente como um elemento

do conjunto 0, 1n ⊂ [0, 1]n. Por tanto o conjunto de todos os pontos validos de uma

formula booleana podem ser representados como o conjunto de vertices de um hipercubo

[0, 1]n, isto e como os vertices de um politopo em [0, 1]n. Vamos chamar PCH o politopo

determinado por todos os pontos validos da formula booleana F :

PCH(F ) , x ∈ [0, 1]n : x ∈ conv(todos os pontos validos de F ) (C.6)

Aqui, conv(Y ) denota o fecho convexo do conjunto de pontos Y .

Um politopo tem duas respresentacoes padroes: a representacao-V que especifica o

politopo por seus vertices e a representacao-H que especifica o politopo como a interseccao

de semi-espacos dados por desigualdades lineares (Zieger 1995). Um vertice, em que todos

os componentes sao inteiros, e chamado de vertice integral.

Os seguintes metodos sao uma generalizacao das regras mostradas na Tabela 3.2. A

meta e achar desigualdades lineares equivalentes para as relacoes booleanas arbitrarias

C.5. Vamos mostrar tres metodos com este fim: o metodo de substituicao, o metodo

analıtico, e o metodo geometrico.

Metodo de substituicao

Dado a relacao booleana C.5, este metodo consiste em reconhecer termos elementar lis-

tados na tabela 3.2 e substituirlos com variaveis booleanas adicionais. A ideia e facilmente

aplicavel ja que e baseado na aplicacao recursiva das regras basicas da tabela 3.2. No en-

tanto, a introducao de variaveis adicionais e uma desvantagem severa e e desnecessaria

como vamos mostrar com os proximos metodos.


Metodo analıtico ou metodo da FNC

O metodo analıtico consiste primeiro em converter C.4 ou C.5 na FNC, o que pode

ser realizado automaticamente usando um de varias tecnicas disponıvel, veja por exemplo

Miller (1965) e Sasao (1999). Consideremos a FNC da forma:

m∧j=1

∨

i∈Pj

Xi ∨∨

i∈Nj

Xi

(C.7)

Onde Pj denota o conjunto de ındices do literal que aparece em forma positiva no

j − th maxterm, e Nj denota o conjunto de ındices do literal que aparece em forma

negada no j − th maxterm. A FNC indica que todos os maxterms devem ser verdadeiros

para que a formula booleana seja verdadeira. Quando impomos um conjunto de restricoes

num problema de otimizacao exigimos tambem que os pontos validos satisfacam todas

as desigualdades simultaneamente. Para cada maxterms podemos portanto deduzir uma

desigualdade inteira. Observe ainda mais que um maxterm e verdadeiro, se e somente se

ao menos um de seus termos da soma e verdadeiro. Com esta observacao, o conjunto de

desigualdades lineares inteiras correspondendo a C.7 e:

1 ≤ ∑i∈P1

δi +∑

i∈N1(1− δi)

...

1 ≤ ∑i∈Pm

δi +∑

i∈Nm(1− δi)

(C.8)

As desigualdades C.8 podem ser incluıdos como restricoes no modelo MLD em

3.26. Com estas desigualdades podemos definir o conjunto PFNC para qualquer formula

booleana F como:

PFNC , x ∈ [0, 1]n : (C.8) e satisfeita com x = [δ1, ..., δn] ∈ [0, 1]n (C.9)

PFNC(F ) e o politopo no hipercubo da unidade de dimensao n que inclui todos os

pontos inteiros x ∈ 0, 1n para a qual F (x) = T . E o conjunto de pontos definido por

C.8 relaxando a restricao de integrality em δi de δi ∈ 0, 1 a δi ∈ [0, 1].

Nenhuma das variaveis auxiliares necessitam ser introduzidas com esta tecnica. Outra


vantagem e sua simplicidade uma vez conhecida a FNC da formula booleana desejada.

Uma desvantagem e o esforco que se deve fazer no calculo simbolico da FNC de uma

formula booleana arbitraria. Isto pode exigir tecnicas como os mapas de Karnaugh, veja

por exemplo Kohavi (1978), se a formula booleana e dada implicitamente por seu pontos

valido. Outra desvantagem deste metodo tem a ver com o conjunto PFNC . Como sera

visto depois, PFNC pode ser um conjunto que e maior do que realmente necessario para

definir os pontos factıveis inteiros. De fato, PFNC pode ter vertices nao-integral.

