Informática Educativa I

Projeto Final

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Michele Zacharias dos Santos

A necessidade de se ensinar função quadrática

dá-se pelo fato de esta aparecer naturalmente em

vários contextos seja na matemática, na física ou na

química.

Cálculo de área de figuras geométricas,

determinação das diagonais de um polígono e altura

máxima atingida por um projétil são alguns exemplos

de aplicação de funções quadráticas.

Para que o estudo se torne mais interessante

pode-se usar alguns recursos tecnológicos como os

softwares GeoGebra e Movimento de Projétil,

disponíveis gratuitamente na Internet

OJETIVOS

• Identificar uma função polinomial do 2º grau.

• Representar graficamente uma função quadrática.

• Compreender o significado dos coeficientes de

uma função quadrática.

• Resolver problemas significativos envolvendo

inequações e sistemas simples de inequações do 1º

e 2º graus.

• Utilizar a função quadrática para resolver

problemas relacionados à Física.

• Resolver problemas envolvendo o cálculo de

máximos e mínimos.

Primeira aula

Para introdução do conteúdo, os alunos

utilizarão, em grupos de 3 pessoas, o laboratório

de informática, para que possam manusear o

software do movimento dos projéteis.

Como estarão em grupo, para dinamizar ainda

mais a aula, será proposto a eles que façam

uma competição entre si para ver quem alcança

primeiro o alvo.

Primeira aula

Deixar que os alunos manuseiem o programa e descubram como

atingir o alvo.

Levá-los a perceber a relação entre o ângulo da parábola e o

tempo que o projétil leva para atingir o alvo.

Chamar atenção para a altura máxima, simetria da parábola e as

raízes da função.

Segunda Aula

A aula deverá acontecer no laboratório de informática, de modo que os alunos

possam manusear a interface Anatomia de uma função quadrática.

Nessa aula, os alunos irão manipular o software intuitivamente, alterando os

coeficientes, estabelecendo relações entre estes e o gráfico das funções, bem

como visualizar e manipular as raízes, vértices, simetria, tudo sob orientação do

professor que a todo instante estará propondo novos desafios.

Terceira aula

Será realizada na sala de aula, onde os alunos criarão

algumas funções que serão trocadas entre os grupos. Cada

grupo irá construir as funções que receberam, no papel

quadriculado, utilizando lápis de cor diferente para marcar as

parábolas. Após a construção, os grupos irão compartilhar os

resultados obtidos.

Material utilizado:

Papel quadriculado

Lápis de cor

Quarta aula

Os alunos utilizarão o laboratório de informática, com

internet, para que conheçam através dos tutoriais, as

ferramentas primárias do software GeoGebra.

Em um segundo momento, os grupos serão convidados a

construir no GeoGebra, as funções construídas e

reproduzidas por eles no papel quadriculado.

Ao final da aula os alunos deverão fazer um relatório sobre

as observações feitas no decorrer da aula.

Quarta aula cont.

Depois de estarem familiarizados com o Geogébra, será proposto aos alunos as

funções abaixo para que esbocem os gráficos, destacando a cada item, o eu ele

observa em relação ao item anterior e em relação a parábola f(x) = 𝑥2 o que muda de

uma para a outra.

a) f(x) = 𝑥2

b) f(x) = 𝑥2 + 12

c) f(x) = (𝑥 − 15)2

d) f(x) = (𝑥 − 15)2 + 12

e) f(x) = 8. (𝑥 − 15)2 +12

O que você observa? O que aconteceu com cada gráfico em relação ao

anterior? Anote em seu caderno!

A realização desta atividade permitirá que o aluno

perceba os efeitos gerados pela adição ou multiplicação

de valores à lei algébrica da parábola fundamental

f(x)=x2.

Quinta aula

Após digitarem algumas funções e observarem seus gráficos, os alunos receberão uma ficha com atividades orientadas, para que possam desenvolve-las sob orientação do professor.

1) Digitar a função f (x) = x² + 3x

a) Determine as raízes da função (valor de x para y = 0)

b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?

c) Marque as coordenadas do valor mínimo da parábola.

d) Para quais valores de x a função é crescente?

e) Para quais valores de x a função é decrescente?

Quinta aula

2) Digitar a função f(x) = - x² + 3x

a) Determinem as raízes da função?

b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para

baixo?(Faça uma comparação com a função da atividade 1)

c) Marque na parábola as coordenadas do valor máximo.

d) Para quais valores de x a função é crescente?

e) Para quais valores de x a função é decrescente?

2) Digitar a função – 2x² +3x – 5

a) Determine as raízes da função

(valor de x para y = 0)

b) A concavidade da parábola está

voltada para cima ou para baixo?

c) Marque as coordenadas do valor

mínimo da parábola.

d) Para quais valores de x a função

é crescente?

e) Para quais valores de x a função

é decrescente?

f) Qual o valor de y para x = 0?

