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Projeto baseado em emulação de modelos contínuos

e protocolos de acesso à rede

A. P. C. Gonçalves

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

1o Semestre de 2014

Sistemas com transmissão pela rede Projeto de controle Tipos de protocolo

Este material foi inteiramente baseado em

M. Tabbara, D. Nešic e A. R. Teel, “Networked ControlSystems: Emulation-based Design”, Capítulo 3 do livroNetworked Control Systems: theory and applications,Springer-Verlag, 2010.

e suas referências.

Gonçalves, A. P. C. IA361–Tópicos em Controle II UNICAMP 2 / 18


Descrição do problema

Vamos considerar que o sistema a ser controlado é compostopor nós por um único canal de comunicação ou barramento.

O sistema é composto por planta, lei de controle, nós,barramento e o protocolo que descreve como e quando ainformação vai ser transferida entre os nós.

Uma questão fundamental é a análise e o projeto do protocolode agendamento (scheduling), isto é, em que sequência osdiversos nós que compartilham a rede vão transmitir e receberdados.



Descrição do problema



Projeto de NCS por emulação

1 Projete um controle estabilizante desconsiderando a rede;2 escolha um protocolo de sequenciamento apropriado;3 analise se a estabilidade é robusta com relação aos efeitos que

o agendamento na rede introduz.

Pode-se mostrar que, se o sistema sem rede é estável, a escolha deuma classe adequada de protocolos de agendamento garante aestabilidade do sistema com a rede, desde que a taxa detransmissão seja suficientemente alta.

3 escolha uma taxa de transmissão (acima de um requisitomínimo) para chegar ao grau desejado de estabilidade robusta.




Vamos considerar a planta e o controlador dados por

G :

{

x = Ax + Bu

y = CxC :

{

xc = Acxc + Bcy

u = Ccxc

e vamos supor que (Ac ,Bc ,Cc) foram projetados sem levar emconta os efeitos da rede, que introduz as seguintes limitações:

1 as transmissões só ocorrem em instantes específicos {ti}∞i=0; e2 Só um componente do NCS pode transmitir dados em um

instante ti .




Vamos chamar de y e u as versões de y e u disponíveis para oscontroladores e atuadores através da rede.

G :

{

x = Ax + Bu

y = CxC :

{

xc = Acxc + Bc y

u = Ccxc

De forma análoga ao segurador de ordem zero, podemos considerarque y e u ficam constantes entre dois instantes de transmissão esão atualizados (reset) com componentes de u ou y à medida queesses ficam disponíveis e são transmitidos pela rede.




Vamos definir o erro entre os valores das medidas e do sinal decontrole transmitidos pela rede e seus valores reais

e =

[

ey

eu

]

=

[

y − y

u − u

]

e entre instantes de transmissão a dinâmica do sistema fica

G :

x = Ax + Bu + Beu

y = Cx˙u = 0

C :

xc = Acxc + Bcy + Bcey

u = Ccxc

˙y = 0




Fazendo x = [x ′ x ′c ]′, chegamos a

[

˙xe

]

=

[

A11 A12

A21 A22

] [

x

e

]

onde

A11 =

[

A BCc

BcC Ac

]

A12 =

[

0 B

Bc 0

]

A21 = −

[

C 00 Cc

]

A11 A22 = −

[

C 00 Cc

]

A12




Sistema dinâmico determina o estado do sistema e o erroentre transmissões.

Os elementos de e são atualizados, ou sofrem saltos nosinstantes de transmissão.

Seja ey ,j = yj − yj . Se o j -ésimo elemento de y é transmitidono instante ti :

yj (ti)← yj(ti )⇔ ey ,j(ti ) = 0

Logo, o efeito do protocolo de agendamento na rede é o dereajustar para zero os componentes do erro nosinstantes de transmissão. Um modelo desse tipo écompletamente descrito por

1 uma dinâmica em tempo contínuo para o estado x e o erro e;2 uma sequencia de instantes de transmissão {ti}

∞

i=0;

3 um protocolo de agendamento, ou mapa de reset do erro.



Características de protocolos

Uma desvantagem com a transmissão de vários dados por umúnico canal é que ele deve ser exclusivo.