Algoritmo C.1 Entao, usando as equivalencias da Tabela 3.2 e possıvel converter qual-

quer expressao logica em outra expressao envolvendo variaveis inteiras si a expressao

logica inicial se escreve na sua FNC.

Q1 ∧Q2 ∧ · · · ∧Qn

Onde as Q sao expressoes de P escritas como disjuncoes. O algoritmo para obtencao da

FNC e:

1. Substituir implicacoes por sua expressao equivalente:

P1 → P2 ↔ P 1 ∨ P2

2. Aplicar a lei de De Morgan para deslocar para dentro as negacoes:

(P1 ∧ P2) ↔ P 1 ∨ P 2 (P1 ∨ P2) ↔ P 1 ∧ P 2

3. Utilizar a propriedade distributiva para chegar na FNC.

(P1 ∧ P2) ∨ P3 ↔ (P1 ∨ P3) ∧ (P2 ∨ P3)

Exemplo C.1

(P1 ∧ P2) ∨ P3 → (P4 ∨ P5)

1. Paso 1

[(P1 ∧ P2) ∨ P3] ∨ (P4 ∨ P5)

2. Paso 2

[(P 1 ∨ P 2) ∧ P 3] ∨ (P4 ∨ P5)


3. Paso 3

[(P 1 ∨ P 2) ∨ (P4 ∨ P5)] ∧ [P 3 ∨ (P4 ∨ P5)][P 1 ∨ P 2 ∨ P4 ∨ P5

] ∧ [P 3 ∨ P4 ∨ P5

]

Por tanto colocamos [(P1 ∧ P2) ∨ P3 → (P4 ∨ P5)] na FNC: [Q1 ∧Q2], onde:

Q1 = P 1 ∨ P 2 ∨ P4 ∨ P5

e

Q2 = P 3 ∨ P4 ∨ P5

Associando as variaveis inteiras δ1, δ2, δ3, δ4 e δ5 a P1, P2, P3, P4 e P5 respectivamente

obtemos a seguinte representacao em desigualdades lineares inteiras:

(1− δ1) + (1− δ2) + δ4 + δ5 ≥ 1

(1− δ3) + δ4 + δ5 ≥ 1

Metodo geometrico, ou metodo da tabela de verdade

O terceiro metodo e baseado numa interpretacao geometrica. Mostraremos que este

metodo supera a desvantagem concernente com PFNC(F ) do metodo analıtico descrito

previamente. Ele permite uma traducao automatica de tabelas de verdade que represen-

tam formulas booleanas, em desigualdades lineares inteiras.

Uma tabela de verdade para a formula booleana F (X1, ...Xn) e uma lista completa

dos pontos validos de F (.), isto e todos os vetores X = (X1, ..., Xn) ∈ F, Tn para qual

F (X) = T . A tabela de verdade pode ser montado para qualquer formula booleana,

por exemplo por enumeracao. As filas da tabela de verdade formam uma lista completa

dos pontos validos, isto e todos esses pontos em 0, 1n que fazem F (X) verdadeiro, ou

satisfazem Xn = f(X1, ..., Xn−1).

Quando modelamos sistemas na forma MLD frequentemente encontramo-nos com os

seguintes problemas:

P1 Impor que a formula booleana F (X1, ..., Xn) seja verdadeira, isto e adicionar a re-

stricao dada pela relacao booleana F (X1, ..., Xn) = T


P2 Definir a funcao booleana Xn = f(X1, ..., Xn−1)

Assume-se que ambos f e F sao definidos com o operadores basicos ∧, ∨, ., →, ↔, ⊕.

O problema P1 especifica uma restricao ou uma caracterıstica do sistema.

Exemplo C.2 Um exemplo de P1 e a proposicao que dois entradas binarias u1 e u2

nao podam tomar o valor “1”ao mesmo tempo, se um tercer entrada u3 for zero. O

correspondente formula booleana F1 fica assim:

F1(u1, u2, u3) = u3 → (u1 ∧ u2)

Enquanto P1 tem o carater de uma restricao, P2 define uma quantidade auxiliar a

ser adicionada no modelo MLD e tem o carater de uma equacao algebrica.

