progressoes_aritmeticas

APOSTILA - TURMA ITA-IME

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LISTA 01 Progresses Aritmticas Professor Marcelo Renato M. Baptista

1) (FUVESTSP 2007) Em uma progresso aritmtica ,a,,a,a n21 a soma dos n primeiros termos dada por

nbnS 2n += , sendo b um nmero real. Sabendo-se que 7a3 = , determine:

a) O valor de b e a razo da progresso aritmtica. b) O 20 termo da progresso. c) A soma dos 20 primeiros termos da progresso. Resoluo: a) 323 aSS =

2 2[ b.(3) 3 ] [ b.(2) 2 ] 7+ + = 6b5

=

2n

6S n n5

= +

21 1

3 1

6 11S (1) 1 a5 5

11 12a 7 a 2r 7 2r 7 r5 5

= + =

= + = + = =

b) 20 1 2011 12a a 19r a 195 5

= + = + 20239a5

=

c) 20 20

11 239 205 5S S 500

2

+ = =

Respostas: a) 56b = e a razo igual a

512r = b)

5239 c) 500.

2) (UFRJ) Observe a sucesso de matrizes a seguir, constituda com os nmeros mpares positivos: a) Determine o maior nmero escrito ao se completar a 37 matriz. b) O nmero 661 aparece na N-sima matriz. Determine N. Resoluo:

a) O maior nmero estar posicionado na N-sima matriz ocupando a posio correspondente segunda linha e segunda coluna. A sequncia de nmeros que ocupa esta posio em todas as matrizes PA ( 7, 15, 23, . . . , aN ).

37a 7 36.8= + 37a 295= b)

Considerando a N-sima matriz:

NN

NNdc

ba, sendo N um nmero natural no nulo.

N Na 1 (N 1).8 a 8N 7= + = .............. ( 1 )

N Nb 3 (N 1).8 b 8N 5= + = .............. ( 2 )

N Nc 5 (N 1).8 c 8N 3= + = .............. ( 3 )

N Nd 7 (N 1).8 d 8N 1= + = ............... ( 4 )

Verificando em cada uma das expresses (termos gerais), 1 , 2, 3 e 4, constatamos que somente na expresso ( 3 ) encontramos *N IN , ou seja:

Nc 8N 3=

Nc 661= 8N 3 661 = N 83=

Respostas: a) 295 b) N = 83

1 3 9 11 17 19, , ,

5 7 13 15 21 23


2

3) (UEL-modificada) Considere a sequncia )...,11,10,8,7,5,4,2,1( , cujos termos so os nmeros inteiros positivos que no so mltiplos de 3.

a) Calcule a soma dos 40 primeiros termos dessa sequncia. b) Calcule o 100 termo dessa sequncia. Resoluo: a) Maneira 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 204039 y...211593xx...1110875421 +++++=++++++++++ ........ ( 1 ) Onde 117y)6.(193y 2020 =+= A soma dos 40 termos do 1 membro em ( 1 ) igual soma dos 20 termos do 2 membro, ou seja:

( ) 20012

20.1173S40 =+

= .

a) Maneira 2:

=++++++++++ 2020 ba...1110875421

( ) ( )2020 b...11852a...10741 +++++++++++ Onde 58)3.(191a20 =+= e 59)3.(192b20 =+=

( ) ( )2

20.5922

20.581S40+

++

=

2001S40 = . b) Visualizando a sequncia com os termos de ordem par retirados da sequncia original, ou seja, o 100 termo

ser o 50 da sequncia ( )50b...,11,8,5,2 : 149b)3.(492b 5050 =+= .

Respostas: a) 1200. b) 149. 4) (FEI-SP) Um trabalho escolar de 150 pginas dever ser impresso em uma impressora que apresenta os

seguintes problemas: nas pginas 6, 12, 18, ... (mltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas pginas 8, 16, 24, ... (mltiplos de 8) falha o cartucho de tinha azul. Supondo-se que em todas as pginas do trabalho sejam necessrias as cores amarela e azul, quantas pginas sero impressas sem essas falhas?