Se mais de um agente tenta transmitir ao mesmo tempo,ocorre perda de dados ou colisão. A prevenção de colisões é aprincipal função do protocolo de agendamento.Os protocolos podem ter as seguintes características

1 Acesso à rede arbitrado localmente sem perdas de pacotes.2 Acesso à rede arbitrado globalmente, com ou sem perdas de

pacotes.3 Acesso à rede não é arbitrado, com ou sem perdas de pacotes.

Acessos arbitrados: Round-robin (RR) ou Maximum-error-first

try-once-discard (TOD).

Acessos não-arbitrados: Carrier-sense multiple access (CSMA):Ethernet, CSMA p-persistente: Bluetooth, 802.11 a/b/g,ALOHA.



Características de protocolos

Como vimos, o sistema NCS é modelado como um sistema híbrido,composto por uma equação dinâmica contínua entre os instantes detransmissão. Mas a cada ti ,

e(t+i ) = Qi(e(ti ))e(ti ),

ou

e(t+i ) = Qi(ei (ti ))e(ti ),

e(t+i ) = Λ(i ,(I − Qi(e(ti)))e(ti ),e(ti))



Protocolos arbitrados

Round-robin

Empregado nos protocolos tipo token ring e token bus

Tipo mais simples de protocolo de agendamento para sistemasmultiplexados no tempo.

Cada link de rede tem um índice único e o acesso à rede éfornecido conforme uma ordem pré-estabelecida. Em termosdo modelo para a atualização do erro, fica

e+ = (I −∆(i))e,

onde ∆(i) = diag{δ1(i)Is1 , . . . , δN(i)Isℓ} e

δk(i) =

{

1, se k − 1 = i mod ℓ0, caso contrário



Protocolos arbitrados

Maximum-error-first try-once-discard

O esquema TOD pode ser descrito por

Qi (e) = (I −Ψ(e))

onde Ψ(e) = diag{ψ1(e)Il1 , . . . ,ψℓ(e)Ilℓ} e

ψj(e) =

{

1, se j = min(arg maxj |ej |)0, caso contrário

Ou seja, o nó escolhido para ocupar o canal é sempre aquele commaior magnitude de erro para transmissão.



Protocolos randômicos

Sequência de tempos de transmissão aleatória e mapas de erroQi i.i.d, independentes de e.

Qi são matrizes que assumem valores em {M0,M1, . . . ,Mℓ}onde M0 = I e Mj é tal que

Mje = Mj(e1 . . . ,ej , . . . ,eℓ)

= (e1, . . . ,ej−1,0,ej+1, . . . ,eℓ)

Ou seja, no instante de tempo ti algum nó j vai assumir ocontrole da rede e transmitir seus valores, levando o vetor deerro para zero

ej(t+

i ) = 0,ek(t+

i ) = ek(ti ), k 6= j

Ou ainda, Qi = M0, o que significa que houve uma colisão e ovetor e segue sem mudanças.




Para um NCS com ℓ links, um protocolo randômico é definidocomo uma cadeia de Markov discreta Qi subordinada a umprocesso de renovação N(t) tal que

1 Qi são matrizes i.i.d. associadas com probabilidades de links ecolisões dadas por

Prob{Qi = Mk} = pk , k = 1,2, . . . , ℓ

2 A sequência de tempos de transmissão {ti}i∈N é definida por

t0 = τ0,

onde τ0 ∼ exp(λ) e para cada i > 0, i ∈ N,

ti = ti−1 + τi ,

onde τi ∼ exp(λ). Definimos

N(t) =

{

0, t ∈ [0,t0),k , t ∈ [tk−1,tk)




Tempo de cobertura é definido como

T0 = min{j ≥ 1 : {M1, . . . ,Mℓ} ⊂ {Q0, . . . ,Qj−1}}

e para i > 0:

Ti = min{j ≥ 0 : {M1, . . . ,Mℓ} ⊂ {QTi−1, . . . ,Qj−1}}

É possível mostrar que, se a probabilidade de colisão for p0 eProb{Qi = Mk} = Prob{Qi = Mj} = (1− p0)/ℓ, para k ,j 6= 0,então

E [T ] =ℓHℓ

1− p0

,

onde Hℓ é o ℓ-ésimo número harmônico.


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