Exemplo C.3 Um caso tıpico onde aparece P2 e a definicao de uma transicao de estado

num automata finito. X1, ..., Xn−1 codifica o estado presente e as entradas e Xn e o estado

subsequente. Entao, a funcao f representa a funcao de transicao de estados.

Como e imediato transformar relacoes booleanas em tabelas de verdade, sem perda de

generalidade vamos supor que F , f sao definidos via uma tabela de verdade. Observe que

a tabela de verdade em P2 tem sempre 2n−1 filas e n colunas. Por outro lado a tabela de

verdade de P1 pode ter qualquer numero de filas de 1 a 2n−1.

Exemplo C.4 Para ilustrar mais a diferenca entre P1 e P2, considere o exemplo da

formula booleana X1 ∧X2 e da funcao booleana X3 = X1 ∧X2. As tabelas de verdade sao

dadas na tabela C.1.

X1 X2

V V⇒ δ1 δ2

1 1

X1 X2 X3

V V VV F FF V FF F F

⇒

δ1 δ2 δ3

1 1 11 0 00 1 00 0 0

Tabela C.1: Tabelas de verdade para a formula X1∧X2 (esquerda) e para a funcao booleanaX3 = X1 ∧X2 (direita)

Note que no primeiro caso ha so um ponto valido e a tabela de verdade consiste portanto

de uma so fila.


Considere o hipercuboH , [0, 1]n, e permita que H denote o conjunto de seus vertices.

Seja conv(S) o fecho convexo do conjunto S ⊆ H, e CH(S) o conjunto complemento de

S em H, isto e

CH(S)⋃

S = H

CH(S)⋂

S = ∅

O lema C.1 diz que o subconjunto S de H pode estar “envolvido”dentro de um politopo

que nao contem qualquer vetor do conjunto complemento CH(S).

Lema C.1 Seja S ⊆ H. Entao conv(S) ∩ CH(S) = ∅

Para ver a demonstracao veja Mignone (2002).

Considere agora a tabela de verdade T expressando os pontos validos associados com

os problemas P1 ou P2. Seja m o numero de filas em T , e seja T = R1, ..., Rm o

conjunto de filas Ri de T considerado como um vetor em Rm, isto e a colecao de todos os

pontos validos. Cada componente da fila Ri e 0 ou 1 e por tanto Ri ∈ H, isto e Ri e um

vertice do hipercubo H.

Teorema C.1 Seja T a tabela de verdade com T filas, associada a formula booleana F

nos literais X1, ...Xn. Entao F (X1, ..., Xn) e verdadeiro se e somente se o vetor associado

δ , [δ1, ..., δn] ∈ 0, 1n satisfaz as desigualdades

Aδ ≤ B

onde A e B definem o politopo

PCH , δ ∈ [0, 1]n : Aδ ≤ B = conv(T ) (C.10)

Alem do mais, cada traducao inteira P = δ ∈ [0, 1]n : Aδ ≤ B de F e tal que PCH ⊆ P ,

isto e PCH e mınimo.


O enfoque proposto nao introduz qualquer variavel booleana adicional. Esta carac-

terıstica, e a minimalidade do conjunto relaxado, sao particularmente atraentes quando


o modelo e usado num problema de otimizacao. Se bem e verdade que nao ha nenhuma

necessidade em fazer manipulacoes simbolicas para achar a FNC, este metodo sofre de

pesados requerimentos computacionais para achar o fecho convexo dos pontos validos e

grandes requisitos de armazenamento para armazenar a tabela de verdade. Algumas fer-

ramentas de software para calcular os pontos do fecho convexo sao listados no proximo

paragrafo.

Calculo do fecho convexo

Existem varios pacotes para transformar um poliedro P da forma

P = x : x =m∑

i=1

λixi +

p∑i=1

µiri

onde xi, ri sao os pontos extremos e direcoes extremas de P respectivamente, e

0 ≤ λi ≤ 1,m∑

i=1

λi = 1,mui ≥ 0

a forma

P = x : Ax ≤ B

Para um exame detalhado destes pacotes, o leitor pode consultar a pagina

http://www.geom.umn.edu/software/cglist/ch.html.