Resoluo: Pginas mltiplas de 6: PA (6, 12, 18, ... , 150)

25n16

)6150(n 11 =+

=

Pginas mltiplas de 8: PA (8, 16, 24, ... , 144)

8n18

)8144(n 22 =+

=

Pginas mltiplas de 24: PA (24, 48, 72, 96, 120, 144) 6n3 = Nmero total F de pginas com falhas: 37F61825F =+= Nmero total T de pginas sem falhas: 113T37150T == Resposta: 113 pginas sem falhas.


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5) (UEPB) Devido sua forma triangular, o refeitrio de uma indstria tem 20 mesas na primeira fila, 24 na segunda fila, 28 na terceira, e assim sucessivamente. Se dispormos de 800 mesas, qual ser o nmero de fileiras de mesas nesse refeitrio?

Resoluo: Considerando n o nmero total de filas do refeitrio: PA ( 20, 24, 28, ... , an )

( )n20 24 28 ... a 800 ................. 1+ + + + = ( ) ( ) ( )n 1 n na a n 1 .r a 20 n 1 .4 a 4n 16 1= + = + = +

( ) ( )( )

( )

1 nn

22 2

20 4n 16 .na a .nEm 1 : S 800 800 800

2 24n 36n 800 2n 18n 800 n 9n 400 0 n 16 ou n 25 no convm

2

+ ++ = = =

+= + = + = = =

Resposta: 16 fileiras. 6) (UP 2014) Os termos da sequncia: 1, 3, 6, 10, 15, ... so chamados nmeros triangulares. Geometricamente

podem ser representados como na figura abaixo: Determine:

a) Uma expresso matemtica que represente o n-simo nmero triangular da sequncia acima.

b) O 25 elemento desta sequncia. Resoluo: a)

Para a sequncia dada ( 1, 3, 6, 10, 15, ... , an ) 1

2

3

4

n

a 1a 1 2a 1 2 3a 1 2 3 4

a 1 2 3 4 n

=

= +

= + +

= + + +

= + + + + +

Assim, ( )

n

1 n .na

2+

= , sendo n um nmero natural no nulo.

b) ( )

25

1 25 .25a

2+

= 25a 325=

Respostas: a) ( )n1 n .n

a2+

= , onde n um nmero natural no nulo. b) 325.


4

7) (Univ. So Carlos-SP) A mdia aritmtica de 50 nmeros em progresso aritmtica 100. Retirando-se dessa progresso os termos de ordem 3, 5, 46 e 48, determine a mdia aritmtica dos termos restantes.

Resoluo:

= 10050S50 5000S50 = ...... ( 1 )

( )1 50a a .50 50002

+= 200aa 501 =+ .......... ( 2 )

Como foram retirados quatro nmeros, a nova mdia ser correspondente soma de 46 nmeros, ou seja:

( )50 3 5 46 48S a a a aMdia46

+ + + = ( ) ( )50 3 48 5 46S a a a aMdia

46 + + + = ....... ( 3 )

Sabemos que: ( ) ( ) ( ) 200aaaaaa 501465483 =+=+=+ Substituindo (1) e ( 2 ) em ( 3 ):

( ) ( )5000 200 200Mdia

46 + = 100Mdia =

Resposta: 100. 8) (UFES) Numa "festa maluca" s podem entrar casais nas seguintes condies:

o homem no pode ser mais novo do que a mulher; a soma das idades de cada casal deve ser, no mximo,80 anos a mulher deve ter, no mnimo, 20 anos.

Determine o nmero de possibilidades distintas para se formarem casais nestas condies. Obs.: Considere as idades como nmeros inteiros.

Resoluo: IDADE

DA MULHER

IDADES DO HOMEM QUANT.

40 40 1

39 39, 40, 41 3

38 38, 39, 40, 41, 42 5

37 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 7

36 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 9

... ... ...

