Professor : Emerson Batista

EquipeEquipe. Ednei Assis Maciel. Ednei Assis Maciel. Gabriel Marques. Gabriel Marques. Alysson Gonçalves. Alysson Gonçalves. Aldair Gusmão . Aldair Gusmão . Fabio Ferreira. Fabio Ferreira

FIP/MOCFIP/MOCEngenharia Produção – 4º PeríodoEngenharia Produção – 4º Período

MÉTODO

ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

o O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp von Seidel.

Carl Friedrich Gauss

Alemanha 30 de Abril de 1777 á 23 de Fevereiro de 1855

Philipp von Seidel

Alemanha 23 Outubro de 1821 á 13 Agosto de 1896

Embora Seidel completou seus estudos de escola no outono de 1839 ele não entrar na universidade, mas logo recebeu treinamento particulares de matemática antes de iniciar sua carreira universitária. Ele foi treinado por LC Schnürlein que era um professor de matemática no Ginásio Hof. Isso foi importante para treinar \Seidel, particularmente desde Schnürlein era um bom matemático que estudou sob Gauss.

HISTÓRIA DE PHILIPP VON SEIDEL

•Seidel entrou na Universidade de Berlim em 1840

•Seidel obteve seu doutorado em Munique, em 1846

•. É importante notar que estas duas teses, apresentadas apenas seis meses de intervalo, estavam em dois temas completamente diferentes - o primeiro foi sobre astronomia, enquanto o segundo estava em análise matemática.

•Seidel progrediu rapidamente em Munique. Ele foi apontado como um professor extraordinário em Munique, em 1847 e, em seguida, um professor ordinário em 1855. Ele recebeu várias honrarias, tais como nomeação como Conselheiro Privado Royal. Ele recebeu muitas medalhas para o seu trabalho e, em 1851, foi eleito para a Academia Bávara de Ciências. Outras academias também homenageou, por exemplo, ele foi eleito para as academias de Göttingen e de Berlim.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

o É semelhante ao método de Jacobi.o É um método iterativo para

resolução de sistemas de equações lineares do tipo: Ax=b que é escrito na forma equivalente

o x = Cx + g por separação da diagonal.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

o É um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares do tipo: Ax=b que é escrito na forma equivalente

o x = Cx + g por separação da diagonal.

o Sendo x(0) uma aproximação inicial consiste em calcular x(1) , x(2) ,...,x (k) ... por:

OBJETIVO:OBJETIVO:

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

2 3

1 3

1 2

2 31

1 32

1

3

23

1

2

53 63 3 0

55

6 3

5

40 3 3

6

46

x xx xx x

x Cx g

x xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

11 1 12 2 13 3 1

11

1 12 2 21 1 23 3 2

22

1 1 13 3 31 1 32 2 34 3

33

1 1 1 11 1 2 2 , 1 1

1 ( ... )

1 ( ... )

1 ( ... 2 )

. . .

. . .

. . .1 ( ... )

k k k kn n

k k k kn n

k k k k kn n

k k k kn n n n n n n

nn

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

x b a x a x a x xa

x b a x a x a xa

MÉTODO DE GAUSS-SEIDELExemplo:Resolva o sistema linear:5X + Y + Z = 53X +4 Y + Z = 63X +3 Y +6 Z =0

o Sendo xSendo x(0)(0) = ( 0 0 0 ) = ( 0 0 0 )TT – uma aproximação inicial – uma aproximação inicial o Critério de parada:Critério de parada: εε = 5x10 = 5x10-2 -2 (0,05) ou (0,05) ou quarta interação = Xquarta interação = X(4)(4)

Obs: Matriz n x nObs: Matriz n x n

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL(1)

5 54 6 36 0 3 3

5 5 0 015 5

6 3 6 3 6 34 4 4

0 3 3 0 3 3 0 3 36 6 6

1 16 3(1) 0 0,75

40 3(10 3 3

6

xx y

z

x y zy x zz x y

y zx x xx z x z x zy y y

x y x y x yz z z

x xy y

x y zz

(1)

(1) (0)(1)

(1)

10,75

) 3(0,75) 0,8756

|1 0 | 1max | 1 1 | 0,75 0 | 0,75 1

max | | 1| 0,87 0 | 0,875

xx y

z

x xdx

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

(2)

5 54 6 36 0 3 3

5 5 0,75 0,8751,0255 5

6 3 6 3 6 34 4 4

0 3 3 0 3 3 0 3 36 6 6

1,0256 3(1,025) 0,875

40 3 3

6

xx y

z

x y zy x zz x y

y zx x xx z x z x zy y y

x y x y x yz z z

x

y

x yz

(2)

(2) (1)(2) (1)

(1)(2)

1 1,0250,95 0,950 3(1,025) 3(0,95) 0,9875

6

| |max | 0, 20|1,025 1| 0,025 0,19 0,19

max | | 1,025| 0,95 0,75 | 0,20| 0,9875 0,875 | 0,1125

x xy x y

zz

x xx xdx

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL(3)

5 54 6 36 0 3 3

5 5 0,95 0,98751,00755 5

6 3 6 3 6 34 4 4

0 3 3 0 3 3 0 3 36 6 6

1,00756 3(1,0075) ( 0,9875)

40 3

xx y

z

x y zy x zz x y

y zx x xx z x z x zy y y

x y x y x yz z z

x

y

z

(3)

(3) (2)(3) (2)

(3)(3)

1 1,00750,9912 0,99120 3(1,0075) 3(0,9912) 0,99933

66

| | 1,0075max | 0,0412|1,0075 1,025 | 0,0175 0,04 0,9

max | | 1,0075| 0,9912 0,95 | 0,0412

x xy x y

zx y z

x xx xd Xx

9120,9993

| 0,9993 0,9875 | 0,0118 0,04

T

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

oCalculo Numérico; aspectos teóricos e computacionais; 2ª edição; Márcia A. Gomes Ruggiero, Vera Lúcia da Rocha Lopes

oCalculo Numérico; Características Matemáticas e Computacionais dos métodos numéricos; Décio Sperandio, João Teixeira Mendes, Luiz Henry Monken e Silva