Exemplo C.5 Considere a funcao booleana X3 = X1∧X2, cuja tabela de verdade e dada

em Tabela C.1. As filas da tabela de verdade sao representadas como pontos em R3 na

Figura C.1. Seu fecho convexo, coincide com as desigualdades lineares mencionado na

segunda regra da Tabela 3.2.

Comparacao dos metodos

Ha casos onde o metodo de substituicao da um numero menor de desigualdades que

os outros metodos (Cavalier et al. 1990). No entanto, a complexidade de introduzir

variaveis binarias adicionais devem ser evitadas. Os outros dois metodos nao exigem a

introducao de qualquer variavel adicional. No entanto, eles exigem pre-processamento,


Figura C.1: Fecho convexo das filas da tabela de verdade de X3 = X1 ∧X2

tanto seja para construir a tabela de verdade ou para derivar a FNC. Especialmente,

construir a tabela de verdade completa e derivar o fecho convexo de suas filas pode ser

um tarefa computacionalmente cara, mesmo que programas de computador eficientes

estejam disponıvel para este proposito. Notar, no entanto, que e uma tarefa que pode ser

feita offline. Em alguns casos a tabela de verdade talvez contenha so um numero pequeno

de filas, porque algumas combinacoes das variaveis independentes podem ser excluıdas a

priori.

Usando o metodo de tabela de verdade ou a transformacao a FNC para achar as

desigualdades que representam uma formula de booleana nao tem por que dar os mesmos

resultados num metodo como em outro. O Teorema C.1 afirma que PCH ⊆ PCNF . Em

outras palavras, todos os vertices inteiros de PCNF sao pontos validos da formula booleana

correspondente, contudo PCNF pode ter vertices de nao-integrais. Existem formulas de

booleanas, para as quais PCH 6= PCNF , ainda que PCNF seja derivado de uma FNC

mınima.

Exemplo C.6 Considere a formula booleana descrita por:

(X1 ∨X2) ∧ (X1 ∨X3) ∧ (X2 ∨X3) (C.11)

Dado que C.11 esta na FNC, podemos usar C.8 para obter as correspondentes desigual-


dades como

PCNF = x ∈ [0, 1]3 :

1 1 0

1 0 1

0 1 1

x1

x2

x3

≥

1

1

1

(C.12)

A tabela de verdade de C.11 contem as filas [1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 1]. A formula

booleana C.11 e caracterizada pelo fato que ao menos duas variaveis booleanas sao ver-

dadeiras. Portanto pode ser mostrado que

PCH = x ∈ [0, 1]3 : x1 + x2 + x3 ≥ 2 (C.13)

Enquanto em PCH todos vertices sao inteiros por construcao, PCNF inclui um vertice

em (0.5, 0.5, 0.5) que nao e inteiro. Este exemplo ilustra que as desigualdades originadas

da FNC podem descrever uma representacao nao minima da relaxacao de uma proposicao

logica, por causa da presenca de vertices nao inteiros. Por enumeracao direta, pode

ser mostrado que alem de C.11 ha so uma formula booleana envolvendo tres variaveis

booleanas, para qual PCH 6= PCNF , a saber

(X1 ∨X2) ∧ (X1 ∨X3) ∧ (X2 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X3) (C.14)

Para todas as outras formulas booleanas em 0, 13 e possıvel assegurar que PCH = PCNF .

Figura C.2: Esquerda: PCH das filas da tabela de verdade de (C.11), Direita: PFNC de(C.11), o vertice claro e nao inteiro


Desigualdades de Clausal

O conjunto de desigualdades Ax ≤ b e clausal, se cada elemento de A e 0, 1 ou −1, e

cada bi satisfaz

bi = 1− ]α : α = Aij = −1, j = 1...n (C.15)

Onde Aij e o elemento j − th da fila i em A e ] denota a cardinalidade de conjunto

(Chandru e Hooker 1999). O conjunto de desigualdades C.8 associadas com a FNC e

clausal por construcao.