22 22, 23, 24, ... , 56, 57, 58 37

21 21, 22, 23, 24, ... , 56, 57, 58, 59 39

20 20, 21, 22, 23, 24, ... , 56, 57, 58, 59, 60 41 Quantidade de possibilidades: ( )PA 1,3,5, ,41

Nmero de termos: ( )diferena entre extremos

41 1n 1 n 21

2 razo

= + =

Assim, a quantidade total T de possibilidades distintas: ( )1 41 21T T 4412

+ = =

Resposta: 441.


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9) (UFES-modificada) Para a exibio de um "show", as 800 cadeiras de um teatro de arena sero dispostas em filas circulares, com 20 cadeiras na primeira fila, 24 na segunda, 28 na terceira, e assim sucessivamente. Os ingressos nas quatro primeiras filas custaro R$ 100,00 cada um; os das quatro fileiras seguintes custaro 80% deste valor e, assim, a cada quatro filas, os ingressos custaro 80% do valor cobrado pelos ingressos das quatro filas anteriores, exceto para as ltimas quatro fileiras, cujo ingresso foi fixado em R$ 40,00.

Pergunta-se:

a) Quantas filas sero dispostas no teatro? b) Qual a arrecadao em dia de espetculo com casa lotada? Resoluo: a) 800a282420 n =++++ , onde ( )n na 20 n 1 .4 a 4n 16= + = +

( )20 4n 16 .n800

2 + + =

=+ 0400n9n2( )

n 16 oun 25 noconvm=

=

b) Como os preos dos ingressos esto agrupados em grupos de 4 fileiras:

GRUPO DE FILEIRAS

CADEIRAS POR FILEIRAS

TOTAL DE CADEIRAS

VALOR DO INGRESSO (R$)

ARRECADAO (R$)

1 20, 24, 28, 32 ( )20 32 .4 1042+

= 100,00 10.400,00

2 36, 40, 44, 48 ( )36 48 .4 1682+

= 00,8010080.100 = 13.440,00

3 52, 56, 60, 64 ( )52 64 .4 2322+

= 00,6410080.80 = 14.848,00

4 68, 72, 76,80 296 40,00 11.840,00

TOTAL 50.528,00

Respostas: a) 16. b) R$ 50.528,00.


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10) (UERJ) Observe a tabela de Pitgoras abaixo, a qual possui n linhas:

Pede-se:

a) Desenvolva matematicamente uma frmula que expresse a soma de todos os nmeros desta tabela at o ltimo nmero da linha n.

b) Calcule a soma de todos os nmeros desta tabela at o ltimo nmero da vigsima linha. 201612151291086543

Resoluo: a) Sendo A, B e C os trs nmeros da linha n e an o resultado da soma (A+B+C)

Linha 1 3 + 4 + 5 = 12

Linha 2 6 + 8 + 10 = 24

Linha 3 9 + 12 + 15 = 36

...

Linha n A + B + C = na

Observando a coluna dos resultados das somas de cada linha, ou seja, ( )n12,24,36,...,a a soma pedida ser

( )nn

12 a .nS

2+

= , pois trata-se de uma sequncia de nmeros em progresso aritmtica.

( )n na 12 n 1 .12 a 12n= + =

Assim, ( )n12 12n .n

S2

+= ( )2nS 6. n n= +

b) Para n = 20 ( )220S 6. 20 20 = + 5202S20 = Respostas: a) ( )2nS 6. n n= + onde *INn . b) 2520.


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11) (UP 2014) Observe a Sequncia de MR abaixo, a qual possui n quadrados numricos:

963642321

18126151051284

271892416821147

... _________

linha3linha2linha1

1 2 3 n a) Quais os nmeros que compem a 3 linha do 20 quadrado numrico?

b) Qual o valor da soma de todos os nmeros que compem o 100 quadrado numrico?

c) Desenvolva matematicamente uma frmula que expresse a soma de todos os nmeros presentes na Sequncia de MR, ou seja, desde o primeiro quadrado numrico at o ensimo, inclusive.