4) Digite a função f(x) = x² - 7x + 6

a) Determine as raízes da função (valor

de x para y = 0)

b) A concavidade da parábola está

voltada para cima ou para baixo?

c) Marque as coordenadas do valor

mínimo da parábola.

d) Para quais valores de x a função é

crescente?

e) Para quais valores de x a função é

decrescente?

f) Qual o valor de y para x = 0?

Sexta aula

A aula será realizada no laboratório, com os alunos dispostos

em pequenos grupos.

Fazendo uso do software Anatomia de uma função quadrática

interface 2, os alunos deverão digitar os coeficientes das

respectivas funções trabalhadas no exercício anterior, de

maneira que ao manusearem a interface, possam fazer

observações sobre os elementos dos gráficos, como raízes,

vértices, valores máximos e mínimos com a forma algébrica de

representa-los.

Sétima aula

Formalizando os conceitos

A parábola é o gráfico da função do 2° grau f(x) = ax² + bx + c, com a ≠

0. Isso significa que a união de todos os pontos (x , f(x)) formam uma

figura chamada de parábola, o que vale para toda função do 2° grau.

Os elementos principais de uma parábola são concavidade e os pontos

onde cortam os eixos coordenados e o vértice.

(-1, 0) e (3, 0) são os pontos de

interseção com o eixo x.

(0, -3) é o ponto de interseção

com o eixo y

(1. -4) é chamado vértice da

parábola.

Concavidade da Parábola

A concavidade da parábola será voltada para cima, se o valor de a for

positivo e será voltada para baixo, se o valor de a for negativo.

f(x) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 (a > 0 ) g(x) = – 2x² + 3x – 2 ( a < 0 )

Raízes ou zeros de uma função São os valores de x obtidos, quando tomamos f(x) = 0.

f(x) = x² – 3x + 2

As raízes de f(x) = x² – 3x + 2 são 1 e 2, já

que a parábola corta o eixo x nos pontos

em que as coordenadas x (chamadas

de abscissas) são 1 e 2.

O valor de ∆ > 0

g(x) = –x² + 2x – 1

Neste caso, só existe um ponto de interseção da parábola

com o eixo x. Isso significa que só existe uma raiz da

função g, que neste caso é x = 1. Note que a parábola

tangencia o eixo x apenas no ponto em que a abscissa é

igual a 1.

valor de ∆ = 0

h(x) = x² – 2x + 2

Neste caso, o gráfico da função h não corta o eixo x;

portanto, a função h não possui raiz.

Valor de ∆ < 0

Processo algébrico para encontrar as

raízes da função 2º grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = a𝑥2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = a𝑥2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau a𝑥2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ∆ = 𝑏2 - 4.a.c , chamado discriminante, a saber:

Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas;

Quando ∆ é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

Quando ∆ é negativo, não há raiz real.

Vértices da função do 2º grau

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um

ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada

para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = a𝑥2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos

valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

a > 0 a < 0

Desafio

Numa dessas noites de verão, Antônio, João e Pedro resolveram disputar um

chute a gol. Para isso:

cada um deles se posicionou exatamente no centro do campo e chutou a bola de

forma que ela se mantivesse no plano (x,y), perpendicular ao campo, com origem

no centro do campo, de forma que o eixo x passasse também pelo centro do gol.

Os três chutaram na direção do gol, cortado pelo semi-eixo positivo dos x.

Cada um escolheu as seguintes funções para representar seus chutes:

Antônio f(x) = -2𝑥2 + 12𝑥 y

João f(x)= - 4𝑥2 + 16𝑥

Pedro f(x) = - 5𝑥2 + 20x

18m 0 X

QUEM CHUTOU MAIS ALTO?

ALGUEM FEZ GOL? SE NÃO, 26m

QUEM CHEGOU MAIS PERTO?

Referências

BIANCHINI, Edwaldo e Paccola, Herval. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna,2003.

FUNÇÃO QUADRÁTICA< http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php > . Acesso em

15 de out. 2013.

MATEMÁTICA E SUAS TENOLOGIAS: FUNÇÃO DO 2º GRAU, MÓDULO 2, UNIDADE 7

< http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_mod2/matematica/Unidade07_Mat.pdf>. Acesso 15 de out. 2013.

NETO, Scipione Di Pierro e FILHO, Sérgio orsi. Quanta Matemática em fascículos

para o EM. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000.

SOFTWARE ANATOMIA DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. Disponível em:

<http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html> Acesso em: 15 de out. 2013.

SOFTWARE MOVIMENTO DO PROJETIL. Disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/11673/projectile-motion_en.jar>. Acesso em: 15 de

out., 2013.

SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em:< http://www.geogebra.org >. Acesso em: 15 de out., 2013.

ROTEIROS DE ACAO 7– Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1o ano do

Ensino Médio – 3o bimestre/2013 –

http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ último acesso 15 de out. 2013.