Teorema C.2 Seja F uma formula booleana. Se PCH(F ) e dado por desigualdades

clausales, entao existe uma FNC, tal que PCH(F ) = PCNF (F ).


C.2 Proposicoes Mistas Logicas-Continuas

Nesta secao os resultados da secao C.1 sao estendidos a proposicoes mistas logicas-

contınuas. Vamos a considerar os mesmos tres enfoques que foram desenvolvidos para

as formulas booleanas e mostra sua aplicacao a proposicoes envolvendo variaveis tanto

contınuas como binarias.

A Formula Booleana Generalizada (FBG) e a extensao da formula booleana obtida

permitindo que desigualdades lineares Xi = [fi(x) ≤ 0] sejam agregadas como termos

adicionais na formula booleana. A Forma Normal Conjuntiva Generalizada (FNCG) e

definido assim, como a expressao:

p∧j=1

(mj∨i=1

[fij(x) ≤ 0] ∨nj∨

k=1

[δkj = 1]

)(C.16)

Cada FBG admite uma representacao FNCG equivalente. Vamos mostrar que cada

FNCG pode ser traduzida em desigualdades mistas inteiras, contanto que um numero su-

ficiente de variaveis auxiliares seja introduzido. Vamos a desenvolver um meio sistematico

para traduzir proposicoes logicas complexas em desigualdades mistas inteiras. Uma des-

ignacao (x, δ) ∈ Rn1 × 0, 1n2 que faz C.16 verdadeira, e chamada de ponto valido.


Motivacao

No que segue, vamos supor que as cotas inferior e superior da funcao real afim fi(x) =

a′ix− bi, fi : Rn 7→ R sao conhecidos. Considere a disjuncao logica

m∨i=1

[fi(x) ≤ 0] (C.17)

que em general define um conjunto nao-convexo em Rn, por exemplo o conjunto da Figura

C.3 correspondente a disjuncao

[x1 ≤ 0] ∨ [x2 ≤ 0] (C.18)

onde m1 ≤ x1 ≤ M1, m2 ≤ x2 ≤ M2. O conjunto na Figura C.3 e nao-convexo, e portanto

nao pode ser escrito como um sistema linear de restricoes x ∈ Rn : Cx ≤ d. De fato,

o conjunto convexo mais pequeno contido na regiao factıvel de C.18 contem pontos no

primeiro quadrante excluıdos por C.18.

Figura C.3: Conjunto factıvel definido por C.18

No entanto, introduzindo variaveis binarias adicionais δ ∈ 0, 1, torna-se possıvel

representar a disjuncao como um conjunto de restricoes mistas inteiras. Usando as Tabelas

3.2 e 3.3, podemos introduzir δ1, δ2 ∈ 0, 1 como

δ1 , [x1 ≤ 0] (C.19)

δ2 , [x2 ≤ 0] (C.20)


A proposicao na Equacao C.18 torna-se

δ1 ∨ δ2 (C.21)

Cada uma das tres proposicoes C.19, C.20, C.21 podem ser traduzidas em desigual-

dades usando as Tabelas 3.2 e 3.3. Isto mostra que no espaco (x1, x2, δ1, δ2), isto e

num subconjunto de R4, o conjunto factıvel de C.18 podem ser representados como

x ∈ R2 × 0, 12 : Cx ≤ d. Isto implica que depois da relaxacao das restricoes de

integralidade a 0 ≤ δi ≤ 1, o conjunto factıvel de C.18 torna-se um conjunto convexo

poliedrico em x ∈ R4 : Cx ≤ d. Aumentar a dimensao do espaco atraves de variaveis

binarias permite uma representacao convexa do conjunto que nas coordenadas originais

de interesse nao e convexo.

Metodo de substituicao

Semelhante ao caso das relacoes logicas, o metodo de substituicao consiste em aplicar

iterativamente as regras de Tabelas 3.2 e 3.3 substituindo proposicoes logicas elementares

com variaveis auxiliares binarias adicionais. Com as Equacoes C.19, C.20, C.21 ilus-

tramos o metodo. Ao contrario a substituicao para funcao puramente logica na Secao

C.1, mostramos atraves da proposicao logica C.18, que a introducao de variaveis auxil-

iares pode ser necessaria para traducoes mistas logica-contınuas. O metodo de substituicao

contudo pode introduzir mais variaveis que necessario, como sera mostrado logo.