Resoluo: Para a 3 linha vamos considerar ( )202020 c,b,a . a) Verificamos que os termos que ocupam posies correspondentes em cada quadrado esto em progresso

aritmtica, ou seja:

Nas 3 linhas teremos: Primeira posio: ( ) 60a3193aa,...,9,6,3 202020 =+= Segunda posio: ( ) 120b6196bb,...,18,12,6 202020 =+= Terceira Posio: ( ) 180c9199cc,...,27,18,9 202020 =+=

b) Verificamos que as somas dos nmeros de cada quadrado esto em progresso aritmtica:

Soma dos nmeros do 1 quadrado: 36S1 = Soma dos nmeros do 2 quadrado: 90S2 = Soma dos nmeros do 3 quadrado: 144S3 = Assim, ( )nPA 36,90,144, ,S ;

( )( )

n n

100

100

S 36 n 1 54 S 54n 18

S 54 100 18S 5382

= + =

=

=

c) Considerando n321n SSSST ++++= a soma de todos os nmeros presentes na Sequncia de MR:

( )

( ) *n

n

INn,1n3n9T2

n18n5436T

+=

+=

Respostas: a) ( )180,120,60 . b) 5.382. c) ( ) *n INn,1n3n9T += .


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12) (IME RJ) O quadrado de qualquer nmero par 2n pode ser expresso como a soma de n termos, em progresso aritmtica. Determine o primeiro termo e a razo dessa progresso.

Resoluo:

( )( )

( )

2n

2 21 1 1 1

a

2 22 2 2 1 2 2

a a 4

1

1 2

S 2n , n IN *

S 2.1 S 2 S 4 a 4

S 2.2 S 4 S 16 a a 16 a 12+

=

= = = =

= = = + = =

Assim, ( )

PA 4,12,20,... , razo r 8= Resposta: primeiro termo 4 e razo 8.

13) (UFRJ) Felipe comea a escrever nmeros naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha aps a

outra, como mostrado a seguir:

1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Considerando que Felipe mantenha o padro adotado em todas as linhas:

a) determine quantos nmeros naturais ele escrever na 50 linha;

b) determine a soma de todos os nmeros escritos na 50 linha;

c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha sempre o quadrado de um nmero mpar.

Resoluo: a) (1 linha 1 nmero), (2 linha 3 nmeros), (3 linha 5 nmeros), ... Podemos concluir que a quantidade nq de nmeros em cada linha n encontra-se em progresso aritmtica:

( ) ( )n n nPA 1,3,5, ,q q 1 n 1 2 q 2n 1, n IN = + =

.

A 50 linha, a qual inicia com o nmero 50, possui ( )50q 2 50 1 99= = termos ser: ( )9950,51,52, ,a . b) Para a 50 linha: ( )99PA 50,51,52, ,a

( ) ( )99 99 99 9950 148 99

a 50 98 1 a 148 S S 98012

+ = + = = =

c) No item (a) anterior temos que cada linha possui (2n 1) termos. Assim, a soma dos elementos de uma linha n corresponde soma dos seus (2n 1) nmeros em PA de razo 1, onde o primeiro termo n. Linha n: ( )2n 1PA n , n 1, n 2 , , b + + e

( ) ( )2n 1 1 2n 1 2n 1ltimo nmero da linha "n"

b b 2n 1 1 1 b n 2n 2 b 3n 2 = + = + =

( ) ( ) ( ) ( )1 2n 12n 1 2n 1

b b 2n 1 n 3n 2 2n 1S S

2 2

+ + = =

( ) ( ) ( ) ( )2n 1 2n 1

4n 2 2n 1 2 2n 1 2n 1S S

2 2

= = ( )22n 1S 2n 1 , n IN * =

Como ( )n IN * 2n 1 um nmero mpar e assim est provado que a soma em questo igual ao quadrado de um nmero mpar (c.q.d.).

Respostas: a) 99 nmeros. b) 9.801. c) vide demonstrao.

PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA 2014

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