programação linear e seus teoremas
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Programação Linear e Seus Teoremas. Conteúdos do Capítulo. Programação Linear e Convexidade Teoremas Fundamentais Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A. Programação Linear e Convexidade. Conjunto Convexo em R 2 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Capítulo 2.3
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005
Programação Linear
e Seus Teoremas
Capítulo 2.3
Conteúdos do Capítulo
Programação Linear e Convexidade Teoremas Fundamentais
Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A.
Capítulo 2.3
Conjunto Convexo em R2
Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto.
Conjunto Convexo em R2
Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto.
ConjuntoConvexo
Conjunto nãoConvexo
Programação Linear e Convexidade
Capítulo 2.3
Método SimplexTeoremas Fundamentais
Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de
Programação Linear formam um conjunto convexo.
Teorema II Toda solução compatível básica, do sistema de equações
lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.
Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de
Programação Linear formam um conjunto convexo.
Teorema II Toda solução compatível básica, do sistema de equações
lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.
Capítulo 2.3
Considere a solução gráfica do problema Considere a solução gráfica do problema
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
(3,3)
21=5x1+2x2 z
pontosextremos
A B C D E
21
1513
8
A B
CD
E
SoluçãoViável
Método SimplexTeoremas Fundamentais
Capítulo 2.3
Teorema III Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo
menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis.
Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.
Método SimplexTeoremas Fundamentais
Capítulo 2.3
Verificação Geométrica do Teorema III1a parte
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
(3,3)
Mínimo =AB
C = máximo
DE
SoluçãoViável
O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo.
Capítulo 2.3
Verificação Geométrica do Teorema III2a parte
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
(3,3)
B
DE
SoluçãoViável
Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação tal que no ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição.
SoluçõesMúltiplas
Em todos os pontos do segmento de reta CD, o valor da função-objetivo é o mesmoA
C
Capítulo 2.3
Considere a solução gráfica do problema Considere a solução gráfica do problema
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
(3,3)
z
pontosextremos
A B C D E
A B
CD
E
SoluçãoViável
Método SimplexTeoremas Fundamentais
Capítulo 2.3
Caso LCL Produtos Farmacêuticos
As indústrias LCL Produtos Farmacêuticos Ltda. desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 5 e 8 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria B, e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas uma tonelada de A e quatro toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de analgésico é vendida a $8,00 e de antibiótico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a serem produzidas pelas indústrias LCL de maneira a maximizar seu lucro.
Capítulo 2.3
Caso LCL Produtos Farmacêuticos
Hipótese Assumida Quantidade Produzida = Quantidade Vendida
Variáveis de Decisão x1 – Quantidade de Toneladas de Analgésico a ser produzida.
x2 – Quantidade de Toneladas de Antibiótico a ser produzida.
Capítulo 2.3
Função-Objetiva – Maximizar o Lucro
Restrições de Matéria Prima
Restrições de não negatividade
21 58 xxMax
511 21 xx
841 21 xx
0 ; 0 21 xx
Caso LCL Produtos Farmacêuticos
Capítulo 2.3
Caso LCL Produtos FarmacêuticosSolução Gráfica
371 , 4
400 , 5
102 , 0
00 , 0
58
21
21
21
21
21
zxx
zxx
zxx
zxx
xxz
(0;0)
(0;2)
(5;0)
(4;1)