Forma Normal Conjuntiva Generalizada

Nesta secao vamos a fornecer um procedimento geral para traduzir FBG num con-

junto de desigualdades lineares mistas inteiras. A prova do Teorema C.4 contem algumas

sugestoes construtivas para esta traducao.

Teorema C.3 O FNCG com funcoes reais afins fij(x)

p∧j=1

(mj∨i=1

[fij(x) ≤ 0] ∨nj∨

k=1

[δkj = 1]

)(C.22)

pode ser traduzida num conjunto de desigualdades mistas inteiras adicionando


∑pj=1dlog2(m

′j + 1)e variaveis binarias, onde m′

j ≤ mj e o numero de restricoes nao-

redundante no conjunto x : fij(x) > 0, i = 1, ..., mj

A restricao [fj(x) ≤ 0] e redundante para a proposicao C.17, se

x :

m∨i=1

[fi(x) ≤ 0]

=

x :

m∨

i=1,i 6=j

[fi(x) ≤ 0]

(C.23)

Teorema C.4 A proposicao logica com m funcoes afins fi(x)

m∨i=1

[fi(x) ≤ 0] (C.24)

pode ser traduzido num conjunto de desigualdades mistas inteiras adicionando l =

dlog2(m′)e variaveis binarias, onde m′ ≤ m e o numero de restricoes nao-redundante

Prova.

A prova e construtiva e envolve os seguintes passos:

1. Defina o fechamento do conjunto nao factıvel B como

B = x :m∧

i=1

[fi(x) ≥ 0] (C.25)

Como todos os fi sao afins, B e convexo.

2. Elimine as restricoes redundantes. Isto pode ser feito resolvendo para cada i =

1, ..., m um programa linear da forma

Jc(i) = minx fi(x)

s.a. ∧mj=1,j 6=i[fi(x) ≥ 0]

(C.26)

Se Jc ≥ 0, a i − th restricao e redundante. Isto da o numero de m′ restricoes nao-

redundante. Note que a disjuncao C.24 pode ser escrita equivalentemente so usando

as restricoes nao-redundantes. Este passo aponta em ter uma representacao mınima

de C.24. Alem do mais, m′ e o numero de facetas do politopo B.


3. De acordo com Bemporad et al. (1999), o conjunto X\B pode ser particionado

em m′ conjuntos disjuntos convexos Cj. Cada conjunto pode ser descrito pelas

desigualdades

Cj = x : Ajx ≤ bj

Onde atraves de uma numeracao apropriada, nos temos Aj ∈ Rj×s e bj ∈ Rj (j =

1, ..., m′).

4. Temporariamente introduza m′ variaveis binarias δj com a propriedade que

[δj = 1] ↔ [x ∈ Cj]

De acordo com as regras da Secao 3.3.1, as ultimas relacoes podem ser traduzidas

em desigualdades mistas inteiras como:

Ajx− bj ≤ Mj(1− δj) (j = 1, ...,m′) (C.27)m′∑i=1

δi = 1 (C.28)

5. Codifique as regioes Ci como segue: Introduza l = dlog2(m′)e variaveis binarias

µ1, ..., µl tal que

[δj = 1] ↔ [j = 1 +l−1∑i=0

2iµi+1] (C.29)

Use-as em C.27 para obter:

A1x− b1 ≤ M1(l − (1− µ1)− ...− (1− µl))

A2x− b2 ≤ M2(l − µ1 − ...− (1− µl))... ≤ ...

Am′x− bm′ ≤ Mm′(l − µ1 − ...− µl)

Se m′ < 2′, adicionar restricoes para excluir as combinacoes de µ1, ..., µl que nao

sao usados para codificar qualquer regiao. Para a representacao com δj, C.28 ex-

pressa o fato que exatamente um δj e um para cada ponto de dados x. Isto nao e

exigido quando trabalhamos com µ1, ..., µl, desde que cada codigo µ1, ..., µl que for

identifique uma regiao, ou a exclua.


