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Estudo dos Poliedros
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Enchendo a piscina
A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura.
Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.
18 m
x
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Enchendo a piscina
O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros.
V ( L)
x (m)
0 C43.200
0,8
1,8
Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa?E na parte mais funda?
Qual é a capacidade da piscina, em litros?
Em quanto tempo a piscina ficará cheia?
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Poliedro: uma forma muito especial
Determinados sólidos tem uma forma muito particular. Observe os sólidos representados a seguir.
A
B C
D
E F
M N
PQ
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Definição
Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns:
São limitados por polígonos; Cada lado desses polígonos pertence a
exatamente a dois dos polígonos; Dois desses polígonos nunca são coplanares.
Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro.
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Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
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Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.
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Elementos de um poliedro
A
B C
D
E
F G
H
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.
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Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica. É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro.
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Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe os sólidos representados abaixo.
A
B C
D
E F
Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço.
Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.
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Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe agora o sólido representado abaixo.
M N
PQ
O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes.
Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.
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Classificação dos poliedros
Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F).
octaedro8
icosaedro20heptaedro7
dodecaedro12hexaedro6
decaedro10pentaedro5
eneaedro9tetraedro4
PoliedroFPoliedroF
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Veja alguns desses poliedros
Hexaedro (P1)Octaedro (P2)
Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)
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Relação de Euler
Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo.
15710P4
1699P3
1286P2
1268P1
AFVPoliedro
V + F – A = 2
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Exemplos
Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem?
V + F – A = 2 ⇒ 6 + F – 12 = 2
⇒ F – 6 = 2
⇒ F = 8
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Exemplos
Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran-gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices?
Primeiro vamos achar o número de arestas.
9 Faces ⇒7 quadrang.
2 triang.
⇒ A = 7.4 = 28
⇒ A = 2.3 = 6
⇒ 2A = 34 ⇒ A = 17
V + F – A = 2 ⇒ V + 9 – 17 = 2
⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 10
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Poliedros regulares
Poliedro regular é todo poliedro em que:
Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si;
De cada vértice, parte o mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.
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O prisma e suas formas
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O prisma e suas formas
Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.
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Definição
Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.
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Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de faces
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
bases (polígonos congruentes).
faces laterais (paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.
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Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de arestas
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
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Elementos principais do prisma
h
A
B CD
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
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Classificação dos prismas
Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
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Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal
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Classificação dos prismas
Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base.
Dizemos que ele é:
prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;
prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.
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Classificação dos prismas
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal
oblíquo
hh
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Prisma regular
Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e aBase é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
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Prisma quadrangulares
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Prismas quadrangulares
Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo.
Paralelepípedo
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Prismas quadrangulares
Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
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Prismas quadrangulares
Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
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Estudo do cubo
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Estudo do cubo
O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das arestasa
aa
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a
a
a
Diagonais no cubo
Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
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Diagonais no cubo
Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.
a
a
a
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
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Diagonais no cubo
Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.
a
a
a
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
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Área da superfície total do cubo
Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.
a
aa
a
a
a
a
AT = 6a2
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Exemplo
A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?
AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3
d = a√2 ⇒ d = 3√2
D = a√3 ⇒ D = 3√3
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O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.
V = 1 u3
1 u1 u
1 u1 u
Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.
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O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.
V = 1 u3
1 u1 u
1 u1 u
Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.
Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.
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Volume
O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido.
Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo?
V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3
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Volume do cubo
Analise as três figuras a seguir.
a = 1 uV = 1 u3
a = 2 u a = 3 uV = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3
De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é
V = a3
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Exemplo
Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo?
D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = √3
6 ⇒ a = 2√3 m
AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2
V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3
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Estudo do Paralelepípedo retângulo
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Estudo do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
ac
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
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b
a
Diagonal do paralelepípedo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
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b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2
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Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3
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Área da superfície total do paralelepípedo
Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.
ac
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
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Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
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Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
Logo a = 4, b = 6 e c = 10.
D = √42 + 62 + 102
D = √16 + 36 + 100
D = √152
D = 2√38
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Volume do paralelepípedo retângulo
Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitárioV = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por
V = a.b.c
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Observação
Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.
V = abc
V = AB.h
ab
c
A = ab
= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)
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Exemplos
Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?
A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.
V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3
Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3.
V = 2 400 dm3 = 2 400 L
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Exemplos
Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
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Estudo geral do prisma
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Estudo geral do prisma
Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos;
A
B
C
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Áreas no prisma
No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
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Exemplo
A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
3
5
64
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
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Exemplo
Num prisma hexagonal regular, a altura mede 8 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒
23x2√3
= 24√3
⇒ x2 = 16
⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2
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Princípio de Cavalieri
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Princípio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
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Princípio de Cavalieri
Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se
Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
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Princípio de Cavalieri
A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.
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Volume do prisma
Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = AB.h
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h
60º
Exemplos
As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma.
6
4
5
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Exemplos
O volume de um prisma hexagonal regular é igual a 486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total.
L
h