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Estudo de Polígonos

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Enchendo a piscina

A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura.

Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.

18 m

x

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Enchendo a piscina

O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros.

V ( L)

x (m)

0 C43.200

0,8

1,8

Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa?E na parte mais funda?

Qual é a capacidade da piscina, em litros?

Em quanto tempo a piscina ficará cheia?

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Polígonos convexos

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Definição

A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares AB, BC, CD, DE, EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se polígono união de todos esses segmentos e dos pontos da região interior.

A

B C

D

EF

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Elementos

Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

A figura abaixo, temos o polígono ABCDEF. Nele, destacamos:

Os vértices A, B, C, D, E e F.

Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.

é ângulo externo relativo ao vértice A.

A diagonal BD.

A

B C

D

EF

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Nomenclatura

Os polígonos recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de seus lados.

icoságono20octógono8

pentadecágono15heptágono7

dodecágono12hexágono6

undecágono11pentágono5

decágono10quadrilátero4

eneágono9triângulo3

PolígononPolígonon

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Polígono regular

Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

B

A

C

D

EF

Os lados AB = AC = CD = DE = EF = FA.

Os ângulos A = B = C = D = E = F.

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Ângulos internos nopolígono regular.

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Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º.

Si = (n – 2).180ºA2

A3

A4

A5

An

A1

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Ângulo interno do polígono regular

No polígono regular, os n ângulos são congruentes. Chamando de i a medida de cada um deles, temos

B

A

C

D

EF

i

i

i i

i

i

i = (n – 2).180º

n

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Ângulo interno e externo

Medidas dos ângulos internos e externos de alguns polígonos regulares.

3,6º176,4º100 lados

18º162ºIcoságono

36º144ºDecágono

60º120ºHexágono

72º108ºPentágono

90º90ºQuadrilátero

120º60ºTriângulo

ângulo externo

ângulo internopolígono

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Exemplo

Num decágono regular, cada lado mede 3 cm, Calcular seu perímetro e a medida de cada um de seus ângulos internos.

Decágono regular tem 10 lados (n = 10).

P = 10 . 3 cm = 30 cm

S = (n – 2).180o = (10 – 2).180º = 8. 180 = 1440º

i = 1440º

10= 144º

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Área de polígonos

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Definição de área

A área de um figura plana fechada é a medida da extensão de sua superfície.

A unidade fundamental de medida de áreas é o metro quadrado (m2). A área de 1 m2 é a área de um quadrado cujo lado mede 1 m.

1 m

1 m1 m2

Quantos m2 tem 1 km2

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Área do quadrado

L

L A = L2

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Exemplo

Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.

L

LDA = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2

D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2

⇒ D = 3√2.√2

⇒ D = 6 cm

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Área do retângulo

Base (b)

Altura (h)

A = b . h

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Exemplo

Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro.

2x

x

A = 18 ⇒ x.2x = 18

⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9

⇒ x = 3

Os lados medem 3 m e 6 m.

P = 2.3 + 2.6 = 18 m

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Área do Paralelogramo

h

A = b . h

base (b)

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6

4

60º

Exemplo

Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.

h

sen 60º = h

4⇒ h = 4. sen 60º = 4.

2

√3⇒ h = 2

√3

A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3

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Área do Losango

d1

d2 A = d1 . d2

2

L

L

L

L

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Exemplo

O perímetro de um losango é 52 cm e a menor de suas diagonais mede 10 cm. Achar sua área.

x

y

5 P = 4.x ⇒ 4.x = 52

⇒ x = 13

x2 = 52 + y2 ⇒ 132 = 25 + y2 ⇒ y2 = 169 – 25

⇒ y2 = 144 ⇒ y = 12

A = d1 . d2

2=

10 . 242

⇒ A = 120 cm2

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Área do Trapézio

A =(b1 + b2).h

2

h

base (b1)

base (b2)

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Exemplo

Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa.

276

1015

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Exemplo

Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa.

15

Cálculo da altura do trapézio

10 10h h

27

6 15 6

h2 + 62 = 102

⇒ h2 + 36 = 100

⇒ h2 = 100 – 36

⇒ h2 = 64

⇒ h = 8

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Exemplo

Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa.

15

Área do trapézio

10 108 8

27

6 15 6 A =(15 + 27).8

2

A = 168

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Exemplo

Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa.

Área da face da frente: A = 15 . 6 = 90

276

1015

Área da face de trás: A = 27 . 6 = 162

Área das faces laterais: A = 2. 10 . 6 = 120

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Exemplo

Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa.

Área total da superfície da caixa:

A = 336 + 90 + 162 + 120 = 708 cm2.

276

1015

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Área do Triângulo

A =b . h

2

h

base (b)

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Exemplo

Calcular a área de um triângulo cujos lados medem 10 cm, 10 cm e 16 cm.

h10 10

8 8

h2 + 82 = 102

⇒ h2 + 64 = 100

⇒ h2 = 36

⇒ h = 6

A =b . h

2=

16 . 62

= 48 cm2.

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Área do Triângulo Eqüilátero

L

L

Lh

h =L√3

2

A =L2√3

4

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Exemplo

Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é 18 cm.

P = 18 ⇒ 3L = 18 ⇒ L = 6 cm

A =L2√3

4=

62√34

⇒ A = 9√3 cm2

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Área do Hexágono regular

L

LL

L

L

L

A =3L2√3

2

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√3

Exemplo

Achar a área do hexágono regular em que cada apótema mede 6 cm.

x

O

6

x/2

θ

tg 30º = x/2

6

θ = 30º

3=

x

12⇒ x = 4√3

A =3x2√3

2=

3.48.√32

A = 72√3 cm2

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Área do triângulo em função da medida de dois de seus lados e do ângulo compreendido por esses lados

A =b . h

2

hc

b

α

sen α = h

c

⇒

⇒ h = c. sen α

b . c. sen α 2

A =

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Exemplo

Num hexágono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6 cm. Calcular a área do hexágono.

A

6

B C

D

EF

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Exemplo

Na figura, ABCE é um quadrado, CDE é um triângulo retângulo em D e ABF é um triângulo eqüilátero. Obter a área da região sombreada.

2√3 2

A B

CE

D

F

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Exemplo

(UEMS) Une-se um dos vértices de um quadrado aos pontos médios dos lados que não contêm esse vértice, obtendo-se um triângulo isósceles, como mostra a figura abaixo. A área desse triângulo, em relação à área do quadrado, é:

a) 0,355

b) 0,365

c) 0,375

d) 0,385

e) 0,395