¤

O numero de desigualdades resultantes do algoritmo descrito acima e dado por

• (i) os limites em x ou em cada funcao fi(x)

• (ii)∑m′

i=1 i = m′(m′+1)2

restricoes definindo µ1, ..., µl, e

• (iii) as restricoes excluindo as combinacoes nao utilizadas de µ1, ..., µl

Observe que negligenciando o passo 2 do procedimento de remocao de redundancia

aumentamos o numero de variaveis auxiliares binarias a dlog2(m)e, mas nao se muda o

algoritmo.

Corolario C.1 A proposicao logica com m funcoes afins fi(x)

m∨i=1

[fi(x) ≤ 0] ∨n∨

k=1

[δk = 1] (C.30)

pode ser traduzida num conjunto de desigualdades mistas inteiras adicionando l′ =

dlog2(m′+1)e variaveis binarias, onde m′ ≤ m e o numero de restric4oes nao-redundante

no disjuncao∨m

i=1[fi(x) ≤ 0].

Finalmente, o ultimo passo consiste em traduzir qualquer FBG a desigualdades sobre

variaveis binarias e contınuas. Isto pode ser feito considerando as desigualdades [fi(x) ≤ 0]

como variaveis booleanas simbolicas e manipulando todas as funcoes de acordo com a

Secao C.1.

1. Substitua cada desigualdade [fi(x) ≤ 0] sobre variaveis contınuas com variaveis

booleanas yi.

2. Ache a FNC da expressao usando os metodos descritos na Secao C.1.

3. Faca a substituicao inversa, substitua as variaveis booleanas yi com [fi(x) ≤ 0].

4. Aplique o teorema acima.

Note que a eficiencia do enfoque apresentado aqui pode crescer, se o esquema da a

possibilidade de reconhecer partes comuns nas relacoes logicas, como a multipla ocorrencia

de uma desigualdade [fij(x) ≤ 0] em C.22.


Exemplo C.7 Considere a seguinte FBG

4∨i=1

[fi(x) ≤ 0] (C.31)

onde x = [x1, x2]T ∈ [−10, 10]2 ⊂ R2, fi : R2 7→ R e

f1(x) = x1 + x2 (C.32)

f2(x) = 2x1 + x2 + 2 (C.33)

f3(x) = x2 − 1 (C.34)

f4(x) = 1.5x1 + x2 + 4.5 (C.35)

(C.36)

O conjunto de pontos factıveis e nao-convexo, (area pintada na Figura C.4).


Vamos aplicar o procedimento descrito na demonstracao do Teorema C.4 para achar

as desigualdades que descrevem C.31, seguindo os mesmos passos e a terminologia intro-

duzida no teorema.

1. O conjunto B e dado por∧4

i=1[fi(x) ≥ 0] e e mostrada na Figura ?? como a area

nao sombreada.


i 1 2 3 4JC(i) -0.5 -7.33 -11 3.5

Tabela C.2: Solucao de C.26 para o exemplo C.31

2. Resolvendo C.26 chegamos no resulta mostrado na Tabela C.2. Portanto i = 4

denota uma restricao redundante e m′ = 3.

3. O conjunto Cj e:

C1 = x ∈ R2 : [1 1]x ≤ 0 (C.37)

C2 = x ∈ R2 :

[−1 −1

2 1

]x ≤

[0

−2

] (C.38)

C3 = x ∈ R2 :

−1 −1

−2 −1

0 1

x ≤

0

2

1

(C.39)

4. Usando as cotas de x, as expressoes C.27 tornam-se:

[1 1

]x ≤ 20(1− δ1) (C.40)

[−1 −1

2 1

]x−

[0

−2

]≤

[20

32

](1− δ2) (C.41)

−1 −1

−2 −1

0 1

x−

0

2

1

≤

20

28

9

(1− δ3) (C.42)

5. Aqui se mantiene que l = 2 e codificamos as regioes como:

[δ1] ⇔ [µ1 µ2] = [0 0] (C.43)

[δ2] ⇔ [µ1 µ2] = [1 0] (C.44)

[δ3] ⇔ [µ1 µ2] = [0 1] (C.45)

Finalmente, definindo X = [x1x2µ1µ2]T e usando as expressoes acima, obtemos as


desigualdades desejadas como

1 1 −20 −20

−1 −1 20 −20

2 1 30 −30

−1 −1 −20 20

−2 −1 −30 30

0 1 −10 10

X ≤

0

20

30

20

30

10

(C.46)

Metodo geometrico

Estamos motivados a creer que a interpretacao geometrica de introduzir variaveis

binarias adicionais e uma ampliacao a dimensao do espaco considerado. No espaco di-

mensional mais alto, a regiao especificada e um conjunto convexo. A projecao sobre

o espaco de variaveis originais e ainda nao-convexo. Enquanto isto e uma interpretacao

atraente, nao e imediatas generaliza-lo ao procedimento para achar as desigualdades, alem

do espaco de dimensoes baixas. De fato, nao esta claro a priori, como aumentar o espaco

com variaveis binarias adicionais. Para o FBG C.18 esbocamos na Figurar C.5 o efeito

de aplicar a ideia do seguinte algoritmo:

1. Introduza naux = 1 variavel binaria auxiliar.

2. Divida o conjunto nao-convexo em conjuntos disjuntos convexos, a uniao deles de-

vera ser o conjunto original.

3. Designe a cada subconjunto obtido uma combinacao diferente das variaveis binarias

auxiliares.

4. Calcule no espaco dimensional mais alto o fecho convexo dos vertices.

5. Se o fecho convexo contem pontos excluıdos pela proposicao logica,

• aumente o numero naux de variaveis binarias auxiliares em 1. Ou

• escolha uma divisao diferente em 2. Ou

• Escolha um codigo diferente em 3.

Em general, nao recomendamos confiar com estas interpretacoes geometrical para

traduzir FBG em desigualdades, devido as acoes pouco metodicas a serem tomadas no

ponto 5.



C.3 Resumo

Nas Secoes C.1 e C.2 vimos uma diferenca fundamental entre a traducao de relacoes

puramente logicas e relacoes mistas logica-contınuas em desigualdades: a primeira pode

ser traduzida sem adicionar variaveis, enquanto a segunda pode exigir a introducao de

variaveis de booleanas.

Teorema C.5 Seja P uma proposicao logica envolvendo nc variaveis contınuas e nb

variaveis binarias. Seja V ⊂ XV = Rnc × 0, 1nb o conjunto de pontos validos de Pe suponha que V e um conjunto compacto. Entao, introduzindo na variaveis binarias,

V pode sempre ser delimitada por desigualdades no espaco X = Rnc × 0, 1na+nb de di-

mensao na + nb + nc tal que no espaco dimensional mais alto o fecho convexo de pontos

validos nao contem qualquer ponto invalido.

Alem do mais, se nc = 0 entao na = 0



C.4 The HYbrid Systems DEscription Language

HYSDEL

A derivacao de modelos MLD “a mao” e uma tarefa tediosa e envolve a aplicacao

repetida das regras apresentado nas secoes previas. Este procedimento ainda e mais com-

plicado se o objetivo e achar o modelo com o menor numero de variaveis ou desigualdades

envolvidas. Com o fim de simplificar o modelado para o usuario, um compilador foi de-

senvolvido para realizar a traducao automatizada de uma descricao do modelo de alto

nıvel na forma MLD. O objetivo do compilador e gerar as matrizes Ai, Bi, C, Di e Ei em

(3.24, 3.25, 3.26). Estas matrizes sao geradas na sintaxe do Matlab (.mat).

A linguagem de especificacao do problema ao compilador e HYSDEL (HYbrid System

DEscription Language), (Torrisi et al. 2000).

HYSDEL e confeccionado para modelar sistemas MLD e PWA, mas e de modo algum

a unica linguagem de modelado para sistemas hıbridos. Outras linguagens e ferramentas

sao descritas por exemplo em (Benveniste et al. 1993, Fabian 1999). A ferramenta LPL e

descrita em (Huerlimann 2001). Permite o modelado de sistemas contendo componentes

logicos e traduz o modelo no formato MPS (Murtagh 1981), um formalismo comum para

a especificacao de problemas matematicos de otimizacao.

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